最新11-12学年高中数学 1.7 定积分的简单应用同步练习 新人教A版选修2-2

定积分在几何中的应用课时演练·促提升A组1.如图,阴影部分的面积为()A.9B.C.D.解析:由求得两曲线交点为A(-2,-4),B(1,-1).结合图形可知阴影部分的面积为S=[-x2-(x-2)]d x=(-x2-x+2)d x=.答案:B2.若y=f(x)与y=g(x)是[a,b]上的两条光滑曲线的方程,则这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的平面图形的面积为()A.[f(x)-g(x)]d xB.[g(x)-f(x)]d xC.|f(x)-g(x)|d xD.解析:因为f(x),g(x)两条曲线上下位置关系不确定,故选C.答案:C3.已知函数y=x2与y=kx(k>0)的图象所围成的封闭区域的面积为,则k=()A.3B.2C.1D.解析:由消去y得x2-kx=0,所以x=0或x=k,则所求区域的面积为S=(kx-x2)d x=,则k3=27,解得k=3.答案:A4.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积S为()A. B. C. D.解析:作出曲线y=x2,y=x3的草图,所求面积即为图中阴影部分的面积.解方程组得曲线y=x2,y=x3交点的横坐标为x=0及x=1.因此,所求图形的面积为S=(x2-x3)d x=.答案:A5.由曲线y=x2+2与y=3x,x=0所围成的平面图形的面积为()A.4B.3C.2D.1解析:如图,由x2+2=3x,得x=1,或x=2,直线y=3x与抛物线y=x2+2的交点坐标为(1,3),(2,6), 所求的面积为S=(x2+2-3x)d x+(3x-x2-2)d x==1.答案:D6.曲线y=e x,y=e-x及x=1所围成的图形的面积为.解析:作出图形,如图所示.S=(e x-e-x)d x=(e x+e-x)=e+-(1+1)=e+-2.答案:e+-27.由正弦曲线y=sin x,x∈和直线x=π及x轴所围成的平面图形的面积等于.解析:如图,所围成的平面图形(阴影部分)的面积S=|sin x|d x=sin x d x-sin x d x=-cos x+cos x=2+1=3.答案:38.计算由抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围成的平面图形的面积.解法一:由得抛物线与直线的交点为P(1,-1),Q(9,3)(如图所示),所以S=-(-)]d x+d x=2d x+d x===10.解法二:抛物线和直线方程可改写为x=y2,x=2y+3,则S=(2y+3-y2)d y==10.9.计算由曲线y=x2+1,直线x+y=3以及两坐标轴所围成的图形的面积S.解:画出两函数的图象,如图所示:由又直线x+y=3与x轴交于点(3,0),∴S=(x2+1)d x+(3-x)d x==+1+.B组1.曲线y=sin x(0≤x≤π)与直线y=围成的封闭图形的面积为()A. B.2-C.2-D.解析:因为曲线y=sin x(0≤x≤π)与直线y=的交点的横坐标分别为x=及x=,所以所求图形的面积为d x=.答案:D2.由y=x2,y=,y=1所围成的图形的面积为()A. B. C.2 D.1解析:如图,y=1与y=x2交点A(1,1),y=1与y=交点B(2,1),由对称性可知面积S=2.答案:A3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与直线y=0在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为.解析:f'(x)=3x2+2ax+b⇒f'(0)=b⇒b=0,令f(x)=0⇒x=-a(a<0),=S==⇒a=-3.答案:-34.椭圆=1围成的面积是.解析:设椭圆在第一象限内围成图形的面积为S1,则由对称性,得椭圆面积S=4S1.在第一象限内椭圆方程可化为y=,故S1=d x=d x.而d x表示以5为半径的圆的面积,如图.从而d x=π·52=.故S1==5π,从而S=20π.答案:20π5.求正弦曲线y=sin x与余弦曲线y=cos x与直线x=-,x=围成的图形的面积.解:如图,画出y=sin x与y=cos x在上的图象,它们共有三个交点,分别为.在上,cos x>sin x,在上,sin x>cos x.∴面积S=(cos x-sin x)d x+(sin x-cos x)d x=2(sin x-cos x)d x=-2(sin x+cos x)=4.6.求曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.解:由定积分的性质与微积分基本定理,得S=S1+S2=(t2-x2)d x+(x2-t2)d x==t3-t3+-t2-t3+t3=t3-t2+,t∈(0,1),所以S'=4t2-2t,所以t=或t=0(舍去).当t变化时,S',S变化情况如下表tS'-0 +S↘极小值↗所以当t=时,S最小,且S min=.7.过原点的直线l与抛物线y=x2-4x所围成图形的面积为36,求l的方程.解:由题意可知直线的斜率存在,故设直线l的方程为y=kx, 则由(1)当k+4>0,即k>-4时,面积S=(kx-x2+4x)d x==k(k+4)2-(k+4)3+2(k+4)2=(k+4)3=36,∴k=2,故直线l的方程为y=2x.(2)当k+4<0,即k<-4时,S=(kx-x2+4x)d x==-=-(k+4)3=36,∴k=-10,∴直线l的方程为y=-10x.综上,所求直线l的方程为y=2x或y=-10x.。

1.7定积分的简单应用积为S 1.由直线x ＝a ，x ＝b ，曲线y ＝g(x )和x 轴围成的曲边梯形的面积为S 2.问题1：如何求S 1? 提示：S 1＝⎠⎛a b f(x)d x.问题2：如何求S 2? 提示：S 2＝⎠⎛ab g(x)d x.问题3：如何求阴影部分的面积S? 提示：S ＝S 1－S 2.平面图形的面积由两条曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )和直线x ＝a ，x ＝b (b >a )所围图形的面积．(1)如图①所示，f (x )>g (x )>0，所以所求面积S ＝⎠⎛ab d x .(2)如图②所示，f (x )>0，g (x )<0，所以所求面积S ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b＝⎠⎛ab d x .相交曲线所围图形的面积求法如下图，在区间上，若曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )相交，则所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛ac d x ＋⎠⎛c b－＝⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .问题：在《1.5.2 汽车行驶的路程》中，我们学会了利用积分求物理中物体做变速直线运动的路程问题，利用积分还可以解决物理中的哪些问题？提示：变力做功．1．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间上的定积分，即s ＝⎠⎛ab2．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为W ＝⎠⎛ab F(x )d x.求变速直线运动的路程的注意点对于给出速度－时间曲线的问题，关键是由图象得到速度的解析式及积分的上、下限，需要注意的是分段解析式要分段求路程，然后求和．计算曲线由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x2－2x ＋3，解得x ＝0或x ＝3.如图．因此所求图形的面积为S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x3＋32x23＝92.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限； (3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图象上、下位置； (4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求曲线y ＝e x，y ＝e －x及x ＝1所围成的图形面积．解：作图，并由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ex ，y ＝e －x ，解得交点(0,1)． 所求面积为⎠⎛01(e x－e －x)d x ＝(e x ＋e －x)1＝e ＋1e－2.先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一：选x 为积分变量，变化区间为，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022xd x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x＝423x322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫223x －12x2＋4x 82＝18.法二：选y 作积分变量，则y 的变化区间为，如图得所求的面积为 S ＝⎠⎛－42⎝ ⎛⎭⎪⎫4－y －y22d y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4y －12y2－16y324－＝18.需分割的图形的面积的求法由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线不同．求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．试求由抛物线y ＝x 2＋1与直线y ＝－x ＋7以及x 轴、y 轴所围成图形的面积．解：画出图形(如下图)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2＋1，y ＝－x ＋7，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝10(舍去)，即抛物线与直线相交于点(2,5)．