第38卷第6期2023年12月安 徽 工 程 大 学 学 报J o u r n a l o fA n h u i P o l y t e c h n i cU n i v e r s i t y V o l .38N o .6D e c .2023文章编号:1672-2477(2023)05-0072-05收稿日期:2022-09-28基金项目:国家自然科学基金资助项目(61873294);安徽省杰出青年科学基金资助项目(1908085J 04)作者简介:韩曼利(1997-),女,安徽宿州人,硕士研究生㊂通信作者:吴小太(1982-),男,安徽枞阳人,教授,博士㊂随机脉冲控制下领导-跟随的多智能体系统一致性研究韩曼利,吴小太*(安徽工程大学数理与金融学院,安徽芜湖 241000)摘要:针对一类非线性领导-跟随多智能体系统,研究随机脉冲控制下多智能体系统的一致性问题㊂由于脉冲控制在实际系统中,常常会受到各种随机因素的影响,并导致脉冲控制强度发生改变㊂因此,本文通过引入随机变量,设计了具有随机脉冲强度的分布式脉冲控制协议㊂随后,利用随机分析的方法给出了在随机脉冲控制下领导-跟随多智能体系统达成一致的充分条件㊂最后,作为特例还给出了拒绝服务攻击下领导-跟随多智能体系统的一致性准则㊂关 键 词:领导-跟随多智能体系统;一致性;随机脉冲中图分类号:T P 13 文献标志码:A在过去的几十年中,由于多智能体系统在生物学㊁工程学㊁人工智能等诸多领域中的广泛应用,多智能体协同控制逐渐成为控制科学界的研究热点[1-3]㊂一致性作为多智能体协同控制的基础问题,其任务是设计一个控制策略,使所有节点就某些共同的目标达成一致,从而完成一些大规模集群任务[4]㊂时至今日,有关多智能体系统的一致性研究取得了丰硕的研究成果,例如:基于采样数据[5]㊁输出[6],以及领导-跟随[7-9]的多智能体系统一致性等㊂脉冲控制是一种典型的非连续控制,具有简单㊁灵活等优良性能[10]㊂同时,相较于连续控制,脉冲控制可以极大地减少控制成本和网络负载,因而被广泛地应用于多智能体的协同控制中[7,10,11-12]㊂例如:文献[12]研究了线性多智能体系统的一致性问题,并提出了两种分布式脉冲控制协议㊂在此基础上,文献[7]针对非线性多智能体系统,提出了一种改进的分布式脉冲控制协议,并给出了相应的一致性准则㊂值得注意的是,在现有多智能体脉冲控制的研究中,所考虑的脉冲大多是确定性的,即脉冲强度和密度均被假设为确定的[13]㊂然而,在多智能体的实际控制中脉冲控制效果往往会受到大量随机因素的影响[14]㊂因此,需要引入随机模型来刻画脉冲控制的随机性㊂近年来,关于随机脉冲控制的相关研究取得了一系列重要研究成果[13-15]㊂但针对随机脉冲控制下的多智能体系统一致性问题的研究相对较少,仍有不少有意义的问题值得进一步研究㊂此外,由于单个智能体之间通过共同的网络进行信息交互,导致多智能体系统非常容易受到拒绝服务(D o S )攻击[8]㊂D o S 攻击的本质是阻止传感器和控制器的数据访问其目的地,也可以被视作一种特殊的随机脉冲扰动㊂因此,研究随机D o S 攻击下多智能体的一致性无疑是一个有意义的问题㊂基于上述讨论,本文研究了随机脉冲控制下的非线性领导-跟随多智能体系统的一致性问题㊂首先,通过引入随机参数刻画随机脉冲的强度,设计了分布式随机脉冲控制协议㊂其次,借助概率分析和L y a -pu n o v 函数稳定性分析的方法,给出了随机脉冲控制下领导-跟随多智能体的一致性准则㊂本文的贡献包含以下两个方面:①建立了一类基于随机脉冲控制的非线性领导-跟随多智能体模型,利用随机分析的方法给出了多智能体一致性的充分条件㊂相较于文献[7],本文在系统模型与研究方法上均具有一定的创新性;②给出了脉冲控制受到随机D o S 攻击时,非线性领导-跟随多智能体系统的一致性准则㊂本文中,ℝn 表示n 维实数集,I n 表示n 维的单位矩阵㊂令x T㊁‖x ‖分别表示x 的转置和欧几里德模,⊗表示K r o n e c k e r 积㊂定义λm a x a 和λm i na 分别为A 的最大和最小特征值㊂定义‖A ‖=λm a x (A T A ),μ2a =λm a x (A +A T )/2㊂N 个智能体的信息交互用图G ={V ,E ,A }表示,其中V ={1,2, ,N }表示节点集,E ⊆V ×V 表示边集,A =[a i j ]N ×N 表示邻接矩阵,当且仅当(j ,i )∈E 时,a i j >0,否则a i j =0㊂此外,假设a i i =0,i =1,2, ,N ㊂图G 的L a p l a c i a n 矩阵L =[l i j ]N ×N 被定义为:l i j =-a i j ,i ≠j ,∑N j =1a i j ,i =j {㊂1 预备知识本文考虑有N 个跟随者的多智能体系统,其跟随者的动力学方程为:x ㊃i (t )=A x i (t )+B g (x i (t ))+u i (t ),i =1,2, ,N ,(1)式中,x (t )∈ℝn 表示第i 个节点的状态,A 和B 为常数矩阵,g (㊃)为非线性函数,u i (t )∈ℝn表示控制输入㊂领导者的动力学方程为:s ㊃(t )=A s (t )+B g (s (t )),(2)式中s (t)∈ℝn 为领导者的状态㊂考虑如下控制协议:u i (t )=c γk ∑¥k =1[∑Nj =1-li j x j (t )+d i (s (t )-x i (t ))]δ(t -t k ),(3)这里c 表示耦合强度;γk 是一个随机变量,用于表征脉冲控制过程中的随机波动;d i >0表示在t 时刻领导者与第i 个节点之间存在直接联系;δ(㊃)表示狄拉克函数;{t k ,k ∈ℕ+}表示脉冲瞬间序列㊂定义误差状态e i (t )=x i (t )-s (t )㊂根据式(1)~(3),可以得到以下误差系统:e ㊃i (t )=A e i (t )+B g (e i (t ),s (t )),t ≠t k ,Δe i (t k )=c γk [∑N j =1-li j x j (t -k)+d i (s (t -k)-x i (t -k)],t =t k {,(4)式中,Δe i (t k )=e i (t k )-e i (t -k),e i (t k )=e i (t +k )=l i m h →0+e i (t k +h ),e i (t -k )=l i m h →0-e i (t k +h ),g (e i (t ),s (t ))=g (x i (t ))-g (s (t )),且在t =t k 时刻,e (t )是右连续的㊂令e (t )=[e T 1(t ),e T 2(t ),...,e T N (t )]T,误差系统(4)可改写为:e ㊃i (t )=(I N ⊗A )e (t )+(I N ⊗B )G (e i (t ),s (t )),t ≠t k ,Δe i (t k )=c γk [(L +D )⊗I N ]e (t -k ),t =t k {,(5)这里G (e i (t ),s (t ))=[G (e 2(t ),s (t ))T ,G (e 3(t ),s (t ))T , ,G (e i (t ),s (t ))T],D =d i a g {d 1,d 2,,d N }㊂接下来,在给出本文的主要结论之前,先给出一些必要的定义和假设㊂假设1[8] 非线性函数g (x )满足如下L i ps c h i t z 条件:‖g (a )-g (b )‖≤ρ‖a -b ‖,式中,a ,b ∈ℝn ,且ρ>0㊂假设2[14] 假定一组相互独立的随机变量γ{}l 为可能的脉冲强度,其中l ={1,2, ,v }且满足E γl =γ-l >0㊂定义1[8] 设N h (t ,s )为时间间隔(s ,t ]内的第h 种脉冲的出现次数,如果存在τa h >0,N 0h ≥0,有下列不等式成立:t -s τa h -N 0h ≤N (t ,s )≤t -s τa h+N 0h ,其中,τa h 和N 0h分别被称为第h 种脉冲的平均脉冲间隔和弹性系数㊂定义2[14] 对任意的x i (t 0)和s (t 0),如果存在常数M >0和λ>0,使得E ∑Ni =1‖x i (t )-s (t )‖2≤E ∑Ni =1‖x i (t 0)-s (t 0)‖2M e -λ(t -t 0),i =1,2,㊃37㊃第6期韩曼利,等:随机脉冲控制下领导-跟随的多智能体系统一致性研究则称多智能体系统(1)达成均方全局指数一致㊂2 主要结果在本节中,我们研究了基于随机脉冲控制的领导-跟随多智能体的一致性问题,这里将考虑脉冲强度随机而脉冲发生时间是确定的情况㊂定理1 若假设1和2成立,且存在一个正定矩阵P 和常数α>0,使得下列条件成立:P A +A TP +2ρ-P <αP ,(6)θ-k =λm a x (P )λm i n (P )E ‖θk ‖2<1,(7)τ<-l n θ~α,(8)其中,ρ-=η+λm a x (P )ρ2ηλm i n (P )‖B ‖2,θk =I N -c γk (L +D )⊗I N ,θ~=m a x {θ-k }㊂则在控制协议(3)的作用下,系统(4)能达成均方全局指数一致㊂证明 构建如下L y a pu n o v 函数:V (e (t ))=∑Ni =1e Ti (t )P e i (t ),(9)对V (e (t))求导,可得:V ㊃(e (t ))=∑Ni =1[e Ti (t )(A T P +P A )e i (t )+g T (e i (t ),s (t ))B T P e i (t )+e Ti P B g (e i (t ),s (t ))]㊂(10)根据假设2和Y o u n g 不等式,可知:2e Ti(t )P B g (e i (t ),s (t ))≤2(η+λm a x (P )ρ2ηλm i n (P )‖B ‖2)e T i (t )P e i (t ),(11)结合式(6)㊁(10)和(11),可以得到:V ㊃(e (t ))=∑Ni =1[e Ti (t )(A T P +P A +2ρ-P )e i (t )]<αV (e (t )),(12)那么,对于t ∈[t k ,t k +1),V (e (t ))<e α(t -t k )V (t k )㊂(13)另一方面,当t =t k 时,我们可以得出:V (e (t k ))=e T (t k )(I N ⊗P )e (t k )=e T (t -k )θT k (I N ⊗P )θk e (t -k ),(14)其中,θk =I N -c γk (L +D )⊗I N ㊂对式(14)两边同时取期望,可得:E V (e (t k ))=E [e T (t -k )θT k (I N ⊗P )θk e (t -k )]≤E [λm a x (P )‖θk ‖e T (t -k )θk e (t -k )]㊂(15)令F k =σ{γ1,γ2, ,γk }为γ1,γ2, ,γk 产生的σ域,可以得到:E [λm a x (P )‖θk ‖e T (t -k )θk e (t -k )]=λm a x (P )E [E [‖θk ‖2e T (t -k )e (t -k )|F k ]]=λm a x (P )E [e T (t -k )e (t -k )E [‖θk ‖2|F k ]]=λm a x (P )E ‖θk ‖2E [e T (t -k )e (t -k )]≤λm a x (P )λm i n(P )E ‖θk ‖2E V (e (t -k ))㊂(16)根据条件(7),可得:E V (e (t k ))≤θ-k E V (e (t -k )),(17)显然,对于t ∈[t 0,t 1),㊃47㊃安 徽 工 程 大 学 学 报第38卷E V (e (t 1))≤θ-1E V (e (t -1))≤θ-1e α(t 1-t 0)E V (e (t 0))㊂(18)同理对于t ∈[t 1,t 2),可得:E V (e (t ))≤e α(t -t 1)E V (e (t 1))≤θ-1e α(t 2-t 0)E V (e (t 0))㊂(19)根据定义1,可推出:E V (e (t ))≤E V (e (t 0))e ∑N (t ,t 0)l =1l n