高考数学二轮复习 专题7 第3讲 算法与复数同步练习 新人教A版

高中数学（人教A版）必修第二册《第7章复数》单选题专项练习（含答案解析）一、单选题1．已知x，y∈R，i为虚数单位，若（x-1）+（y+1）i=2+i，则x，y的值为（）A．3，0B．2，1C．1，2D．1，-1【答案】A【分析】根据复数相等的定义即可求解.【详解】解：因为（x-1）+（y+1）i=2+i，所以1211xy-=⎧⎨+=⎩，解得3,0x y==，故选：A.2．复数i(2i)-的虚部为（）A．-2B．2C．-2i D．2i 【答案】B【分析】由复数的运算得出虚部.【详解】i(2i)12i-=+，即该复数的虚部为2.故选：B3．已知复数1iz=+，那么||z等于（）A．1B．2CD【答案】C【分析】根据给定条件利用复数模的定义直接计算作答.【详解】因复数1iz=+，则||z=所以||z.故选：C试卷第1页，共39页4．设复数z 12i =-，则复数z 的模为（ ）A ．1B ．10C ．3D 【答案】D 【分析】根据复数模的定义求解即可. 【详解】z 12i =-,z ∴故选：B5．已知复数1z =+（i 为虚数单位），设z 是z 的共轭复数，则z 的虚部是（ ）AB ．CD ．【答案】B 【分析】先求出共轭复数，从而可求出其虚部 【详解】由1z =，得1z =，所以z 的虚部是 故选：B6．复数()()1i 2i 3i --++等于（ ） A ．1i -+ B ．1i - C ．i D ．i -【答案】A 【分析】按照复数的加法和减法法则进行求解. 【详解】(1i)(2i)3i (12)(i i 3i)1i --++=-+--+=-+故选：A.7．已知复数23i z =-，若()i z a ⋅+是纯虚数，则实数=a （ ） A ．23-B ．23 C ．32-D ．32【答案】D 【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.试卷第3页，共39页【详解】解：()()()()i 23i i 2332i z a a a a ⋅+=++=-++是纯虚数，则230320a a -=⎧⎨+≠⎩，解得32a =.故选：D.8．设复数z 满足(1i)2i z =＋，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =（ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i -【答案】D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由(1i)2i z =＋，得2i 2i(1i)2i(1i)1i 1i (1i)(1i)2z --====+++-，1i z ∴=-． 故选：D ．9．已知i 为虚数单位，则复数12i2i 1iz -=++可化简为（ ） A ．1i2-+ B ．1i2-- C ．1i3+ D ．1i2- 【答案】A 【分析】利用复数的四则运算即可求解. 【详解】 ()()12i 1i 12i 13i 1i 2i 2i 2i 1i 222z ------+=+=+=+=+.故选：A10．已知i 为虚数单位，在复平面内，复数31i i i++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【详解】先化简复数得到复数为12i -，即得解. 【点睛】 解：32i 1i=1i i=12i 1ii i i -=----++， 所以该复数对应的点为(1,2)-，在第四象限. 故选：D11．复数z 满足()2i 5z --=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】A 【分析】利用复数的除法化简复数z ，即可求得结果. 【详解】 因为()()()52i 52i 2i 2i 2i z -+===-+-----+，因此，复数z 的虚部为1. 故选：A.12．已知i 为虚数单位，复数5i12i iz -+=+-，则z 的模为（ ）A ．B ．3CD 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算求出复数z ，再用复数模的定义计算作答. 【详解】依题意，(5i)(i)12i 15i 12i 23i i (i)z -+⋅-=+-=++-=+⋅-，则z =所以z 故选：D13．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()1,2-，则i z 的共轭复数为（ ） A ．12i - B ．12i +C ．2i +D ．2i -【答案】D 【分析】依题意根据复数的几何意义得到12z i =-，再根据复数代数形式的乘法运算及共轭复数的概念计算可得. 【详解】解：由题知，12z i =-，则()i 12i i 2i z =-=+，所以i 2i z =-， 故选：D ．14．若1i z =-+．设zz ω=，则ω=（ ） A ．2i B ．2C ．22i +D ．22i -【答案】B试卷第5页，共39页根据1i z =-+求出1i z =--，结合复数的乘法运算即可. 【详解】由1i z =-+，得1i z =--，所以2(1i)(1i)=(i 1)=2zz ω==-+----. 故选：B15．设复数1z ，2z满足12z z ==122z z =，则12z z +的最大值是（ ） A ．2 B．C ．4D．【答案】B 【分析】设1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d 都是实数，由复数的运算建立方程组，求解得||a ≤. 【详解】解：设1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d 都是实数， 所以222a b +=①，222c d +=①.又122z z =，所以(i)(i)()i 2a b c d ac bd ad bc ++=-++=， 所以2ac bd -=①，0ad bc +=①.由①+①-①×2，得22()()0a c b d -++=，所以a c =，0b d +=. 所以2i z a b =-，由①知||a ≤122||z z a +=≤ 故选：B.16．在复平面内，若复数z 对应的点为（1，1），则i 1z=-（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．2D【答案】B 【分析】首先由坐标确定复数z ，并化简i 1z-，最后求出模长 【详解】由已知复数z 对应的点为（1，1），则1i z =+, 因此1i (1i)(i+1)2i i i 1i 1(i 1)(i+1)2z ++====-----,所以1i 1z=-17．若复数()22i 22a aa +-+∈R 为纯虚数，则3i a -=（ ） AB ．13C ．10D【答案】A 【分析】因为复数为纯虚数故得到2a =-，再由复数模长公式计算得到结果. 【详解】复数()22i 22a aa +-+∈R 为纯虚数，故需要2022202a a a +⎧=⎪⎪⇒=-⎨-+⎪≠⎪⎩3i |32i |a -=+==故选：A18．在复平面内，若复数1i a --对应的点的坐标为()1,2-，则实数=a （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【答案】D 【分析】根据复数和坐标系中的点的对应关系得到结果即可. 【详解】复数1i a --对应的点的坐标为()1,a -- 由题干得到22a a -=⇒=- 故选：D.19．若()()234i 4i a a b a b --=-+-(),a b ∈R ，则实数a b +的值为（ ）A ．8B ．8-C ．0D ．8或0【答案】D 【分析】根据复数相等的定义求解． 【详解】()()234i 4i =()i a a b a b a b --=-+--，又,a b ∈R ，所以2300a a b a b ⎧--=⎨-=⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩或44a b =⎧⎨=⎩，试卷第7页，共39页所以0a b +=或8． 故选：D ．20．若()22i a +-（a R ∈）为实数，()1b -（b R ∈）是纯虚数，则复数i a b +为（ ） A ．2i - B ．12i - C ．2i + D ．12i +【答案】C 【分析】根据复数的分类求出实数,a b 后可得结论． 【详解】由题意20a -=，2a =，10b -=，1b =， 所以i=2+i a b +． 故选：C ．21．设集合{}A =虚数，{}B =纯虚数，{}C =复数，则A ，B ，C 间的关系为（ ） A ．ABCB ．BAC C ．BCA D ．ACB【答案】B 【分析】根据复数的定义、复数的分类判断． 【详解】根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数． 因此只有B 正确． 故选：B ．22．若复数12z i =-（i 是虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-2C ．iD ．2i -【答案】B 【分析】结合复数概念直接判断即可. 【详解】12z i =-的虚部是2-.故选：B23．已知复数z满足i z =，且z 的共轭复数为z ，则z =（ ）A B ．2 C ．4 D ．3【答案】B 【分析】根据共轭复数的概念可求出z ，从而根据复数模的公式可求出答案. 【详解】因为i z =，所以i z =，所以2z ．故选：B .24．若复数()()12i z m m m R =+-∈为纯虚数，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i - B ．i -C ．iD ．2i【答案】A 【分析】由复数的类型有10m +=且20m ≠，求参数m ，进而写出z 的共轭复数. 【详解】由题意知：10m +=且20m ≠，∴1m =-，即2i z =，故z 的共轭复数是2i -. 故选：A.25．以下命题中，正确的是（ ）A ．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数B ．如果a +b i=c +d i ，那么a =c ，b =dC ．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应D ．复平面上，实轴上的点与实数一一对应 【答案】D 【分析】根据复数的定义和几何意义即可解答. 【详解】A ：()()i i 2i a b a b b +--=，当0b =时,2i b 不是纯虚数，故A 错误；B ：如果a ＋b i ＝c ＋d i ，当且仅当a 、b 、c 、d ∈R 时，a ＝c ，b ＝d ，故B 错误；C ：复平面上，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C 错误；D ：复平面上，实轴上的点与实数一一对应，故D 正确. 故选：D.试卷第9页，共39页26．复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10 C ．11 D ．无数【答案】C 【分析】先根据复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1及复数模的运算公式，求得22cos 2sin 31θθ+=即22cos 2cos 3θθ=，接下来分cos2cos3θθ=与cos2cos3θθ=-两种情况进行求解，结合[]0,2πθ∈，求出θ的个数. 【详解】()()cos2isin3cos isin =cos2isin3cos isin 1θθθθθθθθ+⋅++⋅+=，其中cos isin 1θθ+=，所以cos2isin31θθ+=，即22cos 2sin 31θθ+=，222cos 21sin 3cos 3θθθ=-=，当cos2cos3θθ=时，①1232πk θθ=+，1k Z ∈，所以12πk θ=-，1k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=或2π；②2232πk θθ=-+，2k Z ∈，所以22π5k θ=，2k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos2cos3θθ=-时，①()32321πk θθ=++，3k Z ∈，即()321πk θ=-+，3k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以πθ=，②()42321πk θθ=-++，4k Z ∈，即()421π5k θ+=，4k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以π5θ=，3π5，π，7π5，9π5，综上：π5mθ=，0,1,10m =，一共有11个. 故选：C27．已知复数2i z =-，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【分析】由复数z 求出在复平面内，复数z 对应的点的坐标得答案． 【详解】解：复数2i z =-在复平面对应的点的坐标为：(2,1)-，位于第四象限． 故选：D ． 28．复数i2i+在复平面内对应点的坐标为（ ）A ．12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】结合复数除法运算化简，由复数与复平面的对应关系即可求解. 【详解】()()()i 2i i 12i 22i 2i 5i -+==++-，故复数i 2i +在复平面内对应点的坐标为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A29．已知i 为虚数单位，则复数1i z =-的虚部是（ ） A ．1- B ．1C ．iD ．i -【答案】A 【分析】根据复数的虚部的定义确定复数1i z =-的虚部. 【详解】1i -的虚部是1-． 故选：A ．30．已知i 是虚数单位，若i 1iaz +=+为纯虚数，则实数=a （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【答案】B 【分析】由复数除法法则化简复数为代数形式，然后由复数的定义求解． 【详解】因为2i (i)(1i)i i i 11i 1i (1i)(1i)222a a a a a az ++--+-+-====+++-为纯虚数， 所以102102a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，1a =-．故选：B ． 31．已知复数121iz =+与2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，则12z z =（ ） A ．4i - B ．2i - C ．2i D ．4i【答案】C 【分析】试卷第11页，共39页利用复数的除法运算法则化简复数1z ，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线y x =对称的点，得到复数2z ，最后利用复数的乘法运算法则即可求得12z z ． 【详解】 因为()()()121i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，所以复数1z 在复平面内对应的点为()1,1-， 其关于直线y x =对称的点为()1,1-，所以21i z =-+， 所以()()211i 1i 2i z z =--+=， 故选：C ．32．若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是11x =和21x =，则这个一元二次方程可以是（ ）. A ．2220x x +=- B ．2240x x -+= C ．2321x x -+ D ．2240x x ++=【答案】B 【分析】设方程为()200++=≠ax bx c a ，根据韦达定理分别将,b c 用a 表示，即可得出答案.【详解】解：设方程为()200++=≠ax bx c a ，则122bx x a+=-=，所以2b a =-， 124cx x a==，所以4c a =， 则方程为()()22400a x x a -+=≠，故只有B 选项符合题意. 故选：B.33．方程2430z z -+=在复数集内解的个数为（ ）.A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】C 【分析】令i z a b =+，再根据复数的运算及复数的模，解方程. 【详解】令()i ,z a b a b =+∈R，则222i 30a b ab -+-=，得2220,30.ab a b =⎧⎪⎨--=⎪⎩当0b =时，2430a a -+=，1a =±或3a =±；当0a =时，2430b b +-=，2b =-2b =-.综上共有6个解：1z =±，3z =±，)2i z =±，故选；C.34．已知()i ,a b a b +∈R 的三角形式为()cos isin r θθ+，则i a b -+的三角形式是（ ）. A ．()cos isin r θθ+B ．()()()cos isin r πθπθ-+-C ．()()()cos isin r πθπθ+++D ．()()()cos 2isin 2r ππθ-∞+-【答案】B 【分析】根据三角形式的表达式知，i a b -+的三角形式是()cos isin r θθ-+，根据诱导公式判断选项符合的即可. 【详解】由题知，i a b -+的三角形式是()cos isin r θθ-+， 结合诱导公式知，()()cos cos ,sin sin πθθπθθ-=--=， 故选：B35．下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）.A cos isi 66πn π⎫-⎪⎭B cos isi 66πn π⎫+⎪⎭C sin i co 66πs π⎫+⎪⎭D ．cos isin 66ππ⎫+⎪⎭【答案】B 【分析】复数的三角表示为()cos isin z r αα=+，对比选项得到答案. 【详解】复数的三角表示为：()cos isin z r αα=+，其中0r ≥，B 选项满足. 故选：B.36．复数()i ,a b a b +∈R 的平方是一个实数的充要条件是（ ）.试卷第13页，共39页A ．0a =且0b ≠B ．0a ≠且0b =C ．0a bD ．0ab =【答案】D 【分析】利用充要条件的定义和复数的运算判断即可 【详解】因为22222(i)2i (i)2i a b a ab b a b ab +=++=-+为实数， 所以0ab =，反之，当0ab =时，复数()i ,a b a b +∈R 的平方是一个实数， 所以复数()i ,a b a b +∈R 的平方是一个实数的充要条件是0ab =， 故选：D37．在复数集中，一个数的平方恰好是这个数的共轭复数，具有这种特性的数共有（ ）个. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】利用复数相等的条件求解即可 【详解】设复数i(,)z a b a b R =+∈，则由题意可得()2i i(,)a b a b a b R +=-∈，所以222i i(,)a b ab a b a b R -+=-∈，所以222a b a ab b ⎧-=⎨=-⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩，或10a b =⎧⎨=⎩，或12a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或12a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以具有这种特性的数共有4个， 故选：D38i 在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转120，所得点对应的复数是（ ） A．i B．1 C．i D．1-【答案】Ci 在复平面对应的点A ，写出点A 的坐标，求出旋转后复数对应的点的坐标，利用复数的几何意义即可得解. 【详解】i 在复平面内对应的点为)A，因为tan6π==，则6xOA π∠=，将点A 绕着原点逆时针旋转120，得到的点B 与点A 关于y 轴对称，即点()B ，因此，所求复数为i . 故选：C.39．当01m <<时，复数()()21i z m m m =-+-在复平面上对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】利用m 的范围求出1m -、2m m -的范围即可确定答案. 【详解】 ∵01m <<，∴10m ->，()210m m m m -=-<，∴复数()()21i z m m m =-+-在复平面上对应的点位于第四象限．故选：D.40．在复平面内，向量OP 对应的复数的共轭复数是i ，则向量OP 对应的复数是（ ）A ．iB ．iC ．-D ．i【答案】B 【分析】由已知OP 对应的共轭复数，直接写出OP 对应的复数即可.试卷第15页，共39页由共轭复数的概念知：OP对应的复数为i . 故选：B41．下列命题中，正确的是（ ）. A ．互为共轭的两个复数之差必是纯虚数 B ．互为共轭的两个复数之和必是纯虚数 C ．任何复数的平方都是非负实数 D ．互为共轭的两个复数的平方仍是共轭复数 【答案】D 【分析】根据共轭复数的性质、复数的加减、乘方运算，并结合特殊值法判断各选项的正误. 【详解】A ：如复数为实数，共轭复数为自身，它们的差为0，故错误；B ：i a b +与i a b -且,a b ∈R 互为共轭复数，它们的和为2a ，不是纯虚数，故错误；C ：显然2i 1=-，不是非负实数，故错误；D ：如B 中复数：()222i 2i a b a b ab +=-+，()222i 2i a b a b ab -=--，它们为共轭复数，故正确. 故选：D42．如果复数()()11i 0a a ++-≠，那么实数a 的值是（ ）. A ．不等于1的实数 B ．不等于—1的实数 C ．不等于±1的实数 D ．任意实数【答案】D 【分析】根据()()11i 0a a ++-≠，利用复数相等求解. 【详解】因为复数()()11i 0a a ++-≠， 所以10a +≠或10a -≠，解得a R ∈， 所以实数a 的值是任意实数， 故选：D43．下列命题中，真命题是（ ）． A ．虚数所对应的点在虚轴上B ．“0a =”是“复数()i ,z a b a b =+∈R 是纯虚数”的充分非必要条件C ．若()0z a a =>，则z a =±D ．“12=z z ”是“12z z =”的必要非充分条件 【答案】D 【分析】根据复数的定义，复数的几何意义，复数相等的定义，充分必要条件的定义判断． 【详解】复平面上，除实轴上的点表示实数外，其他的点都表示虚数，A 错； i(,R)z a b a b =+∈表示纯虚数的条件是0a =且0b ≠，因此B 错；i z a =时，也有z a =，C 错；12z z =时有12=z z ，但12z z =-时也有12=z z ，D 正确．故选：D ． 44．已知复数11i=+，则z 的虚部为（ ） A ．1i 2B ．1i 2-C ．12D ．12-【答案】D 【分析】根据复数的除法运算求出z ,即可得到其虚部. 【详解】 11i 11i 1i (1i)(1i)22z -===-++-, 故虚部为12-，故选：D45．（多选）下列关于复数i x +的说法一定正确的是（ ） A ．是虚数 B ．存在x 使得i x +是纯虚数 C ．不是实数 D ．实部和虚部均为1【答案】B 【详解】 由复数i x +，当i x =-时，i=0x +为实数，故A 、C 不正确； 当0x =时，i=i x +，故B 正确；试卷第17页，共39页由于x 的取值未知，故D 错误； 故选：B46．设(1i)1i x y +=+，其中i 为虚数单位，,x y 是实数，则x yi +=（ ） A ．1 BCD ．2【答案】B 【分析】先利用复数相等求得x ，y ，再利用复数的模公式求解. 【详解】因为(1i)1i x y +=+，所以1x y x =⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以i x y +==故选：B.47．设复数z 在复平面内对应的点为(1,3)-，则1iz+( ) A ．2i + B ．2i - C ．12i -+ D ．12i --【答案】D 【分析】先求出复数z ，然后化简1iz+即可 【详解】由题意可得13i z =-，所以213i (13i)(1i)1i 3i 3i 12i 1i 1i (1i)(1i)2z -----+====--+++-， 故选：D48．已知复数20172i 1iz -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】根据复数的运算，求得复数z ，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案① 【详解】复数()()()()20172i 1i 2i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 1i 222z -----=====-++-+， 则13i 22z =+ 所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为13(,)22，位于复平面内的第一象限.故选：A 49．设复数3i1iz +=+，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．()2,1- B ．()2,2- C ．()2,1 D ．()2,2【答案】A 【分析】先根据复数的除法运算求出结果，进而得出复数在复平面内对应的点的坐标. 【详解】 ()()3i 1i 3i 42i2i 1i 22z +-+-====-+,则复数在复平面对应点的坐标为()2,1-. 故选：A.50．设m R ∈，则“2m =”是“复数()()2i 1i z m =++为纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】求出()()2i 1i z m =++为纯虚数时m 的值，与2m =比较，判断出结果 【详解】()()()2i 1i =22i z m m m =++-++，复数()()2i 1i z m =++为纯虚数，则20m -=，解得：2m =，所以则“2m =”是“复数()()2i 1i z m =++为纯虚数”的充要条件故选：C51．已知复数z 满足11z z+=，则||z =（ ）A ．12 B ．1C ．2D 【答案】B 【分析】设()i,,z a b a b R =+∈，根据11z z+=，求得参数，即可得出答案.试卷第19页，共39页【详解】解：设()i,,z a b a b R =+∈， 则11z z+=，即21z z +=，即222i 1i a b ab a b -++=+， 所以2212a b a ab b ⎧-+=⎨=⎩，解得21234a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以||1z . 故选：B. 52．已知复数53i1iz +=-，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4i B ．z 的共轭复数为1﹣4iC ．|z |＝5D ．z 在复平面内对应的点在第二象限【答案】B 【分析】根据复数的乘法除法运算化简，再由共轭复数的概念求解. 【详解】 ∵()()()()53i 1i 53i 28i14i 1i 1i 1i 2z ++++====+--+， ∴ z 的虚部为4, z 的共轭复数为1﹣4i ，|z|z 在复平面内对应的点在第一象限. 故选：B53．对于复数()i ,z a b a b =+∈R ，下列结论中正确的是（ ） A ．若0a =，则i a b +为纯虚数 B ．若i 32i a b -=+，则3a =，2b = C ．若0b =，则i a b +为实数 D ．若0a b ，则z 不是复数 【答案】C 【分析】结合复数概念逐一判断即可. 【详解】对A ，当0b =时，i a b +为实数，故A 错；对B ，根据对应关系，3a =，2b =-，故B 错；对C ，若0b =，则i a b +为实数，C 正确；对D ，若0a b ，0z =，也是复数，故D 错. 故选：C54．下列结论中，正确的是（ ） A ．Z N Q R C ⊆⊆⊆⊆ B ．N Z Q C R ⊆⊆⊆⊆ C ．N Z Q R C ⊆⊆⊆⊆ D ．