人教版八年级数学下册 第十九章 一次函数 知识点汇总

人教版八年级下册数学知识点归纳第十九章一次函数一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。

二、函数的概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．点滴学堂整理三、函数中自变量取值范围的求法：（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。

（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。

（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．五、用描点法画函数的图象的一般步骤1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。

）注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。

2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。

3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。

六、函数有三种表示形式：点滴学堂整理（1）列表法（2）图像法（3）解析式法七、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。

一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.八、正比例函数的图象与性质：（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。

八年级数学下册第十九章一次函数知识点总结归纳完整版单选题1、已知函数y=2x−1x+2,当x=a时的函数值为1，则a的值为（）A．3B．－1C．－3D．1答案：A分析：当x=a时的函数值为1，把x=a代入函数式中，得2a−1a+2=1求解a=3．∵函数y=2x−1x+2中，当x=a时的函数值为1，∴2a−1a+2=1，∴2a−1=a+2，∴a=3.故答案为A小提示：此题考查函数值, 令y=1,解分式方程，即可求出2、在平面直角坐标系中，点A(3,0)，B(0,4)．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（）A．y=−17x+4B．y=−14x+4C．y=−12x+4D．y=4答案：A分析：过点D作DE⊥x轴于点E，先证明△ABO≅△DAE(AAS)，再由全等三角形对应边相等的性质解得D(7,3)，最后由待定系数法求解即可．解：正方形ABCD中，过点D作DE⊥x轴于点E，∵∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠DAE=90°∴∠ABO=∠DAE∵∠BOA=∠AED=90°,AB=AD∴△ABO≅△DAE(AAS)∴AO=DE=3,OB=AE=4∴D(7,3)设直线BD所在的直线解析式为y=kx+b(k≠0)，代入B(0,4)，D(7,3)得{b=47k+b=3∴{k=−1 7b=4∴y=−17x+4，故选：A．小提示：本题考查待定系数法求一次函数的解析式，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3、若x=2是关于x的方程mx+n=0(m≠0,n>0)的解，则一次函数y=−m(x−1)−n的图象与x轴的交点坐标是（）A．(2,0)B．(3,0)C．(0,2)D．(0,3)答案：B分析：直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标．解：∵方程的解为x=2，∴当x=2时mx+n=0；∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），故选：B．小提示：本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．4、如图所示，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点P(3,2)，则方程kx+b=2的解是（）A．x=1B．x=2C．x=3D．无法确定答案：C分析：将点P(3,2)代入直线解析式，然后与方程对比即可得出方程的解．解：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点P(3,2)，∴2=3k+b，∴x=3为方程2=kx+b的解，故选：C．小提示：题目主要考查一次函数与一元一次方程的联系，理解二者联系是解题关键．5、现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）（小时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，y的值为（）A．3.2米B．4米C．4.2米D．4.8米答案：A分析：先利用待定系数法求出两个蓄水池的函数解析式，再联立求出交点坐标即可得．解：设甲蓄水池的函数解析式为y=kx+b，由题意，将点(3,0),(0,4)代入得：{3k+b=0b=4，解得{k=−43b=4，则甲蓄水池的函数解析式为y=−43x+4，同理可得：乙蓄水池的函数解析式为y=2x+2，联立{y=−43x+4y=2x+2，解得{x=0.6y=3.2，即当甲、乙两池中水的深度相同时，y的值为3.2米，故选：A．