高数A(一)期末模拟试题解答

高等数学A（一）期末模拟解答

试题（一）

一、填空题（每题3分）

1、xxf11)(，则))((xff ，)))(((xfff 。

xxxxxxfxff111111)(11))((

xxxxxffxfff1111))((11)))(((

2、已知3111lim30xkxx，则k 。

13131)1(31lim11lim32030kkkkxxkxxx

3、若)(xf在0xx可导，且xxfxaxfx)()(lim000=)(340xf，则a 。

34)()()(lim)()(lim0000000axfaxaxfxaxfaxxfxaxfxx

4、1112xxxf，则)(xf= 。

3221)(11)(xxfxxxf

5、设)1ln()(20xdttfx，则)2(f= 。

256)2()1(4)1(2)(12)(22222fxxxxfxxxf

6、若)(xf满足)()0()(xgxfxf，且0)(lim0xxgx，则)0(f= 。

1)(lim)0()(lim)0(00xxgxxfxffxx

7、0sin5xdx 8、方程0)()(xqyxpy的通解是dxxpdxxpedxexqCy)()()(。

9、在极坐标下，由曲线)(,,，),(1),(2（)()(21）围成的平面图形的面积dA)()(212122。

10、ataxxdttex)11(lim，则a 。

因为aaxxex)11(lim，aatatateaetedtte)1(，所以a2

二、计算题（每题7分）

1、112xxfy，且2sin)(xxf，求dy

解 因为： 22)1(3112)1()12()1(2112xxxfxxxxxfy。所以：

dxxxxdy22112sin)1(3

2、求曲线teytexttcos2sin在点)1,0(的法线方程。

解 )2cos22(sinttext，)sin(costteyt，210tdxdy，12xy

3、Cedeeedxexxxxx12)1(121

4、eeedeedxeedxeeexeexexxxxx10101010

5、4341231,,1max314143313111423432xxdxxdxdxxdxxx

6、 解1 1010210arcsin2)(112)1(xxdxxxdx

解2 101011)1(dxxxxxxdx，令txx1，221ttx，dtttdx22)1(2， 所以：0020222210arctan2112)1(21)1(tdttdttttttxxdx

7、求yxyyx)(的通解

解 原方程化为：ydyxdxydxxdy，)(21)(22yxdxyd，所以原方程的通解为：

Cyxyx222

8、求二阶方程xeyy24的通解

解 特征方程为042r，特征根为22,1r， 齐次方程的通解为xxeCeCY2221，设原方程的一个特解为xaxey2，xexay2)12(，xexay2)1(4，代入方程得41a，所以原方程的通解为：xxxxeeCeCy2222141。

三、已知曲线)0(,axay与xyln在点),(00yx处有公切线，求

（1）常数a与切点),(00yx。（5分） （2）曲线与x轴所围的几何图形的面积。（4分）

（3）该图形饶x轴旋转所成的旋转体的体积。（5分）

解 （1）因为xay2，xy21，xxa1，21ax，ayln1，所以1ea，由此得20ex，10y。

（2）216131)1(2122210222eeedyyeeAy

（3）2)(ln)(221202eedxxdxexV 试题（二）

一、填空题（每题2分，共18分）

1、函数0 , 11sin0 ,

)(xxxxaxxf在),(上连续，则1a。

2、xxxsin)31ln(lim0 。 因为：33limsin)31ln(lim00xxxxxx

3、当0x时，112x是关于x的 阶无穷小。

因为1112lim11lim20220xxxxx，所以112x是关于x的2阶无穷小。

4、已知2)(0xf，则hxfhxfh)()2(lim000= 。

4)(22)()2(lim2)()2(lim0000000xfhxfhxfhxfhxfhh

5、22324)sin(dxxxx= 。

56452)sin(20522324xdxxxx

6、已知,)(02dtexfxt则)0(f 。

因为2)(xexf，则1)0(f

7、dxxfdxxfd)()(

8、微分方程5xyyx，称为 三阶线性 微分方程。

9、方程042yy的通解为xeCCyx2221。

二、填择题（（每题2分，共10分）

1、设0, 00),11()(1xxxxxf则0x是)(xf的（ A ）

（A）可去间断点 （B）无穷间断点 （C）连续点 （D）跳跃间断点 解 因为)0(02111lim)(lim00fxxxfxx

2、函数2)(xxf在点2x处的导数是（ D ）

（A）1 （B）0 （C）1 （D）不存在

3、已知)(xf的一个原函数是2xe，则dxxfx)(（ C ）

（A）222xex （B）222xex （C）Cxex)12(22 （D）dxxfxxf)()(

解 因为222)(xxxeexf，所以Cexdxxfxxfdxxfxx2)12()()()(2

4．积分中值定理baabfdxxf))(()(，其中（ B ）。

（A）是[a，b]内任一点 （B）是[a，b]内必存在的某一点

（C）是[a，b]内唯一的某一点 （C）是[a，b]内中点

5．方程0)ln(lndyyxydxy是（ B ）

（A）可分离变量方程 （B）线性方程 （C）齐次方程 （D）以上都不对

三、解答题（每题4分，共40分）

1、求极限31)1(31lim3111limsinarctanlim2022030xxxxxxxxx

2、求极限0)1(12lim1)1ln(1lim1400202xxxdttxxxx

3、已知)arcsin(xey，求y

解 xeeyxx21112

4、已知yxey1，求dxdy。

解 yyyyxeeyeyxey1

5、设)(xefy，)(xf存在，求22,dxyddxdy 解 )(xxefey，)()(2xxxxefeefey

6、求Cxxdxdxx655)12(121)12()12(21)12(

7 、求dxxx)1ln(

解

Cxxxxdxxxxxdxxxxxdxxxxxdxxdxxx)1ln(21)1(41)1ln(2111121)1ln(2111121)1ln(21121)1ln(21)1ln(21)1ln(22222222

8、求10221dxxx

解 设txsin，则：

16)4cos1(812sin41cossin12020220221022dtttdttdttdxxx

9、求dxxex0

解

10000dxexexdedxxexxxx

10、已知0,10,1)(xxxexfx，求12)1(dxxf

解 设tx1，则：

200121121)1()()1(dxedttdttfdxxfx

11、求微分方程022yxyyx的通解。

解 原方程化为：22xyxydxdy，令xuy，dxduxudxdy，代入方程，得：

2uudxduxudxxduu112

两边积分得：

yxueCxeCxCxu1||ln1

四、函数xxy2ln的单调区间和极值（8分）

解 10lnln222xxxxy和2ex。

x

1,0 1 2,1e 2e ,2e

y 0

0

y 极小f0 24ef极大

五、求曲线xy22和23yx围成的图形（1）面积 ，（2）分别绕x轴和y轴旋转一周所成的立体体积。（9分）

解 交点)2,1(

（1）2222213dyyyA

（2）31210)3(2dyyxdxVx，224241)3(dyyyVy

七、证明题（7分）

)(xf设在[0，1]上连续，且单调减少，证明，当10时010)()(dxxfdxxf

证 令100)()()(dxxfdxxfF，则：

0)()()1()()1()()1()()()1()()()()()()(212110100100ffffdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfF

试题（三）

一、填空题（3分×5＝15分）

1、函数21)12ln()(xxxf的定义域是121x。