θ-l +α(t -t 0)≤E V (e (t 0))θ~t -t 0τ-N 0eα(t -t 0)≤E V (e (t 0))θ~-N 0e (l n θ~τ+α)(t -t 0),(20)其中θ~=m a x k ∈ℕ{θ-k }㊂根据条件(8),有E (∑Ni =1λm i n (P )‖e i (t )‖2)≤E (∑Ni =1λm a x (P )‖e i (t 0)‖2)θ~-N 0e (l n θ~τ+α)(t -t 0)㊂(21)令M =λm a x (P )λm i n (P )θ~-N 0,λ=-l n θ~τ-α,可得:E ∑N i =1‖e i (t )‖2≤E ∑Ni =1‖e i (t 0)‖2M e -λ(t -t 0)㊂(22)根据定义2可知,系统(4)在均方意义下达成全局指数一致㊂在文献[7-9]中,针对领导-跟随多智能体系统的一致性问题,一系列分布式脉冲控制协议被设计㊂与上述结果相比,定理1主要有以下两点创新:①提出了一类随机控制协议,定理1考虑了具有随机脉冲强度的分布式控制协议,其可将文献[7]中的控制协议视为特殊情况㊂②在随机意义下提出了一类新的分析方法:定理1借助概率分析法和L y a p u n o v 函数分析法,在平均脉冲间隔的假设下,给出了领导-跟随多智能体系统达成一致的充分条件㊂接下来,假设系统(4)受到随机D o S 攻击㊂引入满足如下伯努利分布的随机序列:P r o b {γk =1}=E γk =γ-,P r o b {γk =0}=1-E γk =1-γ-,(23)那么我们可以得到以下随机D o S 攻击下的领导-跟随一致性准则㊂推论1 令假设1和假设2以及条件(6)成立,若存在常数χ使得下列条件成立:χ=λm a x (P )λm i n (P )‖χ-‖2<1,(24)τ<-l n χα,(25)其中,χ-=I N -c γ-(L +D )⊗I N ㊂那么,在随机D o S 攻击下,误差脉冲系统是指数稳定的㊂证明:此证明类似于定理1的证明,故略去㊂3 结论本文研究了非线性领导-跟随多智能体系统的一致性问题,设计了脉冲强度随机的分布式控制协议,利用概率分析的方法,给出了达成均方指数一致的充分条件㊂同时本文还考虑了脉冲控制受到D o S 攻击的情况,给出了D o S 攻击下领导-跟多智能体系统的一致性准则㊂参考文献:[1] Z HO U B ,X U C ,D U A N G.D i s t r i b u t e da n dt r u n c a t e dr e d u c e d -o r d e ro b s e r v e rb a s e do u t p u t f e e d b a c kc o n s e n s u so f m u l t i -a 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h a s t i c i m p u l s i v ec o n t r o l a r eo b-t a i n e db y u s i n g a p r o b a b i l i s t i c a n a l y s i s a p p r o a c h.F i n a l l y,t h e c o n s e n s u s c r i t e r i o n i s p r o v i d e da s a s p e c i a l c a s e f o r t h e l e a d e r-f o l l o w i n g m u l t i-a g e n t s y s t e m s u n d e r d e n i a l-o f-s e r v i c e a t t a c k s.K e y w o r d s:l e a d e r-f o l l o w i n g m u l t i-a g e n t s y s t e m s;c o n s e n s u s;s t o c h a s t i c i m p u l s e s。
