高二数学苏教版选修2-1精编讲义：第1部分 第2章 2.5 圆锥曲线的统一定义 Word版含解析

§2.6　曲线与方程2.6.1　曲线与方程学习目标　1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点　曲线与方程的概念思考　到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案　y ＝±x .在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M 的坐标(x 0，y 0)满足y 0＝x 0或y 0＝－x 0，即(x 0，y 0)是方程y ＝±x 的解；反之，如果(x 0，y 0)是方程y ＝x 或y ＝－x 的解，那么以(x 0，y 0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．梳理　如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解(条件①，即纯粹性)，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上(条件②，即完备性)，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C 的点集和方程f (x ，y )＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x ，y )建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．1．过点A (3,0)且垂直于x 轴的直线的方程为x ＝3.(√)2．到y 轴距离为2的点的直线方程x ＝－2.(×)3．方程＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线．(×)xy －2类型一　曲线与方程的概念例1　命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是________．(填序号)①方程f(x，y)＝0的曲线是C；②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；③f(x，y)＝0是曲线C的方程；④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．答案　②解析　不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以①，③，④错误．反思与感悟　解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1　设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，给出下列命题：①坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；②曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0；③坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.其中判断正确的是________．(填序号)答案　④解析　“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故①③错，②显然错．类型二　点与曲线的位置关系例2　方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0表示的曲线经过点A(0，－3)，B(0,4)，C，D (8,0)中的________个．(53，－74)答案　2解析　由对数的真数大于0，得x ＋2y ＞0，∴A (0，－3)，C 不符合要求；(53，－74)将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求．反思与感悟　点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x 0，y 0)??f (x ，y )＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可．跟踪训练2　证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2＋y 2＝25，并判断点M 1(3，－4)，M 2(－2，2)是否在这个圆上．5解　(1)设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以＝5，也x 20＋y 20就是x ＋y ＝25，即(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解．2020(2)设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解，那么x ＋y ＝25，两边开方取算术平方根，得2020＝5，即点M (x 0，y 0)到原点的距离等于5，点M (x 0，y 0)是这个圆上的点．x 20＋y 20由(1)，(2)可知，x 2＋y 2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M 1(3，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－2，2)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不等，5(－2，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上．5类型三　曲线与方程关系的应用例3　判断下列结论的正误，并说明理由．(1)到x 轴距离为4的点的直线方程为y ＝－4；(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1；(3)△ABC 的顶点A (0，－3)，B (1,0)，C (－1,0)，D 为BC 的中点，则中线AD 的方程为x ＝0.解　(1)因到x 轴距离为4的点的直线方程还有一个y ＝4，即不具备完备性．所以结论错误．(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x |·|y |＝1，即xy ＝±1.所以所给问题不具备完备性．所以结论错误．(3)中线AD 是一条线段，而不是直线，应为x ＝0(－3≤y ≤0)，所以所给问题不具备纯粹性．所以结论错误．反思与感悟　判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3　若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围．解　∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－22＋.(a ＋12)12∴k ≤，12∴k 的取值范围是.(－∞，12]1．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么下列说法正确的是________．(填序号)①曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0；②凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上；③不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0；④不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0.答案　③2．已知方程＋＝1，下列所给的点在此方程表示的曲线上的为________．(填序号)9(x －1)2y 24①(－2,0)　②(1,2)　③(4,0)　④(3,1)答案　①③解析　将点(－2,0)和(4,0)代入方程后成立，而②，④代入后方程不成立，故只有①③符合题意．3．若点M 在方程x 2＋(y －1)2＝10所表示的曲线上，则实数m ＝________.(m2，－m )答案　－或2185解析　依题意得2＋(－m －1)2＝10，(m2)解得m ＝2或m ＝－.185所以m 的值为2或－.1854．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________．答案　两条相交直线解析　原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0.5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．