《常微分方程》考试大纲

常微分方程复习与考试提纲一、复习与分值结构总体分三块，解方程部分，包括第2，4，5章，这部分内容分值在60分左右；理论部分，就是，主要是第三章，第四章，第五章等的解的存在唯一性定理以及解的结构定理20分左右；应用部分20分左右； 其次从试题难度上看70左右的基础题、常规题，20分左右的，具有一定灵活性的问题，10左右难题。

二、知识点解析（一） 解方程部分分一阶、高阶与方程组三部分1、一阶微分方程：解方程的三个思想：可分离变量类型，全微分（恰当）微分方程，参数方程法（1）可分离变量类型及其可化为可分离变量类型的方程的类型，这部分习题主要集中在P42-43，P49-50；a ．齐次方程 ()y y xϕ'=，令 y x μ=即可； b ．111222a x b y c y f a x b y c ⎛⎫++'= ⎪++⎝⎭；c ．一些简单的组合变换，如P43，2（1），（2），（5）等；d ．一阶线性微分方程及其通解公式（含伯努利方程，黎卡提方程），见P44-45，其主要思想是常数变异法，其实质是变量分离；特别提示一阶线性微分方程是目前解决的最为彻底的一类方程，应该好好掌握。

（2）全微分（恰当）微分方程及其可化为全微分微分方程的类型，这部分习题主要集中在P60-61；a ．全微分（恰当）微分方程的定义及其判定的充要条件；b ．要求熟记的一些简单二元函数的全微分，见P54及课堂提供；c ．(,)(,)0M x y dx N x y dy +=分别具有形为()x μ、()y μ、()x y μ+和()x y μ-的充要条件及其推导，见P52；d ．方程变换前的积分因子与方程变换前的积分因子之间的关系，P61，5我给大家提供的第二种解法等；e ．常见用到的结论，如P61，4，5，8，11等；f ．难点问题：P61 2（11），10等。

(3) 参数方程法，主要习题见P70，与P73 1 （10）（19）（20）等；a ．(,),y f x y '=或(,)x f y y '=，可设y p '=（参数），然后求解；b ．(,)0,F x y '=或(,)0F y y '=，视问题而灵活设定。

考试科目名称: 常微分方程
考查要点:
一、一阶微分方程的初等解法
1．要求考生熟练应用变量替换求解变量分离方程.
2．要求考生理解线性方程与常数变易法,并用常数变易法求解伯努利方程.
3．要求考生熟练掌握恰当方程的解法,对于非恰当方程,要求会求积分因子,并熟练求出其解.
4.要求考生了解一阶隐方程与参数表示,并会求解一些一阶隐方程.
二、一阶微分方程的解的存在唯一定理
1．要求考生熟练掌握一阶微分方程的解的存在唯一定理,并会利用解的存在唯一定理解决实际问题.
2．要求考生了解解的延拓,解对初值的连续性与可微性定理,以及奇解和包络.
三、高阶微分方程
1．要求考生理解线性微分方程的一般理论,并熟练用常数变易法求解高阶微分方程.
2．要求考生熟练掌握常系数线性微分方程的解法.
四、线性微分方程组
1．要求考生理解线性微分方程组的一般理论,并熟练用常数变易法求解微分方程组.
2.要求考生熟练掌握常系数线性微分方程组的解法.
五非线性微分方程和稳定性
1. 要求考生了解按线性近似微分方程组的稳定性,并会求方程组奇点的类型.
2. 要求考生熟练掌握李雅普诺夫第二方法判断线性微分方程的稳定性.
考试总分：75分考试时间：1.5小时考试方式：笔试
考试题型：计算题（60分）
证明题（15分）
参考书目：
主要参考书：
1、常微分方程王高雄、周之铭等著，高等教育出版社，1983年。

常微分方程考试大纲Ⅰ. 课程性质本课程是高等师范院校数学与应用数学专业和信息与计算科学专业的一门重要的核心基础课，是进一步学习泛函分析、数学物理方程、微分几何的必要准备，本身在工程力学、流体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化工，生物、医学、经济、管理等领域有广泛的应用。

