空间运动多刚体系统动力学

力学学科分类---力学是从物理学中独立出来的一个分支学科力学分类力学是研究物质机械运动的科学。

机械运动亦即力学运动,是物质在时间、空间中的集团变化,包括移动、转动、流动、变形、振动、波动、扩散等。

力学原是物理学的一个分支学科,当物理学摆脱了机械(力学) 的自然观而获得进一步发展时,力学则在人类生产和工程技术的推动下按自身逻辑进一步演化和发展,而从物理学中独立出来。

它既是探索自然界一般规律的基础科学,又是一门为工程服务的技术科学,担负认识自然和改造自然的任务。

力学的研究对象是以天然的或人工的宏观的物质机械运动为主。

但由于本学科自身的发展和完善以及现代科技发展所促成的学科的相互渗透,有时力学也涉及微观各层次中的对象及其运动规律的研究。

机械运动是物质的最基本的运动形式,但还不能脱离其他运动(热、电磁、原子、分子运动及化学运动等) 形式而独立存在,只是在研究力学问题时突出地甚至单独地考虑机械运动形式而已。

如果需要考虑不同运动之间的相互作用,则力学与其他学科之间形成交叉学科或边缘学科。

力学产生很早, 古希腊的阿基米德(约公元前287 —212) 是静力学的奠基人。

在欧洲文艺复兴运动以后,人们对力和运动之间的关系逐渐有了正确的认识。

英国科学家牛顿继承和发展了前人的研究成果,提出了物体运动三定律,标志着力学开始成为一门科学。

到了20 世纪,力学更得到蓬勃的发展。

到目前为止,已形成了几十个分支学科,诸如一般力学、固体力学、结构力学、物理力学、流体力学、空气动力学、流变学、爆炸力学、计算力学、连续介质力学、应用力学、岩土力学、电磁流体力学、生物力学,等等。

为了充分发挥这些力学文献的作用,必须对其进行科学的分类。

本文拟对力学文献的分类标准、分类体系和分类方法进行研究。

一、力学文献的分类标准根据力学文献的属性,其分类标准很多,但根据读者(用户) 的检索需求和文献分类法的立类列类原则,主要采用以下9 种标准:1.1 根据研究对象分根据研究各种物体不同的运动,力学就形成了不同的分类。

运动生物力学运动生物力学：是生物力学的一个重要分支，是研究体育运动中人体机械规律的科学。

运动生物力学的主要任务：提高运动能力，预防运动损伤运动生物力学的研究方法分为测量方法和分析方法，其中测量方法可以分为运动学测量、动力学测量、人体测量、肌电图测量运动学测量的参数：（角）位移、（角）速度、（角）加速度动力学测量的参数：主要界定在力的测量方面。

人体测量是用来测量人体环节的长度、围度及,（质量、转动惯量等）肌电图测量是用来测量肌肉收缩时的神经支配特性。

动作结构：运动时所组成的各动作间相互联系、相互作用的方法或顺序动作结构的特征主要表现在运动学和动力学，运动学特征指完成动作时的时间、空间和时空方面表现出来的形式或外貌上的特征；动力学的特征指决定动作形式的各种力（力矩）相互作用的形式和特点，包括力、惯性和能量特征。

运动学特征：时间特征、空间特征和时空特征时间特征反映的是人体运动动作和时间的关系：半蹲起立和深蹲起立空间特征是指人体完成运动动作时人体各环节随时间变化所产生的空间位置改变状况：下肢和躯干等空间移动轨迹时空特征指人体完成运动动作时人体位置变化的快慢情况。

动力学特征包括，力的特征、能量特征和惯性特征能量特征：人体运动时完成的功、能和功率方面的表现形式。

惯性特征：人体运动中人的整体、环节以及运动器械的质量、转动惯量对运动动作所具有的影响。

动作系统：大量单一动作按一定规律组成为成套的动作技术，这些成套的动作技术叫做动作系统。

人体基本运动动作形式可主要归纳为推与拉动作、鞭打动作、缓冲和蹬伸动作及扭转、摆动和相向运动等动作形式上肢基本运动动作形式——推（铅球）、拉（单双杠）、鞭打（标枪）★人体基本运动下肢基本运动动作形式——缓冲、蹬伸、鞭打动作形式全身基本运动动作形式——摆动、躯干扭转、相向运动人体的运动是由运动器系的机能特征所决定的，即以关节为支点，以骨为杠杆，在肌肉力的牵拉下绕支点转动，各肢体环节运动的不同组合使人完成千变万化的动作。

