数学奥林匹克冬令营测试题B

一、选择题：1. 下列哪个是二次函数的图像？A. 直线B. 双曲线C. 抛物线D. 正弦曲线答案：C2. 若函数y = 2x + 1，则其图像是一条直线，斜率为：A. -2B. 2C. -1D. 1答案：B3. 若函数y = 3x^2 + 4x - 1，其中x 的取值范围为实数，则该函数的图像是一条：A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 正弦曲线答案：A4. 已知函数f(x) = 4x^2 + 3x + 2，求f(-1) 的值为：A. -23B. -13C. 9D. 19答案：A5. 若函数f(x) = x^3 + x^2 + 1，求f'(x) 的导函数为：A. 3x^2 + 2x + 1B. 3x^2 + 2xC. 3x^2D. 2x + 1答案：A二、填空题：1. 设a 是一个实数，若方程2a^2 - 5a + 2 = 0 有两个不相等的实根，则a 的取值范围是__________。

答案：(1/2, 2)2. 已知直线y = 2x + 1 和抛物线y = 3x^2 + 1 的图像相交于点P 和点Q，那么点P 和点Q 的横坐标之和是__________。

答案：-1/53. 若函数f(x) = (x + 1) / (x - 2) 的定义域为x ≠ 2，则它的值域为__________。

答案：y ≠ 1/24. 已知函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1 的零点是x = 1 和x = __________。

答案：1/35. 若函数f(x) = (2x - 1) / (x - 3) 与直线y = 2 相交于点A (x, y)，则点A 的横坐标是__________。

答案：7/3。

2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测 试 题 B （陶平生供题）学校： 姓名： 营员证号：________一． 以⊿ABC 的三条边作为斜边，分别向形内方向作等腰直角三角形111,,,A BC B CA C AB 若三点111,,A B C 在一直线上，试求 cot cot cot A B C ++ 的值.二． 平面上给出n 个点()3n ≥，以这些点为端点的集合为M ，线段长度的集合为D ，,d D ∀∈M 中长为d 的线段条数记为().f d证明：()1.对于D 中的最小数0,d 有()036,f d n ≤- ()2.(),d D f d ∀∈< 32n三． 设(),0,f x x x =+>2,k ≥记()()()()()11,n nf x f x f x ff x +==.证明：对每个给定的正整数,a 数列(){}n f a 中必有一个K 次方整数.四． 某人掷硬币，得正面记a 分，得背面记b 分，(,a b 为互质正整数，a b >），并将每次的得分进行累记，他发现，不论采取怎样的投掷方案以及投掷多少次，恰有35个分值总是记录不到，例如58就是其中之一，试确定,a b 的值.2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题B 解答 （陶平生供题）五． 如图，以⊿ABC 的三条边作为斜边，分别向形内方向作等腰直角三角形111,,,A BC B CA C AB 若三点111,,A B C 在一直线上，试求 cot cot cot A B C ++ 的值.解：设ABC 的外心为O ，外接圆半径为单位长， 作1C D AB ⊥于D ，则外心O 在AB 的中垂线1C D 上， 且圆周角C ACB AOD =∠=∠， 于是，11sin cos ,OC DC DO DA DO C C =-=-=-同理有1sin cos OB B B =-，而11cos sin OA OE A E OE BE A A =-=-=-，由于111,,OA BC OB AC OC AB ⊥⊥⊥，则 11,AOC B ∠= 11AOB C ∠=，11BOC A π∠=-，因此，1111111sin 2OA C S OA OC AOC =⋅⋅∠= ()()1cos sin sin cos sin ,2A A C CB -- 同理有， 1111111sin 2OA B S OA OB AOB =⋅⋅∠= ()()1cos sin sin cos sin ,2A A B B C -- 1111111sin 2OB C S OB OC B OC =⋅⋅∠= ()()1sin cos sin cos sin ,2B BC C A --因为点111,,A B C 共线，则 111111OB C OA B OA C S S S =+ ，即有()()sin cos sin cos sin B B C C A --=()()cos sin sin cos sin A A B B C --+()()cos sin sin cos sin ,A A C C B +-- ……○1 同除以 sin sin sin A B C ，得()()()()1cot 1cot cot 11cot B C A B --=--+()()cot 11cot A C --，即 1c o t c o t c o tc o t BC B C --+=()c o t c o t 1c o t c o t A BA B +--+ ()cot cot 1cot cot A C A C ++--……○2 而在ABC 中， 由于 cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A ++=因此由○2得 cot cot cot 2A B C ++=.六． 平面上给出n 个点()3n ≥，以这些点为端点的集合为M ，线段长度的集合为D ，,d D ∀∈M 中长为d 的线段条数记为().f d证明：()1.对于D 中的最小数0,d 有()036,f d n ≤- ()2.(),d D f d ∀∈< 32n证：()1.对n 归纳，当3n =时显然有()0336f d n ≤=-，今设命题对于()3n n ≥个点成立，考虑1n +个点的情况，设其中一点1n p +是其凸包的顶点，则1n p +至多引出3条长度为最小值0d 的线段.去掉1n p +后由归纳假设，剩下n 个点，连线中至多有36n -条长为最小值0d 的线段因此，这1n +个点所成的线段中，成立 ()()0363316f d n n ≤-+=+-，从而命题对一切不小于3的n 皆成立.()2.称已知点为“红点”，对于每个红点,(1,2,,)i p i n = ，若它发出的线段中，有长P n+1为d 的线段i k 条，则()12nii kf d ==∑，而以i p 为圆心，d 为半径所作的圆i p 上有i k 个红点，共作成2ik C 条弦，今过每个这种点都作这种等圆以及相应的弦，共得21ink i C=∑条弦，每两个圆至多一条公共弦，即这些弦至多重复2n C条，因此得到221i nk n i C C =-∑条不同的弦，另一方面，n 个红点间两两连线，共计2n C条，因此，2221i nnk n i C C C =≥-∑，由此， ()()211111111222n n n i i i i i i i n n k k k k ===-≥-=-∑∑∑2111122n ni i i i k k n ==⎛⎫≥- ⎪⎝⎭∑∑=()()22f d f d n - 即()2221f nf n n -≤-，232722,24n f n n ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭因此(32144n nf n ≤+<=七． 设(),0,f x x x =+>2,k ≥记()()()()()11,n nf x f x f x ff x +==.证明：对每个给定的正整数,a 数列(){}n f a 中必有一个K 次方整数.证：由于a N +∈，故存在p N ∈，使()1kkp a p ≤<+，因此有b N ∈，使(),01.kk k a p b b p p =+≤<+- 再设 ,0b qp r r p =+≤<，于是,0k a p qp r r p =++≤< ○1 又因 ()1122111kk k k k k k k a p p C p C p C p ---<+=+++++ ，所以122310,k k k k k k q C p C p C ---≤≤+++ ○2 称○1式中的r 为数a 的“余量”，由于()1kkp a p ≤<+，则p =()01.当0,0q r p =<<时，ka pr =+，这时()()12,2,k k f a p p r f a p p r =++=++ ，记12231k k k k k k s C p C p C ---=+++ ，则 ()11221kkk k k s k k k f a p sp r p C pC p C p r ---=++=+++++ ()()11.kp r =++-所以，()s f a 要么是一个k 次方数（当1r =），要么是一个其“余量”比a 的“余量”小1的数（当1r >），继续此过程，可知，经有限项后，必有某项()m f a 是一个k 次方数.()02.当 122310,0k k k kk k q C pC p C r p ---<≤+++≤< 时，,k a p qp r =++ 则()()()()121,2,k k f a p q p r f a p q p r =+++=+++ ，记1211k k k k s C p C q --=++- ，则()()11k s f a p q s p r =+++=()()11111.kk k k k k p C p C p r p r --++++=++-若1,r =则 ()()11ks f a p =+为一个k 次方数；若2,r ≥则 ()()()111ks f a p r =++-是一个其“余量”比a 的“余量”少1的数； 若0,r =则 ()()()()()()1111111.kks s f a ff a p p p p +⎡⎤==+-+=++-⎣⎦它们都归结为情形()1.()03.当 0,0q r ==时，,ka pp =+归结为情形()02.综合以上讨论，知本题结论成立.四．某人掷硬币，得正面记a 分，得背面记b 分，(,a b 为互质正整数，a b >），并将每次的得分进行累记，他发现，不论采取怎样的投掷方案以及投掷多少次，恰有35个分值总是记录不到，例如58就是其中之一，试确定,a b 的值.解：设此人掷得正面x 次，背面y 次，则累计得分为 ax by +，若 (),1,a b d =>则对任一个不能被d 整除的正整数分值，他都记录不到，也就是有无穷多个数记录不到，所以(),1a b =. 现在设m 为掷币人能够记录到的一个分值，则方程 ax by m += 至少有一组非负整解，（即直线ax by m +=上至少有一整点位于闭的第一象限内），（1）.若m ab ≥，因为(),1a b =，则b 个正整数(),,2,,1m m a m a m b a ---- 构成模b 的完全剩余系，其中恰有一个是b 的倍数，即此时方程 ax by m +=有非负整数解.也就是m 能被记录到，因此掷币人能够记录到的分值m 应满足：0m ab ≤<.(2).当0m ab ≤<，因为(),1a b =，则直线ax by m +=上至少有一整点位于闭的第一象限内，事实上，设闭的第一象限内有两个整点()()1,122,,x y x y 在直线上，则直线ax by m +=的斜率 1212y y k x x -=- 满足 b k a =，但由直线 a x b ym+=ab <，则1x y a b +<，而由截距，1212,x x b y y a -<-< 知 ab不是既约分数，矛盾.据此知，在 闭的第一象限内，满足0ax by ab ≤+<的整点与满足0m ab ≤<且可记录到的分值m ，一 一对应，因为闭矩形{}0,0x b y a ≤≤≤≤内有()()11a b ++个整点，故在 闭的第一象限内，满足0ax by ab ≤+<的整点数为()()11122a b ++-⎡⎤⎣⎦个，从而满足0m ab ≤<的ab 个数值m 中，不能记录到的数值m 的个数为：()()()()111111122ab a b a b -+++=--.所以 ()()135112a b =--，由()()1170170235514a b --==⋅=⋅=⋅710=⋅，而(),,1a b a b >=，故仅有 71,2a b == 及 11,8a b ==可能适合；若取71,2a b ==，则71022958⋅+⋅=能够记录到，不合题意，再考察 11858x y +=上的整点，显然此方程没有非负整解，即分值58记录不到，因此11,8a b ==是合于题意的唯一解.。