小提示：本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．6、在函数y=2x−3中，当自变量x=5时，函数值等于（）A．1B．4C．7D．13答案：C分析：把x=5代入y=2x−3求解即可．解：把x=5代入y=2x−3得y=2×5-3=7，故选：C．小提示：本题考查求函数值，属基础题目，难度不大．7、若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，则该函数图象经过的象限是（）A．第一、三象限B．第一、四象限C．第二、三象限D．第二、四象限答案：D分析：根据正比例函数的定义知，m2−1=0且m−1≠0，由此可求得m的值，从而可知正比例函数图象所经过的象限．由题意知：m2−1=0且m−1≠0由m2−1=0得：m=±1由m−1≠0得：m≠1∴m=-1此时正比例函数解析式为y=－2x∵－2<0∴函数图象经过第二、四象限故选：D．小提示：本题考查了正比例函数的概念，把形如y=kx（k≠0）的函数称为正比例函数，掌握正比例函数概念是解题关键．特别注意一次项系数不为零．8、在平面直角坐标系中，直线l1与l2关于直线y=1对称，若直线l1的表达式为y=−2x+3，则直线l2与y轴的交点坐标为（）A．(0,12)B．(0,23)C．(0,0)D．(0,−1)答案：D分析：先求解y=−2x+3与x,y轴的交点B,A坐标，再求解A关于y=1的对称点A′的坐标即可得到答案．解：如图，∵y=−2x+3，令x=0,y=3,令y=0,x=32,∴A(0,3),B(3,0),2作A,B关于直线y=1对称的点A′,B′,∵直线l1与l2关于直线y=1对称，即上图中的直线AB与直线A′B′关于直线y=1对称，∴x A=x A′=0,y A−1=1−y A′,∴y A′=−1,∴A′(0,−1),所以直线l2与y轴的交点坐标为：(0,−1).故选：D.小提示：本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点的坐标，坐标与图形，轴对称的坐标变化，掌握数形结合的方法是解题的关键．9、直线y＝kx+2过点（﹣1，4），则k的值是（）A．﹣2B．﹣1C．﹣1D．24答案：A分析：由直线y＝kx+2过点（﹣1，4），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．解：∵直线y＝kx+2过点（﹣1，4），∴4＝﹣k+2，∴k＝﹣2．故选：A．小提示：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b 是解题的关键．10、如图，已知A(1,3)，B(5,1)，若直线y=kx+1与线段AB有公共点，则k的取值范围是（）A．k≠0B．k>1C．0≤k≤1D．0≤k≤2答案：D分析：先求出直线过点A、B的k值，再结合图象即可求得k的取值范围．解：当直线y=kx+1过点A（1，3）时，则k+1=3，解得：k=2，当直线y=kx+1过点B（5，1）时，则5k+1=1，解得：k=0，当x=0时，y=1，则直线经过定点（0，1），∵直线y=kx+1与线段AB有公共点，∴0≤k≤2，故选：D．小提示：本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键．填空题11、如图，A(−2,1),B(2,3)是平面直角坐标系中的两点，若一次函数y=kx−1的图象与线段AB有交点，则k 的取值范围是_______．答案：k<-1或k>2分析：将A、B点坐标分别代入计算出对应的k值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定k的范围．解：当直线y=kx-1过点A时，得-2k-1=1，解得k=-1，当直线y=kx-1过点B时，得2k-1=3，解得k=2，∵一次函数y=kx−1的图象与线段AB有交点，∴k<-1或k>2，所以答案是：k<-1或k>2．小提示：此题考查了一次函数图象与系数的关系：当k>0时，图象过第一、三象限，y随x的增大而增大，越靠近y轴正半轴k值越大；当k<0时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小越靠近y轴正半轴k值越小．12、某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为x 元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为______．答案： 3 y=4x+2##y=2+4x分析：根据题意列出一元一次方程，函数解析式即可求解．解：∵14>10，∴超过2千克，设购买了a千克，则2×5+(a−2)×0.8×5=14，解得a=3，设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为：y=2×5+(x−2)×5×0.8=10+4x−8=4x+2，所以答案是：3，y=4x+2．小提示：本题考查了一元一次方程的应用，列函数解析式，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键．13、张老师带领x名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票的总费用为y元，则y＝__________________，当学生有45人时，需要的总费用为________元．答案： 10＋5x(x为正整数), 235分析：总费用=成人票用钱数+学生票用钱数，根据关系列式即可．根据题意可知y=5x+10．当x=45时，y=45×5+10=235元.故答案为5x+10；235.