高斯小学奥数含答案二年级(下)第10讲 平面图形认知

第十讲 图形变换前续知识点：二年级第一讲；XX 模块第X 讲 后续知识点：X 年级第X 讲；XX 模块第X 讲把里面的人物换成相应红字标明的人物．卡莉娅萱萱卡莉娅 萱萱萱萱卡莉娅卡莉娅萱萱萱萱图形变换是一种重要的数学思想，包含图形的平移和旋转，这在大家的生活中并不陌生，那么我们从生活中的直观实例入手，感知平移和旋转的运动特征，然后通过观察思考、操作验证的学习方法掌握平移的方法，为今后学习平行线和推导基本平面图形面积的计算公式等几何知识做铺垫．【提示】找一找房子的墙角平移前后有什么变化吧！图形平移变换时，图形的大小、形状和方向不变；位置变化．在表格里填空．在表格里填空．例题1 向右平移7格向下平移6格向 平移 格向 平移 格 练习1【提示】最后结果是4个图形吗？如图所示，数对（↓5，→4）表示把中心的图形先向下平移5格，再向右平移4格．请画出数对（↑4，→6）和（↓5，←7）分别对应的图形．例题2平移后的图形对应的数对是哪个？A ．（↓4，→11）B ．（↓7，→14）C ．（→11，↓7）D ．（→12，↓4）下面这些现象都是旋转．图形旋转变换时，图形的大小、形状不变；位置和方向变化．【提示】图形的4个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢？你能按照下图的规律，画出第4个图形吗？例题3平移后练习2下图旋转后，能得到选项中的哪个图？【提示】找找最便捷的移动路径！笑脸“ ”按照 ……这样的规律在下图方格中移动，并且只能向右或者向下移动到相邻的方格中，那么当“ ”移动到“？”处是什么样子呢？例题4？A B C D练习3【提示】不仅可以平移，还可以旋转哦！注意小鱼身体上的颜色．观察下图，判断从前面到后面每次发生了怎样的变化，发生平移的在“→”上的括号中写“①”，发生旋转的在“→”上的括号中写“②”．例题6观察下图，在可以经过平移和旋转到A 位置的小鱼下面的括号中画“√”．例题5A （ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）练习4图形“ ”依照 ……的规律在下图方格中移动，并且只能向下或者向右移动到相邻的方格中，那么当“ ”移动到“？”处是什么样子呢？？（）（）（）（）【提示】根据平移和旋转的特点判断．课堂内外摩天轮摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客乘搭的座舱．乘客坐在摩天轮慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．最常见到摩天轮存在的场合是游乐园（或主题公园）与园游会，作为一种游乐场机动游戏，与云霄飞车、旋转木马合称是“乐园三宝”．但摩天轮也经常单独存在于其他的场合，通常被用来作为展会活动的观景台使用．世界上著名的摩天轮英航“伦敦眼”，坐落于泰晤士河畔，距地面总高达135公尺．位于日本福冈的“天空之梦福冈”，是座轮身直径112公尺、离地面总高120公尺的摩天轮．该项目的设计方，是曾经设计英国观景摩天轮“伦敦眼”的荷兰艾维公司．作业1.在表格里填空．2.平移后的图形对应的数对是（）．A．（↑8，→10）B．（→18，↑8）C．（→14，↑4）D．（↑4，→10）3.下图绕田字格中心旋转之后，能得到选项中的哪个图？（）4.……的规律在下图方格中移动，并且只能向下A B C D5.把可以通过平移和旋转到A位置的燕子圈出来．A？第十讲图形变换1.例题1答案：如图所示：详解：房子在平移时，整体都在移动，找出房子墙角的一点作为关键点，注意平移前后大小、形状、方向不发生变化，并画出平移的轨迹．2.例题2答案：如图所示：详解：找关键点，注意图形大小、形状、方向不发生改变，只有位置发生改变．数对是表示把图形往两个方向平移，先把中心的图形中的3个顶点标出，然后分别把这3个点按照数对的方向平移，最后用直线连接3个点组成图形．3.例题3答案：如图所示：详解：找准图形的关键点和关键线，依次进行旋转，之后再连接画出完整的图形．注意旋转后图形大小、形状不变，位置、方向改变．4.例题4详解：“笑脸”是按照逆时针方向进行旋转，再进行移动，注意题中要求只能向右或者向下移动，所以先找出便捷的移动路径，就是向右直走或向下直走．5. 例题5答案：如图所示：详解：先观察A1条可以经过平移到A 位置，其余2条都是旋转加平移到A 位置．6. 例题6答案：如图所示：详解：根据平移和旋转的特点判断．平移：大小、形状、方向不变，位置变．旋转：大小、形状不变，方向、位置变．旋转方向可分为顺时针和逆时针方向旋转．7. 练习1答案：如图所示：（ ② ）简答：图形在平移时，整体都在移动，找出图形的一点作为关键点，注意平移前后大小、形状、方向不发生变化，并画出平移的轨迹．8.练习2答案：A简答：找关键点，注意图形大小、形状、方向不发生改变，只有位置发生改变．数对是表示把图形往两个方向平移，先把图形中的1个顶点标出，然后把这1个点按照数对的方向平移，画出平移的轨迹，可知图形是向下平移4格，向右平移11格．所以选择A．9.练习3答案：B简答：图中长条颜色不同，最下面是绿色，再橘黄色，最上面是蓝色．所以旋转之后图形颜色先后顺序不能改变．10. 练习4简答：以先找出便捷的移动路径，就是向右直走或向下直走．11. 作业1答案：向上平移6格；向右平移12格简答：从关键点入手，根据关键点的移动推测图形的移动．12. 作业2答案：C简答：在观察图形平移的距离时，要找平移前后的图形相同位置之间的距离．本题可以看箭头最下面的顶点与向上平移后箭头最下面顶点间的距离，可以看出是4格，判断向右平移时方法一致．13. 作业3答案：C简答：本题的关键点在于审题，题目要求是绕田字格中心旋转，需要注意平行四边形中直线的对应．平行四边形绕田字格中心位置旋转时，顶点一直在田字格的中心上，所以综合考虑下来只有答案C 满足要求．14. 作业4简答：所以先找出便捷的移动路径，就是向右直走或向下直走．？15.作业5答案：如图所示：A简答：平移只改变图形位置，不改变图形方向、大小；旋转只改变图形方向、位置，而不改变图形大小．观察可知只有1只小鸟可以平移到A小鸟的位置，有2只可以旋转加平移到A小鸟的位置．。

第十三讲立体图形认知前续知识点：二年级第一讲；XX模块第X讲后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲有什么可抢的啊，不都一样吗！我的只有1面有草莓果酱！我的3面都有草莓果酱哦！我的2面有草莓果酱呢！为什么我的没有果酱呢？哈哈哈……你不是说都一样的嘛！我来给大家分草莓果酱蛋糕啦！这个大蛋糕的6个面都涂了草莓果酱。