（第一天）（2004年1月8日上午8：00～12：30 澳门）1. 凸四边形EFGH 的顶点E ,F ,G ,H 分别在凸四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上，满足1AE BF CG DHEB FC GD HA⋅⋅⋅=，而点A ,B ,C ,D 分别在凸四边形E 1F 1G 1H 1的边E 1F 1, F 1G 1, G 1H 1, H 1E 1上，满足E 1F 1∥EF ，F 1G 1∥FG ，G 1H 1∥GH ，H 1E 1∥HE ．已知11E A AH λ=，求11F CCG 的值．2. 已知正整数c ，设数列12,,x x 满足：1x c =，且()()112212,3,n n n x n x x n n ---+⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦，其中[x ]表示不大于x 的最大整数． 求数列{}n x 的通项公式．3. 设M 是平面上n 个点组成的集合，满足：（1）M 中存在7个点，是一个凸七边形的7个顶点；（2）M 中任意5个点，若这5个点是一个凸五边形的5个顶点，则此凸五边形内部至少含有M 中的一个点．求n 的最小值．（第二天）（2004年1月9日上午8：00～12：30 澳门）4. 给定实数a 和正整数n ，求证： （1）存在唯一的实数数列011,,,n x x x +满足：()()013311011,2,,2n i i i i x x x x x x a i n ++-==⎧⎪⎨+=+-=⎪⎩；（2）（1）中的数列011,,,n x x x +满足()0,1,,1i x ai n ≤=+．5. 给定正整数n ≥2，设正整数()1,2,,i a i n =满足：12n a a a <<<以及∑=ni ia 11≤1． 求证：对任意实数x ，有21221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=n i i x a ≤()2111121x a a +-⋅．6. 证明：除了有限个正整数外，其他的正整数n 均可表示为2004个正整数之和122004n a a a =+++，且满足：()12200411,|1,2,,2003i i a a a a a i +≤<<<=参 考 答 案二、填空题(本大题共有6小题，每小题6分，满分36分．)9．13+ ； 10．28； 11．3； 12．（2，5，10），（2，4，20）；13．194； 14．π183 三、解答题（15、16题每题15分，17、18题每题18分）15．设22234)]([)]([1x g x f x x x x -=++++，由题意，)(x f 为二次多项式，)(x g 的次数低于2次，故可设a x x x f ++=21)(2，22342)412()]([a ax x a x x x f +++++=，)1()1()432(1)]([)]([2223422-+-+-=-----=a x a x a x x x x x f x g ，上式为完全平方式，0=∆得，⎪⎩⎪⎨⎧=-+->-0)124)(1(04322a a a a 得1=a ，故可得： 222234]25[]121[1x x x x x x x -++=++++。

