近年九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程教案

2019秋九年级数学上册 第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第1课时 用公式法求解一元二次方程教案2（新版）北师大版

1 2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时 用公式法求解一元二次方程

教学目标

（一）教学知识点

1．一元二次方程的求根公式的推导。

2．会用求根公式解一元二次方程。

（二）能力训练要求

1．通过公式推导，加强推理技能训练,进一步发展逻辑思维能力．

2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．

(三)情感与价值观要求

通过运用公式法解一元二次方程的训练,提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．

教学重点

一元二次方程的求根公式

教学难点

求根公式的条件：b2—4ac≥0

教学方法

讲练相结合

教具准备

投影片五张

第一张:复习练习(记作投影片§2．3 A）

第二张：试一试(记作投影片§2．3B）

第三张:小亮的推导过程（记作投影片§2．3 C）

第四张:求根公式(记作投影片§2．3 D) 2019秋九年级数学上册 第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第1课时 用公式法求解一元二次方程教案2（新版）北师大版

第五张：例题（记作投影片§2．3 E）

教学过程

Ⅰ．巧设现实情景，引入课题

［师]我们前面学习了一元二次方程的解法．下面来做一练习以巩固其解法．（出示投影片§2．3 A）

1．用配方法解方程2x2-7x+3＝0．

[生甲]解：2x2-7x+3＝0，

两边都除以2，得x227-x+23＝0．

移项,得;x2—27x=—23．

配方，得x2—27x+(-47）2＝-23+（-47）2．

两边分别开平方,得

x-47＝±45

即x—47=45或x-47=—45．

∴x1=3，x2=21．

［师］同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习．（出示投影片§2．3 B）试一试，肯定行：

1．用配方法解下列关于x的方程：

(1）x2+ax＝1；(2）x2+2bx+4ac＝0．

[生乙]（1)解x2+ax＝1，

配方得x2+ax+（2a）2＝1+(2a）2,

(x+2a）2=442a．

两边都开平方，得 2019秋九年级数学上册 第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第1课时 用公式法求解一元二次方程教案2（新版）北师大版

x+2a＝±242a，

即x+2a＝242a，x+2a=-242a。

∴x1=242aa, x2＝242aa

［生丙］(2)解x2—2bx+4ac＝0，

移项，得x2+2bx＝—4ac．

配方，得x2-2bx+b2＝—4ac+b2，

(x+b）2=b2—4ac．

两边同时开平方，得

x+b＝±acb42，

即 x+b＝acb42,x+b＝-acb42

∴x1=—b+acb42，x2＝—b-acb42

［生丁]老师，我觉得丁同学做错了，他通过配方得到（x+b）2＝b2—4ac．根据平方根

的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在b2-4ac≥0时,才可以用开平方法解出x来．所以,在这里应该加一个条件:b2—4ac≥0．

[师］噢，同学们来想一想,讨论讨论，戊同学说得有道理吗？

[生齐声］戊同学说得正确．因为负数没有平方根，所以，解方程x2+2bx+4ac＝0

时，必须有条件：b2—4ac≥0，才有丁同学求出的解．否则，这个方程就没有实数解．

［师]同学们理解得很正确，那解方程x2+ax＝1时用不用加条件呢？

［生齐声]不用．

[师]那为什么呢? 2019秋九年级数学上册 第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第1课时 用公式法求解一元二次方程教案2（新版）北师大版

[生齐声］因为把方程x2+ax＝1配方变形为（x+2a）2=442a ，右边442a就是一个正数，所以就不必加条件了．

［师]好，从以上解题过程中，我们发现:利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多．

这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式．

Ⅱ．讲授新课

[师］刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c＝0(a≠0）呢?

大家可参照解方程2x2-7x+3＝0的步骤进行．

[生甲]因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a，得

x2+ acxab=0．

［生乙］因为这里的二次项系数不为0，所以，方程ax2+bx+c＝0(a≠0）的两边都除以a时,需要说明a≠0．

[师]对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为0，所以无需特殊说明，而方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两边都除以a时，必须说明a≠0．

好,接下来该如何呢?

[生丙]移项，得x2+acxab

配方，得x2+22)2()2(abacabxab，

(x+22244)2aacbab。

[师]这时，可以直接开平方求解吗? 2019 3 1

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［生丁]不，还需要讨论．

因为a≠0，所以4a2>0．当b2—4ac≥0时，就可以开平方．

［师]对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求2244aacb≥0．因为4a2〉0恒成立，所以只需b2—4ac是非负数即可．

因此，方程(x+ab2)2＝2244aacb的两边同时开方，得x+ab2=±2244aacb。

大家来想一想,讨论讨论：

±2244aacb=±aacb242吗？

……

[师]当b2—4ac≥0时，

x+ab2=±2244aacb=±||242aacb

因为式子前面有双重符号“±”,所以无论a〉0还是a〈0，都不影响最终的结果：±aacb242

所以x+ab2=±aacb242，

x=-ab2±aacb242

=aacbb242

好,我们来看小亮的推导过程．(出示投影片§2．3 C)

ax2+bx+c=0（a≠0）

x2+acxab=0 a两边都除以

配方 2019秋九年级数学上册 第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第1课时 用公式法求解一元二次方程教案2（新版）北师大版

x2+2222244)2(22aacbabxabacabxab

x=aacbb242

这样，我们就得到一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0）的求根公式：

x=aacbb242 (b2—4ac≥0)，

即（出示投影片§2．3 D）

一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，当b2—4ac≥0时,它的根是

x=aacbb242

［师]用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．（Solving by formular）

由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根是由方程的系数a、b、c确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式,然后在b2—4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入,就可以求得方程的根．

注:(1)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值；当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解；当b2-4ac＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了．

（2)把方程化为一般形式后,在确定a、b、c时，需注意符号．

接下来，我们来看一例题．（出示投影片§2．3 E)

[例题］解方程x2—7x-18＝0．

分析:要求方程x2—7x—18＝0的解，需先确定a、b、c的值．注意a、b、c带有符号．

解:这里a＝1，b＝—7，c＝-18．

∵b2—4ac=(—7）2—4×1×(—18） 如果042acb 2019秋九年级数学上册 第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第1课时 用公式法求解一元二次方程教案2（新版）北师大版

＝121＞0,

∴x=2117121217，

却x1＝9，x2＝—2．

[师]好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤．

[师生共析］其一般步骤是:

(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值．（注意符号)

(2）求出b2-4ac的值．(先判别方程是否有根）

（3）在b2—4ac≥0的前提下,把a、b、c的直代入求根公式，求出aacbb242的值，最后写出方程的根．

［师］接下来我们通过练习来巩固用公式法求解一元二次方程的方法．

Ⅲ．课堂练习

(一）课本P43随堂练习 1、2、3

(二)看课本P41~P43，然后小结．

Ⅳ．课时小结

这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法——公式法．

（1）求根公式的推导，实际上是“配方"与“开平方”的综合应用．对于a≠0,b2—4ac≥0以及由a≠0,知4a2〉0等条件在推导过程中的应用,也要弄清其中的道理．

(2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a、b、c的数值以及计算b2-4ac的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程．

Ⅴ．课后作业

(一)课本P 43习题2．5 1、2

（二）预习内容：P44