人教A版高中数学必修五练习不等式测评

第三章测评

(时间:120分钟 满分:150分)

一、选择题(每小题5分,共60分)

1.若a

A.1𝑎>1𝑏 B.a3>b3

C.a2>b2 D.𝑏𝑎+𝑎𝑏>2

解析因为a

答案B

2.若x>-2,且x≠0,则1𝑥的取值范围是( )

A.(-∞,-12)

B.(-12,0)

C.(0,+∞)∪(-12,0)

D.(0,+∞)∪(-∞,-12)

解析因为x>-2,且x≠0,所以当x>0时,有1𝑥>0;当-2

答案D

3.不等式4+3x-x2<0的解集为( )

A.{x|-14或x<-1}

C.{x|x>1或x<-4} D.{x|-4

解析不等式4+3x-x2<0可化为x2-3x-4>0,即(x+1)(x-4)>0,解得x>4或x<-1.故不等式的解集为{x|x>4或x<-1}.

答案B

4.若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域内,则2x-y的最小值是( )

A.-6 B.-2 C.0 D.2

解析曲线y=|x|与y=2围成的封闭区域为Rt△AOB及其内部(如图阴影部分).

设2x-y=z,则y=2x-z,要使z最小,则-z最大,当直线y=2x-z经过点B(-2,2)时,-z最大,即zmin=2×(-2)-2=-6.故选A.

答案A

5.已知x<0,则函数y=4x+3𝑥有( )

A.最大值4√3 B.最大值-4√3

C.最小值4√3 D.最小值-4√3

解析因为x<0,所以(-4x)+(-3𝑥)≥2√(-4𝑥)·(-3𝑥)=4√3,当且仅当x=-√32时,取等号.于是y=4x+3𝑥≤-4√3,即函数有最大值-4√3.

答案B

6.已知变量x,y满足约束条件{𝑥+2𝑦-4≤0,3𝑥+𝑦-3≥0,𝑥-𝑦-1≤0,则z=𝑦𝑥+1的最大值为(

)

A.97 B.13

C.0 D.2

解析可行域如图阴影部分所示,z=𝑦𝑥+1的几何意义是可行域内的点与点(-1,0)的连线的斜率.由图知,当连线经过点A时,目标函数取得最大值.由{𝑥+2𝑦-4=0,3𝑥+𝑦-3=0,可得A(25,95),则z=𝑦𝑥+1的最大值是9525+1=97.

答案A

7.已知函数f(x)=x2+ax-3a-9对任意的x∈R恒有f(x)≥0,则f(1)等于( )

A.6 B.5 C.4 D.3

解析依题意得a2-4(-3a-9)≤0,即a2+12a+36≤0,(a+6)2≤0,所以a=-6.所以f(x)=x2-6x+9,f(1)=4,故选C.

答案C

8.若正实数a,b满足a+b=1,则( )

A.1𝑎+1𝑏有最大值4

B.ab有最小值14

C.√𝑎+√𝑏有最大值√2

D.a2+b2有最小值√22

解析因为a+b=1,所以1𝑎+1𝑏=2+𝑏𝑎+𝑎𝑏≥4,当且仅当a=b=12时,取等号.故A错误;因为1=a+b≥2√𝑎𝑏,则ab≤14,当且仅当a=b=12时,取等号.故B错误;由于1=a+b≥(√𝑎+√𝑏)22,所以√𝑎+√𝑏≤√2,当且仅当a=b=12时,取等号.故C正确;因为a2+b2≥(𝑎+𝑏)22=12,当且仅当a=b=12时,取等号.所以D错误.

答案C

9.当x>0时,x2+mx+4≥0恒成立,且关于t的不等式t2+2t+m≤0有解,则实数m的取值范围是( )

A.[1,+∞)

B.[-4,1]

C.(-∞,-4]∪[1,+∞)

D.(-∞,-4]

解析∵当x>0时,x2+mx+4≥0恒成立,

∴m≥-(𝑥+4𝑥).

∵x+4𝑥≥2√𝑥·4𝑥=4,当且仅当x=2时取等号,∴m≥-4.

∵关于t的不等式t2+2t+m≤0有解,

∴Δ=4-4m≥0,

∴m≤1.

故实数m的取值范围是[-4,1].故选B.

答案B

10.已知x,y满足约束条件{2𝑥+𝑦-3≥0,𝑥+2𝑦-6≤0,𝑦≥𝑥,若z=y-kx取得最小值的最优解不唯一,则实数k的值为( )

A.12或1 B.-2或-12

C.-12或1 D.-2或1

解析作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示,当直线z=y-kx与直线2x+y-3=0重合时,目标函数z取得最小值的最优解不唯一,此时k=-2;当直线z=y-kx与直线y=x重合时,目标函数z取得最小值的最优解不唯一,此时k=1.故实数k的值为-2或1.

