问题8.2 求圆锥曲线离心率或离心率范围-2020届高三数学成功在我之优等生提分精品(学生版)

1 专题八 解析几何

问题二：求圆锥曲线离心率或离心率范围

一、考情分析

离心率的范围问题是高考的热点问题,各种题型均有涉及,因联系的知识点较多,且处理的思路和方法比较灵活,关键在于如何找到不等关系式,从而得到关于离心率的不等式,进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难,本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.

二、经验分享

离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．

2.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a，c的齐次式，进而求解.(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征||PF1＋||PF2≥2c的运用

三、知识拓展

1.在求椭圆222210xyabab离心率范围时常用的不等关系：,xayb，acFPac，bOPa（P为椭圆上一点）

2.在双曲线222210,0xyabab中，21cbeaa，

2 四、题型分析

(一) 借助平面几何图形中的不等关系

【例1】【2017届湖南师大附中高三上学期月考三】已知两定点1,0A和1,0B,动点,Pxy在直线:3lyx上移动,椭圆C以,AB为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为（ ）

A．55 B．105 C. 255 D．2105

【小试牛刀】已知椭圆22122:1(0)xyCabab与圆2222:Cxyb,若在椭圆1C上存在点P,使得由点P所作的圆2C的两条切线互相垂直,则椭圆1C的离心率的取值范围是（ ）

A．1[,1)2 B．23[,]22 C．2[,1)2 D．3[,1)2

3 (二) 借助题目中给出的不等信息

【例2】 已知椭圆22221(0)xyabab上一点A关于原点O的对称点为,BF为其右焦点,若,AFBF设,ABF且,,124则椭圆离心率的取值范围是

.

【小试牛刀】【百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考】．已知平行四边形ABCD内接于椭圆2222:10xyabab，且AB， AD斜率之积的范围为32,43，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A. 13,23 B. 32,32 C. 13,43 D. 11,43

4 (三) 借助函数的值域求解范围

【例3】已知椭圆221:12xyCmn与双曲线222:1xyCmn有相同的焦点,则椭圆1C的离心率e的取值范围为（ ）

A．2(,1)2 B．2(0,)2 C．(0,1) D．1(0,)2

【小试牛刀】【2017届福建连城县二中高三上学期期中】已知二次曲线2214xym,则当2,1m时,该曲线的离心率e的取值范围是（ ）

A．2322， B．26,22 C．56,22 D．36,22

5 (四) 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围

【例4】【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】设12,FF为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点,且12||2FFc,若椭圆上存在点P使得212||||2PFPFc,则椭圆的离心率的最小值为（ ）

A．12 B．13 C．22 D．33

【小试牛刀】【2016届黑龙江省大庆实验中学高三12月月考】已知12,FF分别为双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若212PFPF的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）

A．1,3 B．1,3 C．3,3 D．3,

6 四、迁移运用

1．【湖南省郴州市2018届高三第二次教学质量检测】设椭圆2222:1xyEab (0ab)的一个焦点2,0F点2,1A为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P，使得8PAPF，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）

A. 44,97 B. 4497， C. 22,97 D. 22,97

2．【广东省珠海一中等六校2018届高三第三次联考】已知点为双曲线的右焦点，直线与交于两点，若,设,且，则该双曲线的离心率的取值范围是( )

A. B. C. D.

7 3．【广东省六校2018届高三下学期第三次联考】已知点为双曲线的右焦点，直线与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是

A. B. C. D.

4．【浙江省镇海中学2018届高三上学期期末】已知点P在以为左右焦点的椭圆上，椭圆内一点Q在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）

A. B. C. D.

8 5．【福建省宁德市2018届高三上学期期末】已知1F、2F分别是椭圆C： 22221(0)xyabab的左、右焦点，若椭圆C上存在点A，满足1223AFAFa，则椭圆的离心率取值范围是（ ）

A. 1,12 B. 1,15 C. 2,15 D. 2,15

6．【2017届湖南长沙一中高三月考五】已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为1F,2F.这两条曲线在第一象限的交点为P,12PFF是以1PF为底边的等腰三角形.若1||10PF,记椭圆与双曲线的离心率分别为1e、2e,则12ee的取值范围是（ ）

A.1(,)9 B.1(,)5

C.1(,)3 D.(0,)

9 7．【2017届湖南湘中名校教改联合体高三12月联考】过双曲线22221xyab（0a,0b）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,与双曲线的渐近线交于C,D两点,若35ABCD,则双曲线离心率的取值范围为（ ）

A．5,3 B．5,4 C．51,3 D．51,4

8.已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A,B两点．若|AF|＋|BF|＝4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是( )

A.0，32 B.0，34 C.32，1 D.34，1

10 9．已知椭圆22221(0)xyabab上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为椭圆的右焦点,且满足AFBF,设ABF,且[,]126,则该椭圆的离心率e的取值范围为（ ）

A．313[,]22 B．316[,]23

C．6[31,]3 D．3[31,]2

10．已知12,FF是双曲线22221xyab(0,0)ab的左、右两个焦点,以线段12FF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M,与双曲线交于点N（点M,N均在第一象限）,当直线1MF与直线ON平行时,双曲线离心率取值为0e,则0e所在区间为（ ）

A．(1,2) B．(2,3) C．(3,2) D．(2,3)

11 11.F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2＝90°,则椭圆的离心率的取值范围是________．

12.【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】已知P是椭圆2222111xyab11(0)ab和双曲线2222221xyab22(0,0)ab的一个交点,12,FF是椭圆和双曲线的公共焦点,12,ee分别为椭圆和双曲线的离心率,1223FPF,则1211ee的最大值为

12 13.在平面直角坐标系中,已知点(2,2)F及直线:20lxy,曲线1C是满足下列两个条件的动点(,)Pxy的轨迹：①2,PFd其中d是P到直线l的距离；②00.225xyxy

(1) 求曲线1C的方程;

(2) 若存在直线m与曲线1C、椭圆22222:1(0)xyCabab均相切于同一点,求椭圆2C离心率e的取值范围.

13 14.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与直线x＋y＝1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点．

(1)求1a2＋1b2的值

(2)若椭圆的离心率e满足33≤e≤22,求椭圆长轴的取值范围．