R N Z Q C ⊆⊆⊆⊆【答案】C 【分析】直接根据范围的大小关系得到答案. 【详解】根据范围的大小关系得到：N Z Q R C ⊆⊆⊆⊆. 故选：C.55．在复平面内，复数12i z =-+对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【分析】由复数的几何意义求解即可 【详解】 因为12i z =-+，所以复数12i z =-+对应的点为()1,2-，且在第二象限， 故选：B56．如果()23i 1i z --=-+，那么复数z 为（ ） A ．12i - B ．14i +C ．12i --D ．14i -+【答案】A 【分析】直接计算得到答案. 【详解】()23i 1i z --=-+，故1i 23i 12i z =-++-=-.故选：A. 57．若1i()1ia R z a -∈+=是纯虚数，2z 满足21(1)5z a z +-=，则复数2z 在复平面内对应的点位于（ ）试卷第21页，共39页A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】化简1,z 求出a 再求解2z 即可 【详解】()()()()()1i 1-i 11ii ==1i 1i 1-i 2a a a z a ---+-+=+是纯虚数，故10110a a a -=⎧∴=⎨+≠⎩此时1i z =- ()21+15z a z -=，所以()22i 5z +=，即()()()252i 52i 2+i 2+i 2i z -===--，所以复数2z 在复平面内对应的点为()2,1-位于第四象限. 故选：D 58．复数43i2iz -=+（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A 【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数z ，然后由虚部的定义即可求解. 【详解】 解：因为复数()()()()2243i 2i 43i 510i12i 2i 2i 2i 21z ----====-++-+， 所以复数z 的虚部为2-， 故选：A .59．已知复数z 满足()12i 34i z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2- B ．-2i C ．1 D ．i【答案】A 【分析】根据复数模的计算公式及复数代数形式的除法运算法则化简复数z ，即可判断其虚部； 【详解】解：因为()12i 34i z +=-，34i 5-=，所以()12i 5z +=，所以()()()()()22512i 512i 512i 12i 12i 12i 12i z --====-++--所以复数z 的虚部为2-； 故选：A60．若(3i)12i z ⋅-=-，则||z =（ ）A B C ．1D 【答案】D 【分析】根据复数的乘除法运算求出复数z ，从而可求的答案. 【详解】解：因为(3i)12i z ⋅-=-， 所以()()()()12i 3i 12i 55i 11i 3i 3i 3i 1022z -+--====---+，所以||z = 故选：D.61．若复数i1iz =-（i 为虚数单位），则||z =（ ）A B ．12C ．1D ．2【答案】A 【分析】利用复数除法运算求出复数z 即可求出||z . 【详解】 依题意，i (1i)1i 11i (1i)(1i)222z ⋅+-+===-+-+，所以||z = 故选：A62．设()125i z -=（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的乘除法运算求出z ，即可得出复平面内对应的点所在象限. 【详解】解：由()125i z -=试卷第23页，共39页所以()()()251255105101212121i i 2145i i i i i i z ⨯+++=====+--+- 所以复数z 在复平面内对应的点位于第一象限 故选：A .63．已知为i 虚数单位，复数1i12iz +=+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法运算化简z ，求出z 即可得在复平面内对应的点的坐标以及所在的象限. 【详解】()()()()221i 12i 1i12i i 3i 31i 12i 12i 12i 14i 555z +-+---=====-++--， 31i 55z =+，所以z 在复平面内对应的点坐标为31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以z 在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A.64．已知i 是虚数单位，复数51i +的虚部为（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．i【答案】C 【分析】根据复数的运算法则直接计算得到答案. 【详解】由54111i 1i 1i 1i ++=+=+=+，虚部为1，故选项C 正确. 故选：C.65．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab=0”是“复数a -b i 为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】将0ab =和复数i a b -为纯虚数进行化简，再根据必要不充分条件的定义，即可得到答案； 【详解】“0ab =，则0a =或0b =”， “复数i a b -为纯虚数”则0a =且0b ≠,∴"0ab ="是“复数i a b -为纯虚数”的必要不充分条件.故选：B66．已知i 为虚数单位，若复数1i z =+，z 为z 的共轭复数，则(1)z z +⋅=（ ） A ．3i + B ．3i - C ．13i + D ．13i -【答案】A 【分析】由共轭复数定义求z ，再根据复数的运算律计算(1)z z +⋅. 【详解】1i z =+，1i z =-，则(1)(2i)(1i)3i z z +⋅=-+=+，故选：A.67．设复数z 满足i 2z z -=-，则z 的虚部为( ) A ．34-B ．34-C ．iD ．1【答案】D 【分析】设复数i z x y =+，结合已知条件，利用复数相等求出y 即可． 【详解】设复数i z x y =+，x ∈R ，y R ∈，由i 2z z -=-，得(i)i 2x y +=-，即(i 2i x y +=-+， 解得，1y =，故z 的虚部为1. 故选：D ．68．已知复数z 满足()()i 2i 62i z -+=-，则z =（ ）A B ．2C D【答案】C 【分析】试卷第25页，共39页利用复数的运算先求z ，再利用复数的模长公式求解. 【详解】因为()()i 2i 62i z -+=-，所以()()()()62i 2i 62i i=i 2i 2i 2i z ---=++++-， =22i+i=2i --，所以|z故选：C.69．设z ∈C ，且|z |＝1，当|（z ﹣1）（z ﹣i ）|最大时，z ＝（ ） A ．﹣1 B ．﹣i CD【答案】C 【分析】可设出复数的三角函数形式，再结合的三角函数知识进行求解．特别注意：令sin θ+cos θ＝t ，则sin θcos θ＝()2112t - 【详解】解：|z |＝1，设z ＝cos θ+isin θ，则|（z ﹣1）（z ﹣i ）|＝令sin θ+cos θ＝t ，则sin θcos θ﹣sin θ﹣cos θ+1＝()211124t -+ ∴当t＝θ＝54π 时，|（z ﹣1）（z ﹣i ）|取最大值，此时，z． 故选：C70．复数z ＝3+4i 对应的点Z 关于原点的对称点为Z 1，则对应的向量1OZ 为（ ） A ．﹣3﹣4i B ．4+3i C ．﹣4﹣3i D ．﹣3+4i【答案】A 【分析】根据复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标，写出这个点关于原点对应的点的坐标，把点的坐标形式写成复数的代数形式，得到结果． 【详解】解：∵复数z ＝3+4i 对应的点Z （3，4） ∴Z 关于原点的对称点为Z 1（﹣3，﹣4） 对应的向量1OZ ＝﹣3﹣4i 故选：A ．71．若z 是复数，|z +2-2i|＝2，则|z +1-i|+|z |的最大值是（ ）AB ．C ．2D ．4【答案】D 【分析】设z ＝x +y i （x ，y ∈R ），由题意可知动点(),P x y 的轨迹可看作以()2,2C -为圆心，2为半径的圆，|z +1-i|+|z |可看作点P 到()1,1A -和()0,0O 的距离之和，然后即可得到P ，A ，O 三点共线时|z +1-i|+|z |取得最大值时,从而可求出答案. 【详解】设z ＝x +y i (x ，y ∈R )，由|z +2-2i|＝2知，动点(),P x y 的轨迹可看作以()2,2C -为圆心，2为半径的圆， |z +1-i|+|z |可看作点P 到()1,1A -和()0,0O 的距离之和，而|CO |＝|CA |，易知当P ，A ，O 三点共线时，|z +1-i|+|z |取得最大值时，且最大值为|P A |+|PO |＝(|CA |+2)+(|CO |+2)＝4， 故选：D ． 72．设复数z 满足1-1z z+=i 2 017,则|1+z|=（ ）A ．0B ．1C D ．2【答案】C 【分析】根据复数的乘方及复数的除法求得复数z ，即可得z+1，从而可得答案. 【详解】 解：因为1-1z z+=i 2 017=i ， 所以z=()()()()1-i 1-i 1-i i 1i 1i 1-i ==-++， 所以z+1=1i -，故|z+1 故选：C .73．已知复数z 满足1-i-2z =1+i,则在复平面内,复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限试卷第27页，共39页【答案】D 【分析】利用复数的除法运算，可得z=2-i①① z 的对应点为(2,-1)①即得解 【详解】 ∵1-i-2z =1+i, ∴z -2=21-i (1-i)1i (1i)(1-i)=++=-i, ∴z=2-i,∴z 的对应点为(2,-1) 故选：D .74．若复数z ＝i ⋅（a +i ）（a ∈R ，i 为虚数单位）的虚部为2，则a ＝（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣1 D ．1【答案】B 【分析】由题意可得z ＝﹣1+a i ，根据复数实部和虚部的概念即可得出结果. 【详解】z ＝i ⋅（a +i ）＝﹣1+a i ，由于复数z ＝i ⋅（a +i ）（a ①R ，i 为虚数单位）的虚部为2， ①a ＝2， 故选：B.75．设11z =-，22112z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2arg z =（ ）A ．56πB ．43πC ．116π D ．53π【答案】B 【分析】首先求2z ，再求tan θ，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值. 【详解】()22211111442z z ==-=-，复数对应的点是1,2⎛- ⎝⎭，位于第三象限，且tan b a θ==24arg 3z π=. 故选：B76．复数[)()1cos isin 0,2πθθθ--∈的三角形式是（ ）A ．ππ2sin cos isin 222θθθ++⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．ππ2sin cos isin 222θθθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．ππ2sin cos isin 222θθθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．ππ2cos cos isin 222θθθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解. 【详解】21cos isin 2sin 2isin cos 222θθθθθ--=-2sin sin i cos 222θθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ2sin cosisin 222θθθ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ2sincos isin 222θθθ⎡--⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ2sincos isin 222θθθ--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故选：C.77．若1z ，2z 为复数，则“12z z +是实数”是“1z ，2z 互为共轭复数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】设12i i z a b z c d =+=+，,由12z z +是实数和1z ，2z 互为共轭复数得到a b c d ,,,的限制条件，再结合充分条件、必要条件的定义，即可判断 【详解】由题意，不妨设12i i z a b z c d =+=+，若12z z +是实数，则12i i ()()i z z a b c d a c b d R +=+++=+++∈故0b d +=，即=-b d ，由于,a c 不一定相等，故1z ，2z 不一定互为共轭复数，故充分性不成立；若1z ，2z 互为共轭复数，则2i z a b =-，故122z z a R +=∈，故必要性成立.试卷第29页，共39页因此“12z z +是实数”是“1z ，2z 互为共轭复数”的必要不充分条件. 故选：B78．已知()()()31i z m m m R =++-∈在复平面内对应的点在第四象限，则复数z 的模的取值范围是（ ） A．)4⎡⎣ B ．[]2,4C．()4D ．()2,4【答案】A 【分析】根据()()()31i z m m m R =++-∈在复平面内对应的点在第四象限，求出m 的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：因为()()()31i z m m m R =++-∈在复平面内对应的点在第四象限，所以3010m m +>⎧⎨-<⎩，解得31m -<<，z ==因为31m -<<，所以()[)210,2m +∈，则())2218m ⎡++∈⎣，所以复数z 的模的取值范围是)4⎡⎣. 故选：A.79．复数z=(a 2-2a )+(a 2-a -2)i 的共轭复数z 对应的点在虚轴上，则实数a 的值为（ ） A ．a=0或a=2 B ．a=0 C ．a ≠1，且a ≠2 D ．a ≠1或a ≠2【答案】A 【分析】由题意可知实部为零，解方程即可 【详解】∵复数z =(a 2-2a )+(a 2-a -2)i 对应的点在虚轴上，∴a 2-2a=0，∴a=0或a=2 故选：A.80．复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（ ） A ．OA =(1，2) B ．OB =(-3，0) C ．203OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D ．OD =(-1，-2)【答案】C 【分析】结合纯虚数概念判断即可 【详解】向量203OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，对应的复数为23i ，是纯虚数.故选：C81．关于复数z 的方程|z|+2z=13+6i 的解是（） A ．3+4i B ．4+3i C ．403+3i D ．3+403i 【答案】B 【分析】22i 136i x y +=+，再利用复数相等可得21326x y ==⎪⎩，解方程组，即可得到答案； 【详解】设i(,R)z x y x y =+∈,22i 136i x y +=+,于是21326x y ==⎪⎩，解得4,3x y =⎧⎨=⎩或4033x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 因为1320x -≥,故132x ≤,所以403x =不符合要求,故43i.z =+ 故选：B82．已知z 是复数，且p :z=12i ；q :z+1z ∈R .则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义，先判断p 能不能推q ，再判断q 能不能推p ，即可得到答案；试卷第31页，共39页【详解】显然,当~12z =时,1111221R 221z z +=++=+=∈, 但当z +1R z ∈时,若令i(,R)z a b a b =+∈, 则22221i i i a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 所以有0b =或221a b +=,不一定有12z =+， 故p 是q 的充分不必要条件, 故选：A.83．若复数z 的共轭复数是z ，且z+z =6，z ·z =10，则z=（ ） A ．1±3i B ．3±i C ．3+i D ．3-i【答案】B 【分析】由共轭复数的概念与复数的四则运算求解即可 【详解】设z=a+b i(a ，b ∈R )，则z =a -b i ， 因为z+z =6，z ·z =10，所以222610a a b =⎧⎨+=⎩，， 解得31a b =⎧⎨=±⎩，，即z=3±i .故选：B84．若|z|+z=3+i ，则z=（ ） A ．1－43i B ．1+43iC ．43+i D ．－43+i 【答案】C 【分析】设复数z=x+y i(x ，y ∈R)i =3+i ，从而求出答案. 【详解】设复数z=x+y i(x ，y ∈R)，i =3+i ，因此31x y ==⎪⎩，，解得431x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，故z=43+i . 故选：C.85．设z 1=2+b i ，z 2=a+i ，当z 1+z 2=0时，复数a+b i 为（ ） A ．1+i B ．2+i C ．3 D ．2i --【答案】D 【分析】由已知可得(2+a )+(b+1)i =0，即可求,a b ，写出复数a ＋b i 即可. 【详解】因为z 1+z 2=(2+b i )+(a+i )=(2+a )+(b+1)i =0，所以2010a b +=⎧⎨+=⎩，，于是21a b =-⎧⎨=-⎩，，故i 2i a b +=--. 故选：D.86．已知集合M={1，2，(m 2-3m -1)+(m 2-5m -6)i}，N={-1，3}，且M ∩N={3}，则实数m 的值为（ ） A ．4 B ．-1 C ．-1或4 D ．-1或6【答案】B 【分析】根据已知得3M ∈，从而有()223156i 3m m m m --+--=，再利用复数相等可得方程组，即可得到答案； 【详解】 由于{3}MN =,故3M ∈,必有()223156i 3m m m m --+--=,所以22313,560,m m m m ⎧--=⎨--=⎩即41,6?1,?m m =-⎧⎨=-⎩或或得1m =-. 故选：B试卷第33页，共39页87．若复数2-b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为（ ） A ．2 B ．23 C ．-23D ．-2【答案】A 【分析】根据复数概念可得2()b =--，即可得到答案； 【详解】复数2i b -的实部为2，虚部为b -,由题意知2()b =--,所以2b =. 故选：A88．设全集U C =，实数集为R ，纯虚数集为M ，那么（ ） A ．M R U ⋃= B ．U U M R ⋃=C ．{}0M R ⋂=D ．U R M R ⋂=【答案】D 【分析】根据实数和复数的概念，结合补集的运算，得到{}{|,,,0}0U M z z a bi a b R a ==+∈≠⋃，再利用交集的概念，即可求解. 【详解】由题意，全集U C =，实数集为R ，纯虚数集为M ，可得{}{|,,,0}0U M z z a bi a b R a ==+∈≠⋃，所以U R M R ⋂=. 故选：D. 89．复数2i12i+-的共轭复数是（ ） A ．3i 5-B ．35iC ．i -D ．i【答案】C 【分析】利用复数的乘除运算求出2ii 12i+=-，结合共轭复数的概念求出它的共轭复数即可. 【详解】 由题意知， 令2i (2i)(1+2i)i 12i (12i)(1+2i)z ++===--， 所以复数的共轭复数为i z =-， 故选：C90．若(12i)2i z -=+，则复数z =（ ）A ．-1B ．i -C ．1D ．i【答案】B 【分析】由复数的除法运算和共轭复数的概念，即可求出结果. 【详解】由(12i)2i z -=+，得2i (2i)(12i)22i 4ii 12i (12i)(12i)5z +++-++====--+，则i z =-. 故选：B.91．复数()21i 1i-=+（ ）A ．1i -B ．1i --C ．1i +D ．1i -+【答案】B 【分析】根据复数的乘法、除法运算法则，化简计算，即可得答案. 【详解】复数()221i 12i i 2i(1i)22i1i 1i 1i (1i)(1i)2--+----====--+++-. 故选：B92．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列说法正确的是（ ） A ．如果12z z +∈R ，则1z ，2z 互为共轭复数B ．如果复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=C ．如果2z z =，则1z =D ．1212z z z z = 【答案】D 【分析】对于A ，举反例11i z =+，22i z =-可判断；对于B ，设111i z a b =-，222i z a b =+代入验证可判断；对于C ，举反例0z =可判断；对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，代入可验证. 【详解】对于A ，设11i z =+，22i z =-，123z z +=∈R ，但1z ，2z 不互为共轭复数，故A 错误；试卷第35页，共39页对于B ，设111i z a b =-（1a ，1b ∈R ），222i z a b =+（2a ，2b ∈R ）．由1212z z z z +=-，得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-， 则12120a a b b +=，而()()()()()12112212121221121221i i i 2i z z a b a b a a bb a b a b a a a b a b ⋅=++=-++=++不一定等于0，故B 错误；对于C ，当0z =时，有2z z =，故C 错误； 对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，则1212z z z z ===，D 正确 故选：D93．下列命题正确的是（ ）A ．复数1i +是关于x 的方程220x mx -+=的一个根，则实数1m =B ．设复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，若12=z z ，则1OZ 与2OZ 重合C ．若11z z -=+，则复数z 对应的点Z 在复平面的虚轴上(包括原点)D ．已知复数12i -+，1i -，32i -在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC xOA yOB =+（i 是虚数单位，O 为复平面坐标原点，x ，y R ∈），则1x y +=【答案】C 【分析】结合一元二次方程的复数根、复数模、复数对应点、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A ：复数1i +是关于x 的方程220x mx -+=的一个根，所以：()()21i 1i 20m +-++=，()2i i 222i 0,20,2m m m m m m --+=-+-=-==，故A 错误；对于B ：设复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，若12=z z ， 即这两个向量的模长相等，但是1OZ 与2OZ 不一定重合，故B 错误； 对于C ：若11z z -=+，设()i ,z x yx y R =+∈理得：0x =，故i z y =，故C 正确；对于D ：已知复数12i -+，1i -，32i -在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC xOA yOB =+，所以()()()3,21,21,1x y -=-+-，()()()()3,2,2,,2x x y y y x x y -=-+-=--，322y x x y -=⎧⎨-=-⎩， 解得：1x =，4y =，故5x y +=，故D 错误． 故选：C ．94．1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程()1040x x -=的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为555和5．若()55z =，则复数z =（ ）A ．1B ．1CD 【答案】C 【分析】利用复数除法运算求得z . 【详解】由()55z =，得25z ==== 故选：C ．95．已知()12i 43i z +=+，则z ＝（ ） A ．2-i B ．2＋iC ．211i 55-+D ．211i 55--【答案】B 【分析】根据复数得乘除法运算及共轭复数得概念即可得出答案. 【详解】解：因为()12i 43i z +=+，所以()()()()43i 12i 43i 105i2i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-， 所以2i z =+. 故选：B.试卷第37页，共39页96．已知复数i(,R)z a b a b =+∈，有下列四个命题： 甲：||1z = 乙：z 的虚部为12丙：复数z 对应的点位于第二象限 丁：1z z +=，如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【分析】先等价转化各个命题，再逐一验证哪一个命题为假命题. 【详解】1z =等价于：221a b +=，i z a b =+的虚部为12等价于：12b =，复数z 对应的点位于第二象限等价于：00a b <⎧⎨>⎩，1z z +=等价于：12a =， 显然命题丙与丁矛盾， 两者一定有一个假命题； 若丙为假命题， 则12a b ==，但不符合221a b +=（舍）； 若丁为假命题，则由221012a b a b ⎧⎪+=⎪<⎨⎪⎪=⎩，得：a =；终上所述，丁为假命题. 故选：D.97．若方程20x x m ++=有两个虚根,αβ，且||3αβ-=，则实数m 的值为（ ） A ．52B ．52-C ．2D ．2-【答案】A 【分析】。

