中考数学复习二次函数的性质1[人教版]

22.1 二次函数的图象和性质1．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ．2．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y = ． 3．当m= 时，y=（m －1）xmm +2－3m 是关于x 的二次函数．4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x mm +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ． 5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（ ）A ．y=21x 2B ．y=－21x 2C ．y=－2x 2D ．y=－x 28．抛物线，y=4 x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（ ）A ．y=41x 2B ．y=4x 2C ．y=－2x 2D ．无法确定9．对于抛物线y=31x 2和y=－31x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）A ．两条抛物线关于x 轴对称B ．两条抛物线关于原点对称C ．两条抛物线关于y 轴对称D ．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）错误!未找到引用源。

11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一 象限内的交点相同，则a 的值为（ ）A ．4 B ．2 C ．21D ．4112．求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：（1）y=ax 2经过（1，2）； （2）y=ax 2与y=21x 2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2与直线y=21x ＋3交于点（2，m ）．13已知错误!未找到引用源。

是二次函数，且当错误!未找到引用源。

中考数学二次函数一、二次函数的定义与表示1.二次函数是指形如y = ax² + bx + c (a, b, c是常数，a≠0)的函数。

2.二次函数的表示方法：用y = ax² + bx + c 表示，其中a、b、c分别是二次函数的一般形式中的二次项系数、一次项系数和常数项。

二、二次函数的性质与图像1.二次函数的性质：根据a、b、c的符号，可以判断出函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。

当a>0时，开口向上，对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b²)/4a)；当a<0时，开口向下，对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b²)/4a)。

2.二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线，根据a、b、c的符号可以判断出抛物线的开口方向和对称轴。

三、二次函数与一元二次方程1.二次函数与一元二次方程的联系：二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的交点坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根。

