高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和教学案含解析理

第3讲 等比数列及其前n 项和 ,)1．等比数列的有关概念 (1)定义假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项假如a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇒G 2＝ab ． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．1．辨明三个易误点(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不能为0，但q 可为正数，也可为负数．(2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能马上断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必需留意对q ＝1与q ≠1分类争辩，防止因忽视q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．2．等比数列的三种判定方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式法：a n ＝cqn －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中依据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类争辩思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必需分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q；在推断等比数列单调性时，也必需对a 1与q 分类争辩．1.教材习题改编 等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36 C ．812D ．54C 法一：由a 3＝12，a 4＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，a 1q 3＝18，解得a 1＝163，q ＝32，所以a 6＝a 1q 5＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫325＝812.故选C.法二：由等比数列性质知，a 23＝a 2a 4，所以a 2＝a 23a 4＝12218＝8，又a 24＝a 2a 6，所以a 6＝a 24a 2＝1828＝812.故选C.2.教材习题改编 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64C 由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C. 3.教材习题改编 在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，得q 3＝27，所以q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 27，814.教材习题改编 由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________． log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10 ＝log 2＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25.255.教材习题改编 在等比数列{a n }中，a n >0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________． 由于a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6.所以a 1q 4－a 1＝15，① a 1q 3－a 1q ＝6，②且q ≠1. ①②得（q 2＋1）（q 2－1）q ·（q 2－1）＝156，即2q 2－5q ＋2＝0， 所以q ＝2或q ＝12，当q ＝2时，a 1＝1；当q ＝12时，a 1＝－16(舍去)．所以a 3＝1×22＝4. 4等比数列的基本运算(高频考点)等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属中、低档题． 高考对等比数列基本运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求首项a 1、公比q 或项数n ； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．(2021·兰州模拟)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1， 两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)， 即6a n ＝9(a n －a n －1)，所以a n ＝3a n －1.所以数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由于b n ＝1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2，所以{b n }是首项为3，公比为13的等比数列，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝92⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .等比数列基本运算的解题技巧(1)求等比数列的基本量问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：①由已知条件列出以首项和公比为未知数的方程(组)；②求出首项和公比；③求出项数或前n 项和等其余量．(2)设元的技巧，可削减运算量，如三个数成等比数列，可设为a q，a ，aq (公比为q )；四个数成等比数列且q >0时，设为a q 3，a q，aq ，aq 3.角度一 求首项a 1、公比q 或项数n1．(2021·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．由于a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又由于S n ＝126，所以2（1－2n）1－2＝126，所以n ＝6.6角度二 求通项或特定项2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________． 由于3S 1，2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.3n －1角度三 求前n 项和3．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－310) B ．19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)C 由题意知数列{a n }为等比数列，设其公比为q ，则q ＝a n ＋1a n ＝－13，a 1＝a 2q ＝4，因此其前10项和等于4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．等比数列的判定与证明(2022·高考全国卷丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.【解】 (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0， 所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列， 于是a n ＝11－λ(λλ－1)n －1.(2)由(1)得，S n ＝1－(λλ－1)n. 由S 5＝3132得，1－(λλ－1)5＝3132，即(λλ－1)5＝132. 解得λ＝－1.证明数列{a n }是等比数列常用的方法 一是定义法，证明a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若推断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．已知数列{a n }是等差数列，a 3＝10，a 6＝22，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋13b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋5d ＝22，解得a 1＝2，d ＝4.所以a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2. (2)证明：由T n ＝1－13b n ，①令n ＝1，得T 1＝b 1＝1－13b 1.解得b 1＝34，当n ≥2时，T n －1＝1－13b n －1，②①－②得b n ＝13b n －1－13b n ，所以b n ＝14b n －1，所以b n b n －1＝14.又由于b 1＝34≠0， 所以数列{b n }是以34为首项，14为公比的等比数列．等比数列的性质(1)(2021·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A ．31 B ．36 C ．42D ．48(3)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________． 【解析】 (1)法一：由于a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)， 所以a 24＝4(a 4－1)， 所以a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2.又由于q 3＝a 4a 1＝214＝8，所以q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：由于a 3a 5＝4(a 4－1)， 所以a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)．将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12，故选C.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31，故选A.(3)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.【答案】 (1)C (2)A (3)－12等比数列常见性质的应用(1)在解决等比数列的有关问题时，要留意挖掘隐含条件，利用性质，特殊是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以削减运算量，提高解题速度．(2)等比数列性质的应用可以分为三类：①通项公式的变形；②等比中项的变形；③前n 项和公式的变形．依据题目条件，认真分析，发觉具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(3)在应用相应性质解题时，要留意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时留意设而不求思想的运用．1．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．18 B ．－18C ．578D ．558A 由于a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.2．(2021·沈阳质量监测)数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________．设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质知a 5＝a 2q 3，求得q ＝12，所以a 1＝4.a 2a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝14a 1a 2，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝14a n －1a n (n ≥2)．设b n ＝a n a n ＋1，可以得出数列{b n }是以8为首项，以14为公比的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{b n }的前n 项和，由等比数列前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝323(1－4－n)．323(1－4－n) ,)——分类争辩思想在等比数列中的应用已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为________．【解析】 设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件冲突，故q ≠1.由于S 2m S m ＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m）1－q ＝q m＋1＝9，所以q m＝8.所以a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，所以m ＝3，所以q 3＝8，所以q ＝2. 【答案】 2(1)本题在利用等比数列的前n 项和公式表示S 2m 和S m 时，对公比q ＝1和q ≠1进行了分类争辩．(2)分类争辩思想在等比数列中应用较多，常见的分类争辩有： ①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种状况． ②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1争辩．③项数的奇、偶数争辩．④等比数列的单调性的推断留意与a 1，q 的取值的争辩．在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .(1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)， 解得a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a n （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ·(n ＋1)． 由于b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n 2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.,)1．(2021·太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4C ． 2D ．2 2B 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q2＝a 4a 2＝14， 所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( ) A ．－13B ．13C ．－12D ．12A 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，所以a ＋16＝a2，所以a ＝－13.3．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C ．n （n ＋1）2D ．n （n －1）2A 由于a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2×2＝n (n ＋1)．故选A.4．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3C 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16125，q ＝52.所以a n ＝a 1qn －1＝16125×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×52＝4.5．(2021·莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017D 由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n， 所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.6．(2021·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( )A ．4n －1B ．4n－1 C ．2n －1D ．2n－1D 设{a n}的公比为q ，由于⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①②可得1＋q2q ＋q 3＝2，所以q ＝12，代入①得a 1＝2，所以a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ， 所以S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ， 所以S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n－1，选D.7．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________． 设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n1－2＝2n－1.2n－18．(2021·郑州其次次质量猜测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________．由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1（1－q n ）1－q，得S 6＝a 1（1－36）1－3，S 3＝a 1（1－33）1－3，所以S 6S 3＝a 1（1－36）1－3·1－3a 1（1－33）＝28.289．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________． T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0＜a 1＜a 2＜…＜a 14＜a 15＜1＜a 16＜a 17＜…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.1510．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2a 4＝16，a 6＝32，记b n ＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前5项和S 5为________．设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝a 2a 4＝16得，a 3＝4，即a 1q 2＝4，又a 6＝a 1q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n －1＋2n ＝3·2n －1，所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，所以S 5＝3（1－25）1－2＝93.9311．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． (1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)， 当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 由于S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1， 公比为43的等比数列．(2)由于a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1.12．(2021·衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1C 由于数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，由于数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n－1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)． 由于4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．14．(2021·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n ＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(1)由于a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列， 所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5， 即2a 6－3a 5＋a 4＝0， 所以2q 2－3q ＋1＝0， 由于q ≠1，所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n， T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.。

