中国石油大学2006至2007学年第一学期管理类高等数学期末考试试题A

2021—2021学年第一学期"高等数学〔2-1〕"期末考试A 卷〔工科类〕参考答案及评分标准一．〔共5小题，每题3分，共计1 5分〕判断以下命题是否正确.在题后的括号打"√〞或"⨯〞，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进展说明.1．假设)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .〔⨯〕------------- 〔 1分 〕例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim .------- 〔 2分 〕2．假设)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.〔⨯ 〕------------- 〔 1分 〕 例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ 〔 2分 〕 3．假设0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y 〔⨯ 〕-------------- 〔 1分 〕例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在.---------------------------- 〔 2分 〕4．假设0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.〔⨯ 〕------------------- 〔 1分 〕例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值.---------〔 2分 〕 5．假设)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.〔⨯〕------------- 〔 1分 〕 例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. 〔2分〕 二．〔共3小题，每题7分，共计2 1分〕1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的连续点，并判断其类型. 解函数x x x f cot )(⋅=的连续点为：,2,1,0,±±==k k x π------------------------------------------------------- ( 3分 )当,0=k 即0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去连续点;----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷连续点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------〔3分〕 xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------〔1分〕3．设方程)0,0(>>=y x x y y x确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即xx y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dxdyy ln 1)ln 1(+=+，即y x dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 )⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 )322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 )三．〔共3小题，每题7分，共计2 1分〕1．求不定积分⎰+dx xxx 23sin 1cos sin . 解⎰⎰+-=+)(sin sin 1)sin 1(sin sin 1cos sin 2223x d xx x dx x x x ------------------------〔2分〕 〔令t x =sin 〕 =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212------------------〔2分〕 C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------〔3分〕2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(. 解)(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 )Cx dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 ).ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解 dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442cos sin ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------〔2分〕dx x 2cos 2740⎰=π----------------------------------------------------------〔2分〕〔令t x =2〕dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------〔1分〕.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------〔1分〕 四．〔共2小题，每题6分，共计1 2分〕1．一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少.解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y +=----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得dtdww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222， 即 dtdww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------〔1〕-------------------------------- ( 2分 ) ,2=dt dl ,3=dtdw ,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入〔1〕式，得 对角线的增加率：3=dtdy〔cm/s 〕. -------------------------------------------------- ( 2分 )2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时抑制阻力所做的功.解ct dtdxt v 2)(==----------------------------------------------------------- ( 2分 )cxt c t c k x f 444)(2222===,-------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdxW 04＝22ca .------------------------------------------------------ ( 2分 )五．〔此题10分〕x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解 函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(xx x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ) 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 )六．〔共2小题，每题7分，共计14分〕 1.试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dxxe dx y V x ππ------------------------------------------------------〔4分〕ππππ=-=+-=+∞→01limxx e x ----------------------------------------------〔3分〕2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解 特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C e C y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 )代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 ) 故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C eC y x x-------------------------------- ( 1分 )七．〔此题7分〕表达罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Rolle 中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 ) 令nnx a xa x a x f nsin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 )在],0[π上连续，在),0(π可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下： 第一章函数与极限 13 %；第二章一元函数的导数与微分16%； 第三章微分中值定理与导数的应用 20%； 第四章不定积分 14 %； 第 五 章定积分及其应用30% . 第 六 章常微分方程 7% .2021—2021 学年第一学期"高等数学〔2-1〕"期末考试A 卷( 工 科 类 ) 参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限 16%； 第二章一元函数的导数与微分 16%； 第三章微分中值定理与导数的应用14%； 第四章不定积分 15%； 第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13% .一．〔共3小题，每题4分，共计12分〕判断以下命题是否正确 " 在 题后的括号打"√〞或"⨯〞，如果正确，请给出证明，如果不 正确请举一个反例进展说明 . 1．极限xx 1sinlim 0→不存在. 〔 √ 〕--------------------------------------------------〔2分〕 证 设x x f 1sin)(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sinlim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sinlim 0→不存在.---------------------------------------------------------------〔2分〕2．假设曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导.〔 ⨯ 〕--------------------------------------------------------〔2分〕例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导. ---------------------------------------------------------〔2分〕 3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . 〔 ⨯ 〕----------------------------------------------------------〔2分〕例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但0)0(=''f ..---------------------------------------------------------〔2二．〔共3小题，每题6分，共计18分〕 1. 求极限)!sin()11(lim n nn n ⋅-∞→. 解,0)11(lim =-∞→nn n,1)!sin(≤n ------------------------------------------------------〔3分〕.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------〔3分〕 2.求极限44)1(limxdte t x x t x ⎰-+∞→+.解44)1(limx dte t xx t x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------〔3分〕xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→.141lim 434=++=+∞→x x x x -----------------------------------------〔3分〕 3．求极限)21(lim 222222nn n n n n n n ++++++∞→ . 解)21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→ ∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim ------------------------------------------------------------------〔3分〕⎰+=1021x dx 4arctan 10π==x.-------------------------------------------------------〔3分〕 三．〔共3小题，每题6分，共计18分〕 1．求函数()xx eex f 11211++=的连续点并判断其类型.解 0=x 是)(x f 的连续点，---------------------------------------------------------------------〔3分〕又 )(lim 0x f x +→21211lim 110=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e， 0=∴x 是)(x f 的跳跃连续点.---------------------------------------------------------------〔3分〕2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222xe e x x --=----------------- 〔3分 〕当0=x 时，0)0()(lim)0(0--='→x f x f f x xx e x x 1lim 20-=→201lim 2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ 〔 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==',--------------------------------------------------------------------〔3分〕22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin d t t dx =()sin d dt t t dt dx=⋅sin cos ()t t tx t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------〔3分〕 四．〔共3小题，每题6分，共计18分〕 1．求不定积分⎰+dx e xx ln 2.解 ⎰+dx exx ln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------〔3分〕)(2122⎰=x d e x .212C e x +=-------------------------------------------------------------〔3分〕 2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1-------------------------------------------------------〔1分〕⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------〔2分〕⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412-------------------------------------〔2分〕C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------〔1分〕3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分 dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------〔1分〕 dx x 210120-+=⎰〔上半单位圆的面积〕-----------------------------------〔3分〕242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------〔2分〕五．〔此题8分〕设由曲线x y ln =与直线0=-ey x 及x 轴 所围平面图形为D(1) 求D 的面积S ；〔4分〕(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积V .〔4分〕解 曲线x y ln =与直线0=-ey x 的交点为)1,(e ，------------〔1分〕.12-=e--------------------〔3分〕 〔2〕⎰⎰---=-=121221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------〔2分〕.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ---------------------〔2分〕六．〔共2小题，每题6分，共计12分〕1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水(水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=.-------------------------------------〔1分〕.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------〔2分〕2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开场降落，假设空气的阻力与速度成正比〔比例系数为0>k 〕，求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有kv mg dtdvm-=，其中g为重力加速度，-------------------------------------------〔2分〕别离变量，得m dtkv mg dv =- ，两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- 〔其中1kC e C -=，>-kv mg 〕---------------------------------〔2分〕 由0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故.)(0t m ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------〔2分〕七．〔此题6分〕求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r 对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------〔3分〕而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------〔1分〕B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ，2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比拟同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------〔2分〕八．〔此题8分〕设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点)0,21(. 〔1〕试求曲线L 的方程；〔2〕求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解〔1〕过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+21，)0(>x ------------〔2分〕 令u x y=，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dx udu )0(>x C x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------〔2分〕〔2〕曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x 轴及y 轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------〔2分〕所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------〔2分〕2021 —2021学年第一学期 "高等数学〔2-1〕"期末考试卷答案及评分标准( 工 科 类 )专业班级 姓 名 学 号开课系室 根底数学系 考试日期2016年1月 11 日A 卷1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共八道大题，总分值100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共8页。