2.二次函数与一元二次方程的转化：将二次函数转化为顶点式或因式分解后，即可得到一元二次方程，从而可以求解出函数的零点或与x轴的交点坐标。

四、二次函数的应用1.利用二次函数解决实际问题：通过建立二次函数模型，解决生活中的最优化问题、经济问题、行程问题等。

2.利用二次函数解决几何问题：利用二次函数的图像和性质解决几何中的最值问题、面积问题等。

五、二次函数的综合题1.结合其他知识考查二次函数：例如与一元二次方程、不等式、因式分解等相关知识结合考查二次函数。

2.二次函数的实际应用：结合实际应用背景考查二次函数的相关知识，如最大利润、最大面积等。

3.二次函数的图像信息题：通过给出二次函数的图像或部分信息，让考生根据图像或信息解决问题，例如求抛物线的顶点坐标、对称轴等。

二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b 的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是()A．乙错，丙对 B．甲和乙都错C．乙对，丙错 D．甲错，丙对2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c＝3或4，则()A.甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx(x＞0)的图象是()二次函数图象与性质的综合4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x 轴右交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．考点解析二次函数的概念及表达式1.已知二次函数图象经过原点，对称轴是y轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y＝；2.已知抛物线的顶点坐标为点M(1，－2)，且经过点N(2，3)，则此二次函数的表达式为y＝；3.已知二次函数图象经过点P(3，4)且与x轴两个交点的横坐标为1和－2，则这个二次函数的表达式为y＝.二次函数的图象及性质4.(2020·秦皇岛市一模)二次函数y＝x2＋2x＋2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是()A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标是(1，1)C．抛物线与x轴没有交点D．当x＞－1时，y随x的增大而增大5.(2020·石家庄市模拟)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是()A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞26.若二次函数y＝kx2＋2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为( )A ．1B ．±1C ．－1D ．－12 二次函数图象的平移7.将抛物线y ＝12 x 2＋1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( )A ．y ＝－2x 2＋1B ．y ＝－2x 2－1C ．y ＝－12 x 2＋1D ．y ＝－12 x 2－18.(2020·河北一模)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋2m ，则m 的值是( )A ．－72B ．－12C ．1D ．－12 或－72二次函数与一元二次方程、不等式的关系9.若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为x 1＝ ，x 2＝ ．10.(2020·石家庄市模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2y －12 －5 0 3 4 3利用二次函数的图象可知，当函数值y ＞0时，x 的取值范围是 ．考点专练1.(2020·河北模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx＋b2a与反比例函数y＝abx在同一坐标系内的大致图象是()2.(2020·石家庄市模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的是()A．①② B．③④ C．②③ D．①③3.．(2020·石家庄市模拟)二次函数y＝x2－2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是()A．抛物线开口向下B．当x＝0时，函数的最大值是－2C．抛物线的对称轴是直线x＝2D．抛物线与x轴有两个交点4．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象是()5．(2020·唐山路北区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b＋c＞0.其中正确的是()A．①③ B．② C．②④ D．③④6．(2020·石家庄长安区模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点(3，0)，则下列结论：①abc＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③2a＋b＝0；④4a＋2b＋c＜0.其中正确结论的序号是．5．(2020·秦皇岛市一模)如图，将抛物线y＝12 x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝1 2x2交于点Q.(1)点P的坐标为；(2)图中阴影部分的面积为．7.(2020·石家庄28中一模)如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3).(1)求a的值和图象的顶点坐标；(2)点Q(m，n)在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围；③直接写出点Q与直线y＝x＋5的距离小于2时m的取值范围．8．将抛物线y＝x2－2x＋3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为()A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5C．y＝x2－1 D．y＝x2＋49．(2020·唐山市一模)如图，已知二次函数L：y＝mx2＋2mx＋k(其中m，k 是常数，k为正整数)．(1)若L经过点(1，k＋6)，求m的值．(2)当m＝2时，若L与x轴有公共点且公共点的横坐标为非零的整数，确定k的值；(3)在(2)的条件下将L：y＝mx2＋2mx＋k的图象向下平移8个单位，得到函数图象M，求M的解析式；(4)将M的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N，请结合新的图象解答问题，若直线y＝12 x＋b与N有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b 的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是(C)A．乙错，丙对 B．甲和乙都错C．乙对，丙错 D．甲错，丙对2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c＝3或4，则(D)A.甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx(x＞0)的图象是(D)二次函数图象与性质的综合4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x 轴右交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．解：(1)当x＝0时，y＝x－b＝－b，∴B(0，－b).又∵AB＝8，A(0，b)，∴b－(－b)＝8.∴b＝4.∴L的表达式为y＝－x2＋4x，a的表达式为y＝x－4.∴L 的对称轴为x ＝2. 当x ＝2时，y ＝x －4＝－2.∴L 的对称轴与a 的交点坐标为(2，－2)；(2)∵y ＝－x 2＋bx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2 2 ＋b24 ，∴L 的顶点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，b 24 . ∵点C 在l 下方，∴点C 与l 的距离为b －b 24 ＝－14 (b －2)2＋1≤1. ∴点C 与l 距离的最大值为1；(3)由题意，得y 3＝y 1＋y 22 ，即y 1＋y 2＝2y 3，得b ＋x 0－b ＝2(－x 20 ＋bx 0). 解得x 0＝0或x 0＝b －12 .又x 0≠0，∴x 0＝b －12 . 