极大线性无关向量组怎么求
求极大线性无关组按照先将向量按列排列写出对应的矩阵,接着用初等行变化将其化为阶梯型(注意只能用行变化,列变化会改变向量),在阶梯型中找到非零元,非零元所在的列对应的向量就是极大线性无关组中的向量。
极大线性无关组是线性空间的基对向量集的推广。设V是域P上的线性空间，S是V的子集。若S的一部分向量线性无关，但在这部分向量中，加上S的任一向量后都线性相关，则称这部分向量是S的一个极大线性无关组。
一个指定的向量可以在多组不同的基底上进行坐标表示，在不同的基底表示下，坐标自然也是不同的。根据一组基底对应的坐标去求另一组基底对应的坐标，这就是我们后面会反复用到的坐标变换。
线形空间是一种特殊的向量组，它是其极大无关组的全部线性组合。只有这样的特殊的向量组才能叫线性空间。也只有这样特殊的向量组的极大无关组才能叫基。普通的向量组的极大无关组不能叫基。
向量组的极大线性无关组的向量个数称为向量组的秩。并提出向量组线性无关的充要条件是它的秩等于它的向量个数，以及向量组1可由向量组2线性表出，那么向量组1的秩小于等于向量组2的秩。进一步提出等价的向量组的秩必然是相等的，但是反过来却是不成立的：秩相等的向量组不一定等价。
教育教学论坛EDUCATIONTEACHINGFORUM2019年12月第49期Dec.2019NO.49
一组有限维向量的极大无关组的求法
收稿日期：2019-06-06设α1，α2，…，αs为数域F上n维向量空间V中的一组向量，下面将介绍如何求它的一个极大无关组.一、利用同构映射转化问题，并判断向量组的线性关系首先，我们总可以找到V的一个基β1，β2，…，βn（此组向量线性无关，且V中每一个向量都可以由这组向量的线性组合唯一的表示），且令αi=bi1β1+bi2β2+…+binβn，bij∈F，i=1，2，…，s；j=1，2，…，n.其次，由“任一数域F上n维向量空间V都与Fn同构”可知V与Fn之间必存在一个同构映射，我们可以根据上面表示的唯一性，依向量和它关于某个基的坐标构造一个同构映射f，则坌α=b1β1+b2β2+…+bnβn∈V，有唯一确定的f（α）=（b1，b2，…，bn）∈Fn与其相对应.最后，依据以下定理可将问题转化.定理1映射f为数域F上n维向量空间V到Fn的一个同构映射，则V中的一组向量α1，α2，…，αs的线性关系与Fn中的一组向量f（α1），f（α2），…，f（αs）的线性关系一致.定理2一个矩阵的秩等于其列向量构成向量组的秩.例1求实数域上3行2列的实矩阵构成向量空间M3×2（R）中一组向量
α1=100111晌
尚上上上上裳
捎梢梢梢梢，α2=010121晌
尚上上上上裳
捎梢梢梢梢，α3=101000晌
尚上上上上裳
捎梢梢梢梢的线性关系.解取M3×2（R）的一个基β11，β12，β21，β22，β31，β32；其中βij是指一个只有第i行第j列的元素为1，其余元素都为0的3行2列的矩阵，i=1，2，3；j=1，2.从而可得F6中与α1，α2，α3相对应的一组向量γ1=（100111）T，γ2=（010121）T，γ3=（101000）T
又因秩101010001110120110晌
职校科技 Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｖｉｓｉｏｎ 科技视界 ２０１２年０４月第１２期
向量组的极大无关组求法的一个注记
