离散型随机变量的分布列1．离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n的概率分布列，简称为的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；（1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.和函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P （X ＝x i ）＝p i ，i ＝1，2，…，n 和图象表示.（2）随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况. 2．两个特殊分布 (1)两点分布X 0 1P1－pp若随机变量X p ＝P (X ＝1)为成功概率．(2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －M C n N，k ＝0，1，2，…，m ，即X 01…mP C0M C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C m M C n－mN－MC n N其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．(1)超几何分布的模型是不放回抽样．(2)超几何分布中的参数是M，N，n.(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( )(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( )(4)超几何分布的模型是放回抽样．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是( )A.ξ－10 1P 0.30.40.4B.ξ12 3P 0.40.7－0.1C.ξ－10 1P 0.30.40.3D.ξ12 3P 0.30.10.4答案：C若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝________． 答案：0.8探究点1 离散型随机变量的分布列某班有学生45人，其中O 型血的有15人，A 型血的有10人，B 型血的有12人，AB 型血的有8人．将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1，2，3，4，现从中抽1人，其血型编号为随机变量X ，求X 的分布列. 【解】 X 的可能取值为1，2，3，4. P (X ＝1)＝C 115C 145＝13，P (X ＝2)＝C 110C 145＝29，P (X ＝3)＝C 112C 145＝415，P (X ＝4)＝C 18C 145＝845.故X 的分布列为X 1 2 3 4 P1329415845求离散型随机变量分布列的一般步骤(1)确定X 的所有可能取值x i (i ＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义． (2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P (X ＝x i )＝p i (i ＝1，2，…)． (3)写出分布列．(4)根据分布列的性质对结果进行检验．抛掷甲，乙两个质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上的数字分别为x ，y .设ξ为随机变量，若x y 为整数，则ξ＝0；若x y为小于1的分数，则ξ＝－1；若x y为大于1的分数，则ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)； (2)求ξ的分布列．解：(1)依题意，数对(x ，y )共有16种情况，其中使x y为整数的有以下8种： (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)， 所以P (ξ＝0)＝816＝12.(2)随机变量ξ的所有取值为－1，0，1. 由(1)知P (ξ＝0)＝12；ξ＝－1有以下6种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，故P (ξ＝－1)＝616＝38；ξ＝1有以下2种情况：(3，2)，(4，3)，故P (ξ＝1)＝216＝18，所以随机变量ξ的分布列为ξ －1 0 1 P381218探究点2 设随机变量X 的分布列P (X ＝k5)＝ak (k ＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a 的值； (2)求P (X ≥35)；(3)求P (110＜X ＜710)．【解】 (1)由P (X ＝k5)＝ak ，k ＝1，2，3，4，5可知，∑k ＝15P (X ＝k5)＝∑k ＝15ak ＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝115.(2)由(1)可知P (X ＝k 5)＝k15(k ＝1，2，3，4，5)，所以P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45.(3)P (110＜X ＜710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝25.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．(2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(2018·河北邢台一中月考)随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝ck （k ＋1），k＝1，2，3，4，c 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜X ＜52的值为( )A.45 B.56 C.23D.34解析：选B.由题意c 1×2＋c 2×3＋c 3×4＋c4×5＝1，即45c ＝1，c ＝54， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＝56.故选B. 探究点3 两点分布与超几何分布一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球． (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率．(2)记取得1号球的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．【解】 (1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n ＝C 36＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C 13C 12C 11＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P ＝620＝310. (2)由题意知X ＝0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 33C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P (X ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，所以X 的分布列为1．[变问法]在本例条件下，记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列． 解：由题意知η＝0，1，服从两点分布，又P (η＝1)＝C 25C 36＝12，所以随机变量η的分布列为2．[变条件]3次球，每次抽取1个球”其他条件不变，结果又如何？解：(1)取出3个球颜色都不相同的概率P ＝C 13×C 12×C 11×A 3363＝16. (2)由题意知X ＝0，1，2，3. P (X ＝0)＝3363＝18，P (X ＝1)＝C 13×3×3×363＝38. P (X ＝2)＝C 23C 13×3×363＝38， P (X ＝3)＝3363＝18.所以X 的分布列为P18 38 38 18求超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布． (2)在超几何分布公式中，P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N ，k ＝0，1，2，…，m ，其中，m ＝min{M ，n }，且0≤n ≤N ，0≤k ≤n ，0≤k ≤M ，0≤n －k ≤N －M .