于是所求面积为S ＝⎠⎛02(x 2＋1)d x ＋⎠⎛27(7－x)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3＋x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫7x －12x272＝143＋252 ＝1036.A ，BC 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，速度为(24－1.2t ) m/s ，经t s 后，在B 点恰好停车．试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离． (1)设A 到C 的时间为t 1， 则1.2t 1＝24，t 1＝20 s ，则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t220＝240(m)．(2)设D 到B 的时间为t 2， 则24－1.2t 2＝0，t 2＝20 s ， 则DB ＝⎠⎛020 (24－1.2t )d t求变速直线运动的路程、位移应关注三点(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．一点在直线上从时刻t ＝0(单位：s )开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(单位：m /s )运动，求： (1)在t ＝4 s 时的位置； (2)在t ＝4 s 时运动的路程． 解：(1)在t ＝4 s 时该点的位移为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3－2t2＋3t 40＝43(m )， 即在t ＝4 s 时该点距出发点43m .(2)∵v(t)＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， ∴在区间及上v(t)≥0， 在区间上，v(t)≤0. ∴在t ＝4 s 时的路程为s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3－2t2＋3t 10－⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3－2t2＋3t 31＋13t 3－2t 2＋3t43＝4(m )， 即在t ＝4 s 时运动的路程为4 m .一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力­位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0 m 处运动到x ＝4 m 处力F (x )做的功．由力­位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0≤x≤2，3x ＋4，2＜x≤4，因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功为W ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x2＋4x 42＝46(J)．解决变力做功应关注两点(1)首先将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步； (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．解：设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意F (x )＝kx ，且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，解得即0.05k ＝100，∴k ＝2 000， ∴F (x )＝2 000x .∴将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为W ＝⎠⎛00.152 000x d x ＝1 000x 2.015＝22.5(J)．4.利用定积分求面积的策略由抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积为( ) A ．16－3223B ．16＋3223C.403D.403＋3223由题意，作图形如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝＞，x ＋y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0的交点坐标为(2,4)．法一：(选y 为积分变量)S ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫6－y －18y2d y＝⎝⎛⎭⎪⎫6y －12y2－124y340＝24－8－124×64＝403.法二：(选x 为积分变量)S ＝⎠⎛02(8x)d x ＋⎠⎛26(6－x )d x＝8×23x 322＋⎝⎛⎭⎪⎫6x －12x262＝163＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫6×6－12×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－12×22＝403.C1．本题易搞错被积函数及积分上、下限，误认为S ＝⎠⎛04－x －8x)d x ，从而得出S ＝16－3223的错误答案．2．求平面图形面积时，应首先求出交点坐标，确定积分上、下限，然后确定被积函数，判定积分的正负，用公式求解面积．如本例法一中的被积函数为f(y)＝6－y －18y 2，y ∈(0,4]，法二中的被积函数为f(x)＝⎩⎨⎧8x ，，2]，6－x ，，6].3．利用定积分求面积时，应根据具体问题选择不同的方法求解，常见类型有以下几种： (1)换元积分：当两区域所围成图形纵坐标一致时，换元变成对y 积分可简化运算．如本例中的法一． (2)分割求和：当两曲线处于不同区间时，可分割成几块，分别求出面积再相加，如本节例2的求解法．事实上，本例中的法二就是分割求和．(3)上正下负：若a ≤x ≤c 时，f(x)＜0，则⎠⎛a c f(x)d x ＜0；若c ≤x ≤b 时，f(x)≥0，则⎠⎛cb f(x)d x ≥0.此时曲线y ＝f(x)和直线x ＝a ，x ＝b(a ＜b)及y ＝0所围图形的面积是 S ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛ac ＋⎠⎛c b f(x)d x ＝－⎠⎛ac f(x)d x ＋⎠⎛c bd x.例：求正弦曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π2和直线x ＝0，x ＝3π2及y ＝0所围图形的面积S .解：作出曲线y ＝sin x 和直线x ＝0，x ＝3π2，y ＝0的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．由图可知，当x ∈时，曲线y ＝sin x 位于x 轴的上方； 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2时，曲线位于x 轴下方． 因此，所求面积应为两部分的和，即S ＝π⎰32|sin x |d x ＝⎠⎛0πsin x d x －ππ⎰32sin x d x ＝－cos xπ＋cos xππ32＝3.(4)上下之差：若在区间上f (x )＞g (x )，则曲线f (x )与g (x )所围成的图形的面积S ＝⎠⎛a b d x .例：求由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围图形的面积S .解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝x ，y ＝x3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01xd x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 321－14x 41＝512.1．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．22B ．4 2 C ．2 D ．4解析：选D 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02－＝⎝⎛⎭⎪⎫2x2－14x42＝4.2．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在3 s ～6 s 间的运动路程为( )A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 m解析：选B s ＝⎠⎛36 (3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t2＋2t 63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m)．3．(天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2，y ＝x 得A(1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－13x3⎪⎪⎪10＝16. 答案：164．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析：由已知得S ＝⎠⎛0a xd x ＝23x 32a＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49. 答案：495．一物体在变力F (x )＝36x2(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8处运动到x ＝18处，求力F (x )在这一过程中所做的功．解：由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x －1188＝(－36×18－1)－(－36×8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)．从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52 J.一、选择题1．用S 表示下图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A .⎠⎛a c f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛acC.⎠⎛a b f(x)d x ＋⎠⎛bc f(x)d x D .⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x解析：选D 由图可知，x 轴上方阴影部分的面积为⎠⎛b c ，x 轴下方阴影部分的面积为－⎠⎛ab f (x )d x ，故D 正确． 2．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围图形的面积等于( ) A.⎠⎛－11(x －x 3)d x B.⎠⎛－11(x 3－x )d x C ．2⎠⎛01(x －x 3)d xD ．2⎠⎛－10(x －x 3)d x解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x3，求得直线y ＝x 与曲线y ＝x 3的交点分别为(－1，－1)，(1,1)，(0,0)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .3．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3 解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分∫π3－π3cos x d x ＝sin x π3－π3＝ 3. 4．一质点运动的速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则它在时间内的位移为( )A.176B.143C.136 D.116解析：选A 质点在时间内的位移为⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t3－12t2＋2t 21＝176. 5．由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( ) A.23 B ．1 C.43 D.53解析：选B S ＝⎠⎛0－1(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－12x20－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－13x310＝1.二、填空题6．曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为________．解析：由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为∫5π6π6sin x －12d x ＝－cos x －12x 5π6π6＝3－π3.答案：3－π37．物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ；v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上，物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t 的速度与A 同向运动，则两物体相遇时物体A 运动的距离为________m.解析：设t ＝a 时两物体相遇，依题意有⎠⎛0a (3t 2＋1)d t －⎠⎛0a 10t d t ＝(t 3＋t )a 0－5t 2a 0＝5，即a 3＋a －5a 2＝5，(a －5)(a 2＋1)＝0，解得a ＝5，所以⎠⎛05(3t 2＋1)d t ＝53＋5＝130.答案：1308．有一横截面面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t s 末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)，则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________．解析：由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝⎠⎛064(6t －t 2)d t ＝4⎠⎛6(6t －t 2)d t ＝4⎝⎛⎭⎪⎫3t2－13t360＝144(cm 3)．故t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为144 cm 3. 答案：144 cm 3三、解答题9．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围图形的面积S .解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2，y ＝x 得A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2，y ＝2x 得B (2,4)．如图所示，所求面积(即图中阴影部分的面积)为S ＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12－x 2)d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12－x 2)d x ＝12x 210＋⎝⎛⎭⎪⎫x2－13x321＝76.10．有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．(1)点P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； (2)求点P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值． 解：(1)由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动； 当t >4时，P 点向x 轴负方向运动．最新中小学教案、试题、试卷故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝⎛⎭⎪⎫4t2－23t340－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t2－23t364＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t2－23t360＝0. (2)依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，而t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况， ∴t ＝6是所求的值．。

人教新课标A版选修2-2数学1．7定积分的简单应用同步练习（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分） (2016高三上·承德期中) 如图，阴影部分的面积是（）A . 2B . ﹣2C .D .2. （2分）由直线，及ｘ轴围成平面图形的面积为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二下·六安月考) 曲线与所围图形的面积为（）A .B .C .D .4. （2分）已知自由下落物体的速度为V=gt，则物体从t=0到t0所走过的路程为（）A . gt02B . gt02C . gt02D . gt025. （2分）下列定积分值是0的是（）A . xsinxdxB . x2cosxdxC . (x2＋x4)dxD . 2(x3＋5x5)dx6. （2分）直线y=x与抛物线y=x(x+2)所围成的封闭图形的面积等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·洛阳期末) 计算：（x3﹣）dx=（）A . ﹣2B . ﹣C .D . 28. （2分） (2019高三上·清远期末) 如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二上·集宁期末) 由曲线与直线x=4，y=0围成的曲边梯形的面积为（）A .B .C .D . 1610. （2分） (2020高二下·吉林期中) （）A . 4B . 1C .D .11. （2分） (2020高二下·吉林期中) 曲线所围成图形的面积是（）A . 1B .C .D .12. （2分）在平面直角坐标系中，由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线y=ex以及该曲线在x=a（a≥1）处的切线所围成图形的面积是（）A . eaB . ea﹣1C . eaD . ea﹣113. （2分）由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（）A .B .C .D .14. （2分）根据工作需要，现从4名女医生，a名男医生中选3名医生组成一个救援团队，其中a= xdx，则团队中男、女医生都有的概率为（）A .B .C .D .15. （2分） (2020高三上·贵州月考) 已知，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2020高二下·吉林期中) 曲线与直线所围成的区域的面积为________．17. （1分） (2018高二下·惠东月考) 定积分的值为________.18. （1分） (2019高二下·上饶月考) ________19. （1分） (2019高三上·佛山月考) 已知曲线与的图象所围成的阴影部分面积为________.20. （1分） (2018高二下·大庆月考) ________三、解答题 (共5题；共40分)21. （5分） (2020高二下·宾县期末) 计算由曲线，所围图形的面积S.22. （5分） (2018高二下·大庆月考) 计算由直线曲线以及轴所围图形的面积。