1.在ABC ∆中，3a c b +=，内心为I ，内切圆在AB ，BC 边上的切点分别为D ，E 。

设K 是D 关于点I 的对称点，L 是E 关于点I 的对称点。

求证：A ，C ，K ，L 四点共圆。

2. 设,a b N +∈，且对任意n N +∈，都有()()|n na nb n ++。

证明：a b =。

3.求函数:f R R →，满足：（1）()()()()1x f x f x f x +-=，x R ∀∈； （2）()()f x f y x y -≤-，,x y R ∀∈。

4.设1000!n =，试问：能否把从1到n 的所有正整数摆在一个圆周上，使得我们沿着顺时针方向移动时，每一个数都能按如下的法则由前一个数得到：或者把它加上17，或者加上28，如果必要的话，它可以减去n ？测试题B （陶平生供题）1.以ABC ∆的三条边为斜边，分别向形内方向作等腰直角三角形1A BC ∆、1B CA ∆、1C AB ∆，若三点111,,A B C 在一条直线上，试求cot cot cot A B C ++的值。

2.平面上给出n 个点（3n ≥），以这些点为端点的集合为M ，线段长度的集合为D 。

d D ∀∈，记M 中长为d 的线段条数为()f d 。

证明：（1）对于D 中的最小数0d ，有()036f d n ≤-； （2）d D ∀∈，()32f d n <。

3.设()f x x =+，0x >，2k ≥。

记()()1f x f x =，()()()1n nf x ff x +=。

证明：对每个给定的正整数a ，数列(){}n f a 中必有一个K 次方整数。

4.某人掷硬币，得正面记a 分，得背面记b 分，（,a b 为互质的正整数，a b >），并将每次的得分进行累记，他发现，不论采取怎样的投掷方案以及投掷多少次，恰有35个分值总是记录不到，例如58就是其中之一，试确定,a b 的值。

2005年江苏省数学奥林匹克冬令营试卷(一)一、设数列{a n }和{b n }满足a 0＝1，b 0＝0，且n=0，1，2，……试求a n ．解 由a 0＝1，b 0＝0，得a 1＝4，b 1＝4，a 2＝49．⑴×7：7a n +1＝49a n +42b n －21，⑵×6：6b n +1＝48a n +42b n －24．两式相减得，6b n +1－7a n +1＝－a n －3，即6b n ＝7a n －a n －1－3．代入⑴：a n +1＝14a n －a n －1－6．故a n +1－＝14(a n －)－(a n －1－)．其特征方程为x 2－14x +1＝0，特征方程的解为x ＝7±4．故a n ＝α(7+4)n +β(7－4)n +,现a 0＝1，a 1＝4，a 2＝49．解得α＝β＝．得 a n ＝(7+4)n +(7－4)n +＝(2+)2n +(2－)2n +＝[(2+)n +(2－)n ]2．二、设n 是正整数，且n≥4．求证：⑴ 使得存在各边长都为不大于n 的整数，且任何两边的差(大者减小者)都不小于k 的三角形的“最大正整数”k ＝，(其中[x]表示不大于实数x 的最大整数)．⑵ 当且仅当3|(n －1)时，对应于这个“最大正整数”k ＝的这种三角形只有一个．证明：⑴ 设三角形的三边为a ，b ，c ，又设n≥a≥b≥c ，b≤a －k ，c≤b －k≤a －2k ，但b+c ＞a ，即a －2k+a －k≥b+c ＞a a ＞3k n≥a≥3k+1 k≤．但k 为整数，故k≤． 又，取n≥c≥3+1⑵ 当3|n －1时，n ＝3k+1，k ＝＝，由a≤3k+1，b≤a －k ，c≤a －2k ，b+c≤2a －3k ，a ＜b+c≤2a －3k ，a≥3k+1．从而只能取a ＝n ＝3k+1，b ＝n －k ＝2k+1，c ＝n －2k ＝k+1满足所有要求．且满足要求的三角形只有一个．当3n －1时，n －1＝3k+1或3k+2．① n ＝3k+2时，取a ＝n ＝3k+2，b ＝n －k ＝2k+2，c ＝n －2k ＝k+2，此时b+c －a ＝2； 或取a ＝n ＝3k+2，b ＝n －k ＝2k+2，c ＝n －2k －1＝k ，此时b+c －a ＝1，均满足要求．② n ＝3(k+1)时，取a ＝n ＝3k+3，b ＝n －k ＝2k+3，c ＝n －2k ＝k+3，此时b+c －a ＝n －3k ＝3；或取a ＝n ＝3k+3，b ＝n －k －1＝2k+2，c ＝n －2k －1k+2，此时b+c －a ＝1；或取a ＝n －1，b ＝n －k －1，c ＝n －2k －1，此时b+c －a ＝n －3k －1＝2；等．均满足要求．故所证成立．三、在锐角三角形ABC 中，求证：cosAcosB+cosAcosC+cosBcosC≤6sinsinsin≤sinsin+sinsin+sinsin ．证明：如图，设AD 、BE 、CF 为三角形ABC 的高，H 为垂心，I 为内心，△ABC 的外接圆、内切圆半径分别等于R 与r ． 由A 、F 、H 、E 四点共圆，AH 为此圆的直径，∠AEF ＝∠AHF＝∠CHD ＝∠B ，故AF ＝AHsinB ，但AF ＝ACcosA ＝2RsinBcosA ，比较此二式，得AH ＝2RcosA ，HE ＝AHsin ∠BAD ＝AHcosB ＝2RcosAcosB ，C AD C B FE H同理可得，HD+HE+HF＝2R(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)，cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA＝，①又r＝4Rsinsinsin， 6sinsinsin＝．②＝＝ BI＝4Rsinsin，同理可得AI+BI+CI＝4R(sinsin+sinsin+sinsin)，sinsin+sinsin+sinsin＝，③比较①、②、③，即证：HD+HE+HF≤3r≤(AI+BI+CI)．⑴先证前一半：不妨设a≥b≥c，则cosA≤cosB≤cosC，于是cosAcosB≤cosAcosC≤cosBcosC HF≤HE≤HD．而2△＝HD·a+HE·b+HF·c≥(HD+HE+HF)(a+b+c)，(契贝雪夫(Чебыщев П. Л.)不等式)2△＝2pr＝(a+b+c)r． (HD+HE+HF)(a+b+c)≤(a+b+c)r HD+HE+HF≤3r．④⑵再证后一半：(sinsinsin≤)．由于r＝AIsin，故得AI+BI+CI＝++＝r(++)≥3r≥6r．于是，本题得证．后一半也可这样证：由于f(x)＝是(0，)上的凸函数，故++≥3＝6．中鸿智业信息技术有限公司。