第三节等比数列及其前n项和[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系. 1.以客观题的形式考查等比数列的性质及其基本量的计算，如2012年新课标全国T5，浙江T13等．2.以解答题的形式考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及性质的综合应用，如2012年湖北T18等.[归纳·知识整合] 1．等比数列的相关概念相关名词等比数列{a n}的有关概念及公式定义a n＋1a n＝q(q是常数且q≠0，n∈N*)或a na n－1＝q(q是常数且q≠0，n∈N*且n≥2)通项公式a n＝a1q n－1＝a m·q n－m前n项和公式S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na1q＝1a11－q n1－q＝a1－a n q1－qq≠1等比中项设a，b为任意两个同号的实数，则a，b的等比中项G＝±ab[探究] 1.b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b＝0时，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.2．如何理解等比数列{a n}与指数函数的关系？提示：等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1qn －1可改写为a n ＝a 1q·q n.当q >0，且q ≠1时，y＝q x是一个指数函数，而y ＝a 1q·q x是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a n }的图象是函数y ＝a 1q·q x的图象上的一群孤立的点．2．等比数列的性质(1)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q 则a m ·a n ＝a p ·a q . 特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p .(2)若等比数列前n 项和为S n 则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m－S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)．(3)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k.[自测·牛刀小试]1．在等比数列{a n }中，如果公比q <1，那么等比数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列C ．常数列D ．无法确定数列的增减性解析：选D 当a 1>0,0<q <1，数列{a n }为递减数列，当q <0，数列{a n }为摆动数列． 2．(教材习题改编)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析：选B ∵数列{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10) ＝log 3(a 5a 6)5＝5log 3a 5a 6＝5log 39＝10.3．(教材习题改编)在等比数列{a n }中，若a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－1＝15，a 1q 3－q ＝6.∴q 2－1≠0，q 4－1q 3－q ＝52.∴2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝12或q ＝2.当q ＝2时，a 1＝1，∴a 3＝a 1q 2＝4. 当q ＝12时，a 1＝－16，∴a 3＝a 1q 2＝－4.答案：4或－44．在等比数列{a n }中，a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5的值为________． 解析：由等比数列性质，已知转化为a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， 即(a 3＋a 5)2＝25，又a n >0，故a 3＋a 5＝5. 答案：55．在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是________． 解析：设等比数列的公比为q ，则4＝q 4.即q ＝± 2. 当q ＝2时，插入的三个数是2，2,2 2. 当q ＝－2时，插入的三个数是－2，2，－2 2. 答案：2，2,22或－2，2，－2 2等比数列的基本运算[例1] (1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(2012·辽宁高考)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(3)(2012·浙江高考)设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.[自主解答] (1)设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，a 10＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.(2)∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n ·q 2＝5a n ·q ， 即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12(舍去)．又∵a 25＝a 10＝a 5·q 5， ∴a 5＝q 5＝25＝32. ∴32＝a 1·q 4，解得a 1＝2. ∴a n ＝2×2n －1＝2n ，故a n ＝2n.(3)由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2作差可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，所以2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1(舍去)．[答案] (1)D (2)2n(3)32———————————————————等比数列运算的通法与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式a n ＝a 1·q n －1(a 1q ≠0)及前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q ≠1中共有五个变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比q 时，要注意应用q ≠0验证求得的结果．1．(1)(2013·海淀模拟)在等数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝a 3a 5，则a 7＝( ) A.116B.18C.14D.12(2)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334D.172解析：(1)选B 在等比数列{a n }中，a 24＝a 3a 5，又a 4＝a 3a 5，所以a 4＝1，故q ＝12，所以a 7＝18.(2)选B 显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 11－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13，(舍去)故S 5＝a 11－q 51－q＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.等比数列的判定与证明[例2] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)在(1)的条件下证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，并求a n .[自主解答] (1)证明：∵由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3. 由S n ＋1＝4a n ＋2，①知当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2，② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)． 又∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1.∴{b n }是首项b 1＝3，公比q ＝2的等比数列． (2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14. a n ＝(3n －1)×2n －2.———————————————————等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.2．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1×22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54×2n －1＝5×2n －3.(2)证明：由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n1－2＝5×2n －2－54，即S n ＋54＝5×2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5×2n －15×2n －2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，以2为公比的等比数列.等比数列的性质及应用[例3] (1)在等比数列{a n }中，若a 1·a 2·a 3·a 4＝1，a 13·a 14·a 15·a 16＝8，则a 41·a 42·a 43·a 44＝________.(2)已知数列{a n }为等比数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 1＋a 2＋a 3＝3，a 4＋a 5＋a 6＝6，则S 12＝________.[自主解答] (1)法一：a 1·a 2·a 3·a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，①a 13·a 14·a 15·a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，② 由②÷①，得a 41·q 54a 41·q6＝q 48＝8⇒q 16＝2，又a 41·a 42·a 43·a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)·(q 16)10＝1·210＝1 024.法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q ，T 1＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1，T 4＝a 13·a 14·a 15·a 16＝8，∴T 4＝T 1·q 3＝1·q 3＝8，即q ＝2.∴T 11＝a 41·a 42·a 43·a 44＝T 1·q 10＝210＝1 024.(2)法一：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝a 1·q 3＋a 2·q 3＋a 3·q 3a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝63，即q 3＝2.故S 12＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9)＋(a 10＋a 11＋a 12)＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1·q 3＋a 2·q 3＋a 3·q 3)＋(a 1·q 6＋a 2·q 6＋a 3·q 6)＋(a 1·q 9＋a 2·q 9＋a 3·q 9)＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋a 3)q 3＋(a 1＋a 2＋a 3)q 6＋(a 1＋a 2＋a 3)q 9＝(a 1＋a 2＋a 3)(1＋q 3＋q 6＋q 9)＝3×(1＋2＋22＋23)＝45.法二：设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝63，即q 3＝2.因为S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝9，S 12－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12，所以S 12－S 6S 6＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝ a 1·q 6＋a 2·q 6＋a 3·q 6＋a 4·q 6＋a 5·q 6＋a 6·q 6a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q 6＝4.所以S 12＝5S 6＝45. [答案] (1)1 024 (2)45———————————————————等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．3．已知等比数列前n 项的和为2，其后2n 项的和为12，求再后面3n 项的和． 解：∵S n ＝2，其后2n 项为S 3n －S n ＝S 3n －2＝12， ∴S 3n ＝14.由等比数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列， 即(S 2n －2)2＝2·(14－S 2n )解得S 2n ＝－4，或S 2n ＝6.当S 2n ＝－4时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…是首项为2，公比为－3的等比数列， 则S 6n ＝S n ＋(S 2n －S n )＋…＋(S 6n －S 5n )＝－364， ∴再后3n 项的和为S 6n －S 3n ＝－364－14＝－378.当S 2n ＝6时，同理可得再后3n 项的和为S 6n －S 3n ＝126－14＝112. 故所求的和为－378或112.3个防范——应用等比数列的公比应注意的问题 (1)注意q ＝1时，S n ＝na ，这一特殊情况．(2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)，并不能断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在应用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1和q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情况而导致错误．4个思想——求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)整体思想：当公比q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 11－q ·(1－q n)，令a 11－q ＝t ，则S n ＝t (1－q n )．把a 11－q与q n当成一个整体求解，也可简化运算．(3)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n1－q；在判断等比数列单调性时，也必须对a 1与q 分类讨论．(4)函数思想：在等比数列{a n }中，a n ＝a 1q·q n，它的各项是函数y ＝a 1q·q x图象上的一群孤立的点，可以根据指数函数的一些性质研究等比数列问题(如单调性)，注意函数思想在等比数列问题中的应用.创新交汇——以等比数列为背景的新定义问题1．在新情境下先定义一个新数列，然后根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题，同时，数列也常与函数、不等式等形成交汇命题．2．对于此类新定义问题，我们要弄清其本质，然后根据所学的数列的性质即可快速解决．[典例] (2012·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f(a n)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )A．①②B．③④C．①③D．②④[解析] 法一：设{a n}的公比为q.①f(a n)＝a2n，∵a2n＋1a2n＝⎝⎛⎭⎪⎫a n＋1a n2＝q2，∴{f(a n)}是等比数列．排除B、D.③f(a n)＝|a n|，∵|a n＋1||a n|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n＋1a n＝|q|，∴{f(a n)}是等比数列．法二：不妨令a n＝2n.①因为f(x)＝x2，所以f(a n)＝4n.显然{f(2n)}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f(x)＝2x，所以f(a1)＝f(2)＝22，f(a2)＝f(4)＝24，f(a3)＝f(8)＝28，所以f a 2f a 1＝2422＝4≠f a 3f a 2＝2824＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x |，所以f (a n )＝2n ＝(2)n. 显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列． ④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln 2n＝n ln 2. 显然{f (a n )}是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列． [答案] C [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)命题背景新颖：本题是以“保等比数列函数”为新定义背景，考查等比数列的有关性质．(2)考查内容创新：本题没有直接指明判断等比数列的有关性质，而是通过新定义将指数函数、对数函数及幂函数、二次函数与数列有机结合，对学生灵活处理问题的能力有较高要求．2．解决本题的关键有以下两点(1)迅速脱掉“新定义”的外衣，认清本题的实质是：已知数列{a n }为正项等比数列，判断数列{a 2n }，{2a n }，{|a n |}及{ln|a n |}是否为等比数列问题．(2)灵活运用排除法或特殊值法也是正确解决本题的关键． [变式训练]1．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n ＝( )A.32 B.32或23 C.23D ．以上都不对解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23. 2．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 解析：选D 由已知可得a 1＝f (1)＝12，a 2＝f (2)＝[f (1)]2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)＝[f (1)]3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，…，a n ＝f (n )＝[f (1)]n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴S n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∵n ∈N *，∴12≤S n <1.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5，a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.2．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 由题意可知a 3a 11＝a 27＝16，因为{a n }为正项等比数列，所以a 7＝4.所以log 2a 10＝log 2(a 7×23)＝log 225＝5.3．各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．33 B ．72 C ．84D ．189解析：选C ∵a 1＋a 2＋a 3＝21，∴a 1＋a 1·q ＋a 1·q 2＝21,3＋3×q ＋3×q 2＝21， 1＋q ＋q 2＝7，解得q ＝2或q ＝－3.∵a n >0，∴q ＝2，a 3＋a 4＋a 5＝21×q 2＝21×4＝84.4．(2013·西安模拟)已知a ，b ，m ，n ，x ，y 均为正数，且a ≠b ，若a ，m ，b ，x 成等差数列，a ，n ，b ，y 成等比数列，则有( )A ．m >n ，x >yB ．m >n ，x <yC ．m <n ，x <yD ．m <n ，x >y解析：选B ∵m ＝a ＋b2，n ＝ab (a ≠b )，∴m >n .又2b ＝m ＋x ，由b 2＝ny ，得b ＝ny ， 即2ny ＝m ＋x ≥2mx ，∴ny ≥mx ， 即ny ≥mx ，y x ≥mn>1.∴y >x .5．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝18，则a 2a 3a 4等于( ) A ．36 B ．216 C ．±36D ．±216解析：选B 由等比数列的性质得a 23＝a 1·a 5＝2×18＝36， 又a 3＝a 1q 2＝2q 2>0，故a 3＝6. 所以a 2a 3a 4＝a 33＝216.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1解析：选B 利用等比数列知识求解． ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n .∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n .∴3a n ＝2a n ＋1. ∴a n ＋1a n ＝32.又∵S 1＝2a 2，∴a 2＝12.∴a 2a 1＝12.∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列．∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1⎝⎛也可以先求出n ≥2时，a n ＝3n －22n －1，再利用S n ＝2a n ＋1，⎭⎪⎫求得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________. 解析：∵S 3＋3S 2＝0，即a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 答案：－28．若数列{a n }(a n ∈R )对任意的正整数m ，n 满足a m ＋n ＝a m a n ，且a 3＝22，那么a 12＝________.解析：令m ＝1，则a n ＋1＝a n a 1⇒a 1＝q ，a 3＝a 1q 2＝22⇒q 3＝22，a 12＝q 12＝64. 答案：649．(2013·聊城模拟)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b∈R ，满足f (a ·b )＝af (b )＋bf (a )，f (2)＝2，a n ＝f 2n n (n ∈N *)，b n ＝f 2n 2n(n ∈N *)，考察下列结论．①f (0)＝f (1)；②f (x )为偶函数；③数列{a n }为等比数列；④{b n }为等差数列．其中正确的是________．解析：令a ＝0，b ＝0，则f (0)＝0，令a ＝b ＝1， 则f (1)＝2f (1)，故f (0)＝f (1)＝0； 设a ＝－1，b ＝x ，因为f (1)＝f [(－1)×(－1)]＝－2f (－1)， 则f (－1)＝0，所以f (－x )＝－f (x )＋xf (－1)＝－f (x )，f (x )为奇函数；f (2n)＝2f (2n －1)＋2n －1f (2)＝2f (2n －1)＋2n⇒f 2n2n＝f 2n －12n －1＋1，则{b n }为等差数列；∵b 1＝f 22＝1，∴b n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴f 2n2n ＝n ，a n ＝f 2n n＝2n，则数列{a n }为等比数列．答案：①③④三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．数列{a n }中，S n ＝1＋ka n (k ≠0，k ≠1)． (1)证明：数列{a n }为等比数列； (2)求通项a n ；(3)当k ＝－1时，求和a 21＋a 22＋…＋a 2n . 解：(1)∵S n ＝1＋ka n ，①S n －1＝1＋ka n －1，②①－②得S n －S n －1＝ka n －ka n －1(n ≥2)， ∴(k －1)a n ＝ka n －1，a n a n －1＝k k －1为常数，n ≥2. ∴{a n }是公比为kk －1的等比数列．(2)∵S 1＝a 1＝1＋ka 1，∴a 1＝11－k. ∴a n ＝11－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1n －1＝－kn －1k －1n.(3)∵{a n }中a 1＝11－k ，q ＝k k －1，∴{a 2n }是首项为⎝⎛⎭⎪⎫1k －12，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －12的等比数列．当k ＝－1时，等比数列{a 2n }的首项为14，公比为14，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .11．设数列{a n }是一等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ＝23(b n －1)，若a 2＝b 1，a 5＝b 2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵S 1＝23(b 1－1)＝b 1，∴b 1＝－2.又S 2＝23(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2，∴b 2＝4.∴a 2＝－2，a 5＝4. ∵{a n }为等差数列， ∴公差d ＝a 5－a 23＝63＝2， 即a n ＝－2＋(n －2)·2＝2n －6. (2)∵S n ＋1＝23(b n ＋1－1)，①S n ＝23(b n －1)，②①－②得S n ＋1－S n ＝23(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，∴b n ＋1＝－2b n .∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝－2，首项b 1＝－2， ∴b n ＝(－2)n. ∴S n ＝23[(－2)n－1]．12．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013. 解：(1)∵由已知得a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )， 解得d ＝2或d ＝0(舍去)．∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1(n ∈N *)． 又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9， ∴数列{b n }的公比为3. ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1(n ∈N *)．(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1得 当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n . 两式相减得，n ≥2时，c n b n＝a n ＋1－a n ＝2. ∴c n ＝2b n ＝2·3n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2， ∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2·3n －1n ≥2.∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.1．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6D ．4 2解析：选A 法一：由等比中项的性质知a 1a 2a 3＝(a 1a 3)·a 2＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)·a 8＝a 38＝10，所以a 2a 8＝5013，所以a 4a 5a 6＝(a 4a 6)·a 5＝a 35＝(a 2a 8)3＝(5016)3＝5 2.法二：由等比数列的性质知a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9构成等比数列，所以(a 1a 2a 3)(a 7a 8a 9)＝(a 4a 5a 6)2，即a 4a 5a 6＝±5×10＝±52，又数列各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝5 2.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3解析：选C 由等比数列的性质：S 3、S 6－S 3、S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.3．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝4，a 4a 5a 6＝212. (1)求首项a 1和公比q 的值； (2)若S n ＝210－1，求n 的值． 解：(1)∵a 4a 5a 6＝a 35＝212⇒a 5＝16，∴a 5a 3＝q 2＝4⇒q ＝2，a 1q 2＝a 3，解得a 1＝1.(2)由S n ＝210－1，得S n ＝a 1q n －1q －1＝2n－1，∴2n －1＝210－1⇒2n ＝210，即n ＝10.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 解：(1)b 1＝a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，以－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， 又a 1＝1也符合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