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）1.7 定积分的简单应用一、选择题1．由直线0,e,2y x y x ===及曲线xy 2=所围成的封闭的图形的面积为（） A ．2ln 23+ B ．3 C ．22e 3- D ．e2.定积分的值是（）A ．B ．C ．2D ．3．如图，抛物线的方程是21y x =-，则阴影部分的面积是（ ）A.220()1x dx -⎰ B.|220()1x dx -⎰| 0|sin cos |x x dx π⎰-22+22-22C.220||1x dx ⎰－ D.122201)(11()x dx x dx ⎰⎰－＋－ 4．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）A. 1B. 2C. π2D. π 5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251t+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 ( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 6．设，则的值为（） A. B. C. D. 二、填空题7．若，则的值是______． 8．如图阴影部分是由曲线21,y y x x ==与直线2,0x y ==围成，则其面积为________．()[)[]221,1,11,1,2x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩()21f x dx -⎰423π+32π+443π+34π+11(2)3ln 2(1)a x dx a x+=+>⎰a三、解答题9．一质点做直线运动，其瞬时加速度的变化规律为()2cos a t A t ω=-，在t =0时，v (0)=0，s (0)=A ，其中A 、ω为常数，求质点的位移方程.10．已知()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+（1）求()f x 的解析式．（2）求曲线()y f x =与曲线241y x x =--+所围成的图形的面积．。

高中数学学习资料金戈铁骑整理制作定积分的简单应用一、选择题1．由直线 y 0, xe, y 2x 及曲线 y2所围成的封闭的图形的面积为（）xA ． 3 2 ln 2B． 3C． 2e 23D． e【答案】 B【剖析】 S1 e 2x2 1 2ln xe ，应选 B ．2xdxdx131x2. 定积分| sin x cos x | dx 的值是（）A ． 2 2B ． 2 2C ．2 D． 2 2【答案】 D【剖析】| sin x cos x | dx4cosx sin x dxcos x sin x dx4sin x cosx |04sin x cosx |2 2 ，应选 D ．43．如图，抛物线的方程是y x21，则阴影部分的面积是（）2( x2 1)dx B.|2A.( x2 1)dx |002| x2－1 |dx12( x2－1)dxC. D.( x2－1)dx＋100【答案】 C1222.－＋【剖析】由图形可知阴影部分的面积为－(1x )dx( x 1)dx01212而| x2－1|dx＝ (1－ x2 )dx＋ ( x2－1)dx .应选C.0014．如图，阴影地域是由函数y cos x 的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影地域的面积是（）A.1B.2C.ππD.2【答案】Ｂ【剖析】依照余弦函数的对称性可得，曲线从 x ππx 轴围成的面积与从xπ3π到 x与到 x与 x 2222ππ轴围成的面积相等，∴阴影部分的面积S2πcosxdx sin x 2π 2 ，应选B．225．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v( t )＝7－3t ＋25( t的单位：s，v1t的单位： m/s) 行驶至停止．在此期间汽车连续行驶的距离( 单位： m)是 ( )A ． 1＋ 25ln 5B． 8＋ 25ln11 ． 4＋ 25ln 5D． 4＋50ln 2C3【答案】 C【剖析】令v ( t ) ＝ 0 得 t ＝ 4 或 t ＝－8( 舍去 ) ，∴汽车行驶距离 s ＝(7 3t25)dt ＝[7 t － 3t 2＋431 t225ln(1 ＋ t )] 04＝ 28－24＋ 25ln 5 ＝ 4＋ 25ln 5.1 x2 , x 1,1 2 6．设 f x，则f x dx 的值为（）x 2 1,x1,21A.4B.3 C.433 4 D.2234【答案】 A21 21 x 2，得【剖析】由已知得，f ( x)dx1 x2 dx( x 21)dx ，令 y111x 2 y 21 y 0 ，知曲线 y1 x2 是以坐标原点为圆心， 1 为半径的圆处在 x 轴上方部分的半圆，由定积分的几何意义知 1 1 x 2dx1 π 12 1π，1221)dx ( 1x3又(x2x) |12(1 23 2) (1131)4 ，2133332 1 1 x 2dx2 2 1)dxπ4，应选 A ．1 f (x) dx(x1123二、填空题a1)dx 3 ln 2(a 1) ，则 a 的值是 ______．7．若 (2x1x【答案】 2a1) dx( x2ln x) |1a a2ln a1a2 1 3【剖析】由(2 x 3 ln 2 ，得，1x ln a ln 2所以 a 2 ．8．如图阴影部分是由曲线y1, y2x 与直线 x2, y0 围成，则其面积为________．x【答案】2ln 2 3【剖析】由题图知， S12 123122．xdx dx3x 2|0ln x |1ln 20 1x3三、解答题9．一质点做直线运动，其瞬时加速度的变化规律为a t A2 cos t ，在t=0时，v(0)=0，s(0)=A，其中A、ω为常数，求质点的位移方程.t tA2sin t |0t A 2sin t .【剖析】 v t v 0a(t)dt( A 2 cost) dt ，∴v t00∴ s t s 0t t2sin t)dt ，∴s t A A2cost A 2. v(t) dt( A00∴s t A A 2cost A 2.∴质点的位移方程为s t A A 2 cost A 2，t∈［0，+∞).10．已知y f ( x) 是二次函数，方程 f ( x) 0 有两个相等的实根，且 f (x) 2x2（ 1）求f ( x)的剖析式．（ 2）求曲线y f (x) 与曲线y x2 4 x 1所围成的图形的面积．【剖析】（1）设f ( x)ax 2bx c (a 0) ．由题意得b24ac0,2ax b 2x2,a 1,b 2,c 1， f (x) x22x 1 .y x22x1,（ 2）由x24x x3 或x 0.y1S 04x 1) ( x22x 1)]dx (2x33x2 ) |0 [( x23＝9. 33。

定积分的简单应用一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积为( )A.⎠⎛a b f (x )d xB.⎠⎛a b g (x )d xC.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x[答案] C[解析] 由题图易知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )>g (x )，所以阴影部分的面积为⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .2．如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353[答案] C[解析] S ＝⎠⎛1－3(3－x 2－2x )d x即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－1－13＝53，F (－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x[答案] C[解析] y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C.4．设f (x )在[a ，b ]上连续，则曲线f (x )与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成图形的面积为( ) A.⎠⎛a b f (x )d xB ．|⎠⎛ab f (x )d x |C.⎠⎛ab |f (x )|d xD ．以上都不对[答案] C[解析] 当f (x )在[a ，b ]上满足f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )d x <0，排除A ；当阴影有在x 轴上方也有在x 轴下方时，⎠⎛ab f (x )d x 是两面积之差，排除B ；无论什么情况C 对，故应选C.5．曲线y ＝1－1681x 2与x 轴所围图形的面积是( )A ．4B ．3C ．2D.52[答案] B[解析] 曲线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，0故应选B.6．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( )A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m[答案] B[解析] S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)| 30＝33＋32＝36(m)，故应选B.7．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14 C.13D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112.8．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8JB ．10JC ．12JD ．14J[答案] D[解析] 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14(J)，故应选D.9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )A.12B ．3－32 2C ．6＋3 2D ．6－3 2[答案] D [解析] ⎠⎛3636tdt ＝66t | 63＝6－32，故应选D.10．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝±axB ．y ＝axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax[答案] B[解析] 设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y ＝x 2－2ax 得交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2) 图形面积S ＝∫2a ＋k[kx －(x 2－2ax )]d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33| 2a ＋k 0＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33＝(2a ＋k )36＝92a 3∴k ＝a ，∴l 的方程为y ＝ax ，故应选B. 