小提示：解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．关系为：总费用=成人票用钱数+学生票用钱数．14、已知一次函数y ＝（2m ＋1）x ＋m ﹣3的图象不经过第二象限，则m 的取值范围为______．答案：−12<m ⩽3 分析：根据一次函数图象经过的象限可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围． 解：∵一次函数y =(2m +1)x +m −3的图象不经过第二象限，∴该图象经过第一、三象限或第一、三、四象限，{2m +1>0m −3≤0，解得：﹣12＜m ≤3． 所以答案是：﹣12＜m ≤3．小提示：本题考查了一次函数的性质及解不等式组，解题的关键是熟知一次函数的性质并正确的应用．15、正比例函数的图像过A 点，A 点的横坐标为3．且A 点到x 轴的距离为2，则此函数解析式是___________________ ．答案：y =23x 或y =-23x分析：根据题意确定A 点纵坐标是2或者-2，设出正比例函数解析式，然后分情况将A 点坐标代入解析式即可求出．根据题意可得A 点坐标(3,2)或(3，-2)，设正比例函数解析式为：y=kx ，代入解析式可得：k=23或-23，∴函数解析式是y =23x 或y =-23x ．所以答案是：y =23x 或y =-23x ．小提示：本题主要考查了正比例函数解析式，根据题意确定点A 的坐标是解题的关键．解答题16、已知函数y=(5m−3)x2−n+(m+n)，(1)当m、n为何值时，此函数是一次函数？(2)当m、n为何值时，此函数是正比例函数？答案：(1)n=1，m≠35(2)n=1，m=-1分析：（1）根据一次函数的定义知2−n=1，且5m−3≠0，据此可以求得m、n的值；（2）根据正比例函数的定义知2−n=1，m+n=0，据此可以求得m、n的值．（1）解：当函数y=(5m−3)x2−n+(m+n)是一次函数时，2−n=1，且5m−3≠0，解得，n=1，m≠35；（2）解：当函数y=(5m−3)x2−n+(m+n)是正比例函数时，{2−n=1 m+n=05m−3≠0，解得，n=1，m=−1．小提示：本题考查了一次函数、正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式．17、今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．答案：（1）这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）购进A种树苗3500棵，B种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元．分析：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，分别表示出两种树苗的数量，根据“每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵”列方程即可求解；（2）设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w，得到w与t的关系式，根据题意得到t的取值范围，根据函数增减性即可求解．解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意，得6300.9x −6001.2x=10，解之，得x=20．经检验知，x=20是原分式方程的根，并符合题意．答：这一批树苗平均每棵的价格是20元．（2）由（1）可知A种树苗每棵价格为20×0.9=18元，种树苗每棵价格为20×1.2=24元，设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w，则w=18t+24(5500−t)=−6t+132000．∵w是t的一次函数，k=−6<0，w随着t的增大而减小，t≤3500，∴当t=3500棵时，w最小．此时，B种树苗有5500−3500=2000棵，w=−6×3500+132000=111000．答：购进A种树苗3500棵，B种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元．小提示：本题考查了分式方程的实际应用，一次函数实际应用，不等式应用等问题，根据题意得到相关“数量关系”，根据数量关系得到方程或函数解析式是解题关键．18、某市出租车的计费标准如下：行驶路程不超过5 km时，收费8元，行驶路程超过5 km的部分，按每千米1.5元计费．（1）求出租车收费y(元)与行驶路程x(km)之间的函数关系式；（2）若某人一次乘出租车付出了车费11元，求他这次乘坐了多少千米的路程？答案：（1）y={8(0<x≤5)1.5x+0.5(x>5)；（2）若某人一次乘出租车付出了车费11元，则这次乘坐了7km的路程．分析：（1）要先根据行驶路程的距离是否超出5千米来进行分类讨论，然后分别列出函数解析式即可；（2）先根据车费判断出此人的大概行驶路程，然后根据（1）中得出的不同的函数，看符合哪种情况，然后代入其中求出此人乘坐的路程．解：（1）由题意得：当0＜x≤5时，y=8当x＞5时，y=8+1.5(x-5)=1.5x+0.5∴出租车收费y元与行驶路程x（km）之间的函数关系式为y={8(0<x≤5)1.5x+0.5(x>5)(2) ∵11元＞8元.∴y=11时，1.5x+0.5=11，解得x=7，∴若某人一次乘出租车付出了车费11元，则这次乘坐了7km的路程．.小提示：本题主要考查一次函数关系式的应用问题．注意自变量的取值范围不能遗漏，不同的取值要进行分类讨论．。