多体系统动力学研究进展引言：多体系统动力学是一门研究多体系统在时间和空间上变化的学科，其研究内容包括多体系统的运动规律、相互作用力、能量传递和宏观性质等。

随着计算机技术和数值方法的不断发展，多体系统动力学研究取得了显著进展。

本文将介绍多体系统动力学研究的一些重要进展，并展望未来的发展方向。

一、基础理论的研究进展多体系统动力学的基础理论主要包括牛顿力学、哈密顿力学和拉格朗日力学等。

在过去的几十年里，学者们对这些理论进行了深入研究，提出了许多新的观点和方法。

首先，研究者们对传统的牛顿力学进行了扩展和改进。

传统的牛顿力学只适用于质点系统，而对于刚体系统或连续体系统，其运动方程相对复杂。

因此，研究者们提出了广义牛顿力学，通过引入刚体的自由度或连续体的本构关系，推广了牛顿力学的应用范围。

其次，研究者们在哈密顿力学和拉格朗日力学的基础上，提出了变分原理和微分几何的方法。

这些方法不仅能够简化多体系统的运动方程，还能够揭示系统的守恒量和稳定性等重要性质。

例如，通过变分原理，可以导出哈密顿力学和拉格朗日力学的运动方程，从而实现了理论的统一。

最后，研究者们引入了混沌理论和非线性动力学的方法，研究了多体系统的非线性行为和复杂性质。

混沌理论认为微小的初始条件变化可能导致系统在长时间演化中出现完全不同的行为，而非线性动力学则研究了系统可能出现的各种非线性现象，如周期解、混沌解和分岔等。

二、仿真方法的研究进展随着计算机技术的飞速发展，仿真方法在多体系统动力学研究中的应用日益广泛。

仿真方法是基于数值计算的方法，通过求解多体系统的运动方程，模拟系统的时间演化和宏观行为。

在传统的仿真方法中，常用的有数值积分法和蒙特卡洛法。

数值积分法是使用数值积分技术，将连续的运动方程离散化为离散的差分方程，通过迭代求解差分方程，可以得到系统的时间演化过程。

蒙特卡洛法是通过随机数的产生和统计分析的方法，模拟多体系统中的随机过程和统计行为。

除了传统的仿真方法外，还出现了许多新的方法和技术。

运动学、静力学、动力学概念运动学运动学是理论力学的一个分支学科，它是运用几何学的方法来研究物体的运动，通常不考虑力和质量等因素的影响。

至于物体的运动和力的关系，则是动力学的研究课题。

用几何方法描述物体的运动必须确定一个参照系，因此，单纯从运动学的观点看，对任何运动的描述都是相对的。

这里，运动的相对性是指经典力学范畴内的，即在不同的参照系中时间和空间的量度相同，和参照系的运动无关。

不过当物体的速度接近光速时，时间和空间的量度就同参照系有关了。

这里的“运动”指机械运动，即物体位置的改变；所谓“从几何的角度”是指不涉及物体本身的物理性质(如质量等)和加在物体上的力。

运动学主要研究点和刚体的运动规律。

点是指没有大小和质量、在空间占据一定位置的几何点。

刚体是没有质量、不变形、但有一定形状、占据空间一定位置的形体。

运动学包括点的运动学和刚体运动学两部分。

掌握了这两类运动，才可能进一步研究变形体(弹性体、流体等)的运动。

在变形体研究中，须把物体中微团的刚性位移和应变分开。

点的运动学研究点的运动方程、轨迹、位移、速度、加速度等运动特征，这些都随所选的参考系不同而异；而刚体运动学还要研究刚体本身的转动过程、角速度、角加速度等更复杂些的运动特征。

刚体运动按运动的特性又可分为：刚体的平动、刚体定轴转动、刚体平面运动、刚体定点转动和刚体一般运动。

运动学为动力学、机械原理(机械学)提供理论基础，也包含有自然科学和工程技术很多学科所必需的基本知识。

运动学的发展历史运动学在发展的初期，从属于动力学，随着动力学而发展。

古代，人们通过对地面物体和天体运动的观察，逐渐形成了物体在空间中位置的变化和时间的概念。

中国战国时期在《墨经》中已有关于运动和时间先后的描述。

亚里士多德在《物理学》中讨论了落体运动和圆运动，已有了速度的概念。

伽利略发现了等加速直线运动中，距离与时间二次方成正比的规律，建立了加速度的概念。

在对弹射体运动的研究中，他得出抛物线轨迹，并建立了运动(或速度)合成的平行四边形法则，伽利略为点的运动学奠定了基础。

多体系统动力学简介多体系统动力学研究对象——机构工程中的对象是由大量零部件构成的系统。

在对它们进行设计优化与性态分析时可以分成两大类一类为结构——正常工况下构件间没有相对运动（房屋建筑，桥梁等）——关心的是这些结构在受到载荷时的强度、刚度与稳定一类为机构——系统在运动过程中这些部件间存在相对运动（汽车，飞机起落架。

机器人等）——力学模型为多个物体通过运动副连接的系统，称为多体系统多体系统动力学俄研究的对象——机构（复杂机械系统）不考虑系统运动起因的情况下研究各部件的位置与姿态及其变化速度和加速度的关系典型案例：平面和空间机构的运动分析系统各部件间通过运动副与驱动装置连接在一起数学模型：各部件的位置与姿态坐标的非线性代数方程，以及速度与加速度的线性代数方程当系统受到静载荷时，确定在运动副制约下的系统平衡位置以及运动副静反力典型案例：机车或汽车中安装有大量的弹簧阻尼器，整车设计中必须考虑系统在静止状态下车身的位置与姿态，为平稳性与操纵稳定性的研究打下基础数学模型：非线性微分代数方程组讨论载荷和系统运动的关系研究复杂机械系统在载荷作用下各部件的动力学响应是工程设计中的重要问题动力学正问题——已知外力求系统运动的问题动力学逆问题——已知系统运动确定运动副的动反力，是系统各部件强度分析的基础动力学正逆混合问题——系统的某部分构件受控，当它们按照某已知规律运动时，讨论在外载荷作用下系统其他构件如何运动数学模型：非线性微分代数方程组机械系统的多体系统力学模型在对复杂机械系统进行运动学与动力学分析前需要建立它的多体系统力学模型。

对系统如下四要素进行定义：•物体•铰链•外力（偶）•力元实际工程中的机械系统多体系统力学模型的定义取决于研究的目的模型定义的要点是以能揭示系统运动学与动力学性态的最简模型为优性态分析的求解规模与力学模型的物体与铰的个数有关物体——定义多体系统中的构件定义为物体多体系统力学模型中物体的定义并不一定与具体工程对象的零部件一一对应。