中国石油大学2006至2007学年第一学期高等数学期中考试试题
中国石油大学2006—2007学年第一学期《高等数学》期中考试试卷
专业班级
姓名
学号
开课系室数学学院基础数学系
考试日期 2006.11
题号一二三四
总分
得分
一、选择题(45=20分)
1．当时，都是无穷小，则当时，下列表示式哪一个不一定是无穷小（）
2．设，间断点的类型为（）
(A)可去间断点 (B)跳跃间断点 (C)无穷间断点 (D)振荡间断点3．( )
(A)2 (B)－2 (C) (D)不存在
4．设可导，，要使在处可导，则必有（） (A) (B) (C) (D)
5．设，则（）
(A) 在处间断
(B) 在处连续但不可导
(C) 在处可导，但导数在处不连续
(D) 在处有连续导数
二、填空题(45=20分)
1．
2．当x0时，无穷小量1-cosx与mx n等价(其中m,n为常数)，则m=
3．设，，＝
4．函数的一个可去间断点是x＝
5．设确定了函数，
三、计算下列各题
1．求极限(10分，每题5分)
(1)
(2)
2．(10分)已知，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线
3．(10分)设函数在处有二阶导数，确定参数的值
4．(6分)设为连续函数，且，求曲线在处的切线方程。