中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答中国数学奥林匹克（第二十一届全国中学生数学冬令营）试题及解答中国数学奥林匹克是培养和选拔数学人才的一项重要工作，而全国中学生数学冬令营则是为了选拔出更具潜力的数学学子而设立的。

以下是第二十一届全国中学生数学冬令营试题及解答，让我们一起来看一下吧。

试题一：已知正整数n满足n²+5n+6是平方数，求n的个数。

解答：首先，将已知表达式转化为等式，即n²+5n+6=（k+1）²，其中k为正整数。

将等式进行整理得到n²+5n+6=k²+2k+1，继续整理可得n²+3n=（k+1）²-5。

我们注意到等式的左边是个完全平方数，而右边则为一个整数。

因此，我们可以得到等式右边的一个性质：（k+1）²-5也必然是一个完全平方数。

根据这个性质，我们可以列举出一些合适的整数来，并验证其是否满足等式右边的性质。

经过列举和验证，我们可以得到k+1分别为0、4和8时，满足（k+1）²-5为完全平方数。

即k分别为-1、3和7。

那么，n²+3n分别为1、9和25，即n分别为-4、2和5。

但要注意题目要求是正整数n，所以我们只能选取n=2和n=5这两个解。

综上所述，满足已知条件的正整数n的个数为2。

试题二：已知函数f(x)为定义在实数集上的递增函数，且对于任意的实数a和b都有f(a+b)=f(a)+f(b)。

证明f(x)=cx，其中c为某个常数。

解答：首先，我们尝试寻找到题目中给出的性质和函数f(x)之间的关系。

根据已知条件f(a+b)=f(a)+f(b)，我们将a和b分别取为x和0，则得到f(x+0)=f(x)+f(0)。

因为f(0)为常数，所以我们可以将其表示为c，即f(x)=f(x)+c。

接下来，我们将上面得到的性质应用于f(x)和f(-x)之间，得到f(x+f(-x))=f(x)+f(-x)。

2024奥林匹克数学竞赛试题一、代数部分小明发现有一个数，当它加上5之后再乘以3，然后减去12，最后除以2得到的结果是21。

这个数就像个调皮的小捣蛋，躲在算式后面，你能把它找出来吗？有两个数字兄弟，哥哥比弟弟大3。

如果把哥哥数字的平方减去弟弟数字的平方，结果是33。

你能说出这兄弟俩数字分别是多少吗？这就像在数字家族里玩一场猜谜游戏呢！有一列分数列车，第一个车厢是1/2，第二个车厢是2/3，第三个车厢是3/4，按照这个规律一直排下去。

那第100个车厢里的分数是多少呢？就像沿着分数轨道去寻找宝藏分数一样。

二、几何部分有一个三角形，它的三条边长度分别是3厘米、4厘米和5厘米。

现在这个三角形想长胖一点，每条边都增加相同的长度x厘米后，它的面积变成了原来的2倍。

这个x就像是三角形的成长魔法数字，你能算出它是多少吗？这就好比给三角形吃了神奇的成长药丸。

有一个圆形池塘，它的半径是5米。

现在池塘周围要建一圈很窄的环形小路，小路的面积是18π平方米。

那这个环形小路的外半径是多少呢？就像圆形池塘在进行一场向外扩张的大冒险。

有一个正六边形和一个正方形，它们的边长之和是20厘米。

如果正六边形的面积比正方形的面积大12平方厘米，那它们各自的边长是多少呢？这就像是多边形们在开一场比大小、比边长的聚会。

三、组合数学部分老师有10颗不同口味的糖果，要分给3个小朋友。

每个小朋友至少得到一颗糖果，而且不同的分配方式代表不同的甜蜜方案。

那一共有多少种甜蜜的分配方案呢？这就像在糖果的世界里玩一场复杂的分配游戏。

有10个同学要排成一排照相。

但是其中有两个同学是好朋友，他们必须要挨在一起。

那这样的排队方式有多少种呢？这就像是在安排一场有特殊要求的同学聚会排队。

有五张数字卡片，上面分别写着1、2、3、4、5。

把它们排成一排，要求所有奇数数字都要相邻。

那有多少种神奇的排列方式呢？这就像是在数字卡片的魔法世界里寻找特定的排列咒语。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列数中，是质数的是：A. 21B. 49C. 37D. 812. 一个长方形的长是12cm，宽是5cm，它的周长是多少厘米？A. 22cmB. 30cmC. 40cmD. 60cm3. 下列等式中，正确的是：A. (a + b)² = a² + b²B. (a - b)² = a² - b²C. (a + b)² = a² + 2ab + b²D. (a - b)² = a² - 2ab + b²4. 如果x² - 5x + 6 = 0，那么x的值是：A. 2 或 3B. 1 或 4C. 2 或 4D. 1 或 35. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，如果底边BC的长度是10cm，那么腰长AB的长度是：A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm6. 一个正方形的边长扩大到原来的2倍，它的面积扩大到原来的：A. 2倍B. 4倍C. 8倍D. 16倍7. 下列函数中，是奇函数的是：A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = x⁴D. f(x) = x⁵8. 如果sinα = 0.5，那么α的度数是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9. 下列数中，能被3整除的是：A. 14B. 27C. 35D. 4810. 一个数的平方根是-3，那么这个数是：A. 9B. -9C. 3D. -3二、填空题（每题5分，共50分）11. 3的平方根是__________。