机械系统的多体动力学仿真研究随着科技的发展和人类对机械系统的需求不断增加，机械系统的多体动力学仿真研究在工程领域中扮演着重要的角色。

多体动力学仿真是一种利用计算机模拟机械系统的运动和相互作用的方法，可以帮助工程师更好地理解和优化机械系统的设计与运行。

本文将探讨多体动力学仿真的原理、应用以及进一步的发展。

一、多体动力学仿真的原理多体动力学仿真的原理主要基于牛顿力学和欧拉动力学的基础。

对于一个机械系统，可以通过建立多个刚体和其之间的连接关系来描述。

每个刚体都有质量、惯性和外力作用力等属性，其运动受到牛顿定律的约束。

通过对刚体之间的作用力、角速度和角加速度进行求解，可以得到整个机械系统的运动轨迹和相互作用。

在仿真过程中，需要考虑多体机械系统的初始条件、外力以及约束等因素。

初始条件可以是每个刚体的位置、速度和角度等信息，外力可以是施加在机械系统上的振动或者加速度等力量。

约束可以是刚体之间的约束关系，例如铰链、摩擦等，也可以是刚体和环境之间的约束，例如地面的支撑力等。

通过在仿真过程中考虑这些因素，可以更真实地模拟机械系统的行为。

二、多体动力学仿真的应用多体动力学仿真在工程领域有着广泛的应用。

一方面，多体动力学仿真可以用于机械系统的设计与优化。

通过对机械系统的仿真，可以预测机械系统在不同条件下的性能表现，避免了实际试验的困难和成本。

例如，在汽车行业中，多体动力学仿真可以用于设计汽车悬架系统，优化车辆的操控性和行驶平顺性。

另一方面，多体动力学仿真也可以应用于机械系统的故障诊断和故障预测。

通过建立仿真模型和输入实际观测数据，可以准确地分析机械系统的工作状态和潜在故障。

除了工程领域，多体动力学仿真在医学、机器人学等领域也有广泛的应用。

医学中的仿真可以模拟人体关节的运动和力学特性，为人工关节的设计和操作提供参考。

机器人学中的仿真可以帮助机器人的路径规划和运动控制，提高机器人的自主性和灵活性。

三、多体动力学仿真的发展随着计算机技术的进步，多体动力学仿真的规模和复杂性不断增加。

车辆系统刚柔耦合多体动力学的发展综述摘要：随着科技的发展，货物列车的轻量化设计成为趋势。

采用轻型部件可以显著地降低车辆的质量，达到了货车重载、低动力的目标。

轻型部件的刚度小，采用传统刚体模型不能准确模拟实际性能。

本文介绍了刚柔耦合多体动力学的发展，研究证明刚柔耦合模型可以比较准确的模拟实际车辆的性能。

关键词：重载货车、刚柔耦合、多体动力学1引言重载货车的大轴重转向架的低动力设计以及车体的轻量化设计都要求尽量地降低质量，所以在重载货车设计中应用了大量轻型部件。

传统的车辆动力学仿真计算将车辆中的各个部件均考虑为刚体，根据实际情况，刚体之间、刚体与固定坐标系之间用铰接、力元等联系起来，以此建立车辆动力学模型进行仿真计算。

由于轻型部件的刚度比以前的小，而车辆运行速度的提高，部件之间的作用力增大，所以这些部件在车辆运行的过程中会产生相对较大的弹性变形。

所以这种将所有部件全部考虑为刚体建立的模型不能准确地反映现代新设计的车辆的性能。

因此，将车辆结构中一些刚度比较小、在运行过程中可能发生弹性变形的一些部件考虑为柔性体，其它部件仍考虑为刚体，以此建立的车辆系统刚柔耦合多体动力学模型可以更准确的模拟实际车辆的性能。

这种方法在车辆动力学模拟及部件疲劳寿命预测中得到了广泛应用。

2刚柔耦合多体动力学原理多体系统是由若干刚体或柔体通过力元或铰连接而成的一个完整系统。

多体系统的基本元素包括：惯性体、力元、约束和外力(偶)。

多体系统动力学主要应用在机构的静力学分析、特征模态分析、线性响应分析、运动学分析和动力学分析等，主要是应用计算机技术进行复杂机械系统的动态仿真分析。

柔性多体系统动力学主要研究客体本身刚度较低、受冲击易发生变形或客体的附属部件刚度较大而本身刚度较低，在进行耦合之后，会产生弯曲、变形等特征的大型动力学系统，分析动力学特性时需要考虑其弹性振动的影响。

由于柔性体上任意两点的位移在受到外界激励的情况下会发生位移变化，所以，多柔体系统不但需考虑零部件之间连接元件的刚度、阻尼等特性，还需要考虑部件本身结构的变化特征。