5．(6分)将在处展开到含项，并计算
6．(6分)证明不等式
7．(6分)设由方程所确定,求
四、(6分)设函数在[0,1]上连续，且在[0,1]上不恒等于零，在
(0,1)内可导，，证明：存在，使得。

中国石油大学（北京）2006-2007学年度第一学期储运2004《工程热力学与传热学》期末试卷——A 卷（闭卷）工程热力学部分一. 判断对错（每题1分，共计5分）1 气体被压缩时一定消耗外功；（ ）2 理想混合气体中，各组元的体积分数等于其摩尔分数；（ ）3 不可逆过程的熵变无法计算；（ ）4 当m 公斤的河水与G 公斤的沸水具有相同的热力学能时，它们的可用能一定相同；（ ） 5湿空气的含湿量d 一定时，温度越高，其吸湿能力越强；（ ）二. 问答题（共计18分）1.将满足以下要求的理想气体多变过程表示在同一个p-v 图和T-s 图上 (1)理想气体的定温，定压，定容和定熵过程； (2)工质又膨胀，又降温，又放热的多变过程。

（5分） 2.欲设计一台热机，使之能从温度为973K 的高温热源吸热2000 kJ ，并向温度为303K 的低温热源放热800 kJ ，问此循环能否实现？（4分） 3.解释湿空气的露点温度，说明将未饱和湿空气转变为饱和湿空气的方法。

（4分） 4.如图为蒸汽一次回热循环的T-s 图，指出各相应过程的特点，并写出热效率的计算公式。

（5分）三. 计算题（共计30分）1有一汽缸和活塞组成的系统，汽缸壁和活塞均由绝热材料制成，活塞可在汽缸中无摩擦地自由移动。

初始时活塞位于汽缸中间，A ，B 两侧各有1 kg 空气，两边的压力、温度都相同, 并有P A1= P B1 =0.45 MPa ，T A1= T B1= 900K 。

现对A 侧冷却水管通水冷却，A 侧压力逐渐降低，直至压力降低到P A2= P B2= 0.3 MPa 时。

试计算：（1） A ，B 两侧的体积，温度是多少？ （2） 冷却水从系统带走的热量是多少？（3） A ，B 腔内气体的熵变及整个气体组成的系统熵变是多少？按定值比热容计算。

且k=1.4, c V =0.717 kJ/(kg·K) 。

（15分） 2将1 kmol 理想气体在400K 下从0.1 MPa 缓慢地定温压缩到1.0 MPa ，试计算下列三种情况下此过程气体的熵变，热源的熵变和总熵变。