对于L ，当y ＝0时，即0＝－x 2＋bx ，∴0＝－x (x －b ). 解得x 1＝0，x 2＝b .∵b ＞0，∴右交点D 为(b ，0). ∴点(x 0，0)与点D 的距离为b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12 ＝12 ；(4)4 040；1 010.考点解析二次函数的概念及表达式 例如，(1)已知二次函数图象经过原点，对称轴是y 轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2；(2)已知抛物线的顶点坐标为点M(1，－2)，且经过点N(2，3)，则此二次函数的表达式为y＝5(x－1)2－2；(3)已知二次函数图象经过点P(3，4)且与x轴两个交点的横坐标为1和－2，则这个二次函数的表达式为y＝25 x2＋25 x－45.二次函数的图象及性质例如，(1)(2020·秦皇岛市一模)二次函数y＝x2＋2x＋2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是(B)A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标是(1，1)C．抛物线与x轴没有交点D．当x＞－1时，y随x的增大而增大(2)(2020·石家庄市模拟)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是(A)A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2例如，(1)根据二次函数的大致图象得出结论：a>0，a<0，a>0，a<0，(2)若二次函数y ＝kx 2＋2x －1的图象与x 轴仅有一个公共点，则常数k 的值为(C )A ．1B ．±1C ．－1D ．－12 二次函数图象的平移(5)将抛物线y ＝12 x 2＋1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为(C )A ．y ＝－2x 2＋1B ．y ＝－2x 2－1C ．y ＝－12 x 2＋1D ．y ＝－12 x 2－1(6)(2020·河北一模)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋2m ，则m 的值是(D )A ．－72B ．－12C ．1D ．－12 或－72二次函数与一元二次方程、不等式的关系 例如，(1)若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为x 1＝－1，x 2＝5．(2)(2020·石家庄市模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是－1＜x＜3．二次函数的综合考点专练二次函数的图象与性质及与各项系数的关系【例1】(2020·河北模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx＋b2a与反比例函数y＝abx在同一坐标系内的大致图象是(B)【解析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置(在y轴右侧)确定ab＜0，由抛物线与y轴的交点位置(在x轴下方)确定c＜0.对于一次函数y＝cx＋b2a，由于c＜0，图象必经过第二、四象限，又0＜－b2a＜1，即b2a＜0，图象与y轴的交点在x轴下方；对于反比例函数y＝abx，ab＜0，图象分布在第二、四象限．【例2】(2020·石家庄市模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的是(B)A．①② B．③④ C．②③ D．①③【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0，0)和(1，0)之间．∴b2－4ac＞0，故①错误；当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，故②错误；由－b2a＝－1，得b＝2a，2a－b＝0，故③正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＝a－2a ＋c＝－a＋c＝3，即c－a＝3，故④正确.1．(2020·石家庄市模拟)二次函数y＝x2－2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是(D)A．抛物线开口向下B．当x＝0时，函数的最大值是－2C．抛物线的对称轴是直线x＝2D．抛物线与x轴有两个交点2．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象是(A)3．(2020·唐山路北区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b＋c＞0.其中正确的是(C)A．①③ B．② C．②④ D．③④4．(2020·石家庄长安区模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点(3，0)，则下列结论：①abc＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③2a＋b＝0；④4a＋2b＋c＜0.其中正确结论的序号是①②③．5．(2020·秦皇岛市一模)如图，将抛物线y＝12 x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝1 2x2交于点Q.(1)点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－92 ；(2)图中阴影部分的面积为272 ． 二次函数表达式的确定及综合【例3】(2020·石家庄28中一模)如图，已知二次函数y ＝x 2＋ax ＋3的图象经过点P (－2，3).(1)求a 的值和图象的顶点坐标； (2)点Q (m ，n )在该二次函数图象上． ①当m ＝2时，求n 的值；②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围； ③直接写出点Q 与直线y ＝x ＋5的距离小于2 时m 的取值范围．【解答】解：(1)将P (－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3，得 3＝(－2)2－2a ＋3，解得a ＝2.∴y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2. ∴顶点坐标为(－1，2)；(2)①将x ＝2代入y ＝x 2＋2x ＋3，解得y ＝11. ∴当m ＝2时，n ＝11；②2≤n ＜11；③－1－72 ＜m ＜－1或0＜m ＜－1＋72. 6．将抛物线y ＝x 2－2x ＋3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为(B )A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5C．y＝x2－1 D．y＝x2＋47．(2020·唐山市一模)如图，已知二次函数L：y＝mx2＋2mx＋k(其中m，k 是常数，k为正整数)．(1)若L经过点(1，k＋6)，求m的值．(2)当m＝2时，若L与x轴有公共点且公共点的横坐标为非零的整数，确定k的值；(3)在(2)的条件下将L：y＝mx2＋2mx＋k的图象向下平移8个单位，得到函数图象M，求M的解析式；(4)将M的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N，请结合新的图象解答问题，若直线y＝12 x＋b与N有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．解：(1)将点(1，k＋6)代入y＝mx2＋2mx＋k，解得m＝2；(2)当m＝2时，y＝mx2＋2mx＋k＝2x2＋4x＋k.令y＝0，即2x2＋4x＋k＝0.由题意，得Δ＝b2－4ac＝16－8k≥0.解得k≤2.又k为正整数，且k＝1时，方程没有整数解，故舍去．∴k＝2；(3)在m＝2，k＝2时，y＝2x2＋4x＋2，向下平移8个单位，平移后M的表达式为y ＝2x 2＋4x ＋2－8＝2x 2＋4x －6；(4)－12 ＜b ＜32 或b ＞27332 .[由(3)知，M 的表达式为y ＝2x 2＋4x －6.① 则翻折后抛物线的表达式为y ′＝－2x 2－4x ＋6.② 设直线m 为y ＝12 x ＋b .③Ⅰ)当直线m 与翻折后的图象有一个交点(点H )时，如图，联立②③并整理得2x 2＋92 x ＋b －6＝0.则Δ＝814 －8(b －6)＝0.解得b ＝27332 ；Ⅱ)当直线m 过点A (－3，0)时，将点A 的坐标代入③，得0＝12 ×(－3)＋b .解得b ＝32 ；Ⅲ)当直线m 过点B (1，0)时，同理可得，b ＝－12 .综上所述，直线y ＝12 x ＋b 与N 有两个公共点时，b 的取值范围为－12 ＜b ＜32 或b ＞27332 .]。

