2019-2020学年赣州市南康中学高一(下)第一次月考数学试卷(文科)(含解析)

2019-2020学年赣州市南康中学高一(下)第一次月考数学试卷(文科)

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设集合𝑀={𝑥|0≤𝑥≤3}，𝑁={𝑥|𝑥2−3𝑥−4<0}，则𝑀∩𝑁=( )

A. [−1,3] B. (−1,3) C. [0,3] D. [−1,4]

2. tan(−210°)=( )

A. √3 B. −√3

C.

√33

D.

−√33

3.

已知数列{𝑎𝑛}中满足𝑎1=15，𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+2𝑛，则𝑎𝑛𝑛的最小值为( )

A. 9 B. 7 C. 274 D.

2√15−1

4. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶的对边分别为a，b，c，若(𝑎2+𝑐2−𝑏2)tan𝐵=√3𝑎𝑐，角𝐵=( )

A. 𝜋6 B. 𝜋3 C. 𝜋6或5𝜋6 D. 𝜋3或2𝜋3

5. 设单位向量𝑒1⃗⃗⃗ ,𝑒2⃗⃗⃗ 的夹角为120°，𝑎⃗ =2𝑒1⃗⃗⃗ −𝑒2⃗⃗⃗ ，则|𝑎⃗ |=( )

A. 3 B. √3 C. 7 D. √7

6. 已知△𝐴𝐵𝐶的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线𝐴𝐷=√7，𝐴𝐵=2则𝑆△𝐴𝐵𝐶=( )

A. 3 B. 2√3 C. 3√3 D. 6

7. 已知tan𝛼=2，则sin2𝛼+sin𝛼cos𝛼的值为( )

A. 65 B. 1 C. 45 D. 23

8. 若函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜑)(0<𝜑<𝜋)的图象上所有的点向右平移𝜋6个单位长度后得到的函数图象关于(𝜋4,0)对称，则𝜑的值为( )

A. 𝜋 B. 3𝜋4 C. 5𝜋6 D. 2𝜋3

9. 已知函数𝑓(𝑥)={log2𝑥,(𝑥>0)2−𝑥,(𝑥≤0)，则不等式𝑓(𝑥)>1的解集为( )

A. (2,+∞) B. (−∞,0)

C. D. (0,2)

10. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D是BC的中点，𝐴𝐷=5，𝐴𝐶=7，𝐷𝐶=3，则AB等于( )

A. 4 B. √19

C.

2√5

D. 3√2

11. 设△𝐴𝐵𝐶的面积为S，若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =1，𝑡𝑎𝑛𝐴=2，则𝑆=( )

A. 1 B. 2 C. √55 D. 15

12. 函数𝑓(𝑥)=log12(𝑥2−𝑎𝑥)在区间[2,4]上是减函数，则实数a的取值范围是( )

A. 2<𝑎≤4 B. 𝑎≤4 C. 𝑎<2 D. 𝑎≤2

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，若𝑆5=10，𝑆10=30，则𝑆15=______．

14.

函数的单调递减区间是______ ．

15. 在△𝐴𝐵𝐶中，若2𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐶，则△𝐴𝐵𝐶的形状一定是______三角形．

16. 在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且𝑚⃗⃗⃗ =(√3𝑏−𝑐,𝑐𝑜𝑠𝐶)，𝑛⃗ =(𝑎,𝑐𝑜𝑠𝐴)，𝑚⃗⃗⃗ //𝑛⃗ ，则tanA的值等于______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别为a，b，𝑐.已知𝑚⃗⃗⃗ =(2𝑐𝑜𝑠𝐴,√3𝑠𝑖𝑛𝐴)，𝑛⃗ =(𝑐𝑜𝑠𝐴,−2𝑐𝑜𝑠𝐴)，𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝑛⃗ =−1．

(1)若𝑎=2√3，𝑐=2，求△𝐴𝐵𝐶的面积；

(2)求𝑏−2𝑐𝑎𝑐𝑜𝑠(60°+𝐶)的值．

18. 已知等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=34，𝑑=−4，

(1)求它的通项公式，及前n项和𝑆𝑛。 (2)当n为何值时，𝑆𝑛=160。

(3)当n为何值时，𝑆𝑛取最大值，最大值是多少？

19. 已知𝛼，𝛽∈(3𝜋4,𝜋)，sin(𝛼+𝛽)=−35，sin(𝛽−𝜋4)=1213，求cos(𝛼+𝜋4)的值．

20. 已知函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜙)(𝐴>0,𝜔>0,0<𝜙<𝜋)的部分图象，如图所示．

(1)求函数𝑓(𝑥)解析式；

(2)若方程𝑓(𝑥)=𝑚在[−𝜋12,13𝜋12]有两个不同的实根，求m的取值范围

21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+√3sin2𝑥−√32．

(1)若𝑥∈[0,𝜋2]，求函数𝑓(𝑥)的值域；

(2)在△𝐴𝐵𝐶中，已知C为锐角，𝑓(𝐶2)=−12，𝐴𝐵=3，𝐴=𝜋4，求边BC的长．

22. 已知定义域为R的函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−(𝑘−1)𝑎−𝑥(𝑎>0且𝑎≠1)是奇函数．