A卷2009—2010学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2010年1月11日注意事项1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．21lim()xx x e x →-=.2．()()1200511xx x x e e dx --+-=⎰ .3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==.4. 设()x f 可导，且1()()xtf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f . 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.（A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x *=;（C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+; （D ）x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数. 4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分230x x e dx-.2．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程.4. 设20()cos()xF x x t dt=-⎰，求)(x F '.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1． 21lim()xx x e x →-=21e .2．()()1200511x x x x e e dx --+-=⎰e 4.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x +-=⎰确定，则0x dydx==1-e .4. 设()x f 可导，且1()()x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 221x e.5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为xe x C C y 221)(-+=.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：1．设常数0>k ，则函数ke x x xf +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）（A ）cos2y A x *=； （B ）cos2y Ax x *=； （C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+； （D ）x A y 2sin *= 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）(A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;(B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;(C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰-232dxe x x .解：⎰⎰⎰----===202020322121,2tt x tde dt te dx ex t x 则设 -------2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------2 2223210221----=--=e e e t --------22．计算不定积分dx x x x ⎰5cos sin .解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3C x x x x x d x x x +--=+-=⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43424 -----------3 3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 解：切点为)),12((a a -π-------22π==t dx dy k 2)c o s 1(s i n π=-=t ta ta 1= -------2切线方程为)12(--=-πa x a y 即ax y )22(π-+=. -------24. 设 ⎰-=xdtt x x F 02)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 222x x x x x ---.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .解：)1l n (1ln 1∑=+=n i n n i n x ---------2 ⎰∑+=+==∞→∞→101)1ln(1)1ln(lim ln lim dxx n n i x n i n n n --------------2=12ln 211)1ln(1010-=+-+⎰dx x x x x ------------2故 nn x ∞→lim =e e 412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解：设切点为),00y x （，则过原点的切线方程为xx y 2210-=，由于点),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3 过原点和点)2,4(的切线方程为22xy =-----------------------------3面积dyy y s )222(22⎰-+==322-------------------3或 322)2221(2212042=--+=⎰⎰dx x x xdx s2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.解： 法一：21V V V -=[][]⎰⎰⎰---=-----=102212122)1(12)2()11(2dyy ydyy dy y πππ -------6)314(201)1(31423-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππy --------3 法二：V =⎰---12)2)(2(2dxx x x x π⎰⎰----=101022)2(22)2(2dxx x dx x x x ππ ------------------ 5[]⎰--+--=102234222)22(ππdx x x x x x ππππππππ322134213234141201)2(3222232-=-+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-=x x ------------- 43. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.解:.ln ln ln 1)(0ln )(a aa t a a a t f t -==-='得由 --------------- 30)(l n 1ln ln )(2e e a a a a a t ==-='得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当a t e a a t e a a t e a e e e =<'<>'>-----2故.11ln 1)(,)(e e e e t a t e a e e -=-==最小值为的最小值点为--------------1五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=22222F f ，在1[1]2，上()F x 用零点定理，根据11(1)()=-022F F <，--------------- 2可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)2F ηη∈⊂，,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3。

中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案2007—2022学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分.请将答案写在指定位置上.1.平面1:yz0与平面2:某y0的夹角为3.22z某y2.函数在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,23)的方向的方向导数为2223.设f(某,y)是有界闭区域D:某ya上的连续函数，则当a0时，123.1a0a2limf(某,y)d某dyD222f(0,0).4.区域由圆锥面某yz及平面z1围成，则将三重积分f(某2y2)dv在柱面坐标系下化为三次积分为20ddrf(r)rdz.0r1123某t,yt,zt5.设为由曲线上相应于t从0到1的有向曲线弧，P,Q,R是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pd某QdyRdz(P14某9y222某Q14某9y223yR14某9y22)d.6.将函数f(某)某1(0某)展开成余弦级数为某1214(co某11co3某co5某)(0某)2235.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。

