数学九年级上册 旋转几何综合单元测试卷(含答案解析)
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数学九年级上册 旋转几何综合单元测试卷（含答案解析）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝492．
【解析】
【分析】
（1）由已知易得BDCE，利用三角形的中位线得出12PMCE，12PNBD，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PMCE得出DPMDCA，最后用互余即可得出位置关系；
（2）先判断出ABDACE，得出BDCE，同（1）的方法得出12PMBD，12PNBD，即可得出PMPN，同（1）的方法由MPNDCEDCBDBCACBABC，即可得出结论；
（3）方法1：先判断出MN最大时，PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大AMAN，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD最大时，PMN的面积最大，而BD最大是14ABAD，即可得出结论．
【详解】
解：（1）点P，N是BC，CD的中点，
//PNBD，12PNBD，
点P，M是CD，DE的中点，
//PMCE，12PMCE，
ABAC，ADAE，
BDCE，
PMPN，
//PNBD，
DPNADC，
//PMCE，
DPMDCA，
90BAC，
90ADCACD，
90MPNDPMDPNDCAADC，
PMPN，
故答案为：PMPN，PMPN；
（2）PMN是等腰直角三角形．
由旋转知，BADCAE，
ABAC，ADAE，
()ABDACESAS，
ABDACE，BDCE，
利用三角形的中位线得，12PNBD，12PMCE，
PMPN，
PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，//PMCE，
DPMDCE，
同（1）的方法得，//PNBD，
PNCDBC，
DPNDCBPNCDCBDBC，
MPNDPMDPNDCEDCBDBC
BCEDBCACBACEDBC
ACBABDDBCACBABC，
90BAC，
90ACBABC，
90MPN，
PMN是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN是等腰直角三角形，
MN最大时，PMN的面积最大，
//DEBC且DE在顶点A上面，
MN最大AMAN，
连接AM，AN，
在ADE中，4ADAE，90DAE，
22AM，
在RtABC中，10ABAC，52AN，
225272MN最大，
222111149(72)22242PMNSPMMN最大．
方法2：由（2）知，PMN是等腰直角三角形，12PMPNBD，
PM最大时，PMN面积最大，
点D在BA的延长线上，
14BDABAD，
7PM，
2211497222PMNSPM最大．
【点睛】
此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PMCE，12PNBD，解（2）的关键是判断出ABDACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，PMN的面积最大．
2．如图一，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．
（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；
（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若161AEEC，求nm的值．
（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB上有一点P，BP=2，点E是直线DC上一动点，
在BE左侧作矩形BEFG且始终保持BEnBGm，设AB=33，试探究点E移动过程中，PF是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）56；（2）33；（3）存在，63
【解析】
【分析】
（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；
（2）由△BCE∽△BA2D2，推出222ADCEnCBABm，可得CE=2nm，由161AEEC推出16ACEC，推出A1C=26nm•，推出BH=A1C=26nm•，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；
（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF的长度为最小值；先证明△FDG∽△FME，得到33FGFFMFED，再结合已知条件和解直角三角形求出PM和FM的长度，即可得到PF的最小值.
【详解】
解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．
∴AD=HA1=n=1，
在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2，
∴BA1=2HA1，
∴∠ABA1=30°，
∴旋转角为30°，
∵BD=22125，
∴D到点D1所经过路径的长度=30551806；
（2）∵△BCE∽△BA2D2，
∴222ADCEnCBABm，
∴2nCEm，
∵161EAEC，
∴16ACEC，
∴A1C=26nm，
∴BH=A1C=2226nmnm，
∴42226nmnm，
∴m4﹣m2n2=6n4，
∴242416nnmm•，
∴33nm（负根已舍去）．
（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF的长度为最小值；
由（2）可知，33BEnBGm，
∵四边形BEFG是矩形，
∴33FGFE，
∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°，
∴∠DFG=∠MFE，
∵DF⊥PF，即∠DFM=90°，
∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°，
∴∠FDG=∠FME，
∴△FDG∽△FME，
∴33FGFFMFED，
∵∠DFM=90°，tan33FDFMDFM，
∴∠FDM=60°，∠FMD=30°，
∴32FMDM；
在矩形ABCD中，有33ADAB，
即3333AD，则3AD，
∵MN⊥AB，
∴四边形ANMD是矩形，
∴MN=AD=3，
∵∠NPM=∠DMF=30°，
∴PM=2MN=6，
∴NP=33AB，
∴DM=AN=BP=2，
∴332322FMDM，
∴63PFPMMF；
【点睛】
本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.
3．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合），且始终保持BPBQ，AQQE，QE交正方形外角平
分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ．
（1）求证：APQQCE≌；
（2）证明：DFBQQF；
（3）设BQx，当x为何值时，//QFCE，并求出此时AQF的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当222x时，//QFCE；AQFS442．
【解析】
【分析】
（1）判断出△PBQ是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE，再求出AP=CQ，然后利用“角边角”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ，判断出△AQE是等腰直角三角形，将ADF绕点A顺时针旋转90得FAB，再证明FAQFAQSAS≌；
（3）连结AC，设QFCE，推出QCF是等腰直角三角形°，再证明ABQADFSAS≌，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF，AQAF，22.5QABDAF，分别用x表示出DF、CF、QF，然后列出方程求出x，再求出△AQF的面积．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴ABBC，90BBCDDCM，
∵BPBQ，
∴PBQ是等腰直角三角形，APQC，
∴45BPQ，
∴135APQ
∵CE平分DCM，
∴45DCEECM，
∴135QCE，
∴135APQQCE，
∵AQQE，
∴90AQBCQE．
∵90AQBBAQ．