(3)如果随机变量X 服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X 的所有取值．(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了2名男生，3名女生，理学院推荐了4名男生，3名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名学生再随机抽取4名参赛，记X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列．解：(1)由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从理学院中抽出(等价于文学院中没有学生入选代表队)的概率为：C 33C 34C 36C 36＝1100，因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为：1－1100＝99100.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X 表示参赛的男生人数， 则X 的可能取值为：1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 13C 33C 46＝15.所以X 的分布列为X 1 2 3 P1535151．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )A ．0 B.13 C.12D.23解析：选B.设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p . 依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝23.故P (ξ＝0)＝1－p ＝13.2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( ) A.1220 B.2755 C.27220 D.2125解析：选C.X ＝4表示取出的3个球为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.3．随机变量η的分布列如下则x ＝________，P 解析：由分布列的性质得0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55. 答案：0 0.554．某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数ξ的分布列及P (ξ＜2)． 解：由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3. 则P (ξ＝0)＝C 04C 33C 37＝135，P (ξ＝1)＝C 14C 23C 37＝1235，P (ξ＝2)＝C 24C 13C 37＝1835，P (ξ＝3)＝C 34C 03C 37＝435.所以随机变量ξ的分布列为P135 **** **** 435P (ξ＜2)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝35＋35＝35.知识结构深化拓展1.离散型随机变量分布列的性质是检验一个分布列正确与否的重要依据(即看分布列中的概率是否均为非负实数且所有的概率之和是否等于1)，还可以利用性质②求出分布列中的某些参数，也就是利用概率和为1这一条件求出参数． 2．超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N 、M 和n 就可以根据公式：P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N 求出X 取不同值k 时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M 、N 、n 、k 的含义.[A 基础达标]1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25 解析：选B.号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种．2．随机变量X 所有可能取值的集合是{－2，0，3，5}，且P (X ＝－2)＝14，P (X ＝3)＝12，P (X＝5)＝112，则P (X ＝0)的值为( )A ．0 B.14 C.16 D.18解析：选C.因为P (X ＝－2)＋P (X ＝0)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝1，即14＋P (X ＝0)＋12＋112＝1，所以P (X ＝0)＝212＝16，故选C.3．设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)＝A.712 B.512 C.14 D.16解析：选B.根据概率分布列的性质得出：13＋m ＋14＋16＝1，所以m ＝14，随机变量X 的概率分布列为所以P (|X －3|＝1)＝P (X ＝4)＋P (X ＝2)＝12.故选B.4．若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8A ．x ≤1 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2 D ．1≤x <2 解析：选C.由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， 所以P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2.5．(2018·湖北武汉二中期中)袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3，现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X ，则P (X ＝3)等于( )A.528B.17C.1556D.27解析：选D.X ＝3第一种情况表示1个3，P 1＝C 12·C 24C 38＝314，第二种情况表示2个3，P 2＝C 22·C 14C 38＝114，所以P (X ＝3)＝P 1＋P 2＝314＋114＝27.故选D. 6．随机变量Y 的分布列如下：则(1)x ＝________(3)P (1＜Y ≤4)＝________．解析：(1)由∑6i ＝1p i ＝1，得x ＝0.1. (2)P (Y ＞3)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＋P (Y ＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45. (3)P (1＜Y ≤4)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＋P (Y ＝4)＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.557．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab .则这名运动员得3分的概率是________． 解析：由题意得，2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，a ＋b ＋c ＝1，且a ≥0，b ≥0，c ≥0， 联立得a ＝12，b ＝13，c ＝16，故得3分的概率是16.答案：168．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，则P (X ＝2)＝________．解析：设10个球中有白球m 个，则C 210－m C 210＝1－79，解得：m ＝5.P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512.答案：5129．设离散型随机变量X 的分布列为：试求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．解：由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 所以m ＝0.3. 列表为：(1)2X ＋1的分布列为：(2)|X －1|10．从集合{1，2，3，4，5}中，等可能地取出一个非空子集．(1)记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率； (2)记所取出的非空子集的元素个数为X ，求X 的分布列． 