12. （-2）的立方是__________。

13. 2x + 3 = 11的解是__________。

14. sin60°的值是__________。

15. 0.125的倒数是__________。

测 试 题 B学校： 姓名： 营员证号：________一． 以⊿ABC 的三条边作为斜边；分别向形内方向作等腰直角三角形111,,,A BC B CA C AB 若三点111,,A B C 在一直线上；试求 cot cot cot A B C ++ 的值.二． 平面上给出n 个点()3n ≥；以这些点为端点的集合为M ；线段长度的集合为D ；,d D ∀∈M 中长为d 的线段条数记为().f d证明：()1.对于D 中的最小数0,d 有()036,f d n ≤- ()2.(),d D f d ∀∈< 32n三． 设(),0,f x x x =+>2,k ≥记()()()()()11,n nf x f x f x ff x +==.证明：对每个给定的正整数,a 数列(){}n f a 中必有一个K 次方整数.四．某人掷硬币；得正面记a 分；得背面记b 分；(,a b 为互质正整数；a b >）；并将每次的得分进行累记；他发现；不论采取怎样的投掷方案以及投掷多少次；恰有35个分值总是记录不到；例如58就是其中之一；试确定,a b 的值。

测试题B 解答学校： 姓名： 营员证号：________四． 如图；以⊿ABC 的三条边作为斜边；分别向形内方向作等腰直角三角形111,,,A BC B CA C AB 若三点111,,A B C 在一直线上；试求 cot cot cot A B C ++ 的值.解：设ABC 的外心为O ；外接圆半径为单位长； 作1C D AB ⊥于D ；则外心O 在AB 的中垂线1C D 上； 且圆周角C ACB AOD =∠=∠； 于是；11sin cos ,OC DC DO DA DO C C =-=-=-同理有 1sin cos OB B B =-；而11cos sin OA OE A E OE BE A A =-=-=-；由于111,,OA BC OB AC OC AB ⊥⊥⊥；则 11,AOC B ∠= 11AOB C ∠=；11BOC A π∠=-；因此；1111111sin 2OA C S OA OC AOC =⋅⋅∠=()()1cos sin sin cos sin ,2A A C C B -- 同理有； 1111111sin 2OA B S OA OB AOB =⋅⋅∠=()()1cos sin sin cos sin ,2A A B B C -- 1111111sin 2OB C SOB OC B OC =⋅⋅∠=()()1sin cos sin cos sin ,2B BC C A -- 因为点111,,A B C 共线；则 111111OB C OA B OA C SSS=+；即有()()sin cos sin cos sin B B C C A --=()()cos sin sin cos sin A A B B C --+()()cos sin sin cos sin ,A A C C B +-- ……○1 同除以 sin sin sin A B C ；得()()()()1cot 1cot cot 11cot B C A B --=--+()()cot 11cot A C --；即 1cot cot cot cot B C B C --+=()cot cot 1cot cot A B A B +--+ ()cot cot 1cot cot A C A C ++--……○2 而在ABC 中； 由于 cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A ++=因此由○2得 cot cot cot 2A B C ++=.五． 平面上给出n 个点()3n ≥；以这些点为端点的集合为M ；线段长度的集合为D ；,d D ∀∈M 中长为d 的线段条数记为().f d证明：()1.对于D 中的最小数0,d 有()036,f d n ≤- ()2.(),d D f d ∀∈< 32n证：()1.对n 归纳；当3n =时显然有()0336f d n ≤=-；今设命题对于()3n n ≥个点成立；考虑1n +个点的情况；设其中一点1n p +是其凸包的顶点；则1n p +至多引出3条长度为最小值0d 1n p +后由归纳假设；剩下n个点；连线中至多有36n -条长为最小值0d 的线段因此；这1n +个点所成的线段中；成立 ()()0363316f d n n ≤-+=+-；从而命题对一切不小于3的n 皆成立.()2.称已知点为“红点”；对于每个红点,(1,2,,)i p i n =；若它发出的线段中；有长为d 的线段i k 条；则()12nii kf d ==∑；而以i p 为圆心；d 为半径所作的圆i p 上有i k 个红点；共作成2ik C 条弦；今过每个这种点都作这种等圆以及相应的弦；共得21ink i C=∑条弦；每两个圆至多一条公共弦；即这些弦至多重复2n C条；因此得到221ink ni CC =-∑条不同的弦；另一方面；n 个红点间两两连线；共计2n C条；因此；2221i nnk n i C C C =≥-∑；由此； ()()211111111222n n n i i i i i i i n n k k k k ===-≥-=-∑∑∑2111122n ni i i i k k n ==⎛⎫≥- ⎪⎝⎭∑∑=()()22f d f d n - 即()2221f nf n n -≤-；232722,24n f n n ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭因此(32144n nf n ≤+<=P n+1六． 设(),0,f x x x =+>2,k ≥记()()()()()11,n nf x f x f x ff x +==.证明：对每个给定的正整数,a 数列(){}n f a 中必有一个K 次方整数.证：由于a N +∈；故存在p N ∈；使()1kkp a p ≤<+；因此有b N ∈；使(),01.kk k a p b b p p =+≤<+- 再设 ,0b qp r r p =+≤<；于是,0k a p qp r r p=++≤<○1 又因 ()1122111kk k k k k k k a p p C p C p C p ---<+=+++++；所以122310,k k k k k k q C p C p C ---≤≤+++○2称○1式中的r 为数a 的“余量”；由于()1kk p a p ≤<+；则 p =()01.当0,0q r p =<<时；ka pr =+；这时()()12,2,k k f a p p r f a p p r =++=++；记12231k k k k k k s C p C p C ---=+++；则 ()11221k k k k k s k k k f a p sp r p C p C p C p r ---=++=+++++()()11.kp r =++-所以；()s f a 要么是一个k 次方数（当1r =）；要么是一个其“余量”比a 的“余量”小1的数（当1r >）；继续此过程；可知；经有限项后；必有某项()m f a 是一个k 次方数.()02.当 122310,0k k k kk k q C pC p C r p ---<≤+++≤< 时；,k a p qp r =++ 则()()()()121,2,k k f a p q p r f a p q p r =+++=+++；记1211k k k k s C p C q --=++-；则()()11ks f a p q s p r =+++=()()11111.kk k k k k p C p C p r p r --++++=++-若1,r =则 ()()11ks f a p =+为一个k 次方数；若2,r ≥则 ()()()111ks f a p r =++-是一个其“余量”比a 的“余量”少1的数； 若0,r =则 ()()()()()()1111111.k ks s f a ff a p p p p +⎡⎤==+-+=++-⎣⎦它们都归结为情形()1.()03.当 0,0q r ==时；,ka pp =+归结为情形()02.综合以上讨论；知本题结论成立.四．某人掷硬币；得正面记a 分；得背面记b 分；(,a b 为互质正整数；a b >）；并将每次的得分进行累记；他发现；不论采取怎样的投掷方案以及投掷多少次；恰有35个分值总是记录不到；例如58就是其中之一；试确定,a b 的值.解：设此人掷得正面x 次；背面y 次；则累计得分为 ax by +；若 (),1,a b d =>则对任一个不能被d 整除的正整数分值；他都记录不到；也就是有无穷多个数记录不到；所以(),1a b =. 现在设m 为掷币人能够记录到的一个分值；则方程 ax by m += 至少有一组非负整解；（即直线ax by m +=上至少有一整点位于闭的第一象限内）； （1）.若m ab ≥；因为(),1a b =；则b 个正整数(),,2,,1m m a m a m b a ----构成模b的完全剩余系；其中恰有一个是b 的倍数；即此时方程 ax by m +=有非负整数解。