答案　4个点解析　由题意，得Error!∴Error!或Error!或Error!或Error!∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、填空题1．方程y ＝3x －2 (x ≥1)表示的曲线为________．(填序号)①一条直线②一条射线③一条线段④不能确定答案　②解析　方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．2．曲线C的方程为y＝2x－1(1<x<5)，则下列四个点中在曲线C上的是________．(填序号)① (0,0)　②(7,15)　③(2,3)　④(4,4)答案　③解析　由y＝2x－1(1<x<5)得①，②的横坐标不满足题意，④中坐标代入后不满足方程，故只有③符合题意．3．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线所围成的平面图形的面积为________．答案　2解析　由题得该曲线所围成平面图形如下图所示，故其面积为2.4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是________．(填序号)x23x3①y＝a log a x；②y＝；③y＝log a a x；④y＝.答案　③④3x3解析　由y＝log a a x＝x，y＝＝x，得③④表示同一条曲线．y－25．方程(x－1)2＋＝0表示的是____________．答案　点(1,2)y－2y－2解析　由(x－1)2＋＝0，知(x－1)2＝0，且＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋＝0表示的是点(1,2)．y－26．若点M到两坐标轴的距离的积为2016，则点M的轨迹方程是________．答案　xy＝±2016解析　设M(x，y)，则由题意得|x|·|y|＝2016，所以xy＝±2016.7．直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，则“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案　必要不充分解析　由(kx＋1)2＝4x，得k2x2＋2(k－2)x＋1＝0，则当k ≠0时，Δ＝[2(k －2)]2－4k 2＝16(1－k )>0，得k <1且k ≠0，故“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的必要不充分条件．8．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆＋＝1有一个公共点，则k 的值为________．x 216y 24答案　±54解析　联立方程组Error!消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2－5)＝0，即k ＝±时，直线与椭圆有一个公共点．549．如果曲线C 上的点满足方程F (x ，y )＝0，有以下说法：①曲线C 的方程是F (x ，y )＝0；②方程F (x ，y )＝0的曲线是C ；③坐标满足方程F (x ，y )＝0的点在曲线C 上；④坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．其中正确的是________．(填序号)答案　④10．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所围的面积为________．答案　4π解析　设P (x ，y )，∵PA ＝2PB ，∴(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，∴(x －2)2＋y 2＝4.∴点P 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，∴所围成的面积S ＝π·22＝4π.11．下列命题正确的是________．(填序号)①△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0；②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；③曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0.答案　③解析　对照曲线和方程的概念，①中“中线AO 的方程是x ＝0 (0≤y ≤3)”；而②中，动点的轨迹方程为|y |＝5.从而只有③是正确的．二、解答题12．已知曲线C 的方程为x ＝，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围4－y 2成的图形的面积．解　由x ＝，得x 2＋y 2＝4.4－y 2又x ≥0，∴方程x ＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C4－y 2与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝π·4＝2π.12所以所求图形的面积为2π.13．已知两曲线f (x ，y )＝0与g (x ，y )＝0的一个交点为P (x 0，y 0)．求证：点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．证明　因为P (x 0，y 0)是两曲线的交点，所以点P 的坐标既满足方程f (x ，y )＝0，又满足方程g (x ，y )＝0，即f (x 0，y 0)＝0且g (x 0，y 0)＝0，故f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0，所以P (x 0，y 0)的坐标是方程f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的解，故点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．三、探究与拓展14．已知方程①x －y ＝0；②－＝0；③x 2－y 2＝0；④＝1，其中能表示直角坐标系的x y xy 第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________．答案　①解析　①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x 2－y 2＝0，但它不在曲线C 上；④不x y 正确．如点(0,0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程＝1.xy 15．方程(2x ＋3y －5)(－1)＝0表示的曲线是什么？x －3解　因为(2x ＋3y －5)(－1)＝0，x －3所以可得Error!或者－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为x －3一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.。

2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（5）word 学案 [学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．[知识链接]1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？ 答：1e. 2．动点M 到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？ 答：当F ∉l 时，动点M 轨迹是圆锥曲线．当F ∈l 时，动点M 轨迹是过F 且与l 垂直的直线． [预习导引]1．圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 0<e <1时，它表示椭圆；e >1时，它表示双曲线；e ＝1时，它表示抛物线．2．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，与F (c,0)对应的准线方程是l ：x ＝a 2c ，与F ′(－c ，0)对应的准线方程是l ′：x ＝－a 2c；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为y ＝±a 2c.要点一 统一定义的简单应用例1 椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．