5-3 等比数列及其前n 项和课时规X 练A 组 基础对点练1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( B ) A ．21 B.42 C ．63D.842．(2018·某某质检)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，则a 6＝( C ) A ．14 B.28 C ．32D.643．(2017·某某摸底考试)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( B ) A ．9或－9 B.9 C ．27或－27D.27解析：∵数列{a n }为等比数列，且a 5＝1，a 9＝81， ∴a 27＝a 5a 9＝1×81＝81， ∴a 7＝±9.当a 7＝－9时，a 26＝1×(－9)＝－9不成立，舍去． ∴a 7＝9.故选B.4．(2018·某某调研测试)已知等差数列{a n }的公差为2，且a 4是a 2与a 8的等比中项，则{a n }的通项公式a n ＝( B ) A ．－2n B.2n C ．2n －1D.2n ＋1解析：由题意，得a 2a 8＝a 24，又a n ＝a 1＋2(n －1)，所以(a 1＋2)(a 1＋14)＝(a 1＋6)2，解得a 1＝2，所以a n ＝2n .故选B.5．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( D ) A ．－3 B.－1 C ．1D.3解析：在等比数列{a n }中， ∵a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，∴a 4－a 3＝2S 3＋1－(2S 2＋1)＝2(S 3－S 2)＝2a 3， ∴a 4＝3a 3， ∴q ＝a 4a 3＝3.故选D.6．我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增．共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？( C ) A ．5 B.4 C ．3D.27．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( D ) A ．5 B.9 C ．log 345D.10解析：由等比数列性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝9， 则原式＝log 3a 1a 2…a 10＝log 3(a 5a 6)5＝10.8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 25＝2a 3a 6，S 5＝－62，则a 1的值是__－2__. 9．(2018·某某调研)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5＝5，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 9＝ __9__.解析：因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质，可得a 1·a 9＝a 2·a 8＝a 3·a 7＝a 4·a 6＝a 25＝52，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 9＝log 5(a 1·a 2·…·a 9) ＝log 5[(a 1·a 9)·(a 2·a 8)·(a 3·a 7)·(a 4·a 6)·a 5]＝log 5a 95＝log 559＝9.10．(2018·某某统考)已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝4，a n ＋1＝3S n ＋4(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <89.解析：(1)因为a n ＋1＝3S n ＋4， 所以a n ＝3S n －1＋4(n ≥2)，两式相减，得a n ＋1－a n ＝3a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)． 又a 2＝3a 1＋4＝16＝4a 1，所以数列{a n }是首项为4，公比为4的等比数列，所以a n ＝4n. (2)证明：因为a n b n ＝log 2a n ，所以b n ＝2n4n ，所以T n ＝241＋442＋643＋ (2)4n ，14T n ＝242＋443＋644＋ (2)4n ＋1，两式相减得，34T n ＝24＋242＋243＋244＋…＋24n －2n4n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋142＋143＋144＋…＋14n －2n 4n ＋1＝2×14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14－2n 4n ＋1＝23－23×4n －2n4n ＋1＝23－6n ＋83×4n ＋1， 所以T n ＝89－6n ＋89×4n <89.11．(2017·某某质检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{a nn}为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n ，知a n ＋1n ＋1＝12·a nn， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为12，公比为12的等比数列，∴a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＝n2n ， ∴S n ＝121＋222＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n.B 组 能力提升练1．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( C )A ．2B.1C.12D.18解析：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，由题可知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×q 3－1，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝12.故选C.2．(2018·某某质检)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( D )A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a ＝507B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c ＝507C ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a ＝507A ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＝507解析：由题意，可得a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，b ＝12a ，c ＝12b ，故4c ＋2c ＋c ＝50，解得c ＝507.故选D.3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( B ) A ．4 B.5 C ．6D.7解析：由等比数列的性质，可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，所以a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2，所以T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5，故选B.4．(2018·某某适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 018＝( A )A ．22 017－12 B.1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 017C ．22 018－12D.1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 018解析：由a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，得q 6－16q 3＋64＝0，所以q 3＝8，即q ＝2，所以S 2 018＝a 11－q 2 0181－q ＝22 017－12.故选A.5．(2016·高考某某卷)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( C ) A ．充要条件 B.充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析：由题意，得a n ＝a 1qn －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q2n －2＋a 1q2n －1＝a 1q2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，故选C.6．若等比数列{a n }的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( D )A.32B.94 C ．1D.2解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则第2,3,4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9①，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814⇒a 21q 3＝92②，①÷②得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q 3＝1a 1＋1a 1q ＋1a 1q 2＋1a 1q3＝2.故选D. 7．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( D )A ．6 B.7 C ．8D.9解析：∵3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝3a 1＋2a 2，∴q 2－2q －3＝0，∴q ＝3或q ＝－1(舍去)．∴a 8＋a 9a 6＋a 7＝a 1q 7＋a 1q 8a 1q 5＋a 1q 6＝q 2＋q 31＋q＝q 2＝32＝9.故选D.8．(2018·某某质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝2a n －3n ，则a 2 018＝( A ) A ．22 018－1 B.32 018－6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 018－72D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13 2 018－103解析：因为3S n ＝2a n －3n ，所以当n ＝1时，3S 1＝3a 1＝2a 1－3，所以a 1＝－3；当n ≥2时，3a n ＝3S n －3S n －1＝(2a n －3n )－(2a n －1－3n ＋3)，所以a n ＝－2a n －1－3，即a n ＋1＝－2(a n －1＋1)，所以数列{a n ＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列．则a n ＋1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n，所以a n ＝(－2)n－1，所以a 2 018＝(－2)2 018－1＝22 018－1，故选A.9．(2018·某某质量预测)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝__100__.解析：由log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 22a n ，即a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列．又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100， 所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.10．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值X 围是__(－∞，－1]∪[3，＋∞)__．解析：当q >0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 1＋a 3≥1＋2a 1a 3＝1＋2a 22＝3； 当q <0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 1＋a 3≤1－2a 1a 3＝1－2a 22＝－1， 所以S 3的取值X 围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．11．(2018·某某质检)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，若a 1＝1，a 2·a 4＝16. (1)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和S n . 解析：(1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2a 4＝16，得q 4＝16，所以q ＝2，则a n ＝2n －1.又b n ＝log 2a n ，所以b n ＝n －1. (2)由(1)可知a n ·b n ＝(n －1)·2n －1，则S n ＝0×20＋1×21＋2×22＋…＋(n －1)·2n －1，2S n ＝0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n， 两式相减，得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －1－(n －1)·2n＝2－2n1－2－(n －1)·2n ＝2n (2－n )－2， 所以S n ＝2n(n －2)＋2.12．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{}a n 是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即(λ－1)a n ＋1＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0，得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132，解得λ＝－1.。

高考真题备选题库 第5章 数列第3节 等比数列及其前n 项和 考点一 等比数列的通项公式1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3 ＝ a 2 ＋10a 1 ，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13C.19D ．－19解析：本题考查等比数列的基本知识，包括等比数列的前n 项和及通项公式，属于基础题，考查考生的基本运算能力．由题知q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故选C.答案：C2．（2013北京，5分）若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查方程思想以及考生的运算求解能力．q ＝a 3＋a 5a 2＋a 4＝2，又a 2＋a 4＝20，故a 1q ＋a 1q 3＝20，解得a 1＝2，所以S n ＝2n ＋1－2. 答案：2 2n ＋1－23.（2013湖北，12分）已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解：本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式、不等式等基础知识和基本方法，考查方程思想、分类与整合思想，考查运算求解能力、逻辑思维能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1，或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35·⎝⎛⎭⎫13n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列， 从而∑n ＝1m 1a n ＝35·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910<1. 若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N ＋)，0，m ＝2k (k ∈N ＋)，故∑n ＝1m1a n<1. 综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m1a n<1. 故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．4．（2012辽宁，5分）已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1⇒2q 2－5q ＋2＝0⇒q ＝2或12，由a 25＝a 10＝a 1q 9>0⇒a 1>0，又数列{a n }递增，所以q ＝2.a 25＝a 10>0⇒(a 1q 4)2＝a 1q 9⇒a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .答案：2n5．（2010福建，4分）在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.解析：∵在等比数列{a n }中，前3项之和等于21， ∴a 1(1－43)1－4＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝4n －1.答案：4n －16．(2011新课标全国，12分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q ＞0，故q ＝13. 由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，得a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝ －(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)． 1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2n n ＋1. 所以数列{1b n }的前n 项和为－2n n ＋1. 考点二 等比数列的前n 项和1．（2013辽宁，5分）已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析：本题主要考查等比数列的性质、通项公式、求和公式，意在考查考生对等比数列公式的运用，以及等比数列性质的应用情况．由题意得，a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，由数列是递增数列得，a 1＝1，a 3＝4，所以q ＝2，代入等比数列的求和公式得S 6＝63.答案：632．（2013湖北，13分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解：本题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、等比数列的通项公式及前n 项和公式，也考查了分类讨论思想．(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 3．（2013陕西，12分）设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．解：本题考查等比数列前n 项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题，深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法．(1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．4．（2010广东，5分）已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：设数列{a n }的公比为q ，a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12，故a 1＝a 4q 3＝16，S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝31.答案：C5．（2010安徽，5分）设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X )解析：根据等比数列的性质：若{a n }是等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，即X ，Y －X ，Z －Y 成等比数列， 故(Y －X )2＝X (Z －Y )，整理得Y (Y －X )＝X (Z －X )，故选D. 答案：D6．（2010辽宁，5分）设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152 B.314 C.334D.172解析：显然公比q ≠1，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4(1－125)1－12＝314.答案：B7．（2010天津，5分）已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析：由题意可知9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝2，数列{1a n }是以1为首项，以12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.答案：C8．(2009·辽宁，5分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2 B.73 C.83D ．3解析：由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是，由S 6＝3S 3，可推出S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 答案：B考点三 等比数列的性质及应用1．（2013江西，5分）等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24解析：选A 本题考查等比数列的通项以及等比数列的性质，意在考查考生的运算能力及对基础知识的掌握情况．由等比数列的前三项为x,3x ＋3,6x ＋6，可得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(此时3x ＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x ＝－3，公比q ＝3x ＋3x＝2，所以第四项为(6x ＋6)×q ＝－24.2．（2013江苏，5分）在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．解析：本题主要考查等比数列的基本性质，意在考查学生的运算能力．设等比数列{a n }的公比为q (q >0)．由a 5＝12，a 6＋a 7＝3，可得12(q ＋q 2)＝3，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，所以a n ＝2n －6，数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －5－2－5，所以a 1a 2…a n ＝(a 1a n )n 2＝2n (n －11)2，由a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 可得2n －5－2－5>2n (n －11)2，由2n －5>2n (n －11)2，可求得n 的最大值为12，而当n ＝13时，28－2－5>213不成立，所以n 的最大值为12.答案：123．（2012新课标全国，5分）已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7解析：设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，a 10＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.答案：D4．（2010北京，5分）在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：由题知a m ＝|q |m －1＝a 1a 2a 3a 4a 5＝|q |10，所以m ＝11. 答案：C5．（2012浙江，4分）设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝____________.解析：∵S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3(a 4－a 2)，∴a 2(q ＋q 2)＝3a 2(q 2－1)， 解得q ＝－1(舍去)或q ＝32.答案：326．(2011江西，12分)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)， b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3. (1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2， 由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)． 即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n－1或a n ＝(2－2)n －1.(2)设数列{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0(*)， 由a ＞0得Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程(*)有两个不同的实根． 由数列{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得 a ＝13.。