2022版人教A版高中数学必修第二册--本章复习提升易混易错练易错点1忽视复数相等的条件致错1.()已知(2+i)y=x+y i,x,y∈R,且y≠0,则|x+i|= ()yA.√2B.√3C.2D.√52.()已知i是虚数单位,m,n∈R,且m+i=1+n i,则m+ni= ()m-niA.iB.1C.-iD.-13.(2021山东临沂一中高二下月考,)已知x是实数,y是纯虚数,且满足(2x-1)+i=y-(3-y)i,求x与y的值.易错点2对复数的几何意义考虑不全面致错4.()在复平面内,已知复数z对应的向量为OZ⃗⃗⃗⃗⃗ (O为坐标原点),OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 与实轴正方向的夹角为120°,且复数z的模为2,则复数z为()A.1+√3iB.−1+√3iC.-1-√3iD.−1±√3i5.()已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则在复平面内,复数z对应的点的集合构成的图形是()A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆易错点3对复数范围内方程的问题考虑不全面致错6.()已知方程x2+kx-i=0有一个根是i,求另一个根及k的值.7.()关于x的方程x2+(2a-i)x-a i+1=0有实根,求实数a的值.8.()在复数范围内求方程x2-5|x|+6=0的解.易错点4混淆复数运算与实数运算致错9.()复数i2+i3+i41-i= ()A.-12−12i B.−12+12iC.12−12i D.12+12i10.()满足z+5z是实数,且z+3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在?若存在,求出虚数z;若不存在,请说明理由.思想方法练一、函数与方程思想在解决复数问题中的应用1.()已知复数z=cos θ+isin θ(0≤θ<2π),求θ为何值时,|z+1-i|取得最大值和最小值,并求出最大值和最小值.2.()关于复数z 的方程z 2-(a +i )z -(i+2)=0(a ∈R).(1)若此方程有实数解,求a 的值;(2)用反证法证明:对任意的实数a ,原方程不可能有纯虚根. 3.()已知关于x 的一元二次方程x 2+2kx -3k =0(k ∈R)的虚根为x 1,x 2.(1)求k 的取值范围,并用k 表示该方程的根; (2)若3|x 1|=2|x 2|+|3i1+i|,求k 的值.二、数形结合思想在解决复数问题中的应用 4.()在复平面内,复数z 1,z 2对应的向量分别是OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则复数z 1-z 2= ( )A.-1+2iB.-2-2iC.1+2iD.1-2i⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的5.()在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是()复数分别是3+i,-1+3i,则CDA.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i6.(2021上海闵行七宝中学高二上期末,)已知复数z1=2-2i,若|z|=1,z,z1在复平面⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值是.内对应的点分别为Z,Z1,则向量|ZZ1三、转化与化归思想在解决复数问题中的应用7.()已知复数z=1+(1-t)i,若复数z2在复平面内对应的点在第二象限,求实数t的取值范围.8.()设z是虚数,ω=z+1是实数,且-1<ω<2.z(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设μ=1-z,求证:μ是纯虚数;1+z(3)求ω-μ2的最小值.答案全解全析 易混易错练1.D 因为x ∈R,y ∈R 且y ≠0,(2+i )y =x +y i ,所以2y =x ,所以|xy +i|=|2+i|=√5,故选D.2.A 因为m +i=1+n i ,所以m =n =1, 则m+ni m -ni=1+i 1-i=(1+i )2(1-i )(1+i )=i .故选A.3.解析 根据已知条件可设y =b i (b ∈R,b ≠0),代入(2x -1)+i=y -(3-y )i ,整理得(2x -1)+i=-b +(b -3)i ,根据复数相等的充要条件,可得{2x -1=-b ,1=b -3,解得 {x =-32,b =4,所以x =-32,y =4i .易错警示复数相等的充要条件是复数向实数转化的桥梁,所以要注意得到的必须是两个实数等式组成的方程组.4.D 设复数z 在复平面内对应的点的坐标为Z (a ,b ). 根据题意可画出图形,如图所示,∵|z |=2,且OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正方向的夹角为120°,∴a =-1,b =±√3, 即点Z 的坐标为(-1,√3)或(-1,-√3).∴z =-1+√3i 或z =−1−√3i . 易错警示利用复数与向量的对应关系解题时,注意向量的位置、夹角等的思考与讨论. 5.A 由题意可知(|z |-3)(|z |+1)=0,即|z |=3或|z |=-1,∵|z |≥0,∴|z |=3,故复数z 对应的点的集合构成的图形是以原点为圆心,3为半径的圆.6.解析 将x =i 代入原方程得i 2+k i-i=0,由此可得k =1-i ,设x 0是方程的另一个根,则由根与系数的关系可得x 0i=-i ,从而得x 0=-1. 易错警示实系数一元二次方程中的虚根是成对出现的,但如果题设中没有直接交代一元二次方程的系数是实数,就不能得出上述结论.7.解析 设方程x 2+(2a -i )x -a i+1=0的实根为x 0,则有x 02+2ax 0+1-(a +x 0)i=0,由复数相等的充要条件可知{x 02+2ax 0+1=0,-(a +x 0)=0,解得a =±1. 8.解析 因为x ∈C, 所以设x =a +b i (a ,b ∈R),代入方程得(a +b i )2-5√a 2+b 2+6=0, 即a 2-b 2-5√a 2+b 2+6+2ab i=0,所以{a 2-b 2-5√a 2+b 2+6=0,2ab =0,解得{a =0,b =±1或{b =0,a =±2或{b =0,a =±3,所以原方程有6个解,分别为i ,-i ,2,-2,3,-3. 9.C 因为i 2=-1,i 3=-i ,i 4=1, 所以i 2+i 3+i 41-i=-i 1-i=-i (1+i )2=12−12i .10.解析 存在.理由如下:设虚数z =x +y i (x ,y ∈R,且y ≠0), 则z +3=x +3+y i ,z +5z =x +yi +5x+yi=x +5xx 2+y2+(y -5y x 2+y 2)i .由题意得{y -5yx 2+y2=0,x +3=-y ,y ≠0,∴{x 2+y 2=5,x +y =-3,解得{x =-1,y =-2或{x =-2,y =-1.∴存在虚数z =-1-2i 或z =-2-i 满足题意. 易错警示在复数的运算中,注意与实数运算的区别.如在进行除法运算时,注意在分母实数化过程中,(a +b i )(a -b i )=a 2+b 2(a ,b ∈R).思想方法练1.解析 |z +1-i|=|cos θ+1+i (sin θ-1)| =√(cosθ+1)2+(sinθ-1)2 =√2(cosθ-sinθ)+3 =√2√2cos (θ+π4)+3. 将模的最值问题转化为关于θ的三角函数的最值问题,根据三角函数的有关性质求解.因为0≤θ<2π,所以θ+π4∈[π4,9π4),所以当θ=7π4时,|z +1-i|取得最大值,最大值为√2+1, 当θ=3π4时,|z +1-i|取得最小值,最小值为√2-1. 2.解析 (1)设z =x 0∈R,代入方程得x 02-(a +i )x 0-(i+2)=0, 即(x 02-ax 0-2)+(-x 0-1)i=0, ∴{x 02-ax 0-2=0,-x 0-1=0,利用复数相等的充要条件,列方程组求解. 解得{x 0=-1,a =1,∴a =1.(2)证明:假设存在实数a ,使得原方程有纯虚根z =b i (b ∈R 且b ≠0), 则有(b i )2-(a +i )·b i-(i+2)=0, 即(-b 2+b -2)+(-ab -1)i=0,∴{-b 2+b -2=0,-ab -1=0⇒{b 2-b +2=0,①ab +1=0,②利用复数相等的充要条件,列方程组求解.∵方程①中Δ=-7<0,∴不存在实数b 使方程①成立, ∴方程组无实数解,∴假设不成立, ∴对任意的实数a ,原方程不可能有纯虚根.3.解析 (1)因为一元二次方程 x 2+2kx -3k =0有两个虚根, 所以Δ=4k 2+12k <0,解得-3<k <0. 由求根公式可得,该方程的两根为-2k±2√-k 2-3ki2=−k ±√-k 2-3k i .(2)因为x 1,x 2互为共轭复数,所以|x 1|=|x 2|, 因为3|x 1|=2|x 2|+|3i1+i |,所以|x 1|=|3i1+i|=3√22,所以k 2+(-k 2-3k )=92,解得k =-32.实系数一元二次方程的虚根是成对出现的,结合求根公式和题设中的等式,即可求解. 思想方法复数问题中的最值问题一般要用到函数思想,通常找到一个参数或变量,根据复数与实数之间的联系建立函数关系,利用函数的最值进行求解;复数问题中的求值问题,可以利用复数的有关性质,通过方程(组)或一元二次方程相关知识进行求解,这体现了方程思想.4.B 由题图,知z 1=-2-i ,z 2=i ,所以z 1-z 2=-2-2i ,故选B. 观察题图可知A (-2,-1),B (0,1),从而得出对应的复数z 1,z 2.5.D 如图,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ , 由图中平行四边形的性质,得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,再求解. ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为3+i ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-1+3i , ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为(3+i )-(-1+3i )=4-2i .6.答案 2√2+1解析 由于|z |=1,故复数z 所对应的点的集合是以原点为圆心,1为半径的圆,易知z 1所对应的点的坐标为Z 1(2,-2),则由图可知,|ZZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值可以看成点(2,-2)与点(0,0)之间的距离再加1,最大值为2√2+1.根据复数及模的几何意义,画出图形,观察图形得出最大距离即可.思想方法复数的几何意义、复数的模以及复数加、减法的几何意义都是数形结合思想的体现.比如在复平面内,|z|表示复数z对应的点与坐标原点间的距离,|z-(a+b i)|(a,b∈R)表示复数z对应的点与点(a,b)间的距离,从而可以利用数形结合思想,将抽象问题形象化,复杂问题简单化.7.解析z2=[1+(1-t)i]2=1-(1-t)2+2(1-t)i=(2t-t2)+(2-2t)i,所以复数z2在复平面内对应的点为(2t-t2,2-2t),由其在第二象限,得{2t-t 2<0,2-2t>0,解得t<0.故实数t的取值范围是(-∞,0).将复数z2在复平面内对应的点在第二象限转化为关于实数t的不等式组,进而求出t的取值范围.8.解析设z=a+b i(a,b∈R,且b≠0).(1)由题得ω=a+b i+1a+bi =(a+aa2+b2)+(b-ba2+b2)i.∵ω是实数,b≠0,∴b-ba2+b2=0,∴a2+b2=1,即|z|=1.∴ω=2a,又-1<ω<2,∴-12<a<1,∴z的实部的取值范围为(-12,1).设出复数z的代数形式,将复数问题实数化.(2)证明:μ=1-z1+z =1-a-bi1+a+bi=1-a2-b2-2bi(1+a)2+b2=-ba+1i.∵a∈(-12,1),b≠0,∴μ为纯虚数.(3)ω-μ2=2a+b2(a+1)2=2a+1-a2(a+1)2=2a−a-1a+1=2a−1+2a+1=2[(a+1)+1a+1]-3,∵a∈(-12,1),∴a+1>0,∴ω-μ2≥2×2√(a+1)·1a+1-3=4-3=1,当且仅当a+1=1a+1,即a=0(a=-2舍去)时,ω-μ2取得最小值,且最小值为1.思想方法寻求联系,实现转化,是转化与化归思想在复数中应用的关键,如把复数z设成z=a+b i(a,b∈R)或者z=r(cos θ+isin θ)(r,θ∈R)的形式,从而将问题转化成关于实数a,b或r,θ的问题,实现复数问题实数化;把复数利用点或者向量表示,从而将复数问题几何化等等.。

第七章 7.1 7.1.2A级——基础过关练1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C　【解析】z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限．2．已知0<a<2，复数z＝a－i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是( )A．(1，)　B．(1，)C．(1，3)　D．(1，5)【答案】B　【解析】|z|2＝a2＋1，∵0<a<2，0<a2<4⇒1<a2＋1<5，∴1<|z|<.故选B．3．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是( )A．z1＞z2B．z1＜z2C．|z1|＞|z2|D．|z1|＜|z2|【答案】D　【解析】z1，z2不能比较大小，排除选项A，B，又|z1|＝，|z2|＝，故|z1|＜|z2|.4．复平面内，向量OA表示的复数为1＋i，将OA向右平移一个单位后得到向量O′A ′，则向量O′A′与点A′对应的复数分别为( )A．1＋i，1＋i B．2＋i，2＋iC．1＋i，2＋i　D．2＋i，1＋i【答案】C　【解析】向量OA向右平移一个单位后起点O′(1，0)，∵OA′＝OO′＋O′A′＝OO′＋OA＝(1，0)＋(1，1)＝(2，1)，∴点A′对应复数2＋i.又O′A′＝OA，∴O′A′对应复数为1＋i.故选C．5．已知平行四边形OABC，O，A，C三点对应的复数分别为0，1＋2i，3－2i，则AB的模|AB|等于( )A．B．2C．4D．【答案】D　【解析】由于OABC是平行四边形，故AB＝OC，因此|AB|＝|OC|＝|3－2i|＝.6．(2021年成都模拟)(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是( )A．|z|＝B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．z的共轭复数为－1＋2iD．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上【答案】AC　【解析】|z|＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B错误；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D错误．故选AC．7．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2的共轭复数为________．【答案】－2－3i　【解析】∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2，3)．∴z2＝－2＋3i.z2的共轭复数为－2－3i.8．已知复数z＝1－2m i(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．【答案】　【解析】|z|＝≤2，解得－≤m≤.9．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i满足下列条件？(1)对应点在x轴上方；(2)对应点在直线y＝－x－5上．解：(1)由m2－2m－15>0，得当m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方．(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得当m＝或m＝时，z的对应点在直线y＝－x－5＝0上．10．已知O为坐标原点，OZ1对应的复数为－3＋4i，OZ2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若OZ1与OZ2共线，求a的值．解：因为OZ1对应的复数为－3＋4i，OZ2对应的复数为2a＋i，所以OZ1＝(－3，4)，OZ2＝(2a，1)．因为OZ1与OZ2共线，所以－3×1－4×2a＝0，解得a＝－，即a的值为－.B级——能力提升练11．(2021年太原月考)如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝( )A．－＋i B．－iC．－－i D．＋i【答案】D　【解析】设z＝a＋b i(a，b∈R)，由复数相等的充要条件，得解得即z＝＋i.12．已知复数z满足|z|＝2，则|z＋3－4i|的最小值是( )A．5　B．2　C．7　D．3【答案】D　【解析】|z|＝2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z＋3－4i|的最小值为－2＝3.13．(多选)下列命题中，正确的是( )A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|【答案】ABC　【解析】A任意复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模|z|＝≥0总成立，故A正确；B由复数相等的条件z＝0⇔⇔|z|＝0，故B正确；C设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，所以|z1|＝|z2|，故C正确；D虚部不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D错．14．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B　【解析】因为A，B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B>，即A>－B，sin A>cos B，cos B－tan A＝cos B－<cos B－sin A<0.又tan B>0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限．故选B．15．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则x＋y的值是________．【答案】5　【解析】由复数的几何意义可知，OC＝xOA＋yOB，即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i.由复数相等可得，解得∴x＋y＝5.16．(2021年武汉模拟)已知复数z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i(i为虚数单位)，若复数z是实数，则实数m＝________；若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则实数m的取值范围为________．【答案】3　(－5，－1－)　【解析】若复数z是实数，则解得m＝3.若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则即即解得－5＜m＜－1－.17．已知复数z对应的向量为OZ(O为坐标原点)，OZ与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，求复数z.解：根据题意可画图形如图所示，设点Z的坐标为(a，b)，∵|OZ|＝|z|＝2，∠xOZ＝120°，∴a＝－1，b＝±，即点Z的坐标为(－1，)或(－1，－)．∴z＝－1＋i或z＝－1－i.C级——探索创新练18．已知t为实数，复数z＝(t2＋t－2)＋(t2＋3t＋2)i.(1)当t为何值时，复数z为纯虚数？(2)当t＝0时，复数z在复平面内对应的点Z落在直线y＝－mx＋n上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最值时的m和n值．解：(1)复数z为纯虚数，∴解得t＝1.(2)当t＝0时，点Z(－2，2)，复数z在复平面内对应的点Z落在直线y＝－mx＋n 上，∴2m＋n＝2，∵mn＞0，∴＋＝＋m＋＝＋＋≥＋，当且仅当n2＝2m2等号成立．又2m＋n＝2，∴m＝2－，n＝2－2.。

7.1.1 数系的扩充和复数的概念课后·训练提升 基础巩固1.(多选题)下列说法正确的是( ) A.若a+bi=0,则a=b=0 B.x+yi=2+2i ⇔x=y=2C.若y ∈R,且(y 2-1)-(y-1)i=0,则y=1D.(1+√3)i 的虚部是1+√3 答案:CD解析:A,B 错误,即a,x 不一定是复数的实部,b,y 不一定是复数的虚部;C 正确,因为y ∈R,所以y 2-1,-(y-1)是实数,所以由复数相等的条件得{y 2-1=0,-(y -1)=0,解得y=1.D 正确,故选CD. 2.若复数z=(m+2)+(m 2-9)i(m ∈R)是正实数,则实数m 的值为( ) A.-2 B.3C.-3D.±3答案:B解析:由题意,得{m 2-9=0,m +2>0,解得m=3,故选B.3.已知复数z 1=a+2i,z 2=3+(a 2-7)i,a ∈R,若z 1=z 2,则a=( ) A.2 B.3C.-3D.9答案:B解析:因为z 1=z 2,所以{a =3,2=a 2-7,解得a=3.4.“a=-2”是“复数z=(a 2-4)+(a+1)i(a,b ∈R)为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:A解析:a=-2时,z=(22-4)+(-2+1)i=-i,是纯虚数;z 为纯虚数时,a 2-4=0,且a+1≠0,即a=±2.所以由“a=2”可以推出“z 为纯虚数”,反之不成立. 故选A.5.若复数z=a 2-3+2ai 的实部与虚部互为相反数,则实数a 的值为 . 答案:1或-3解析:由题意,可知a 2-3+2a=0,解得a=1或a=-3. 6.若(m 2-1)+(m 2-2m)i>1,则实数m 的值为 . 答案:2解析:由题意,得{m 2-2m =0,m 2-1>1,解得m=2.7.已知z 1=-3-4i,z 2=(n 2-3m-1)+(n 2-m-6)i(m,n ∈R),且z 1=z 2,则m= ,n= . 答案:2 ±2解析:由题意,得{n 2-3m -1=-3,n 2-m -6=-4,解得{m =2,n =±2.8.(1)已知x 2-x -6x+1+(x 2-2x-3)i=0,求实数x 的值.(2)若关于x 的方程3x 2-a 2x-1=(10-x-2x 2)i 有实根,求实数a 的值. 解:(1)∵x ∈R,∴由题意可得{x 2-x -6x+1=0,x 2-2x -3=0,解得-1=(10-m-2m 2)i,所以{3m 2-a2m -1=0,10-m -2m 2=0,解得a=11或a=-715.9.已知m 为实数,复数z=(m 2+m-6)i+m 2-7m+12m+3,求当m 为何值时:(1)z 是实数? (2)z 是虚数? (3)z 是纯虚数?解:(1)由{m 2+m -6=0,m +3≠0,解得m=2.故当m=2时,z 是实数.(2)由{m 2+m -6≠0,m +3≠0,解得m≠2,且m≠-3.故当m≠2,且m≠-3时,z 是虚数.(3)由{m 2+m -6≠0,m +3≠0,m 2-7m +12=0,解得m=3或m=4.故当m=3或m=4时,z 是纯虚数.能力提升1.若a,b ∈R,且a>b,那么( ) A.ai>bi B.a+i>b+i C.ai 2>bi 2 D.bi 2>ai 2答案:D解析:因为虚数不能比较大小,故A,B 错误;因为i 2=-1,a>b,所以-a<-b,即ai 2<bi 2,故D 正确.2.复数z=a 2-b 2+(a+|a|)i(a,b ∈R)为实数的充要条件是( ) A.|a|=|b| B.a<0,且a=-b C.a>0,且a≠b D.a≤0答案:D解析:复数z 为实数的充要条件是a+|a|=0,即a≤0. 3.已知关于∈R)有实数根n,且z=m+ni,则复数z 等于( ) A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i答案:B解析:由题意,可知n 2+mn=-2+(2n+2)i,∴{n 2+mn =-2,2n +2=0,解得{m =3,n =-1.∴z=3-i.4.若复数z 1=sin 2θ+icos θ,z 2=cos θ+i √3sin θ(θ∈R),z 1=z 2,则θ等于( )A.kπ(k∈Z)B.2kπ+π3(k ∈Z)C.2kπ±π6(k ∈Z)D.2kπ+π6(k ∈Z)答案:D解析:由题意,可知{sin2θ=cosθ,cosθ=√3sinθ,∴cosθ=√32,sinθ=12.∴θ=π6+2kπ,k∈Z.5.已知z 1=(-4a+1)+(2a 2+3a)i,z 2=2a+(a 2+a)i,其中a ∈R.若z 1>z 2,则a 的取值集合为 . 答案:{0}解析:∵z 1>z 2,∴{2a 2+3a =0,a 2+a =0,-4a +1>2a ,解得a=0.故a 的取值集合为{0}.6.已知复数z 1=m 2+1+(m 3+3m 2+2m)i,z 2=4m-2+(m 2-5m)i,m 为实数.若z 1为实数,z 2为虚数,则m 的取值集合为 . 答案:{-1,-2}解析:∵z 1为实数,z 2为虚数,∴{m 3+3m 2+2m =0,m 2-5m ≠0, 解得m=-1或m=-2. ∴m 的取值集合为{-1,-2}.7.设复数z=log 2(m 2-3m-3)+ilog 2(3-m),m ∈R,若z 是纯虚数,求m 的值. 解:由题意得{m 2-3m -3>0,3-m >0,log 2(m 2-3m -3)=0,log 2(3-m )≠0.解得m=-1. 8.已知集合M={(a+3)+(b 2-1)i,8},N={3i,(a 2-1)+(b+2)i},M∩N≠⌀,求整数a,b 的值.解:由题意,得(a+3)+(b 2-1)i=3i,① 或8=(a 2-1)+(b+2)i,②或(a+3)+(b 2-1)i=(a 2-1)+(b+2)i.③ 由①得a=-3,b=±2. 由②得a=±3,b=-2.由③得a,b 无整数解,不符合题意.经检验,a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2均满足题意. 故a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2.拓展创新复数z=cos(π2+θ)+sin(π2+θ)i,且θ∈[-π2,π2].(1)若z 是实数,求θ的值; (2)若z 为纯虚数,求θ的值.解:z=cos(π2+θ)+sin(π2+θ)i=-sinθ+icosθ.(1)当z 是实数时,cosθ=0, 因为θ∈[-π2,π2],所以θ=±π2;(2)当z 为纯虚数时,{-sinθ=0,cosθ≠0,又θ∈[-π2,π2],所以θ=0.。