一次函数（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。

*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、确定自变量的取值范围方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

4、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 6、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

7、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

（二）一次函数 1、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小倾斜度：|k|越大，越接近y 轴； 2、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ¹）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。

一次函数 全章知识点归纳总结1．函数的概念：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．在某一变化过程中，有两个量，如和，对于的每一个值，都有惟一的值与之对应，其中是自变x y x y x 量，是因变量，此时称是的函数．y y x 1：下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是：【 】2．表示方法（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．如：，．30S t =2S R π=（2）列表法：通过列表表示函数的方法．（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．3．关于函数的关系式(解析式)的理解：（1）函数关系式是等式．例如就是一个函数关系式．4y x =（2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：中是自变量，是的函数．y =x y x （3）函数关系式在书写时有顺序性．例如：是表示是的函数，若写成就表示是的函数． 31y x =-+y x 13yx -=x y （4）求与的函数关系时，必须是只用变量的代数式表示，得到的等式右边只含的代数式．y x x y x4．自变量的取值范围：很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如中，自变量受到开y =x 平方运算的限制，有即；10x -≥1x ≥当汽车行进的速度为每小时公里时，它行进的路程与时间的关系式为；这里的实际意义影80s t 80s t =t 响的取值范围应该为非负数，即．t t 0t ≥在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：（1）整式型：一切实数（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．（3）分式型：分母不为．0（4）复合型：不等式组（5）应用型：实际有意义即可例题4：函数中的自变量x 的取值范围是【 】12-+=x x y A 、x ≥－2 B 、x ≠1 C 、x ＞－2且x ≠1 D 、x ≥－2且x ≠1例题5：函数中的自变量x 的取值范围为_________________242412----=x x x y 例题6：函数中的自变量x 的取值范围为_________________748142---=x x x y 例题7：若等腰三角形周长为30，一腰长为a ，底边长为L ，则L 关于a 的函数解析式为 .5．函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．6．函数图像的位置决定两个函数的大小关系：（1）图像在图像的上方1y 2y ⇔21y y >（2）图像在图像的下方1y 2y ⇔21yy <xx（3）特别说明：图像在x 轴上方；图像在x 轴下方y 0>⇔y y 0<⇔y 例题8：直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为【 】A 、x ＞1B 、x ＜1C 、x ＞－2D 、x ＜－2例题9：如图，直线与轴交于点，关于的不等式的解集是(0)y kx b k =+<x (30)，x 0kx b +>【 】A ．B ．C ．D ．3x <3x >0x >0x <7．描点法画函数图象的步骤：（1）列表； （2）描点； （3）连线．例题10：画出函数的图像42+=x y 8．函数解析式与函数图象的关系：（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；（2）函数图象上点的坐标满足函数解析式．9．验证一个点是否在图像上方法：代入、求值、比较、判断例题11：下列各点中，在反比例函数y ＝图象上的是【 】6xA ．（－2，3）B ．（2，－3）C ．（1，6）D ．（－1，6）10．一次函数及其性质知识点一：一次函数的定义一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即y kx b =+k b 0k ≠0b =y kx =是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形y kx b =+式．⑵当，时，仍是一次函数．0b =0k ≠y kx =⑶当，时，它不是一次函数．0b =0k =⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．