第03讲 等比数列及其前n 项和(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析 题型一：等比数列基本量的运算 题型二：等比数列的判断与证明 题型三：等比数列的性质及其综合应用角度1：等比数列的性质角度2：等比数列与等差数列的综合问题第四部分：高考真题感悟1.等比数列的概念 (1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (0q ≠)表示．数学语言表达：1(2)nn a q n a -=≥，q 为常数，0q ≠. (2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔2G ab =. 2.等比数列的有关公式(1)若等比数列{}n a 的首项为1a ，公比是q ，则其通项公式为11n n a a q -=；可推广为n m n m a a q -=.(2)等比数列的前n 项和公式：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，11(1)11n n n a a q a q S q q--==--.3.等比数列的性质设数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．(1)若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，其中,,,m n p q N *∈.特别地，若2m n p +=，则2m n p a a a =，其中,,m n p N *∈.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ka ，k ma +，2k ma +，…仍是等比数列，公比为mq(,k m N *∈)．(3)若数列{}n a ，{}n b 是两个项数相同的等比数列，则数列{}n ba ，{}n n pa qb ⋅和{}nnpa qb (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知2、x 、8成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4 B ．4- C ．4± D ．5【答案】C解：因为2、x 、8成等比数列， 所以228x =⨯，解得4x =±； 故选：C2．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ） A ．420只 B ．520只C ． 20554-只D ． 21443-只【答案】B第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有2555⨯=只蜜蜂，……按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列则第n 天的蜜蜂数1555n nn a -=⨯=第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数205 故选：B ．3．（2022·北京·昌平一中高二期中）2与8的等比中项是（ ） A ．4 B ．5 C ．4± D ．5±【答案】C设a 为2与8的等比中项，则22816a =⨯=，解得：4a =±. 故选：C.4．（2022·湖北·蕲春县实验高级中学高二期中）已知2是2m 与n 的等差中项，1是m 与2n 的等比中项，则12m n+=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D由题可知24m n +=，21mn =，所以1228m n m n mn++==． 故选：D ．5．（2022·全国·高二单元测试）在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x y +的值为（ ） 2 4 1 2 x yB ．3C ．4D ．5【答案】A 由题意知表格为 2 4 6 12 3 12132故3222x y +=+=． 故选：A题型一：等比数列基本量的运算例题1．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二阶段练习）若等比数列{}n a 满足123a a +=，4581a a +=，则数列{}n a 的公比为（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣3D ．3【答案】D设等比数列{an }的公比为q ，由a 4+a 5＝（a 1+a 3）q 3，得3q 3＝81，解得q ＝3， 故选：D ．例题2．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））在正项等比数列{}n a 中，1236a a a a =，且416a =，则10a =（ ） A ．1024 B ．960 C ．768 D ．512【答案】A解：依题意设公比为q ，且10a >、0q >，由1236a a a a =，则33511a q a q =，即221a q =，所以1a q =，因为416a =，所以34116a q q ==，所以2q，所以2n n a =，所以101021024a ==；故选：A例题3．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中）在等比数列{}n a 中，241a a +=，352a a +=，则公比q =（ ）A ．12 B ．2 C ．1 D ．2-【答案】B设等比数列{}n a 的公比为q ，由()2424351,2+=+=+=a a a a a a q ，解得2q .故选：B.例题4．（2022·全国·模拟预测）已知{}n a 是等比数列，0n a >，1329a a a =，12312323a a a ++=． (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求使得1n n S na +≥的正整数n 的所有取值．【答案】(1)3nn a =或9n a =；(2)答案见解析．(1)因为{}n a 为等比数列，所以213229a a a a ==，又0n a ≠，所以29a =．设{}n a 的公比为()0q q >，因为12312323aa a ++=， 所以12329993q q++=，化简得24309q q q-+=，解得3q =或1q =． 当3q =时，2933n nn a -=⨯=．当1q =时，9n a =．(2)当3q =时，()1113312n n n a q S q+--==-． 由1n n S na +≥，得23332n n n +-≥⋅，化简得()9233nn -⨯≥．易知，当5n ≥时，不等式显然不成立，检验可知，满足不等式的正整数n 的所有取值为1，2，3，4．当1q =时，9n S n =，由1n n S na +≥，得()919n n +≥，此时n 的取值为一切正整数． 例题5．（2022·北京二中高二学业考试）已知数列{}n a 是等比数列，142,16a a ==， (1)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ；(2)若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .【答案】(1)2n n a =，122n n S +=-.(2)1228n b n =-,2622n T n n =-.(1)设数列{}n a 的公比为q ，则41411682a qa -===，得2q ，所以111222n n nn a a q --==⨯=.11(1)2(12)22112n n n n a q S q +--===---.(2)设等差数列{}n b 的公差为d ， 33328b a ===,555232b a ===,则5332812532b b d --===-， 所以3(3)812(3)1228n b b n d n n =+-=+-=-，2(161228)6222n n n T n n -+-==-. 方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等比数列的基本量为首项1a 和公比q ,通常利用已知条件及通项公式或前n 项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含1a ,q ,n ,n a ,n S 五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用1a ,q 表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)分类讨论思想:若题目中公比q 未知,则运用等比数列前n 项和公式时要对q 分1q =和1q ≠两种情况进行讨论.题型二：等比数列的判断与证明例题1．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且342n n S a =-． (1)求{}n a 的通项公式；【答案】(1)212n n a -=(1)当1n =时，1113423S a a =-=，解得12a =． 当2n ≥时，()113334242n n n n n a S S a a --=-=---， 整理得14n n a a -=，所以{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，故121242n n n a --=⨯=．例题2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且231n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式； 【答案】(1)13-=n n a(1)当1n =时，1112321S a a =-⇒=， 又231n n S a =-，①当2n ≥时11231n n S a --=-，② ①−②得：1233n n n a a a -=-，即13n n a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴ 13-=n n a ．例题3．（2022·江西·二模（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，212S =，且()*,m n m n a a a m n +=∈N .(1)求{}n a 的通项公式；【答案】(1)3n n a =(1)令m =n =1，得221a a =，又21212S a a =+=，解得：13a =或14a =-（负值舍去），令m =1，得11n n a a a +=，所以13n na a +=， 所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以3nn a =.证明{}n a 是等比数列 定义法1n na q a +=(n N *∈) (或者1(2)nn a q n a -=≥）等差中项法211(2)n n n a a a n -+=⋅≥判断{}n a 是等比数列{}n a 的通项关于n 的指数函数1n n a cq -=（0c ≠，0q ≠）{}n a 的前n 项和 n n S kq k =-（0c ≠，0q ≠，1q ≠）题型三：等比数列的性质及其综合应用角度1：等比数列的性质例题1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））已知{}n a 是等比数列，若0n a >，且243546225a a a a a a ++=，则35a a +=（ ）A ．10B ．25C ．5D ．15【答案】C因为{}n a 是等比数列，243546225a a a a a a ++=，所以223355225a a a a ++=，即()23525a a +=，因为0n a >， 所以355a a +=. 故选：C例题2．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））在正项等比数列{}n a 中，48128a a a =，则22214log log a a +=（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】A由4812388a a a a ==，可得82a =则()222142214282228log log log log log log 2222a a a a a a ===+==故选：A例题3．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列{}n a 中，28,a a 为方程240x x π-+=的两根，则357a a a 的值为（ ） A ．ππB ．π-C ．π±D ．3π【答案】C解：在等比数列{}n a 中，因为28,a a 为方程240x x π-+=的两根，所以2258a a a π==，所以5a π=± 所以33575a a a a π==±故选：C.例题4．（2022·河南·高二阶段练习（文））在等比数列{}n a 中，2313a a =，则28a a =______．【答案】9设等比数列{}n a 的公比为q ，由2313a a =得：2211()3a q a =，则有4513a a q ==， 所以2285()9a a a ==.故答案为：9例题5．（2022·全国·高三专题练习）在正项等比数列{}n a 中，若484a a =，则22210log log a a +=______． 【答案】2()()2221022102482log log log log log 42a a a a a a +====．故答案为：2例题6．（2022·全国·高二单元测试）等比数列{}n a 中，0n a >且243546225a a a a a a ++=，则35a a +=_______ 【答案】52435462a a a a a a ++()222335535225a a a a a a =++=+=，又等比数列{}n a 中，0n a >， 355a a ∴+=，故答案为：5．角度2：等比数列与等差数列的综合问题例题1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足()N n n b na n *=∈，且数列{}n b 的前n 项和为(1)2n n S n -+．(1)求12,a a ，并求数列{}n a 的通项公式； 【答案】(1)12a =，24a =，2n n a =(2)证明见解析 (1)由题意得12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+，①当1n =时，12a =；当2n =时，1221222444a a S a a a +=+=++⇒=； 当2n ≥时，1231123(1)(2)2(1)n n a a a n a n S n --++++-=-+-，②①-②得，1(1)(2)2(2)222(2)n n n n n n n na n S n S S n a S a n -=---+=+-+⇒=-≥，当1n =时，12a =，也适合上式，所以()22N n n S a n *=-∈，所以1122n n S a --=-，两式相减得12(2)n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =．例题2．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n *=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式； 【答案】(1)13n na =(1)当1n =时，111221a S a =-=，解得：113a =；当2n ≥时，1122211n n n n n a S S a a --=-=--+，即113n n a a -=，∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，1133nn n a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭. 例题3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））若n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，且()()*121n n S S n +=+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式； 【答案】(1)2n n a =(1)解：因为()121n n S S +=+①，*n ∈N ， 当2n ≥时，()121n n S S -=+②，由①②可得()()112121n n n n S S S S +--=+-+， 即12(2)n n a a n +=≥．1n =时，122a a S +==112222S a +=+，又12a =，所以24a =， 所以()*12n n a a n +=∈N ，所以12n na a +=， 所以数列{}n a 是等比数列，且首项为2，公比为2． 所以2n n a =．例题4．（2022·四川·树德中学高一竞赛）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()*11n n S a n N +=-∈．(1)求数列{}n a 的通项公式； 【答案】(1)12n na(1)解：由题意，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，11n n S a +=-， 当2n ≥时，可得11n n S a -=-，两式相减得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=，即12(2,)n na n n N a ++=≥∈， 当1n =时，1211S a a =-=，可得22a =，可得212a a =， 所以数列{}n a 表示首项为11a =，公比为2q的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为1112n n n a a q --==.例题5．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）在①()12n n n n a T T n ++=，②23n n n S a +=这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目.设首项为2的数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且___________. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在数列{}n a 中是否存在连续三项构成等比数列，若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)()1n a n n =+(2)不存在，理由见解析 (1)选①：()12nn n n a T T n++=， 即()12nn n a a n++=.∴12n na a n n+=+ 即()()()1211n n a a n n n n +=+++，∴数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是常数列，∴()11211n a a n n =⨯+=，故()1n a n n =+选②：因为()32n n S n a =+，所以2n ≥时，()1131n n S n a --=+， 则()()1321n n n a n a n a -=+-+，即()()111n n n a n a --=+，即111n n a n a n -+=-， 所以()114311221n n n a a n n n n +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+--， 当1n =时，12a =也满足，所以()1n a n n =+.(2)假设在数列中存在连续三项n a ，1n a +，2n a +成等比数列，那么有212n n n a a a ++=成立， 即()()()()()212123n n n n n n ⎡⎤++=+++⎣⎦成立. 即()()()123n n n n ++=+成立，即20=成立，此等式显然不成立，故原命题不成立，即不存在连续三项n a ，1n a +，2n a +成等比数列例题6．（2022·全国·高二单元测试）在①102nn a a ++=，②1661n n a a +=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，______，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.【答案】选①：312n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，存在，最大值4；选②：12566n a n =-+，存在，最大值50；选③：217242n n n a -+=，不存在，理由见解析.选①：因为102nn a a ++=，即112n n a a +=-，14a =， 所以数列{}n a 是首项为4、公比为12-的等比数列，1311422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为14S =； 当n 为偶数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+，且81814323n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，综上，n S 存在最大值，且最大值为4.选②：因为1661n n a a +=-，即116n n a a +-=-，14a =，所以{}n a 是首项为4、公差为16-的等差数列，()112541666n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭，125066n -+≥，解得25n ≤，240a >，250a =， 故n S 存在最大值，且最大值为25S 或24S ，25252414255026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，n S 的最大值为50. 选③：因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-， 所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-， 则()()()()()2111221791171622n n n n n n n n n a a a a a a a a ----+---+-=-+-+⋅⋅⋅+-==，因为14a =，所以217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.1．（2022·上海·高考真题）已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（ ） A ．若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增 B ．若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增 C ．若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥ D ．若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥ 【答案】DA ：由20222021S S >，得20220a >，即202110a q>，则1a 、q 取值同号， 若100a q <<，，则{}n a 不是递增数列，故A 错误；B ：由20222021T T >，得20221a >，即202111a q >，则1a 、q 取值同号，若100a q <<，，则数列{}n a 不是递增数列，故B 错误；C ：若等比数列11a =，公比12q =，则11()122(1)1212nn nS -==--， 所以数列{}n S 为递增数列，但20222021a a <，故C 错误；D ：由数列{}n T 为递增数列，得1n n T T ->，所以1n a >， 即1q ≥，所以20222021a a ≥，故D 正确. 故选：D2．（2022·上海·高考真题）已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .(1)若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞； (2)若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围. 【答案】(1)4；(2)[]0,1.(1)解：2123S a a =+=，则12a =，所以，等比数列{}n a 的公比为2112a q a ==， ()1114112n n n a q S q-⎡⎤⎛⎫∴==-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因此，()111lim lim lim 44412n nn n n n a q S q →∞→∞→∞-⎡⎤⎛⎫==-⋅=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(2)解：由已知可得()()12222122n n n n a a S n a a n -+==+≥，则2211n a a -+≥， 即()22231a n d +-≥，可得()231n d -≥-. 当1n =时，可得1d ≤；当2n ≥时，则231n -≥，所以，132d n≥-， 因为数列()1232n n ⎧⎫≥⎨⎬-⎩⎭为单调递增数列，而11032n -≤<-，故0d ≥. 综上所述，01d ≤≤.3．（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；【答案】（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-， 当2n ≥时，由1439n n S S +=-①， 得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=， 又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列，1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；4．（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； 【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =； （1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==.。

