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1函数的概念

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函数的概念

1．函数的概念：

初中函数的定义：在某变化过程中，有两个变量x，y，如果对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做值域．

我们分析这个定义，能够看出，函数是两个变量之间的一种制约关系。

在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作： y=f(x)，x∈A．

函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．

注意：

○1 “y=f(x)”是函数符号，能够用任意的字母表示，如“y=g(x)，s=h(t)”；

○2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．

能够看出，函数是两个非空数集之间的一种特殊对应。

*两种定义的比较：

①相同点：1°实质一致；2°定义域，值域意义一致；3°对应法则一致；

②不同点：1°传统定义从运动变化观点出发，对函数的描述直观，具体生动.

2°近代定义从集合映射观点出发，描述更广泛，更具有一般性.

2． 构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域

1°核心 —— 对应法则

y=f(x)表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y.所以，f是使“对应”得以实现的方法和途径.是联系x与y的纽带，从而是函数的核心.对于比较简单的函数时，对应法则能够用一个解析式来表示，但在很多较为复杂的问题中，函数的对应法则f也能够采用其他方式（如图表或图象等）.

2°定义域

定义域是自变量x的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数.

在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题.

3°值域

值域是全体函数值所组成的集合.在一般情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定.所以，判断两个函数是否相同，只要看其定义域与对应法则是否完全相同，若相同就是同一个函数，若定义域和对应法则中有一个不同，就不是同一个函数.

注意：在函数定义中集合B不一定的值域，一般地值域B。

3．两个函数相同的条件

例1 判断下列对应是否为函数

（1）2,0,xxxRx

（2）xy，这里2,,yxxNyR

（3）ts，其中2,,sttRsR

课后练习

⒈下列说法中不准确的是 （ ） A.函数定义域中的每一个数都有值域中的一个数与之对应；

B.函数的定义域和值域一定是无限集合；

C.定义域和对应关系确定以后，函数的值域也就随之确定；

D.若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素．

2．对于函数()yfx，以下说法准确的是 （ ）

①y是x的函数； ②对于不同的x，y的值也不同； ③()fa表示当xa时函数()fx的值；④()fx一定能够用一个具体的式子表示出来．

A.1个 B.2个 C.3个

D.4个

3．给出以下四个命题：①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域有两个元素，则值域也必有两个元素；③因()5fx()xR的函数值不随x的变化而变化，所以(0)5f也成立；④Axx是平面上的三角形}，Byy是平面上的圆}，:fAB作三角形的外接圆，这种对应关系是函数关系．其中，正确的命题个数是 （ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4．下列图象中不能作为函数图象的是 （ ）

5．已知f（x）＝2x＋x＋1，则(2)f＝______；f［(2)f］＝______．

6．已知函数22()1xfxx＋，那么(1)f＋(2)f＋1()2f＋f（3）＋f（13）＋f（4）＋f（14）＝________．

7思考：对于对应法则:fxy，其中21yx，,xRyR。如果x是输入值，y是输出值，那么你能解决下面的输入输出的问题吗？

①输入值1x，1x，2x，2x，那么输出值_______________

②输出值是5 y=1 y=0y，那么输入值为_______________

③能输入“a”？能输入“1x”这样的式子吗？

参考答案

1．B 2．B 3．A 4．B 5．32 57 6．22()1xfxx＋， 211()1fxx＋，1()()fxfx＝1．

则(1)f＋(2)f＋1()2f＋f（3）＋f（13）＋f（4）＋f（14）＝12＋1＋1＋1＝72．

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0到1之间的函数

0到1之间的函数

0到1之间的函数

摘要：

一、函数定义及性质

1.函数概念

2.函数性质

二、0 到 1 之间的函数图像

1.常见函数图像

2.函数图像特点

三、0 到 1 之间的函数应用

1.实际问题中的应用

2.数学理论中的应用

四、总结

正文：

一、函数定义及性质

函数是数学中的一种基本概念，用于描述两个或多个变量之间的关系。给定一个数集 A，B 以及对应法则，若对于 A 中的任意一个元素，都有唯一的元素与之对应，则称 f:A→B 为从 A 到 B 的函数，记作 y=f(x)，x∈A。

函数具有以下性质：

1.单调性：若函数 f(x) 在区间 I 上单调增加，则对于 I 上的任意两个实数 a 和 b，若 a

2.连续性：若函数 f(x) 在区间 I 上连续，则对于 I 上的任意一个实数 a，都有极限 lim(x→a)f(x) 存在。

二、0 到 1 之间的函数图像

0 到 1 之间的函数图像包括了多种常见函数，如正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等。这些函数在 0 到 1 之间的取值范围，可以帮助我们更好地理解它们的特点和性质。

1.常见函数图像

常见的函数图像有：

- 正弦函数：y=sin(x)

- 余弦函数：y=cos(x)

- 指数函数：y=a^x (a>0, a≠1)

- 对数函数：y=log_a(x) (a>0, a≠1)