中考复习之二次函数二次函数的一般式为y=ax2+bx+c(a≠0)a控制开口方向a>0，开口向上；a<0，开口向下。

|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大b控制顶点坐标顶点坐标公式24 (,) 24b ac ba a--顶点坐标的横坐标决定对称轴，顶点坐标的纵坐标决定最值对称轴在y轴左边，a、b同号；对称轴在y轴右边，a、b异号，对称轴刚好是y轴，b=0。

口诀：左同右异c控制二次函数与y轴的交点二次函数与y轴一定有一个交点，这个交点坐标为（0,c）当c>0，二次函数与y轴交于正半轴当c<0，二次函数与y轴交于负半轴当c=0，二次函数经过原点（0,0）二次函数x轴的交点由Δ控制Δ>0，二次函数与x轴有2个交点Δ=0，二次函数与x轴有1个交点Δ_____，二次函数与x轴有交点Δ<0，二次函数与x轴无交点求函数与x 轴的交点=>令y=0求函数与y 轴的交点=>令x=01、抛物线y ＝x 2﹣4x+4的顶点坐标为（ ）A ．（﹣4，4）B ．（﹣2，0）C ．（2，0）D ．（﹣4，0）2、抛物线y ＝x 2+x ﹣1的对称轴是（ ）A ．直线x ＝﹣1B ．直线x ＝1C ．直线x ＝﹣D ．直线x ＝3、抛物线y ＝x 2+1的对称轴是（ ）A ．直线x ＝﹣1B ．直线x ＝1C ．直线x ＝0D ．直线y ＝14、抛物线y ＝（x ﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（﹣2，3）C ．（2，﹣3）D ．（﹣2，﹣3）5、把抛物线y ＝﹣x 2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A ．y ＝﹣（x ﹣1）2+3B ．y ＝﹣（x+1）2+3C ．y ＝﹣（x+1）2﹣3D ．y ＝﹣（x ﹣1）2﹣36、函数y ＝kx 2﹣4x+2的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜2B ．k ＜2 且 k ≠0C ．k ≤2D ．k ≤2 且 k ≠07、二次函数y ＝kx 2﹣2x ﹣3的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞31- B ．k ＞31-且k ≠0 C ．k ≥31- D ．k ≥31-且k ≠0例1、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为x＝1，给出下列结论：①abc＜0 ②b2＞4ac ③4a+2b+c＜0 ④2a+b＝0其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个例2、如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0②b﹣a＞c ③4a+2b+c＞0 ④3a＞﹣c ⑤a+b＞m（am+b）（实数m≠1）。