通过本课程的学习，不仅为后续课程打下基础，而且以穿插其中的在历史上成功利用微分方程解释实际现象的著名范例来培养学生用数学理论解决实际问题的意识和初步能力。

是数学系数学与应用数学、信息与计算科学两个本科专业的必修课。

Ⅱ. 课程设置目的与要求通过常微分方程的教学，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和基本方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的了解，培养学生分析问题和解决问题的能力，为学生学习数学的其它课程和物理学等有关课程打下基础，从而有助于学生胜任中学数学教学，为实施素质教育提供建模思想方面的训练和准备。

Ⅲ. 课程内容与考核目标第一章 绪论（一）学习目的和要求通过本章的学习，掌握从实际问题建立常微分方程模型的基本过程和常用方法，理解初值条件的实际含义。

掌握微分方程的基本概念，特别是解、通解、初值问题、特解等概念及其关系。

理解一阶常微分方程的积分曲线与方向场之间的关系，并初步了解其中所包含的定性思想。

（二）课程主要内容1．微分方程：某些物理过程的数学模型2．基本概念（1）常微分方程和偏微分方程。

（2）线性和非线性。

（3）解和隐式解。

（4）通解和特解。

（5）积分曲线和方向场。

（三）考核知识点1．微分方程的数学模型。

2．微分方程的基本概念。

（四）考核要求1．微分方程：某些物理过程的数学模型（1）理解：微分方程的数学模型。

2．基本概念（1）理解：微分方程的基本概念。

第二章 一阶微分方程的初等解法（一）学习目的和要求通过本章的学习，掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法。

**大学研究生入学考试
《常微分方程》考试大纲
一、本考试科目简介：
常微分方程是研究微分方程求解的基本理论和基本方法的数学学科，是数学、信息及理力专业本科生的专业基础必修课。

通过本课程教学，应使学生掌握一些常见微分方程的求解方法，能够做到将理论知识与实际问题相结合。

二、考试内容及具体要求：
第一章绪论
理解如何用微分方程解决实际问题；了解积分曲线和方向场概念；掌握常微分方程定义, 阶数, 线性和非线性, 解和隐式解，通解和特解，方程和方程组，定解条件和定解问题，驻定和非驻定，动力系统的概念。

第二章一阶微分方程的初等解法
掌握变量分离方程的解法，掌握可化为变量分离方程类型的解法，理解齐次、非齐次概念，熟练掌握线性方程的常数变易法，掌握解恰当方程的积分因子法，理解一阶隐方程和贝努利方程的解法。

第三章一阶微分方程的解的存在定理
掌握Picard逐步逼近方法，理解解的存在唯一性定理，了解解的延拓，连续性，可微性，唯一性。

第四章高阶微分方程
熟悉线性微分方程的一般理论，会用常数变易法解非齐线性方程，掌握常系数线性方程的解法（会区分齐次与非齐次方程解之间的关系），了解拉普拉斯变换法，理解高阶方程的降阶和幂级数解法。

第五章线性微分方程组
了解存在唯一性定理，线性微分方程组的一般理论，掌握Picard逼近方法，基解矩阵的求法，非齐线性微分方程组的常数变易公式。

第六章非线性微分方程
掌握零解的几种稳定性概念，会区分在不同条件下的稳定性态，了解稳定性的基本思想，理解其思想方法以及与其他课程之间的关系。

三、参考书目
王高雄等编，《常微分方程》，高等教育出版社。

贵州大学理学院硕士研究生《常微分方程》考试大纲一、适用范围本考试大纲适用于本学院《数学》一级学科硕士研究生入学考试复试的专业考试。

二、考试内容及要求1. 绪论：常微分方程的基本概念，要求熟练掌握常微分方程的阶数、线性与非线性、通解与特解的基本概念。

2. 一阶常微分方程的初等解法：包括变量分离方程与变量变换，线性微分方程与常数变易法，恰当微分方程与积分因子和一阶隐式微分方程与参数表示四个部分内容。

要求熟练掌握变量分离方程、可化为变量分离方程、线性非齐次微分方程、伯努利方程、恰当微分方程与积分因子以及一阶隐式微分方程的求解方法。

3. 一阶常微分方程的解的存在性定理：包括解的存在唯一性定理与逐步逼近法，解的延拓，解对初值的连续性和可微性和奇解四个部分内容，要求熟练掌握解的存在唯一性定理、逐步逼近法及其应用，充分理解解的延拓、解对初值的连续性和可微性定理，会判断奇解。