现在切好啦，你们来拿吧！我要 这块！小高萱萱卡莉娅阿呆阿瓜卡莉娅阿呆墨莫阿呆阿呆小高萱萱我要 这块！【图中的蛋糕必须是正方体，切完之后也必须是小正方体．并且每块蛋糕的颜色都不要变化．把里面的人物换成相应红字标明的人物，把打“×”的去掉．】本讲我们介绍了一些平面图形，下面我们来学习立体图形．立体图形包括有长方体、正方体、球体、圆柱体等，我们一起来认识一下吧！例题1观察下面的立体图形，它们分别有几个顶点？几个面？几条棱？【提示】按顺序数一数．练习1观察下面的立体图形，它们分别有几个顶点？几个面？几条棱？立方体，又叫正方体，它由6个完全相同的正方形表面围成．一个正方体，不论怎么翻转，它与翻转前的样子看上去都是一样的．当然，如果正方体的表面涂了不同的颜色或是画了不同的花纹，那么翻转之后就会有所变化，能够判断出一个正方体翻转后的状态是非常重要的．一个正方体往一个方向翻滚几次之后会回到原来的状态呢？试试看！例题2图1 图2 图3 图4图1 图2 图3图4一个正方体木块的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母．其中A与D 相对，B与E相对，C与F相对．现在将木块标有字母A的那个面朝上，标有字母D的那个面朝下放在第1个方格内．然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到第17格时，木块朝上的面上写的是哪个字母？【提示】这个正方体木块沿着一个方向滚动几下能还原呢？练习2一个正方体木块的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母．其中A与D相对，B与E相对，C与F相对．现在将木块标有字母A的那个面朝上，标有字母D的那个面朝下放在第1个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动．当木块滚回原地时，木块朝上的面上写的是哪个字母？正方体有6个面，任意一个面都有4个面与它相邻，有1个面与它相对．当把多个完全相同的正方体堆叠在一起，我们要注意正方体上的每个面的相邻面都有哪些．例题3在正方体的六个面上分别涂上“红”、“黄”、“白”、“黑”、“蓝”、“绿”六种颜色．现有涂色方式完全一样的四个正方体，如下图拼成一个长方体．问涂“红”、“黄”、“白”的三个面各与涂什么颜色的面相对？【提示】正方体的每个面都会有4个邻面和1个对面，要找到1个面的对面，先把它的邻面找全吧．练习3一个正方体的六个面上分别写着A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母．根据下列摆放的三种情况，哪两个字母是相对的？先把一个大正方体的6个面染色，再切成若干个小正方体，那么不同位置的小立方体染色面数不同．我们可以把这些小立方体进行分类：没有染色的、1面染色的、2面染色的、3面染色的等，然后再分别进行计数．例题4一个棱长为4厘米立方体，将其六个面都涂满红漆，然后把它锯成棱长为1厘米的小立方体．那么在这些小立方体中： （1） 只有3面涂上红色的有几块？ （2） 只有2面涂上红色的有几块？ （3） 只有1面涂上红色的有几块？ （4） 没有涂色的有几块？【提示】在角上的小正方体有几面涂红色？在棱上的小正方体有几面涂红色？在面上的小正方体有几面涂红色？没有涂色的小正方体在哪里？练习4一个棱长为5厘米立方体，将其六个面都涂满红漆，然后把它锯成棱长为1厘米的小立方体．那么在这些小立方体中：（1）只有3面涂上红色的有几块？（2）只有2面涂上红色的有几块？（3）只有1面涂上红色的有几块？（4）没有涂色的有几块？例题5一个长、宽、高分别为6厘米、5厘米、4厘米的长方体，将其六个面都涂满红漆，然后把它锯成棱长为1厘米的小立方体．那么在这些小立方体中：（1）只有3面涂上红色的有几块？（2）只有2面涂上红色的有几块？（3）只有1面涂上红色的有几块？（4）没有涂色的有几块？【提示】每条棱、每个面上的小正方体的个数是不同的．例题6现有五个完全相同的正方体摆成一排，它们的6个面上分别标着数量是1、2、3、4、5、6的圆点。

小学数学平面图形计算公式： 1 、正方形：周长＝边长×4；面积=边长×边长 2 、正方体：表面积=棱长×棱长×6；体积=棱长×棱长×棱长 3 、长方形：周长=(长+宽)×2；面积=长×宽 4 、长方体：表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2；体积=长×宽×高 5、 三角形：面积=底×高÷2 6 平行四边形：面积=底×高 7 梯形：面积=(上底+下底)×高÷2模块一、基本公式的应用【例 1】 如图，两个正方形边长分别是5厘米和4厘米，图中阴影部分为重叠部分。

则两个正方形的空白部分的面积相差多少平方厘米？【考点】基本图形的面积计算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第9题，10分 【解析】 5×5－4×4=9（平方厘米），两个正方形的空白部分的面积相差9平方厘米。

【答案】9平方厘米【巩固】 如图12，边长为4cm 的正方形将边长为3cm 的正方形遮住了一部分，则空白部分的面积的差等于 2cm 。

【考点】基本图形的面积计算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，19题 【解析】 空白部分的面积差等于两个正方形的面积差，即⨯-⨯=44337（平方厘米）。

【答案】7平方厘米【例 2】 在一个正方形水池的四周，环绕着一条宽2米的路(如图)，这条路的面积是120平方米，那么水池的面积是______ 平方米。

水池【考点】基本图形的面积计算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，19题 【解析】 四个边角的面积和为2×2×4=16，则水池的边长为：104÷2÷4=13，所以水池的面积是：13×13=169平方米。

小学三年级奥数精品讲义目录第一讲加减法的巧算（一）第二讲加减法的巧算（二）第三讲乘法的巧算第四讲配对求和第五讲找简单的数列规律第六讲图形的排列规律第七讲数图形第八讲分类枚举第九讲填符号组算式第十讲填数游戏第十一讲算式谜（一）第十二讲算式谜（二）第十三讲火柴棒游戏（一）第十四讲火柴棒游戏（二）第十五讲从数量的变化中找规律第十六讲数阵中的规律第十七讲时间与日期第十八讲推理第十九讲循环第二十讲最大和最小第二十一讲最短路线第二十二讲图形的分与合第二十三讲格点与面积第二十四讲一笔画第二十五讲移多补少与求平均数第二十六讲上楼梯与植树第二十七讲简单的倍数问题第二十八讲年龄问题第二十九讲鸡兔同笼问题第三十讲盈亏问题第三十一讲还原问题第三十二讲周长的计算第三十三讲等量代换第三十四讲一题多解第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。

选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。

台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。

由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。

观众的情绪也影响着两位分数统计者。

只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。

等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。

小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。

于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。

你可以试一试。

”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。

第一讲 统计前续知识点：二年级第一讲；XX 模块第X 讲 后续知识点：X 年级第X 讲；XX 模块第X 讲明天我们去郊游，我帮大家准备饮料！可选的饮料有可乐、雪碧、奶茶、果汁，现在每人选一种自己喜欢的饮料告诉我吧！卡莉娅小高 萱萱 阿瓜阿呆墨莫墨莫卡莉娅阿瓜萱萱阿呆小高 小高 小高小高把里面的人物换成相应红字标明的人物．小山羊在卡莉娅的衣兜里，其余的人用灰色小人儿表示．例题1下面是某个风景区今年11月份和12月份天气情况统计表．请你将两个统计表合并成一个复式统计表，并回答问题．11月份天气情况统计表12月份天气情况统计表11、12月份天气情况统计表（2）11月份的阴天和雪天共（）天，12月份的雪天比11月份的雪天少（）天．（3）11月份有（）天，12月份有（）天，12月份比11月份多（）天．【提示】先认识表格，了解某一行、某一列对应的方格是什么意义．练习1下面是二（1）班小朋友最喜欢的一种体育项目的情况，请你根据统计后的数据完成统计表，并回答问题．喜欢跑步的：男生10人，女生10人；喜欢游泳的：男生15人，女生10人；喜欢跳绳的：男生3人，女生17人；喜欢踢球的：男生8人，女生3人．跑步游泳跳绳踢球男生（人）女生（人）合计（人）（1）男生喜欢（）的最多，喜欢（）的最少．（2）女生喜欢（）的最多，喜欢（）的最少．（3）二（1）班喜欢游泳的一共有（）人．例题2佳佳调查了二年级（1）、（2）、（3）班同学最喜欢的北京地区旅游景点．请你把表格填写完整，并回答问题．我知道二（2）班最喜欢长城的人数是二（1）班的一半，最喜欢故宫的人数是二（1）班的2倍；二（3）班最喜欢颐和园的人数是二（2）班的一半，最喜欢欢乐谷的人数比二（1）班少5人．故宫长城颐和园欢乐谷总计二（1）班（人） 6 10 5 15二（2）班（人）8 38二（3）班（人）7 9（1）二年级学生中，最喜欢故宫的共（）人．（2）二年级学生中，最喜欢长城的人数比最喜欢颐和园的多（）人．（3）二年级（）班的学生，最喜欢欢乐谷的人数最多．（4）二年级（）班的总人数最多．【提示】根据“二（2）班最喜欢长城的人数是二（1）班的一半”，你能知道二（2）班最喜欢长城的人数是多少吗？练习2学校准备为二年级合唱团的小朋友订购队服，有四种颜色可供选择：红色、白色、蓝色、紫色．东东对合唱团做了一个调查．请你帮他把表格填写完整，并回答问题．我知道喜欢白色的女生人数比男生多12人；喜欢蓝色的男生人数是女生的3倍。