2022年最新中考数学知识点梳理考点总结+真题演练涵盖近年来的中考真题和中考模拟考点11 二次函数考点总结一、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质开口向上开口向下2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．六、二次函数的综合1、函数存在性问题:解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021•河北模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m≠0）与x轴交于点A，B．若线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，则m的取值范围是（）A．m＞0 B．316＜m≤13C．m＞316D．316＜m＜13【分析】先判断出x＝4时，y≤0，当x＝5时，y＞0，解不等式，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3＝m（x﹣1）2﹣3，∴顶点（1，﹣3），抛物线的对称轴为直线为x＝﹣1，∵抛物线与x轴交于点A，B．∴抛物线开口向上，∵线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，∴这些整数为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，∵m＞0，∴当x＝4时，y＝16m﹣8m+m﹣3≤0，∴m≤1 3，当x＝5时，y＝25m﹣10m+m﹣3＞0，∴m＞3 16，∴316＜m≤13，故选：B．2．（2021•开平区一模）如图，已知抛物线y＝ax（x+t）（a≠0）经过点A（﹣3，﹣3），t≠0，当抛物线的开口向上时，t的取值范围是（）A．t＞3 B．t＞﹣3 C．t＞3或t＜﹣3 D．t＜﹣3【分析】将A（﹣3，﹣3）代入y＝ax（x+t），求得a=1t−3，根据抛物线开口向上，a＞0，即可得出关于t的不等式，解不等式即可求解．【解答】解：将A（﹣3，﹣3）代入y＝ax（x+t）得，﹣3＝a（9﹣3t），∴a=1 t−3∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴1t−3＞0，∴t﹣3＞0，∴t＞3．故选：A．3．（2021•河北模拟）对于题目，“线段y=−34x+94(−1≤x≤3)与抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）有唯一公共点，确定a的取值范围”．甲的结果是a≤−32，乙的结果是a＞32，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【分析】分类讨论a＞0，a＜0两种情况，通过数形结合方法，列不等式求解．【解答】解：如图，点A坐标为（﹣1，3），点B坐标为（3，0），①a＞0时，抛物线开口向上，经过定点（0，0），抛物线与直线x＝﹣1交点坐标为C（﹣1，a+2a2），与直线x＝3交点坐标为（3，9a﹣6a2），当点C在点A下方，点D在点B上方时满足题意，即{a+2a2＜39a−6a2≥0 a＞0，解得0＜a＜1，当点C 在点A 上方，点D 在点B 下方时也满足题意， {a +2a 2＞39a −6a 2＜0a ＞0， 解得a ＞32，②a ＜0时，抛物线开口向下，经过定点（0，0）， 当点C 与点A 重合或在A 上方时满足题意， 即{a +2a 2≥3a ＜0， 解得a ≤−32．综上所述，0＜a ＜1或a ＞32或a ≤−32． 故选：D ．4．（2021•清苑区模拟）对于二次函数y ＝4（x +1）（x ﹣3）下列说法正确的是（ ）A．图象开口向下B．与x轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）C．x＜0时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x＝﹣1【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项是否正确．【解答】解：y＝4（x+1）（x﹣3）＝4（x﹣1）2﹣16，A、a＝4＞0，则该抛物线的开口向上，故选项A不符合题意，B、与x轴的交点坐标是（﹣1，0）、（3，0），故选项B不符合题意，C、当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C符合题意，D、图象的对称轴是直线x＝1，故选项D不符合题意，故选：C．5．（2021•衡水模拟）若二次函数y＝ax2+2ax（a≠0）过P（1，4），则这个函数必过点（）A．（﹣3，4）B．（﹣1，4）C．（0，3）D．（2，4）【分析】根据二次函数的对称性即可判断．【解答】解：∵二次函数的图象过点P（1，4），对称轴为直线x＝﹣1，∴点P关于对称轴的对称点为（﹣3，4），∵点P关于对称轴的对称点必在这个函数的图象上，∴这个函数图象必过点（﹣3，4），故选：A．6．（2021•石家庄一模）在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4），抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（）A．3≤t≤4 B．5≤t≤6C．3≤t≤4，t＝6 D．3≤t≤4或5≤t≤6【分析】把A、B的坐标分别代入抛物线解析式得到关于t的方程，解方程求得t的值，即可得到符合题意的t的取值范围．【解答】解：把A（4，2）代入y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0）得2＝﹣（4﹣t）2+t，解得t＝3或t＝6；把B（4，4）代入y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0）得4＝﹣（4﹣t）2+t，解得t＝4或t＝5；∴当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是3≤t≤4或5≤t≤6，故选：D．7．（2021•邢台模拟）对于题目：“已知A（0，2），B（3，2），抛物线y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m ﹣1（m≠0）与线段AB（包含端点A、B）只有一个公共点，求m的取值范围”．甲的结果是﹣3＜m＜0，乙的结果是0＜m＜32，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决．【解答】解：当x＝0时，y＝2m﹣1，当x＝3时，y＝9m﹣9（m﹣1）+2m﹣1＝2m+8，∵y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣1＝m（x2﹣3x+2）+3x﹣1＝m（x﹣2）（x﹣1）+3x﹣1，∴该函数和恒过点（2，5）、（1，2），当（1，2）为抛物线顶点时，该抛物线与线段AB一个交点，此时−−3(m−1)2m=1，得m＝3；当抛物线过点A（0，2），则2m﹣1＝2，此时m=32＞0，抛物线开口向上，又∵抛物线恒过点（1，2），∴抛物线与线段AB一个交点时，2m﹣1＜2，得m＜3 2，∴0＜m＜3 2；当抛物线过点B（3，2）时，2m+8＝2，得m＝﹣3＜0，此时抛物线开口向下，又∵抛物线恒过点（1，2），∴抛物线与线段AB一个交点时，2m+8＞2，得m＞﹣3，∴﹣3＜m＜0；由上可得，0＜m＜32或﹣3＜m＜0或m＝3，故选：D．8．