答案D

11.已知x>0,y>0,若2𝑦𝑥+8𝑥𝑦>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( )

A.m≥4或m≤-2

B.m≥2或m≤-4

C.-2

D.-4

解析∵x>0,y>0,∴2𝑦𝑥+8𝑥𝑦≥8(当且仅当2𝑦𝑥=8𝑥𝑦时,等号成立

).∵2𝑦𝑥+8𝑥𝑦>m2+2m恒成立,∴m2+2m<8恒成立,解得-4

答案D

12.已知x,y满足约束条件{3𝑥-𝑦-6≤0,𝑥-𝑦+2≥0,𝑥≥0,𝑦≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为6,则4𝑎+6𝑏的最小值为( )

A.256 B.253 C.356 D.503

解析不等式组表示的可行域如图中的阴影部分所示.根据目标函数所表示的直线的斜率是负值,可知目标函数只在点A处取得最大值,故实数a,b满足4a+6b=6,即2a+3b=3,从而4𝑎+6𝑏=13(2a+3b)(4𝑎+6𝑏)=13(26+12𝑏𝑎+12𝑎𝑏)≥13(26+24)=503,当且仅当a=b时取等号.从而4𝑎+6𝑏的最小值为503.故选D.

答案D

二、填空题(每小题5分,共20分)

13.不等式𝑥-1𝑥≥2的解集是

.

解析不等式可化为𝑥-1𝑥-2≥0,即𝑥+1𝑥≤0,所以-1≤x<0.故不等式的解集为{x|-1≤x<0}.

答案{x|-1≤x<0}

14.若实数x,y满足{𝑥-𝑦+1≥0,𝑥+𝑦≥0,𝑥≤0,则z=3x+2y的值域是

.

解析作出不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分所示),令x+2y=t,由图形可知,当直线x+2y=t经过点A(-12,12)时,t取得最小值12;当直线x+2y=t经过点B(0,1)时,t取得最大值2,即12≤t≤2.故z=3x+2y的值域是[√3,9].

答案[√3,9]

15.若log2x=-log2(2y),则x+2y的最小值是

.

解析由已知得log2x+log2(2y)=0,因此2xy=1.由题意知x,y>0,所以x+2y≥2√2𝑥𝑦=2,当且仅当x=1,y=12时,取等号.

答案2

16.某火锅底料厂用辣椒、花椒等原材料由甲车间加工水煮鱼火锅底料,由乙车间加工麻辣鱼火锅底料.甲车间加工1吨原材料需10小时,可加工出140箱水煮鱼火锅底料,每箱可获利80元;乙车间加工1吨原材料需6小时,可加工出80箱麻辣鱼火锅底料,每箱可获利100元.若甲、乙两车间每天共能完成至多7吨原料的加工,每天甲、乙两车间耗时总和不得超过48小时,则甲、乙两车间每天总获利的最大值为 元.

解析设甲车间加工原材料x吨,乙车间加工原材料y吨,甲、乙两车间每天总获利为z元,则{𝑥≥0,𝑦≥0,𝑥+𝑦≤7,10𝑥+6𝑦≤48,目标函数z=11 200x+8 000y,作出可行域,如图阴影部分所示.当z=11 200x+8 000y对应的直线过直线x+y=7与10x+6y=48的交点A时,目标函数z=11 200x+8 000y取得最大值.由{𝑥+𝑦=7,10𝑥+6𝑦=48,得{𝑥=1.5,𝑦=5.5.故zmax=11 200×1.5+8 000×5.5=60 800,即甲、乙两车间每天总获利的最大值为60 800元.

答案60 800

三、解答题(共6小题,共70分)

17.(本小题满分10分)已知关于x的不等式ax2+x+c>0的解集为{x|1

(1)求实数a,c的值;

(2)若关于x的不等式ax2+2x+4c>0的解集为A,关于x的不等式3ax+cm<0的解集为B,且A⊆B,求实数m的取值范围.

解(1)由题意知1,3是关于x的方程ax2+x+c=0的两个根,且a<0,所以{𝑎<0,1+3=-1𝑎,1×3=𝑐𝑎,解得{𝑎=-14,𝑐=-34.

(2)由(1)得{𝑎=-14,𝑐=-34,所以ax2+2x+4c>0,即为-14x2+2x-3>0,解得2

又因为3ax+cm<0,即为x+m>0,解得x>-m,所以B=(-m,+∞).

因为A⊆B,所以-m≤2,即m≥-2.

故实数m的取值范围是[-2,+∞).

18.(本小题满分12分)已知关于x的不等式x2-2ax+1≥0,其中a∈R.

(1)解该不等式;

(2)若不等式对任意的x≥12恒成立,求实数a的取值范围.

解(1)当Δ=4a2-4≤0,即-1≤a≤1时,不等式的解集为R;

当Δ=4a2-4>0,即a>1或a<-1时,关于x的方程x2-2ax+1=0有两个不等的实数根,x1=a+√𝑎2-1,x2=a-√𝑎2-1,且x1>x2,不等式的解集为x≥x1或x≤x2.

综上,当-1≤a≤1时,不等式的解集为R;当a>1或a<-1时,不等式的解集为{𝑥|𝑥≥𝑎+√𝑎2-1或𝑥≤𝑎-√𝑎2-1}.

(2)关于x的不等式x2-2ax+1≥0对任意的x≥12恒成立,即2ax≤x2+1,所以2a≤𝑥2+1𝑥.

由于x≥12,所以𝑥2+1𝑥=x+1𝑥≥2,当且仅当x=1时,取等号,故𝑥2+1𝑥的最小值为2,要使不等式恒成立,应满足2a≤2,即a≤1.