二、填空题11．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是________． [答案] 18[解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝x －4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S ＝⎠⎛4－2(y ＋4－y 22)d y取F (y )＝12y 2＋4y －y 36，则F ′(y )＝y ＋4－y22，从而S ＝F (4)－F (－2)＝18.12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．13．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．[答案] 43[解析] 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2(⎠⎛01x 2d x＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x )＝43.14．一变速运动物体的运动速度v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)a t(1≤t ≤2)b t (2≤t ≤e )则该物体在0≤t ≤e 时间段内运动的路程为(速度单位：m/s ，时间单位：s)______________________． [答案] 9－8ln2＋2ln2[解析] ∵0≤t ≤1时，v (t )＝2t ，∴v (1)＝2； 又1≤t ≤2时，v (t )＝a t， ∴v (1)＝a ＝2，v (2)＝a 2＝22＝4； 又2≤t ≤e 时，v (t )＝bt， ∴v (2)＝b2＝4，∴b ＝8.∴路程为S ＝⎠⎛012t d t ＋⎠⎛122td t ＋⎠⎛2e 8td t ＝9－8ln2＋2ln2 .三、解答题15．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3y ＝x 2－2x ＋3解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2| 30＝92.16．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根． ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意有⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛0－t (x 2＋2x ＋1)d x ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x | －t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x | 0－t 即－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t .∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1，∴t ＝1－132.17．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t (m/s)，到C 点的速度达24m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间． [解析] (1)设A 到C 经过t 1s ， 由1.2t ＝24得t 1＝20(s)，所以AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2| 200＝240(m)．(2)设从D →B 经过t 2s ， 由24－1.2t 2＝0得t 2＝20(s)， 所以DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝240(m)． (3)CD ＝7200－2×240＝6720(m)． 从C 到D 的时间为t 3＝672024＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．18．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：(1)切点A 的坐标； (2)过切点A 的切线方程．[解析] 如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，S ＝S 曲边△AOB －S △ABC . S 曲边△AOB ＝∫x 00x 2d x ＝13x 30， S △ABC ＝12|BC |·|AB | ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30，即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.所以x 0＝1，从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1.。

高中数学 1.7.1定积分在几何中的应用课时作业 新人教A 版选修22课时目标 进一步理解定积分的概念和性质，能应用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积．1．设由一条曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a <b )及y ＝0所围成的平面图形的面积为S . (1)如果f (x )>0，那么S ＝ʃba f (x )d x ；(2)如果f (x )<0，那么S ＝|ʃba f (x )d x |＝－ʃba f (x )d x ； (3)如果a ≤x ≤c 时，f (x )≤0；c <x ≤b 时，f (x )>0，那么S ＝|ʃc a f (x )d x |＋ʃb c f (x )d x ＝－ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x .2．下面4个图形中阴影的面积用定积分可表示为：(1)________________；(2)________________； (3)________________；(4)________________．一、选择题1．将由y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π，y ＝0所围图形的面积写成定积分形式为( )A ．ʃπcos x d x B ．20π⎰cos x d x ＋|2ππ⎰cos x d x |C ．ʃπ02sin x d x D ．ʃπ02|cos x |d x 2．如图，阴影部分面积为( )A ．ʃca [f (x )－g (x )]d xB ．ʃc a [g (x )－f (x )]d x ＋ʃbc [f (x )－g (x )]d x C ．ʃc a [f (x )－g (x )]d x ＋ʃbc [g (x )－f (x )]d x D ．ʃbc [g (x )－f (x )]d x3．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x 及x 轴所围图形的面积为( )A.154B.174C.12ln2 D ．2ln2 4．由曲线y ＝x 3、直线x ＝－2、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积是( ) A ．ʃ2－2x 3d x B ．|ʃ2－2x 3d x | C ．ʃ2－2|x 3|d x D ．ʃ20x 3d x ＋ʃ0－2x 3d x5．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，则c 等于( )A.13B.12 C ．1 D.23题 号 1 2 3 4 5 答 案6．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________． 7．直线x ＝k 平分由y ＝x 2，y ＝0，x ＝1所围图形的面积，则k 的值为________． 8．设函数f (x )的原函数F (x )是以T 为周期的周期函数，若ʃT a f (x )d x ＝μ，则ʃα＋TT f (x )d x ＝________. 三、解答题9．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成的图形的面积．10.如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．能力提升11．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.71212．在曲线y＝x2 (x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为112.求切点A的坐标以及切线方程．1．明确利用定积分求平面图形面积的步骤，会将曲线围成的曲边梯形的面积表示成定积分的形式，并能求出面积．求解时一般先画出草图，确定积分变量，求交点确定积分上、下限，再利用定积分求得面积．特别地要注意，当所围成的图形在x轴下方时，求面积需对积分取绝对值．2．已知平面图形的面积，可以确定函数的解析式或讨论函数的某些性质．答案知识梳理2．(1)ʃb a[f(x)－g(x)]d x(2)ʃb a[f(x)－g(x)]d x(3)ʃd c[f(y)－g(y)]d y(4)ʃd c[f(y)－g(y)]d y作业设计1．B [定积分可正，可负，但不论图形在x轴上方还是在x轴下方面积都是正数，故选B.]2．B3．D [所求面积212⎰1xd x＝ln x |212＝ln 2－ln 12＝2ln 2.] 4．C5．B [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝cx3，得x ＝0或x ＝1c(c >0)．则围成图形的面积S ＝10c ⎰(x 2－cx 3)d x ＝23，可求得c ＝12.]6.193解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4y ＝5x ，得x ＝1或x ＝4.