第七章机械振动刚体转动的角坐标、角位移、角速度和角加速度的概念以及它们和有关线量的关系刚体定轴转动的动力学方程，熟练使用刚体定轴转动定律刚体对固定轴的角动量的计算，正确应用角动量定理及角动量守恒定理掌握刚体的概念和刚体的基本运动理解转动惯量的意义及计算方法，会利用平行轴定理和垂直轴定理求刚体的转动惯量掌握力矩的功，刚体的转动动能，刚体的重力势能等的计算方法了解进动现象和基本描述§6.1 刚体和自由度的概念一. 力矩力是引起质点或平动物体运动状态(用动量描述)发生变化的原因.力矩则是引起转动物体运动状态(用动量聚描述)发生变化的原因.将分解为垂直于z 轴和平行于z 轴的两个力及,如右图.由于不能改变物体绕z 轴的转动状态,因此定义对转轴z 的力矩为零.这样,任意力对z 轴的力矩就等于力对z 轴的力矩,即力矩取决于力的大小、方向和作用点.在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向,因此一般可视为代数量.根据力对轴的力矩定义,显然,当力平行于轴或通过轴时,力对该轴的力矩皆为零.讨论:(1)力对点的力矩.(2) 力对定轴力矩的矢量形式力矩的方向由右螺旋法则确定.(3) 力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影,等于该力对该轴的力矩.例: 已知棒长L,质量M,在摩擦系数为μ 的桌面转动(如图)求摩擦力对y 轴的力矩.解: 以杆的端点O 为坐标原点,取Oxy坐标系,如图在坐标为x 处取线元dx,根据题意,这一线元的质量和摩擦力分别为则该线元的摩擦力对y轴的力矩为积分得摩擦力对y轴的力矩为注: 在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算,例如二. 刚体对定轴的转动定律实验证明: 当力矩M为零时,则刚体保持静止或匀速转动,当存在M时,角加速度β与M成正比,而与转动惯量J 成反比,即.也可写成国际单位中k=1.若设作用在刚体上的外力对z轴的力矩总和为合外力矩,刚体对z 轴的转动惯量为J, 则有上式表明,刚体绕定轴转动时,刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积,等于作用在刚体上所有外力对该轴的力矩的代数和.该式称为刚体绕定轴转动微分方程,也称转动定律.讨论:(1) M 正比于β ,力矩越大,刚体的β越大(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同(3) 与牛顿定律比较,转动定律的理论证明:如右图,在刚体上任取一质量元,作用在质量元上的力可以分为两类:表示来自刚体意外一切力的合力(称外力),表示来自刚体内各质点对该质量元作用力的合理(称内力).刚体绕定轴Z 转动过程中,质量元以为半径作圆周运动,按牛顿第二定律,有将此矢量方程两边都投影到质量元的圆轨迹切线方向上,则有再将此式两边乘以,则得对固定轴的力矩对所有质量元求和,则得等式右边第一项为合外力矩;第二项为所有内力对z 轴的力矩总和,由于内力总是成对出现,而且每对内力大小相等、方向相反,且在一条作用线上,因此内力对z 轴的力矩的和恒等于零.又.则有即证.三. 转动惯量刚体对某Z 轴的转动惯量,等于刚体上各质点的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积之和,即事实上刚体的质量是连续分布的,故上式中的求和可写为定积分,即刚体对轴转动惯量的大小决定于三个因素,即刚体的质量、质量对轴的分布情况和转轴的位置.(1) J 与刚体的总质量有关例 1 两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量解：在如图的棒上取一线元dx,则积分得其转动惯量为显然，本题中，则(2) J 与质量分布有关例2 圆环绕中心轴旋转的转动惯量解: 在如图的圆环上取一线元dl,则积分得其转动惯量为例3 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量解: 在如图的圆盘上取一宽为dr的圆环带,令,则质量元则积分得圆盘的转动惯量为(3) J 与转轴的位置有关例 4 均匀细棒绕端点轴转动惯量解: 在如图棒上取一线元dx,积分得棒的转动惯量为例 5 均匀细棒对通过中心并与棒垂直得轴的转动惯量解: 如图,以杆的中心O为坐标原点,取Oxz坐标系.积分得棒对z轴的转动惯量为四. 平行轴定理及垂直轴定理1. 平行轴定理设刚体得质量为M,质心为C,刚体对通过质心某轴z(称为质心轴）得转动惯量为.如有另一与z 轴平行的任意轴,且z和两轴间的垂直距离L.刚体对轴的转动惯量设为,则可以证明：.即刚体对任意轴(轴)的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴(z轴)的转动惯量加上刚体的质量与两轴间垂直距离L平方的乘积.这个结论称为平行轴定理.例1 : 求均匀细棒的转动惯量.解: 如图,已知均质杆对质心轴z 的转动惯量为,为通过杆的一端、且与z 轴平行的轴的转动惯量,按平行轴定理有2.垂直轴定理如右图所示, x、y轴在刚体内, z轴垂直于刚体.则刚体对z 轴的转动惯量等于其对x、y轴的转动惯量之和此即为垂直轴定理.例求对圆盘的一条直径的转动惯量解：以圆盘圆心C为坐标圆点,建立xyz 坐标系如右图.易求得圆盘对z 轴的转动惯量为根据垂直轴定理,有又则五. 转动定律的应用举例例1 一轻绳绕在半径r =20 cm 的飞轮边缘,在绳端施以F =98 N 的拉力,飞轮的转动惯量J =0.5 kg·m 2,飞轮与转轴间的摩擦不计,(如图)求: (1) 飞轮的角加速度(2) 如以重量P =98 N 的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度解: (1) 根据转动定律,有(2) 分别对物体和飞轮进行受力分析,如图所示,根据牛顿运动定律和转动定律,有，因为，所以有例2一根长为l , 质量为m 的均匀细直棒,可绕轴O 在竖直平面内转动,初始时它在水平位置求它由此下摆角时的解: 在直棒上取如图的质量元dm ,则积分得整个直棒重力对轴O的力矩为又故由上式可以看出,重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩.则角加速度为:又, 则杆下摆至角速度为例3圆盘以在桌面上转动,受摩擦力而静止求到圆盘静止所需时间解:在圆盘内取一半径为r 的,厚度为dr 的环带, 其质量为该环带的摩擦力对质心轴的力矩为积分得圆盘的摩擦力力矩为由转动定律得所以,得则例4如图一个刚体系统,已知转动惯量,现有一水平作用力作用于距轴为处求轴对棒的作用力(也称轴反力)解: 设轴对棒的作用力为N,分解为.由转动定律得由质心运动定理得解得打击中心则思考题1. 刚体可有不止一个转动惯量吗? 除了刚体的形状和质量以外,要求它的转动惯量,还要已知什么信息?2.能否找到这样一个轴,刚体绕该轴的转动惯量比绕平行于该轴并通过质心的轴的转动惯量小?3.刚体在力矩作用下绕定轴转动,当力矩增大或减小时,其角速度和角加速度将如何变化?4.猫有一条长长的尾巴,它习惯于在阳台上睡觉,因而从阳台上掉下来的事情时有发生.长期的观察表明猫从高层的楼房的阳台掉到楼外的人行道上时,受伤的程度将随高度的增加而减少,据报道有只猫从32层楼掉下来,也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤.为什么会这样呢?(点击图片播放动画)§ 6.2 绕定轴转动刚体的动能动能定理一. 转动动能刚体I 绕定轴z 转动,转动惯量,某时刻t ,角速度ω ,角加速度为β,设想刚体是由大量质点组成,现研究质量为的质点i,如图.显然,质点i 的速度为,由质点动能的定义知,质量i 的动能为由于动能为标量且永为正,故整个刚体的动能E等于组成刚体所有质点动能的算数和,即即绕定轴转动刚体的动能,等于刚体对转动的转动惯量于其角速度平方乘积的一半. 将刚体绕定轴转动的动能与质点的动能加以比较,再一次看出转动惯量对应于质点的质量,即转动惯量是刚体绕轴转动惯性大小的量度.二.力矩的功力的累积过程——力矩的空间累积效应功的定义如图,设绕定轴z 转动刚体上P 点作用有一力,现研究刚体转动时力在其作用点P 的元路程ds 上的功.由图易得即作用在定轴转动刚体上的力的元功,等于该力对转轴的力矩于刚体的元角位移的乘积.这也称为力矩的元功.力矩作功的微分形式对一有限过程刚体从角坐标到的过程中,力矩对刚体所作的功为若力矩M为常数,则上式可以进一步写成既作用在定轴转动刚体上的常力矩在某一转动过程中对刚体所作的功,等于该力矩与刚体角位移的乘积.讨论:(1) 合力矩的功(2) 力矩的功就是力的功(3) 内力矩作功之和为零三. 转动动能定理——力矩功的效果力矩的元功此式表示绕定轴转动刚体动能的微分,等于作用在刚体上所有外力元功的代数和.这就是绕定轴转动刚体的动能定理的微分形式. 若定轴转动的刚体在外力作用下,角速度从变到,则由微分式,可得到式中A 表示刚体角速度从变到这一过程中,作用于刚体上的所有外力所作功的代数和. 上式表明,绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量,等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和.这就是绕定轴转动刚体的动能定理的积分形式.刚体的机械能等于刚体的动能、重力势能之和.