答案 8解析 如图所示，PF 1＋PF 2＝2a ＝10，e ＝c a ＝45， 而PF 12.5＝e ＝45，∴PF 1＝2，∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.规律方法 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用．一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．跟踪演练1 已知椭圆x 24b 2＋y 2b 2＝1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1)，求P 到左准线的距离．解 方法一 由x 24b 2＋y 2b 2＝1，得a ＝2b ，c ＝3b ，e ＝32.由椭圆第一定义， PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ，得PF 1＝4b －PF 2＝4b －b ＝3b .由椭圆第二定义，PF 1d 1＝e ，d 1为P 到左准线的距离， ∴d 1＝PF 1e ＝23b ，即P 到左准线的距离为23b . 方法二 ∵PF 2d 2＝e ，d 2为P 到右准线的距离． e ＝c a ＝32，∴d 2＝PF 2e ＝233b . 又椭圆的两准线的距离为2·a 2c ＝833b ， ∴P 到左准线的距离为833b －233b ＝23b . 要点二 应用统一定义转化求最值例2 已知椭圆x 28＋y 26＝1内有一点P (1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小．解 设d 为M 到右准线的距离．∵e ＝c a ＝12，MF d ＝12， ∴MF 12＝d ，即d ＝2MF (如图)． 故MP ＋2MF ＝MP ＋MM ′.显然，当P 、M 、M ′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M 的坐标为(2315，－1)．规律方法 本例中，利用统一定义，将椭圆上点M 到焦点F 的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．跟踪演练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，试在双曲线上求一点M ，使MA ＋35MF 的值最小，并求这个最小值． 解 过M 作MN 垂直于双曲线的右准线l 于N ，由第二定义可知MN ＝MF e(如图)． 又a ＝3，b ＝4，c ＝5，e ＝53， ∴MN ＝35MF ，∴MA ＋35MF ＝MA ＋MN ，显然当M 、N 、A 三点共线时MA ＋MN ＝AN 为最小，即MA ＋35MF 取得最小值，此时AN ＝9－a 2c ＝9－95＝365，∴MA ＋35MF 的最小值为365，此时点M (352，2)． 要点三 圆锥曲线统一定义的综合应用例3 已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a 2＝1上的点，F 2是右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点N 到左准线的距离等于32，求此椭圆方程． 解 设F 1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a . 再设A 、B 、N 三点到左准线距离分别为d 1，d 2，d 3，由梯形中位线定理有d 1＋d 2＝2d 3＝3，而已知b 2＝925a 2， ∴c 2＝1625a 2，∴离心率e ＝45， 由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2，∴AF 1＋BF 1＝125a ＝e (d 1＋d 2)＝125，∴a ＝1， ∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1. 规律方法 在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪演练3 设P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，F 1为其左焦点． (1)求PF 1的最小值和最大值；(2)在椭圆x 225＋y 25＝1上求一点P ，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直． 解 (1)对应于F 1的准线方程为x ＝－a 2c， 根据统一定义：PF 1x 0＋a 2c＝e ， ∴PF 1＝a ＋ex 0.又－a ≤x 0≤a ，∴当x 0＝－a 时，(PF 1)min ＝a ＋c a×(－a )＝a －c ； 当x 0＝a 时，(PF 1)max ＝a ＋c a·a ＝a ＋c . (2)∵a 2＝25，b 2＝5，∴c 2＝20，e 2＝45. ∵PF 21＋PF 22＝F 1F 22，∴(a ＋ex 0)2＋(a －ex 0)2＝4c 2. 将数据代入得25＋45x 20＝40.∴x 0＝±532. 代入椭圆方程得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫532，52，⎝⎛⎭⎫532，－52，⎝⎛⎭⎫－532，52，⎝⎛⎭⎫－532，－52.1．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________． 答案 －1<k <1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k >－1，k <1，即－1<k <1. 2．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)，PF →2＝(1－x 0，－y 0)，∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案 (0，22) 解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则OP >c 恒成立，由椭圆性质知OP ≥b ，其中b 为椭圆短半轴长，∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴(c a )2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是________．答案 12解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝c 2， ①m 2＋n 2＝c 2，②c 2＝am ，③2n 2＝2m 2＋c 2，④由②④可得m 2＋n 2＝2n 2－2m 2，即n 2＝3m 2，⑤⑤代入②得4m 2＝c 2⇒c ＝2m ，⑥⑥代入③得4m 2＝am ⇒a ＝4m .所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12.1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数．2．利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化．一、基础达标1．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝______.答案 －1解析 焦点为(1,0)，代入直线方程，可得a ＝－1.2．已知椭圆的准线方程为y ＝±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为____________． 答案 x 23＋y 24＝1 解析 由⎩⎨⎧ a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 24＝1. 3．双曲线3x 2－y 2＝9，P 是双曲线上一点，则P 点到右焦点的距离与P 点到右准线的距离的比值为________．答案 2解析 由统一定义，所求距离之比即为双曲线的离心率．双曲线方程可化为x 23－y 29＝1， 得a 2＝3，b 2＝9，c 2＝a 2＋b 2＝12，所以e ＝c a ＝123＝2. 4．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为3，则点P 到左准线的距离为________． 答案 5解析 依题意e ＝35，所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e＝5. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，右准线方程为x ＝33，则双曲线方程为__________．