第五章 数列授课提示：对应学生用书第293页[A 组 基础保分练]1．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝22n －1B ．a n ＝2nC ．a n ＝22n ＋1D ．a n ＝22n －3答案：A2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578 D ．558答案：A3．(2021·西安模拟)设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5D ．159.5 解析：因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n ＝5·2n －2－12.a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.答案：C4．正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 3a 7＋a 5a 9＝16，且a 5与a 9的等差中项为4，则{a n }的公比是( ) A ．1 B ．2 C.22D ．2答案：D5．(2021·南宁统一考试)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：等比数列{a n }为递增数列的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，q ＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜0，0＜q ＜1.答案：D6．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，若S 2＋a 2＝S 3－3，则a 4＋3a 2的最小值为( )A ．12B ．9C ．16D ．18解析：因为S 3－S 2＝a 3，所以由S 2＋a 2＝S 3－3，得a 3－a 2＝3，设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＝3q q －1，由于{a n }的各项为正，所以q ＞1.a 4＋3a 2＝a 1q 3＋3a 1q ＝a 1q (q 2＋3)＝3q q －1q (q 2＋3)＝3q 2＋3q －1＝3(q －1＋4q －1＋2)≥18，当且仅当q －1＝2，即q ＝3时，a 3＋3a 2取得最小值18.答案：D7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S 6S 3＝65，则数列{a n }的公比为________．答案：48．(2021·安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值为________． 答案：29．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解析：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0， 解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．解析：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－3，解得a 1＝3， 当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－6，解得a 2＝9， 当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－9，解得a 3＝21.(2)假设{a n ＋λ}是等比数列，则(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)， 即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3. 下面证明{a n ＋3}为等比数列：∵S n ＝2a n －3n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－3n －3，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3，即2a n ＋3＝a n＋1，∴2(a n ＋3)＝a n ＋1＋3，∴a n ＋1＋3a n ＋3＝2，∴存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列． ∴a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n －1)(n ∈N *)．[B 组 能力提升练]1．(多选题)如图，在每个小格中填上一个数，使得每一行的数依次成等差数列，每一列的数依次成等比数列，则( )A.x ＝1 C ．z ＝3D ．x ＋y ＋z ＝2解析：因为每一列成等比数列，所以第一列的第3,4,5个小格中的数分别是12，14，18，第三列的第3,4,5个小格中的数分别是1，12，14，所以x ＝1.又每一行成等差数列，所以y ＝14＋3×12－142＝58，z －18＝2×18，所以z ＝38，所以x ＋y ＋z ＝2.故A ，D 正确；B ，C错误． 答案：AD2．已知等比数列{a n }满足a 4＋a 6a 1＋a 3＝18，a 5＝4，记等比数列{a n }的前n 项积为T n ，则当T n取最大值时，n ＝( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．6或7D ．7或8答案：C3．已知正项等比数列{a n }满足a 2·a 27·a 2 020＝16，则a 1·a 2·…·a 1 017＝( ) A ．41 017 B ．21 017 C ．41 018 D ．21 018答案：B4．(多选题)已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＋b 2＝7，a 3＋b 3＝13.记c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，数列{c n }的前n 项和为S n ，则( ) A ．a n ＝2n －1 B ．b n ＝2nC ．S 9＝1 409D ．S 2n ＝2n 2－n ＋43(4n－1)解析：设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q (q ≠0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＋2q ＝7，1＋2d ＋2q 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，故a n ＝2n －1，b n ＝2n ，故A ，B 正确；则c 2n －1＝a 2n －1＝4n －3，c 2n ＝b 2n ＝4n ，所以数列{c n }的前2n 项和S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝n 1＋4n －32＋41－4n 1－4＝2n 2－n ＋43(4n －1)，S 9＝S 8＋a 9＝385，故C 错误，D 正确． 答案：ABD5．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋na m＝a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案：2n ＋1－26．(2021·黄冈模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1a 6＝2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，则S 5＝________.答案：317．(2021·山东德州模拟)给出以下三个条件：①数列{a n }是首项为2，满足S n ＋1＝4S n ＋2的数列；②数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝22n ＋1＋λ(λ∈R )的数列； ③数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝a n ＋1－2的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 与S n 满足________，记数列b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，c n ＝n 2＋nb n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解析：选条件①.由已知S n ＋1＝4S n ＋2，可得当n ≥2时，S n ＝4S n －1＋2， 两式相减，得a n ＋1＝4(S n －S n －1)＝4a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，当n ＝1时，S 2＝4S 1＋2，即2＋a 2＝4×2＋2，解得a 2＝8，满足a 2＝4a 1， 故数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1， 所以b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，所以c n ＝n 2＋n b n b n ＋1＝n n ＋1n 2n ＋12＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1. 故T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.选条件②.由已知3S n ＝22n ＋1＋λ，可得当n ≥2时，3S n －1＝22n －1＋λ，两式相减，得3a n ＝22n ＋1－22n －1＝3·22n －1，即a n ＝22n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝2满足a n ＝22n －1，故数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1. 以下同选条件①. 选条件③.由已知3S n ＝a n ＋1－2，可得当n ≥2时，3S n －1＝a n －2， 两式相减，得3a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，当n＝1时，3a1＝a2－2，又a1＝2，所以a2＝8，满足a2＝4a1，故数列{a n}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n＝22n－1.以下同选条件①.[C组创新应用练]1．(多选题)设数列{a n}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n 项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中正确的是( )A．0＜q＜1B．a7＝1C．K9＞K5D．K6与K7均为K n的最大值解析：若K6＝K7，则a7＝K7K6＝1，故B正确；由K5＜K6可得a6＝K6K5＞1，则q＝a7a6∈(0,1)，故A正确；由数列{a n}是各项为正数的等比数列且q∈(0,1)，可得数列{a n}单调递减，则有K9＜K5，故C错误；结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确．答案：ABD2．(2021·湖南常德模拟)某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防．规定每人每天早晚八时各服一次，现知每次药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%.某人上午八时第一次服药，至第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留( )A．220毫克B．308毫克C．123.2毫克D．343.2毫克解析：设第n次服药后，药在体内的残留量为a n毫克，则a1＝220，a2＝220＋a1×(1－60%)＝220×1.4＝308，a3＝220＋a2×(1－60%)＝343.2.答案：D3．设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{A n}为等比数列的充要条件是( )A．{a n}是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同解析：∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列． 答案：D。

第3节 等比数列及其前n 项和考试要求 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.体会等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数). (2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝±ab . 2.等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；通项公式的推广：a n ＝a m qn －m.(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q1－q.3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和.(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .[微点提醒]1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列.2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修5P53A1(2)改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A.－12B.－2C.2D.12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.答案 D3.(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案 27，814.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A.2B.4C.92D.6解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2. 又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4. 答案 B5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322f C.1225fD.1227f解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为122的等比数列，设此数列为{a n }，则a 8＝1227f ，即第八个单音的频率为1227f . 答案 D6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.解析 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n）1－2＝126，解得n ＝6. 答案 6考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.(2)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 (1)－8 (2)32规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.【训练1】 (1)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝( ) A.9B.15C.18D.30(2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2S 3＝2（a 1＋a 1q ＋a 1q 2）＝8a 1＋3a 1q ，a 1q 3＝16， 解得q ＝2，a 1＝2，所以S 4＝2（1－24）1－2＝30.(2){a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.答案 (1)D (2)1考点二 等比数列的判定与证明【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ， 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)解 由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.规律方法 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n ＝1的情形进行验证.【训练2】 (2019·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)， 又由题意知a 1－2a 1＝－3， 所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n＝4（1－2n）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.考点三 等比数列的性质及应用【例3】 (1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40B.60C.32D.50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D. 2(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________. 解析 (1)根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.(2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3， ∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a (a ≠0)，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73. 答案 (1)B (2)73[思维升华]1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.(2)分类讨论思想：如求和时要分q ＝1和q ≠1两种情况讨论，判断单调性时对a 1与q 分类讨论. [易错防范]1.特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况.2.S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1时且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立.数学运算——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想. 类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. (2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.解析 (1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2. 又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38，显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d . 由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案 (1)10 (2)5类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B.－18C.578D.558解析 (1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a9＝18.答案 (1)C (2)A类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . 若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q nS m (q 为公比).【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________.解析 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160， 所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0. 则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案 (1)2 (2)3116基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A.8B.9C.10D.11解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9， ∴m ＝10. 答案 C2.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( ) A.16B.8C.2 2D.4解析 因为a 4与a 14的等比中项为22， 所以a 4·a 14＝a 7·a 11＝(22)2＝8， 所以2a 7＋a 11≥22a 7a 11＝22×8＝8， 所以2a 7＋a 11的最小值为8. 答案 B3.(2019·上海崇明区模拟)已知公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝3a 3，则S 5＝( ) A.1B.5C.3148D.1116解析 由题意得a 1（1－q 3）1－q ＝3a 1q 2，解得q ＝－12或q ＝1(舍)，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1251－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1116. 答案 D4.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏解析 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.答案 B5.(2019·深圳一模)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，则ab＝( )A.－3B.－1C.1D.3解析 ∵等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，∴a 1＝S 1＝a ＋b ，a 2＝S 2－S 1＝3a ＋b －a －b ＝2a ，a 3＝S 3－S 2＝9a ＋b －3a －b ＝6a ，∵等比数列{a n }中，a 22＝a 1a 3， ∴(2a )2＝(a ＋b )×6a ，解得a b＝－3.答案 A 二、填空题6.等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 13＋a 14a 14＋a 15＝________.解析 设{a n }的公比为q .由题意得a 1＋2a 2＝a 3，则a 1(1＋2q )＝a 1q 2，q 2－2q －1＝0，所以q ＝1＋2(舍负). 则a 13＋a 14a 14＋a 15＝1q＝2－1.答案2－17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 解析 ∵a n ＋S n ＝1，①∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，则a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n . 答案12n 8.(2018·南京模拟)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n ＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________.解析 由a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )得，a 2n ＋1－4a n ＋1a n ＋4a 2n ＝0，∴(a n ＋1－2a n )2＝0，a n ＋1a n ＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列，∴S 9＝2(1－29)1－2＝1 022. 答案 1 022 三、解答题9.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2.故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解. 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.10.已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是一个首项为1，公差为2的等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n1－3＝3n－12.T n ≤S n 即3n－12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T 1>1的n 的最小值为( ) A.4B.5C.6D.7解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6.答案 C12.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( ) A.(3n－1)2B.12(9n－1)C.9n－1D.14(3n－1) 解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n－1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n－3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列. 因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n)1－9＝12(9n－1).答案 B13.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝______.解析 ∵{a n }是等比数列，a 3a 11＝2a 25， ∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1（1－q 4）1－q ＋a 1（1－q 12）1－q ＝λa 1（1－q 8）1－q，∴1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)， 将q 4＝2代入计算可得λ＝83.答案 8314.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数). (1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ； (2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n . 解 (1)因为a n ＋1＝2a n ＋λ，所以a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ). 又a 1＝1，所以当λ＝－1时，a 1＋λ＝0，数列{a n ＋λ}不是等比数列， 此时a n ＋λ＝a n －1＝0，即a n ＝1；当λ≠－1时，a 1＋λ≠0，所以a n ＋λ≠0，所以数列{a n ＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列， 此时a n ＋λ＝(1＋λ)2n －1，即a n ＝(1＋λ)2n －1－λ.(2)由(1)知a n ＝2n－1，所以n (a n ＋1)＝n ×2n，T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，②①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋ (2)－n ×2n ＋1＝2（1－2n）1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2.所以T n＝(n－1)2n＋1＋2.新高考创新预测15.(创新思维)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝e a1＋a2＋a3.若a1>1，则下列选项可能成立的是( )A.a1<a2<a3<a4B.a1＝a2＝a3＝a4C.a1>a2>a3>a4D.以上结论都有可能成立解析构造函数f(x)＝e x－x－1，f′(x)＝e x－1＝0，x＝0，得极小值f(0)＝0，故f(x)≥0，即e x≥x＋1恒成立(x＝0取等号).a1＋a2＋a3＋a4＝e a1＋a2＋a3>a1＋a2＋a3＋1⇒a4>1⇒q>0，且a2>1，a3>1，若公比q∈(0，1]，则4a1≥a1＋a2＋a3＋a4＝e a1＋a2＋a3>e2＋a1>7e a1>7a1＋7>4a1，产生矛盾.所以公比q>1，故a1<a2<a3<a4.故选A.答案 A。