完整版丨清华大学2021冬令营数学试题及答案
导读
，规划
2021年清华大学冬令营考试结束，科学与工程挑战赛、人文与社科两个营为同一套试题。

自主选拔在线之前分享过数学试题，但部分试题题干不完整，现将补充完整试题及答案发给大家，供优秀学生学习参考。

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数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题F学校 姓名 营员证号一．设,,a b c R +∈；求证：()12224ab bc ca a b c a b c b c a c a b ++≤++++++++二．在ABC 中；,AB AC ≠分别以,AB AC 为边；向外作两个三角形：ABD和,ACE 使得 ,ABD ACE ∠=∠,BAD CAE ∠=∠设CD 与AB 交于点P ；BE 与AC 交于点Q ；求证：AP AQ =的充要条件是：2ABC ABD ACE S SS =⋅三．对任意两个正整数x 与y ；有唯一的正整数(),f x y 与之对应；且函数(),f x y 具有性质：()1对任意正整数x 与y ；()(),,f x y f y x =； ()2对任意正整数x ；(),f x x x =； ()3对任意正整数x 与y ；当y x >时；()()().,,y x f x y yf x y x -=-求证：恰有一个函数(),f x y 满足上述三个性质；并求出这个函数.四. 设012,,,a a a 为任意无穷正实数数列；求证：不等式1n n a a -+> 对无穷多个正整数n 成立.数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题F 解答学校 姓名 营员证号一．设,,a b c R +∈；求证：()12224ab bc ca a b c a b c b c a c a b ++≤++++++++证：因为()()1124ab ab ab a b c a c b c a c b c ⎛⎫=≤+ ⎪+++++++⎝⎭同理1124bc bc b c a a b a c ⎛⎫≤+ ⎪++++⎝⎭1124ac ca c a b a b b c ⎛⎫≤+ ⎪++++⎝⎭所以()1122244ab bc ca bc ca ab ca ab bc a b c a b c b c a c a b a b b c c a +++⎛⎫++≤++=++ ⎪+++++++++⎝⎭二．在ABC 中；,AB AC ≠分别以,AB AC 为边；向外作两个三角形：ABD和,ACE 使得 ,ABD ACE ∠=∠,BAD CAE ∠=∠设CD 与AB 交于点P ；BE 与AC 交于点Q ；求证：AP AQ =的充要条件是：2ABCABD ACE S SS =⋅证：AP AQ =⇔AP AQ AB AC AB AC =⇔ADC ABE DBC ECBS SAB AC S S ∆∆∆∆= ⇔11sin sin 22ABC ABD ABC ACEADAC DAC ABAE BAEAB AC S S S S ∆∆∆∆∠∠=++ ① 由题设条件知ABD ∆∽ACE ∆；故AD ABAE AC=即AD ·AC AD AC AB AE ⋅=⋅ 且DAC DAB BAC CAE BAC BAE ∠=∠+∠=∠+∠=∠从而①等价于ABC ABD ABC ACE AB AC S S S S ∆∆∆∆=++⇔2222()()ABC ABD ABC ACE AB AC S S S S ∆∆∆∆=++②记12,,,ABC ABD ACE S S S S S S ∆∆∆===由于ABD ∆∽ACE ∆；所以2122S AB AC S =从而②等价于122212()()S S S S S S =++⇔()()222212221122S S S SS S S S SS ++=++⇔2222112212S S S S S S S S +=+⇔()21212()0S S S S S --=因为AB AC ≠；所以12S S ≠；从而212S S S =即2ABC ABD ACE AP AQ S S S ∆∆∆=⇔=三．对任意两个正整数x 与y ；有唯一的正整数(),f x y 与之对应；且函数(),f x y 具有性质：()1对任意正整数x 与y ；()(),,f x y f y x =； ()2对任意正整数x ；(),f x x x =； ()3对任意正整数x 与y ；当y x >时；()()().,,y x f x y yf x y x -=-求证：恰有一个函数(),f x y 满足上述三个性质；并求出这个函数. 解：取(),f x y 为,x y 的最小公倍数[,]x y显然(),f x y =[,]x y 满足性质（1）；（2）。

数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题A学校： 姓名： 营员证号：____ABC 中；a+c=3b ,内心为I ；内切圆在AB ；BC边上的切点分别为D ；E 。