人教A版高中数学必修二第七章《复数》拔高训练题（30）（含答案解析）人教A 版高中数学必修二第七章《复数》拔高训练题 (30)一、选择题（本大题共13小题，共65.0分）1. 设复数x =2i 1?i (i 是虚数单位)，则C 20191x +C 20192x 2+C 20193x 3+?+C 20192019x 2019=( ) A. i B. ?iC. ?1+iD. ?1?i 2. 已知i 为虚数单位，复数z =1+2i 1?i ，则复数z 在复平面上的对应点位于( )A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限 3. 已知集合M =Z (整数集)和N ={i,i 2,1i,(1+i )2i ,(1?i )2i } ，其中i 是虚数单位，则集合M ∩N 所含元素的个数有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个4. 复数(1+i)16?(1?i)16=( )A. ?256B. 256iC. 0D. 256 5. 复数2i?1的共轭复数是 ( )A. i ?1B. i +1C. ?1?iD. 1?i6. 下列说法正确的个数是( )①若(2x ?1)+i =y ?(3?y)i 其中x ，y 均为实数．则必有 {2x ?1=y 1=?(3?y)②2+i >1+i③虚轴上的点表示的数都是纯虚数④若一个数是实数，则其虚部不存在A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知复数z 满足z =i +2i 2+3i 3+4i 4，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为( )A. ?2B. 2iC. 2D. ?2i8. 设复数z 满足|z ?i|=1，z 在复平面内对应的点为(x,y)，则( )A. (x +1)2+y 2=1B. (x ?1)2+y 2=1C. x 2+(y ?1)2=1D. x 2+(y +1)2=19. 满足条件|z ?i |=|3+4i |复数z 在复平面上对应点的轨迹是A. 圆B. 椭圆C. 一条直线D. 两条直线10. 已知复数z =(1i )2019(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A. iB. ?iC. ?1D. 1 11. “a ≤0”是“复数z =1+ai i 在复平面内对应的点在第三象限”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12. 已知i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，z (1+i )=1?i 1+i ，则z 的虚部为A. 12B. ?12C. 12iD. ?12i 13. 复数5i 1+2i 的虚部是( )A. ?1B. 1C. iD. –i二、填空题（本大题共10小题，共50.0分）14. 计算：√31+2√3i (3+i 17)?(√2)20=_____．15. 已知复数x 满足x 2?2x =?2，则x =________.16. 计算：1+i 20191+i =______.(i 是虚数单位)17. (1)已知a ∈R ，复数z =a?i 2+i 的实部为1(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为________．(2)已知双曲线x 2a 2y 2b 2=1(a >0,b >0)，F(5,0)为该双曲线的右焦点，过F 的直线交该双曲线于A ，B 两点，且AB 的中点为M (?457,?807)，则该双曲线的方程为________． (3)在△ABC 中，A =π3，BC =2√3，BD 是∠ABC 的角平分线，交AC 于点D ，且BD =√62 AD ，则△ABC 的面积为________．(4)已知函数f(x)={e x (x ≥0),x +1(x <0),存在x ∈(?1,1)，使得tf(x)?f(?x)>0成立，则实数t 的取值范围为________．18. 设f(n)=(1+i 1?i )n +(1?i1+i )n (n ∈N ?)，则集合{f(n)}中元素个数为____19. 给出下列4个命题，其中正确命题的序号____________．；②函数的图象关于点(2,0)对称；③函数有5个零点；④已知复数z满足，且|z?2|=2，则z=4.20.复数z满足|z?3i|=|z?4+i|，则|z|的最小值为_______．21.计算：i1+i2++i2019=_______．22.设i为虚数单位，复数z=2+i，则|z|=．i23.设O是复平面的原点，满足|z?i|+|z?1|=√2的复数在复平面上所对应的点构成集合M，在M中任取不同的两点A和B，则∠AOB的最大值是______________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）24.25.复数z=m(m?1)+(m?1)i(m∈R)．(Ⅰ)当实数m为何值时，复数z为纯虚数；(Ⅱ)当m=2时，计算复数z?z．1+i26.已知复数z满足：|z|=1+3i?z(1)求|z|；(2)写出z的实部、虚部以及在复平面内对应的点所在的象限；(3)计算(1+i)2(3+4i)2z27.已知i是虚数单位．复数z1=m+(4?m2)i(m∈R)，z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(λ,θ∈R)，并且z1=z2．(1)求λ的取值范围；(2)复平面内表示复数z1(m∈R)的点位于直线y=3x上，求满足条件的λ的取值集合．+|z1?2|．28.已知复数z1满足z1?4=(3?2z1)i(i为虚数单位)，z2=5z1(1)求z2；(2)若z2是关于x的方程x2?px+q=0的一个根，求实数p，q的值．29.设z是虚数，ω=z+1是实数，且?1<ω<2z(1)求z的实部的取值范围(2)设μ=1?z，那么μ是否是纯虚数？并说明理由。

第七章复数练习题1、数系的扩充和复数的概念 (1)2、复数的几何意义 (6)3、复数的加、减运算及其几何意义 (14)4、复数的乘、除运算 (22)1、数系的扩充和复数的概念基础练习一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(1+)i的实部与虚部分别是( )A.1,B.1+,0C.0,1+D.0,(1+)i【解析】选C.(1+)i可看作0+(1+)i=a+bi,所以实部a=0,虚部b=1+.2.已知复数a2-4+(a+2)i为纯虚数,则实数a=( )A.-2B.2C.±2D.4【解析】选B.由纯虚数的定义可知,解得a=2.3.已知x-2i=3+2yi(x,y∈R),则x+y=( )A.4B.2C.3D.1【解析】选B.由复数相等的充要条件可知,x=3,y=-1,所以x+y=3-1=2.4.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为( )A.1B.1或-4C.-4D.0或-4【解析】选C.由复数相等的充要条件得解得:a=-4.5.以复数z=3-4i的实部为虚部,虚部为实部的复数为( )A.3-4iB.-3+4iC.-4+3iD.4-3i【解析】选C.由于复数z=3-4i=3+(-4)i的实部为3,虚部为-4,所求复数为-4+3i.6.(多选题)若i是虚数单位,则下列结论正确的是( )A.是分数B.i是无理数C.-i2不是虚数D.若a∈R,则(a2+1)i是虚数【解析】选CD.由于i是虚数单位,则,i都是虚数,A,B都不正确;-i2=1是实数,不是虚数,C正确;若a∈R,则a2+1≥1,所以(a2+1)i是虚数,D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为________.【解析】由条件知a2-3+2a=0,所以a=1或a=-3.答案:1或-38.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),若z<0,则k的值为________.【解析】因为复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),若z<0,则k2-5k+6=0,k2-3k<0,解得k1=2,k2=3(舍去).答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知复数z=+i,(m∈R)是虚数,求实数m的取值范围.【解析】因为复数z=+i,(m∈R)是虚数,所以,解得m<0或m>1且m≠-2.所以实数m的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,0)∪(1,+∞).10.当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m)i分别为:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?【解析】(1)当即m=2时,复数z为实数.(2)当即m≠0且m≠2时,复数z为虚数.(3)当即m=-3时,复数z为纯虚数.提升练习一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.复数z=2-i的实部与虚部的差为( )A.-1B.1C.2D.3【解析】选D.复数z=2-i=2+(-1)i的实部为2,虚部为-1,所以复数的实部与虚部的差为3.2.如果C,R,I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C为全集,则( )A.C=R∪IB.R∪I={0}C.R=C∩ID.R∩I=∅【解析】选D.复数包括实数和虚数,所以实数集与纯虚数集无交集.所以R∩I=⌀.故选D.3.(多选题)下列命题中为真命题的是( )A.复数一定是虚数B.实数一定是复数C.复数的平方数一定是非负实数D.实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,虚部不为0【解析】选BD.因为实数和虚数统称为复数,所以复数不一定是虚数,A是假命题;实数一定是复数,B是真命题;由于i2=-1,复数的平方数可以是负实数,C是假命题;实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,虚部不为0,D是真命题.4.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=( )A.-2+iB.2+iC.1-2iD.1+2i【解析】选B.因为i2=-1得xi-i2=1+xi.由题意得1+xi=y+2i,所以x=2,y=1.故x+yi=2+i.二、填空题(每小题5分,共20分)5.方程(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0的实数解x=________.【解析】方程可化为解得x=2.答案:26.复数2i,3-i,3-i2,i-1中,不同于另外三个的一个复数是______.【解析】复数2i,3-i,3-i2,i-1中,3-i2=4是实数,不同于其他三个虚数.答案:3-i27.若a-2i=bi+1(a,b∈R),则b+ai=________.【解析】根据复数相等的充要条件,得所以b+ai=-2+i.答案:-2+i8.若复数z=(a+1)+(1-a)i(a∈R)的实部与虚部都大于0,则实数a的取值范围是________.【解析】由a+1>0,1-a>0,解得-1<a<1.答案:(-1,1)三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知x是实数,y是纯虚数,且满足(3x-10)+i=y-3i,求x与y.【解析】设y=bi(b∈R且b≠0),代入(3x-10)+i=y-3i,整理得(3x-10)+i=bi-3i, 由复数相等的充要条件得解得所以x=,y=4i.10.设复数z=(m2+2m-3)+(m-1)i,试求实数m取何值时,满足(1)z是实数;(2)z是纯虚数.【解题指南】(1)复数为实数需满足虚部为零.(2)纯虚数需满足实部为零且虚部不为零.【解析】(1)由m-1=0得m=1,即m=1时z是实数.(2)由解得m=-3,即m=-3时z是纯虚数.11.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y 的值.【解析】由定义运算=ad-bc,得=3x+2y+yi,故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.因为x,y为实数,所以有得得x=-1,y=2.2、复数的几何意义基础练习一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知复数z在复平面上对应的点为(1,-1),则( )A.z=-1+iB.z=1+iC.z+i是实数D.z+i是纯虚数【解析】选 C.因为复数z在复平面上对应的点为(1,-1),所以z=1-i.所以z+i=1-i+i=1,所以z+i是实数.2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项中正确的是( )A.z1>z2B.z1<z2C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|【解析】选 D.因为复数不能比较大小,所以A,B不正确,又|z1|==,|z2|==,所以|z1|<|z2|,故C不正确,D正确.3.向量对应的复数为z1=-3+2i,对应的复数为z2=1-i,则|+|为( )A. B. C.2 D.【解析】选A.因为z1=-3+2i,z2=1-i,所以=(-3,2),=(1,-1),则+=(-2,1),所以|+|==.4.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则等于( )A.2+IB.2-iC.-2+iD.-2-i【解析】选B.点Z(2,1)对应复数z=2+i,与z互为共轭复数,对应的两点关于实轴对称,所以=2-i.5.在复平面内,对应的复数是2+i,对应的复数是-1-3i,则对应的复数为( )A.1-2iB.-1+2iC.3+4iD.-3-4i【解析】选D.由题意知=(2,1),=(-1,-3).=+=(-1,-3)+(-2,-1)= (-3,-4),所以对应的复数为-3-4i.6.(多选题)下列关于复数z=a+bi,a,b∈R的说法正确的是( )A.=a-biB.若=z,则b=0C.若|z|=0,则z=0D.若|z|≠0,则ab≠0【解析】选ABC.由复数z=a+bi,a,b∈R,得=a-bi,选项A正确;若=z,则a+bi =a-bi,b=-b,所以b=0,选项B正确;若|z|=0,则a2+b2=0,所以a=b=0,z=0,选项C 正确;若|z|≠0,则a2+b2≠0,所以a,b至少有一个不为0,选项D不正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知复平面内,点(2cos 300°,2sin 300°)对应的复数为z,则z=________,|z|=________.【解析】由点的坐标(2cos 300°,2sin 300°),得(1,-),对应的复数为z=1-i,|z|=2.答案:1-i 28.复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则向量对应的复数的实部为________,虚部为________.【解析】复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则=(-3,-4),对应的复数z=-3-4i的实部为-3,虚部为-4.答案:-3 -4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知z=x+yi,x,y∈R,若2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.(1)求实数x,y的值;(2)求.【解析】(1)因为x,y为实数,所以2x-1,y+1,x-y,-x-y都为实数,。

第七章 7.2 7.2.2A 级——基础过关练1.（1＋i ）3（1－i ）2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i【答案】D【解析】（1＋i ）3（1－i ）2＝2i （1＋i ）－2i ＝－1－i.故选D ． 2．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i,则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i【答案】C【解析】z －1＝1＋ii ＝1－i,所以z ＝2－i.故选C ．3．若复数z 满足z－1－i ＝i,其中i 为虚数单位,则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i【答案】A【解析】由题意z －＝i(1－i)＝1＋i,所以z ＝1－i.故选A ． 4．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|,则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D ．45 【答案】D【解析】∵(3－4i)z ＝|4＋3i|,∴z ＝53－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝35＋45i.故z 的虚部为45.故选D ． 5．在复平面内,复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B【解析】i 1＋i ＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝－32＋⎝⎛⎭⎪⎫23＋12i,对应点⎝⎛⎭⎪⎫－32，23＋12在第二象限．6．设复数z 的共轭复数是z －,若复数z 1＝3＋4i,z 2＝t ＋i,且z 1·z －2是实数,则实数t 等于( )A ．34 B ．43 C ．－43D ．－34【答案】A【解析】∵z 2＝t ＋i,∴z －2＝t －i.z 1·z －2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i.又∵z 1·z －2∈R,∴4t －3＝0,∴t ＝34.7．已知i 为虚数单位,若复数z ＝1＋2i2－i ,z 的共轭复数为z ,则z ·z ＝________．【答案】1【解析】依题意,得z ＝（1＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝i,所以z －＝－i.所以z ·z －＝i ·(－i)＝1.8．已知复数z 满足(i －1)z ＝1＋2i(i 为虚数单位),则复数z 的虚部为________,模|z |＝________．【答案】－32102【解析】由(i －1)z ＝1＋2i,得z ＝1＋2i i －1＝（1＋2i ）（－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝12－32i,∴复数z 的虚部为－32,|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝102. 9．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (2－i)(3＋i)；(2)（2＋2i ）2（4＋5i ）（5－4i ）（1－i ）.解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (2－i)(3＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (7－i)＝3－72＋73＋12i.(2)（2＋2i ）2（4＋5i ）（5－4i ）（1－i ）＝4i （4＋5i ）5－4－9i ＝－20＋16i 1－9i ＝－4（5－4i ）（1＋9i ）82＝－4（41＋41i ）82＝－2－2i.B 级——能力提升练10．(多选)下面是关于复数z ＝2－1＋i (i 为虚数单位)的命题,其中真命题为( )A ．|z |＝2B ．z 2＝2i C ．z 的共轭复数为1＋I D ．z 的虚部为－1【答案】BD【解析】∵z ＝2－1＋i ＝2（－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝－1－i,∴|z |＝2,A 错误；z 2＝2i,B正确；z 的共轭复数为－1＋i,C 错误；z 的虚部为－1,D 正确．故选BD ．11．若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”．已知z ＝a1－2i＋b i(a ,b ∈R)为“理想复数”,则( )A ．a －5b ＝0B ．3a －5b ＝0C ．a ＋5b ＝0D ．3a ＋5b ＝0【答案】D 【解析】因为z ＝a1－2i ＋b i ＝a （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＋b i ＝a 5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 5＋b i.由题意知,a5＝－2a5－b ,则3a ＋5b ＝0. 12．(多选)设z 是复数,则下列命题中是真命题的是( ) A ．若z 2≥0,则z 是实数 B ．若z 2＜0,则z 是虚数 C ．若z 是虚数,则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数,则z 2＜0【答案】ABD【解析】设z ＝a ＋b i,a ,b ∈R,z 2＝a 2－b 2＋2ab i. 对于A,z 2≥0,则b ＝0,所以z 是实数,是真命题； 对于B,z 2＜0,则a ＝0且b ≠0⇒z 是虚数,是真命题； 对于C,z 是虚数,则b ≠0,所以z 2≥0是假命题；对于D,z 是纯虚数,则a ＝0,b ≠0,所以z 2＜0是真命题．故选ABD ． 13．设复数z ＝52＋i(其中i 为虚数单位),则复数z 的实部为________,模为________． 【答案】25【解析】由z ＝52＋i ＝5（2－i ）（2－i ）（2＋i ）＝2－i,得复数z 的实部为2,|z |＝22＋12＝5.14．若z 1＝a ＋2i,z 2＝3－4i,且z 1z 2为纯虚数,则实数a 的值为________,z 1z 2＝________． 【答案】83 16－143i【解析】z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝（a ＋2i ）（3＋4i ）9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝（3a －8）＋（4a ＋6）i25,∵z 1z 2为纯虚数,∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.∴z 1·z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83＋2i (3－4i)＝8－323i ＋6i ＋8＝16－143i.15．(2021年郑州模拟)已知3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0(p ,q ∈R)的一个根,则p ＋q ＝________．【答案】14【解析】因为3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的根,所以2(3＋2i)2＋p (3＋2i)＋q ＝0,即2(9＋12i －4)＋(3p ＋2p i)＋q ＝0,整理得(10＋3p ＋q )＋(24＋2p )i ＝0,所以⎩⎪⎨⎪⎧10＋3p ＋q ＝0，24＋2p ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－12，q ＝26.所以p ＋q ＝－12＋26＝14. 16．已知复数z ＝52－i .(1)求z 的实部与虚部；(2)若z 2＋m z －＋n ＝1－i(m ,n ∈R,z －是z 的共轭复数),求m 和n 的值．解：(1)z ＝5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5（2＋i ）5＝2＋i,所以z 的实部为2,虚部为1.(2)把z ＝2＋i 代入z 2＋m z －＋n ＝1－i,得(2＋i)2＋m (2－i)＋n ＝1－i,即2m ＋n ＋3＋(4－m )i ＝1－i,所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＋3＝1，4－m ＝－1，解得m ＝5,n ＝－12.17．已知z 为虚数,z ＋9z －2为实数． (1)若z －2为纯虚数,求虚数z ； (2)求|z －4|的取值范围．解：(1)设z ＝x ＋y i(x ,y ∈R,y ≠0),则z －2＝x －2＋y i,由z －2为纯虚数,得x ＝2, 所以z ＝2＋y i,则z ＋9z －2＝2＋y i ＋9y i ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9y i ∈R,得y －9y ＝0,y ＝±3. 所以z ＝2＋3i 或z ＝2－3i. (2)因为z ＋9z －2＝x ＋y i ＋9x ＋y i －2＝x ＋9（x －2）（x －2）2＋y 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤y －9y （x －2）2＋y 2i ∈R, 所以y －9y（x －2）2＋y 2＝0.因为y ≠0,所以(x －2)2＋y 2＝9. 由(x －2)2<9,得x ∈(－1,5),所以|z －4|＝|x ＋y i －4|＝（x －4）2＋y 2＝（x －4）2＋9－（x －2）2＝21－4x ∈(1,5)．C 级——探索创新练18．已知z 1是虚数,z 2＝z 1＋1z 1是实数,且－1≤z 2≤1.(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z 11＋z 1,求证：ω为纯虚数．解：设z 1＝a ＋b i(a ,b ∈R,且b ≠0)．(1)z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i.因为z 2是实数,b ≠0,于是有a 2＋b 2＝1,即|z 1|＝1,所以z 2＝2a .由－1≤z 2≤1,得－1≤2a ≤1,解得－12≤a ≤12,即z 1的实部的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.(2)ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i （1＋a ）2＋b 2＝－ba ＋1i. 因为a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12,b ≠0,所以ω为纯虚数．。

