高考数学一轮复习 第二章 第四节 二次函数与幂函数演

1 第四节 二次函数与幂函数

[全盘巩固]

1．二次函数y＝－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则t的值是( )

A．－4 B．4 C．－2 D．2

解析：选A 二次函数图象的顶点在x轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t＝0，解得t＝－4.

2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是 ( )

A．①y＝x13，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1

B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1

C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x12，④y＝x－1 2 D．①y＝x13，②y＝x12，③y＝x2，④y＝x－1

解析：选B 函数y＝x2的定义域、值域分别为R和[0，＋∞)，且其图象关于y轴对称，故该函数应与图象②对应；函数y＝x12＝x的定义域、值域都是[0，＋∞)，故该函数应与图象③对应；函数y＝x－1＝1x，该函数应与图象④对应，故排除选项C，D.对于函数y＝x13，随着x的增大，函数图象向x轴弯曲；而对于函数y＝x3，随着x的增大，函数图象向y轴弯曲，故图象①应与函数y＝x3对应．

3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )

A B C D

解析：选D ∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，

∴a＞0，c＜0，

∴y＝ax2＋bx＋c的开口向上，且与y轴的交点(0，c)在负半轴上．

4．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)( )

A．在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增

B．在(－∞，3)上单调递增

C．在[1,3]上单调递增

D．单调性不能确定

解析：选A 由已知可得该函数的图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1＞0，所以f(x)在(－∞，2]上是单调递减的，在[2，＋∞)上是单调递增的．

5．方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为( )

A.－235，＋∞ B．(1，＋∞) 3 C.－235，1 D.－∞，－235

解析：选C 令f(x)＝x2＋ax－2，

由题意，知f(x)图象与x轴在[1,5]上有交点，

则 f1≤0，f5≥0.解得－235≤a≤1.

6．(2014·衢州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0＜a＜3)，若x1＜x2，x1＋x2＝1－a，则( )

A．f(x1)＝f(x2)

B．f(x1)＜f(x2)

C．f(x1)＞f(x2)

D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定

解析：选B 函数的对称轴为x＝－1，

设x0＝x1＋x22，

由0＜a＜3，得到－1＜1－a2＜12，

又x1＜x2，

用单调性和离对称轴的远近作判断，故选B.

7．若y＝xa2－4a－9是偶函数，且在(0，＋∞)内是减函数，则整数a的值是________．

解析：∵函数在(0，＋∞)内是减函数，

∴a2－4a－9＜0.

∴2－13＜a＜2＋13，

又函数是偶函数，

∴a2－4a－9是偶数，

∴整数a的值可以是－1,1,3或5.

答案：－1,1,3或5

8．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________．

解析：依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，

又其图象过点(0,1)，∴4a－1＝1，∴a＝12.

∴f(x)＝12(x－2)2－1.

答案：f(x)＝12(x－2)2－1

9．(2014·海口模拟)二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意x恒有f(2＋x)＝f(2 4 －x)，若f(1－2x2)＜f(1＋2x－x2)，则x的取值范围是________．

解析：由f(2＋x)＝f(2－x)，知x＝2为对称轴，由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x2－2|＜|1＋2x－x2－2|，即|2x2＋1|＜|x2－2x＋1|，∴2x2＋1＜x2－2x＋1，∴－2＜x＜0.

答案：(－2,0)

10．设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x＜1时，y＝f(x)的表达式是幂函数，且经过点12，18.求函数在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表达式．

解：设在[－1,1)上，f(x)＝xn，由点12，18在函数图象上，求得n＝3.

令x∈[2k－1,2k＋1)，则x－2k∈[－1,1)，

∴f(x－2k)＝(x－2k)3.又f(x)周期为2，

∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.

即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．

11．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.

(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；

(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．

解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，

对称轴x＝－32∈[－2,3]，∴f(x)min＝f－32＝94－92－3＝－214，f(x)max＝f(3)＝15，

∴函数f(x)的值域为－214，15.

(2)函数f(x)的对称轴为x＝－2a－12.

①当－2a－12≤1，即a≥－12时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，

∴6a＋3＝1，即a＝－13满足题意；

②当－2a－12＞1，即a＜－12时，

f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．

综上可知a＝－13或－1.

12．(2014·湖州模拟)已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)．

(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；

(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围． 5 解：(1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a＞1)，

∴f(x)在[1，a]上是减函数．

又定义域和值域均为[1，a]．

∴ f1＝a，fa＝1，即 1－2a＋5＝a，a2－2a2＋5＝1，解得a＝2.

(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，

∴a≥2.

又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，

∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2.

∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，

∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3.

又a≥2，∴2≤a≤3.

故实数a的取值范围是[2,3]．

[冲击名校]

1．对于任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，那么x的取值范围是( )

A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)

C．(1,2) D．(3，＋∞)

解析：选B f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，

令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，

由题意知 g1＞0，g－1＞0，即 x2－3x＋2＞0，x2－5x＋6＞0.

解得x＞3或x＜1，故选B.

2．已知函数f(x)＝ax2－(3－a)x＋1，g(x)＝x，若对于任意实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数a的取值范围是( )

A．[0,3) B．[3,9) C．[1,9) D．[0,9)

解析：选D 据题意只需转化为当x≤0时，ax2－(3－a)·x＋1>0恒成立即可．结合f(x)＝ax2－(3－a)x＋1的图象，当a＝0时验证知符合条件；当a≠0时必有a>0，当x＝3－a2a≥0时，函数在(－∞，0)上单调递减，故要使原不等式恒成立，只需f(0)>0即可，解得0＜a≤3；当x＝3－a2a<0时，只需f3－a2a>0即可，解得3

[高频滚动] 6 1．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是 ( )

A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数

C．f(x)＋1为奇函数 D．f(x)＋1为偶函数

解析：选C 法一：根据题意，令x1＝x2＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋1，所以f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1，所以f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，即f(x)＋1＝－[f(－x)＋1]，故f(x)＋1为奇函数．

法二：(特殊函数法)由条件f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1可取f(x)＝x－1，而f(x)＋1＝x是奇函数．

2．设y＝f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于函数y＝f(x)的三个命题：

①y＝f(x)是周期函数；

②y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；

③y＝f(x)在[0,1]上是增函数．

其中正确命题的序号是________．

解析：因偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，令x＝x－1，则f(x)＝－f(x－1)，故f(x＋1)＝f(x－1)，所以f(x)是周期为2的周期函数，①正确；又f(1－x)＝f(x－1)＝f(1＋x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，②正确；又函数f(x)在[－1,0]上是增函数，则f(x)在[0,1]是减函数，③错误．

答案：①②