34金属圆波导

Zc
TEM D ln 2 d
或 Z c 60
D ln d
（3.5.7）
16
3.5.2 同轴线中的TE波和TM波
求解同轴线中的TE波和TM波的方法和圆波导中的求解思路相似，但在同轴线 中多了内导体的边界条件，因而它的解也变得更复杂。设代表同轴线中的Ez（TM 波）或Hz（TE波），有： r,, z R r e jkz z （3.5.8）
TE0i模的导行条件：J’=0,TM1i模的导行条件：J1=0
9
3.4.2 圆波导中的力线图
四类力线图：TEni(n≠0), TMni(n≠0) , TE0i, TM0i.
沿R方向
图3.14 适用与波导的假想的无界力线示意图 (a)TE1i以及TE12 (b)TM1i以及TM11 (c) TE2i以及TE22 (d)TM2i以及TM21
式中，Jn（u）是n阶贝塞尔函数，Nn(u)是诺埃曼函数。
图3.11 特殊函数曲线 （a）0阶、1阶、2阶贝塞尔函数 （b） 0阶、1阶、2阶贝塞尔导函数 （c） 0阶、1阶、2阶诺埃曼函数
2
下面列出若干对我们有用的贝塞尔函数和诺埃曼函数的性质：
J 0 0 1
J n 0 0
Nn 0
DJn kc r cos n e jk z
z
(3.4.12)
3

TE波 ＝Hz，常数D记作Hni，那么
在圆波导内壁r＝R处，Hz所满足的边界条件为：
Hz Hni Jn kc r cos n e jkz z
H z r 0
rR
（3.4.13） (3.4.14)

2 n J n u cos u u 4 2 2 n N n (u ) sin u u 4 2
u 2 j (1) 4 2 H n u e u u 2 j (2) 4 2 H n u e u
10
图3.15 圆波导中TE02模和TM02模（横截面）
(a) TE02
(b)TM02
11
3.4.3 圆波导的色散方程
矩形波导中的kc可以分解为x和y分量，但是圆波导中的kc不能分解 成r和φ 分量。圆波导的色散方程同样是 (3.4.24) k2 k k2
z c
用圆波导的半径乘以色散方程两端，得
其中
C cos n
d 2R dR 2 2 u u ( u n )R 0 2 du du
2
（3.5.9）
令u=kcr,则R(u)满足圆柱坐标下的贝塞尔方程
为了在同轴线的边界条件下求解贝塞尔方程，介绍一下当u 曼函数、汉克尔函数的性质。 u ∞ 时，有
∞时贝塞尔函数、诺埃
17
n

n
第一类n阶汉克尔函数
H n(1) u J n (u ) jN n (u ) H n(2) u J n (u ) jN n (u )
第二类n阶汉克尔函数
Hn(1)(u) 和Hn(2)(u)分别表示内向收缩（向-r传播）和外向扩展（向+r传播）的柱面波。 同轴线存在着内外导体，可以想象在内外导体之间同时存在内向收缩和外向扩展的柱 面波。R(u)可写成第一和第二类汉克尔函数的线性组合，也可写成贝塞尔函数与诺埃 曼函数的线性组合，取后一种有
5