2.函数图像特点

在 0 到 1 之间的函数图像中，我们可以观察到以下特点：

- 正弦函数和余弦函数在0到π/2区间内单调增加，在π/2到π区间内单调减少，周期为2π。

- 指数函数和对数函数在 0 到 1 之间单调增加，当 a>1 时，指数函数增长速度大于对数函数；当 0

三、0 到 1 之间的函数应用

0 到 1 之间的函数在实际问题和数学理论中都有广泛的应用。

1.实际问题中的应用

数学强化班(武忠祥)-高数第一章 函数、极限、连续

数学强化班(武忠祥)-高数第一章 函数、极限、连续

1 第 函数 极限 连续

第一节 函 数

1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域）

2． 函数的性态

1）单调性

定义：单调增： ).()(2121xfxfxx

单调不减： ).()(2121xfxfxx

判定：（1）定义：

(2）导数：设)(xf在区间I上可导，则

a) )(0)(xfxf单调不减；

b) )(0)(xfxf单调增；

2)奇偶性

定义：偶函数 );()(xfxf 奇函数 ).()(xfxf

判定：(1）定义：

(2）设)(xf可导，则：

a))(xf是奇函数 )(xf是偶函数；

b))(xf是偶函数 )(xf是奇函数；

(3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；

连续的偶函数其原函数之一是奇函数。

3)周期性

定义：)()(xfTxf

判定：(1)定义；

(2）可导的周期函数其导函数为周期函数；

(3）周期函数的原函数不一定是周期函数；

4)有界性 2 定义：若;)(,,0MxfIxM则称)(xf在I上有界。

判定：（1）定义：

（2）)(xf在],[ba上连续)(xf在],[ba上有界；

（3）)(xf在),(ba上连续，且)0()0(bfaf和存在)(xf在）（ba,上有界；

（4）)(xf在区间I（有限）上有界)(xf在I上有界；

3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合)

4．基本初等函数与初等函数

基本初等函数:

常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形.

初等函数:

函数的概念导学案1

函数的概念导学案1

1 函数的概念（第一课时）

【学习目标】

1.会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；通过学习函数概念，培养学生观察问题，提出问题的探究能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生用函数模型表述和解决现实世界中蕴含的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识.

2.掌握构成函数的三要素，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学生学习的积极性.

【重点】正确理解函数的概念，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.

【难点】函数概念及符号y=f(x)的理解.

【教学过程】

一 自学找疑： 1、 初中学过函数的概念----你能叙述吗？以及一些具体函数

例如：

现在从集合的对应关系进一步学习函数及其构成。

2、 阅读教材15页三个函数实例完成填空

由实例一可知：对于数集 任一时间t按照对应关系 在数集 中都有唯一确定的高度h和它对应.

由实例二可知：对于数集 每一时刻t按照对应关系 在数集 中都有唯一确定的臭氧洞面积s和它对应.

由实例三可知：对于数集 每一时刻按照按对应关系 在

数集 中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应.

以上三个实例有什么不同点

其共同点是：

函数的概念(单元教学设计)高中数学人教A版2019必修第一册

函数的概念(单元教学设计)高中数学人教A版2019必修第一册

《函数的概念及其表示》单元教学设计

一、内容及其解析

（一）内容

1 函数的三个要素:定义域，值域，对应关系

2 “对应说”的函数概念

3 函数的表示法:解析法，图象法，表格法

4 分段函数的概念及表示

（二）内容解析

1. 内容本质：

两个数集之间建立对应关系(单射)是函数概念的本质，用集合语言和对应关系刻画函数概念是数学抽象素养得到提升的重要标志。用解析式、图象与表格等不同方法表示函数，是进一步理解函数、认识函数对应关系f的重要过程，也是数学思维的重要特征。

2 蕴含的思想方法

运用函数观察、研究事物的运动与变化及其规律是一种重要的思想，因此，函数思想自然是函数概念与表示教学中最重要的数学思想;在函数的表示中，函数不同表示法之间的转化渗透着数形结合的思想;同时，函数与方程、不等式之间的相互转化，蕴含着等价转化的思想。

3 知识知识的上下位关系:

函数是数学的核心概念，是刻画客观世界中运动变化规律的重要数学模型。在高中阶段，函数不仅贯穿数学学习的始终，而且是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础，在物理、化学、生物等其它领域也有广泛的应用;在高等数学和实际应用中，函数是基本数学对象，是数学建模的重要模型。

4 育人价值：

函数所蕴含的集合间的“对应”是一种重要的数学思想与方法，这种思想方法帮助人们在不同事物之间建立联系，并运用这种联系去研究、发现事物变化的规律，掌握事物本身的性质，这对于提高人们的思想认识，指导日常行为有着重要的意义与价值，函数的表示是数学表示的典范，除帮助人们提高抽象能力外，其本质也是建立具体函数到数学符号之间的对应，可以帮助学生进一步体会函数思想的本质，发展学生的数学抽象与直观想象素养.

5 教学重点：

实例归纳概括函数的基本特征，建立用集合与对应的语言刻画概念，选择适当的方法表示函数

二、目标及其解析

（一）单元目标

1在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。