第十讲图形变换前续知识点：二年级第一讲；XX模块第X讲后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲把里面的人物换成相应红字标明的人物.图形变换是一种重要的数学思想，包含图形的平移和旋转，这在大家的生活中并不陌生，那么我们从生活中的直观实例入手，感知平移和旋转的运动特征，然后通过观察思考、操作验证的学习方法掌握平移的方法，为今后学习平行线和推导基本平面图形面积的计算公式等几何知识做铺垫.例题1 在表格里填空.【提示】找一找房子的墙角平移前后有什么变化吧!图形平移变换时，图形的大小、形状和方向不变；位置变化.在表格里填空.例题2 如图所示，数对（J 5,宀4）表示把中心的图形先向下平移5格，再向右平移4格.请画出数对（f 4, f 6）和（J 5,・7）分别对应的图形.【提示】最后结果是4个图形吗?练习2平移后的图形对应的数对是哪个？'—' A. (J 4,—11) B. (J 7,—14) C. (― 11,；7) D. (― 12,；4) F面这些现象都是旋转.图形旋转变换时，图形的大小、形状不变；位置和方向变化.例题3你能按照下图的规律，画出第4个图形吗?【提示】图形的4个顶点中哪个点不变？还有哪些特殊的线呢?练习3下图旋转后，能得到选项中的哪个图?八八、八A UB UC D笑脸“”◎ ◎◎a例题4格中移动，并且只能向右或者向下移动到相邻的方格中，那么当“…”移动到“？”处是什么样子呢？【提示】找找最便捷的移动路径!应习b图形“▽”依照v <3 A O……的规律在下图方格中移动，并且只能向下或^习/者向右移动到相邻的方格中，那么当“g ”移动到“？”处是什么样子呢？111111 1 1 1 11 1 1 1 111111L ——1 1 1 1 1111111? ?例题5 观察下图，在可以经过平移和旋转到A位置的小鱼下面的括号中画“"”.【提示】不仅可以平移，还可以旋转哦！注意小鱼身体上的颜色.例题6观察下图，判断从前面到后面每次发生了怎样的变化，发生平移的在上的括号中写“①”，发生旋转的在上的括号中写“②” •【提示】根据平移和旋转的特点判断.摩天轮摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客乘搭的座舱.乘客坐在摩天轮慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色•最常见到摩天轮存在的场合是游乐园（或主题公园）与园游会，作为一种游乐场机动游戏，与云霄飞车、旋转木马合称是“乐园三宝”.但摩天轮也经常单独存在于其他的场合，通常被用来作为展会活动的观景台使用.世界上著名的摩天轮英航“伦敦眼”，坐落于泰晤士河畔，距地面总高达135公尺.位于日本福冈的“天空之梦福冈”，是座轮身直径112 公尺、离地面总高120公尺的摩天轮.该项目的设计方，是曾经设计英国观景摩天轮“伦敦眼”的荷兰艾维公司.作业1. 在表格里填空.2. 平移后的图形对应的数对是( ).A .(f 8, f 10) B. (f 18,f 8) C . (f 14 , f 4) D .(f 4,f 10)3. 下图绕田字格中心旋转之后，能得到选项中的哪个图？（）I AZL —」i! : ；耳 (i)A 4、平移多后或者向右移动到相邻的方格中，那么当——移动到“？”处是什么样子?4. 三角形△按照的规律在下图方格中移动，并且只能向下厂△•15.把可以通过平移和旋转到A位置的燕子圈出来.或者向右移动到相邻的方格中，那么当——移动到“？”处是什么样子?第十讲图形变换1. 例题1答案：如图所示:2. 例题2答案：如图所示:向下平移 6 格详解：房子在平移时,整体都在移动,找出房子墙角的一点作为关键点,注意平移前后大小、形 状、方向不发生变化,并画出平移的轨迹．2. 例题 2答案：如图所示：(T 4, — 6)（；5,・7）向 左 平移 8 格向 上 平移 5 格向右平移 7 格向下平移 6 格详解：房子在平移时，整体都在移动，找出房子墙角的一点作为关键点，注意平移前后大小、形 状、方向不发生变化，并画出平移的轨迹．2. 例题 2答案：如图所示：向 左 平移 8 格 向 上 平移 5 格向右平移 7 格(T 4, -6) (J 5,・7)向下平移 6 格详解：房子在平移时，整体都在移动，找出房子墙角的一点作为关键点，注意平移前后大小、形 状、方向不发生变化，并画出平移的轨迹．2. 例题 2答案：如图所示：向 左 平移 8 格 向 上 平移 5 格向右平移 7 格(T 4, -6) (J 5,・7)向下平移 6 格详解：房子在平移时,整体都在移动,找出房子墙角的一点作为关键点,注意平移前后大小、形 状、方向不发生变化,并画出平移的轨迹．2. 例题 2答案：如图所示：向 左 平移 8 格 向 上 平移 5 格向右平移 7 格T 4,—6) （；5,・7）向下平移 6 格详解：房子在平移时，整体都在移动，找出房子墙角的一点作为关键点，注意平移前后大小、形 状、方向不发生变化，并画出平移的轨迹．2. 例题 2答案：如图所示：向 左 平移 8 格 向 上 平移 5 格向右平移 7格第十讲图形变换1. 例题1答案：如图所示：T 4，-6)(J 5,・7)详解：找关键点,注意图形大小、形状、方向不发生改变,只有位置发生改变．数对是表示把图形往两个方向平移,先把中心的图形中的3 个顶点标出,然后分别把这3 个点按照数对的方向平。

第十三讲立体图形认知前续知识点：二年级第一讲；XX 模块第X 讲后续知识点：X 年级第X 讲；XX 模块第X 讲小我要这块!0/2我要卡莉娅这块!Vi我来给大家分草莓果酱蛋糕啦！这个大蛋糕的6个面都涂了草莓果酱。

