高等数学A(一)复习题答案

1 高等数学A(一)复习题答案

一、 求极限

1．913933311311222002xxxxxxxxexxxxxsinsinlimcoscoslimsinsinlimsin)sin(limcos

2．2211122020xxxxxxexexxxxlim)cos()ln()(lim

3．abaxxbxbxbxbxbxaaaxlnlnlimlog)(log)(loglim202012112

4.2122111111002000xexxexxexexeexxxxxxxxxxxxsinlimcoslimsinlimsin)(sinlim)sin(lim

5.2331312022022axexxeaxxaxxsinlimsinlim

6．)(lim022aaxaxxx

原式＝eeaxaxxaxaxaxaxx1222221)(lim

7．3211311213121312112323332232)()(lim)()(limlim)ln()ln(limxxxxxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeee

8．)sinln(coslim)sin(coslimxxxxxxxexxx221010

212210020)sin(coscoslim)sin(coscossinsinlim)sinln(coslimxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

21e原式

9．)(tan)()ln(lim)(tan)ln(limtan)ln(limxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1312133132111321220322033220

1532331312123222210)ln(cos)(sin)ln(limexxxxxxxx

10．设：13221xaxxxlim，求：,a

解：103203221aaaxxx)(lim

53211321321121)(lim))((limlimxxxxxxxxxx 2 二、求函数间断点，并指出所属类型：

1.

xey1111

1x是间断点

xxe111lim 0111xxelim 01yxlim 10111yxlim x是第一类间断点。

2．时当时当时当2111020121xxxxxexyxxarcsin)(

是间断点10xx,

xxxxxxxffexf100002001lim)(lim)()(lim)(lim

0x是第二类间断点。

21122211111)arcsin(lim)(limlim)(limxxxfxfxxxxx

1x是第一类间断点。

3．求ba,的值，使时时当当时当0100112xbxxaxxxxfx)(cos)( 处连续在0x

2110020xxfxcoslim)( bebxfxx110100])[(lim)(

af)(0 1212100000ebafff,)()()(得由

三、求导数：

1． ''yxxarctgxy求211

2321)(arctan'xxy

252131)(arctan''xxxy

2. ')(lnlnyxxyxx求

xxxxyyxxxylnlnlnln')(lnlnlnln212 )lnlnln(ln)(ln'lnxxxxxxyxx21

3. '')(lnyxafy求

)(ln')(ln'''')(ln')'ln(ln)(ln''xafxxafxyxafxxaxafy22111

4.23112tytx 122tdxyd|求

22216161tttttdxdy 482136112322122ttttxdxyd)(

3 5. 222dxydtfytx求)(arctan。

)(')(')(tftdxdyttfdtdyttttdtdx2121111212

)]()('[)()(])()()('[''''tftttfttttttfttfdxyd2121112112122

6. )('),('sin02yxyyyex求。

yx,0 302)('cos)('yyeyexyxx

7. )(''),(')(0000021ffxxexfx求。

021002210100xxxxxexexxfxfflimlim)()(lim)('

000000000)(',lim)()(lim)('fxxfxffxx

0200213xexxxfx)('

02200410130022xexexxfxffxxxxxlimlim)(')('lim)(''

0000xfxffx)(')('lim)('' 00)(''f

8.

00122xxxxxxfsin)( 讨论的连续性处的可导性和在)(')(xfxxf0。

0100200xxxxfxffxxsinlim)()(lim)('

000000200)(',lim)()(lim)('fxxxfxffxx

011202xxxxxxxfcossin)('

不存在)('limxfx0 间断在0xxf)('

9. 的表达式写出设)]('[')]('[)]([')]([,cos)(,ln)(xgfxgfxgfxgfxxgxxf 4 xxgxxfsin)(',)('1

xuxgfxuxgfxuxgfxuxuxusinlnln)]([,cos)]([,coslnln)]([sin'cos'cos11

xuxgfxusin)]([sin''11

xxxxsinsinlncoscosln11原式

10． dxdyttyetxtxxyy求确定的函数是由方程组设,sin)(004532。

0125522tdtdxtxdtdxx 0tdtdytydtdyeycos

txtxdtdx521252 tetydtdyycos ))(())(cos(212552txtetxtydxdyy

11．问ba,为何值时，020xxbxexfaxsin)(在0x处可导，并写出)(xf的导函数。

100axxxexflim)(lim bxbxfxx)sin(lim)(lim200 110bf)(

2121lim0lim00x0xxxxfxffsin)()()('

212111lim0lim00x0xaaaxexfxffax)()()('

四、积分：

1．cxxdxxxdxxxx||ln||ln)(1211211

2．cxxxxxdxdxxdxxx]|cos|lntan[tanseccos212121212

3．cxxdxxdxxdxxx22312111111)cos()cos()cos()cos(cos)cos(cossin

4．)(022adxxax

设taxsec

cxaaaxcxxadttadxxaxarcsin)(tan)(sec222221

5．dxxxx2321)(arctan

设txtan

原式cxxxxcttttdtttttddttt2211arctancossin]coscos[cossin

6．dxeexx21 5 设：tex2

原式ctttdttttdtttttttdt)lnln()()()(11211121121222222

cxeexx22212)ln(

7．dxx311

设：)(,)(,161132233ttdxtxtx

cxxcttdttt32352531315635616)()()(原式

8．dxxxx21arcsin

设：txsin

原式cxxxcttttdttarcsinsincossin21

五、证明

1. 设函数)(xf在点0x处连续，且xxfx)(lim0存在。证明：)(xf在点0x处可微。

证：设 Axxfx)(lim0，00000xxxfxxxfxfxxxxlim)(lim)(lim)(lim

连续在0xxf)(，000)(lim)(xffx， Axxfxfxffxx)(lim)()(lim)('0000

可导在0xxf)(，即可微在0xxf)(。

2．证明方程2xxe在区间（0，1）内有且仅有一个实根。

证：作上连续在],[)(102xxexF， 021020eFF)(,)(

由零点定理,2010xxeF即使,)(),,(的根存在。

)()()('xFxexFx01单增

)(xF的图形至多与x轴有一个交点， 所以方程仅有唯一解。

3．证明不等式：)()(011xexx

证：作可导且在),()()(xexxf1,

000xxfxexfx得令,)()(''

当0x时, 0)('xf; 当0x时, 0)('xf

在 00x处)(xf取极大值10)(f,  )()(011xexx

4．设)(xf在],[10上连续，在),(10内可微，且00)(f，证明如果)(xf在],[10上不恒等于零，则必有),(10使得0)(')(ff。

证: 作上可导在],[)()(102xfxF

.)(,)()(),(,)(00010000200xFxfxfxxf即则，使