第七章 复数1、数系的扩充和复数的概念 ........................................................................................ - 1 -2、复数的几何意义 ........................................................................................................ - 5 -3、复数的加、减运算及其几何意义 ............................................................................ - 9 -4、复数的乘、除运算 .................................................................................................. - 14 -5、复数的三角表示 ...................................................................................................... - 19 - 章末综合测验................................................................................................................ - 23 -1、数系的扩充和复数的概念一、选择题 1．下列命题：(1)若a ＋b i ＝0，则a ＝b ＝0； (2)x ＋y i ＝2＋2i ⇔x ＝y ＝2；(3)若y ∈R ，且(y 2－1)－(y －1)i ＝0，则y ＝1. 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [(1)，(2)所犯的错误是一样的，即a ，x 不一定是复数的实部，b ，y 不一定是复数的虚部；(3)正确，因为y ∈R ，所以y 2－1，－(y －1)是实数，所以由复数相等的条件得⎩⎨⎧y 2－1＝0，－(y －1)＝0，解得y ＝1.]2．若复数z ＝(m ＋2)＋(m 2－9)i(m ∈R )是正实数，则实数m 的值为 ( ) A ．－2 B ．3 C ．－3D ．±3B [由题知⎩⎨⎧m 2－9＝0，m ＋2>0，解得m ＝3，故选B ．]3．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2iD ．2＋2iA [3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A ．]4．4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4C [由题意知⎩⎨⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.]5．设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为a ，b ∈R ，“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数”．“复数a ＋b i 是纯虚数”，则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件．]二、填空题6．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.－2 [⎩⎨⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，∴m ＝－2.]7．(一题两空)已知z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________.2 ±2 [由复数相等的充要条件有 ⎩⎨⎧ n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4⇒⎩⎨⎧m ＝2，n ＝±2.]8．下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i(x ∈R )是纯虚数，则x ＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．③ [当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则⎩⎨⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，即x ＝1，故②错．]三、解答题9．若x ，y ∈R ，且(x －1)＋y i ＞2x ，求x ，y 的取值范围． [解] ∵(x －1)＋y i ＞2x ，∴y ＝0且x －1＞2x ， ∴x ＜－1，∴x ，y 的取值范围分别为x ＜－1，y ＝0.10．实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[解] (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m m ＋2m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.11．(多选题)下列命题正确的是( ) A ．1＋i 2＝0B ．若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0D ．两个虚数不能比较大小AD [对于A ，因为i 2＝－1，所以1＋i 2＝0，故A 正确．对于B ，两个虚数不能比较大小，故B 错．对于C ，当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0成立，故C 错．D 正确．]12．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z ＝( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋iB [由题意，知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0. 所以⎩⎨⎧n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝－1.所以z ＝3－i.]13．(一题两空)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，则实数x ＝________，y ＝________.－1 2 [由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc 得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ， 故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以有⎩⎨⎧x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，解得x ＝－1，y ＝2.]14．已知复数z 1＝4－m 2＋(m －2)i ，z 2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R )．(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值； (2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围． [解] (1)∵z 1为纯虚数， ∴⎩⎨⎧4－m 2＝0，m －2≠0，解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得⎩⎨⎧4－m 2＝λ＋2sin θ，m －2＝cos θ－2，∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ ＝sin 2θ－2sin θ＋3 ＝(sin θ－1)2＋2.∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2， 当sin θ＝－1时，λmax ＝6， ∴实数λ的取值范围是[2,6]．2、复数的几何意义一、选择题1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限. ] 2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是( ) A ．z 1＞z 2 B ．z 1＜z 2 C ．|z 1|＞|z 2|D ．|z 1|＜|z 2|D [z 1，z 2不能比较大小，排除选项A ，B ，又|z 1|＝52＋32，|z 2|＝52＋42，故|z 1|＜|z 2|.]3．已知平行四边形OABC ，O ，A ，C 三点对应的复数分别为0,1＋2i,3－2i ，则AB →的模|AB →|等于( )A ． 5B ．2 5C ．4D ．13D [由于OABC 是平行四边形，故AB →＝OC →，因此|AB →|＝|OC →|＝|3－2i|＝13.] 4．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．] 5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－34＋i B ．34－i C ．－34－iD ．34＋iD [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.] 二、填空题6．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 12 [由条件，知⎩⎨⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0，所以m ＝3，因此z ＝12i ，故|z |＝12.]7．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．(3，＋∞) [∵复数z 在复平面内对应的点位于第四象限， ∴⎩⎨⎧x －2＞0，3－x ＜0.解得x ＞3.] 8．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，则复数z ＝________. ±i [因为z 为纯虚数， 所以设z ＝a i(a ∈R ，且a ≠0)， 则|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1. 又因为|－1＋i|＝2， 所以a 2＋1＝2，即a 2＝1， 所以a ＝±1，即z ＝±i.] 三、解答题9．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，求复数z .[解] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1， 故a ＝－1， 所以z ＝－1＋3i.10．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点． (1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上． 分别求实数m 的取值范围．[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0. 解得m ＝2或m ＝－1. (2)由题意得⎩⎨⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎨⎧－1<m <2，m >2或m <1， ∴－1＜m ＜1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2.11．(多选题)设复数z 满足z ＝－1－2i ，i 为虚数单位，则下列命题正确的是( )A ．|z |＝ 5B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为－1＋2iD ．复数z 在复平面内对应的点在直线y ＝－2x 上AC [|z |＝(－1)2＋(－2)2＝5，A 正确；复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B 不正确；z 的共轭复数为－1＋2i ，C 正确；复数z 在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y ＝－2x 上，D 不正确．故选AC ．]12．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．5D ．3D [∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D ．] 13．(一题两空)已知复数z ＝lg(m 2＋2m －14)＋(m 2－m －6)i(i 为虚数单位)，若复数z 是实数，则实数m ＝______；若复数z 对应的点位于复平面的第二象限，则实数m 的取值范围为________．3 (－5，－1－15) [若复数z 是实数， 则⎩⎨⎧m 2－m －6＝0，m 2＋2m －14＞0，解得m ＝3. 若复数z 对应的点位于复平面的第二象限， 则⎩⎨⎧lg (m 2＋2m －14)＜0，m 2－m －6＞0，即⎩⎨⎧0＜m 2＋2m －14＜1，m 2－m －6＞0，即⎩⎨⎧m 2＋2m －14＞0，m 2＋2m －15＜0，m 2－m －6＞0，解得－5＜m ＜－1－15.]14．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，求yx 的最大值． [解] ∵|x －2＋y i|＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3，故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，yx 表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知yx 的最大值为 3. 15．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i. (1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ [解] (1)|z 1|＝(3)2＋12＝2， |z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．3、复数的加、减运算及其几何意义一、选择题1．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝( ) A ．75B ．－115 C ．－185D ．5B [(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝(－3a －2b )＋(b －a )i ＝3－5i ，所以⎩⎨⎧－3a －2b ＝3，b －a ＝－5，解得a ＝75，b ＝－185，故有a ＋b ＝－115.] 2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－4B [z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B ．]3．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1D [z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.]4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是( )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2iD [依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，即CD →对应的复数为4－2i.故选D ．]5．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5B [设z ＝x ＋y i ，则由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z －2－2i|＝(x －2)2＋(y －2)2表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.]二、填空题6．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.3 [由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以⎩⎨⎧a 2－2a －3＝0，a 2－1≠0，解得a ＝3.]7．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →对应的复数为________．4－4i [BC →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →)，对应的复数为3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i.]8．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________. －1＋10i [∵z 1＋z 2＝5－6i ，∴(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ， ∴⎩⎨⎧ x ＋3＝5，2－y ＝－6，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.] 三、解答题 9．计算：(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)； (2)4－(5＋12i)－i ；(3)若z －(－3＋5i)＝－2＋6i ，求复数z .[解] (1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i ＝3＋7i. (2)4－(5＋12i)－i ＝(4－5)＋(－12－1)i ＝－1－13i.(3)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z －(－3＋5i)＝－2＋6i ，所以(x ＋y i)－(－3＋5i)＝－2＋6i ，即(x ＋3)＋(y －5)i ＝－2＋6i ，因此⎩⎨⎧x ＋3＝－2，y －5＝6，解得⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝11，于是z ＝－5＋11i.法二：由z －(－3＋5i)＝－2＋6i 可得z ＝－2＋6i ＋(－3＋5i)， 所以z ＝(－2－3)＋(6＋5)i ＝－5＋11i.10．在复平面内，A ，B ，C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i ，以AB ，AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．[解] 如图所示. AC →对应复数z 3－z 1， AB →对应复数z 2－z 1， AD →对应复数z 4－z 1.由复数加减运算的几何意义，得AD →＝AB →＋AC →， ∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.∴AD 的长为|AD →|＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210. 11．(多选题)已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是( )A ．若复数z 满足|z －i|＝5，则复数z 对应的点在以(1,0)为圆心，5为半径的圆上B ．若复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，则复数z ＝15＋8iC ．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D ．复数z 1对应的向量为OZ 1→，复数z 2对应的向量为OZ 2→，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则OZ 1→⊥OZ 2→CD [满足|z －i|＝5的复数z 对应的点在以(0,1)为圆心，5为半径的圆上，A 错误；在B 中，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2.由z ＋|z |＝2＋8i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8.解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i ，B 错误；由复数的模的定义知C 正确；由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|的几何意义知，以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D 正确．故选CD ．]12．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( ) A ．0 B ．1 C ．22D ．12C [由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离，即为22.]13．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝________. 76－4i [设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则⎩⎨⎧a ＝a 2＋b 2－3，b ＝－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝76，b ＝－4，所以z ＝76－4i.]14．在复平面内，A ，B ，C 三点所对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i ，其中i 为虚数单位．(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．[解] (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ， BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i. (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.15．设z 为复数，且|z |＝|z ＋1|＝1，求|z －1|的值． [解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋1＝(a ＋1)＋b i ， 又|z |＝|z ＋1|＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，a 2＋b 2＋2a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b 2＝34，故|z －1|＝|(a ＋b i)－1|＝|(a －1)＋b i|＝(a －1)2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12＋34＝ 3.4、复数的乘、除运算一、选择题 1.(1＋i )3(1－i )2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－iD [(1＋i )3(1－i )2＝2i (1＋i )－2i ＝－1－i ，选D ．]2．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋iC [z －1＝1＋ii ＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C ．] 3．在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限B [i 1＋i＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12i ，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，23＋12在第二象限．] 4．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4D ．45D [∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴z ＝53－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝35＋45i. 故z 的虚部为45，选D ．]5．设复数z 的共轭复数是 z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z －2是实数，则实数t 等于( )A ．34B ．43C ．－43D ．－34A [∵z 2＝t ＋i ，∴z －2＝t －i.z 1·z －2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z －2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34.]二、填空题6．i 为虚数单位，若复数z ＝1＋2i2－i ，z 的共轭复数为z ，则z ·z ＝________.1 [∵z ＝1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i5＝i ，∴z ＝－i ，∴z ·z ＝1.]7．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 1 [∵a ＋2ii ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝(b ＋i)i ＝－1＋b i ， ∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.]8．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点分别为A ，B ，点A 与B 关于x 轴对称，若z 1(1－i)＝3－i ，则|z 2|＝________.5 [∵z 1(1－i)＝3－i ， ∴z 1＝3－i 1－i ＝(3－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋i ，∵A 与B 关于x 轴对称，∴z 1与z 2互为共轭复数， ∴z 2＝z 1＝2－i ，∴|z 2|＝ 5.] 三、解答题 9．已知复数z ＝52－i. (1)求z 的实部与虚部；(2)若z 2＋m z ＋n ＝1－i(m ，n ∈R ，z 是z 的共轭复数)，求m 和n 的值．[解] (1)z ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5(2＋i )5＝2＋i ，所以z 的实部为2，虚部为1.(2)把z ＝2＋i 代入z 2＋m z ＋n ＝1－i ， 得(2＋i)2＋m (2－i)＋n ＝1－i ， 即2m ＋n ＋3＋(4－m )i ＝1－i ， 所以⎩⎨⎧2m ＋n ＋3＝1，4－m ＝－1.解得m ＝5，n ＝－12.10．把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z .[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎨⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1，∴z ＝2＋i. ∴zz ＝2＋i2－i ＝2＋i 22－i 2＋i＝3＋4i 5＝35＋45i.11．(多选题)下面是关于复数z ＝2－1＋i(i 为虚数单位)的命题，其中真命题为( )A ．|z |＝2B ．z 2＝2iC ．z 的共轭复数为1＋iD ．z 的虚部为－1BD [∵z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，∴|z |＝2，A 错误；z 2＝2i ，B 正确； z 的共轭复数为－1＋i ，C 错误； z 的虚部为－1，D 正确．故选BD ．]12．(多选题)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的真命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22ABC [A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．]13．(一题两空)若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________，z 1z 2＝________.83 16－143i [z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i )(3＋4i )9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝(3a －8)＋(4a ＋6)i25，∵z 1z 2为纯虚数， ∴⎩⎨⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0， ∴a ＝83.∴z 1·z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83＋2i (3－4i)＝8－323i ＋6i ＋8 ＝16－143i.]14．已知3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值． [解] 因为3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的根， 所以2(3＋2i)2＋p (3＋2i)＋q ＝0， 即2(9＋12i －4)＋(3p ＋2p i)＋q ＝0， 整理得(10＋3p ＋q )＋(24＋2p )i ＝0，所以⎩⎨⎧ 10＋3p ＋q ＝0，24＋2p ＝0，解得⎩⎨⎧p ＝－12，q ＝26.]15．设z 是虚数，ω＝z ＋1z 是实数，且－1＜ω＜2， (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z，证明u 为纯虚数． [解] (1)因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数且y ≠0，所以y －yx 2＋y 2＝0，所以x 2＋y 2＝1，即|z |＝1. 此时ω＝2x . 因为－1＜ω＜2， 所以－1＜2x ＜2， 从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.(2)证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， 由(1)知，x 2＋y 2＝1， ∴u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i (1＋x )2＋y 2＝－y 1＋x i.