所求面积为S ＝ʃ10(x 2＋4－5x )d x ＋ʃ41(5x －x 2－4)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋4x －52x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－4x |41＝193.7.342解析 作平面图形，如右图所示．由题意，得ʃk 0x 2d x ＝12ʃ10x 2d x即13x 3|k 0＝16x 3|10. ∴13k 3＝16，k ＝342. 8．－μ解析 ʃa ＋TT f (x )d x ＝F (x )|a ＋TT＝F (a ＋T )－F (T )＝F (a )－F (T )＝－μ. 9.解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0或x ＝3.∴S ＝ʃ30(x ＋3)d x －ʃ30(x 2－2x ＋3)d x ＝ʃ30[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝ʃ30(－x 2＋3x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2|30＝92. ∴所围成的图形的面积为92.10．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S2＝ʃ1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k 0＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－312＝1－342.11．A [由题可知y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为ʃ10(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4|10＝13－14＝112.] 12．解由题意可设切点A 的坐标为(x 0，x 20)，则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，可得切线与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.画出草图，可得曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 0x －x 20与x 轴所围图形如图所示．故S ＝S 1＋S 2 ＝020x ⎰x 2d x ＋()00002200222x x x x x dx x x x dx --⎰⎰＝13x 3|020x ＋13x 3|002x x －(x 0x 2－x 20x )|002x x ＝x 3012＝112，解得x 0＝1，所以切点坐标为A (1,1)， 所求切线方程为y ＝2x －1.。

1.7 定积分的简单应用—高二数学人教A 版2-2同步课时训练1.如图，由曲线21y x =-，直线0x =，2x =和x 轴围成的封闭图形的面积是( )A.1B.23C.43D.22.如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点，则该点恰好取自阴影部分的概率为( )A.114π2-B.16C.14D.112π-3.已知曲线2y x =和曲线y x =围成一个叶形图(如图中阴影部分),则其面积为( )A.1B.13C.22D.124.如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线()sin 0,π(())f x x x ∈=及直线((0,))πx a a =∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若该点落在阴影部分的概率为316，则a 的值为( )A.7π12B.2π3C.34πD.5π65.如图由曲线21y x =+，直线3x y +=以及两坐标轴的正半轴围成的图形的面积S =（ ）A.73B.83C.3D.1036.有曲线2y x =，直线2y x =-所围成的图形的面积为( ) A.43B.196C.236D.927.已知曲线2y x =和曲线y x =围成一个叶形图(如图中阴影部分),则其面积为( )A. 1B. 122 D. 138.已知函数2cos y x =，[]0,2x π∈和2y =的图像围成的一个封闭的平面图形的面积是（ ） A ．4πB ．2πC ．4D ．29.曲线e x y =，e x y -= 和直线1x =围成的图形面积是( ) A ．1e e --B ．1e e -+C ．1e e 2---D ．1e e 2-+-10.求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．120()s x x dx =-⎰ B ．120()s x x dx =-⎰C ．10() s y y dy =-⎰ D ． 1() s y y dy =-⎰11.由曲线2y x =，直线y x =及y 轴所围成的图形的面积为___________. 12.已知曲线2y x =与直线(0)y kx k =>所围成的曲边图形的面积为43，则k =_________13.由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为______ 14.已知函数()f x 为一次函数，若函数()f x 的图象过点(1,3)，且3021()2f x dx =⎰. (1)求函数()f x 的表达式；(2)若函数2()g x x =，求函数()f x 与()g x 的图象围成图形的面积15.已知函数32()1f x x x x =-++,求其在点(1,2)处的切线与函数2()g x x =围成的图形的面积.答案以及解析1.答案：D解析：由曲线21y x =-，直线0x =，2x =和x 轴围成的封闭图形的面积为：12223131000111281(1)d (1)d ()|()|21233333S x x x x x x x x =-+-=-+-=+--+=⎰⎰，故选D. 2.答案：B解析：阴影面积12231100111()()236s x x dx x x =-=-=⎰，正方形面积1s =， ∴所求的概率116s p s==，故选：B 3.答案：B解析：1323120211()()|333S x x dx x x ==-=⎰,故选B 4.答案：B解析：由题意知，阴影部分的面积为00sin ?d (cos )cos cos01cos aax x x a a =-=-+=-⎰，根据几何概型的概率计算公式知1cos 3816a a a-=⋅，即1cos 2a =-，而(0,π)a ∈，故2π3a =，故选B. 5.答案：D解析：如图所示，解方程组213y x x y ⎧=+⎨+=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩或25x y =-⎧⎨=⎩.30()S f x dx ∴=⎰，其中21(01)()3(13)x x f x x x ⎧+≤≤=⎨-<≤⎩.()133213201011(3)332x x S x dx x dx x x ⎛⎫⎛⎫∴=++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 191110193332233⎛⎫⎛⎫=++---=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选D. 6.答案：D解析：联立方程组得22y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得曲线2y x =与直线2y x =-的交点坐标为：()()1,1,4,2-， 选择y 为积分变量，∴曲线2y x =和直线2y x =-所围成的图形的面积为()222321111811922242233232S y y dy y y y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+---+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰.7.答案：D解析：1323120211()()|333S x x dx x x ==-=⎰,故选D. 8.答案：A解析：画出函数[]2cos ,0,2πy x x =∈的图象与直线2y =围成的一个封闭的平面图形，如图所示，根据定积分的几何意义，可得封闭图形的面积为：22π00(22cos )(22sin )|(4π2sin 2π)(202sin 0)4πS x dx x x π=-=-=--⨯-=⎰.9.答案：D解析：曲线e ,e x x y y -==和直线1x =围成的图形面积， 就是()10e e x x dx --⎰()1102x xe e e e --=+=+-.故选：D 。

人教新课标A版选修2-2数学1．7定积分的简单应用同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣3x，则其导函数f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A . ln2B . ﹣ln2C . +ln2D .2. （2分）曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为（）A .B .C .D .3. （2分）如图，由曲线,直线x=0,x=2和x轴围成的封闭图形的面积是（）A . 1B .C .D . 24. （2分）下列命题不正确的是（）A . 若是连续的奇函数，则B . 若连续的偶函数，则C . 若在[a，b]上连续且恒正，则D . 若在[a，b)上连续且，则在[a，b)上恒正5. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 已知积分，则实数（）A . 2B .C . 1D .6. （2分） (2015高二下·登封期中) 由直线y=0，x=e，y=2x及曲线所围成的封闭的图形的面积为（）A . 3+2ln2B . 3C . 2e2﹣3D . e7. （2分）(2016·桂林模拟) 由曲线y=x2和曲线y= 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分面积为（）A .B .C .D .8. （2分）由曲线y=x2 ， y=围成的封闭图形的面积为（）A .B .C .D . 19. （2分） (2017高二下·长春期末) 直线与曲线所围成的曲边梯形的面积为（）A . 9B .C .D . 