课时作业1．(2022·三明月考)若S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n－2，则S8等于( ) A．255 B．256C．510 D．511【解析】　当n＝1时，a1＝2a1－2，据此可得：a1＝2，当n≥2时：S n＝2a n－2，S n－1＝2a n－1－2，两式作差可得：a n＝2a n－2a n－1，则：a n＝2a n－1，据此可得数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为：S8＝2×（1－28）1－2＝29－2＝512－2＝510．故选C．【答案】　C2．等比数列{a n}中，其公比q<0，且a2＝1－a1，a4＝4－a3，则a4＋a5等于( ) A．8 B．－8C．16 D．－16【解析】　q2＝a3＋a4a1＋a2＝4，q＝－2．a4＋a5＝(a3＋a4)q＝－8．【答案】　B3．(2022·湛江二模)已知递增的等比数列{a n}中，a2＝6，a1＋1、a2＋2、a3成等差数列，则该数列的前6项和S6＝( )A．93 B．189C．18916D．378【解析】　设数列的公比为q，由题意可知：q>1，且：2(a2＋2)＝a1＋1＋a3，即：2×(6＋2)＝6q＋1＋6q，整理可得：2q2－5q＋2＝0，则q＝2，(q＝12舍去)．则：a1＝62＝3，该数列的前6项和S6＝3×（1－26）1－2＝189．故选B．【答案】　B4．(2022·贵阳一中模拟考试)已知各项均为正数的等比数列{a n}，前3项和为13，a3＝a2·a4，则a4＝( )A．13B．19C．1 D．3 【解析】　∵a3＝a2a4，又a n＞0，∴a3＝1，S3＝a3q2＋a3q＋1＝13，又q＞0，∴q＝13，∴a4＝a3q＝13，【答案】　A5．(2022·贵州模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝32，S3＝214，则数列{a n}的公比为( )A．2或12B．－2或－12C．－12或2 D．12或－2【解析】　设等比数列{a n}的公比为q，则a2＝a1q＝32，S3＝a1(1＋q＋q2)＝214，两式相除得（1＋q＋q2）q＝72，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝12或2．故选A．【答案】　A6．(2022·安徽淮北模拟)5个数依次组成等比数列，且公比为－2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为( )A．－2120B．－2C．－2110D．－215【解析】　由题意可知设这5个数分别为a，－2a，4a，－8a，16a，a≠0，故奇数项和与偶数项和的比值为a＋4a＋16a－2a－8a＝－2110．【答案】　C7．(2022·大庆二模)已知各项均不为0的等差数列{a n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}为等比数列，且b7＝a7，则b1·b13＝( )A．16 B．8C．4 D．2【解析】　各项均不为0的等差数列{a n}，2a3－a27＋2a11＝0∴4a7－a27＝0，∴a7＝4b1·b13＝b27＝a27＝16．故选A【答案】　A8．(2022·山西晋中一模)已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝16，2a2＋a3＝a4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a100等于( )A．11 000 B．5 050C．5 000 D．10 000【解析】　设等比数列{a n}的公比为q，因为等比数列{a n}的各项均为正数，所以q＞0，因为2a2＋a3＝a4，所以2a2＋a2q＝a2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因为2a1＋3a2＝16，即2a1＋3a1q＝16，解得a1＝2，所以通项公式为a n＝a1q n－1＝2×2n－1＝2n，所以log2a n＝log22n＝n，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a100＝1＋2＋3＋…＋100＝（1＋100）×1002＝5050．故选B．【答案】　B9．(多选)(2022·广东肇庆模拟)已知数列{a n}是等比数列，公比为q，前n项和为S n，下列判断错误的有( )A．{1a n}为等比数列B．{log2a n}为等差数列C．{a n＋a n＋1}为等比数列D．若S n＝3n－1＋r，则r＝－1 3【解析】　令b n＝1a n，则b n＋1b n＝a na n＋1＝1q(n∈N＋)，所以{1a n}是等比数列，选项A正确；若a n＜0，则log2a n无意义，所以选项B错误；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，所以选项C 错误；若S n ＝3n －1＋r ，则a 1＝S 1＝1＋r ，a 2＝S 2－S 1＝3＋r －(1＋r )＝2， a 3＝S 3－S 2＝9＋r －(3＋r )＝6， 由{a n }是等比数列，得a 2＝a 1a 3，即4＝6(1＋r )，解得r ＝－13，所以选项D 正确．故选BC ．【答案】　BC10．(多选)(2022·浙江镇海中学模拟)设{a n }为等比数列，设S n 和T n 分别为{a n }的前n 项和与前n 项积，则下列选项正确的是( )A ．若S 2023≥S 2 022，则{S n }不一定是递增数列B ．若T 2 024≥T 2 023，则{T n }不一定是递增数列C ．若{S n }为递增数列，则可能存在a 2 022＜a 2 021D ．若{T n }是递增数列，则a 2 022＞a 2 021一定成立【解析】　对于选项A ，当{a n }为：1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…，时，S 2 023＝1，S 2 022＝0，S 2 021＝1，满足S 2 023≥S 2 022，但S 2 021＞S 2 022， 所以{S n }不是递增数列，故选项A 正确；对于选项B ，当{a n }为：1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…，时，T 2 023＝－1，T 2 024＝1，T 2 026＝－1，满足T 2 024≥T 2 023，但{T n }不是递增数列，故选项B 正确；对于选项C ，当{a n }为：1，12，14，18，…，时，S n ＝1－12n1－12＝2(1－12n )，满足{S n }为递增数列，此时a 2 022＝122 021＜a 2 021＝122 020，故选项C 正确； 对于选项D ，当{a n }为：2，2，2，…，时， T n ＝2n ，满足{T n }是递增数列，但是a 2 022＝a 2 021＝2，故选项D 不正确． 【答案】　ABC11．(2022·北京海淀高三上期末)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若－S 1、S 2、a 3 成等差数列，则数列{a n }的公比为________．【解析】　设等比数列{a n }的公比为q ，因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，－S 1、S 2、a 3成等差数列，所以2S 2＝－S 1＋a 3，则2(a 1＋a 2)＝－a 1＋a 3，因此3a 1＋2a 2＝a 3，所以q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1． 【答案】　3或－112．(2022·新乡三模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N )．【解析】　很明显等比数列的公比q ≠1，则由题意可得：S 3S 6＝a 1（1－q 3）1－qa 1（1－q 6）1－q＝11＋q 3＝89，解得：q ＝12，则：a n ＋1a n －a n －1＝a n －1q 2a n －1q －a n －1＝q 2q －1＝1412－1＝－12．【答案】　－1213．(2022·石家庄二模)已知前n 项和为S n 的等比数列{a n }中，8a 2＝a 3a 4，S 5＝a 6－4． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：14≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n <12．【解】　(1)设等比数列{a n }的公比为q ，首项为a 1， 由8a 2＝a 3a 4有q 3＝a 3a 4a＝8，可得q ＝2， 又由S 5＝a 6－4，有a 1（1－25）1－2＝32a 1－4，解得a 1＝4，有a n ＝4×2n －1＝2n ＋1．故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1． (2)证明：由1an ＝(12)n ＋1，可得1a1＋1a2＋…＋1a n＝14[1－(12)n]1－12＝12－12n＋1，又n∈N*，所以12－12n＋1<12；而12－12n＋1显然随n的增大而增大，所以12－12n＋1≥14，因此14≤1a1＋1a2＋…＋1a n<12．14．(2022·威海市高三模拟)已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n3n，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【解】　(1)∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，所以a2＝4．又∵2a1，a2，a3＋1成等比数列，∴a2＝2a1·(a3＋1)，即a2＝2(a2－d)·(a2＋d＋1)，解得，d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1，故a n＝3n－2．(2)b n＝a n3n＝3n－23n＝(3n－2)·13n，∴T n＝1×13＋4×132＋7×133＋…＋(3n－2)×13n，①①×13得13T n＝1×132＋4×133＋7×134＋…＋(3n－5)×13n＋(3n－2)×13n＋1．②①－②得2 3 T n＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋ (3)13n－(3n－2)×13n＋1＝13＋3×132（1－13n－1）1－13－(3n－2)×13n＋1＝56－12×13n－1－(3n－2)×13n＋1，∴T n＝54－14×13n－2－3n－22×13n＝54－6n＋54×13n．。