（2021•柳南区校级模拟）如图，现要在抛物线y＝x（6﹣x）上找点P（a，b）；针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝15，则点P的个数为0；乙：若b＝9，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对【分析】把点P的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断甲、乙、丙的判断对与错．【解答】解：∵点P（a，b），当b＝15时，则15＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+15＝0，∵Δ＝36﹣4×15＜0，∴点P的个数为0；当b＝9时，则9＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+9＝0，∵Δ＝36﹣4×9＝0，∴a有两个相同的值，∴点P的个数为1；当b＝3时，则3＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+3＝0，∵Δ＝36﹣4×3＞0，∴有两个不相等的值，∴点P 的个数为2； 故甲、乙对，丙错， 故选：C ．9．（2021•商河县一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2﹣2mx +m ﹣3与x 轴交于点A 、B ．下列结论正确的有（ ）个．①m 的取值范围是m ＞0；②抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）；③若线段AB 上有且只有5个点的横坐标为整数，则m 的取值范围是13＜m ≤34；④若抛物线在﹣3＜x ＜0这一段位于x 轴下方，在5＜x ＜6这一段位于x 轴上方，则m 的值为316．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点，得出Δ＞0，即可判断①；用配方法将抛物线解析式配成顶点式，即可判断②；先判断出x ＝3时，y ≤0，当x ＝4时，y ＞0，解不等式，即可判断③；先判断出抛物线在﹣4＜x ＜﹣3这一段位于x 轴上方，结合抛物线在﹣3＜x ＜0这一段位于x 轴下方，得出当x ＝﹣3时，y ＝0，即可得出判断④．【解答】解：①∵抛物线y ＝mx 2﹣2mx +m ﹣3与x 轴交于点A 、B ， ∴Δ＝（﹣2m ）2﹣4m （m ﹣3）＞0， ∴m ＞0，故①正确；②∵y ＝mx 2﹣2mx +m ﹣3＝m （x 2﹣2x +1）﹣3＝m （x ﹣1）2﹣3， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），故②正确；③由②知，抛物线的对称轴为直线为x ＝1， ∵线段AB 上有且只有5个点的横坐标为整数， ∴这些整数为﹣1，0，1，2，3， ∵m ＞0，∴当x ＝3时，y ＝9m ﹣6m +m ﹣3≤0， ∴m ≤34，当x ＝4时，y ＝16m ﹣8m +m ﹣3＞0，∴m ＞13，∴13＜m ≤34，故③正确；④∵抛物线的对称轴为直线为x ＝1，且m ＞0，抛物线在5＜x ＜6这一段位于x 轴上方， ∴由抛物线的对称性得，抛物线在﹣4＜x ＜﹣3这一段位于x 轴上方， ∵抛物线在﹣3＜x ＜0这一段位于x 轴下方， ∴当x ＝﹣3时，y ＝9m +6m +m ﹣3＝0， ∴m =316，故④正确， 故选：D ．10．（2021•河北模拟）对二次函数y =12x 2+2x +3的性质描述正确的是（ ） A ．该函数图象的对称轴在y 轴左侧 B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 C ．函数图象开口朝下D ．该函数图象与y 轴的交点位于y 轴负半轴 【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断．【解答】解：A 、y =12x 2+2x +3对称轴为x ＝﹣2，在y 轴左侧，故A 符合题意；B 、因y =12x 2+2x +3对称轴为x ＝﹣2，x ＜﹣2时y 随x 的增大而减小，故B 不符合题意； C 、a =12＞0，开口向上，故C 不符合题意；D 、x ＝0是y ＝3，即与y 轴交点为（0，3）在y 轴正半轴，故D 不符合题意；故选：A ．二．填空题（共5小题）11．（2021•河北模拟）在平面直角坐标系中，已知A （﹣1，m ）和B （5，m ）是抛物线y ＝x 2+bx +1上的两点，b ＝ ﹣4 ；m ＝ 6 ；将抛物线y ＝x 2+bx +1向上平移n （n 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴没有交点，则n 的最小值为 4 ．【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x ＝2，则−b2×1=2，解得b ＝﹣4，再把（﹣1，m ）代入y ＝x 2﹣4x +1中求出m 的值；利用二次函数图象平移的规律得到抛物线向上平移n 个单位后的解析式为y ＝x 2﹣4x +1+n ，根据判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4（1+n）＜0，然后解不等式后可确定n的最小值．【解答】解：∵A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，∴点A和点B为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，即−b2×1=2，解得b＝﹣4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1，把（﹣1，m）代入得m＝1+4+1＝6；抛物线向上平移n个单位后的解析式为y＝x2﹣4x+1+n，∵抛物线y＝x2﹣4x+1+n与x轴没有交点，∴△＝（﹣4）2﹣4（1+n）＜0，解得n＞3，∵n是正整数，∴n的最小值为4．故答案为﹣4，6；4．12．（2021•永德县模拟）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为直线x＝1 ．【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3）和B（2，3），∴此两点关于抛物线的对称轴对称，∴x=0+22=1．故答案为：直线x＝1．13．（2020•秦皇岛一模）如图，将抛物线y=12x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q．（1）点P的坐标为(−3，−92 )；（2）图中阴影部分的面积为272．【分析】（1）抛物线C 1与抛物线y =13x 2的二次项系数相同，利用待定系数法即可求得函数的解析式，进而即可求得顶点P 的坐标；（2）图中阴影部分的面积与△POQ 的面积相同，利用三角形面积公式即可求解． 【解答】解：（1）∵把抛物线y =12x 2平移得到抛物线m ，且抛物线m 经过点A （﹣6，0）和原点O （0，0），∴抛物线m 的解析式为y =12（x ﹣0）（x +6）=12x 2+3x =12（x +3）2−92． ∴P (−3，−92)． 故答案是：(−3，−92)；（2）把x ＝﹣3代入=12x 2得y =92， ∴Q （﹣3，92），∵图中阴影部分的面积与△POQ 的面积相同，S △POQ =12×9×3=272． ∴阴影部分的面积为272．故答案为：272．14．（2021•桥西区模拟）在平面直角坐标系中，函数y ＝x 2﹣4x 的图象为C 1，C 1关于原点对称的函数图象为C 2．①则C 2对应的函数表达式为 y ＝﹣x 2﹣4x ，②直线y ＝a （a 为常数）分别与C 1、C 2围成的两个封闭区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数之比为4：15时，a 的取值范围 ﹣2＜a ＜﹣1 ．