现在切好啦，你们来拿吧！7"7我的3面都有草莓果酱哦！我的只有1面有草莓果酱！呆我的2面有草莓果酱呢！卡莉娅【图中的蛋糕必须是正方体，切完之后也必须是 小正方体•并且每块蛋糕的颜色都不要变化.把 里面的人物换成相应红字标明的人物，把打“X”的去掉.】本讲我们介绍了一些平面图形，下面我们来学习立体图形.立体图形包括有长方体、正方 体、球体、圆柱体等，我们一起来认识一下吧！例题1观察下面的立体图形，它们分别有几个顶点？几个面？几条棱?图1图2 图3 图4【提示】按顺序数一数.练习1观察下面的立体图形，它们分别有几个顶点？几个面？几条棱?立方体，又叫正方体，它由6个完全相同的正方形表面围成.一个正方体，不论怎么翻转, 它与翻转前的样子看上去都是一样的.当然，如果正方体的表面涂了不同的颜色或是画了不同 的花纹，那么翻转之后就会有所变化，能够判断出一个正方体翻转后的状态是非常重要的.一个正方体往一个方向翻滚几次之后会回到原来的状态呢？试试看！ 例题2图1图2一个正方体木块的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母.其中A与D 相对，B与E相对，C与F相对.现在将木块标有字母A的那个面朝上，标有字母D的那个面朝下放在第1个方格内.然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到第17格时，木块朝上的面上写的是哪个字母？【提示】这个正方体木块沿着一个方向滚动几下能还原呢?练习2 一个正方体木块的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母.其中A与D相对，B与E相对，C与F相对.现在将木块标有字母A的那个面朝上，标有字母D的那个面朝下放在第1个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动.当木块滚回原地时，木块朝上的面上写的是哪个字母?正方体有6个面，任意一个面都有4个面与它相邻，有1个面与它相对.当把多个完全相同的正方体堆叠在一起，我们要注意正方体上的每个面的相邻面都有哪些.例题3在正方体的六个面上分别涂上“红”、“黄”、“白”、“黑”、“蓝”、“绿”六种颜色.现有涂色方式完全一样的四个正方体，如下图拼成一个长方体.问涂“红”、“黄”、“白”的三个面各与涂什么颜色的面相对？/白/红/白/黄7黄蓝红黑八、、红/【提示】正方体的每个面都会有4个邻面和1个对面，要找到1个面的对面，先把它的邻面找全吧.练习3一个正方体的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母.根据下列摆放的三种情况，哪两个字母是相对的？先把一个大正方体的6个面染色，再切成若干个小正方体，那么不同位置的小立方体染色面数不同.我们可以把这些小立方体进行分类：没有染色的、1面染色的、2面染色的、3面染色的等，然后再分别进行计数.例题4一个棱长为4厘米立方体，将其六个面都涂满红漆，然后把它锯成棱长为1厘米的小立方体.那么在这些小立方体中：(1)只有3面涂上红色的有几块？(2)只有2面涂上红色的有几块？(3)只有1面涂上红色的有几块？(4)没有涂色的有几块？【提示】在角上的小正方体有几面涂红色？在棱上的小正方体有几面涂红色？在面上的小正方体有几面涂红色？没有涂色的小正方体在哪里？练习4一个棱长为5厘米立方体，将其六个面都涂满红漆，然后把它锯成棱长为1厘米的小立方体.那么在这些小立方体中：(1)只有3面涂上红色的有几块？(2)只有2面涂上红色的有几块？(3)只有1面涂上红色的有几块？(4)没有涂色的有几块？例题5一个长、宽、高分别为6厘米、5厘米、4厘米的长方体，将其六个面都涂满红漆，然后把它锯成棱长为1厘米的小立方体.那么在这些小立方体中：(1)只有3面涂上红色的有几块?(2)只有2面涂上红色的有几块?(3)只有1面涂上红色的有几块?(4)没有涂色的有几块？【提示】每条棱、每个面上的小正方体的个数是不同的.例题6现有五个完全相同的正方体摆成一排，它们的6个面上分别标着数量是1、2、3、4、5、6的圆点这五个正方体底面的点数之和是多少？■•V«-*«•** *V +»*【提示】先判断出哪两个点数是相对的.课堂内外四面折纸古往今来，不可能的图形(即自相矛盾的图形)刺激着艺术家、数学家们的想象力，早期的不可能图形大概是由于艺术家们错误的透视画法所造成，也有的是画家(或数学家)故意设计的.看看这几个图形为什么是不可能的呢？X X 把上图的图描在一张白纸上，同样涂上颜色，再剪下来，沿折叠线折叠，这样所有图形就都在外面了, 将两面用胶水粘起来，然后沿红线剪开，这样就得到了一个四面折纸，同学们能不能用这个折纸拼出下面四个图形呢？折叠线作业观察下面的立体图形，它们分别有几个顶点？几个面？几条棱?一个正方体木块的六个面上分别写着A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母.其中 A 与D 相对，B 与E相对，C 与F 相对.现在将木块标有字母 A 的那个面朝上，标有字母 D 的那个面朝下放在第 1 个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动.当木块滚到最后一格，木块朝上的 面上写的是哪个字母?4. 一个棱长为3厘米的立方体，将其六个面都涂满红漆，然后把它锯成棱长为1厘米的小立方体.那么在这些小立方体中：(1) 只有3面涂上红色的有几块？ (2) 只有2面涂上红色的有几块？1.2. 3. 已知下面正六面体标字母的方式是完全相同的.根据摆放的情况，哪两个字母是相对的?/ D /C BA / CD /FCD// / / / /(3)只有1面涂上红色的有几块？(4)没有涂色的有几块？5.一个长、宽、高分别为5厘米、4厘米、4厘米的长方体，将其六个面都涂满红漆，然后把它锯成棱长为1厘米的小立方体•那么在这些小立方体中:(1)只有3面涂上红色的有几块?(2)只有2面涂上红色的有几块?(3)只有1面涂上红色的有几块?(4)没有涂色的有几块？第十三讲立体图形认知1. 例题1答案：图1 有8 个顶点、6 个面和12 条棱；图2 有8 个顶点、6 个面和12 条棱；图3 有4 个顶点、4 个面和6 条棱；图 4 有 5 个顶点、 5 个面和8 条棱.详解：分别按顺序去数点、面、棱.2. 例题2 答案：A详解：正方体木块沿着一个方向滚动4下就能还原，所以当木块滚到5号格、9号格和17 号格时，木块朝上的面上写的都是字母A.3. 例题3 答案：红对绿，黄对蓝，黑对白详解：从出现最多的颜色入手，先找“红面”的邻面：黄、黑、白、蓝，那么红的对面是绿；再找“黄面”的邻面：红、黑、白，那么黄可能对绿或蓝，由于红和绿是对面，所以黄对蓝；那么，黑对白.4. 例题4答案：（1）8；（2）24；（3）24；（4）8详解：在角上的小正方体有 3 面涂红色.共8 个角，所以只有 3 面涂上红色的有8 块；在棱上的小正方体有 2 面涂红色. 共12条棱，每条棱上有 4 块小正方体，去掉角上的2块（角上是 3 面涂色的），4 2 2 （块），12 2 24 （块），所以只有2 面涂上红色的有24 块；在面上的小正方体有1 面涂红色.共6 个面，每个面上有4 块小正方体是有1 面涂色的，4 6 24 （块），只有1 面涂上红色的有24 块；大正方体由4 4 4 64（块）小正方体组成，64 8 24 24 8 （块），所以没有涂色的有8 块.5. 例题5 答案：（1）8；（2）36；（3）52；（4）24 详解：在角上的小正方体有3 面涂红色.共8 个角，所以只有3 面涂上红色的有8 块；在棱上的小正方体有2 面涂红色.共12 条棱，各条棱上的小正方体有2 面涂上红色的个数是4 4 3 4 2 4 36 （块），所以只有2 面涂上红色的有36 块；在面上的小正方体有1 面涂红色.共6 个面，各个面上的小正方体有1 面涂色的个数是82 12 2 6 2 52（块），只有1 面涂上红色的有52 块；大长方体由6 5 4 120 （块）小正方体组成，120 8 36 52 24 （块），所以没有涂色的有24 块.6. 例题6 答案：18 详解：5 出现最多，5 与1、2、3、6 相邻，所以5 与4 相对，接着不难得到2 与6 相对，1 与3 相对.现在地面上依次为4，6，3，1，4，和为18.7. 练习1 答案:图1有8个顶点、6个面和12条棱；图2有6个顶点、5个面和9条棱；图3有5个顶点、5个面和8条棱；图 4 有12 个顶点、8 个面和18 条棱简答：分别按顺序去数点、面、棱.8. 练习2 答案：A 简答：经尝试得出，当木块滚回原地时，木块朝上的面上写字母A.9. 练习3答案： F 对C， E 对A， B 对D简答：从出现最多的字母入手，先找F的邻面：A、B、D、E,那么F对C;再找E的邻面：B、C、D、F，那么E对A;所以，B对D .10. 练习4答案：（1）8;（2）36;（3）54;（4）27 简答：在角上的小正方体有3面涂红色．共8个角，所以只有3 面涂上红色的有8块; 在棱上的小正方体有2面涂红色．共12条棱，每条棱上有5块小正方体，去掉角上的2块（角上是3面涂色的），52 3（块），123 36（块），所以只有2 面涂上红色的有36 块;在面上的小正方体有1 面涂红色．共6 个面，每个面上有9 块小正方体是有1面涂色的，9 6 54（块），只有1 面涂上红色的有54 块;大正方体有5 5 5 125 （块）小正方体组成，125 8 36 54 27（块），所以没有涂色的有27 块．11. 作业1答案：图 1 中有8 个顶点，6个面，12条棱;图2中有 6 个顶点，6个面，10条棱;图 3 中有10个顶点，7 个面，15条棱;图 4 中有 5 个顶点， 6 个面，9条棱简答：分别按顺序去数点、面、棱．12. 作业2答案：D简答：正方体木块往一个方向滚动4次之后会回到原来的状态．木块向右滚动 4 格，向下滚动2格之后又向左滚动8 格，最后又向上滚动 4 格，相当于木块向上滚了 2 格，此时 D 朝上．13. 作业3答案： A 对 F ， C 对D， B 对E简答：从出现最多的字母入手，因为B与A、C、D、F相邻，所以B对E;因为F与B、C、D相邻，又B对E，所以F与E不相对，即F与B、C、D、E相邻，所以A对F;则C对D .14. 作业4答案：（1）8;（2）12;（3）6;（4）1 简答：在角上的小正方体有3面涂红色．共8个角，所以只有 3 面涂上红色的有8块; 在棱上的小正方体有2面涂红色．共12条棱，每条棱上有3块小正方体，去掉角上的2块（角上是3面涂色的），32 1（块），12 1 12 （块），所以只有2 面涂上红色的有12 块;在面上的小正方体有 1 面涂红色．共 6 个面，每个面上有 1 块小正方体是有 1 面涂色的，1 6 6（块），只有1面涂上红色的有 6 块；大正方体有3 3 3 27 （块）小正方体组成，27 8 12 6 1（块），所以没有涂色的有 1 块.15. 作业5 答案：（1）8；（2）28；（3）32；（4）12 简答：在角上的小正方体有3 面涂红色.共8 个角，所以只有3 面涂上红色的有8 块；在棱上的小正方体有2 面涂红色.共12 条棱，各条棱上的小正方体有2 面涂上红色的个数是3 4 2 4 2 4 28 （块），所以只有2 面涂上红色的有28 块；在面上的小正方体有1 面涂红色.共6 个面，各个面上的小正方体有1 面涂色的个数是62 6 2 4 2 32（块），只有1 面涂上红色的有32 块；大长方体由5 4 4 80 （块）小正方体组成，80 8 28 32 12 （块），所以没有涂色的有12块.。