(1)求实数k的值；

(2)若𝑓(1)<0，求不等式𝑓(𝑥2+𝑡𝑥)+𝑓(4−𝑥)>0对任意的𝑥∈[1,2]恒成立时t的取值范围．

【答案与解析】

1.答案：C

解析：解：∵集合𝑀={𝑥|0≤𝑥≤3}，

𝑁={𝑥|𝑥2−3𝑥−4<0}={𝑥|−1<𝑥<4}，

∴𝑀∩𝑁={𝑥|0≤𝑥≤3}=[0,3]．

故选：C．

先分别求出集合M和N，由此利用交集定义能求出𝑀∩𝑁．

本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．

2.答案：D

解析：解：tan(−210°)=−𝑡𝑎𝑛210°=−tan(180°+30°)=−𝑡𝑎𝑛30°=−√33，

故选：D．

原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可求出值．

此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

3.答案：C

解析：

本题考查𝑎𝑛𝑛的最小值的求法，由已知得𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=2𝑛，从而𝑎𝑛=𝑎1+(𝑎2−𝑎1)+(𝑎3−𝑎2)+⋯+(𝑎𝑛−𝑎𝑛−1)=𝑛2−𝑛+15，进而𝑎𝑛𝑛=𝑛+15𝑛−1，由此能求出当且仅当𝑛=15𝑛，即𝑛=4时，𝑎𝑛𝑛取最小值4+154−1=274．

解：∵数列{𝑎𝑛}中满足𝑎1=15，𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+2𝑛，

∴𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=2𝑛，

∴𝑎𝑛=𝑎1+(𝑎2−𝑎1)+(𝑎3−𝑎2)+⋯+(𝑎𝑛−𝑎𝑛−1)，

=15+2+4+6+8+⋯+2(𝑛−1)，

=15+(𝑛−1)𝑛2×2， =𝑛2−𝑛+15，

∴𝑎𝑛𝑛=𝑛+15𝑛−1≥2√15−1，

∴当且仅当𝑛=15𝑛，即𝑛=√15时，

又n为正整数，故𝑛=4时，𝑎𝑛𝑛取最小值4+154−1=274．

故选C．

4.答案：D

解析：

本题主要考查余弦定理及三角中的切化弦．很多人会考虑对于角B的取舍问题，而此题两种都可以，因为我们的过程是恒等变形．条件中也没有其它的限制条件，所以有的同学就多虑了．虽然此题没有涉及到取舍问题，但在平时的练习过程中一定要注意此点.通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出𝐵.

解：由(𝑎2+𝑐2−𝑏2)𝑡𝑎𝑛𝐵=√3𝑎𝑐题意可知，

(𝑎2+𝑐2−𝑏2)2𝑎𝑐=√32𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐵，即𝑐𝑜𝑠𝐵=√32𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐵，

∴𝑠𝑖𝑛𝐵=√32，

又0<𝐵<𝜋，

∴𝐵=𝜋3或2𝜋3，

故选D.

5.答案：D

解析：解：∵单位向量𝑒1⃗⃗⃗ ,𝑒2⃗⃗⃗ 的夹角为120°，𝑎⃗ =2𝑒1⃗⃗⃗ −𝑒2⃗⃗⃗ ，

∴|𝑎⃗ |=√𝑎⃗ 2=√(2𝑒1⃗⃗⃗ −𝑒2⃗⃗⃗ )2=√4𝑒1⃗⃗⃗ 2−4𝑒1⃗⃗⃗ ⋅𝑒2⃗⃗⃗ +𝑒2⃗⃗⃗ 2

=√4×12−4×1×1×(−12)+12=√7

故选：D 把已知数据代入向量的模长公式计算可得．

本题考查向量的夹角和模长公式，属基础题．

6.答案：C

解析：

本题考查等差数列的性质，余弦定理以及三角形面积公式的应用，求出𝐵=60°，是解题的关键，属于基础题．

由于△𝐴𝐵𝐶的三个内角A、B、C成等差数列，且内角和等于180°，故 B=60°，三角形ABD中，由余弦定理可得BD的长，

进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解：

∵由于△𝐴𝐵𝐶的三个内角A、B、C成等差数列，且内角和等于180°，

∴𝐵=60°，

∵△𝐴𝐵𝐷中，由余弦定理可得：𝐴𝐷2=𝐴𝐵2+𝐵𝐷2−2𝐴𝐵⋅𝐵𝐷⋅𝑐𝑜𝑠𝐵，

即7=4+𝐵𝐷2−2𝐵𝐷，

∴𝐵𝐷=3或−1(舍去)，可得𝐵𝐶=6，

∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝐴𝐵⋅𝐵𝐶⋅𝑠𝑖𝑛𝐵=12×2×6×√32=3√3．

故选C．

7.答案：A

解析：

本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用，属于基础题．

利用同角三角函数的基本关系，将要求式子用tan𝛼表示，从而求值即可．

解：∵tan𝛼=2，

则sin2𝛼+sin𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑠𝑖𝑛2𝛼+sin𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼

=tan2𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛2𝛼+1=4+24+1=65．