解：(1)记“所取出的非空子集满足性质r ”为事件A . 基本事件总数n ＝C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝31.事件A 包含的基本事件是{1，4，5}，{2，3，5}，{1，2，3，4}，事件A 包含的基本事件数m ＝3.所以P (A )＝m n ＝331.(2)依题意，X 的所有可能值为1，2，3，4，5. 又P (X ＝1)＝C 1531＝531，P (X ＝2)＝C 2531＝1031，P (X ＝3)＝C 3531＝1031，P (X ＝4)＝C 4531＝531，P (X ＝5)＝C 5531＝131.故X 的分布列为11．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 C ．[－3，3] D ．[0，1] 解析：选B.设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1， 故a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.12．袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P (ξ≥8)＝________． 解析：由题意知P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝6)－P (ξ＝4)＝1－C 15C 34C 49－C 44C 49＝56.答案：5613．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505 g 的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为质量超过505 g 的产品数量，求Y 的分布列． 解：(1)根据频率分布直方图可知，质量超过505 g 的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12(件)．(2)随机变量Y 的可能取值为0，1，2，且Y 服从参数为N ＝40，M ＝12，n ＝2的超几何分布，故P (Y ＝0)＝C 012C 228C 240＝63130，P (Y ＝1)＝C 112C 128C 240＝2865，P (Y ＝2)＝C 212C 028C 240＝11130.所以随机变量Y 的分布列为Y 0 1 2 P6313028651113014．(选做题)袋中装着外形完全相同且标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．解：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ， 则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.(2)由题意，知X 的所有可能取值为2，3，4，5， P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130， P (X ＝3)＝C 22C 14＋C 12C 24C 310＝215， P (X ＝4)＝C 22C 16＋C 12C 26C 310＝310， P (X ＝5)＝C 22C 18＋C 12C 28C 310＝815.所以随机变量X 的分布列为则P (C )＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝215＋310＝1330.。
离散型随机变量的分布列与期望和方差考点一：离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量 (2)方差：称D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根()X D 为随机变量X 的标准差．（3）均值与方差的性质 1．E(aX ＋b)＝aE(X)＋b. 2．D(aX ＋b)＝a2D(X)(a ，b 为常数)． 考点二：超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，如果随机变量X 的分布列具有下表形式，考点三：二项分布二项分布；在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 基础练习1.在某公司的两次投标工作中，每次中标可以获利14万元，没有中标损失成本费8000元．若每次中标的概率为0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为X 万元，则EX ＝（ ） A ．18.12B ．18.22C ．19.12D ．19.222.设服从二项分布B （n ，p ）的随机变量X 的期望与方差分别是10和8，则n ，p 的值分别是（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知X 的分布列为X ﹣1 0 1 P且Y ＝aX +3，E （Y ）＝，则a 为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.设随机变量X ∼N(1,δ2),且P(X>2)=51,则P(0<X<1)=___.5.已知离散型随机变量x 的取值为0，1，2，且()()(),2,1,410b x p a x p x p ======若()1=X E ，则 ()=X D .6.若随机变量，且，，则当 ．（用数字作答）7.已知随机变量X 满足(23)7E X +=，(23)16D X +=，则下列选项正确的是( ) A ．7()2E X =，13()2D X = B ．()2E X =，()4D X = C ．()2E X =，()8D X = D ．7()4E X =，()8D X = 超几何分布VS 二项分布1.“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．2.某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50~(,)X B n p 52EX =54DX =(1)P X ==条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：（1）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X ，求x 的分布列和数学期望．3.假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁，保险公司要赔偿10万元；若投保人活过65岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付4万元已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.9，随机抽取4个投保人，设其中活过65岁的人数为X ，保险公司支出给这4人的总金额为Y 万元(参考数据：40.90.6561=) (1)指出X 服从的分布并写出Y 与X 的关系； (2)求(22)≥P Y .(结果保留3位小数)考点四：正太分布1.已知随机变量ξ服从正态分布)9,5(N ，若)2()2(-<=+>c p c p ξξ，则c 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72.已知随机变量服从正态分布即，且，若随机变量，则（ ）A ．0.3413B ．0.3174C ．0.1587D ．0.15863.已知随机变量X ∼N （2，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ）A ．0.1359B ．0.7282C ．0.8641D ．0.932054.某市高三年级第二次质量检测的数学成绩X 近似服从正态分布N （82，σ2），且P （74＜X ＜82）＝0.42．已知我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ） A ．64B ．81C ．100D ．1215.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．X 2~(,)X N μσ()0.6826P X μσμσ-<≤+=~(5,1)X N (6)P X ≥=①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求()E X ．12.2≈．若2(,)Z N μσ～，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)P Z μσμσ-<<+0.9544=．。
