吉林省名校2019届高三第一次联合模拟考试数学(文)试题(解析版)

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2019年吉林省名校高考数学一模试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 设复数z=（5+i）（1-i）（i为虚数单位），则z的虚部是（ ）

A. 4i B. 4 C. −4𝑖 D. −4

2. 已知集合𝐴={𝑥|𝑦=√2−𝑥2，𝑥∈𝑅}，B={x|-1≤x≤3，x∈Z}，则集合A∩B中元素的个数为（

）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

3. 已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点(√2，√6)，则该双曲线的离心率为（ ）

A. 2 B. √2 C. 3 D. √3

4. 某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：

不喜欢 喜欢

男性青年观众 30 10

女性青年观众 30 50

现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n=（ ）

A. 12 B. 16 C. 24 D. 32

5. 若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）

A. √2𝜋 B. 2√2𝜋 C. 2𝜋 D. 4𝜋

6. 设x，y满足约束条件{𝑥+2𝑦−4≤0，𝑥−𝑦−1≤0，2𝑥+𝑦+1≥0，，则z=-2x+y的最大值是（ ）

A. 1 B. 4 C. 6 D. 7

7. 已知函数𝑓(𝑥)={𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥≤𝜋4𝑐𝑜𝑠𝑥，𝑥＞𝜋4，则下列结论正确的是（ ）

A. 𝑓(𝑥)是周期函数 B. 𝑓(𝑥)奇函数

C. 𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=𝜋4对称 D. 𝑓(𝑥)在𝑥=5𝜋2处取得最大值 8. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（ ）

A. 4

B. 13

C. 40

D. 41

9. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，a（2sinB-√3cosC）=√3ccosA，点D是边BC的中点，且AD=√132，则△ABC的面积为（ ）

A. √3 B. √32 C. √3或2√3 D. 3√34或√3

10. 已知抛物线C：y2=6x，直线l过点P（2，2），且与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点恰好为点P，则直线l的斜率为（ ）

A. 13 B. 54 C. 32 D. 14

11. 函数f（x）=xsin2x+cosx的大致图象有可能是（ ）

A. B.

C. D.

12. 已知x＞0，函数f（x）=(𝑒𝑥−𝑎)2+(𝑒−𝑥+𝑎)2𝑒𝑥−𝑒−𝑥的最小值为6，则a=（ ）

A. −2 B. −1或7 C. 1或−7 D. 2

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知向量𝑎⃗ ，𝑏⃗ 不共线，𝑚⃗⃗⃗ =2𝑎⃗ −3𝑏⃗ ，𝑛⃗ =3𝑎⃗ +𝑘𝑏⃗ ，如果𝑚⃗⃗⃗ ∥𝑛⃗ ，则k=______．

14. 已知函数f（x）满足𝑓(𝑥2)=𝑥3−3𝑥，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为______． 第2页，共9页 15. 已知sin10°+mcos10°=-2cos40°，则m=______．

16. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

17. 已知数列{an}为等差数列，a7-a2=10，且a1，a6，a21依次成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=1𝑎𝑛𝑎𝑛+1，数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn=225，求n的值．

18. 随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数yi（单位：人）与时间ti（单位：年）的数据，列表如下：

ti 1 2 3 4 5

yi 24 27 41 64 79

（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

附：相关系数公式𝑟=∑(𝑛𝑖=1𝑡𝑖−𝑡−)(𝑦𝑖−𝑦−)√∑(𝑛𝑖=1𝑡𝑖−𝑡−)2√∑(𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑦−)2=∑𝑡𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛𝑡−𝑦−√∑(𝑛𝑖=1𝑡𝑖−𝑡−)2√∑(𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑦−)2，参考数据√5695≈75.47．

（2）建立y关于t的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）．

（参考公式：𝑏̂=∑(𝑛𝑖=1𝑡𝑖−𝑡−)(𝑦𝑖−𝑦−)∑(𝑛𝑖=1𝑡𝑖−𝑡−)2=∑𝑡𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛𝑡−𝑦−∑𝑡𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑡−2，𝑎̂=𝑦−−𝑏̂𝑡−）

19. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AA1⊥平面ABCD．AB=2AD=4，∠𝐷𝐴𝐵=𝜋3．