答案 x 2－y 22＝1 解析 由⎩⎨⎧c a ＝3，a 2c ＝33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝3，所以b 2＝3－1＝2. 所以双曲线方程为x 2－y 22＝1. 6．已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x 2－y 2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 双曲线的左准线为x ＝－1，抛物线的准线为x ＝－p 2，所以p 2＝1，所以p ＝2. 故抛物线的焦点坐标为(1,0)．7．已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，一条准线方程为y ＝95，求该双曲线的标准方程． 解 由已知可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题意有⎩⎨⎧a 2c ＝95，ab ＝34，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16. 所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1. 二、能力提升8．已知点P 在椭圆x 216＋y 225＝1上，F 1、F 2是椭圆的上、下焦点，M 是PF 1的中点，OM ＝4，则点P 到下准线的距离为________．答案 403解析 因为OM 是△F 1F 2P 的中位线，所以PF 2＝2OM ＝8.又e ＝35，所以P 到下准线的距离d ＝PF 2e ＝8×53＝403. 9．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上横坐标为3a 2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 由已知得(3a 2－a 2c )e >3a 2＋a 2c，即3c 2>5ac ＋2a 2， 所以3e 2－5e －2>0，解得e >2或e <－13(舍去)． 10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________．答案 22解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 则右焦点F (c,0)，右准线l ：x ＝a 2c. 把x ＝c 代入椭圆的方程得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，即y ＝±b 2a. 依题设知2b 2a ＝2且a 2c －c ＝b 2c＝1， 所以e ＝c a ＝b 2a ·c b 2＝22×1＝22. 11．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解 (1)椭圆的焦点为(5，0)，(－5，0)，它也是双曲线的焦点．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)由(1)可知双曲线的右准线为x ＝a 2c ＝355. 它也是抛物线的准线，所以p 2＝355， 故抛物线的标准方程为y 2＝－1255x . 12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a 、b 的值；(2)设M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.(1)解 因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ， 所以由题设得⎩⎨⎧ c a ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明 由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22， 故可设M (22，y 1)，N (22，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0知(22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝|y 1＋6y 1|＝|y 1|＋6|y 1|≥26， 当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0.三、探究与创新13.如图所示，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4,0)，过点F 2作垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且F 1B ＋F 2B ＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标．解 (1)由椭圆定义及条件知，2a ＝F 1B ＋F 2B ＝10，得a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得F 2B ＝y B ＝95. 因为椭圆右准线方程为x ＝254，离心率为45， 根据椭圆定义，有F 2A ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 1，F 2C ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 2，由F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列，得 45⎝⎛⎭⎫254－x 1＋45⎝⎛⎭⎫254－x 2＝2×95，由此得出x 1＋x 2＝8.设弦AC 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4.。

圆锥曲线离心率问题新青年数学教师工作室苏州分站 张家港高级中学数学名师工作室 师全义【学习目标】1. 了解近几年江苏高考对圆锥曲线离心率问题的考查内容；2. 回顾圆锥曲线离心率问题求解的常用方法；3. 能选择恰当的方法对离心率问题进行求解；体会感悟解决数学问题的解题策略和思想方法，增强解题中的优化意识． 【品味经典】1 ．（2021江苏8）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ．2 ．（2021 江苏 12）在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1 a b >>0的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．3． （2021江苏10）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率是 ．4．（2021江苏17（2））如图，在平面直角坐标系xoy 中，21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为）（b ,0，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接C F 1．1若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程； 2若AB C F ⊥1，求椭圆离心率．【例题精讲】例1 已知F 1，F 2是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的左、右焦点，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线的左支交于点M ，且612π=∠F MF ，则E 的离心率为 ．例2 设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线的倾斜角为60°，FB AF 2= 1求椭圆C 的离心率； 2如果415=AB ，求椭圆C 的方程例3 （扬州市2021届高三上学期期末）如图，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ，圆222:b y x O =+，过椭圆C的上顶点A的直线b kx y l +=:分别交圆O 、椭圆C于不同的两点PQ AP λ=)0,3(-P )1,4(--Q 3=λe 22221(0)x y a b a b +=>>，且∠MF 2F 1=6π，则E 的离心率为 ．31② 已知F 1，F 2是椭圆E ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与轴垂直，31sin 12=∠F MF ，则E 的离心率为 ．