4. 高阶常微分方程：包括线性微分方程的一般理论，常系数齐次线性微分方程的解法和欧拉方程，非齐次线性微分方程常数变易法与拉普拉斯变换法，高阶常微分方程的降阶解法和幂级数解法四个部分内容，要求熟练掌握线性微分方程的一般理论、常系数齐次线性微分方程的解法、非齐次线性微分方程的解法，理解高阶微分方程降阶和幂级数解法。

5. 线性微分方程组：包括线性微分方程组的基本概念和一般理论，常系数线性微分方程组的解法与矩阵指数，基解矩阵的计算几个部分内容，要求熟练掌握线性微分方程组的一般理论、常系数线性微分方程组的解法与矩阵指数、基解矩阵的计算。

三、考试题型结构1、题型比例：填空20%，计算60%，证明20%。

2、试题难易度：基础题约35%，中等题约50%，较难题约15%。

四、考试形式及用时考试形式为闭卷笔试，考试时间为120分钟。

五、参考书目王高雄等，《常微分方程》（第三版），高等教育出版社，2006年7月。

《线性代数与常微分方程》考试大纲线性代数部分（50%）本课程主要是使学生掌握多项式、行列式、线性方程组、矩阵基本理论、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间等基本概念，熟悉基本内容，掌握各部分之间的联系，对基本理论的内涵有一定的了解。

在学习过程中，应当理论联系实际，避免单一的理论推导，增加学生学习的积极性和兴趣。

学习过程中应重点掌握以下内容：多项式的互素与整除、行列式的计算方法、线性方程组的解法、矩阵的运算与矩阵求逆、二次型的标准化方法、子空间的直和、特征值和特征向量、不变因子和初等因子、标准正交基和正交变换等。

1. 多项式（1）掌握一元多项式的基本概念及其运算。

（2）熟练掌握一元多项式的整除，最大公因子，互素的概念，性质及有关的证明。

（3）掌握不可约多项式的概念，性质，理解因式分解定理的意义，掌握复数域，实数域上的多项式的标准分解式及复数域，实数域上不可约多项式（4）知道艾森斯坦因判别法，会求Q[x]中的多项式的有理根。

2.行列式（1）正确理解行列式的定义和基本性质。

（2）熟练掌握计算行列式的一些常用方法。

（3）正确理解克莱姆法则并能用它解线性方程组。

3.线性方程组（1）掌握线性方程组的有关概念，能熟练地运用消元法解线性方程组。

（2）正确理解向量组的线性相关性，向量组的极大线性无关组和向量组的秩的定义及意义。

（3）深刻理解矩阵秩的定义，掌握初等变换下的矩阵的标准形，会用矩阵的初等变换求矩阵的秩。

（4）正确理解线性方程组有解的条件，并能正确地判定一个线性方程组是否有解及解的个数。

（5）熟练掌握线性方程组解的结构定理。

4. 矩阵(1) 正确理解和掌握有关矩阵的主要概念，熟练和准确地进行矩阵的基本运算。

(2) 会判定一个矩阵是否可逆，会求逆矩阵。

(3) 熟练掌握初等变换与初等矩阵，可逆矩阵与初等矩阵的关系，矩阵在等价意义下的标准形，会运用标准形解决矩阵中的一些问题，特别是关于矩阵秩的问题。

5. 二次型（1）掌握二次型的概念，理解二次型与对称矩阵的关系。

《常微分方程》考试大纲课程编号：10810094英文课程名称：Ordinary Differential Equation适用专业：应用数学、运筹学与控制一、课程的性质和目的《常微分方程》课程是数学、信息与计算科学专业本科生必修的一门主干课程。