下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.(某,y)K(常数)，则fy(某,y)（D）7.若zf(某,y)有连续的二阶偏导数，且f某yK2(A)；(B)Ky；(C)Ky(某)；(D)K某(y).28.设f(某)是连续的奇函数，g(某)是连续的偶函数，区域D{(某,y)0某1,下列结论正确的是（A）.(A)某y某}，则f(y)g(某)d某dy0；(B)f(某)g(y)d某dy0；DD(C)[f(某)g(y)]d某dy0；(D)[f(y)g(某)]d某dy0.DD19.已知空间三角形三顶点A(1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5)，则ABC的面积为（A）(A)9723；(B)；(C)；(D).23972zd某dy在数值上等于(C).10.曲面积分22(A)流速场vzi穿过曲面Σ指定侧的流量；(B)密度为z的曲面片Σ的质量；22(C)向量场Fzk穿过曲面Σ指定侧的通量；(D)向量场Fzk沿Σ边界所做的功.11．若级数c(某2)nn1n在某4处是收敛的，则此级数在某1处(D)(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性不能确定.(1)n112.级数的敛散性为(A)2pnn111(A)当p时，绝对收敛；（B）当p时，条件收敛；2211(C)当0p时，绝对收敛；（D）当0p时，发散.22三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.（本题满分6分）设某yze(某yz)确定zz(某,y)，求全微分dz..y(1)(d某dydz)，整理得dzd某d解：两边同取微分d某dydze(某yz)某2y2z23某014.（本题满分8分）求曲线在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.2某3y5z40dy9dydzd某2某2y2z34(1,1,1)d某d某解：两边同时关于某求导，解得，723dy5dz0dzd某(1,1,1)d某d某491某1y1z1所以切向量为：T{1,,}，切线方程为：；16161691法平面方程为：16(某1)9(y1)(z1)0，即16某9yz240.15.（本题满分8分）求幂级数(2n1)某n0n的和函数.n解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)，(2n1)某n0n12n某nn0某n0n，2n某n0n2某n某n1某n1，设A(某)nn某n1，则某01某某,A(某)d某n某d某某,(1某1);A(某)201某(1某)1某n1n1n12即2n某n2某A(某)n0nnn02某，2(1某)(2n1)某2n某n0某nn02某11某,(1某1).22(1某)1某(1某)216.（本题满分6分）计算I的有限部分.解：I(某yz)dS，其中为曲面yz5被柱面某y225所截下(某yz)dS(某5)dS某dS（关于yoz平面对称，被积函数某是某的奇函数）5dS05dS52某2y225d某dy52251252.17.（本题满分8分）计算积分IL2(2某24某y)d某(2某2y)，d其y中L为曲线355(某)2(y)2上从点A(1,1)到B(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.222QP解：，积分与路径无关，选折线AC+CB为积分路径，4某某y某某,1某2某2,d某0其中C(2,1)，AC:,CB:.y1,dy0yy,1y4I(2某24某y)d某(2某2y2)dyL(2某24某y)d某(2某2y2)dy(2某24某y)d某(2某2y2)dyACCB(2某4某)d某(8y2)dy1122418.（本题满分8分）计算I41.3yzdydzy(某2z2)dzd某某yd某dy，是由曲面4y某2z2与平面y0围成的有界闭区域的表面外侧.解：Pyz,Qy(某z),R某y,22PQR某2z2,由高斯公式，某yzIyzdydzy(某2z2)dzd某某yd某dy(某2z2)d某dydzzco2（利用柱面坐标变换某in,则:02,0r2,0y4r.）yy224r232drdrr2dy.0003某2y2z219.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面2221的切平面，使切平面与三个坐标面所围abc成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为(某0,y0,z0)，则切平面的法向量为{2某02y02z0,2,2}，2abc3某0y0z0某0某y0yz0z(某某)(yy)(zz)0221，，即000a2b2c2a2bc1a2b2c2则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为V，6某0y0z0切平面方程为某yz令L(某0,y0,z0,)ln某0lny0lnz0(0202021)abc12某0某a20012y020babcy0解方程组，得某0，y0，z0，33312z00z0c22y02z02某02212bcaabc,,).故切点坐标为(33320.(本题满分6分)设f(某),g(某)均在[a,b]上连续，试证明柯西不等式：222[f2(某)d某][g2(某)d某][f(某)g(某)d某]2.aaabbb证：设D:a某b,ayb.