其中的重力势能为故刚体的机械能又可表示为刚体的机械能守恒,则有对于包括刚体的系统,功能原理和机械能守恒定律仍成立.例1一根长为l , 质量为m 的均匀细直棒,可绕轴O 在竖直平面内转动,初始时它在水平位置求它由此下摆角时的解: 易得杆摆至角时对O 轴的力矩为由动能定理,重力矩作的功得又,由此得即例2图示装置可用来测量物体的转动惯量.待测物体A 装在转动架上,转轴Z 上装一半径为r的轻鼓轮,绳的一端缠绕在鼓轮上,另一端绕过定滑轮悬挂一质量为m 的重物.重物下落时,由绳带动被测物体A绕Z 轴转动.今测得重物由静止下落一段距离h .所用时间为t .求物体 A 对Z 轴的转动惯量.设绳子不可伸缩,绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计.待测物 A 的机械能:重物m 的机械能:由机械能守恒得:又则可得故,物体 A 对Z 轴的转动惯量为思考题1.两个重量相同的球分别用密度为的金属制成,今分别以角速度绕通过球心的轴转动,试问这两个球的能量之比多大?§ 6.3 动量矩和动量矩守恒定律一. 质点动量矩( 角动量) 定理和动量矩守恒定律1.质点的动量矩设一质点在平面S ,如图所示.在时刻t,质点的动量为,对某固定点O质点的位矢为,则质点对O点的动量矩(或质点对O点的角动量)定义为: 位矢和动量的矢积,即根据矢积定义,质点对O点动量的大小为:指向由右螺旋法则确定.(可以证明,质点对某点的动量矩,在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩)特例：质点作圆周运动时,说明: (1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关(2) 当质点作平面运动时,质点对运动平面内某参考点O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量矩例一质点m ,速度为v ,如图所示A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为.求此时刻质点对三个参考点的动量矩解: 质点对某点的动量矩, 在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩2. 质点的动量矩定理质点为m 的质点，在力的作用下运动，某一时刻t ,质点相对固定点O 的位矢为,速度为,按上述质点动量矩的定义,有两边对时间求导,得由于,故上式右边第二项为零,而第一项中,因此,上式右边第二项是作用在质点上所有力的合力对O 点的力矩,即此式表明,在惯性系中,质点对任意固定点O的动量矩对时间的导数,等于作用在质点上所有力的合力对同一点O 的力矩.这就是质点动量矩定理.质点动量矩定理的微分形式:质点动量矩定理的积分形式:质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量说明:(1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因(2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果质点动量矩定理也可直接用来求解质点动力学问题,特别是质点在运动过程中始终和一个点或一根轴相关联的问题,例如单摆运动,行星运动等问题.3. 质点动量矩守恒定律在质点动量矩定理可以看出,当作用在质点上的合力对固定点的力矩恒为零时,质点对该点的动量矩为常矢量,即若时,=常矢量这就是质点动量守恒定律.讨论:(1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一,它不仅适用于宏观体系,也适用于微观体系, 且在高速低速范围均适用(2) 通常对有心力：过O 点,M= 0, 动量矩守恒.例如由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积例发射一宇宙飞船去考察一质量为M 、半径为R 的行星, 当飞船静止于空间距行星中心4R 时,以速度发射一质量为m 的仪器.要使该仪器恰好掠过行星表面求θ 角及着陆滑行的初速度多大解:由引力场(有心力)系统的机械能守恒得由质点的动量矩守恒得则所以有二. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律1. 刚体定轴转动的动量矩刚体以角速度ω 绕定轴z转动时,刚体上任意一点均在各自所在的垂至于z轴的平面那作圆周运动,如图.由于刚体上任一质点对z轴的动量矩都具有相同的方向(或者说都具有相同的正负号),因此整个刚体对z轴的动量矩应为各质点对z轴的动量矩之和,即上式表明,绕定轴转动刚体对z 轴的动量矩,等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积.2. 刚体定轴转动的动量矩定理将动量矩表达式对时间求导,得由于刚体对给定轴的转动惯量是一常量,因此利用前面讲过的转动定律,可以将上式进一步写成上式表明,绕定轴转动刚体对z轴的动量矩对时间的导数,等于作用在刚体上所有外力对z轴的力矩的代数和.这就是刚体绕定轴转动情况下的动量矩定理.动量矩定理微分形式:将上式两边乘以dt并积分,得动量矩定理积分形式:,分别表示在时刻转动刚体对z轴得动量矩,成为在时间内对z 轴得冲量矩.冲量矩表示了力矩在一段时间间隔内的积累效应.上式表明,定轴转动刚体的动量矩在某一时间间隔内的增量,等于同一时间间隔内作用在刚体上的冲量矩.3. 刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律当作用在定轴转动刚体上的所有外力对转轴的力矩代数和为零时,根据动量矩定理式,刚体在运动过程中动量矩保持不变(守恒),即=0时,=常量.以上的讨论是对绕定轴转动的刚体进行的.对绕定轴转动的可变形物体来说,如果物体上各点绕定轴转动的角速度相同,即可用同一角速度来描述整个物体的转动状态,则某一时刻t , 物体对转动轴的动量矩也可表示为该物体在时刻t 对同一轴的转动惯量与角速度的乘积.只是由于物体上各点相对于轴的位置是可变的,所以对轴的转动惯量不再是一个常量,可表示为可以证明,这是可变形物体对转轴的动量矩对时间的导数仍然等于作用于该可变形物体的所有外力对同一轴的力矩的代数和,即仍成立. 这时如果作用在可变形物体上所有外力对该轴的力矩的代数和恒为零,则在运动过程中,可变形物体对转轴的动量矩保持不变(守恒).更一般地说,如果作用在质点系上所有外力对某一固定轴的力矩之和为零,则质点系对该轴的动量矩保持不变,这是动量矩守恒定律的更为一般的表述形式.动量矩守恒定律在实际生活中及工程中有着广泛的应用.例如花样滑冰的表演者可以容过伸展或收回手脚(改变对轴的转动惯量)的动作来调节旋转的角速度.例一长为l 的匀质细杆,可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动,开始时杆静止于水平位置.一质量与杆相同的昆虫以速度垂直落到距O点l /4 处的杆上,昆虫落下后立即向杆的端点爬行,如图所示.若要使杆以匀角速度转动.求昆虫沿杆爬行的速度解:设杆和昆虫的质量均为m ,昆虫与杆碰后以共同的角速度转动.昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统,和外力矩为零,动量矩守恒,故有化简此式可得杆的转动角速度,即由题可知,此后杆以此角速度作匀速转动.设碰后t 时刻,杆转过角,昆虫爬到距O 点为r的位置处, 此时,昆虫和杆系统所受合外力矩为根据动量定理,有由题设不变,所以其中的值为带入上式有因此,为了使保持不变,昆虫的爬行速率应为说明:此题使一个系统绕定轴转动问题.在解此题的过程中应用了动量矩定理,该定理与刚体绕定轴转动定律的区别.三. 进动如图为一玩具陀螺,我们发现如果陀螺不绕自身对称轴旋转,则它将在起重力对质点O的力矩作用下翻到.但是当陀螺以很高的转速绕自身对称轴(称作自转或自旋)时,尽管陀螺仍然受重力矩作用,陀螺却不会翻到.陀螺的重力对O点的力矩作用结果将使陀螺的自转轴沿虚线所示的路径画出一个圆锥面来.我们称陀螺高速旋转时,其轴绕铅直轴的转动为进动.陀螺绕其对称轴以角速度高速旋转,如下图.对固定点O,它的动量矩L 可近似(未计进动部分的动量矩)表示为作用在陀螺上的力对O 点的力矩只有重力的力矩.显然, 垂至于动量矩矢量,按动量矩定理→可见在极短的时间内,动量矩的增量与d与平行, 也垂直于.这表明,在dt 时间内,陀螺在重力矩作用下,其动量矩的大小未变,但方向却改变了(方向绕铅直轴z 转过了dθ角)事实上,由于,带入动量矩定理式中.得所以,若陀螺自转角速度保持不变,则进动角速度也应保持不变.实际上由于各种摩擦阻力矩的作用,将使不断减小,与此同时,进动角速度Ω 将逐渐增大,进动将变得不稳定.以上的分析是近似的,只适用于自转角速度比进动角速度Ω 大得多得情况.因为有进动的存在,陀螺的总动量矩除了上面考虑到的因自转运动产生的一部分外,尚有进动产生的部分.只有在时,才能不计及因进动而产生的动量矩.思考题1. 如果一个质点在作直线运动,那么质点相对于那些点动量矩守恒?2. 如果作用在质点上的总力矩垂直于质点的动量矩,那么质点动量矩的大小和方向会发生变化吗?3. 当刚体转动的角速度很大时,作用在上面的力及力矩是否一定很大?4. 一个人随着转台转动,两手各拿一只重量相等的哑铃,当他将两臂伸平,他和转台的转动角速度是否改变?5. 试说明: 两极冰山的融化是地球自转速度变化的原因之一.。

