普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(福建卷,含解析)
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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（福建卷，含解析）
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若(1)(23)iiabi（,,abRi是虚数单位），则,ab的值分别等于（ ）
A．3,2 B．3,2 C．3,3 D．1,4
【答案】A
【解析】
试题分析：由已知得32iabi，所以3,2ab，选A．
考点：复数的概念．
2．若集合22Mxx，0,1,2N，则MN等于（ ）
A．0 B．1 C．0,1,2 D0,1
【答案】D
考点：集合的运算．
3．下列函数为奇函数的是( )
A．yx B．xye C．cosyx D．xxyee
【答案】D
【解析】
试题分析：函数yx和xye是非奇非偶函数； cosyx是偶函数；xxyee是奇函数，故选D．
考点：函数的奇偶性．
4．阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入x的值为1，则输出y的值为（ ）
A．2 B．7 C．8 D．128
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，该程序表示分段函数2,2,9,2xxyxx，则(1)918f，故选C．
考点：程序框图．
5．若直线1(0,0)xyabab过点(1,1)，则ab的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
考点：基本不等式．
6．若5sin13，且为第四象限角，则tan的值等于（ ）
A．125 B．125 C．512 D．512
【答案】D
【解析】
试题分析：由5sin13，且为第四象限角，则212cos1sin13，则sintancos 512，故选D．
考点：同角三角函数基本关系式．
7．设(1,2)a，(1,1)b，cakb．若bc，则实数k的值等于（ ）
A．32 B．53 C．53 D．32
【答案】A
考点：平面向量数量积．
8．如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)．且点C与点D在函数
1,0()11,02xxfxxx的图像上．若在矩形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ）
A．16 B．14 C．38 D．12
xyOBCDAF 【答案】B
考点：古典概型．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A．822 B．1122 C．1422 D．15
1112
【答案】B
【解析】学科网
试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1，斜腰为2．底面积为12332，侧面积为则其表面积为
2+2+4+22=8+22，所以该几何体的表面积为1122，故选B．
考点：三视图和表面积．
10．变量,xy满足约束条件02200xyxymxy，若2zxy的最大值为2，则实数m等于（ ）
A．2 B．1 C．1 D．2 【答案】C
【解析】
x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC
试题分析：将目标函数变形为2yxz，当z取最大值，则直线纵截距最小，故当0m时，不满足题意；当0m时，画出可行域，如图所示， 其中22(,)2121mBmm．显然(0,0)O不是最优解，故只能22(,)2121mBmm是最优解，代入目标函数得4222121mmm，解得1m，故选C．
考点：线性规划．
11．已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线:340lxy交椭圆E于,AB两点．若4AFBF，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A． 3(0,]2 B．3(0,]4 C．3[,1)2 D．3[,1)4
【答案】A
考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式． 12．“对任意(0,)2x，sincoskxxx”是“1k”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
考点：导数的应用．
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．
【答案】25
【解析】
试题分析：由题意得抽样比例为45190020，故应抽取的男生人数为15002520．
考点：分层抽样．
14．若ABC中，3AC，045A，075C，则BC_______．
【答案】2
【解析】
试题分析：由题意得0018060BAC．由正弦定理得sinsinACBCBA，则sinsinACABCB， 所以232232BC．
考点：正弦定理．
15．若函数()2()xafxaR满足(1)(1)fxfx，且()fx在[,)m单调递增，则实数m的最小值等于_______．
【答案】1
【解析】
试题分析：由(1)(1)fxfx得函数()fx关于1x对称，故1a，则1()2xfx，由复合函数单调性得()fx在[1,)递增，故1m，所以实数m的最小值等于1．
考点：函数的图象与性质．
16．若,ab 是函数20,0fxxpxqpq 的两个不同的零点，且,,2ab 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq 的值等于________．
【答案】9
考点：等差中项和等比中项．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
等差数列na中，24a，4715aa．
（Ⅰ）求数列na的通项公式；
（Ⅱ）设22nanbn，求12310bbbb的值． 【答案】（Ⅰ）2nan；（Ⅱ）2101．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得1,ad，进而求na的通项公式；（Ⅱ）求数列前n项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题2nnbn，故可采取分组求和法求其前10项和．
试题解析：（I）设等差数列na的公差为d．
由已知得11143615adadad，
解得131ad．
所以112naandn．
考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．
18．（本题满分12分）
全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．
组号 分组 频数
1 [4,5)
2
2 [5,6) 8
3 [6,7) 7
4 [7,8] 3
（Ⅰ）现从融合指数在[4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在7,8的概率；
（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
【答案】（Ⅰ）910；（Ⅱ）6.05．
解法一：（I）融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为1，2，3；融合指数在4,5内的“省级卫视新闻台”记为1，2．从融合指数在4,5和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：12,，13,，23,，11,，12,，21,，22,，31,，32,，12,，共10个．
其中，至少有1家融合指数在7,8内的基本事件是：12,，13,，23,，11,，12,，21,，22,，31,，32,，共9个．
所以所求的概率910．
（II）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于28734.55.56.57.56.0520202020． 解法二：（I）融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为1，2，3；融合指数在4,5内的“省级卫视新闻台”记为1，2．从融合指数在4,5和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：12,，13,，23,，11,，12,，21,，22,，31,，32,，12,，共10个．
其中，没有1家融合指数在7,8内的基本事件是：12,，共1个．
所以所求的概率1911010．
（II）同解法一．
考点：1、古典概型；2、平均值．
19．（本小题满分12分）
已知点F为抛物线2:2(0)Eypxp的焦点，点(2,)Am在抛物线E上，且3AF．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知点(1,0)G，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
【答案】（Ⅰ）24yx；（Ⅱ）详见解析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题由3AF可得232p，可求p的值，进而确定抛物线方程；（Ⅱ）欲证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必