第三讲 等比数列及其前n 项和ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 等比数列的概念 (1)等比数列的定义如果一个数列__从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)__，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的__公比__，通常用字母__q __表示．符号语言：__a n ＋1a n＝q __(n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么__G __叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝__ab __.注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab >0时，a 、b 才有等比中项，且有互为相反数的两个．知识点二 等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝__a 1q n －1__＝__a m q n －m __.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧__na 1__，q ＝1，__a 1(1－q n )1－q __(＝__a 1－a n q1－q __)，q ≠1. 知识点三 等比数列的主要性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *，特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和{pa nqb n}(其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．(4)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列．当q ＝－1且k 为偶数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…不是等比数列．(5)等比数列{a n }的单调性①满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列．②满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．③当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．④当q <0时，{a n }为摆动数列．重要结论1．等比数列的概念的理解(1)等比数列中各项及公比都不能为零．(2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)，并不能断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. (3)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．(4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n ；若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .(5)若{a n }是等比数列，且a n >0(n ∈N *)，则{log a a n }(a >0且a ≠1)成等差数列，反之亦然． (6)若{a n }是等差数列，则{aa n }(a >0，a ≠1)成等比数列，反之亦然．(7)三个数成等比数列可设三数为bq ，b ，bq ，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为b q 3，bq，bq ，bq 3.2．等比数列前n 项和公式的推导方法__错位相减法__.双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列命题不正确的是( ABCD )A ．满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列B ．如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列C ．如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列D ．数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列 题组二 走进教材2．(必修5P 54A 组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__12,48__.[解析] 设该数列的公比为q ，由题意知，192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48.3．(必修5P 62B 组T2改编)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则{a n }的通项公式a n ＝__－(－12)n －1__.[解析] 因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝－132，因为S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，所以q 5＝－132，q ＝－12，则a n ＝－1×(－12)n －1＝－(－12)n －1.题组三 考题再现4．(2018·北京，5)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( D ) A ．32f B ．322f C ．1225f D ．1227f[解析] 本题主要考查等比数列的概念和通项公式，数学的实际应用． 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为122的等比数列，设此数列为{a n }，则a 8＝1227f ，即第八个单音的频率为1227f ，故选D ．5．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( C )A ．16B ．8C ．4D ．2[解析] 设数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 5＝3a 3＋4a 1，得a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，得q 4－3q 2－4＝0，令q 2＝t ，则t 2－3t －4＝0，解得t ＝4或t ＝－1(舍去)，所以q 2＝4，即q ＝2或q ＝－2(舍去)．又S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.故选C ．6．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝__1213__. [解析] 解法一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13(1－35)1－3＝1213.解法二：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以a 2a 6＝a 6，所以a 2＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35)1－3＝1213.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 等比数列的基本运算——自主练透例1 (1)(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( C )A ．2B ．1C ．12D ．18(2)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( A )A ．96里B ．48里C ．192里D ．24里(3)(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝__58__.(4)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝2，S 4＝5S 2，则a 6＝__16或－16__. [解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4(14×q 3－1)，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，即q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝12，故选C ．(2)由题意得，将该人每天所走的路程依次排列，形成一个公比为12的等比数列，记为{a n }，其前6项和等于378，于是有a 1[1－(12)6]1－12＝378，解得a 1＝192，所以a 2＝12a 1＝96，即该人第二天走了96里，故选A ．(3)解法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1及S 3＝34，易知q ≠1.把a 1＝1代入S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝34，得1＋q ＋q 2＝34，解q ＝－12，所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1×[1－(－12)4]1－(－12)＝58. 解法二：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝34，a 1＝1，所以1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－12，所以a 4＝a 1·q 3＝(－12)3＝－18，所以S 4＝S 3＋a 4＝34＋(－18)＝58.解法三：设等比数列{a n }的公比为q ，由题意易知q ≠1.设数列{a n }的前n 项和S n ＝A (1－q n )(其中A 为常数)，则a 1＝S 1＝A (1－q )＝1 ①，S 3＝A (1－q 3)＝34 ②，由①②可得A ＝23，q＝－12.所以S 4＝23×[1－(－12)4]＝58.(4)设等比数列的公比为q ，由a 3＝2知：若q ＝1，则S 4＝8，而5S 2＝20，不合题意．∴q ≠1，∴a 1(1－q 4)1－q ＝5a 1(1－q 2)1－q，解得q ＝2或－2.当q ＝2时，a 6＝a 3·q 3＝16，当q ＝－2时，a 6＝a 3q 3＝－16，即a 6＝16或－16. 名师点拨 ☞等比数列基本量的求法等比数列的计算涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知其三就能求其二，即根据条件列出关于a 1，q 的方程组求解，体现了方程思想的应用．特别提醒：在使用等比数列的前n 项和公式时，q 的值除非题目中给出，否则要根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．考点二 等比数列的判定与证明——师生共研例2 已知数列{a n }的首项a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝23.(1)求证：{1a n －1}是等比数列，并求出{a n }的通项公式；(2)求数列{1a n }的前n 项和T n .[解析] (1)记b n ＝1a n－1，则b n ＋1b n ＝1a n ＋1－11a n －1＝2a n ＋13a n －11a n－1＝2a n ＋1－3a n3－3a n ＝1－a n 3(1－a n )＝13，又b 1＝1a 1－1＝32－1＝12，所以{1a n －1}是首项为12，公比为13的等比数列．所以1a n －1＝12·(13)n －1，即a n ＝2·3n －11＋2·3n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －11＋2·3n －1.(2)由(1)知，1a n －1＝12·(13)n －1，即1a n ＝12·(13)n －1＋1. 所以数列{1a n }的前n 项和T n ＝12(1－13n )1－13＋n ＝34(1－13n )＋n .名师点拨 ☞等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中． 〔变式训练1〕(1)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( D ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列(2)(2018·课标全国Ⅰ，17)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .①求b 1，b 2，b 3；②判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； ③求{a n }的通项公式．[解析] (1)设等比数列的公比为q ，则a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，a 9＝a 1q 8，满足(a 1q 5)2＝a 1q 2·a 1q 8，即a 26＝a 3·a 9. (2)①由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.②{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． ③由②可得a nn＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.考点三 等比数列性质的应用——多维探究角度1 等比数列项的性质的应用例3 (1)(2020·洛阳市第一次联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两根，则a 2a 16a 9的值为( B )A ．－2＋22B ．－ 2C ．2D ．－2或 2(2)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝__5__.[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－ 2.故选B ．(2)由题意知a 1a 5＝a 23＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 3＝2.所以a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25.所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.名师点拨 ☞(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．角度2 等比数列前n 项和的性质例4 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝__2__.(2)(2020·浙江丽水模拟)已知各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 3＝10，S 9＝70，那么S 12＝( A )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50[分析] (2)可将S 3，S 9用a 1和公比q (显然q ≠1)表示，解方程组求出a 1、q 进而可求S 12；但利用S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列运算简便；注意到S n ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1)＝a 11－q －a 11－q·q n，故可设S n ＝A －Aq n 求解． [解析] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.(2)解法一：设等比数列的公比为q ，显然q ≠1， 又S n ＝a 1(1－q n )1－q，∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝q 6＋q 3＋1＝7.∴q 3＝2或－3(舍去)． 又S 12S 3＝1－q121－q 3＝1－(q 3)41－q 3＝15. ∴S 12＝15S 3＝150.故选A ．解法二：∵S 9＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9) ＝S 3＋q 3S 3＋q 6S 3＝S 3(1＋q 3＋q 6)，∴10(q 6＋q 3＋1)＝70，∴q 3＝2或－3(舍去)， ∴S 12＝S 9＋q 9S 3＝70＋80＝150.故选A ．解法三：由等比数列的性质知S 3、S 6－S 3、S 9－S 6、S 12－S 9是等比数列，∴(S 6－10)2＝10(70－S 6)，解得S 6＝30或－20(舍去)，又(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)(S 12－S 9)，即402＝20(S 12－70)，解得S 12＝150.故选A ．解法四：设等比数列前n 项和为S n ＝A －Aq n ，则⎩⎪⎨⎪⎧A (1－q 9)＝70，A (1－q 3)＝10，两式相除得1＋q 3＋q 6＝7， 解得q 3＝2或－3(舍去)，∴A ＝－10. ∴S 12＝－10(1－24)＝150.故选A ．[引申]本例(2)中若去掉条件“各项都是正数”，结果如何？ [解析] 由本例解法一知q 3＝2或－3， 当q 3＝2时，S 12＝S 9＋q 9S 3＝70＋80＝150；当q 3＝－3时，S 12＝S 9＋q 9S 3＝70－270＝－200.故选C ． 名师点拨 ☞(1)等比数列前n 项和的性质主要是：若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列． (2)利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度．解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口．(3)注意等比数列前n 项和公式的变形．当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 11－q －a 11－q ·q n ，即S n＝A －Aq n (q ≠1)．(4)S 2n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n (1＋q n ＋q 2n )，…. 〔变式训练2〕(1)(角度1)在等比数列{a n }中，若a 3＝4，a 9＝1，则a 6＝__±2__，若a 3＝4，a 11＝1，则a 7＝__2__.(2)(角度1)(2020·内蒙古呼和浩特一中摸底)已知数列{a n }是递减的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2·a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( B )A ．8－12n －3B ．16－12n －4C ．2n －3－8D ．16－2n －3(3)(角度2)(2020·吉林统考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12＝7S 4，则S 8S 4＝( C )A ．13B ．13或12C ．3D ．3或－2[解析] (1)设数列{a n }的公比为q ，则a 3，a 6，a 9组成的新数列的公比为q 3.若a 3＝4，a 9＝1，则a 26＝4，a 6＝±2，合题意； a 3，a 7，a 11组成的新数列的公比为q 4，由a 3＝4，a 11＝1，得a 27＝4，当a 7＝2时，q 4＝12，合题意，当a 7＝－2时，q 4＝－12，不合题意，舍去．(2)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2·a 3＝8，∴a 1·a 4＝8，又a 1＋a 4＝9且数列{a n }是递减数列，∴a 1＝8，a 4＝1，∴q 3＝18，∴q ＝12，∴S n ＝8(1－12n )1－12＝16－12n －4，故选B ．(3)不妨设S 4＝1，则S 12＝7， ∵S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列， ∴(S 8－1)2＝7－S 8，解得S 8＝3或－2， 又S 8＝(1＋q 4)S 4>0，∴S 8＝3，∴S 8S 4＝3.故选C ．另解：由题意S 12S 4＝(1＋q 4＋q 8)S 4S 4＝1＋q 4＋q 8＝7即q 8＋q 4－6＝0，∴q 4＝2或－3(舍去)，∴S 8S 4＝(1＋q 4)S 4S 4＝1＋q 4＝3，故选C ．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升等差、等比数列的综合运用例5 (2020·重庆巴蜀中学期中)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，{b n }为各项均为正数的等比数列，b 1＝2，且b 2＋S 2＝7，a 2＋b 3＝10.(1)求a n 与b n ；(2)定义新数列{C n }满足C n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，(n 为奇数)b n ，(n 为偶数)(n ∈N *)求{C n }前20项的和T 20.[分析] (1)用等差、等比数列基本公式求解； (2)分组求和即可．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q >0)，则由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2q ＋2＋d ＝7，1＋d ＋2q 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2d ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－1d ＝7(舍去)，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，b n ＝b 1q n －1＝2n .(2)由题意知C n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n 为奇数)，2n (n 为偶数).∴T 20＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4＋…＋C 19＋C 20 ＝1＋22＋3＋24＋…＋19＋220 ＝(1＋3＋…＋19)＋(22＋24＋…＋220) ＝10(1＋19)2＋4(1－410)1－4＝100＋43(410－1)．[引申](1)本例中数列{C n}的前n 项和T n＝__⎩⎨⎧n 24＋43(2n－1)(n 为偶数)，(n ＋1)24＋43(2n －1－1)(n 为奇数).__.(2)本例中若C n ＝a n ·b n ，则{C n }的前n 项和T n ＝__(n －1)·2n ＋1＋2__.[解析] (1)当n 为偶数时T n ＝＋＝n 24＋4(1－4n 2)1－4＝n 24＋43(2n－1)．当n 为奇数时T n ＝＝(n ＋1)24＋4(1－4n -12)1－4＝(n ＋1)24＋43(2n －1－1)．∴T n＝⎩⎨⎧n 24＋43(2n－1)(n 为偶数)，(n ＋1)24＋43(2n －1－1)(n 为奇数).(2)T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n ① 则2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)2n ＋n ·2n ＋1② ①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2. 名师点拨 ☞(1)若{a n }，{b n }分别为等差、等比数列，则求{a n ·b n }前n 项和时用“错位相减法”． (2)求奇数项与偶数项表达式不同的数列的前n 项和一般用分组求和法．(注意当n 为偶数时，奇数项、偶数项都是n2项；当n 为奇数时，奇数项有n ＋12项，偶数项为n －12项)需对n 进行分类讨论求解．〔变式训练3〕(2016·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．[解析] (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3，即b n ＋1b n ＝13.因此数列{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1－(13)n1－13＝32－12×3n －1.。

第三节 等比数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的数学表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1＝a m qn －m.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q q ≠1.[常用结论]1．在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .2．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍然是等比数列．3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n，其中当公比为－1时，n 为偶数时除外．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a.( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)×2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12D [由通项公式及已知得a 1q ＝2①，a 1q 4＝14②，由②÷①得q 3＝18，解得q ＝12.故选D.]3．已知数列{a n }满足a n ＝12a n ＋1，若a 3＋a 4＝2，则a 4＋a 5＝( )A.12 B ．1 C ．4 D ．8 C [∵a n ＝12a n ＋1，∴a n ＋1a n＝2.∴a 4＋a 5＝2(a 3＋a 4)＝2×2＝4.故选C.]4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19C [∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，∴a 3＝9a 1，即公比q 2＝9，又a 5＝a 1q 4，∴a 1＝a 5q 4＝981＝19.故选C.] 5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________. 6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S n ＝126，∴21－2n1－2＝126，解得n ＝6.]等比数列的基本运算1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6B [因为3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，所以两式相减，得3(S 3－S 2)＝(a 4－2)－(a 3－2)，即3a 3＝a 4－a 3，得a 4＝4a 3，所以q ＝a 4a 3＝4.]2．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 2＝________.－3或32 [法一：∵数列{a n }是等比数列，∴当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，显然S 3＝3a 3＝92.当q ≠1时，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 31－q ＝92，a 1q 2＝32，解得q ＝－12或q ＝1(舍去)．∴a 2＝a 3q ＝32×(－2)＝－3.综上可知a 2＝－3或32.法二：由a 3＝32得a 1＋a 2＝3.∴a 3q 2＋a 3q＝3， 即2q 2－q －1＝0， ∴q ＝－12或q ＝1.∴a 2＝a 3q ＝－3或32.]3．(2019·某某模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n 且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝________.2n－1 [设等比数列的公比为q ，则 (a 1＋a 3)q ＝(a 2＋a 4)，即q ＝5452＝12，由a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝52可知a 1＝2.∴a n ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n －2.S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .∴S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 12n －2＝2n －1.] [规律方法]1等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程组便可迎刃而解.2等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和等比数列的判定与证明【例1】 (2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． [解](1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.[规律方法]1证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，(1)求证：{b n }是等比数列． (2)求{a n }的通项公式．[解](1)因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．所以a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，所以a n ＝(3n －1)·2n －2.等比数列性质的应用【例2】 (1)等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．5(2)(2019·某某调研)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ·a m ＋2＝2a m ＋1(m ∈N *)，数列{a n }的前n 项积为T n ，且T 2m ＋1＝128，则m 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6(3)等比数列{a n }满足a n ＞0，且a 2a 8＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 9＝________. (1)C (2)A (3)9 [(1)因为{a n }为等比数列，所以a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项， 所以(a 5＋a 7)2＝(a 1＋a 3)(a 9＋a 11)，故a 9＋a 11＝a 5＋a 72a 1＋a 3＝428＝2； 同理，a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项， 所以(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)，故a 13＋a 15＝a 9＋a 112a 5＋a 7＝224＝1. 所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3.(2)因为a m ·a m ＋2＝2a m ＋1，所以a 2m ＋1＝2a m ＋1，即a m ＋1＝2，即{a n }为常数列．又T 2m ＋1＝(a m ＋1)2m ＋1，由22m ＋1＝128，得m ＝3，故选A.(3)由题意可得a 2a 8＝a 25＝4，a 5＞0，所以a 5＝2，则原式＝log 2(a 1a 2……a 9)＝9log 2a 5＝9.] [规律方法]1在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.2等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n 项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(1)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________. (2)(2019·某某模拟)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.(1)－12 (2)－53 [(1)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，所以q ＝－12.(2)因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9， 所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－98＝－53.]1．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏B [设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2，∴S 7＝a 11－q 71－q ＝a 11－271－2＝381，解得a 1＝3.故选B.]2．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84B [∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，∴3＋3q 2＋3q 4＝21. ∴1＋q 2＋q 4＝7.解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)． ∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B.]3．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. －8 [设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3， ∴a 1(1＋q )＝－1，①a 1(1－q 2)＝－3.②②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2.∴a 1＝1，∴a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.]4．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．64 [设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8. 故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1n2＝23n －n 22＋n2＝2－n 22＋72n .记t ＝－n 22＋7n2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64.]5．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . [解](1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.。