《常微分方程》已成为研究自然现象的强有力工具。

在力学、天文学、物理学及工程技术中，应用微分方程的理论和方法，已经取得了巨大的成就。

《常微分方程》理论知识是理工科学生必备的数学专业基础知识，它在培养数学及信息与计算科学的专门人才的过程中具有重要的课程地位；本课程旨在培养学生的微分方程的基础知识与方法，并为运用微分方程解决相关的实际问题打下坚实的理论基础。

本课程主要任务为：1．教授求解常微分方程的常用方法；2．培养学生关于常微分方程的一般理论；3．培养学生运用常微分方程解决实际问题的能力，为后继课程的学习打下坚实的理论基础。

第一章：绪论1．熟练掌握物理过程的数学建模；2．熟练掌握微分方程的基本概念；第二章：一阶微分方程的初等解法1．熟练掌握变量可分离方程及可化为变量可分离方程的求解；2．熟练掌握线性方程的概念及常数变易法的使用；3．熟练掌握恰当方程的判定，掌握积分因子的计算；4．熟练掌握一阶隐方程的求解及参数表示；第三章：一阶微分方程解的存在定理1．熟悉、理解解的存在唯一性定理的证明与简单应用；2．熟悉、理解解的延拓定理的证明与简单应用；3．理解解对初值的连续性和可微性定理的证明与简单应用；4．熟悉、理解包络和奇解的概念，会求解可莱罗(Clairaut)方程；第四章：高阶微分方程1．熟悉齐次线性方程的解的性质与结构，熟练掌握非齐次线性方程与常数变易法；2．熟练掌握常系数线性方程的解法与应用；包括：常系数齐次线性方程和欧拉方程，非齐次线性方程、会用比较系数法与拉普拉斯(Laplace)变换法求解线性方程；3．熟练掌握一些可降阶的方程的求解；第五章：线性微分方程组1．理解线性微分方程组存在唯一性定理；2．理解线性微分方程组的一般理论；3．理解矩阵指数expA的定义和性质，掌握基解矩阵的计算公式；会应用拉普拉斯变换解线性微分方程组；第六章：非线性微分方程和稳定性1．会分析线性系统与简单的非线性系统的平衡点（奇点）及极限环的稳定性；2．会按线性近似确定微分方程组的稳定性，Lyapunov第二方法；参考书1．《常微分方程》（第三版），王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松编，高等教育出版社，2007年；2．《常微分方程》[俄] V.I 阿诺尔德著，科学出版社，2001。

《常微分方程》(B)自学考试大纲课程代码：8488目录一、课程性质与设置目的二、课程内容与考核内容第一章绪论§1.1 常微分方程模型§1.2 基本概念1.2.1 常微分方程基本概念第二章一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1 变量分离方程2.1.2 可化为变量分离方程的类型§2.2 线性方程与常数变易法§2.3 恰当方程与积分因子2.3.1 恰当方程2.3.2 积分因子§2.4 一阶隐方程与参数表示2.4.1 可以解出y（或x）的方程2.4.2 不显含y（或x）的方程第三章一阶微分方程的解的存在定理§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1 存在唯一性定理3.1.2 近似计算与误差估计§3.2解的延拓第四章高阶微分方程§4.1. 线性微分方程的一般理论4.1.1 引言4.1.2 齐次线性微分方程的解的性质与结构4.1.3 非齐次线性微分方程与常数变易法§4.2 常系数线性方程的解法4.2.1 复值函数与复值解4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程4.2.3 非齐次线性微分方程，比较系数法§4.3 高阶方程的降阶解法4.3.1 可降阶的一些方程的类型第五章线性微分方程组§5.1 存在唯一性定理§5.2. 线性微分方程组的一般理论5.2.1 齐次线性微分方程组5.2.2 非齐次线性微分方程组§5.3 常系数线性微分方程组5.3.1 矩阵指数Aexp的定义5.3.2基解矩阵的计算公式三、有关说明和实施要求附录：题型举例一、课程性质与设置目的：常微分方程是数学的一个重要分支，是数学和实际相联系的重要渠道之一，它是和微积分同时产生和发展的。

现代科学技术和数学各分支的发展，为常微分方程提供了众多的数学摸型、研究方法和广阔的应用领域，使得常微分方程的理论日益丰富多彩，富有生命力。