第十一讲 分类数图形前续知识点：二年级第一讲；XX 模块第X 讲 后续知识点：X 年级第X 讲；XX 模块第X 讲只需换风格就行，与其它的风格相符．请出示邀请函．请进！对不起，今天只允许正方形家族的人进入．为什么不让我们进去，我们都是正方形家族的成员！我们在数数的时候，需要遵循不重复、不遗漏的原则，使数出的结果准确．数图形是计数的一种，计数时适当分类，找出规律，不重不漏．分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数．例题1数一数，下图中分别有几个长方形？【提示】简单的分类法，注意要找全所有的情况．练习1数一数，下图中分别有几个长方形？例题2米老鼠有一个方格棋盘，数一数，这个棋盘中共有几个正方形？【提示】本正方形可以由1个、4个、9个、16个……小正方形组成．练习2数一数，下图中共有几个正方形？例题3数一数，维尼熊的棋盘中包含“【提示】注意题目中的特殊要求，包含笑脸的那个小正方形要一直是正方形的组成部分．练习3数一数，下图中包含“”的正方形共有几个？通过对上面两个例题的分析可以发现正方形的组成规律：由1个小正方形组成的正方形，由4个小正方形组成的正方形，由9个小正方形组成的正方形，由16个小正方形组成的正方形……按照这个组成规律来分类，依次数出每一类正方形的个数．例题4数一数，下图中分别有几个正方形？【提示】正方形也可以由2个、4个、8个、16个……小三角形组成．练习4数一数，下图中分别有几个正方形？一个正方形，除了可以由小正方形组成，还可以由小三角形组成．组成一个正方形需要2个小三角形、4个小三角形、8个小三角形、16个小三角形……按照这个组成规律来分类，有次序地去数，就可以做到不重不漏了．例题5数一数，下图中共有多少个三角形？【提示】三角形可以由1个，4个，9个，16个……小三角形组成，注意三角形有“尖朝上”和“尖朝下”两种．在例题5中，我们数三角形时，依然是运用分类的方法，分析一个三角形由几个小三角形组成：1个小三角形、4个小三角形、9个小三角形、16个小三角形……把三角形按组成规律分类之后，还要注意每一类中的三角形有“尖朝上”和“尖朝下”两种．例题6数一数，下图中共有多少个三角形？【提示】除了独立的三角形，还有由2块或多块图形组合而成的三角形．课堂内外透视魔法有8张同样大小的正方形纸片叠在一起（如图所示）．只有标号为“1”的那张纸能被全部看见，其余的7张纸都只能看到一部分，动手试一试，看谁能从上至下用手中的纸片摆放成图中的样子．作业1.数一数，下图中共有几个长方形？2.数一数，下图中共有几个正方形？3.数一数，下图中包含“☆”的正方形共有几个？4.数一数，图1中共有几个正方形？图2中共有几个正方形？5.数一数，下图中共有几个三角形？图1 图2第十一讲 分类数图形1.例题1 答案：15；8详解：（1）1个长方形的有6个；2个长方形的有6个；3个长方形的有2个；4个长方形的有2个，所以一共有662216+++=（个）． （2）1个长方形的有4个；2个长方形的有1个；3个长方形的有2个，4个长方形的有1个，所以一共有42118+++=（个）． 2.例题2 答案：30详解：1个的正方形有16个，4个小正方形组成的正方形有9个，9个小正方形组成的正方形有4个，16个小正方形组成的正方形有1个，所以加起来是1694130+++=（个）．3.例题3 答案：8详解：1个的正方形有1个，4个小正方形组成的正方形有4个，9个小正方形组成的正方形有3个，所以一共有1438++=（个）．4.例题4答案：（1）15；（2）10详解：（1）1个的正方形有12个，4个小正方形组成的正方形有3个，所以一共有12315+=（个）．（2）2个三角形组成的小正方形有4个；4个三角形组成的小正方形有4个；8个三角形组成的小正方形有1个；16六个三角形组成的小正方形有1个．所以一共有441110+++=（个）． 5.例题5 答案：13详解：1个的三角形有9个（包括尖朝上的和尖朝下的），4个三角形组成的三角形有3个（包括尖朝上的和尖朝下的），9个三角形组成的三角形有1个（包括尖朝上的尖朝下的），所以共有93113++=（个）三角形．1个含4个 3个16个 9个 4个 1个6.例题6答案：21详解：1个的三角形有9个，2个三角形组成的三角形有6个；3个三角形组成的三角形有4个；6个三角形组成+++=（个）．的三角形有2个，所以一共有9642217.练习1答案：11；10简答：（1）1个的长方形有5个；2个小长方形组成的长方形有4个；3个小长方形组成的长方形有2个，一共有++=（个）；54211（2）1个长方形5个；2个小长方形组成的长方形有2个；3个小长方形组成的长方形有1个，4个小长方形组成++++=（个）．的长方形有1个，5个小长方形组成的长方形有1个，一共有52111108.练习2答案：20简答：1个的正方形有13个，4个小正方形组成的正方形有6个，9个小正方形组成的正方形有1个，所以加起来++=（个）．注意本题稍有变形，数4个小正方形组成的正方形时不要漏数．是1361209.练习3答案：7简答：1个的正方形有1个，4个小正方形组成的正方形有4个，9个小正方形组成的正方形有2个，所以一共有++=（个）．142710.练习4答案：（1）11；（2）9+=（个）；简答：（1）1个的正方形有7个，4个小正方形组成的正方形有4个，所以一共有7411+=（个）．（2）2个小三角形组成的正方形有4个；4个小三角形组成的正方形有5个，所以一共有45911.作业1答案：12简答：1个的长方形有5个；2个小长方形组成的长方形有5个；3个小长方形组成的长方形有1个，4个小长方+++=（个）；形组成的长方形有1个，一共有55111212.作业2答案：16+=（个）．简答：1个的正方形有12个，4个小正方形组成的正方形有4个，所以加起来是1241613.作业3答案：5简答：1个的正方形有1个，4个小正方形组成的正方形有3个，9个小正方形组成的正方形有1个，所以一共有++=（个）．131514. 作业4答案：10；7简答：（1）1个的正方形有448+=（个），4个小正方形组成的正方形有112+=（个），所以一共有8210+=（个）； （2）2个小三角形组成的正方形有3个；4个小三角形组成的正方形有4个，所以一共有347+=（个）． 15. 作业5答案：17简答：1个的三角形有13个（包括尖朝上的和尖朝下的），4个三角形组成的三角形有4个（包括尖朝上的和尖朝下的），所以共有13417+=（个）三角形．。

（完整版）⼩学⼆年级奥数题图形及答案⼀、计算题。

( 共101题)1.图2-26是由四个扁⽽长的圆圈组成的，在交点处有8个⼩圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8这⼋个数分别填在8个⼩圆圈中。

要求每个扁长圆圈上的四个数字的和都等于18。

答案：2.在图2-24中，三个圆圈两两相交形成七块⼩区域，分别填上1～7七个⾃然数，在⼀些⼩区域中，⾃然数3、5、7三个数已填好，请你把其余的数填到空着的⼩区域中，要求每个圆圈中四个数的和都是15。

答案：15=1+2+5+7，15=1+3+4+7，15=1+3+5+6，15=2+3+4+6 其中1和3⽤的次数最多，图中最中间的部分被三个圆包围，所以1和3应该填在⾥⾯。

但题⽬总3已填好，所以只能填1。

1填好后其他的也就好确定了。

答案见下图3.图2-23中有三个⼤圆，在⼤圆的交点上有六个⼩圆圈。

请你把1、2、3、4、5、6六个数分别填在六个⼩圆圈⾥，要求每个⼤圆上的四个⼩圆圈中的数之和都是14。

答案：案把14拆成4个⾃然数的和，如下14=1+2+5+6;14=1+3+4+6;14=2+3+4+5。

先把⼀个数填⼊，然后试⼀下确定其他数的位置。

答案如下图4.将2、4、6、8、10、12、14、16、18填在下⾯图表，使每⼀横⾏、竖⾏、斜⾏的三个数相加的和都相等。

答案：案九宫格填九数的⽅法，确定中间是10最关键了，然后我们对这些数加和除以3，就有了相等的和应该是30，图形如下(有很多种，但是中间那个肯定是10)5.仔细观察下⾯的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的右框空⽩格内填⼀个什么样的图?答案：6.请看下图，共有多少个正⽅形?答案：30 个正⽅形。