【分析】（1）根据关于原点对称的关系，可得C2；（2）根据图象可得答案．【解答】解：（1）函数y＝x2﹣4x的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，C2图象是y ＝﹣x2﹣4x；故答案为y＝﹣x2﹣4x；（2）由图象可知，直线y＝a（a为常数）分别与C1、C2围成的两个封闭区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数之比为4：15时，a的取值范围﹣2＜a＜﹣1．故答案为﹣2＜a＜﹣1．15．（2021•石家庄模拟）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐很小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P 与加工煎炸时间t （单位：min ）近似满足的函数关系为：p ＝at 2+bt +c （a ≠0，a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到P 与t 的解析式为 P ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9 ；并得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为 3.75分钟 ．【分析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p ＝at 2+bt +c 中，可得函数关系式为：p ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P ＝at 2+bt +c 中，{9a +3b +c =0.816a +4b +c =0.925a +5b +c =0.6， 解得{a =−0.2b =1.5c =−1.9，所以函数关系式为：P ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t =−b 2a=−1.52×(−0.2)=3.75，则当t ＝3.75分钟时，可以得到最佳时间． 故答案为：P ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9，3.75分钟． 三．解答题（共3小题）16．（2021•路北区一模）如图，抛物线L ：y ＝﹣（x ﹣t ）2+t +2，直线l ：x ＝2t 与抛物线、x 轴分别相交于Q 、P 两点．（1）t ＝1时，Q 点的坐标为 （2，2） ；（2）当P、Q两点重合时，求t的值；（3）当Q点达到最高时，求抛物线解析式；（4）在抛物线L与x轴所围成的封闭图形的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，直接写出1≤t≤2时“可点”的个数．【分析】（1）把t＝1代入x＝2t即可求出直线l的解析式，把x＝2，t＝1代入抛物线L的解析式得y＝2，即可求出Q点的坐标；（2）由P、Q两点重合，可知直线与抛物线交于x轴，即交点的纵坐标为0，代入抛物线解析式，即可求得t的值；（3）由题意可知，直线与抛物线交于抛物线顶点，即可得到关于t的方程，求解方程得出t的值，代入y＝﹣（x﹣t）2+t+2，即可得出抛物线解析式；（4）根据“可点”的定义，分t＝1，t＝2，1＜t＜2三种情况讨论，即可得出“可点”的个数．【解答】解：（1）当t＝1时，x＝2，∴直线l的解析式为：x＝2，把x＝2，t＝1代入抛物线L的解析式得：y＝﹣（2﹣1）2+1+2＝2，∴Q点的坐标为（2，2），故答案为：（2，2）；（2）∵P、Q两点重合，∴直线与抛物线交于x轴，∴交点为（2t，0），∴﹣（2t﹣t）2+t+2＝0，解得：t＝2或t＝﹣1；（3）∵抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t+2，∴抛物线顶点坐标为（t，t+2），当Q点达到最高时，则直线与抛物线交于顶点，∴2t＝t，解得：t＝0，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2；（4）∵1≤t≤2时，∴分三种情况讨论，当t＝1时，抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3，令y＝0，则﹣（x﹣1）2+3＝0，解得：x＝1±√3，∴“可点”在x轴上有3个，抛物线上有3个，共有6个，当t＝2时，抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+4，令y＝0，则﹣（x﹣2）2+4＝0，解得：x＝0或4，∴“可点”在x轴上有5个，抛物线上有3个，共有8个，当1＜t＜2时，抛物线与x轴的交点在1−√3和4之间，当L过（3，0）时，“可点”在x轴上有4个，抛物线上有3个，共有7个，综上所述，“可点”的个数为6或7或8．17．（2021•开平区一模）如图，一位运动员进行投篮训练，设篮球运行过程中的距离地面的高度为y，篮球水平运动的距离为x，已知y﹣3.5与x2成正比例，（1）当x=√5时，y＝2.5，根据已知条件，求y与x的函数解析式；（2）直接写出篮球在空中运行的最大高度．（3）若运动员的身高为1.8米，篮球投出后在离运动员水平距离2.5米处到达最高点，球框在与运动员水平距离4米处，且球框中心到地面的距离为3.05米，问计算说明此次投篮是否成功？【分析】（1）设y﹣3.5＝kx2，用待定系数法求函数解析式即可；（2）由（1）解析式求函数最大值即可；（3）根据题意球框距离篮球最高点的水平距离是1.5米，把x＝1.5代入（1）中解析式得出y3.05米即可．【解答】解：（1）由题意可设y﹣3.5＝kx2，∵当x=√5时，y＝2.5，∴2.5﹣3.5＝k×（√5）2，解得：k=−1 5，∴y与x的函数解析式为y=−15x2+3.5；（2）∵y=−15x2+3.5，∴篮球在空中运行的最大高度为3.5米；（3）此次投篮成功，理由：把x＝4﹣2.5＝1.5代入y=−15x2+3.5得：y=−15×1.52+3.5＝3.05，∴（1.5，3.05）在抛物线y=−15x2+3.5上，∴此次投篮成功．18．（2021•海港区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a（a≠0）与y轴交于点A，顶点为B．（1）若抛物线过点（1，4），求抛物线解析式．（2）设点A的纵坐标为y A，用含a的代数式表示y A，求出y A的最小值．（3）若a＞0，随着a增大A点上升而B点下降，求a的取值范围．【分析】（1）把（1，4）代入抛物线解析式求解．（2）用含a代数式表示表示y A，并将解析式化为顶点式求解．（3）分别用含a代数式表示y A，y B，并将其化为顶点式求解．【解答】解：（1）把（1，4）代入y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a得4＝a﹣2a+a2﹣2a，解得a1＝﹣1，a2＝4．∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3或y＝4x2﹣8x+8．（2）把x＝0代入y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a，即y A=a2−2a=（a﹣1）2﹣1，∴y A的最小值为﹣1．（3）∵y＝ax2﹣2ax+a2﹣2a＝a（x﹣1）2+a2﹣3a，∴y A=a2−2a=（a﹣1）2﹣1，y B=a2−3a=(a−32)2−94，∴当a＞1时，随着a增大A点上升；当a＜1.5时，随着a增大B点下降．∴当1＜a＜1.5时，随着a增大A点上升而B点下降．。