多体系统动力学分析软件ADAMS的介绍ADAMS是美国学者蔡斯（Chace）等人利用多刚体动力学理论，选取系统每个刚体的质心在惯性参考系中的三个直角坐标和反映刚体方位的为广义坐标编制的计算程序。

其中应用了吉尔（Gear）等解决刚性积分问题的算法，并采用了稀疏矩阵技术来提高计算效率。

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刚体动力学的基本概念第二篇动力学第五章刚体动力学的基本概念一、目的要求 1．深入地理解力、刚体、平衡和约束等重要概念。

2．静力学公理（或力的基本性质）是静力学的理论基础，要求深入理解。

3. 能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影，对合力投影定理有清晰的理解。

4. 理解力对点之矩的概念，并能熟练地计算。

5．深入理解力偶和力偶矩的概念，明确力偶的性质和力偶的等效条件。

6．明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法。

7．熟练而正确地对单个物体与物体系统进行受力分析，画出受力图。

二、基本内容 1．重要概念 1）平衡：物体机械运动的一种特殊状态。

在静力学中，若物体相对于地面保持静止或作匀速直线平动，则称物体处于平衡。

2）刚体：在力作用下不变形的物体。

刚体是静力学中的理想化力学模型。

3）约束：1/ 11对非自由体的运动所加的限制条件。

在刚体静力学中指限制研究对象运动的物体。

约束对非自由体施加的力称为约束反力。

约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向相反。

4）力：物体之间的相互机械作用。

其作用效果可使物体的运动状态发生改变和使物体产生变形。

前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应，理论力学只研究力的外效应。

力对物体作用的效应取决于力的大小、方向、作用点这三个要素，且满足平行四边形法则，故力是定位矢量。

5）力的分类：集中力、分布力；主动力、约束反力 6）力系：同时作用于物体上的一群力称为力系。

按其作用线所在的位置，力系可以分为平面力系和空间力系，按其作用线的相互关系，力系分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系等等。

7）等效力系：分别作用于同一刚体上的两组力系，如果它们对该刚体的作用效果完全相同，则此两组力系互为等效力系。

8）平衡力系：若物体在某力系作用下保持平衡，则称此力系为平衡力系。

9）力的合成与分解：若力系与一个力FR等效，则力FR称为力系的合力，而力系中的各力称为合力FR的分力。

计算机辅助工程与分析读书报告院系：机电工程学院专业：机械工程年级： 2011级学生姓名：张敏明学号： 20117030252012年6月多体动力学读书报告机械工程张敏明 20117030251多体动力学研究对象多体系统动力学是研究由多个柔性体和（或）刚性体所构成的系统的运动规律的学科。

它主要研究系统的动力学建模、分析、求解和控制等问题。

随着科技的发展，在航空、航天、机器人、车辆等工程领域，对一些较为复杂的多体系统的设计和分析提出来更高的要求。

例如：如何较准确地预测系统在一定输入条件下的动态响应以及如何使系统满足人们预先给定的运动要求等，尤其是当采用了更轻更柔的材料，并且所要求的运转速度和运动精度更高时，研究系统的动态特性愈加困难。