⼩结⼩⽅格16 个，4 个⼩⽅格为⼀个正⽅形共 9 个，9 个⼩⽅格为⼀个正⽅形共 4 个，最⼤的(16 个⼩⽅格)是 1 个。

16+9+4+1=30(个)共计 30 个正⽅形。

7.仔细观察这些图案可以发现，他们是按照下⾯这5个图案为⼀组，循环往复排列的，请问第52个图形是什么?答案：8.把上⾯⼀排的⽴体图形剪开，可以剪成下⾯哪种图形的样⼦?动⼿试⼀试。

第十讲平面图形认知L你是长方形家族r咦？我是正方形 我该去哪边呢？菱形，必胜长方形，一定行！啊！ !！ 救命！二年级第一讲； XX 模块第X 讲 X 年级第X 讲；XX 模块第X 讲前续知识点: 后续知识点:菱形家族的成员集合!说一说，正方形到底该去哪边呢?丘方形家族的 成员集合！只需换风格就行■与其它的风格相符.在我们的周围有许多的几何图形：教室的墙、天花板都是长方形的，人民币是长方形的，我们现在正在看的这页纸也是长方形的，尼泊尔的国旗是三角形的，乐器中的三角铁也是三角形的•这些都是最基本的平面图形.在本讲中，我们就来认识一些基本的几何图形.例题1下图中哪些是三角形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是菱形？【提示】正方形既属于长方形也属于菱形.练习1数一数下面这幅画中的各种图形，并分别在横线上写出相应的个数•如果没有，在横线上打“x”.（不包括几个图形拼成的新图形）圆形平行四边形正方形菱形长方形梯形三角形五边形F面我们来了解一下图形的周长.周长是指围绕一个图形一周的长度.实际上，一般图形的周长都可以用所有边长相加得出.例题2如图，用4个完全相同的边长分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形拼成了一个“风车”.那么这个风车的周长是多少厘米？【提示】周长就是图形外围一周边的长度之和.练习2用4个完全相同的长和宽分别为10厘米、4厘米的长方形拼成如下图形•那么这个图形的周长是多少厘米？響米例题3现有两个完全相同的各边长分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形纸片.(1)能拼成几个不同的等腰三角形？几个不同的平行四边形？(2)画出拼成后的每个图形，它们的周长分别是多少厘米？(1) 不可以的，则在对应的括号中打Xi厘米—H2厘米3厘米(2)3厘米3厘米2厘米练习3用两个完全相同的各边长分别为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形纸片，可以拼成几个不同的等腰三角形？几个不同的平行四边形？三角形是由三条线段首尾顺次相连得到的，是几何图案的基本图形.那么任意三条线段都能拼成一个三角形吗？动手试一试吧！例题4F面每组线段都可以拼接成一个三角形吗？可以的，在这组线段后面的括号中打(3)( )2厘米3厘米4厘米【提示】三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.练习4下面每组线段都可以拼接成一个三角形吗？可以的，在这组线段后面的括号中打“V”，不可以的，则在对应的括号中打“X”•1)1 厘米，3 厘米，7厘米．( )2) 2 厘米，5厘米，7厘米．( )3) 2 厘米，6厘米，4厘米．( )4) 5 厘米，8厘米，9厘米．( )5) 4 厘米，4厘米，8厘米．( )6) 6 厘米，7厘米，7厘米．( )例题5( 1)一个等腰三角形的两条边的长度分别是3 厘米和4 厘米，那么这个三角形的周长可能是多少？( 2)一个等腰三角形的两条边的长度分别是4 厘米和9 厘米，那么这个三角形的周长可能是多少？【提示】利用三角形的组成条件，先判断三角形第三边是多少，再求周长．例题6周长是12 厘米，各边长都是整数的等腰三角形有几种？【提示】等边三角形属于等腰三角形吗？课堂内外错觉一般说来，两个相等的图形，如果一个在内部包含某个图形，而一个被包含在某个图形的内部，那么被包含的图就会显得比较大．下图就说明了这种错觉，右边的内圆显得比左边的外圆更大些，尽管它们实际上是一样大的．F 面这个图更突出了这种错觉，两个本来相等的圆，右边的显得比左边的更大.作业1.下图中共有几个三角形？几个长方形？几个菱形？几个平行四边形?5厘米52.用四个完全相同的长和宽分别是5厘米和1厘米的长方形拼成如下图形，这个图形的周长为多少厘米?5厘米3. 用3个完全相同的长和宽分别是 3厘米和2厘米的长方形，可以拼成几个不同的长方形？它们1厘厘米5厘米的周长分别是多少厘米?4.判断下面每组线段是否可以拼接成一个三角形•可以的，在对应的横线上打“V”；不可以的,在对应的横线上打“x”•(1)3厘米，6厘米，2厘米. __________(2)8厘米，8厘米，8厘米. __________(3)5厘米，1厘米，4厘米. __________(4)9厘米，5厘米，9厘米. __________5.(1) 一个等腰三角形的两条边长度分别是6厘米和10厘米，那么这个三角形的周长可能是多少厘米？(2)等腰三角形的两条边长度分别为3厘米和8厘米，那么这个三角形的周长可能是多少厘米.。