知识点二：一次函数的图象及其画法⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．y kx b =+0k ≠k b ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；()00，()1k ，②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．0b ≠()0b ，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直y kx b =+()x y ，线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所l l ()x y ，y kx b =+l y kx b =+以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．y kx b =+l y kx b =+y kx b =+知识点三：一次函数的性质⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；0k >y kx b =+y x ⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．0k <y kx b =+y x 知识点四：一次函数的图象、性质与、的符号y kx b =+k b 一次函数()0k kx b k =+≠0k >0k <，符号k b 0b >0b <0b =0b >0b <0b =倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴图像的平移：b ＞0时，将直线y ＝kx 的图象向上平移b 个单位，对应解析式为：y ＝kx ＋b b ＜0时，将直线y ＝kx 的图象向下平移个单位，对应解析式为：y ＝kx －b b 口诀：“上＋下－”将直线y ＝kx 的图象向左平移m 个单位，对应解析式为：y ＝k （x ＋m ）将直线y ＝kx 的图象向右平移m 个单位，对应解析式为：y ＝k （x －m ）口诀：“左＋右－”知识点五：用待定系数法求一次函数的解析式⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或x y ，方程组；③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．例题12：一次函数的图象只经过第一、二、三象限，则【 】y kx b =+A ．B ． C ． D ．00k b <>，00k b >>，00k b ><，00k b <<，例题13：如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么【 】y kx b =+y A ．，B ．，C ．，D ．，0k >0b >0k >0b <0k <0b >0k <0b <例题14：已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），求该函数的图象与轴交点的坐标.y例题15：已知一次函数，试说明：不论k 为何值，这条直线总要经过一011)3()12(=+-+--k y k x k 个定点，并求出这个定点.例题16：一次函数y ＝ax ＋b 的图像关于直线y ＝－x 轴对称的图像的函数解析式为____ __ 例题17：某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程（单位：千米）与所用时间（单y x 位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时．（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象．y x （2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）（3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程．例题18：已知某一次函数当自变量取值范围是2≤y≤6时，函数值的取值范围是5≤x≤9．求此一次函数的解析式．例题19：已知一次函数y ＝ax ＋4与y ＝bx －2的图象在x 轴上相交于同一点,则的值是【 】baA 、4B 、－2C 、D 、－1212例题20：求直线y ＝2x －1与两坐标轴所围成的三角形面积.11．直线（）与（）的位置关系11b x k y +=01≠k 22b x k y +=02≠k （1）两直线平行且⇔21k k =21b b ≠（2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合且⇔21k k =21b b =（4）两直线垂直⇔121-=k k 例题21：已知一次函数，另一条直线与之平行，且与坐标轴所围成的三角形面积为8，求此一1+=x y 次函数解析式.12．一次函数与一元一次方程的关系：直线与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解.求直线与y b k 0kx =+≠（）b 0(0)kx k +=≠y b kx =+x 轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x 轴于，0y =b 0kx +=x bk =-y b kx =+(,0)b k -b k-就是直线与x 轴交点的横坐标.y b kx =+13．一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次a b 0x +>a b 0x +<b a 、0a ≠不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.。