2710. （2分） (2016高三上·烟台期中) 曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为（）A .B .C . 1D . 211. （2分） (2016高一下·南安期中) 由曲线和直线所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二下·民勤期中) 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A .B .C .D .13. （2分）以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2 ，则此物体达到最高时的高度为（）．A . mB . mC . mD . m14. （2分） |3x2﹣12|dx=（）A . 21B . 22C . 23D . 2415. （2分）(2018·山东模拟) 已知，在的展开式中，记的系数为，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）(2017·潍坊模拟) 如图，已知函数y=2kx（k＞0）与函数y=x2的图象所围成的阴影部分的面积为，则实数k的值为________．17. （1分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2 ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________18. （1分） (2019高二下·哈尔滨月考) 曲线与直线和所围成的平面图形的面积为________.19. （1分）曲线y=sin x与直线x=﹣，x= π，y=0所围图形的面积为________．20. （1分）若（x+ ）n的展开式所有的系数之和为81，则直线y=nx与曲线y=x2所围成的封闭区域面积为________．三、解答题 (共5题；共35分)21. （5分）求曲线y= 与直线y=x，x=2所围成的图形面积．22. （5分） (2018高二下·大庆月考) 计算由直线曲线以及轴所围图形的面积。

青海师范大学附属第二中学高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用习题 新人教A 版选修2-2一、基础过关1． 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A ．ʃca f (x )d xB ．|ʃca f (x )d x |C ．ʃb a f (x )d x ＋ʃc b f (x )d xD ．ʃc b f (x )d x －ʃba f (x )d x2． 由y ＝1x ，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为 ( )A ．ln 2B ．ln 2－1C ．1＋ln 2D ．2ln 23． 曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积等于 ( )A ．ʃ1－1(x －x 3)d xB ．ʃ1－1(x 3－x )d xC ．2ʃ10(x －x 3)d x D ．2ʃ0－1(x －x 3)d x4． 曲线y ＝x 2－1与x 轴所围成图形的面积等于 ( )A.13B.23C ．1 D.435．由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________．6．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝________.二、能力提升7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ，2]，则ʃ20f (x )d x 等于 ( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在8．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，则c 等于 ( )A.13B.12 C ．1 D.239．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．10．求曲线y ＝6－x 和y ＝8x ，x ＝0围成图形的面积．11．求曲线y＝x2－1(x≥0), 直线x＝0，x＝2及x轴围成的封闭图形的面积．12．设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1、S2.(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．。

【优化方案】2013-2014学年高中数学 1.7 定积分的简单应用基础达标（含解析）新人教A 版选修2-21．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32 D. 3 解析：选D.由定积分几何意义可知此封闭图形的面积为cos x d x ＝cos x d x＝2sin＝2⎝⎛⎭⎫sin π3－sin 0＝ 3. 2. 如图，两曲线y ＝3－x 2与y ＝x 2－2x －1所围成的图形面积是( )A ．6B ．9C ．12D ．3解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3－x2y ＝x 2－2x －1解得交点(－1,2)，(2，－1)， 所以S ＝⎠⎛-12 [(3－x 2)－(x 2－2x －1)]d x＝⎠⎛-12 (－2x 2＋2x ＋4)d x＝(－23x 3＋x 2＋4x )＝9.3．(2013·德州高二检测)如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353解析：选C.S ＝⎠⎛-31 (3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向做直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433J D ．2 3 J解析：选C.W ＝⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x ＝32(5x －13x 3)＝433(J)．5．如果某物体以初速度v (0)＝1，加速度a (t )＝4t 做直线运动，则质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为( )A ．5B ．7C ．9D ．13解析：选C.v (2)－v (0)＝⎠⎛02a (t )d t ＝⎠⎛024t d t ＝2t 2＝8.∴v (2)＝9.6．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．解析：阴影部分的面积为S 阴影＝⎠⎛13x 2d x ＝x 3|10＝1，所以点M 取自阴影部分的概率为P＝S 阴影S 长方形＝13×1＝13. 答案：137．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是________．解析：s ＝∫1001＋t d t ＝23(1＋t )32|100＝23(1132－1)． 答案：23(1132－1)8．(2012·高考山东卷)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝______.解析：S ＝⎠⎛0a x d x ＝23x 32⎪⎪⎪a 0＝23a 32＝a 2，∴a ＝49. 答案：499．(2013·邯郸高二检测)某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)满足函数关系：v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2(0≤t ≤10)，4t ＋60(10＜t ≤20).140(20＜t ≤60)，某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min 行使的路程超过7 673 m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？解：由变速直线运动的路程公式，得s ＝∫100t 2d t ＋⎠⎛1020(4t ＋60)d t ＋⎠⎛2060140d t＝13t 3＋(2t 2＋60t ) ＋140t＝7 13313(m)＜7 673(m)．∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．10．求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 围成图形的面积．解：法一：画出图形，如图．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，及⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点(1,1)，(0,0)，(3，－1)，∴S ＝⎠⎛01[x －⎝⎛⎭⎫－13x ]d x ＋⎠⎛13[(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x ]d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x＝23＋16＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2 ＝56＋6－13×9－2＋13＝2 16＝136. 法二：若选积分变量为y ，则三个函数分别为x ＝y 2，x ＝2－y ，x ＝－3y ，三个上、下限值为－1,0,1.∴S ＝⎠⎛-10 [(2－y )－(－3y )]d y ＋⎠⎛01[(2－y )－y 2]d y＝⎠⎛-10 (2＋2y )d y ＋⎠⎛01(2－y －y 2)d y＝(2y ＋y 2)＋⎝⎛⎭⎫2y －12y 2－13y 3 ＝－(－2＋1)＋2－12－13＝136.。