第八讲一笔画前续知识点：二年级第一讲；XX模块第X讲后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲把里面的人物换成相应红字标明的人物.EK gzjJ i f-2J J J i*f J /. j i /Al i\VN1 'l p III 11* 1 1 nil■' t■；＜(* j JT/—一笔画，是指从连通图的一点出发，笔不离纸，每条线都只画一次，不能重复.一笔画能解决很多实际问题.那么什么样的图形能够一笔画成，什么样的图形不能一笔画 成呢？试着画一画下面的图形吧！例题1（ ） （ ） （ ）【提示】动手画一画，你知道什么样的图形一定不能一笔画成吗? 练习1观察下列图形，能一笔画成的打“/”，不能一笔画成的打“X”( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )我们画了这么多图形，不难发现，不连通的图形一定不能一笔画成， 能一笔画成的图形必定是连通图. 连通图，指的是如果一个图形中的任意两点都是连通的，那么这个图形就是连通图•一个图形可以一笔画成， 除了必须是连通图，还有没有其它的规律和特点呢？我们一起找找吧！首先，我们先来认识下面的两个名词： 从一点出发的线条数目是奇数，女口 1、3、5、7、……我们称它为奇点. 从一点出发的线条数目是偶数，如2、4、6、8、……我们称它为偶点.奇点、偶点的个数与一个图形能否一笔画成有什么关系呢？我们来看一看下面的题目吧！【例题2】下面的各个图形都是由点和线组成的•请你仔细观察后回答，各图中的交叉点分别【提示】从某一点发出奇数条线，这个点是奇点；从某一点发出偶数条线，这个点是偶点.有几个奇点？几个偶点？能否一笔画成？能的在 士丁1□ (1)(2)奇点数：()() 偶点数： () () 能否一笔画成： () ()()”里打“V”，不能的在“()”里 宙田(3)(4)()() () () ()()F 面的各个图形都是由点和线组成的•请你仔细观察后回答，各图中的交叉点分别 【练习2】 有几个奇点？几个偶点？能否一笔画成？能的在 里打“x”.()”里打“V”，不能的在“()(1) (2) 奇点数：() () 偶点数：() () 能否一笔画成：() ()通过对上题的观察，相信大家都发现了规律.有0个奇点的连通图能够一笔画成. 画时可以以任一点为起点， 最后一定能以这个点为终点画完此图. 有2个奇点的连通图能够一笔画成.画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点画完此图. 有2个以上奇点的连通图不能一笔画成.根据以上规律，我们可以通过奇点个数来正确判断哪些图形能一笔画成，哪些图形不能一笔画成•我们就用学到的知识来解决生活中的一笔画问题吧！例题3草地上有许多小路，丁丁和月月分别站在 A 、B 两个路口.谁能够一次不重复地走遍所有小路？【提示】谁的出发点是奇点?练习3花园里有许多崎岖的小路，小乖要浇花，它想一次不重复地走完每条小路. 该从哪个路口出发呢？A GFB CD E我们已经可以正确判断哪些图形可以一笔画成，哪些不能一笔画成.如果不能一笔画成, 可不可以通过增添或删除一些线的方法，让它变成可以一笔画成的图形呢？例题5例题4小河中有4个小岛，小岛之间建有六座桥.淘淘能一次不重复地走遍所有的小桥 吗？练习4蘑菇园的小朋友们要去游乐场玩， 他们可以从6个入口进出游乐场. 能一次不重复地走遍游乐场内的所有小路?【提示】先把实际地图画成“点线图”，然后数数奇点的个数吧!他们从哪个入口出发,FB C D E例题4小河中有 4 个小岛，小岛之间建有六座桥.淘淘能一次不重复地走遍所有的小桥吗？【提示】先把实际地图画成“点线图” ，然后数数奇点的个数吧！练习4蘑菇园的小朋友们要去游乐场玩，他们可以从6个入口进出游乐场. 他们从哪个入口出发，能一次不重复地走遍游乐场内的所有小路？我们已经可以正确判断哪些图形可以一笔画成，哪些不能一笔画成.如果不能一笔画成，可不可以通过增添或删除一些线的方法，让它变成可以一笔画成的图形呢？例题5FB C D E例题4小河中有4个小岛，小岛之间建有六座桥.淘淘能一次不重复地走遍所有的小桥吗？【提示】先把实际地图画成“点线图” ，然后数数奇点的个数吧!练习4蘑菇园的小朋友们要去游乐场玩，他们可以从6个入口进出游乐场. 他们从哪个入口出发，能一次不重复地走遍游乐场内的所有小路？我们已经可以正确判断哪些图形可以一笔画成，哪些不能一笔画成.如果不能一笔画成，可不可以通过增添或删除一些线的方法，让它变成可以一笔画成的图形呢？例题5FB C D E例题4小河中有4个小岛，小岛之间建有六座桥.淘淘能一次不重复地走遍所有的小桥吗？【提示】先把实际地图画成“点线图” ，然后数数奇点的个数吧！练习4蘑菇园的小朋友们要去游乐场玩，他们可以从6个入口进出游乐场.他们从哪个入口出发, 能一次不重复地走遍游乐场内的所有小路？我们已经可以正确判断哪些图形可以一笔画成，哪些不能一笔画成.如果不能一笔画成，可不可以通过增添或删除一些线的方法，让它变成可以一笔画成的图形呢？例题5FB C D E例题4小河中有 4 个小岛，小岛之间建有六座桥.淘淘能一次不重复地走遍所有的小桥吗？【提示】先把实际地图画成“点线图” ，然后数数奇点的个数吧！练习4蘑菇园的小朋友们要去游乐场玩，他们可以从6个入口进出游乐场. 他们从哪个入口出发，能一次不重复地走遍游乐场内的所有小路？我们已经可以正确判断哪些图形可以一笔画成，哪些不能一笔画成.如果不能一笔画成，可不可以通过增添或删除一些线的方法，让它变成可以一笔画成的图形呢？例题5FB C D E例题4小河中有4个小岛，小岛之间建有六座桥.淘淘能一次不重复地走遍所有的小桥吗？【提示】先把实际地图画成“点线图” ，然后数数奇点的个数吧!练习4蘑菇园的小朋友们要去游乐场玩，他们可以从6个入口进出游乐场. 他们从哪个入口出发，能一次不重复地走遍游乐场内的所有小路？我们已经可以正确判断哪些图形可以一笔画成，哪些不能一笔画成.如果不能一笔画成，可不可以通过增添或删除一些线的方法，让它变成可以一笔画成的图形呢？例题5FB C D E例题4小河中有 4 个小岛，小岛之间建有六座桥．淘淘能一次不重复地走遍所有的小桥吗？【提示】先把实际地图画成“点线图” ，然后数数奇点的个数吧！练习4蘑菇园的小朋友们要去游乐场玩，他们可以从6 个入口进出游乐场．他们从哪个入口出发，能一次不重复地走遍游乐场内的所有小路？我们已经可以正确判断哪些图形可以一笔画成，哪些不能一笔画成.如果不能一笔画成，可不可以通过增添或删除一些线的方法，让它变成可以一笔画成的图形呢？例题5FB C D E例题4小河中有4个小岛，小岛之间建有六座桥.淘淘能一次不重复地走遍所有的小桥吗？【提示】先把实际地图画成“点线图” ，然后数数奇点的个数吧！练习4蘑菇园的小朋友们要去游乐场玩，他们可以从6个入口进出游乐场.他们从哪个入口出发, 能一次不重复地走遍游乐场内的所有小路？我们已经可以正确判断哪些图形可以一笔画成，哪些不能一笔画成.如果不能一笔画成，可不可以通过增添或删除一些线的方法，让它变成可以一笔画成的图形呢？例题5。