TM波 ＝Ez，常数D记作Eni，那么
Ez Eni J n kc r cos n e jkz z
在圆波导内壁r＝R处，Ez所满足的边界条件为
(3.4.19)
Ez
J n kc R 0
r R
0
(3.4.20)
这是圆波导中TM波的导行条件。各阶贝赛尔函数的根uni与临界波数kc（ni）、 临界波长λ c（ni）的关系为
12
图3.16 圆波导的k图
图3.17 圆波导的kzR-kR图
13
3.5
同轴线与平行双线
同轴线与平行双线都是双导体系统，可以传输TEM波，其临界波数kc＝0， 故在低端，同轴线可工作在较低的频率，直到直流；而在高端，同轴线工 作频率可高达几十吉赫兹（GHz），平行双线仅为几百兆赫兹（MHz），前 者主要受限于导体损耗，后者主要受限于辐射损耗。
kc称为临界波数，式（3.4.3）称为色散方程。
图3.10 圆波导的圆柱坐标系
1
采用分离变量法，令
求得：
(r,, z) R(r )( )e jk z
z
( ) C cos n 0
R u B1Jn u B2 Nn u
(3.4.5) (3.4.6) 单值性条件：n=1,2,„,0任意 (3.4.7)
c（ni)的值
jk z Er Eni J n kc r cos n kc jk E 2 z Eni J n kc r sin n kc r
kz H Er kz Hr E
(3.4.23)
n表示纵向点场Ez在0≤﹤2内沿变化的周期数，i表示纵向电场在0﹤r≤R范围 内零点的数目， 不包括r=0点。
3.5.1 同轴线中的TEM波
同轴线按其结构可分为两种：硬同轴线，其外导体 是一根铜管，内导体是一根铜棒、铜线或铜管， 硬铜轴线可以填充低损耗介质，如聚四氟乙烯， 也可以不填充介质；同轴电缆，内导体是单根 或多根导线，外导体由金属丝编织而成， 内导体之间充以低损耗介质如聚乙烯， 为了保护外导体再套一层介质保护。 同轴线的几何示意图如图3.18所示。
uni kc ni R 2 R c ni
园柱坐标系下横向电磁场与纵向电场的关系：
(3.4.21)
ET
jkz Ez 1 Ez ˆ ˆ r 2 k r r 1c ˆ ET HT z TM
(3.4.22)
6
表 3.2
TMni模的uni和λ
图3.18 同轴线几何示意图
14
同轴线是多导体系统，因为可以传输TEM波。TEM波的位函数ψ 满足二维 拉普拉斯方程，在圆柱坐标中二维拉普拉斯方程的具体形式为
1 ＝ r r r r
2 T
2 1 ＝0 ＋ 2 2 r
（3.5.1）
内外导体表面是两个等位面，分别记作1和2。设ψ 沿φ 方向无变化， 即 ＝0 ，则： 1 （3.5.2） r ＝0 r r r 设a是外导体的内表面的半径，在r＝a处，＝2；设b是内导体的外表面的 半径，在r＝b处，ψ ＝ψ 1。ψ 1与ψ 2之差记作电压V，则：
3.4
波动方程
1 r r r r
金属圆波导(3.4.1)来自2 2 1 2 k 2 0 2 z r
圆柱坐标系如图3.10所示；k是自由空间波数；对于TE波，代表Hz分量，对 于TM波，代表Ez分量。R是圆波导的内壁的半径。
H z n 0
jkz H z 1 H z ˆ ˆ HT 2 r kc r r
ˆ ET TE HT z
(3.4.17)
4
表 3.1 TEni模的vni和λ
c（ni)的值
jk z Hr H ni J n kc r cos n e jkz z kc
由上式得：
（3.4.15） 这是圆波导中的TE波的导行条件。各阶贝塞尔函数的导函数的 根ni与临界波数kc（ni）和临界波长λ c（ni）的关系为
J n kc R 0
vni kc ni R 2 R cni
园柱坐标系下横向电磁场与纵向磁场的关系：
(3.4.16)
rR
Ez
r R
0
(3.4.2)
假设波沿+z方向传播，exp(-jkzz),对z的二次偏导数可用(-kz2) 取代，并 令： k 2 kz2 kc2 （3.4.3） 则
1 r r r r
2 2 1 kc 0 （3.4.4） 2 2 r
同轴线中的传输功率
1 V 2 * P＝ ET H T ds a 2s TEM ln( ) b
（3.5.5）
ˆ H zdl ˆ 同轴线内导体的电流 I＝ n
L
2V
a TEM ln( ) b
e jkz
（3.5.6）
同轴线的特性阻抗ZC
kR kc R k z R 或
2 2 2
k z R kR kc R
2 2
2
(3.4.25)
上两式对应了两种形式的k图。左式对应的k图，横坐标为kcR，纵 坐标为kzR。色散方程乘以R的好处是kcR只取一系列离散的值，如表 3.2和表3.1所示，这些值即为贝塞尔函数的根uni和贝塞尔导函数的根vni。 当给定工作频率和圆波导的半径后kR圆就完全确定了。若uni和vni落在 kR圆内，那么相应的模便是可以传播的模；若uni和vni落在kR圆外面， 与其相应得模便是截止的模。图3.17是与右式对应的图，横坐标为kR， 纵坐标为kzR。当kzR＝0时，即临界状态时，kR＝kcR＝uni或kR＝kcR ＝vni，图中的曲线为双曲线，但只画出了一半，每一条双曲线对应于 一个kcR的值。这些曲线以kzR＝kR直线为渐近线。
7
H
E
图 3.12 圆波导TE11、TE01 、TM11和TM01模的力线图以及各种参数
8
TE11模 是圆波导中的最低模,c(ni)=3.41R最大。TE11模的电场具有一定的极化方向，任 意极化方向的电场，总可以分解成两个正交极化电场， 0=0,/2,如图3.13所示。 如果将这两个正交极化的TE11模看作两个模，他们对应着同一个临界波数kc（11）， 这种现象称作极化简并。形成两个独立信道，频率再用。 TM01模 n=0,场沿向无变化，无极化简并现象。磁 ˆ H 可知电流只有z 场只有分量，由 J S n 分量。TM01模具有较强的纵向电场分量。 传导电流在圆波导的内壁，位移电流相 对集中在圆波导的中心，也是沿z方向。 图3.13 圆波导中的TE11模的极化简并 TE01模 n=0,场沿向无变化，无极化简并现象。波导壁附近的磁场只有z分量，壁电 流只有分量。TE01模的损耗比较小。 TM11模 不但有极化简并，而且有一般的模式简并。n≠0,有极化简并。TM11模和TE01模 的临界波数kc相等，故TE01和TM11模为简并模。事实上，TE0i和TM1i也是简并模。