22③ 已知F 1，F 2是椭圆E ： 22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，若12AF AF 的最大值为2，则E 的离心率为 ．132 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为F ，短轴的一个端点为B ，线段BF 延长线交椭圆于D ,且FD BF 2=，则椭圆的离心率是__________33 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点1F 和右焦点2F ，上顶点A ，线段2AF 的中垂线交椭圆于点B ，若左焦点1F 在线段AB 上，则椭圆的离心率为__________．12【高考之窗】1 ．（2021·全国卷Ⅰ 5）直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的错误!，则该椭圆的离心率为 ．错误!2 ．（2021·全国卷Ⅲ5）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．，的中点，则C的离心率为．错误!3．（2021·浙江卷19）如图，设椭圆错误!＋2＝1a>1．1求直线＝＋1被椭圆截得的线段长用a，表示；2若任意以点A0，1为圆心的圆与椭圆至多有3（1）|AP|＝错误!|1－2|＝错误!·错误!（2）0<e≤错误!。

2.5 圆锥曲线的统一定义双基达标 (限时15分钟)1．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝______．解析 焦点为(1，0)，代入直线方程，可得a ＝－1.答案 －12．已知椭圆的准线方程为y ＝±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为____________． 解析 由⎩⎨⎧a 2c ＝4c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 24＝1. 答案 x 23＋y 24＝1 3．双曲线3x 2－y 2＝9，P 是双曲线上一点，则P 点到右焦点的距离与P 点到右准线的距离之比等于________．解析 由统一定义，所求距离之比即为双曲线的离心率．双曲线方程可化为x 23－y 29＝1， 得a 2＝3，b 2＝9，c 2＝a 2＋b 2＝12，所以e ＝c a ＝123＝2.答案 24．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为3，则点P 到左准线的距离为________． 解析 依题意e ＝35，所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e＝5. 答案 55．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，右准线方程为x ＝33，则双曲线方程为__________．解析 由⎩⎨⎧c a ＝3a 2c ＝33，得⎩⎨⎧a ＝1c ＝3，所以b 2＝3－1＝2. 所以双曲线方程为x 2－y 22＝1. 答案 x 2－y 22＝1 6．已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，一条准线方程为y ＝95，求该双曲线的标准方程． 解 由已知可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝95a b ＝34a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9b 2＝16. 所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1. 综合提高 (限时30分钟)7．已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x 2－y 2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．解析 双曲线的左准线为x ＝－1，抛物线的准线为x ＝－p 2，所以p 2＝1，所以p ＝2. 故抛物线的焦点为(1，0)．答案 (1，0)8．已知点P 在椭圆x 216＋y 225＝1上，F 1、F 2是椭圆的上、下焦点，M 是PF 1的中点，OM ＝4，则点P 到下准线的距离为________．解析 因为OM 是△F 1F 2P 的中位线，所以PF 2＝2OM ＝8.又e ＝35， 所以P 到下准线的距离d ＝PF 2e ＝8×53＝403. 答案 403 9．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上横坐标为3a 2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．解析 由已知得(3a 2－a 2c )e >3a 2＋a 2c，即3c 2>5ac ＋2a 2， 所以3e 2－5e －2>0，解得e >2或e <－13(舍去)． 答案 (2，＋∞)10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________．解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1， 则右焦点F (c ，0)，右准线l ：x ＝a 2c. 把x ＝c 代入椭圆的方程得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，即y ＝±b 2a . 依题设知2b 2a ＝2且a 2c －c ＝b 2c＝1， 所以e ＝c a ＝b 2a ·c b 2＝22×1＝22. 答案 2211．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解 (1)椭圆的焦点为(5，0)，(－5，0)，它也是双曲线的焦点．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)由(1)可知双曲线的右准线为x ＝a 2c ＝355. 它也是抛物线的准线，所以p 2＝355， 故抛物线的方程为y 2＝－1255x . 12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a 、b 的值；(2)设M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.(1)解 因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ， 所以由题设得⎩⎨⎧c a ＝22，a 2c －c ＝2， 解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明 由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22，故可设M (22，y 1)，N (22，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0知 (22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝|y 1＋6y 1|＝|y 1|＋6|y 1|≥26， 当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0.13．(创新拓展)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(1，0)、F 2(－1，0)，抛物线y 2＝－16x 的准线是椭圆C 的一条准线，且P (1，－1)为椭圆内一定点．(1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上求一点M ，使得MP ＋2MF 1最小．解 (1)抛物线y 2＝－16x 的准线为x ＝4，它也是椭圆C 的一条准线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝4c ＝1，得a 2＝4， b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)椭圆x 24＋y 23＝1的离心率e ＝12. 由M 点向准线引垂线，设垂足为N .由统一定义，MN ＝2MF 1，所以MP ＋2MF 1＝MP ＋MN .当P 、M 、N 三点共线时，MP ＋MN 最小，此时点M 的纵坐标与点P 的纵坐标相同，为－1，代入椭圆方程可求得此时M (263，－1)．。