设K 是D 关于点I 的对称点；L 是E 关于点I 的对称点.求证：A ；C ；K ；L 四点共圆。

二.设,a bN ；且对任意,nN 都有na n│nb n证明：a b三．求函数:,f RR 满足： 1,x f x f xf x xR以及│f x f y││x y │；,x yR四.设1000n！；能否把1到n 的正整数摆在一个圆周上；使得我们沿着顺时针方向移动时；每一个数都能按如下的法则由前一个数得到：或者把它加上17；或者加上28；如果必要的话；它可以减去n ？BC数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题A 解答学校： 姓名： 营员证号：____一. 在ABC ∆中；a+c=3b ,内心为I ；内切圆在AB ；BC 边上的切点分别为D ；E , 设K 是D 关于点I 的对称点；L 是E 关于点I 的对称点.求证：A ；C ；K ；L 四点共圆.证：设直线BI 交ABC ∆的外接圆点P ；易知P 是AC 的中点。

记AC 的中为M ；则PM ⊥AC 。

设P 在直线DI 的射影为N 由于3,a c b +=则半周长22a b cp b ++==； 则2BD BE p b b AC CM ==-=== 又0,90ABP ACP BDI CMP ∠=∠∠=∠=所以DBI ∆∽MCP ∆；且相似比为2 熟知；PI PC PA ==。

又DBI ∆∽NPI ∆； 所以2DI IN =；即N 是IK 的中点 进而. PK PI PL PI ==同理；所以AC K I L ，，，，都在以P 为圆心的同一个圆周上 二. 设,a b N +∈；且对任意,n N +∈都有()nan +│()n b n +证明：a b =证：假设a b ≠；则b a >取素数p b >；又取()()111n a p =+-+由费马小定理()mod n a a p ≡；从而()0mod n a n a n p +≡+≡P进而()00mod n b n b n b a p ≡+≡+≡-；即p b a - 但0b a b p <-<<；矛盾 三．求函数:,f R R →满足：()()()()1,x f x f x f x x R +-=∀∈ 以及 │()()f x f y -│≤│x y -│；,x y R ∀∈ 解：取0x =得()00f =0,1x ≠-时；可改写为：()()11f x f x x x+=+ 特别地；对任意0x >；及n N +∈；有()()f x n f x x n x+=+： 则()()()()x n y n x y f x n f y n f x f y x y++-≥+-+=- ()()()()f x f y f x f y n xy ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭从而()()()()x y f x f y f x f y nn x y --⎛⎫≥+- ⎪⎝⎭令n →+∞；得()(), ,0f x f y x y x y =∀>即() , 0f x k x x =>四. 设1000n =！；能否把1到n 的正整数摆在一个圆周上；使得我们沿着顺时针方向移动时；每一个数都能按如下的法则由前一个数得到：或者把它加上17；或者加上28；如果必要的话；它可以减去n ？解：不能！假设存在合乎要求的摆法。

测试题E学校： 姓名： 营员证号：一、 设11 n n a b b c c ，，，，，，是实数：使得： 2212222111()()nnnn n x ax ax ax x b x c x b xc对任意的实数x 成立：求12,,n c c c 的值。

二、 证明下面的不等式对任意自然数n 成立：3154ni n n i 其中[x ]表示不超过x 的最大整数三、 在一个九人小班中。

已知没有4个人是相互认识的。

求证：这个小班能分成4个小组,使得在每个小组的人是互不认识的。

四、 设122005122005,,, ,a a a b b b 是实数使得200521(), {1,2,,2005}i ij j j j i a x b a x b i对任意实数x 成立。

问122005122005,,, ,a a a b b b 中,最多能有多少个正实数？测试题E 解答学校： 姓名： 营员证号：五、 设11 n n a b b c c ，，，，，，是实数：使得： 2212222111()()n n n n n x ax ax ax x b x c x b x c --+++++=++++对任意的实数x 成立：求12,,n c c c 的值。

解：令()2211n n p z z az az -=++++：则多项式()p z 在上半单位圆周上至少有1n -个复根.事实上：若()0p z =：即()()2211,nn z z a z z+--=-记2z w =则()()()()()4222142212111nnn nn n w w w w w w a w ww w-----+-+--==--：取cos sin i w e i θθθ==+：则222cos 2n n w w n θ-+=：12sin w w i θ--=：()()21212sin 21n n w w i n θ----=-：因此 ()2cos 2sin sin 21n a n θθθ-==-()()sin 211sin 21n n θθ+--：只须说明：对每个实数a ：关于θ的方程()()()()sin 211sin 210f n a n θθθ=++--=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭中至少有1n -个解.这是由于：若1a =：则当 21k k n πθ=+：1,2,,,k n = 有()0k f θ=：若1a ≠：对于21k k n πθ=+：1,2,,,k n =注意()()121k k n k πθπ-<-<：因此()()11sin 210k k n θ--->：从而()()10k k f f θθ+<：即()0f θ=在()1,k k θθ+()0p z =在()0,π上至少有1n -个根.回到本题：设()0p z =在上半单位圆周上的1n -个根为121,,,n z z z -：则其共轭复数121,,,n z z z -也是它的根：因此 2k k x b x c ++=()()k k x z x z --：由此得 1k k k c z z =⋅=：1,2,,1k n =-：又因 121n c c c =：故1n c =.即有121n c c c ====.六、证明下面的不等式对任意自然数n成立：15 4nin =<∑其中[]x表示不超过x的最大整数。

2023年奥数冬令营试题奥数（奥林匹克数学竞赛）是一项旨在培养学生数学思维能力和解决问题能力的竞赛活动。

而冬令营则是为了给学生提供一个学习和交流的机会，让他们在寒假期间继续深化数学知识。

在2023年的奥数冬令营中，学生们将面临一系列挑战性的数学试题。

以下是其中的一道试题：试题：设 S 是一个三位数，它的个位数是1，百位数是3，十位数是奇数。

将 S 从十进制表示转换成八进制表示，得到的数是 A。

再将 A 从八进制表示转换成二进制表示，得到的数是 B。

问 B 的十进制表示是多少？解析：我们首先要找到满足条件的三位数S。

题目中给出了个位数是1，百位数是3，十位数是奇数。

因为个位数是1，所以百位数不能是1，因此百位数只能是3。

十位数是奇数，所以只能是1或者3。

因此，满足条件的数是131、133、311和313。

我们接下来将 S 从十进制表示转换成八进制表示。

我们可以使用除以8的方法来进行转换。

例如，我们以131为例，进行如下计算：131 ÷ 8 = 16 (3)16 ÷ 8 = 2 02 ÷ 8 = 0 (2)所以，131 的八进制表示是203。

然后，我们将 A 从八进制表示转换成二进制表示。

我们可以使用除以2的方法来进行转换。

以203为例，进行如下计算：203 ÷ 2 = 101 (1)101 ÷ 2 = 50 (1)50 ÷ 2 = 25 025 ÷ 2 = 12 (1)12 ÷ 2 = 6 06 ÷ 2 = 3 03 ÷ 2 = 1 (1)1 ÷ 2 = 0 (1)所以，203 的二进制表示是11001011。

