通信过程中的随机过程

窄带随机过程

通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，通常在

接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机

过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。

一、窄带随机过程的定义 窄带随机过程的定义借助于它的功率谱密度的图形来说

明。图3.5.1（a）中，波形的中心频率为，带宽为，当满足

时，就可认为满足窄带条件。 若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。

若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。 随机过程通过窄带滤波器之后变成窄带随机过程。

图3.5.1窄带波形的频谱及示意波形   二、窄带随机过程的表示方式

如果在示波器上观察这个过程中一个样本函数的波形，则

会发现它像一个包络和相位缓慢变化的正弦波，如图3.5.1（b）所示。因此窄带随机过程可用下式表示成：

式中，是窄带随机过程包络；

是窄带随机过程的随机相位。

窄带随机过程也可用下式表示

其中: 这里的和分别被称作的同相分量和正交分量。 可见，的统计特性可以由、或、的统计特性来确定。反之，

若已知的统计特性，怎样来求 、或、的特性呢？ 三、同相分量与正交分量的统计特性

设窄带随机过程是均值为零平稳的窄带高斯过程。可以证

明，它的同相分量和正交分量也是均值为零的平稳高斯过程，而且与具有相同的方差。

1.数学期望 已设是平稳的，且均值为零，即对于任意时刻，有，所以，可

得 即 2.自相关函数

我们知道一些统计特性可以从自相关函数中得到，所以，

按定义的自相关函数为 将上式展开，并取数学期望为

其

中

因为是平稳的，可以令，得

（1） 同理，令，得

（2） 如果是平稳的，则、也是平稳的。

由于式（1）和式（2）相等，则应有 可见，的同相分量和正交分量具有相同的自相关函数，而且根据互相关

函数的性质，有 可见，有 上式表示，为的奇函数，所以 同理可以证明

通信原理辅导及习题解析（第六版）

第3章随机过程

本章知识结构及内容小结

[本章知识结构]

[知识要点与考点] 随机过程 高斯随机过程 性质

一维高斯分布 基本概念 定义

分布函数

数字特征

定义

备态历经性

自相关函数

功率谱密度 平稳随机过程

平稳随机过程通过线性系统 自相关函数

功率谱密度 均值

窄带随机过程 表达式

统计特征

正弦波加窄带高斯噪声 表达式

统计特征

高斯白噪声和带限白噪声 白噪声

带限白噪声 低通白噪声

带通白噪声 1． 随机过程的基本概念

（1）随机过程的定义

随机过程可从样本函数与随机变量两种角度定义。第一，随机过程是所有样本函数的集合；第二，随机过程可以看作实在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

（2）随机过程的分布函数

① n维分布函数

12121122(,,,;,,,){(),(),,()}nnnnnFxxxtttPtxtxtx

② n维概率密度函数

1212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,),,,nnnnnnnFxxxtttfxxxtttxxx

维数n越大，对随机过程统计特征的描述就越充分。

（3）随机过程的数字特征

① 均值（数学期望）

1[()](,)()Etxfxtdxat

均值表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。

② 方差

2222[()]{()[()]}[()]()()DtEtEtEtatt

方差表示随机过程在时刻t相对于均值的偏离程度。

③自相关函数

1212(,)[()()]RttEtt

自相关函数目的是为了衡量在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。 ④协方差函数

1211221212(,){[()()][()()]}(,)()()BttEtattatRttatat

协方差函数对随机过程在任意两个时刻上的随机变量与各自均值的差值之间的相关联程度进行描述。

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1 / 12 第二章 随机过程分析

1.1 学习指导

1.1.1 要点

随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。

1. 随机过程的概念

随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。

2. 随机过程的分布函数和概率密度函数

如果ξ(t)是一个随机过程，则其在时刻t1取值ξ(t1)是一个随机变量。ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率为P[ ξ(t1) ≤x1]，随机过程ξ(t)的一维分布函数为

F1(x1, t1) = P[ξ(t1) ≤x1] (2-1)

如果F1(x1, t1)的偏导数存在，则ξ(t)的一维概率密度函数为

1111111(,)(, ) (2 - 2)Fxtfxtx

对于任意时刻t1和t2，把ξ(t1) ≤x1和ξ(t2) ≤x2同时成立的概率

212121122(, ; , )(), () (2 - 3)FxxttPtxtx

称为随机过程(t)的二维分布函数。如果

2212122121212(,;,)(,;,) (2 - 4)Fxxttfxxttxx

存在，则称f2(x1, x2; t1, t2)为随机过程(t)的二维概率密度函数。

对于任意时刻t1，t2，…，tn，把

n12n12n1122nn()(),(),,() (2 - 5)FxxxtttPtxtxtx，，，；，，，称为随机过程(t)的n维分布函数。如果

随机过程学习报告

通过这一段时间以来的学习，我认识到我们的生活中充满了随机过程的实例，在生活中我们经常需要了解在一定时间间隔[0,t)内某随机事件出现次数的统计规律，如到某商店的顾客数；某电话总机接到的呼唤次数；在电子技术领域中的散粒噪声和脉冲噪声；已编码信号的误码数等。在我们的专业学习——通信工程中，研究数字通信中已编码信号的误码流，数模变换中对信号进行采样等也都会应用到随机过程的知识，因此这门课程的学习是非常重要的。

一、认识泊松过程与复合泊松过程的区别

泊松过程是一类很重要的随机过程，随机质点流描述的随机现象十分广泛，下面我就通过运用泊松过程的知识解答一道书本中的实际应用题目：

设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有两户定居，即λ=2。若每户的人口数是随机变量，一户4人的概率是1/6，一户3人的概率是1/3，一户两人的概率是1/3，一户一人的概率是1/6，且每户的人口数是相互独立的，①5周内移民到该地区定居的人口数是否为泊松过程？②求上述随机过程的数学期望与方差。

分析：这道题目中的问题就是复合泊松过程的实际应用，这类过程具有泊松过程的一部分性质，不同的地方就在于随机质点流的到达不必再满足每次只能到一个的标准，这就将随机过程的研究与实际相融合，生活中的大部分过程其实是不可能满足每次到达一个这样的苛刻要求的，比如调查到达商场购物的人数等问题时，实际去商场购物时人们大多都是与好朋友结伴出行而不可能存在每个人都是独自来购物的现象，所以引入复合泊松过程是十分有必要的。

解：设[0,t)时间内到该地定居的户数为N(t)，则{N(t)，t>=0}是一泊松过程，X(n)为第n户移民到该地定居的家庭人口数，{X(0)=0,X(n),n=1,2,3···}是独立同分布随机变量列，Y(t)为[0,t)时间内定居到该地的人数。

则Y(t)=)(0)n(XtNn t>=0 为一复合泊松过程，

)()(nX=4ie*1/6+3ie*1/3+2ie*1/3+ie*1/6