拓扑学.txt
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拓扑学
拓扑学是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊
语Τοπολογ?α的音译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要
研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。
拓扑定义 拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊
语Τοπολογ的音译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研
究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。 拓扑学是数学中一个重要的、基
础的分支。起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
编辑本段学科方向
由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象
与方法各异的若干分支。在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就拓扑 已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在，前者演化为一般拓扑学，后者则
成为代数拓扑学。后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。 数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，
它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。[英topology]
举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如
果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个
图形的大小、形状都可以改变。例如，下面将要讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题
的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓
扑学思考问题的出发点。 简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。 拓扑学由来
几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑
学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。
在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑
学发展史的重要问题。 哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八
世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位
置。这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走
法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。 1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思
考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小
岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结
论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画
出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。
在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，
那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。 根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面
体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是
世界近代三大数学难题之一。中国曾邦哲于20世纪80-90年代（结构论）将其命题
转换为“四色定理”等价于“互邻面最大的多面体是四面体”的问题。 四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家
科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问
题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参
加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以
自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于
是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难
题。 进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进
行。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加
快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯
大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有
一种简捷明快的书面证明方法。
上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统
的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。拓扑学是数学中一个重要的、基础性的分支。它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在
连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。
拓扑学起初叫形势分析学，是莱布尼茨1679年提出的名词。十九世纪中期，
黎曼在复函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。
连续性和离散性是自然界与社会现象中普遍存在的。拓扑学对连续性数学是带
有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推动作用。拓扑学的基本内容已经成为现代数学的常识。拓扑学的概念和方法在物理学、生物学、化学等学科中都有直
接、广泛的应用。
拓扑学是几何学的一个分支，它是从图论演变过来的。拓扑学将实体抽象成与其大小、形状无关的点，将连接实体的线路抽象成线，进而研究点、线、面之间的
关系。网络拓扑通过结点与通信线路之间的几何关系来表示网络结构，反映出网络
中各个实体之间的结构关系。拓扑设计是建设计算机网络的第一步，也是实现各种
网络协议的基础，它对网络性能、可靠性与通信代价有很大影响。网络拓扑主要是指通信子网的拓扑构型。 拓扑性质
拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性
质。 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽
管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。换句
话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。
在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑
等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就
是拓扑变换，就存在拓扑等价。
应该指出，环面不具有这个性质。把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球
面和环面在拓扑学中是不同的曲面。
直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。
在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。 我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数
学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同
的颜色来涂满，因为只有一个面。
拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不再介绍。 拓扑发展
拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别
是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓
扑学的进展。 二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的
研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都
可以应用集合来论述。
因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关
系。上世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概
念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫
做微分几何，是用微分工具来研究曲线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945