二次函数知识点归纳一、二次函数概念1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：oo结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：2. 2y ax c =+的性质：结论：上加下减。

a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．总结：3. ()2y a x h =-的性质：结论：左加右减。

总结：4. ()2y a x h k =-+的性质：总结： a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。

中考数学复习二次函数知识点二次函数是数学中的重要概念，它在高中数学以及各类数学竞赛中都有广泛的应用。

了解和掌握二次函数的知识点对于中考数学复习非常重要。

以下是关于二次函数的知识点的详细介绍：一、二次函数的定义和基本形式二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c是实数且a ≠ 0。

其中，a 称为二次函数的二次项系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项。

二次函数的图像是一个拱形，开口的方向由二次项系数a的正负决定，当a>0时，图像开口朝上；当a<0时，图像开口朝下。

二、二次函数的顶点二次函数的顶点是图像的最高点或最低点，它的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为y=f(-b/2a)。

顶点是对称轴x=-b/2a上的一个点，它将图像分为两部分。

三、二次函数的轴对称性二次函数的图像关于对称轴x=-b/2a对称，即对称轴左侧和右侧的部分是相同的。

四、二次函数的平移与伸缩在二次函数的基本形式上，通过变换可以得到平移和伸缩后的二次函数。

(1) 平移：将二次函数的图像沿着 x 轴或 y 轴平移。

在标准的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 上平移 h 个单位，得到 f(x-h) = a(x-h)^2 + b(x-h) + c。

(2) 伸缩：将二次函数的图像横向或纵向拉长或缩短。

在标准的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 上横向伸缩为 y = a(x-h)^2 + k。

五、二次函数的解析式二次函数的解析式是对二次函数 y = ax^2 + bx + c 进行化简得到的表达式。

(1) 一般形式：y = ax^2 + bx + c(2)顶点式：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是函数的顶点坐标。

(3)因式分解式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2是函数的零点或根。

(4)标准式：y=a(x-p)(x-q)，其中p和q是函数的零点或根。