三角形内角和定理推导过程

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8.6 三角形内角和定理 说课稿

油田实验学校 姚芳

一、教材的地位和作用

本节是鲁教版七年级上册第八章第六节《三角形内角和定理》。本节课是让学生通过验证三角形内角和定理的探究活动，进而完成“三角形三个内角的和等于180°”的证明的过程，让学生感受证明在确认结论中的重要作用，教会学生利用基本事实和定理进行合乎逻辑的思考和有条理的表达，为以后的进一步学习打好基础。可以说，本节课具有承上启下的作用。

二．学生情况分析

“三角形三个内角的和等于180°”这一知识学生在小学就已经学习，本节课对学生熟知的知识进行深入探究，学生可能不太感兴趣，但这也恰恰为学生的探究提供了知识储备。学生前面又学习了平角定义、平行线的性质，通过引导让学生能够用适当的辅助线把三角形的三个内角巧妙地转化为一个平角或两平行线的同旁内角，从而培养学生解决问题的思路和方法。教学中充分利用学生的已有知识进行适当的组织，会激发学生兴趣，收到良好的效果。

三、教学目标设计

根据新课标提出三维目标

知识目标： 掌握“三角形内角和定理”的证明及简单应用。

情感目标： 对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。

能力目标： 通过一题多解，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化2

发展。

四、教学重点、难点

教学重点：理解三角形内角和定理的证明以及简单的应用．

教学难点：初步学会辅助线的添加．

五、说学法：

教学中逐步设置疑问，让学生动手、动脑、动口、合作探究，积极参与知识获取的全过程，渗透转化的数学思想，培养学生学习数学的兴趣，给学生提供更多的活动机会和空间，使学生在参与的过程中得到充足的体验和发展。

六、教学流程设计：

本节课的教学流程共6个环节。导入新课－－－撕纸过程－－－－定理的证明－－－知识的应用－－－－学生小结－－－课堂小测

（一）、问题引入

1、故事：有一天，形状不一样的红蓝两三角形比内角和大小在一起玩，红色三角形说她的内角和大，蓝色三角形认为它的大，争论了起来？后来蓝三角形为什么不争了？这个故事里蕴涵着一个什么样的数学知识呢？设计意图：激发学生的学习兴趣与热情。让学生从熟知的问题开始这堂课的学习，能很快地激发起学生学习的欲望，尤其是学有困难的学生，并且从学过的知识引入符号学生的认知规律。从而自然的导入了三角形内角和的学习。

八年级数学 三角形内角和定理的证明

●教学目标

（一）教学知识点

三角形的内角和定理的证明.

（二）能力训练要求

掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.

（三）情感与价值观要求

通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.

●教学重点

三角形内角和定理的证明.

●教学难点

三角形内角和定理的证明方法.

●教学方法

实验、讨论法.

●教具准备

三角形纸片数张.

投影片三张

第一张：问题（记作投影片§6.5 A）

第二张：实验（记作投影片§6.5 B）

第三张：小明的想法（记作投影片§6.5 C）

●教学过程

Ⅰ.巧设现实情境，引入新课

［师］大家来看一机器零件（出示投影片§6.5 A）

工人师傅将凹型零件（图6－34）加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽（图6－35）的程序是：将垂直的铣刀倾斜偏转35°角（图6－5），就能得到55°的燕尾槽底角.

图6－34 图6－35 图6－36

为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？

Ⅱ.讲授新课

［师］为了回答这个问题，先观察如下的实验（电脑实验，或实物实验）

用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如图6－37），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？

图6－37

［生甲］当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于

0°.

［生乙］三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.

［师］很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？

［生丙］三角形的最大内角不会大于或等于180°.

［师］很好.看实验：当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.

三角形拉格朗日定理

引言

三角形是几何学中最基本的图形之一，研究三角形的性质和定理对于几何学的发展具有重要意义。在三角形的研究中，拉格朗日定理是一项重要的定理，它能够帮助我们推导出一些有关三角形边长和角度之间关系的重要结论。本文将详细介绍三角形拉格朗日定理及其相关内容。

三角形拉格朗日定理的定义

三角形拉格朗日定理是一个关于三个边长和三个内角正弦值之间关系的定理。它可以被描述为：对于任意给定的正实数a、b、c，以及对应的内角A、B、C，满足以下条件：

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

其中，R表示该三角形外接圆半径。

拉格朗日公式

为了更好地理解和应用拉格朗日定理，我们需要先了解拉格朗日公式。拉格朗日公式是一个用于计算任意三个边长和对应内角正弦值之间关系的公式。它可以表示为：

sinA/a = sinB/b = sinC/c = 1/2R

拉格朗日公式是拉格朗日定理的特殊情况，即当三角形的边长和对应内角正弦值满足此公式时，三角形的外接圆半径为R。

拉格朗日定理的证明

下面我们将简要介绍拉格朗日定理的证明过程。

假设有一个三角形ABC，以点O为圆心的外接圆半径为R。根据三角形的定义，我们可以得到以下关系：

AB = 2R * sinC

BC = 2R * sinA

CA = 2R * sinB

由于sinA/a = sinB/b = sinC/c = 1/2R（根据拉格朗日公式），我们可以得到：

AB/a = BC/b = CA/c

根据向量运算中的”等模等夹角”原理，我们可以得到以下等式： AB^2 + BC^2 + CA^2 = a^2 + b^2 + c^2

通过简单的变换和整理，我们可以得到以下关系：

a^2 + b^2 + c^2 = AB^2 + BC^2 + CA^2 = 4R^2 * (sinA^2 + sinB^2 + sinC^3)

进一步整理可得：

《三角形证明》题型解读1：三角形内角和定理及外角定理题型

【知识梳理】

1.三角形内角和定理

①三角形的三个内角的和等于1800。

②证明过程---解题思路：把三角形三个内角，通过平行线性质，转化成一个平角。

如图，过△ABC的顶点A作DE//BC，∵DE//BC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，

∴∠B+∠BAC+∠C=180°，即三角形的三个内角和是180°.

③拓展：n边形内角和公式（n-2）×1800

2.三角形的外角

①三角形外角的特征：顶点在三角形的一个顶点上；一条边是三角形的一边；另一条边是三角形另一边的延长线；

如图2，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6均是△ABC的外角；由于这6个角中存在三组对顶角，所以一般说一个三角形的外角，是指它的三个外角。

②三角形的外角和定理：三角形的三个外角和等于360º

如图2，∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6=360°；

③三角形的外角性质：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，注意：“不相邻”；

如图2，∠1=∠2=∠ACB+∠ABC、∠3=∠4=∠BAC+∠ACB、∠5=∠6=∠BAC+∠ABC.

④三角形的外角大于和它不相邻的任意一个内角，注意：“不相邻”；

⑤拓展：四边形的外角性质:如图，当∠A+∠C=180°时∠EDC=∠B

【典型例题】

例1. 已知AB//CD，求证：∠B=∠E+∠D

EDCBAEDCBAEDCBA°°=D+E（等量代换）21图2654321CBA【解析】：这是平行线中三大典型模型的“牛角模型”，未知外角性质定理时，我们的证明过程如下：

当我们学习了外角性质定理时，证明过程就要简洁一些了。

证明：∵AB//CD（已知），

∴∠B=∠1（两直线平行，同位角相等），

∵∠1=∠D+∠E（三角形外角性质），

∴∠B=∠D+∠E（等量代换）.