人教版初二下册数学第19章《一次函数》讲义第19讲一次函数的图象及性质（1）（有答案）〔1〕形如y=kx ＋b (k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.由于当b=0时，y=kx ，那么y 叫做x 的正比例函数，所以〝正比例函数是特殊的一次函数〞。

〔2〕正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而失掉〔当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移,〕普通地，形如y=kx (k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数普通方式 y=kx 〔k 不为零〕① k 不为零； ② x 指数为1； ③ b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx 〔k 是常数，k≠0〕(2) 必过点：〔0，0〕、〔1，k 〕(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限； k<0时，•图像经过二、四象限(4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴普通地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.注：一次函数普通方式 y=kx+b (k 不为零)① k 不为零； ②x 指数为1； ③ b 取恣意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过〔0，b 〕和〔－kb ，0〕两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度失掉.〔当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移〕〔1〕解析式：y=kx+b (k 、b 是常数，k ≠0)〔2〕必过点：〔0，b 〕和〔-kb ，0〕 〔3〕走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 〔4〕增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.〔5〕倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.〔6〕图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.考点1、一次函数〔正比例〕的定义例1、在糖水中继续放入糖x 〔g 〕、水y 〔g 〕，并使糖完全溶解，假设甜度坚持不变，那么y 与x 的函的函数关系一定是〔 〕A 、正比例函数B 、正比例函数C 、图象不经过原点的一次函数D 、二次函数例2、直角三角形两个锐角∠A 与∠B 的函数关系是〔 〕A 、正比例函数B 、一次函数C 、正比例函数D 、二次函数 例3、假定y=〔m －3〕x+1是一次函数，那么〔 〕A 、m=3B 、m=－3C 、m≠3D 、m≠－3例4、以下效果中，是正比例函数的是〔 〕A 、矩形面积固定，长和宽的关系B 、正方形面积和边长之间的关系C 、三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的关系D 、匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系例5、假定函数y=－2x m+2+n －2是正比例函数，那么m 的值是_____，n 的值为_____． 例6、我们知道，海拔高度每上升1km ，温度下降6℃．某时辰测量我市空中温度为20℃．设高出空中xkm 处的温度为y ℃，那么y 与x 的函数关系式为 ，y_____x 的一次函数〔填〝是〞或〝不是〞〕．例7、y=〔k －1〕x IkI +〔k 2－4〕是一次函数．〔1〕求k 的值； 〔2〕求x=3时，y 的值； 〔3〕当y=0时，x 的值．例8、红星机械厂有煤80吨，每天需烧煤5吨，求工厂余煤量y 〔吨〕与烧煤天数x 〔天〕之间的函数表达式，指出y 是不是x 的一次函数，并求自变量x 的取值范围． 例9、举一反三：1、以下函数中，是一次函数的有〔 〕A 、xy 2 B 、X －1=0 C 、y=2〔x －1〕 D 、y=x 2+1 2、y=〔m －1〕x |m|+3m 表示一次函数，那么m 等于〔 〕A 、1B 、－1C 、0或－1D 、1或－13、假定函数y=〔k －1〕x+k 2－1是正比例函数，那么k 的值是〔 〕A 、－1B 、1C 、－1或1D 、恣意实数4、当自变量x= 时，正比例函数y=〔n+2〕x n 的函数值为3．5、函数y=3x+1，当自变量添加3时，相应的函数值添加______。

第17讲函数的认识1、在一个变化过程中，数值保持不变的量叫常量，数值发生改变的量叫变量。

2、实际上，常量就是具体的数，变量就是表示数的字母。

（注意“π”是常量）函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

1、例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。

2、对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是11、当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有唯一确定值与之相对应，我们称这种关系为确定性的函数关系。

2、两个变量x，y,用一个等式表示出来，如果x取一个值，y都有唯一的值和他对应。

就是y与x的函数关系式。

1、自变量与函数在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果x每取一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫自变量，y叫x的函数。

2、函数值如果x=a时，y=b，那么把“y=b叫做x=a时的函数值”。

3、自变量取值范围的确定方法（1）、自变量的取值范围必须使解析式有意义。

当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数；当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于0的所有实数。

（2）、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。

4、确定函数取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义考点1、常量与变量例1、一个长方形的面积是10cm2，其长是acm，宽是bcm，下列判断错误的是（）A、10是常量B、10是变量C、b是变量D、a是变量例2、假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是（）①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量．A、1个B、2个C、3个D、4个例3、“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，______随______变化而变化，其中自变量是______，因变量是______．例4、在公式s=v0t+2t2（v0为已知数）中，常量是，变量是．例5、下列是某报纸公布的世界人口数据情况：（1）表中分别有几个变量？（2）你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？（3）如果用x表示时间，y表示世界人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？（4）世界人口每增加10亿，所需的时间是怎样变化的？例6、在烧开水时，水温达到l00℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：（1）上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？（3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？（4）时间为8分钟，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？（5）根据表格，你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少？（6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？1、在圆周长计算公式C=2πr中，对半径不同的圆，变量有（）A、C，rB、C，π，rC、C，πD、C，2π，r2、以固定的速度v0（米/秒）向上抛一个小球，小球的高度h（米）与小球的运动的时间t（秒）之间的关系式是h=v0t－4.9t2，在这个关系式中，常量、变量分别为（）A、4.9是常量，t、h是变量B、v0是常量，t、h是变量C、v0、－4.9是常量，t、h是变量D、4.9是常量，v0、t、h是变量3、如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S （m2），周长为p（m），一边长为a（m），那么S，p，a中是变量的是（）A、S和pB、S和aC、p和aD、S，p，a4、某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中是自变量，是因变量。