多体系统动力学的产生为解决这种多维、时变、高度非线性的复杂动力学问题提供了一种新的理论分析方法。

2多体动力学研究现状多体系统动力学的核心问题是建模和求解问题，其系统研究开始于20世纪60年代。

从60年代到80年代，侧重于多刚体系统的研究，主要是研究多刚体系统的自动建模和数值求解；到了80年代中期，多刚体系统动力学的研究已经取得一系列成果，尤其是建模理论趋于成熟，但更稳定、更有效的数值求解方法仍然是研究的热点；80年代之后，多体系统动力学的研究更偏重于多柔体系统动力学，这个领域也正式被称为计算多体系统动力学，它至今仍然是力学研究中最有活力的分支之一，但已经远远地超过一般力学的涵义近年来，多动力学在汽车技术领域的应用不断增多。

汽车本身是一个复杂的多体系统。

外界载荷的作用更加复杂，加上人-车-环境的相互作用，给汽车系统动力学的研究带来了很大困难。

由于理论方法和计算手段的限制，该学科曾一度发展较为缓慢。

汽车系统动力学发展的主要障碍在于无法有效地解决复杂的受力条件下多自由度分析模型的建立和求解问题。

多体系统动力学的出现为解决上述问题提供了有效的途径。

经过30多年的努力，现在有许多大型通用多体动力学软件可以对汽车进行分析和计算。

多自由度机械系统建模与动力学分析简介多自由度机械系统在工程中具有广泛的应用。

它由多个刚体组成，每个刚体可以沿着多个坐标轴进行运动。

对于这样的系统，建立准确的数学模型和进行动力学分析是非常重要的。

本文将介绍多自由度机械系统的建模方法和动力学分析。

一、刚体运动的描述在多自由度机械系统中，刚体的运动可以用欧拉角、角速度和角加速度来描述。

具体来说，一个刚体可以绕固定坐标轴的旋转和平动，因此需要考虑旋转和平动的自由度。

1. 旋转自由度欧拉角是描述刚体旋转的重要工具。

通常，一个刚体的旋转可以用绕固定坐标轴的三个角度（俯仰角、滚动角和偏航角）来描述。

欧拉角能够提供完全的刚体姿态信息，因此在多自由度机械系统的建模中广泛使用。

2. 平动自由度刚体的平动可以通过位置矢量来描述。

对于一个多自由度机械系统，每个刚体都有自己的位置矢量，从而描述其在空间中的运动。

二、多自由度机械系统的建模建立多自由度机械系统的模型是理解和分析系统行为的关键。

建模的过程可以通过使用拉格朗日方程和哈密顿原理来完成。

1. 拉格朗日方程拉格朗日方程是多自由度机械系统建模中的重要工具。

该方程基于拉格朗日函数，通过最小化系统的运动方程得到。

对于一个n自由度的系统，拉格朗日方程可以表示为：L = T - V其中，L是系统的拉格朗日函数，T是系统的动能，V是系统的势能。

通过对拉格朗日函数求导并应用欧拉-拉格朗日方程，可以得到系统的广义力和运动方程。

2. 哈密顿原理哈密顿原理是另一种用于建模多自由度机械系统的方法。

它基于变分原理，通过最小化系统的作用量来得到系统的动力学方程。

哈密顿原理可以表示为：δS = 0其中，S是系统的作用量，δ表示变分。

通过对作用量的变分，可以导出系统的广义力和运动方程。

三、多自由度机械系统的动力学分析动力学分析是研究多自由度机械系统运动规律和受力情况的过程。

它涉及到求解系统的运动方程和分析系统的稳定性。

1. 运动方程的求解多自由度机械系统的运动方程可以通过拉格朗日方程或哈密顿原理来求解。

力学一级学科四个二级学科-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分是文章引言的一部分，用于介绍文章的主题和背景。

在这篇文章中，我们将讨论力学一级学科的四个二级学科。

力学是研究物体运动和力的学科，是自然科学中最基本、最重要的学科之一。

力学一级学科包括了多个二级学科，每个学科都有其独特的特点和研究内容。

在本文中，我们将重点介绍以下四个二级学科：二级学科1、二级学科2、二级学科3和二级学科4。

二级学科1主要研究物体在直线运动中的力学性质和规律。

它涵盖了质点的运动学和动力学，包括速度、加速度、力和质量等概念。

通过研究质点在直线上的运动，我们可以了解物体如何受力和运动以及这些运动背后的规律。

二级学科2主要研究物体在平面运动中的力学性质和规律。

它扩展了二级学科1的内容，引入了平面上的力学分析和运动规律。

通过研究物体在平面上的运动，我们可以更深入地理解物体的运动规律和受力情况。

二级学科3主要研究物体在空间运动中的力学性质和规律。

它是对二级学科2的进一步拓展，引入了三维空间中的力学分析和运动规律。

通过研究物体在空间中的运动，我们可以更全面地了解物体的运动轨迹、速度和受力情况。

二级学科4主要研究复杂系统的力学性质和规律。

它是对二级学科1-3的整合和应用，研究物体与物体之间的相互作用以及复杂系统的整体力学行为。

通过研究复杂系统的力学性质，我们可以揭示物体之间的相互作用规律和系统的整体运动行为。

通过对这四个二级学科的深入研究，我们可以更全面地了解和掌握力学这一学科的各个方面。

本文将会逐一介绍这四个二级学科的基本概念、研究方法和应用领域，希望能够给读者带来对力学学科的深入理解和启发。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构来展开讨论力学一级学科的四个二级学科：2.1 二级学科1：在这一部分，我们将详细介绍二级学科1的定义、重要概念以及相关应用领域。