因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0，所以y1＋x≠0， 所以u 为纯虚数.5、复数的三角表示一、选择题1．复数12－32i 的三角形式是( ) A ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3B ．cos π3＋isin π3 C ．cos π3－isin π3 D ．cos π3＋isin 5π6A [12－32i ＝cos 53π＋isin 53π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3.] 2．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( ) A ．150° B ．40° C ．－40°D ．320°D [sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos 320°＋isin 320°.]3．复数sin 4＋icos 4的辐角的主值为( ) A ．4B ．3π2－4C ．2π－4D ．5π2－4D [sin 4＋icos 4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－4.] 4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( ) A ．π4B ．π4或5π4C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )D [因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ， 所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1， 所以θ＝π4＋k π，(k ∈Z )．]5．如果θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是( )A ．2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4－θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4－θB ．2[]cos ()2π－θ＋isin ()2π－θC ．2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θD ．2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋θA [因为1＋i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4，cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)， 所以(1＋i)(cos θ－isin θ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π－θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π－θ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4－θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4－θ.]二、填空题6．已知z ＝cos 2π3＋isin 2π3，则arg z 2＝________. 43π [因为arg z ＝2π3，所以arg z 2＝2arg z ＝2×2π3＝4π3.]7．把复数1＋i 对应的向量按顺时针方向旋转π2，所得到的向量对应的复数是________．1－i [(1＋i)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π2＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π2 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝1－i.]8．设复数z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i ，则z 1z 2的辐角的主值是________．π6 [由题知，z 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3， z 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6，所以z 1z 2的辐角的主值为π3－π6＝π6.]三、解答题9．设复数z 1＝3＋i ，复数z 2满足|z 2|＝2，已知z 1z 22的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z 2∈(0，π)，求z 2的代数形式．[解] 因为z 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6，设z 2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)， 所以z 1z 22＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6. 由题设知2α＋π6＝2k π＋3π2(k ∈Z )，所以α＝k π＋2π3(k ∈Z )， 又α∈(0，π)，所以α＝2π3，所以z 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3＝－1＋3i.10．已知z ＝－1＋i i －2i ，z 1－z z 2＝0，arg z 2＝7π12，若z 1，z 2在复平面内分别对应点A ，B ，且|AB |＝2，求z 1和z 2.[解] 由题设知z ＝1－i ，因为|AB |＝2，即|z 1－z 2|＝2，所以|z 1－z 2|＝|z z 2－z 2|＝|(1＋i)z 2－z 2|＝|i z 2|＝|z 2|＝2，又arg z 2＝7π12， 所以z 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π12＋isin 7π12＝1－32＋3＋12i ，z 1＝z z 2＝(1＋i)z 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4·2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π12＋isin 7π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6＝－3＋i. 11．若复数z ＝(a ＋i)2的辐角的主值是3π2，则实数a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－ 2D ．－3B [因为z ＝(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，arg z ＝3π2， 所以⎩⎨⎧a 2－1＝0，a ＜0，所以a ＝－1，故选B ．]12．设π＜θ＜5π4，则复数cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ的辐角的主值为( )A ．2π－3θB ．3θ－2πC ．3θD ．3θ－πB [cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ＝cos 2θ＋isin 2θcos (－θ)＋isin (－θ)＝cos 3θ＋isin 3θ.因为π＜θ＜5π4，所以3π＜3θ＜15π4， 所以π＜3θ－2π＜7π4，故选B ．]13．已知复数z 满足z 2＋2z ＋4＝0，且arg z ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则z 的三角形式为________．z ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3 [由z 2＋2z ＋4＝0，得z ＝12(－2±23i)＝－1±3i. 因为arg z ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以z ＝－1－3i 应舍去，所以z ＝－1＋3i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3.]14．设O 为复平面的原点，A 、B 为单位圆上两点，A 、B 所对应的复数分别为z 1、z 2，z 1、z 2的辐角的主值分别为α、β.若△AOB 的重心G 对应的复数为13＋115i ，求tan(α＋β)．[解] 由题意可设z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β. 因为△AOB 的重心G 对应的复数为13＋115i ， 所以z 1＋z 23＝13＋115i ，即⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝1，sin α＋sin β＝15，所以⎩⎪⎨⎪⎧2cos α＋β2cos α－β2＝1，2sin α＋β2cos α－β2＝15，所以tan α＋β2＝15，故tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝512.章末综合测验(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( ) A ．z －1 B ．z ＋1 C ．－10＋18iD ．10－18iC [1－2i －z ＝1－2i －(11－20i)＝－10＋18i.] 2.3＋i 1＋i ＝( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－iD [3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.故选D ．] 3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋iA [由已知得z ＝i(1－i)＝i ＋1， 则z ＝1－i ，故选A ．]4．若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2)D ．(4,2)C [z ＝2＋4ii ＝4－2i 对应的点的坐标是(4，－2)，故选C ．] 5．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2B [∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i. ∴⎩⎨⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B ．] 6．若复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )A ． 2B ．23 C ．－23 D ．2C [因为2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b 5－4＋b 5i ，又复数2－b i1＋2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，所以2－2b 5＝4＋b 5，即b ＝－23.]7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( )A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对C [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i.∵z 2为纯虚数，∴⎩⎨⎧x 2－y 2＝0，xy ≠0.∴y ＝±x (x ≠0)．] 8．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5)D ．(1，3)C [由已知，得|z |＝a 2＋1. 由0<a <2，得0<a 2<4， ∴1<a 2＋1<5.∴|z |＝a 2＋1∈(1，5)．故选C ．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为( ) A ．(3,1) B ．(－2,0) C ．(0,4)D ．(－1，－5) ACD [易知选项A 、B 、C 、D 中的点对应的复数分别为3＋i 、－2、4i 、－1－5i ，因此A 、C 、D 中的点对应的复数为虚数．]10．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，且a ＋b ＝1，下列命题正确的是( )A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ，且z ＝z ，则z 是实数C ．若z ＝|z |，则z 是实数D ．|z |可以等于12BC [当a ＝0时，b ＝1，此时z ＝i 为纯虚数，A 错误；若z 的共轭复数为z ，且z ＝z ，则a ＋b i ＝a －b i ，因此b ＝0，B 正确；由|z |是实数，且z ＝|z |知，z 是实数，C正确；由|z|＝12得a2＋b2＝14，又a＋b＝1，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32<0，无解，即|z|不可以等于12，D错误．故选BC．]11．已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是()A．P0点的坐标为(1,2)B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为2 2ACD[复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋y i(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋y i|＝|x＋(y－1)i|，即(x－1)2＋y2＝x2＋(y－1)2，整理得，y ＝x，即Z点在直线y＝x上，C正确；易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值，结合平面几何知识知D正确．故选ACD．] 12．对任意z1，z2，z∈C，下列结论成立的是()A．当m，n∈N*时，有z m z n＝z m＋nB．当z1，z2∈C时，若z21＋z22＝0，则z1＝0且z2＝0C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z|2＝|z|2＝z·zD．z1＝z2的充要条件是|z1|＝|z2|AC[由复数乘法的运算律知A正确；取z1＝1，z2＝i，满足z21＋z22＝0，但z1＝0且z2＝0不成立，B错误；由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确；由z1＝z2能推出|z1|＝|z2|，但|z1|＝|z2|推不出z1＝z2，因此z1＝z2的必要不充分条件是|z1|＝|z2|，D错误．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．21 [复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21.]14．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝________. 3 [a ＋i i ＝(a ＋i )·(－i )i·(－i )＝1－a i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝a 2＋1＝2， 所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3.]15．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．8 [a ＋b i ＝11－7i 1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝25＋15i5＝5＋3i ，依据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3.从而a ＋b ＝8.]16．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则|z |＝________，z－z ＝________(本题第一空2分，第二空3分)．22 ±i [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得， ⎩⎨⎧ x ＋y i ＋x －y i ＝4，(x ＋y i )(x －y i )＝8，⇒⎩⎨⎧ x ＝2，x 2＋y 2＝8，⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±2.∴|z |＝2 2.所以zz ＝x －y i x ＋y i ＝x 2－y 2－2xy ix 2＋y 2＝±i.]四、简答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，(1)z 是实数？ (2)z 是纯虚数？ [解] (1)要使复数z 为实数， 需满足⎩⎨⎧m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数， 需满足⎩⎨⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2. [解] 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ， 所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 1·z 2＝1＋i ， 得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ， 所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1，所以z 2＝i.19．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i.20．(本小题满分12分)复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＜0，求纯虚数a .[解] 由z 2＋a z ＜0可知z 2＋az 是实数且为负数． z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝1－i.因为a 为纯虚数，所以设a ＝m i(m ∈R ，且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－2i ＜0，故⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＜0，m2－2＝0，所以m ＝4，即a ＝4i.21．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC ．求顶点C 所对应的复数z .[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，C (x ，y )， 因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎨⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎨⎧ x 1＝－5，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－3，y 2＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x 2＝－3，y 2＝4(舍去)， 故z ＝－5.22．(本小题满分12分)已知复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i. (1)求复数z ；(2)若复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． [解] (1)∵(1＋2i)z ＝4＋3i ，∴z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i 5＝2－i ，∴z ＝2＋i.(2)由(1)知z ＝2＋i ，则(z ＋a i)2＝(2＋i ＋a i)2＝[2＋(a ＋1)i]2＝4－(a ＋1)2＋4(a ＋1)i ， ∵复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限， ∴⎩⎨⎧4－(a ＋1)2＞0，4(a ＋1)＞0，解得－1＜a＜1，即实数a的取值范围为(－1,1)．。

人教A版高中数学必修第二册本章复习提升易混易错练易错点1　对复数的相关概念理解不清致错1.(2024吉林白山模拟)若复数z=i+2i2+3i3,则z的虚部为( )A.2iB.-2iC.2D.-2(2)若m=3,z是关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一个复数根,求实数a,b的值.思想方法练一、函数与方程思想在解决复数问题中的应用1.(2024江苏泰州月考)若复数z 满足|z-1|=|z+i|,则|z-1|的最小值为( )A.12B.22C.1D.22.(2024安徽淮南二中期中)已知复数z=a-3i(a ∈R),若z 是关于x 的方程x 2-2x+10=0的一个根,则a= ;若复数z 2在复平面内对应的点位于第三象限,则a 的取值范围3..三、数形结合思想在解决复数问题中的应用5.(2024四川射洪中学月考)已知复数z 满足|z+3i|=|z-i|,则|z+1+2i|的最小值为( )A.1B.3C.3D.56.(多选题)(2024安徽淮南期中)设复数z 在复平面内对应的点为Z,则下列说法正确的有( )A.若|z|=1,则z=±1或z=±iB.若|z-(2+i)|=1,则|z|的最小值为5-1C.若z=3-2i,则|z|=7D.若1≤|z|≤2,则点Z 的集合所构成图形的面积为π四、转化与化归思想在解决复数问题中的应用7.(2024浙江余姚中学月考)复数z 1=-12+32i2的虚部是 ;若复数z 2满足|z 2|=1,则|z 2+1+i|的取值范围为 .8.(2024陕西咸阳永寿中学月考)设z 是虚数,ω=z+1z 是实数,且-1<ω<2.(1)求|z|及z 的实部的取值范围;(2)设μ=1−z 1+z ,求证:μ是纯虚数;(3)在(2)的条件下,求ω-μ2的最小值.答案与分层梯度式解析本章复习提升易混易错练1.D　z=i+2i2+3i3=i-2-3i=-2-2i,故z的虚部为-2.故选D.易错警示　复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部是b,而不是bi.2.解析　(1)因为z=a2-2a-3+(a-3)i是纯虚数,所以解得a=-1.(0,1)的距离加上半径长易错点(5-1)2+1=5+1=6.解析　由复数及其运算的几何意义可得|z+2i|≤1表示复数为半径的圆及其内部易错点,|z|表示复数z对应的点到原点的距离此相关的题目时,可以借助复数及其运算的几何意义从几何角度解题.5.A　由b是方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)的根可得b2+(4+i)b+4+ai=0,即(b+a)i+(b2+4b+4)=0,所以b+a=0,b2+4b+4=0,解得a=2,b=−2,所以z=2-2i.故选A.易错警示　只有实系数一元二次方程才能利用判别式Δ讨论方程根的存在性.对于复系数一元二次方程ax 2+bx+c=0,讨论其根的情况时,应先设方程的根为x=m+ni(m,n ∈R),再代入方程,利用复数相等的充要条件转化为实数方程解决.6.解析　(1)因为复数z=(m+1)(m-2)+(m-2)i(m ∈R)是纯虚数,所以(m +1)(m -2)=0,m -2≠0,解得m=-1.(2)当m=3时,z=4+i.因为z 是关于x 的实系数方程x 2+ax+b=0的一个复数根,所以z 的共轭复数z =4-i 也是实系数方程x 2+ax+b=0的根,所以(4+i)+(4-i)=-a,(4+i)(4-i)=b,解得a=-8,b=17.易错警示　实系数一元二次方程中的虚根是以共轭复数的形式成对出现的,但如果题设中没有直接交代一元二次方程的系数是实数,就不能得出上述结论.思想方法练1.B3.B 5.A 6.BD1.B 令z=x+yi,x,y ∈R,由|z-1|=|z+i|得(x -1)2+y 2=x 2+(y +1)2,所以y=-x,所以|z-1|=(x -1)2+y 2=x 2-2x+1+x 2=2x 2-2x+1=通过变量代换,将所求问题转化为二次函数的最值问题,利用二次函数的性质进行求解,体现了函数思想.所以当x=12时,|z-1|取得最小值22.故选B.2.答案　1;(0,3)解析　若z 是方程x 2-2x+10=0的一个根,则(a-3i)2-2(a-3i)+10=0,所以a 2-2a+1+(6-6a)i=0,由复数相等的充要条件建立方程组求解.所以a 2-2a+1=0,6−6a =0,解得a=1.因为z=a-3i,所以z 2=(a-3i)2=a 2-9-6ai,所以复数z 2在复平面内对应的点为(a 2-9,-6a),若该点位于第三象限,则a 2-9<0,-6a <0,解得0<a<3,所以a 的取值范围为(0,3).思想方法　一般运用方程思想解决复数分类及复数相等中的参数问题,一般应用函数思想解决复数模的最值或者范围问题,求解时可根据题目条件,结合复数相关概念列式,再转化为函数(一般为二次函数)问题解决.3.B　因为i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,……,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,i4k+4=1,k∈N,i n具有周期性,它的周期是4,确定|z|时需分n=4k+1,n=4k+2,n=4k+3,n=4k+4(k∈N)四种情况讨论.所以当n=4k+1(k∈N)时,z=i,则|z|=1,=所以1x2+2x1=x21+x22x1x2=(x1+x2)2-2x1x2x1x2=(x1+x2)2x1x2-2=4kk+1-2=4k+4−4k+1-2=-4k+1+2,因为x1x2+x2x1=-4k+1+2为整数,k∈Z,所以k+1能整除-4,故k+1的值可能为-4,-2,-1,1,2,4,则实数k的值可能为-5,-3,-2,0,1,3,又k<0,所以k的所有可能取值为-5,-3,-2.思想方法　分类讨论思想在复数问题中的应用非常广泛,如在研究与复数有关的方程问题时,要注意对根的情况进行分类讨论;i n(n∈N*)具有周期性,周期为4,含有i n的复数运算问题,一般会按照n 被4除余数为0,1,2,3进行讨论.5.A 设复数z 在复平面内对应的点为Z,因为z 满足|z+3i|=|z-i|,所以由复数及其运算的几何意义可知,点Z 到点(0,-3)(记为A)和(0,1)(记为B)的距离相等,所以点Z 在AB 的垂直平分线上,即点Z 的轨迹为直线y=-1,如图,根据复数及其运算的几何意义画出图形求解.|z+1+2i|表示点Z 到点(-1,-2)的距离,易知当Z(-1,-1)时,|z+1+2i|最小,最小值为1.故选A.6.BD 对于A,当z=22+22i 时,满足故A 错误.对于B,因为|z-(2+i)|=1,所以z 对应的点的集合是圆心为(2,1)(记为A),半径为1的圆(如图1),|z|表示圆上的点到原点(0,0)的距离,由复数及其运算的几何意义画出z 对应的点所表示的图形,利用几何图形的性质解决最值问题.易知当z 对应的点为B 时,|z|取得最小值,则|z|min =4+1-1=5-1,故B 正确.对于C,|z|=3+4=7,故C 错误.对于D,点Z 的集合是以原点为圆心,1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环的边界),即图2中的阴影部分,其面积为π×(2)2-π×12=π,故D 正确.故选BD.思想方法　在求复数模的最值问题时,可以利用复数及其运算的几何意义建立复数、复平面内的点的关系.若复数z 在复平面内对应的点为Z,r>0,则|z-(a+bi)|=r 表示点Z 的集合是以点(a,b)为圆心,r 为半径的圆;|z-(a+bi)|<r 表示点Z 的集合为上述圆内部所有的点组成的集合;|z-(a+bi)|>r表示点Z 的集合为上述圆外部所有的点组成的集合;|z-(a+bi)|=|z-(c+di)|表示点Z 的集合是以点(a,b)和(c,d)为端点的线段的垂直平分线.(a,b,c,d,r ∈R)7.答案　-32;[2-1,2+1]解析　z 1=-12+32i 2=14-32i-34=-12-32i,故复数z 1的虚部是-32.因为|z 2|=1,所以可设z 2=cos θ+isin θ,θ∈R,:μ=1+z =1+a +b i =(1+a )2+b 2=-a +1i.∵a ∈-12,1,b≠0,∴μ为纯虚数.(3)ω-μ2=2a+b 2(a +1)2=2a+1−a 2(a +1)2=2a-a -1a +1=2a-1+2a +1=2(a +1)+-3,∵a ∈-12,1,∴a+1>0,∴ω-μ2≥2×2(a +1)·1a +1-3=4-3=1,当且仅当a+1=1a +1,即a=0(a=-2舍去)时取等号.故ω-μ2的最小值为1.思想方法　在解决复数问题时,通过把复数z设成z=a+bi(a,b∈R)或者z=r(cos θ+isin θ)(r>0,θ∈R)的形式,实现复数问题实数化;复数的几何意义也是很明显的转化与化归思想的应用,通过把复数转化为复平面内的点或向量,将复数问题几何化.。