课后提升训练十二定积分在几何中的应用(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.由y=,x轴及x=1,x=2围成的图形的面积为( )A.ln2B.lg2C.D.1【解析】选A.S=dx=ln 2-ln 1=ln 2.2.(2017·泉州高二检测)如图,设D是图中边长分别为1和2的矩形区域,E是D内位于函数y=(x>0)图象下方的阴影部分区域,则阴影部分E的面积为( )A.ln2B.1-ln2C.2-ln2D.1+ln2【解析】选D.由题意,阴影部分E由两部分组成,因为函数y=(x>0),当y=2时,x=,所以阴影部分E的面积为×2+dx=1+lnx=1+ln2.3.由y=-x2与直线y=2x-3围成的图形的面积是( )A. B. C. D.9【解析】选B.由得交点A(-3,-9),B(1,-1),所以y=-x2与直线y=2x-3围成的图形的面积S=(-x2)dx-(2x-3)dx=-x3-(x2-3x)=.4.如图,在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点,则过C,M,D三点的抛物线与CD围成阴影部分的面积是( )A.2B.C. D.【解析】选D.由题意,建立如图所示的坐标系,则D(2,1),设抛物线方程为y2=2px,代入D,可得p=,所以y=,所以S=2dx=·=.5.由曲线y=,直线y=-x+2及x轴所围成的图形的面积为( )A. B.4 C. D.6【解析】选C.由得交点(1,1)所以所围成图形的面积S=dx+×1×1=+=.6.(2017·钦州高二检测)由直线y=2x及曲线y=4-2x2围成的封闭图形的面积为( ) A.1 B.3 C.6 D.9【解析】选D.由得或所以直线y=2x及曲线y=4-2x2围成的封闭图形的面积S=(4-2x2-2x)dx==9.7.如图曲线y=sinx,y=cosx和直线x=0,x=所围成的阴影部分平面区域的面积为( )A.(sinx-cosx)dxB.2(sinx-cosx)dxC.(cosx-sin x)dxD.2(cosx-sinx)dx【解析】选D.曲线y=sinx,y=cosx的交点为,由图象的对称性可知阴影部分面积为2=2(cosx-sinx)dx.8.(2017·长沙高二检测)(2-|1-x|)dx= ( )A.0B.1C.2D.3【解析】选D.(2-|1-x|)dx=(x+1)dx+(3-x)=+=+=3.二、填空题(每小题5分,共10分)9.求由y=e x,x=2,y=1围成的曲边梯形的面积时,若选择x为积分变量,则积分区间是________. 【解析】如图,阴影部分就是所求曲边梯形的面积,积分区间为[0,2].答案:[0,2]10.如图,f(x)=1+sinx,则阴影部分的面积是________.【解析】由图象可得S=(1+sinx)dx=(x-cosx)=π-cosπ-(0-cos0)=2+π.答案:π+2三、解答题(每小题10分,共20分)11.求由曲线y=sinx与x轴在区间[0,2π]上所围成的图形的面积S.【解题指南】y=sinx在[0,π]上的积分为正值,在[π,2π]上的积分为负值,其面积应取绝对值.【解析】如图所示,S=sinxdx+|sinxdx|=(-cosx)-(-cosx)=4.【误区警示】求曲边图形面积时避免出错的措施(1)图形位于x轴上方:当对应的曲边图形位于x轴上方时,定积分的值取正值,且等于曲边图形的面积.(2)图形位于x轴下方:当对应的曲边图形位于x轴下方时,定积分的值取负值,且等于曲边图形的面积的相反数.12.求由抛物线y2=,y2=x-1所围成图形的面积.【解析】在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形,如图.方法一:以x为积分变量.由得两个抛物线的两个交点坐标分别为A,B.可求得P的坐标为(1,0),则所求面积S=2=2=.方法二:以y为积分变量.由可得两个抛物线的两个交点坐标分别为A,B.可求得P的坐标为(1,0),则所求面积S=2(y2+1-5y2)dy=2(y-y3)=.【补偿训练】求由抛物线y2=8x(y>0)与直线x+y-6=0及y=0所围成的图形的面积. 【解析】作出直线x+y-6=0与抛物线y2=8x(y>0)的草图,如图所示.解方程组又因为y>0,所以所以直线x+y-6=0与抛物线y2=8x(y>0)的交点坐标为A(2,4).因此,所求图形的面积为S=S1+S2=dx+×4×4=·+8=+8=.【能力挑战题】求由y=sinx与直线y=所围成图形的面积.【解题指南】先求出函数y=sinx与函数y=的交点,然后利用定积分求解.【解析】由⇒或或本题的图形由两部分构成,首先计算出上的面积,再计算出上的面积,然后两者相加即可;于是S=dx+dx=+=.。

数学·选修2－2(人教A版)1．7定积分的简单应用1．7.3 定积分(习题课)一、选择题1．设连续函数f(x)＞0, 则当a＜b时，定积分⎰b a f(x)d x的符号()A．一定是正的B．一定是负的C．当0＜a＜b时是负的，当a＜b＜0时是正的D．不能确定答案：A2．如下图，阴影部分的面积为()A.⎰b a f(x)d xB.⎰b a g(x)d xC.⎰b a[f(x)－g(x)]d xD.⎰b a[g(x)－f(x)]d x答案：C3．一物体在力F(x)＝3x2－2x＋5(F的单位：N，x的单位：m)的作用下，沿与力F(x)相同的方向由x＝5 m运动到x＝10 m处，则F(x)所做的功是()A．925 J B．850 J C．825 J D．800 J解析：W＝＝(x3－x2＋5x)|105＝(1 000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．答案：C4．如图，两曲线y＝3－x2与y＝x2－2x－1所围成的图形面积是()A．6 B．9 C．12 D．3解析：由⎩⎨⎧y ＝3－x 2，y ＝x 2－2x －1，解得交点 (－1,2)，(2，－1)，所以S ＝[(3－x 2)－(x 2－2x －1)]d x ＝＝9. 故选B.答案：Bl 与抛物线y ＝x 2－2ax (a ＞0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l的方程为( )A ．y ＝axB ．y ＝±axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax解析：显然，直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝x 2－2ax ，得交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2)，图形面积＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33＝(2a ＋k )36＝92a 3，所以k ＝a ，所以l 的方程为y ＝ax ，故选A. 答案：A二、填空题6．若函数f (x )是连续的奇函数，则⎰2－2f (x )d x 的值为________．答案：07．定积分⎰π0sin 2x d x 的值等于________． 答案：08．若a ＝⎰20 x 2d x ，b ＝⎰20x 3d x ，c ＝⎰20sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________．解析：a ＝x 2d x ＝⎪⎪⎪13x 320＝83；b ＝x 3d x ＝⎪⎪⎪14x 420＝4； c ＝＝1－cos 2.所以c <a <b . 答案： c <a <b三、解答题9．直线 y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 值及直线方程．解析：由⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝x －x 2得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝1－k ，y ＝k －k 2(0<k <1)．由题意得[(x －x 2)－kx ]d x ＝(x －x 2)d x ，即⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k 0＝⎪⎪⎪12⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 310. 所以(1－k )36＝112，所以 (1－k )3＝12，k ＝1－342.所以直线方程为y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－342x .10．如下图所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax (a ＞1)交于点O ，A ，直线x ＝t (0＜t ≤1)与曲线C 1，C 2分别相交于点D ，B ，连接OD ，DA ，AB .(1)写出曲边四边形ABOD (阴影部分)的面积S 与t 的函数关系式S ＝f (t )；解析：由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝－x 2＋2ax ，得点O (0,0)，A (a ，a 2)．又由已知得B (t ，－t 2＋2at )，D (t ，t 2).故S ＝(－x 2＋2ax )d x －12·t ·t 2＋12(－t 2＋2at －t 2)×(a －t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋ax 2t 0－12t 3＋(－t 2＋at )×(a －t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13t 3＋at 2－12t 3＋t 3－2at 2＋a 2t＝16t 3－at 2＋a 2t . ∴S ＝f (t )＝16t 3－at 2＋a 2t (0＜t ≤1).(2)求函数S ＝f (t )在区间(0,1]上的最大值．解析：f ′(t )＝12t 2－2at ＋a 2，令f ′(t )＝0，即12t 2－2at ＋a 2＝0，解得t ＝(2－2)a 或t ＝(2＋2)a .∵0＜t ≤1，a ＞1，∴t ＝(2＋2)a 应舍去． 若(2－2)a ≥1，即a ≥12－2＝2＋22，∵0＜t ≤1，∴f ′(t )≥0.∴f (t )在区间(0,1]上单调递增，S 的最大值是f (1)＝a 2－a ＋16.若(2－2)a ＜1，即1＜a ＜2＋22，当0＜t ＜(2－2)a 时，f ′(t )＞0； 当(2－2)a ＜t ≤1时，f ′(t )＜0，∴f (t )在区间(0，(2－2)a ]上单调递增， 在区间[(2－2)a,1]上单调递减．∴f (t )的最大值是f [(2－2)a ]＝16[(2－2)a ]3－a [(2－2)a ]2＋a 2(2－2)a ＝22－23a 3.综上所述，f (t )max＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋16，a ＞2＋22，22－23a 3，1＜a ≤2＋22.。