我们将探讨该学科的基本原理、研究方法和发展动态，以便读者对该二级学科有一个全面的了解。

空间机构的运动学与动力学建模空间机构是指由多个刚体组成的复杂机械系统，广泛应用于航天、机器人和工业自动化等领域。

为了对空间机构的运动进行研究和控制，运动学与动力学建模是必不可少的工具。

本文将介绍空间机构的运动学与动力学建模方法，并探讨其在实际应用中的意义。

一、运动学建模运动学建模是研究物体运动的几何关系和速度关系，目的是描述机构各个部分之间的位置和速度关系。

在空间机构中，常用的运动学建模方法有解析法和数值法。

解析法是一种基于几何关系的建模方法，通过分析机构的几何特性，推导出机构各个部分之间的位置和速度关系。

例如，对于平行机构，可以通过解析法推导出末端执行器的位置和速度与各个驱动器的位置和速度之间的关系。

数值法是一种基于数值计算的建模方法，通过数值计算机构各个部分的位置和速度。

常用的数值法包括迭代法和数值优化法。

迭代法通过迭代计算机构各个部分的位置和速度，直到满足一定的收敛条件。

数值优化法则通过优化算法，寻找使得机构各个部分的位置和速度满足一定约束条件的最优解。

二、动力学建模动力学建模是研究物体运动的力学关系和力学行为，目的是描述机构各个部分之间的力和力矩关系。

在空间机构中，常用的动力学建模方法有拉格朗日法和牛顿-欧拉法。

拉格朗日法是一种基于能量原理的建模方法，通过定义广义坐标和广义速度，建立机构的拉格朗日方程。

通过求解拉格朗日方程，可以得到机构各个部分之间的力和力矩关系。

拉格朗日法适用于复杂机构的动力学建模，具有较好的通用性和可扩展性。

牛顿-欧拉法是一种基于牛顿定律的建模方法，通过分析机构各个部分之间的力和力矩平衡关系，建立机构的牛顿-欧拉方程。

通过求解牛顿-欧拉方程，可以得到机构各个部分之间的力和力矩关系。

牛顿-欧拉法适用于简单机构的动力学建模，具有较高的计算效率和可实现性。

三、运动学与动力学建模的意义运动学与动力学建模是空间机构研究和控制的基础，具有重要的理论和实际意义。

首先，运动学与动力学建模可以帮助研究人员深入理解机构的运动规律和力学行为。

分析力学教学大纲一、课程简介分析力学课程属于机械工程专业的专业必修课程。

本门课程是对牛顿力学的扩展和深化，是基于能量原理、虚功原理和拉格朗日方程的动力学分析方法，重点介绍刚体的运动学和动力学、单自由度振动（SDOF）系统的动力学、多自由度振动（MDOF）系统的动力学和非惯性系下的动力学等内容。

该课程是机械工程专业的重要理论面向，同时也是计算机、车辆、航空等专业领域的基础课程。

本课程将从理论和应用两个层面讲解分析力学的内容，帮助学生深入理解牛顿力学，掌握动力学的分析方法并将其应用于实际问题中。

二、教学目标1.理论层面通过本门课程的学习，学生可以：•理解分析力学的基本概念和定义；•掌握刚体的运动学和动力学分析方法；•理解单自由度振动（SDOF）系统的动力学分析方法；•掌握多自由度振动（MDOF）系统的动力学分析方法；•掌握非惯性系下的动力学分析方法；•理解拉格朗日方程的应用。

2.应用层面通过本门课程的学习，学生可以：•熟练运用分析力学的基本原理和方法进行机械系统的动力学分析；•针对各种机械系统，进行运动学和动力学分析；•能够应用所学知识对机械系统的振动问题进行分析，并选用合适的方法予以解决；•掌握非惯性系下的动力学分析方法，在设计航天器等系统操作上有所应用。

三、教学内容1.刚体的运动学和动力学•刚体的定义，广义坐标系和广义速度的概念；•刚体的定点运动（欧拉角）和一般运动（柯西-罗日方程）；•刚体的角动量和角动量矩阵；•变角速度和柯西-罗日方程在非惯性系下的运用。

2.单自由度振动（SDOF）系统的动力学•自由振动和强迫振动；•阻尼和其分类；•拉格朗日方程和哈密顿原理运用于SDOF系统；•等效线性化，自激振荡和共振现象。

3.多自由度振动（MDOF）系统的动力学•自由振动和强迫振动；•阻尼和其分类；•模态分析和模态叠加法；•拉格朗日方程和哈密顿原理运用于MDOF系统；•等效线性化和共振现象。

4.非惯性系下的动力学•惯性力、科里奥利力、离心力和欧拉力学；•平面运动和空间运动；•欧拉参数和欧拉方程；•在欧拉角和欧拉角速度下发展的公式以及其运用。

运动学自由度的定义运动学自由度是描述物体在空间中运动的能力的一个重要概念。

它指的是一个物体在运动过程中独立变化的参数的个数，也可以理解为物体可以自由选择的运动方向的个数。

在机械系统中，运动学自由度是指系统中能够独立变化的广义坐标的个数。

在研究物体的运动时，我们需要确定物体的位置和姿态。

位置是物体在空间中的坐标，而姿态则是物体的朝向和旋转状态。

为了描述物体的位置和姿态，我们需要使用广义坐标。

广义坐标是用来描述物体运动状态的独立变量，它可以是位置坐标、角度、弧长等。

在机械系统中，广义坐标的个数就是系统的运动学自由度。

一个物体的运动学自由度取决于物体内部的约束和外部施加的限制。

在没有任何约束和限制的情况下，物体的运动学自由度等于物体的自由度，即物体在三维空间中有六个自由度。

这六个自由度分别对应物体的三个平移自由度和三个旋转自由度。

平移自由度表示物体可以在三个方向上自由移动，而旋转自由度表示物体可以绕三个轴线自由旋转。

然而，在实际情况中，物体往往受到各种约束和限制。

这些约束和限制可以来自物体本身的结构，也可以来自外部施加的力或者运动条件。

这些约束和限制会减少物体的运动学自由度。

例如，一个物体被固定在平面上，则其平移自由度被限制为零，只剩下三个旋转自由度。

又如一个物体被固定在一个轴上，则旋转自由度被限制为一个，只剩下三个平移自由度。

运动学自由度的概念在机器人学、刚体运动学、多体系统动力学等领域都有广泛的应用。

在机器人学中，运动学自由度可以用来描述机器人的可编程自由度，即机器人运动的可控性。

在刚体运动学中，运动学自由度可以用来描述刚体系统的运动状态。

在多体系统动力学中，运动学自由度可以用来描述多个物体的相对运动。

运动学自由度是描述物体在空间中运动能力的重要概念。

它反映了物体可以独立变化的参数的个数，也体现了物体在运动过程中可以自由选择的运动方向的个数。

在机械系统中，运动学自由度是指系统中能够独立变化的广义坐标的个数。