王晨
（甘肃林业职业技术学院甘肃天水７４１ ０２０）
【摘要】本文对《线性代数》教学内容中、利用矩阵初等行变换求一个向量组的极大无关组的方法，从线性变换的角度给出
该方法可行的一种注释。
【关键词】极大无关组；线性变换；注记
在《线性代数》课程的教学内容里，利用矩阵的初等行变
换求解一个向量组的极大无关组的方法、是该课程教学内容
中必不可少的一部分。但是大部分教材都是直接通过例题
演示了如何利用矩阵的初等行变换法来求出一个向量组的
极大无关组，而并未给出该解法可行的理论基础。或者只是
方程组的角度做了简单的描述。本文将从线性变换的角度出
发对上述求解极大无关组的方法的可行性加以注记。
１定理及其推论
定义１映射 ：Ｒ 称为单射，若Ｖｏ，ｂ∈Ｒ ，且ｎ≠
６，则ｒ（ａ）≠Ｔ（ｂ）。
定义２映射ｒ： 一 称为满射，若Ｒ 中的每个Ｙ在
Ｒ“都能找到原像。
定义３映射 ：Ｒ 一Ｒ 称为双射。如 ：Ｒ 一Ｒ 即是单
射又是满射。
定理１线性变换 ：Ｔ（ｘ）＝Ｐｘ是Ｒ 的双射的充要
条件是ｎ阶方阵Ｐ可逆。
证明：必要性因为 ：Ｒ 是双射，则 （ ）＝０即Ｐｘ＝０
有唯一解。那么ｎ阶方阵Ｐ可逆。
充分性设 （。）＝ （６），则Ｐ（ａ—ｂ）－－－ｏ，由Ｐ为可逆矩阵，
有Ｐ（ａ－ｂ）＝０仅有零解。那么ａ＝ｂ。即线性变换 是 一 的 单射。
又因为Ａ为可逆矩阵，则Ｖｂ∈Ｒ ，Ａｘ＝ｂ都有唯一解。那
么 是Ｒ — 满射。
定理２若线性变换 ：Ｒ 一Ｒ 是双射．则
１）ｘ。， ：，…， 线性相关铮 （ ）， ），…， （ ）线性相
关。
２）若 ＝：ｃｌ １＋ｃ２ ２＋…十ｃ 甘
（ ）＝ｃ１ ｒ（ｘ１）＋ｃ２ ｒ（ｘ２）＋…＋ｃ ｒ（ｘ ）
证明：１）必要性显然。
充分性：设存在不全为零的数Ｃｉ使得 ｃ１ （ １）＋ｃ２ （ ２）＋…＋ｃ （ ）＝０
知识点5 向量组的最大无关组
1 向量组的最大无关组
在前面讨论中，大家已经感到了向量组的线性相关性质是十分重要的，并且可以看到在一组向量中会有几个线性无关的向量是很重要的。本节就来讨论与此相关的一些问题。
定义1 设向量组m,,21是一组n维向量，若该向量组中的r个向量rkkk,,21满足
（1）rkkk,,21是线性无关的
（2）而该组向量中的任何1r个都线性相关
则称向量组rkkk,,21是原向量组m,,21的一个最大无关组。最大无关组包含向量的个数r称为是向量组m,,21的秩，记作AR。规定只包含0向量的向量组的秩为0。
注：一个向量组的最大无关组一般不是唯一的。
当一个向量组的秩为r时,该向量组中中任意r个线性无关的向量都是一个 最大无关组．
例如, 验证11121、22211是向量组 11121，22211，33130 的一个最大线性无关组。
显然1、2线性无关，并且312，所以1、2是向量组1、2、3的一个最大线性无关组。当然1、3也是向量组1、2、3的一个最大线性无关组。因而，一般地说，向量组的最大线性无关组不是唯一的，但它所含有向量的个数是唯一的，这个数就是向量组的秩。
最大无关组的等价定义： r,,21是向量组m,,21中的一个子组，如果它满足
（1）r,,21是线性无关的，
（2）m,,21中的任何一个向量都能被它们线性表示
则 r,,21是向量组m,,21中的一个最大无关组。
例1 全体 n 维向量构成的向量组记作 Rn，求 Rn 的一个最大无关组及 Rn 的秩．