第十讲排列组合应用上一讲学习了基本的排列组合公式，本讲主要解决一些实际问题．在解决实际问题时，先要判断出顺序对于问题的结果有没有影响，再考虑应该用排列还是组合来进行计算．排列和组合的区分在这一讲是我们学习的难点和重点．接下来我们通过一些生活中的例子，进一步来体会一下排列和组合的区别．例题19支球队进行足球比赛：（1）如果实行单循环制，即每两队之间恰好比赛一场．每场比赛后，胜方得3分，负方不得分，平局双方各得1分，那么一共要举行多少场比赛？9支队伍的得分总和最多为多少？（2）如果实行双循环制，即每两队之间分主、客场．那么一共要举行多少场比赛？「分析」每场比赛有两支队伍参加，现在要从几支队伍里挑呢？挑的时候这两支队伍有没有顺序？每场比赛中，两支队伍获得的分数之和最多是多少呢？练习1棋王争霸赛在8名选手间展开：（1）如果实行单循环赛制，共要进行多少场比赛？（2）如果实行双循环赛制，共要进行多少场比赛？例题2围棋兴趣小组一共有8名同学，请问：（1）如果从中选3名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法？（2）如果从中选出3名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法？「分析」同样都是选出3个人，这两个问题之间有什么区别？练习2一次厨艺大赛中，主办方给定的菜谱中有7道菜，请问：（1）如果要求从这7道菜中选做2道菜，共有多少种不同的选法？（2）如果要求从这7道菜中选做1道作为主菜，另外1道作为副菜，共有多少种不同的选法？从公式：n n n m m n C A A =÷，可以看出：n n nm m n A C A =⨯，所以计算从m 个元素中选出n 个元素的排列数时也可以分成两步：先计算从m 个元素中选出n 个元素的组合数，再计算这n 个元素的排列数即可．接下来我们通过例题看看排列与组合之间有什么联系． 例题3王老师带着小高、卡莉娅、萱萱一行四人去参加一次聚会，主持人要求每个人领取一个彩球，这些球的颜色各不相同，共有12个．（1）小高是第一个取球的人，他一共选出了4个球，准备回头分给大家，那么一共有多少种选法？（2）小高回到座位后，把这4个球分给大家，一共有多少种分法？（3）最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能？「分析」（1）、（2）恰好是（3）的两个步骤，所以不难通过（1）、（2）的结果来计算（3）．（1）、（2）应该按照排列来算还是按照组合来算呢？能不能跳过（1）、（2）直接计算（3）呢？ 练习3先从10名同学中选出3人作为班委，再在这3人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共有多少种不同的可能？例题4周末大扫除，老师要从10名男生和10名女生中选出5名留下打扫卫生． （1）如果随意选择，一共有多少种选择方法？（2）如果老师决定选出2名男生和3名女生，一共有多少种选择方法？「分析」（1）是从几名同学出选5名？（2）选2名男生有几种选法？选3名女生有几种选法？练习4老师要从9名男生和7名女生中挑出4人参加数学竞赛，共有多少种不同的选择方法？如果4人中要求有3名男生、1名女生呢？接下来我们学习圆周排列．从m 个不同的元素中取出n 个（ n m ）元素，并按照一定的顺序排成一个圆周，就是圆周排列．圆周排列与排列的不同之处在于圆周排列是首尾相邻的，旋转后相同的排法视为一种排法．如下图，1、2、3的三种排列：123、231、312，在圆周排列中都是一个排列；另外三种排列：132、321、213，在圆周排列中也是一个排列，而且这两个圆周排列是不同的．例题5从7个人中选出5个人围着圆桌坐成一圈，有多少种不同的坐法?「分析」从7个人中选出5个人的圆周排列，还能按照直线上的排列57A 种方法来计算吗？在我们组合问题里面，选取出来的和没有选取出来的两个部分之间是否有区别和顺序呢？ 例题6（1）6个人分成A 、B 两队拔河，要求这两队都是3个人，一共有多少种分队的方法？ （2）6个人分成两队拔河，要求每个队都是3个人，一共有多少种分队的方法？ 「分析」这两个问题都是要分成两个队，每个队3个人，有什么区别吗？课堂内外杨辉三角刘杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．端点数为1的杨辉三角具有如下几个性质： （1）每个数等于它上方两数之和；（2）每行数字左右对称，由1开始逐渐变大； （3）第n 行的数字有n 项； （4）第n 行数字和为()21n -；（5）第n 行的第m 个数和第-n m 个数相等，即m n m n n C C -=这是组合数性质之一； （6）每个数字等于上一行的左右两个数字之和．可用此性质写出整个杨辉三角．即第n +1行的第i 个数等于第n 行的第i -1个数和第i 个数之和，即11i i i n n n C C C -+=+这也是组合数的性质之一；（7）第n 行的m 个数课表示为1m n C -，即为从n 个不同元素中取1m -个元素的组合数．作业1.某班毕业生中有10名同学相见了，他们互相都握了一次手，请问这次聚会大家一共握了多少次手？2. 要从15名士兵中选出2名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选法？3. 先从10名同学中选出3人作为班委，再在这3人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共多少种不同的可能？4. 卡莉娅走进一家商店要买些新衣服，现在从她看中的5件上衣和4条裤子中选出3件上衣和2条裤子，一共有多少种选法？5．6个人围坐在一张圆桌旁，有多少种坐法？第十讲 排列组合应用1. 例题1答案：36场，108分；72场详解：区分单循环制和双循环制，（1）单循环是9支球队中选取2支队伍即可，2支队伍不需要排序，是组合问题，即()29982136C =⨯÷⨯=场比赛．如果是分出胜负的则一场比赛会得3分，如果不分胜负则一场比赛会得2分，所以如果要让得分最多，那么36场都应该是分出胜负的，即363108⨯=分．（2）双循环制是9支球队中选取2支队伍后要排序，分主客场的，是排列问题，即299872A =⨯=场比赛．也可以根据第一问36272⨯=场比赛得到，因为单循环制的时候两支队伍比赛一场，而双循环是比赛两场，所以是2倍的关系． 2. 例题2答案：336；56详解：（1）从8名同学中选3名同学在早上、中午、晚上做值日，那么选出的这三人改变顺序为不同种选法，为排列问题，38876336A =⨯⨯=种选法．（2）从8名同学中选3人参加比赛，改变这三人的顺序任为一种选法，为组合问题，()3887632156C =⨯⨯÷⨯⨯=种选法． 3. 例题3答案：495种；24种；11880种详解：（1）只需要从12个不同的球中选出来4个，不需要排列，是组合问题，即()41212111094321495C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=种选法；（2）把4个球分给大家，这四个球会分给不同的人，所以需要排序，是组合问题，即44432124A =⨯⨯⨯=种分法；（3）其实这一问就是按照上面的两个步骤完成后的方法数，分步是用乘法原理，即441244952411880C A ⨯=⨯=种可能；另外一种做法就是从12个球中选出来4个，排列即排列问题，即412121*********A =⨯⨯⨯=种可能．4. 例题4答案：15540种；5400种详解：（1）随意选择，即从所有人中随便选出来5个人即可，()52020191817165432115504C =⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯⨯=种选择方法；（2）首先从10名男生中选取2名男生，再从10名女生中选取3名女生，这是一个分步的过程，所以一共有()()2310101092110983215400C C ⨯=⨯÷⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯=种选择方法．5. 例题5答案：504种详解：圆桌问题的两种做法，第一种：7个人中选出来5个人按照一定顺序去排列，这是一个排列问题，即57A ；圆桌是可以旋转的，如果这5个人的顺序是ABCDE 、BCDEA 、CDEAB 、DEABC 、EABCD 这五种排序的方法其实都是一种坐法，所以一共有575504A ÷=种不同的坐法；第二种：先从7个人中选出5个人，有5721C =种方法，再把选出的5个人排在圆桌上，有55524A ÷=种方法，一共有2124504⨯=种方法．6. 例题6答案：20种；10种详解：（1）从6个人中选择3个人，即()3665432120C =⨯⨯÷⨯⨯=种选法，此时已经将两个队伍排序，所以一共有20种分队的方法；（2）从6个人中选择3个人，此时两个队伍是有区别的，可是此题两队没有区别，所以是36210C ÷=种分队的方法．7. 练习1答案：28场；56场简答：（1）单循环是8名选手中选取2名选手即可，2名选手不需要排序，是组合问题，即()28872128C =⨯÷⨯=场比赛．（2）双循环制是8名选手中选取2名选手后要排序，分主客选手，是排列问题，即288756A =⨯=场比赛．也可以根据第一问28256⨯=场比赛得到，因为单循环制的时候两名选手中比赛一场，而双循环是比赛两场，所以是2倍的关系．8. 练习2答案：21种；42种简答：（1）()27762121C =⨯÷⨯=种选法．（2）277642A =⨯=种选法．9. 练习3答案：720种简答：两种方法，第一种：先从10个人选出3个人不排序，即310C ，接下来给这三个人排序，即33A ，这是一个分步的过程，所以共有33103720C A ⨯=种不同的可能；第二种：从10个人中选出3个人，需要排序，即排列问题，310720A =种不同的可能．10. 练习4答案：1820种；588种简答：（1）随意选择，即从所有人中随便选出来4人即可，()4161615141343211820C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=种选择方法；（2）首先从9男生中选取3男生，再从7女生中选取1女生，这是一个分步的过程，所以一共有3197588C C ⨯=种选择方法．11. 作业1答案：45简答：从10人中任选2人就会有一次握手，共有()210109245=⨯÷=C 次握手．12. 作业2答案：210 简答：从15人中选出2人，分别担任正、副班长，共有2151514210=⨯=A 种方法．13. 作业3答案：720 简答：333103101098720⨯==⨯⨯=C A A 种方法．14. 作业4答案：60简答：从5件上衣中选3件，有()()3554332110=⨯⨯÷⨯⨯=C 种方法；从4条裤子中选2条，有()()2443216=⨯÷⨯=C 种方法；所以共有10660⨯=种选法．15. 作业5答案：120简答：先有1人坐定，剩下的5个人随便排：5554321120=⨯⨯⨯⨯=A 种坐法．。

高斯数学二年级试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 高斯数学中，下列哪个概念是由高斯本人提出的？A. 算术平均数B. 高斯分布C. 线性方程组解法D. 微积分2. 以下哪个不是高斯数学的主要研究领域？A. 数论B. 代数C. 几何D. 物理学3. 高斯在数学上的主要贡献是什么？A. 发现了质数定理B. 提出了非欧几何C. 发展了复数理论D. 证明了费马大定理4. 高斯数学中，哪个概念与概率论和统计学密切相关？A. 算术平均数B. 高斯分布C. 线性方程组解法D. 微积分5. 以下哪个不是高斯的成就？A. 发明了电报B. 发现了天王星C. 提出了最小二乘法D. 发展了天体力学二、判断题（每题1分，共5分）1. 高斯数学是研究数学的一种方法。

（）2. 高斯是19世纪的数学家。

（）3. 高斯数学只研究数学的理论，不涉及实际应用。

（）4. 高斯数学是研究数学的一种理论。

（）5. 高斯数学是研究数学的一种应用。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 高斯数学中，算术平均数的定义是：所有数之和除以数的______。

2. 高斯数学中，高斯分布也被称为______分布。

3. 高斯数学中，线性方程组解法的一种方法是______法。

4. 高斯数学中，微积分的发明者是______。

5. 高斯数学中，最小二乘法的提出者是______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述高斯数学的定义。

2. 简述高斯数学的主要研究领域。

3. 简述高斯数学在数学史上的地位。

4. 简述高斯数学对现代数学的影响。

5. 简述高斯数学的应用领域。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 某班级有10名学生，他们的数学成绩分别为85, 90, 78, 92, 88, 80, 84, 87, 91, 89。

求这10名学生的数学成绩的平均分。

2. 某班级有20名学生，他们的身高分别为160, 165, 170, 155, 168, 172, 163, 166, 169, 164, 161, 167, 162, 168, 170, 165, 163, 161, 162, 166。