最后，我们要求 B 的十进制表示。

我们可以将二进制转换成十进制，将每一位的值乘以2的相应次方，再相加。

以11001011为例，进行如下计算：1 × 2^7 + 1 × 2^6 + 0 × 2^5 + 0 × 2^4 + 1 × 2^3 + 0 × 2^2 + 1 × 2^1 + 1 × 2^0 = 128 + 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 203所以，B 的十进制表示是203。

中国数学奥林匹克（第二十一届全国中学生数学冬令营）第一天福州 1月12日 上午8∶00～12∶30 每题21分一、 实数12,,,n a a a 满足120n a a a +++=，求证：()122111max ()3n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑．证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可．记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-，则k k a a =，1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++，把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=可得11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=．由Cauchy 不等式可得()2211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------11222111k n k n i i i i i i d ---===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 31213n i i n d -=⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑， 所以 ()122113n ki i i na a a -+=≤-∑．二、正整数122006,,,a a a （可以有相同的）使得200512232006,,,a a a a a a 两两不相等．问：122006,,,a a a 中最少有多少个不同的数？解 答案：122006,,,a a a 中最少有46个互不相同的数．由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，故122006,,,a a a 中互不相同的数大于45．下面构造一个例子，说明46是可以取到的． 设1246,,,p p p 为46个互不相同的素数，构造122006,,,a a a 如下：11213231434241,,,,,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p p p p p ， 11221,,,,,,,,,,,k k k k k k k p p p p p p p p p p --，14544454345452451,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p ， 4645464446462246,,,,,,,,p p p p p p p p ，这个正整数满足要求．所以122006,,,a a a 中最少有46个互不相同的数．三、正整数m ，n ，k 满足：23mn k k =++，证明不定方程22114x y m +=和 22114x y n +=中至少有一个有奇数解(,)x y ．证明 首先我们证明如下一个 引理：不定方程22114x y m += ①或有奇数解00(,)x y ，或有满足00(21)(mod )x k y m ≡+ ②的偶数解00(,)x y ，其中k 是整数．引理的证明 考虑如下表示(21)x k y ++ ,x x y ≤≤0为整数，且,02y ≤≤，则共有()112m ⎛⎫⎡++> ⎪⎣ ⎪⎣⎦⎝⎭个表示，因此存在整数12,0,x x ⎡∈⎣，12,0,y y ⎡∈⎢⎣⎦，满足1122(,)(,)x y x y ≠，且1122(21)(21)(mod )x k y x k y m ++≡++，这表明(21)(mod )x k y m ≡+， ③这里1221,x x x y y y =-=-。

2023年奥数冬令营试题一、选择题（每题3分，共30分）下列各式中，计算正确的是( )A. 3a+2b=5abB. a6÷a2=a3C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a3⋅a2=a6下列调查中，适合采用抽样调查的是( )A. 了解全班同学每周体育锻炼的时间B. 了解全市中学生的视力情况C. 了解某市百名先进个人的年龄情况D. 了解某班学生的身高情况下列说法正确的是( )A. 两个无理数的和一定是无理数B. 无理数包括正无理数、0和负无理数C. 无限小数都是无理数D. 实数与数轴上的点一一对应下列命题是真命题的是( )A. 无限小数是无理数B. 两个全等三角形的面积相等C. 四个角相等的四边形是正方形D. 对角线相等的四边形是矩形下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. 等边三角形B. 平行四边形C. 菱形D. 直角梯形下列运算正确的是( )A. 3a−2a=1B. a6÷a2=a3C. (a+1)(a−2)=a2−2D. (a+b)2=a2+b2若扇形的圆心角为45∘，半径为3，则该扇形的弧长为( )A. 43πB. 49πC. 83πD. 89π已知关于x的方程2x+m=3的解是正数，则m的取值范围是( )A. m>−3B. m<−3C. m>3D. m<3若分式x−1x2−1的值为零，则x的值为( )A. 1B. −1C. 0D. ±1下列说法正确的是( )A. 两个无理数的和一定是无理数B. 无理数包括正无理数、0和负无理数C. 一个数的平方根有两个，它们互为相反数D. 一个正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0二、填空题（每题3分，共15分）已知a−2在实数范围内有意义，则a的取值范围是____。

若扇形的圆心角为120∘，弧长为10π，则这个扇形的面积是____。

计算：(−2a)3÷a2=____。

第十一届冬令营试题
（1996年，天津）
1．设H 是锐角△ABC 的垂心，由A 向以BC 为直径的圆作切线AP 、AQ ，切点分别为P 、Q ，求证：P 、H 、Q 三点共线．
2．设1{=S ，2，…，}50，求最小自然数k ，使S 的任一k 元子集中都存在两个不同的数a 和b ，满足ab b a |)(+．
3．设函数f ：R R →适合条件
)))(()()())()((()(2233y f y f x f x f y x y x f +-+=+，x ，R y ∈．
试证：对一切R x ∈，都有)(1996)1996(x f x f =．
4．8位歌手参加艺术节，准备为他们安排m 次演出，每次由其中4位登台表演，要求8位歌手中任意两位同时演出的次数都一样多，请设计一种方案，使得演出的次数m 最少．
5、设N n ∈，00=x ，0>i x ，1=i ，2，…，n ，且
∑==n i i x 11． 求证：2111110π<++++++≤
∑=-n i n i i i x x x x x x ．
6．在△ABC 中，︒=∠90C ，︒=∠30A ，1=BC ．求△ABC 的内接三角形（三顶点分别在三边上的三角形）的最长边的最小值．。