试卷第1页，共35页高中数学（人教A 版）必修第二册《第7章 复数》填空题专项练习（含答案解析）一、填空题1．已知复数1z ､2z 满足123,1==z z ，若1z 和2z 的幅角之差为π3，则1212-=+z z z z ___________.【分析】分别设()1113cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，可得()()1121223cos isin z z θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦ ，由题意可得12π3θθ-=或12π3θθ-=-，即可得12z z ，再代入1121221121221111z z z z z z z z z z z z ---==+++计算即可求解.【详解】 因为123,1==z z ，设()1113cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+， 所以()()()()()111122122222223cos isin 3cos isin cos isin cos isin cos isin cos isin z z θθθθθθθθθθθθ++-==++- ()1212121222223cos cos sin sin i sin cos cos sin cos sin θθθθθθθθθθ++-⎡⎤⎣⎦=+ ()()12123cos isin θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦1122112211z z z z z z z z --=++ 由题意可知12π3θθ-=或12π3θθ-=-， 当12π3θθ-=时，12ππ33cos isin 332z z ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，1122112211z z z z z z z z --=====++，当12π3θθ-=-时，12ππ33cos isin 332z z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1122112211z z z z z z z z --====++综上所述：1212z z z z -+2．化简：366384500i i i ++=___________.【答案】1【分析】根据复数的乘方法则计算可得.【详解】解：因为2i 1=-，3i i =-，41i =，所以3663845004912941265421i i 1i i i 1i i ⨯⨯+⨯++=+=++=+ 故答案为：13．已知复数21iz =+，则z =__________．【分析】根据复数的除法运算可得1i z =-，结合复数的几何意义即可求出模.【详解】 由21i z =+，得22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，所以z ==4．已知2i z =+，则z =________【答案】2i -##【分析】直接根据共轭复数的概念得答案.【详解】i 2z =+试卷第3页，共35页2i z ∴=-故答案为：2i -.5．复数13i 3i+-的虚部是__________． 【答案】1【分析】根据复数除法法则化简即得结果.【详解】 因为()()()13i 3i 13i 10i i 3i 3i 3i 10+++===--+（），所以虚部为1. 故答案为：16．已知复数z 为纯虚数，若()2i i z a -=+（其中i 为虚数单位），则实数a 的值为___________. 【答案】12##【分析】 先利用复数的除法运算化简i 2i a z +=-，再根据实部等于0虚部不等于0即可求得a 的值. 【详解】由()2i i z a -=+可得()()()()()i 2i 212i i 212i 2i 2i 2i 555a a a a a a z ++-+++-+====+--+， 若212i 55a a z -+=+为纯虚数，则2105205a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ 可得12a =， 故答案为：12.7．若关于x 的实系数一元二次方程2380-+-=x mx m 有两个共轭虚数根，则m 的取值范围是________．【答案】()4,8【分析】根据关于x 的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，由∆<0求解.【详解】因为关于x 的实系数一元二次方程2380-+-=x mx m 有两个共轭虚数根，所以()()24380m m ∆=---<，即212320m m -+<，即 ()()480m m --<，解得 48m <<，所以m 的取值范围是()4,8，故答案为：()4,88．i 是虚数单位，复数52i=-___________. 【答案】2i +##【分析】分子分母同时乘以2i +即可得解.【详解】()()()52i 52i 2i 2i 2i +==+--+. 故答案为：2i +9．若复数z 满足()1i 3i z +=+，则=z ___________.【答案】2+i +2【分析】根据复数的除法运算先求出z ，进而求出z .【详解】 由题意，()()3i 1i 3i 42i 2i 2i 1i 22z z +-+-====-⇒=++. 故答案为：2i +.10．已知方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根α，β，若3αβ-=，则m 的值是___________. 【答案】52【分析】由已知结合实系数一元二次方程两个虚根互为共轭复数，设出α的代数形式，代入计算作答.【详解】因α，β是方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根，设i(,R)a b a b α=+∈，则i a b β=-， 由3αβ-=得：|i (i)||2|3a b a b b +--==，解得3||2b =， 又2(i)(i)0a b a b m ++++=，即22()(2)i 0a b a m ab b -++++=，因R m ∈，试卷第5页，共35页于是得：22020a b a m ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a =-，52m =， 所以m 的值是52. 故答案为：5211．已知()12i i z +=（i 为虚数单位），则z =___________.【答案】1i +##【分析】根据复数代数的四则运算计算即可.【详解】()i 12i z +=,()()()()212=1111i i i i i i i i i 1z -∴==-=+++-. 故答案为：1i z =+. 12．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2i a -+为实数，则i a +的模为________．【分析】 根据复数的乘除法运算求出i 2i a -+，再根据i 2i a -+为实数求出a ，从而可得出答案. 【详解】 解：()()()()()i 2i 212i i 2i 2i 2i 5a a a a ----+-==++-， 因为i 2i a -+为实数，所以20a +=，所以2a =-，则i 2i a +=-+=13．已知m R ∈，复平面内表示复数22i (56)()--++m m m m 的点在虚轴上，则m=_____________．【答案】1-或6【分析】根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果.【详解】复数对应点的坐标为2(56m m --，2)m m +，若点在虚轴上，则2560m m --=，解得1m =-或6m =．故答案为：1-或6.14．若i 是虚数单位，则12i 2i++的虚部为___________. 【答案】35## 【分析】 先化简12i 2i++，然后可求虚部. 【详解】 因为()()()()12i 2i 12i 43i 2i 2i 2i 5+-++==++-， 所以虚部为35. 故答案为：35##0.6. 15．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-.则(1i)z -=___________.【答案】28i --##【分析】根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.【详解】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-，则35i z =-，所以(1i)(1i)(35i)28i z -=--=--.故答案为：28i --16．写出一个同时满足下列条件的复数z =________.①5z =；②复数z 在复平面内对应的点在第四象限.【答案】34i z =-（答案不唯一）【分析】根据复数的几何意义以及模长公式得出答案.【详解】不妨令34i z =-，则5z ==，复数z 在复平面内对应的点()3,4-位于第四象限，满足①②，故34i z =-符合题意（答案不唯一）.故答案为：34i z =-（答案不唯一）试卷第7页，共35页17．已知复数2i 2iz -=+（i 为虚数单位），则z 的模为______． 【答案】1【分析】 利用复数的除法运算求出复数z 即可计算作答.【详解】 依题意，2(2i)34i 34i (2i)(2i)555z --===-+-，则||1z =， 所以z 的模为1.故答案为：118．已知i为虚数单位，复数11z =，在复平面中将1z 绕着原点逆时针旋转165°得到2z ，则2z =______.【答案】【分析】结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解．【详解】解：11z =在复平面内对应的点为(A ，所以2OA =，且OA 与x 轴正方向的夹角为60︒，将其逆时针旋转165︒后落在第三象限，且与x 轴负半轴的夹角为6016518045︒+︒-︒=︒，所以对应的点为(，所以2z =．故答案为：．19．设i 为虚数单位，则3i 1i+=+________. 【答案】2i -##【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；【详解】解：()()()()2223i 1i 3i 33i i i 2i 1i 1i 1i 1i +-+-+-===-++-- 故答案为：2i -20．已知复数2i 1iz +=-，则复数z 的虚部为________【答案】32##【分析】根据复数除法运算得13i22z=+，进而得答案.【详解】解：()()()()2i1i2i13i13i 1i1i1i222 z++++====+ --+所以复数z的虚部为3 2故答案为：3 221．已知复数1i3iaz+=+为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数=a______．【答案】3-【分析】应用复数的除法化简z，再根据其为纯虚数可得30310aa+=⎧⎨-≠⎩，即可求参数a.【详解】由题设，1i(1i)(3i)(3)(31)i3i(3i)(3i)10a a a az++-++-===++-为纯虚数，∴30310aa+=⎧⎨-≠⎩，可得3a=-.故答案为：3-.22．复数i1i-（i是虚数单位）的共轭复数是________．【答案】11i 22 --【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的共轭复数概念求解.【详解】因为复数()()()i1ii11i1i1i1i22+==-+--+，所以复数i1i-（i是虚数单位）的共轭复数是11i22--，故答案为：11i 22 --23．若复数i(1i)z=-，则||z=___________.试卷第9页，共35页【分析】根据复数乘法整理成复数一般形式，再由复数模的定义即可求得【详解】2i(1i)=i i 1i z =--=+，所以||z24．一颗标有数字16~的骰子连续郑两次，朝上的点数依次记为a b ､，使得复数()()i 4i a b b a +-为实数的概率是___________. 【答案】112【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有66⨯种结果，满足条件的事件是使复数()()i 4i a b b a +-为实数，进行复数的乘法运算，得到2b a =的结果，列举出所有情况，得到概率．【详解】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有6636⨯=种结果，满足条件的事件是使复数()()i 4i a b b a +-为实数，()()22i 4i 5(4)i a b b a ab a b +-=--，要使()()i 4i a b b a +-是一个实数，有2240a b -=，224a b ∴=，2b a ∴=，或2b a =-，因为0a >，0b >，所以2b a =有1a =，2b =；2a =，4b =；3a =，6b =，共有3种结果，∴由古典概型得到概率313612P ， 故答案为：112． 25．已知复数z 满足(2i)12i z ⋅+=+，则z =_______.【答案】43i 55+ 【分析】由复数的除法运算即可求解.【详解】由(2i)12i z ⋅+=+可得()()()()212i 2i 12i 23i 2i 43i 43i 2i 2i 2i 5555z +-++-+=====+++-， 故答案为：43i 55+. 26．已知复数()()22612i z a a a a =+-+--（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数=a _______．【答案】2【分析】根据题意得2260120a a a a ⎧+-=⎨--≠⎩，再解方程即可得答案. 【详解】解：因为复数()()22612i z a a a a =+-+--（i 为虚数单位）为纯虚数所以2260120a a a a ⎧+-=⎨--≠⎩，解得2a = 故答案为：227．已知复数32i z =+（i 为虚数单位），则2z 的虚部为______．【答案】12【分析】先求出2z ，然后可得其虚部，得到答案.【详解】由复数32i z =+，则()2232i 912i 4512i z +=+-=+=所以2z 的虚部为12故答案为：1228．已知i 是虚数单位，若()2i i ,1ia b a b +=+∈+R ，则()lg a b +的值为______. 【答案】0【分析】运用复数四则运算及复数相等的定义即可得解.【详解】 因为()()2i 212i i i 312i +-+-==+i i 3122a b =-=+， 所以31,,122a b a b ==-+=，()lg 0a b +=. 故答案为: 0试卷第11页，共35页29．已知a ∈R ，复数3(3i)(12i)z a =+--+的实部与虚部相等，则=a ___________.【答案】2【分析】根据复数的相关概念列式，解方程.【详解】因为3(3i)(12i)(31)7i z a a =+--+=++，所以317a +=，解得2a =，故答案为：2.30．设i 是虚数单位，若复数()i 1ia z a =+∈+R 是实数，则a 的值为______． 【答案】2【分析】根据复数的运算法则，将原复数式子化简，因为该复数是实数，故得到使得其虚部为0即可.【详解】 复数()()()1i i=i 1i 1i 1i a a z -=++++- 1i 22a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为原复数是实数，故得到1022a a -=⇒= 故答案为：2 31．在复平面上，A 、B 表示复数α、β)(0α≠对应的点，若)(1i βα=+，则AOB ∠=______． 【答案】4π 【分析】利用三角形式的复数除法表示即可得出答案.【详解】0α≠，)(1i βα=+，1i cos sin 44βππα⎫∴=+=+⎪⎭， ∴AOB ∠=4π.故答案为：4π 32．若1i -是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=______．【答案】4-【分析】将1i -代入方程可得()()2i 0p q p +-+=，即可求出.【详解】因为1i -是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，所以()()21i 1i 0p q -+-+=，即212i i i 0p p q -++-+=，整理得()()2i 0p q p +-+=， 所以020p q p +=⎧⎨+=⎩，解得22p q =-⎧⎨=⎩，则4p q ⋅=-. 故答案为：4-.33．已知i 是虚数单位，若复数()i 1i z =⋅+，则z =____________.【分析】化简复数，再代入模长计算公式即可.【详解】化简原式，得()2i 1i i i 1i =⋅+=+=-+z ，所以z =34．()()12i 34i +÷-=______. 【答案】12i 55-+ 【分析】根据复数的四则运算规则计算即可.【详解】根据复数的四则运算规则得，原式=()()()()12i 34i 12i 12i 12i 34i 34i 34i 555+++-+===-+--+ 故答案为：12i 55-+.试卷第13页，共35页 35．复数()i 1i +的虚部为______．【答案】1【分析】利用复数乘法计算公式化简后，即得复数的虚部.【详解】()2i 1i i i 1i +=+=-+，所以复数()i 1i +的虚部为1.故答案为：136．若复数z 满足：22240z az a -++=，且|z |a ＝_____．【答案】±1【分析】设z ＝x +y i (x ,y ∈R )是22240z az a -++=的一个根，由复数的性质可得i z x y =-是另外一个根，进而可得22||4z z z a =⋅=+，即可求a 的值．【详解】设z ＝x +y i (x ,y ∈R )是22240z az a -++=的一个根， ∴i z x y =-是22240z az a -++=的另一个根， 由22||4z z z a =⋅=+＝5，即a 2＝1，解得a ＝±1；故答案为：±1．37．已知复数z 满足：2i i 0z ++=（i 为虚数单位），则||z =___________.【分析】根据复数代数形式的乘除运算及共轭复数定义求出z ，再根据复数模的公式计算可得；【详解】解：因为2i i 0z ++=，所以2i i z +=-，所以()22i i 2i 12i i i z ++===-+--，所以12i z =--，所以z ==38．已知i 是虚数单位，复数3i 1i++＝______． 【答案】2i -##【分析】利用复数的除法法则化简复数3i 1i++即可求解. 【详解】 ()()()()23i 1i 3i 3i 3i i 2i 1i 1i 1i 2+-++--===-++-. 故答案为：2i -.39．设x ∈R ，记[]x 为不大于x 的最大整数，{}x 为不小于x 的最小整数．设集合{}|23,A z z z C =≤⎡⎤≤∈⎣⎦,{}{}|23,B z z z C =≤≤∈，则A B 在复平面内对应的点的图形面积是______【答案】5π【分析】 依题意表示出集合{}|24,A z z z C =≤<∈，{}|13,B z z z C =<≤∈，从求出A B ，再根据复数的几何意义求出复数z 的轨迹，即可得解；【详解】 解：依题意由23z ≤⎡⎤≤⎣⎦，所以24z ≤<，由{}23z ≤≤，所以13z <≤，所以{}{}|23,|24,A z z z C z z z C =≤⎡⎤≤∈=≤<∈⎣⎦，{}{}{}|23,|13,B z z z C z z z C =≤≤∈=<≤∈，所以{}|23,A B z z z C =≤≤∈设()i ,z x y x y R =+∈，由23z ≤≤，所以23≤≤，所以2249x y ≤+≤，所以复数z 再复平面内对应的点为在复平面内到坐标原点的距离大于等于2且小于等于3的圆环部分，试卷第15页，共35页所以圆环的面积()22325S ππ=-=故答案为：5π40．若|2|2z +=，则|14i |z --取值范围是______【答案】[3，7]【分析】根据复数的几何意义z 对应的点在以()2,0-为圆心，2为半径的圆上，求出z 对应的点到()1,4的距离的最值即可.【详解】根据复数的几何意义可得|2|2z +=表示z 对应的点在以()2,0-为圆心，2为半径的圆上，则|14i |z --表示z 对应的点到()1,4的距离，设为d ，则()2,0-到()1,4-5=，所以min 523d =-=，max 527d =+=，所以|14i |z --取值范围是[]3,7.故答案为：[]3,7.41．在复数范围内因式分解：41x -=______【答案】()())1i ((1i )x x x x +-+-【分析】利用二倍角公式及2i 1=-计算可得；【详解】解：()()()()()()()()422222111i 111i i x x x x x x x x x -=+-=--=+-+-故答案为：()()()()11i i x x x x +-+-42．设a ∈C ，a ≠0，化简：i 1i a a -+=______ . 【答案】－i【分析】根据复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()()22221i i 1i i i i i 1i 1i 1i 11a a a a a a a a a a a a -+------====-++-++，故答案为：－i.43．设m R ∈，如果复数2(i)(1i)m m ++是实数，则m =______【答案】1-【分析】根据复数代数形式的乘法及复数为实数的充要条件得到方程，计算可得；【详解】解：复数223(i)(1i)()(1)i m m m m m ++=-++是实数，310m ∴+=，解得1m =-，故答案为：1-．44．设a R ∈，复数134i z =-，22i z a =+，若12z z是纯虚数，则a =______ 【答案】83 【分析】 利用复数的除法运算化简求出12z z ，再根据纯虚数的定义即可求出. 【详解】因为134i z =-，22i z a =+， 则()()()()21222234i 2i 34i 36i 4i 8i 3846i 2i 2i 2i 444a z a a a a z a a a a a a -----+-+====-++-+++， 因为12z z 是纯虚数，所以2238044604a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪-+-≠+⎩=+，解得83a =. 故答案为：83. 45．设a ∈R ，若(3a 2-2a -1)＋(9a 2-1)i 是纯虚数，则a ＝______.【答案】1【分析】纯虚数实部为零，虚部不为零，据此可求a 的值.【详解】由题知2232101910a a a a ⎧--=⇒=⎨-≠⎩， 故答案为：1.46．已知复数(23)z i i =-，则复数z 的虚部为______【答案】3试卷第17页，共35页【分析】根据复数的除法运算法则，计算出复数z 的值，然后求出复数z 的共轭复数z ，最后写出z 的虚部.【详解】(23)23z i i i =-=--，23z i ∴=-+， 所以复数z 的虚部为3.，答案为：3.47．已知z C ∈，若()i 2z z z z +=-=，则z =______【答案】1i -##【分析】设i z a b =+，根据已知可求出,a b .【详解】设i z a b =+，则i z a b =-， 则22z z a +==，解得1a =， 由()i 2i i 22z z b b -=⋅=-=，解得1b =-.所以1i z =-.故答案为：1i -.48．计算：12i +=_______【分析】根据复数模的计算公式计算可得；【详解】解：12i =+49．复数512i 2i z -=+的实部为______. 【答案】0【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：512i 12i (12i)(2i)5i i 2i 2i (2i)(2i)5z -----=====-+++- 所以复数512i 2i z -=+的实部为0； 故答案为：050．已知复数z 满足()1i 34i z +=-（其中i 为虚数单位），则||z =________【分析】 将式子变形再运用复数的运算法则得到341712i i z i ---==+，根据复数模的公式求得结果即可.【详解】复数z 满足()1i 34i z +=-，变形得到()()()()134********i i i i z i i i -----===+-+||z =51．设i 为虚数单位，若复数()()12i 2i z =+-，则z 的实部与虚部的和为___________.【答案】7【分析】利用复数的乘法化简复数z ，即可求得结果.【详解】因为()()12i 2i 43i z =+-=+，因此，复数z 的实部与虚部之和为437+=. 故答案为：7.52．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=___________.【答案】2i -+【分析】根据复数的乘法运算求解即可.【详解】由题意知，12z i =+，则i i (12i)2i z ⋅=⋅+=-+，故答案为：2i -+53．已知复数z 的虚部为1，且||2z =，则z 在复平面内所对应的点z 到虚轴的距离为试卷第19页，共35页 ___________.【分析】由题意设z 对应点为(,1)x 且22||1z x =+，结合已知可得||=x ，即知z 在复平面内所对应的点z 到虚轴的距离.【详解】由题意，设z 对应点为(,1)x ，则22||14z x =+=，∴23x =，则||=x∴z 在复平面内所对应的点z54．在复平面xoy 内，复数12z ,z 所对应的点分别为12Z Z 、，对于下列四个式子：（1）2211 z z =；（2）1212z z z z ⋅=⋅；（3）2211OZ OZ =；（4）1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅，其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）【答案】（2）（3）【分析】结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案.【详解】221111i,2i,2z z z =+==，所以（1）错误.()()121,1,1,1Z Z -，12120,2OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅=，所以（4）错误. 设()()1212i,i,,,,z a b z c d Z a b Z c d =+=+，()12i z z ac bd ad bc⋅=-++=12z z ⋅2）正确. 222211OZ OZ a b ==+，所以（3）正确. 故答案为：（2）（3）55．