第三节等比数列☆☆☆2021考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.理解等比数列的概念；2.把握等比数列的通项公式与前n项和公式；3.了解等比数列与指数函数的关系。

2022，全国卷Ⅲ，17,12分(等比数列的证明、通项公式)2022，全国卷Ⅰ，15,5分(等比数列有关最值问题)2021，全国卷Ⅱ，4,5分(等比数列的计算)2021，全国卷Ⅱ，17,12分(等比数列的判定、基本运算与性质)主要以选择题、填空题的形式考查等比数列的基本运算与简洁性质。

解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查。

微学问小题练自|主|排|查1．等比数列的有关概念(1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。

②符号语言：a n＋1a n＝q(n∈N*，q为非零常数)。

(2)等比中项：假如a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab。

2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n＝a1q n－1。

(2)前n项和公式：S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na1，q＝1，a11－q n1－q＝a1－a n q1－q，q≠1。

3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n＝a m·q n－m(m，n∈N*)。

(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q。

特殊地，若m＋n＝2p，则a m·a n＝a2p。

(3)若等比数列前n项和为S n，则S m，S2m－S m，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－S m)2＝S m(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)。

(4)数列{a n}是等比数列，则数列{pa n}(p≠0，p是常数)也是等比数列。

(5)在等比数列{a n}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n，a n＋k，a n＋2k，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k。

高考数学（理科）一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案30 等比数列及其前n项和导学目标：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an ＝______________.3．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质通项公式的推广：an＝am&#8226;________．若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，则__________________________．若{an}，{bn}是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an&#8226;bn}，anbn仍是等比数列．单调性：a1&gt;0，q&gt;1或a1&lt;00&lt;q&lt;1&#8660;{an}是________数列；a1&gt;0，0&lt;q&lt;1或a1&lt;0q&gt;1&#8660;{an}是________数列；q＝1&#8660;{an}是____数列；q&lt;0&#8660;{an}是________数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1&#61480;1－qn&#61481;1－q＝a1&#61480;qn－1&#61481;q－1＝a1qnq－1－a1q－1.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．自我检测．“b＝ac”是“a、b、c成等比数列”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是A．3B．1c．0D．－13．设f＝2＋24＋27＋…＋23n＋1，则f等于A.27B.27c.27D.274．已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a ＋8，则an等于A．8&#8226;32nB．8&#8226;23nc．8&#8226;32n－1D．8&#8226;23n－15．设{an}是公比为q的等比数列，|q|&gt;1，令bn＝an＋1，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.探究点一等比数列的基本量运算例 1 已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.变式迁移1在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2&#8226;an－1＝128，Sn＝126，求n和q.探究点二等比数列的判定例2 已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.证明数列{an＋1}是等比数列；求{an}的通项公式以及Sn.变式迁移2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝Sn＋2n．求a2，a3的值；求证：数列{Sn＋2}是等比数列．探究点三等比数列性质的应用例3 在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝2，求a3.变式迁移3 已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.分类讨论思想与整体思想的应用例设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项．【答题模板】解设数列{an}的公比为q，若q＝1，则Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn.∵S2n＝6560≠2Sn＝160，∴q≠1，[2分]由题意得a1&#61480;1－qn&#61481;1－q＝80，①a1&#61480;1－q2n&#61481;1－q＝6560.②[4分]将①整体代入②得80＝6560，∴qn＝81.[6分]将qn＝81代入①得a1＝80，∴a1＝q－1，由a1&gt;0，得q&gt;1，∴数列{an}为递增数列．[8分]∴an＝a1qn－1＝a1q&#8226;qn＝81&#8226;a1q＝54.∴a1q＝23.[10分]与a1＝q－1联立可得a1＝2，q＝3，∴a2n＝2×32n－1．[12分]【突破思维障碍】分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1&gt;0，q&gt;1或a1&lt;0,0&lt;q&lt;1时为递增数列；当a1&lt;0，q&gt;1或a1&gt;0,0&lt;q&lt;1时为递减数列；当q&lt;0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．函数的思想：等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝a1q&#8226;qn常和指数函数相联系．整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，a11－q当成整体求解．本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将qn和a1&#61480;1－qn&#61481;1－q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．．等比数列的通项公式、前n项公式分别为an＝a1qn －1，Sn＝na1，q＝1，a1&#61480;1－qn&#61481;1－q，q≠1.2．等比数列的判定方法：定义法：即证明an＋1an＝q．中项法：证明一个数列满足a2n＋1＝an&#8226;an＋2．3．等比数列的性质：an＝am&#8226;qn－m；若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，则ak&#8226;al＝am&#8226;an；设公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.4．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q ＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．5．等差数列与等比数列的关系是：若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；若{an}是等比数列，且an&gt;0，则{lgan}构成等差数列．一、选择题．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于A.152B.314c.334D.1722．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2等于A．－11B．－8c．5D．113．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5等于A．33B．72c．84D．1894．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是A．T10B．T13c．T17D．T255．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则S10S5等于A．－3B．5c．－31D．33题号2345答案二、填空题6．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为________．7．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.8．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.三、解答题9．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．求数列{an}的通项；求数列{2an}的前n项和Sn.0．已知数列{log2}为等差数列，且a1＝3，a2＝5.求证：数列{an－1}是等比数列；求1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an的值．1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d&gt;0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．求数列{an}与{bn}的通项公式；设数列{cn}对n∈N*均有c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋cXX.答案自主梳理．公比q 2.a1&#8226;qn－1 4.qn－m ak&#8226;al＝am&#8226;an递增递减常摆动 6.qn自我检测．D 2.B 3.B 4.c 5.－9课堂活动区例1 解题导引在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q 的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．解方法一由已知得：a21q4＋2a21q6＋a21q8＝100，a21q4－2a21q6＋a21q8＝36.①②①－②，得4a21q6＝64，∴a21q6＝16.③代入①，得16q2＋2×16＋16q2＝100.解得q2＝4或q2＝14.又数列{an}为正项数列，∴q＝2或12.当q＝2时，可得a1＝12，∴an＝12×2n－1＝2n－2，Sn＝121－2＝2n－1－12；当q＝12时，可得a1＝32.∴an＝32×12n－1＝26－n.Sn＝321－12n1－12＝64－26－n.方法二∵a1a5＝a2a4＝a23，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝a25，由a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，可得a23＋2a3a5＋a25＝100，a23－2a3a5＋a25＝36，即2＝100，2＝36.∴a3＋a5＝10，a3－a5＝±6.解得a3＝8，a5＝2，或a3＝2，a5＝8.当a3＝8，a5＝2时，q2＝a5a3＝28＝14.∵q&gt;0，∴q＝12，由a3＝a1q2＝8，得a1＝32，∴an＝32×12n－1＝26－n.Sn＝32－26－n×121－12＝64－26－n.当a3＝2，a5＝8时，q2＝82＝4，且q&gt;0，∴q＝2.由a3＝a1q2，得a1＝24＝12.∴an＝12×2n－1＝2n－2.Sn＝122－1＝2n－1－12.变式迁移1 解由题意得a2&#8226;an－1＝a1&#8226;an＝128，a1＋an＝66，解得a1＝64，an＝2或a1＝2，an＝64.若a1＝64，an＝2，则Sn＝a1－anq1－q＝64－2q1－q ＝126，解得q＝12，此时，an＝2＝64&#8226;12n－1，∴n＝6.若a1＝2，an＝64，则Sn＝2－64q1－q＝126，∴q＝2.∴an＝64＝2&#8226;2n－1.∴n＝6.综上n＝6，q＝2或12.例2 解题导引证明数列是等比数列的两个基本方法：①an＋1an＝q．②a2n＋1＝anan＋2．证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法．证明由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，可得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减得Sn＋1－Sn＝2＋1，即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2，当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，所以a2＋a1＝2a1＋6，又a1＝5，所以a2＝11，从而a2＋1＝2，故总有an＋1＋1＝2，n∈N*，又a1＝5，a1＋1≠0，从而an＋1＋1an＋1＝2，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．解由得an＋1＝6&#8226;2n－1，所以an＝6&#8226;2n－1－1，于是Sn＝6&#8226;1－2－n＝6&#8226;2n－n－6.变式迁移2 解∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝Sn＋2n，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2＋6，∴a3＝8.证明∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝Sn＋2n，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋an－1＝Sn－1＋2．②①－②得nan＝Sn－Sn－1＋2＝n－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2．∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴Sn＋2Sn－1＋2＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．例3 解题导引在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am&#8226;an＝ap&#8226;aq”，可以减少运算量，提高解题速度．解由已知得a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝a1＋a5a1a5＋a2＋a4a2a4＋a3a23＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5a23＝8a23＝2，∴a23＝4，∴a3＝±2.若a3＝－2，设数列的公比为q，则－2q2＋－2q－2－2q－2q2＝8，即1q2＋1q＋1＋q＋q2＝1q＋122＋q＋122＋12＝－4.此式显然不成立，经验证，a3＝2符合题意，故a3＝2.变式迁移3 解∵a3a11＝a27＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.a1a2a3a4＝a1&#8226;a1q&#8226;a1q2&#8226;a1q3＝a41q6＝1.①a13a14a15a16＝a1q12&#8226;a1q13&#8226;a1q14&#8226;a1q15＝a41&#8226;q54＝8.②②÷①：a41&#8226;q54a41&#8226;q6＝q48＝8&#8658;q16＝2，又a41a42a43a44＝a1q40&#8226;a1q41&#8226;a1q42&#8226;a1q43＝a41&#8226;q166＝a41&#8226;q6&#8226;q160＝&#8226;10＝1&#8226;210＝1024.课后练习区．B [∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，∴设{an}的公比为q，则q&gt;0，且a23＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q2－q －1＝0.故q＝12或q＝－13，∴a1＝1q2＝4.∴S5＝41－12＝8＝314.]2．A [由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，则S5S2＝a1a1＝－11.]3．c [由题可设等比数列的公比为q，则31－q＝21&#8658;1＋q＋q2＝7&#8658;q2＋q－6＝0 &#8658;＝0，根据题意可知q&gt;0，故q＝2.所以a3＋a4＋a5＝q2S3＝4×21＝84.]4．c [a3a6a18＝a31q2＋5＋17＝3＝a39，即a9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T17为定值．] 5．D [因为等比数列{an}中有S3＝2，S6＝18，即S6S3＝a11－qa11－q＝1＋q3＝182＝9，故q＝2，从而S10S5＝a11－qa11－q＝1＋q5＝1＋25＝33.]6．127解析∵公比q4＝a5a1＝16，且q&gt;0，∴q＝2，∴S7＝1－271－2＝127.7.1207解析∵S99＝30，即a1＝30，∵数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝4a11－8＝4a17＝47×30＝1207.8．4n－1解析∵等比数列{an}的前3项之和为21，公比q＝4，不妨设首项为a1，则a1＋a1q＋a1q2＝a1＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1.9．解由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，…………………………………………………………………………解得d＝1或d＝0．故{an}的通项an＝1＋×1＝n.……………………………………………………由知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝21－2＝2n＋1－2.………………………………………………………………………………0．证明设log2－log2＝d，因为a1＝3，a2＝5，所以d＝log2－log2＝log24－log22＝1，…………………………………………………………所以log2＝n，所以an－1＝2n，所以an－1an－1－1＝2，所以{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列．………解由可得an－1＝&#8226;2n－1，所以an＝2n＋1，…………………………………………………………………………所以1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an＝122－2＋123－22＋…＋12n＋1－2n＝12＋122＋…＋12n＝1－12n.………………………………………………………………1．解由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，∴2＝．解得d＝2．……………………………………………………………………∴an＝1＋&#8226;2＝2n－1.………………………………………………………………又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴数列{bn}的公比为3，∴bn＝3&#8226;3n－2＝3n－1.………………………………………………………………………由c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1得当n≥2时，c1b1＋c2b2＋…＋cn－1bn－1＝an.两式相减得：当n≥2时，cnbn＝an＋1－an＝2.……………………………………………∴cn＝2bn＝2&#8226;3n－1．又当n＝1时，c1b1＝a2，∴c1＝3.∴cn＝3 2&#8226;3n－1.……………………………………………………………∴c1＋c2＋c3＋…＋cXX＝3＋6－2×3XX1－3＝3＋＝3XX.…………………………………………。