2020版高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例(第2课时)课件 新人教B版必修5

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精校版 数学·必修5(人教A版)

一、本章的中心内容是如何解三角形．正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章的学习应当达到以下学习目标：

1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

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精校版 2．能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题．

3．本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”．

“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”的边角关系．我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．

4．在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．

5．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理是勾股定理的推广．

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二、学数学的最终目的是应用数学．能把实际问题抽象成数学问题，把所学的数学知识应用到实际问题中去，通过观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题，确定解决问题的科学思维方法，学会把数学知识应用于实际．

《秦九韶－海伦公式》教案

【教学内容】人教版数学必修五《秦九韶－海伦公式》

【教学对象】高一学生

【教材分析】

本节内容是高中数学必修五的第一章，是阅读与思考部分中的内容，本节课的主要意在引领学生运用所学知识对“秦九韶－海伦公式”进行证明，并进行有效的应用，让同学们从中体会到数学之美。

【知识背景】

海伦公式与秦九韶公式

古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式“如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记那么三角形的面积为：..这一公式称为海伦公式；海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式。

中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。我国南宋时期数学家秦九韶也曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：.其实这两个公式实质是一致的，聪明的你能够推导出来吗？

对比这两个公式，我们发现海伦公式形式漂亮，便于记忆，但是如果一个三角形的三边长是无理数的时候，还是秦九韶公式处理比较方便，现在请您选择适当的公式解决一些问题吧。

【学情分析】

学习资料

班 级： 科 目： 2020_2021学年高中数学第一章解三角形1.2第2课时测量高度角度问题课时跟踪训练含解析新人教A版必修 测量高度、角度问题

[A组 学业达标]

1．某次测量中，甲在乙的北偏东55°，则乙在甲的( )

A．北偏西35° B．北偏东55°

C．南偏西35° D．南偏西55°

答案:D

2．如图，从地面上C，D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于( ）

A．100米 B．50错误!米

C．50错误!米 D．50（错误!＋1）米

解析:设AB＝x m，则由题意，∠D＝30°，∠ACB＝45°，

在Rt△ABC中,BC＝AB＝x，

在Rt△ADB中，DB＝CD＋BC＝100＋x，

所以DB＝错误!AB，

即100＋x＝3x，解得x＝50(错误!＋1） m.

所以山AB的高度为50(3＋1)米．

答案：D

3.如图，有一建筑物OP，为了测量它的高度,在地面上选一长度为40 m的基线AB，若在点A处测得P点的仰角为30°，在B点处的仰角为45°，且∠AOB＝30°，则建筑物的高度为( )

A．20 m B．202 m

C．20错误! m D．40 m

解析：设高OP＝h，则OA＝htan 60°＝3h，OB＝htan 45°＝h。在△AOB中，由余弦定理得402＝（3h）2＋h2－2·错误!h·h·cos 30°，解得h＝40。故选D.

答案：D

4．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为（ ）

A。错误! B．错误! C.错误! D.错误!π

解析：设水流速度与船速的合速度为v，方向指向对岸．

则由题意知，

sin α＝错误!＝错误!＝错误!，

1. 2应用举例

第二课时：测量高度问题

一、教学目标：

1、能力要求：

①综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；

②体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；

③能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力

2、过程与方法：

利用仰角和俯角等条件测量底部不可到达的建筑物高度这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题。

二、教学重点、难点：

重点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题。

难点：底部不可到达的建筑物高度的测量。

三、名词解释：

1、仰角：朝上看时，视线与水平面夹角为仰角。

2、俯角：朝下看时，视线与水平面夹角为俯角。

3、方位角：从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角。

4、坡度：坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率。

四、例题讲解：

例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点。设计一种测量建筑无高度AB的方法。

解：选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一

条直线上。由在H，G两点用测角仪器测得A的仰角

分别为,，aCD，测角仪器的高度为h。

在ACD中，CAD

在ACD中，由正弦定理可得：

在ACE中，sinsinsinsinaACAE

例2、在某建筑物顶部有一铁塔，在铁塔上B处测得地面上一点A的俯角45，在塔底C处测得A处的俯角30。已知铁塔BC部分高为30m，求出此建筑物的高度CD。（精确到m01.0）

解：由已知条件可知4590ABC，

6090ACD， 在ABC中，由正弦定理可得：

13304262230sinsinBACABCBCAC,