设复数z 满足1z z =+，且11z z -+是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：z =___________.【答案】12- 【分析】设出复数z 的代数形式，由1z z =+求出z 的实部，然后由11z z -+是纯虚数列式即可计算作答.【详解】设()i ,z x y x y =+∈R ，由1z z =+，可得2222(1)x y x y +=++，解得12x =-， 又11z z -+是纯虚数，设1i(1z t t z -=∈+R 且0)t ≠，则31i i 22y ty t -+=-+，则3212ty y t ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得y =所以12z =-或12z =-.故答案为：12z =- 56．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列说法正确的是______． ①如果12z z R +∈，则12,z z 互为共轭复数；②如果复数12,z z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=； ③如果2z z =，则||1z =； ④1212z z z z =．【答案】④【分析】根据复数的概念，复数的模的定义判断．【详解】12i z =+，23i z =-时，125z z R +=∈，但12,z z 不是共轭复数，①错； 如11z =，2i z =，则可得1212z z z z +=-120z z ≠，②错； 当0z =时，20z z ==，③错；只有④正确（可证明如下：设12i,i z a b z c d =+=+（,,,a b c d R ∈）．12(i)(i)()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++===12z z=）故答案为：④．57．设m、n∈R，且2i1i1imn+=--（i为虚数单位），则im n+=_________．【答案】5【分析】利用复数相等可求得实数m、n的值，再利用复数的模长公式可求得结果.【详解】由已知可得()()()()2i1i1i11im n n n+=--=--+，得()112n mn-=⎧⎨-+=⎩，解得43mn=⎧⎨=-⎩，故i43i5m n+=-==.故答案为：5.58．设2i1iz-=+，则z=___________.【分析】根据题意，结合复数的乘除运算，以及模长公式，即可求解.【详解】根据题意，()()()()2i1i2i13i13i1i1i1i222z-⋅---====-++⋅-，故z=.59．已知复数z满足i1iz⋅=+(i是虚数单位)，则复数z的模等于_______.【分析】利用复数乘法运算求得z，进而求得z的模.【详解】i1iz⋅=+，()()()i i1i i,1i,z z z⋅⋅-=+⋅-=-60．设i是虚数单位，复数2i1iz=-，则z对应的点位于第_____象限【答案】二【分析】试卷第21页，共35页先利用复数的除法化简复数z ，再根据复数的几何意义求解.【详解】因为()()()2i 1i 1i 1i 1i z +==-+-+， 所以z 对应的点位于第二象限，故答案为：二61．复数(2i)1i z +=-，则z 的虚部是_________________． 【答案】35## 【分析】根据复数的运算求出复数z ，从而求复数z 的虚部.【详解】因为(2i)1i z +=-，所以()()()()1i 2i 1i 13i 13i 2i 2i 2i 555z ----====-++-， 所以z 的虚部是35. 故答案为：35. 62．若复数 z 满足13i 1i z +=-， 则 z =________．【分析】根据复数的运算法则，化简复数为12i z =-+，结合复数模的运算公式，即可求解.【详解】 由复数的运算法则，可得13(13)(1)24121(1i i i i i i i i )(1)2z ++⋅+-+====-+--⋅+，则z63．若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个根，则c =_______．【答案】3【分析】利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理求解即可．【详解】1是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，试卷第23页，共35页可知1是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，∴(1＝c ，∴c ＝3．故答案为：3．64．复数51i +的虚部是___________.【答案】1【分析】利用2i ＝－1即可计算﹒【详解】∵5221i 1i i i 1i ⋅⋅＋＝＋＝＋，∴51i +的虚部为1．故答案为：1．65．复数13i 3i-+的虚部是___________. 【答案】−1【分析】利用复数的除法运算计算即可.【详解】()()()()1331310i i 33310i i i i i i ----===-++- 复数13i 3i-+的虚部是−1 故答案为，−166．已知复数z 满足||1z =，则|2|z -的最大值为___________．【答案】3【分析】设i z a b =+，结合已知条件求出点(,)a b 在221x y +=上运动，然后将问题转化为点(2,0)到221x y +=上一点的最大距离，再利用圆的性质即可求解.【详解】不妨设i z a b =+，由||1z =可得，221a b +=，故点(,)a b 在221x y +=上运动，又因为22i z a b -=-+，所以|2|z -=(,)a b 与点(2,0)之间的距离，从而|2|z -的最大值为点(2,0)到221x y +=上一点的最大距离，又因为221x y +=是以圆心(0,0)，半径为1的圆，故圆心(0,0)与点(2,0)之间的距离2d ==，从而|2|z -的最大值为13d +=.故答案为：3.67．若复数z 满足1z z ⋅=，则|2i |z -的最大值是______.【答案】3【分析】设i,,z a b a b R =+∈，则221a b +=，根据复数几何意义知，|2i |z -表示在复平面内，(,)a b 到(0,2)的距离，从而求得最大值.【详解】设i,,z a b a b R =+∈，则221a b +=，根据复数几何意义知，|2i |z -表示在复平面内，(,)a b 到(0,2)的距离，则最大值为213+=，故答案为：368．复数i 1ia -在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】()0,+∞【分析】根据复数除法运算化简即可得出.【详解】 因为()2i 1i i 1i i i i 1a a a a ----===+-，又在复平面上对应的点位于第一象限，所以0a >. 故答案为：()0,+∞.69．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是12,z z ，则12=z z +__________．【答案】2试卷第25页，共35页【分析】由已知求得12,z z ,进一步求得12z z +.【详解】由题意可知,12i,2i z z ==-.所以()12i 2i 2z z +=+-=故答案为:2.70．若复数12z i =-（i 是虚数单位）是关于x 的方程()20x px q p q R ++=∈，的一个根，则p q +=__________.【答案】3【分析】把12i x =+代入方程20x px q ++=，化简方程，利用相等复数的概念得到p q 、的值，即得p q +的值.【详解】由复数12z i =+（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，所以()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++= 所以30420p q p +-=⎧⎨+=⎩，故3p q += 故答案为：371．已知复数z 满足i i z z+=，则z =_________. 【答案】11i 22- 【分析】利用给定等式用i 表示出复数z ，再进行复数除法运算即可得解.【详解】因复数z 满足i i z z+=，则i i z z =+，整理得(1i)i z -+=， 则i i (1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222z ⋅---====--+-+--， 所以11i 22z =-.故答案为：11i 22- 72．i 为虚数单位，若复数()()1i i 2m ++是纯虚数，则实数m 等于________．【答案】2【分析】计算求出复数，根据纯虚数的定义可得.【详解】()()()()2i 2i 2i 221i 1i i 2m m m m m =+-++++++=，因为()()1i i 2m ++是纯虚数，所以20210m m -=⎧⎨+≠⎩，解得2m =. 故答案为：2.73．设i 是虚数单位，计算：43i 12i +=-__________.【答案】12i +##【分析】 计算出43i +，再利用复数的运算法则进行计算【详解】()()()512i 43i 12i 12i 12i 12i ++===+--+ 故答案为：12i +74．i 是虚数单位，复数74i 12i+=+______ 【答案】32i -##【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】()()()()2274i 12i 74i 714i 4i 8i 1510i 32i 12i 12i 12i 14i 5+-+-+--====-++--， 故答案为：32i -.75．已知i 为虚数单位，则复数()()2i 1i z =+-的虚部为__________.【答案】1-.【分析】应用复数乘法化简复数，即可知虚部.试卷第27页，共35页【详解】由题设，()()2i 1i 3i z =+-=-，∴虚部为1-.故答案为：1-.76．设复数2cos isin 66z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么z 的共轭复数z 的代数形式是______．i【分析】计算i z =，再计算共轭复数得到答案.【详解】2cos isin i 6π6πz ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故i z .i .77．复数12的三角形式是______． 【答案】cos i 33πsin π+ 【分析】直接利用辅助角公式计算得到答案.【详解】1cos isin 233ππ+=+. 故答案为：cos i 33πsin π+. 78cos isin 3cos isin 121266ππππ⎫⎛⎫+⋅+⎪ ⎪⎭⎝⎭． 【答案】33i +##【分析】直接利用复数的三角运算性质求解即可【详解】原式cos isin 33i 126126ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 故答案为：33i +79．设12cos isin 33z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2sin icos 66z ππ⎫=+⎪⎝⎭，则12z z ⋅的三角形式为___________.22cos isin33ππ⎫+⎪⎭【分析】先将12,z z化简，然后计算12z z⋅，再转化为三角形式即可【详解】因为12cos isin133zππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，21sin i cos662zππ⎫⎫+==⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以12(1z z⎫⋅=⎪⎪⎝⎭2=+=12⎫-⎪⎪⎭22cos isin33ππ⎫=+⎪⎭，22cos isin33ππ⎫+⎪⎭80．已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．【答案】86i±+【分析】若复数iz a b+＝【详解】设6iz a+＝，则1010886iz a z⇒⇒±⇒±+＝＝＝﹒故答案为：86i±+81．设复数iz x y=+，x，y∈R，且x y=，则满足1z=的复数z共有______个．【答案】4【分析】方法一(代数运算)：联立方程组求解；方法二(几何意义)：利用复数的几何意义求解﹒试卷第29页，共35页【详解】方法一(代数运算)：由1z ＝，得221x y ＋＝．又x y ＝，联立，解得z ±＝， 故答案为：4方法二(几何意义)：由1z ＝，知复数z 在复平面内对应的点构成一个单位圆．又x y ＝，故复数z 在复平面内对应的点落在直线y x ±＝上，显然直线y x ±＝与单位圆有四个交点， 故答案为：482．若复数cos 1isin z θθ=++，则z 的最大值为______．【答案】2【分析】根据复数模的运算公式，结合余弦函数的性质进行求解即可.【详解】z =cos 1θ=时，max 2z =，故答案为：2 83．已知复数z 的实部为1，2z =，则z =______．【答案】1【分析】利用复数的模的概念即得.【详解】由题可设1i z b =+，又2z =，2，解得b =∴z =1.故答案为：1.84．已知复数z 满足实部为3，虚部为2-，则复数z 在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数是______．【答案】32i --＃＃2i 3--【分析】由题可得32i z =-，结合条件即得.【详解】由题可得32i z =-，∴复数z 在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数为32i --.故答案为：32i --.85．已知z C ∈，且i 1z +≤，则z 的取值范围为______.【答案】[]0,2【分析】将问题转化为到定点(0,1)的距离小于或等于1的动点所成图形，再应用数形结合法求z 的取值范围.【详解】若i z x y =+且,x y R ∈，则问题转化为到(0,1)的距离小于或等于1的动点(,)x y 所在区域， ∴(,)x y 在以(0,1)为圆心，半径为1的圆上或内，如下图示：∴z 的取值范围为[]0,2.故答案为：[]0,286．若复数z 满足：()3i i 2i z z z z -⋅++=+，则z =______.试卷第31页，共35页【答案】12-± 【分析】设()i ,z a b a b R =+∈，根据题设等量关系及复数的乘除运算可得22121a b a ⎧+=⎨=-⎩求a 、b ，写出复数z .【详解】设()i ,z a b a b R =+∈，原式化为222i 1i a b a ++=-，则221,21,a b a ⎧+=⎨=-⎩解得1,2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴12z =-.故答案为：12-± 87．当实数m =______时，复数()()223i 456i z m m m m =-+-++⎡⎤⎣⎦为纯虚数.【答案】4【分析】由纯虚数的概念可得22340560m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，求解即可. 【详解】由()223456i z m m m m =--+--为纯虚数，∴22340560m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得4m =. 故答案为：488．已知复数153i z =-，242i z =-+，那么12z z +的共轭复数为______.【答案】1i +##【分析】应用复数的加法及共轭复数的概念，即可得12z z +的共轭复数.【详解】1253i 42i 1i z z +=--+=-，∴12z z +的共轭复数为1i +.故答案为：1i +89．已知复数12i z =+，212i z =+在复平面内对应的点分别为A 、B ，则向量AB 对应的复数z 在复平面内所对应的点在第______象限.【答案】二【分析】由题设写出A 、B 的点坐标，进而得到AB 的点坐标，即可判断其对应点所在象限.【详解】由题意，(2,1),(1,2)A B ，故(1,1)AB =-，∴AB 对应的复数z 在复平面内所对应的点在第二象限.故答案为：二90．复数31i 1i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的值等于______. 【答案】i -【分析】根据复数的运算直接化简即可.【详解】 由()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2+++===--+， 故331i 1i i i +⎛⎫⎪⎭= ⎝=--， 故答案为：i -.91．复数()52i 34i -+的模为______.【答案】10【分析】由复数的乘法运算可得()52i 34i 2(3i 4)-+=--，再求模即可.【详解】()52i 34i 2(3i 4)-+=--，∴|2(3i 4)|210--==.故答案为：1092．在复平面内，复数53i z =--对应的点的坐标为______.【答案】()5,3--【分析】试卷第33页，共35页复数z ＝a ＋b i 对应的点为(a ，b )【详解】∵53i z =--，∴对应的点的坐标为(－5，－3)，故答案为：(－5，－3)93．复数isin 200cos100z =-︒+︒在复平面上对应的点在第______象限．【答案】二【分析】判断复数的实部和虚部的正负后可得．【详解】由已知cos100sin100︒=-︒<，sin 200sin 200-︒=︒>，实部小于0，虚部大于0，对应点在第二象限．故答案为：二．94．1001i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭______.【答案】1【分析】根据复数的除法和乘方运算规则计算即可得出结果.【详解】根据复数的运算规则知，()()()()100100100251i 1i 1i i 111i 1i 1i ⎡⎤+++⎛⎫====⎢⎥ ⎪--+⎝⎭⎢⎥⎣⎦故答案为：1.95．()()()1i 2i 33i -+-=______.【答案】612i -##【分析】根据复数的运算规则计算.【详解】根据复数的运算规则得，()()()()()1i 2i 33i 3i 33i 612i -+-=--=-故答案为：612i -.96．23i ÷=______.【答案】2i 3-## 【分析】根据复数的除法运算即可得出答案.【详解】 解：26i 2i 23i 3i 93-÷===-. 故答案为：2i 3-. 97．()()2i 12i +-+=______.【分析】利用复数的乘法运算即可求解.【详解】()()()()22i 12i 2i 4i 2i 2241i 43i +-+=--++=--+-=-+， 故答案为：43i -+.98．()()()2i 62i 56i +--++=______.【答案】19i +##【分析】直接根据复数的加减法运算计算即可得出答案.【详解】解：()()()()()2i 62i 56i 265126i 19i +--++=-++++=+. 故答案为：19i +.99．()()53i 53i -++=______.【答案】10【分析】根据复数的加法运算，即可求出结果.【详解】()()()()53i 53i 553i 3i 10-++=++-=.故答案为：10.100．已知1i +为方程20ax x b ++=（a ，b 为实数）的根，则a b +=____________. 【答案】32- 【分析】试卷第35页，共35页 利用根与系数关系求得,a b ，由此求得a b +.【详解】依题意1i ±是方程20ax x b ++=的根， 所以111i 1i 22a a ++-==-⇒=-， ()()1i 1i 21bb a +-==⇒=-， 所以32a b +=-. 故答案为：32-。

7.3.1 复数的三角表示式课后·训练提升1.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是3π2,则实数a 的值是( )A.1B.-1C.-√2D.-√3答案：B解析：∵z=(a+i)2=(a 2-1)+2ai,argz=3π2,∴{a 2-1=0,a <0,∴a=-1.2.复数-12+√32i 的三角形式是( )A.cos 60°+isin 60°B.-cos 60°+isin 60°C.cos 120°+isin 60°D.cos 120°+isin 120° 答案：D解析：r=1,cosθ=-12.因为与-12+√32i 对应的点在第二象限,所以可取θ=120°. 所以-12+√32i=cos120°+isin120°. 3.复数-sin 50°+icos 50°的辐角的主值是( ) A.50° B.320°C.40°D.140°答案：D解析：-sin50°+icos50°=cos140°+isin140°,则与之对应的点在第二象限,所以arg(-sin50°+icos50°)=140°.4.复数z=-3(cos π5-isin π5)(i 是虚数单位)的三角形式是( )A.3[cos (-π5)+isin (-π5)] B.3(cos π5+isin π5) C.3(cos 4π5+isin 4π5) D.3(cos6π5+isin6π5)答案：C解析：z=-3(cos π5-isin π5)=3(−cos π5+isin π5)=3[−cos (π−4π5)+isin (π−4π5)]=3(cos 4π5+isin4π5).故选C.5.已知复数z=√2+√6i,则arg 1z是( ) A.π3B.5π3C.π6D.11π6答案：B解析：∵z=√2+√6i, ∴1z =√2+√6i=√2-√6i8=√24(12-√32i). ∴arg 1z=5π3.故选B.6.设arg(3+4i)=θ,则arg(8-6i)为( ) A.2π-θ B.π2+θC.3π2-θD.3π2+θ答案：D解析：∵arg(3+4i)=θ, ∴cosθ=35,sinθ=45,0<θ<π2.设arg(8-6i)=α,则cosα=45,sinα=-35,3π2<α<2π.∴α=3π2+θ.7.设z=1+i,则复数z 2-3z+6z+1的三角形式是.答案：√2(cos7π4+isin7π4)解析：∵z=1+i,∴z 2-3z+6z+1=(1+i)2-3(1+i)+61+i+1=3-i2+i=1-i,∴r=√2,cosθ=√22.又与1-i对应的点在第四象限,∴arg(1-i)=7π4.∴1-i=√2(cos7π4+isin7π4).8.把下列复数表示为代数形式.(1)3(cosπ4+isinπ4);(2)√3(cos4π3+isin4π3);(3)2√2(cos7π6-isin7π6).解：(1)3(cosπ4+isinπ4)=3√22+3√22i.(2)√3(cos4π3+isin4π3)=-√32−32i.(3)2√2(cos7π6-isin7π6)=-√6+√2i.9.下列复数是不是三角形式?若不是,把它们表示成三角形式.(1)-sin θ-icos θ;(2)cos 60°+isin 30°.解：(1)不是.-sinθ-icosθ=cos(3π2-θ)+isin(3π2−θ).(2)不是.cos60°+isin30°=1 2+12i=√22(√22+√22)i=√2 2(cosπ4+isinπ4).10.求复数z=1+cos θ+isin θ(π<θ<2π)的模与辐角的主值. 解：z=1+cosθ+isinθ=2cos 2θ2+2i·sin θ2cos θ2=2cos θ2(cos θ2+isin θ2),∵π<θ<2π,∴π2<θ2<π,∴cos θ2<0.∴z=-2cos θ2(-cos θ2-isin θ2)=-2cos θ2·[cos (π+θ2)+isin (π+θ2)].∴|z|=-2cos θ2.又π2<θ2<π,∴3π2<π+θ2<2π,∴argz=π+θ2.。

人教A版高中数学必修第二册7.3*　复数的三角表示7.3.1　复数的三角表示式7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义基础过关练题组一　复数的三角形式及其与代数形式的互化)(3)z37π-isin6题组二　复数三角形式的乘、除运算6.已知复数z 1π12+2=3cos π6+isin π6,则z 1z 2的代数形式是( )π4+π12+isin12.(1)在复平面内画出复数z=1-i 对应的向量,并把z=1-i 表示成三角形式;(2)已知z 1=cos θ1+isin θ1,z 2=cos θ2+isin θ2,cos(π+θ1+θ2)=35,θ1,θ2∈0,试求z 1z 2.(结果表示为代数形式)题组三　复数三角形式乘、除运算的几何意义的应用13.(2024江苏南京师范大学附属中学期中)在复平面内,复数z=a+bi(a,b ∈R)和向量OZ =(a,b)一一对应.现把与复数1+2i 对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转90°,所得的向量对应的复数为( )A.-2+i B.-2-i C.2+i D.2-i14.(多选题)已知四边形OABC 为正方形,O 是坐标原点,且点B 在x 轴的上方,向量OA 对应的复数为2+i,则( )A.点B 对应的复数为1+3i B.向量OC 对应的复数为-1+2i C.向量BC 对应的复数为1+2i D.|AC |=1015.(2024上海建平中学期中)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,向量OA =-3cos π12,3sinπ12,将OA 绕点O 按顺时针方向旋转π4得到向量OB ,则点B 的坐标是 .答案与分层梯度式解析7.3*　复数的三角表示7.3.1　复数的三角表示式7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义基础过关练5.解析　(1)z 1=3cos π4+3sin i=322+322i.(2)z 2=3cos 4π3+i=-32-32i.(3)z 3=22cos 7π6-22sin i=-6+2i.6.D z 1z 2π12+isinπ6+isinπ4+isin =3+3i.故选D.7.B ∵1-3i=232i =2cos -+isin∴(1-3i)2022=22 022cos -20223π+isin -20223π=22 022.故选B.8.AD 设复数z 1=cos θ1+isin θ1,z 2=cos θ2+isin θ2,θ1,θ2∈R,因为OZ 1·OZ 2=0,所以OZ 1⊥OZ 2,即θ1-θ2=±π2+2kπ,k ∈Z,所以z 1z 2=cos θ1+isin θ1cos θ2+isin θ2=cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)=cos±±故选AD.9.答案　-12+32i解析　因为ω=-12+32i=cos 2π3+isin 2π3,所以ω10=cos2π3+isin=cos20π3+isin 20π3=cos 2π3+isin 2π3=-12+32i.10.答案　π3解析　∵z=3+i,∴z =3-i,∴zz =3+i 3-i==cos π3+isin π3,∴复数z=3+i 与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为π3.11.解析　(1)8cos4π3+isin×4cos5π6+=32++=32cos 13π6+isin cos π6+isin+12i =163+16i.(2)3(cos 225°+isin 225°)÷[2(cos 150°+isin 150°)]=32[cos(225°-150°)+isin(225°-150°)]=62(cos 75°+isin 75°)=+6+24i =3−34+3+34i.(3)4÷cos π4+isin=4cos-+isin-=22-22i.12.解析　(1)z=1-i在复平面内对应的点为(1,-1),所以z对应的向量如图所示.则90°)=(2+i)i=-1+2i,故B正确;由四边形OABC是正方形可知,BC对应的复数为AO对应的复数,即-(2+i)=-2-i,故C不正确; |AC|=|OB|=10,故D正确.故选ABD.15.答案　-3,2解析　设向量OA 对应的复数是z,则z=-3cos π12+3isin π12=3cos11π12+所以OB 对应的复数是zcos π4+isin π4=44=3cos +=3cos2π3+=-32+332i,所以点B 的坐标是-32。