2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第3章 导数及其应用3.3.2 含解析

一、选择题

1．已知定义在1,上的函数fx，fx为其导函数，满足1ln20fxfxxxx′，且2fee，若不等式fxax对任意1,x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

A．,e B．2,2e C．,2e D．,e

2．已知函数2()ln(1)22xxfxx，则使不等式(1)(2)fxfx成立的x的取值范围是（ ）

A．(1)(1,)， B．(1,+)

C．1(,)(1,+)3 D．(,2)(1,)

3．已知定义在R上的函数()yxfx的图象（如图所示）与x轴分别交于原点、点(2,0)和点(2,0)，若3和3是函数()fx的两个零点，则不等式()0fx的解集（ ）

A．(，2)(2，) B．(，3)(3，)

C．(，3)(0，2) D．(3，0)(3，)

4．直线0xaa分别与曲线21yx，lnyxx相交于A，B两点，则AB的最小值为（）

A．1 B．2 C．2 D．3

5．若函数21()ln2fxkxxx在区间(0,]e上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）

A．2(,]e B．(,1] C．[1,) D．2[,)e

6．若函数2lnfxaxxx存在增区间，则实数a的取值范围为（ ）

A．1,4 B．1,4

C．1,8 D．1,8

7．已知定义在R上的可导函数()yfx的导函数为()fx，满足()()fxfx，

且(1)yfx为偶函数，(2)1f，则不等式()xfxe的解集为（ ） A．4(,)e B．4(,)e C．(,0) D．(0,)

8．已知f（x）=-x3-ax在（-∞，-1]上递减，且g（x）=2x-ax在区间（1，2]上既有最大值又有最小值，则a的取值范围是（ ）

几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式

1.能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数．

了解常数函数和幂函数的求导方法和规律．

2．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数．

重点：常数函数、幂函数的导数及导数公式的应用．

难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式．

方 法：合作探究

一新知导学

思维导航

一）怎样用定义求函数y＝f(x)的导数？

二）

牛刀小试

1．自己依据导数的定义求函数：①y＝c；②y＝x；③y＝x2；④y＝1x的导数并对照教材检查，然后自己求函数y＝x的导数．

二）基本初等函数的导数公式

1．若f(x)＝xn(n∈N*)，则f ′(x)＝__________.

若f(x)＝1x，则f ′(x)＝__________.

若f(x)＝xα(α∈Q)，则f ′(x)＝αxα－1.

2．若f(x)＝sinx，则f ′(x)＝__________.

若f(x)＝cosx，则f ′(x)＝__________.

3．若f(x)＝ax，则f ′(x)＝___________．

若f(x)＝ex，则f ′(x)＝__________.

4．若f(x)＝logax，则f ′(x)＝___________________．

若f(x)＝lnx，则f ′(x)＝__________. 课堂随笔:

牛刀小试

2．函数f(x)＝0的导数是( )

A．0 B．1 C．不存在 D．不确定

3．已知函数f(x)＝1x，则f ′(－2)＝( )

A．4 B．14 C．－4 D．－14

4．若f(x)＝tanx，f ′(x0)＝1，则x0的值为__________.

二．例题分析

例1求下列函数的导数．

(1)y＝a2(a为常数)；

(2)y＝x12；

(3)y＝x－4；

2

31.2.3　简单复合函数的导数明目标、知重点　1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数

的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)

的导数)．

1．复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x的函数，那么

称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．

2．复合函数的求导法则

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为y

x′＝y

u′·u

x′.即

y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．

探究点一　复合函数的定义

思考1　观察函数y＝2xcos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数

组成的？

答　y＝2xcos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln

u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数，所以

y＝ln(x＋2)称为复合函数．

思考2　对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？

答　复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里

出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数

u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．

思考3　在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？

答　A⊆B.

小结　要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，

将其分拆成几个基本初等函数的方法．

例1　指出下列函数是怎样复合而成的：

(1)y＝(3＋5x)2

；(2)y＝log

3(x2

－2x＋5)；

(3)y＝cos 3x.2

3解　(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u

2，u＝3＋5x复合而成的；

(2)y＝log

3(x2－2x＋5)是由函数y＝log

数学选修1-1复习资料

第三章

知识要点:

1、 极限符号的意义

2、 函数的平均变化率及其几何意义

2121()()PQfxfxykxxx

3、 函数在0xx处的瞬时变化率（即导数）及其几何意义

0000()()()limPTxfxxfxfxkx

4、 导函数

要求：（1）懂得函数()fx图像与导函数()fx图像的联系；

（2）会利用导函数求函数在某处的导数。（要求0()fx，可先求()fx，令x取0x即可）

★[注：对位移公式s(t)求导，可得瞬时速度公式，即()()vtst ]

5、 导数的计算公式及运算法则（课本P90—P91 熟记）

6、 导数的应用

（1）、判断函数()fx单调性。

判断函数f(x)单调性的步骤:

（2）、求函数()fx的极大（小）值。

求函数y=f(x)的极大(小)值的步骤:

（3）、求函数()fx的最大（小）值。

求可导函数f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤：

7、优化问题（实质就是求函数的最值问题） (1)()(2)()0(3)0fxfx求导函数解方程将导数为的点对应的函数值与区间端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.00000(1)()(2)()0(3)()0()0,()0,();()0,()0,();fxfxfxxfxfxfxxfxfxfx求导函数解方程当时,若在左侧右侧则是函数的一个极大值若在左侧右侧则是函数的一个极小值(1)();ffxfff求导函数(x);(2)由的符号判断函数f(x)的单调性若(x)的符号没确定,则当(x)>0时,函数f(x)单调递增;当(x)<0时,函数f(x)单调递减;(1)(2)建立实际问题的数学模型,写出问题中变量之间的函数关系y=f(x);利用导数求函数最值的方法求解;第三章 导数测验试卷