（1）证明：平面D1BC⊥平面D1BD；

（2）若直线D1B与底面ABCD所成角为𝜋6，M，N，Q分别为BD，CD，D1D的中点，求三棱锥C-MNQ的体积．

20. 顺次连接椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为√3且面积为2√2的菱形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点Q（0，-2）的直线l与椭圆C交于A，B两点，kOA•kOB=-1，其中O为坐标原点，求|AB|．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+12𝑥2−(𝑚+1)𝑥+𝑚+12．

（1）设x=2是函数f（x）的极值点，求m的值，并求f（x）的单调区间；

（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求m的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1：{𝑦=𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡𝑥=𝑎(1+𝑠𝑖𝑛𝑡),（a＞0，t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：θ=𝜋6（ρ∈R）．

（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（2）若直线C3的方程为y=-√3x，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，若△OMN的面积为2√3，求a的值．

23. 已知函数f（x）=|4x-1|-|x+2|．

（1）解不等式f（x）＜8；

（2）若关于x的不等式f（x）+5|x+2|＜a2-8a的解集不是空集，求a的取值范围．

第4页，共9页 答案和解析

1.【答案】D

【解析】

解：∵z=（5+i）（1-i）=6-4i，

∴z的虚部是-4．

故选：D．

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

2.【答案】B

【解析】 解：，B={-1，0，1，2，3}；

∴A∩B={-1，0，1}；

∴A∩B中元素的个数为：3．

故选：B．

可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可求出A∩B，从而得出A∩B中元素的个数．

考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．

3.【答案】A

【解析】

解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，

由题意可得=，即b=a，

即有双曲线的e====2．

故选：A．

求得双曲线的渐近线方程，结合a，b，c的关系，再由离心率公式，计算可得所求值．

本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

4.【答案】C

【解析】 解：由分层抽样的性质得：

，

解得n=24．

故选：C．

由分层抽样的性质列方程能求出n的值．

本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5.【答案】A

【解析】

解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，

由题意知，r=h=l，

则轴截面的面积为•=1，

解得r=1，所以l=；

所以该圆锥的侧面积为S圆锥侧=πrl=π．

故选：A．

设圆锥的底面圆半径、高和母线长，根据直角三角形的边角关系和面积公式列方程求出r和l的值，再计算圆锥的侧面积公式．

本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．

6.【答案】D

【解析】

解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=-2x+y，得y=2x+z表示，斜率为2纵截距为Z的一组平行直线 第5页，共9页 平移直线y=2x+z，当直线y=2x+z经过点A时，

直线y=2x+z的截距最大，此时z最大，由

解得A（-2，3）

此时-2x+y=7，即此时z=7，

故选：D．

作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．

本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．

7.【答案】C

【解析】

解：作出函数f（x）的图象如图：

则由图象知函数f（x）不是周期函数，故A错误，

不是奇函数，故B错误，

若x＞0，f（+x）=cos（+x）=coscosx-sinsinx=（cosx-sinx），

f（-x）=sin（-x）=sincosx-cossinx=（cosx-sinx），

此时f（+x）=f（-x），

若x≤0，f（+x）=sin（+x）=sincosx+cossinx=（cosx+sinx），

f（-x）=cos（-x）=coscosx+sinsinx=（cosx+sinx），此时f（+x）=f（-x），

综上恒有f（+x）=f（-x），即图象关于直线对称，故C正确，

f（x）在处f（x）=f（）=cos=0不是最大值，故D错误，

故选：C．

作出函数f（x）的图象，结合函数周期性，奇偶性对称性以及最值性的性质分别进行判断即可．

本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，涉及函数周期性，奇偶性对称性以及最值性的性质，利用定义法结合数形结合是解决本题的关键． 8.【答案】C

【解析】

解：模拟程序的运行，可得

A=1，B=0

满足条件A≤4，执行循环体，B=1，A=2

满足条件A≤4，执行循环体，B=4，A=3

满足条件A≤4，执行循环体，B=13，A=4

满足条件A≤4，执行循环体，B=40，A=5

此时，不满足条件A≤4，退出循环，输出B的值为40．

故选：C．

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量B的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

9.【答案】D

【解析】

解：∵a（2sinB-cosC）=ccosA，

∴2sinAsinB-sinAcosC=sinCcosA，

即2sinAsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，