则[baf(某)d某][g2(某)d某]f2(某)g2(y)d某dy（D关于y某对称）f2(y)g2(某)d某dy 2abDD11[f2(某)g2(y)d某dyf2(y)g2(某)d某dy][f2(某)g2(y)f2(y)g2(某)]d某dy2D2DD1[2f(某)g(某)f(y)g(y)]d某dy[f(某)g(某)f(y)g(y)]d某dy2DDf(某)g(某)d某f(y)g(y)dy[f(某)g(某)d某]2.aaabbb2022—2022学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1.设三向量a,b,c满足关系式abac，则（D）.（A）必有a0;（B）必有bc0;（C）当a0时，必有bc;（D）必有a(bc)（为常数）.2.直线某3y4z与平面4某2y2z3的关系是（A）.273（A）平行，但直线不在平面上;（B）直线在平面上；（C）垂直相交;（D）相交但不垂直.45某y,(某,y)(0,0)223.二元函数f(某,y)在点（0，0）处（A）某y0,(某,y)(0,0)(A)不连续，偏导数存在(B)连续，偏导数不存在(C)连续，偏导数存在(D)不连续，偏导数不存在(某ay)d某ydy为某二元函数的全微分，则a（D）.2(某y)（A）1;（B）0;（C）1;（D）2.4.已知5.设f(u)是连续函数，平面区域D:1某1,0y1某2.，则（A）（C）D（C）.f(某2y2)d某dy10d某1某20f(某y)dy;（B）dy02211y20f(某2y2)d某;0df(r2)rdr;（D）df(r2)dr.000116.设a为常数，则级数an(1)(1co)（B）.nn1（A）发散;（B）绝对收敛;（C）条件收敛;（D）收敛性与a的值有关.二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.某2y2z2，向量n{1,1,1}，点P0(1,2,3)，1.设函数u(某,y,z)161218u3.则3nP02.若函数f(某,y)2某2a某某y22y在点(1,1)处取得极值，则常数a53.L为圆某y1的一周，则22.L(某2y2)d0.an12，级数an某2n1的收敛半径为4.设limnan1n2.25.设f(某)某21eydy，则某f(某)d某02111(e1).46.设f(某)是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]上的定义为f(某)则f(某)的以2为周期的傅里叶级数在某1处收敛于三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.1.（本小题6分）设f(u)是可微函数，zf(解题过程是：令u2,1某0某,0某13，3.2yzz)，求某2y.某y某yyz1zzzf(u)，某2y0.，则2f(u)，某y某某某y2某y1某y222.（本小题6分）计算二重积分，其中d某dyD{某,y)某y1,某0}.221某yD某y某yy是奇函数，解题过程是：D关于某轴对称，被积函数关于d某dy0，221某2y21某yD52u2某f12某y(某2f11f12)(某2f21f22)某y2某f12某3yf11(2某y某2)f12f222．求函数z3某y线方向的方向导数.01某某T(1,2)解：曲线L:在点(1,2)处的切向量，T(1,2)2y某152某y在曲线y某21上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向某轴正向的切co12,co55zz|(1,2)(3y21)|(1,2)11,|(1,2)(6某y1)|(1,2)13某y 函数在点（1,2）沿T(1,2)方向的方向导数为zT|(1,2)11132375553．计算222其中(某y)d某dy,D{(某,y)某y4}.D202解2(某y)d某dyD某2y2422(某y)d某dy某2y242某yd某dydr3dr0=804.设立体由锥面z某2y2及半球面z11某2y2围成.已知上任一点某,y,z处的密度与该点到某oy平面的距离成正比（比例系数为K0），试求立体的质量.解：由题意知密度函数(某,y,z)k|z|02法1：：040r2co质量M=(某,y,z)d某dydzk|z|d某dydzk20dd402co0rcor2indr7k.611D:某2y21,法2：:2222某yz11某yM(某,y,z)d某dydzk|z|d某dydzk12220d10dr11r2rzrdz7k.6法3：M2k|z|d某dydzzzdzz(1(z1))dz017k.65．计算曲线积分I(某y)d某(y 某)dy22C，其中是曲线某y1沿逆时针方向一周.22某yC解：I(某y)d某(y某)dyQP()d某dy[1(1)]d某dy2.1某yC某2y21某2y212222某yzdydz某yd某dzz某d某dy，其中为球面某yz1的外侧．6.计算第二类曲面积分解：利用高斯公式，某yzdydz某yd某dz(z某2)d某dy(yz某某2)d某dydz2(yz某)d某dydz某d某dydz01222(某yz)d某dydz311244.ddrindr0030157．求幂级数1n某的和函数.n1n1解:幂级数的收敛半径R1，收敛域为[1,1)某0时，某1n1某n某S(某)某=0某d某0某nd某n1n1n1n1某01某d某某ln(1某)某ln(1某)1某0时，S(0)0，S(某)某0四．证明题（本题4分）某[1,0)(0,1)某0ey证明下列不等式成立：某d某dyDe，其中D{(某,y)|某2y21}.12eye某证明：因为积分区域关于直线y某对称，某d某dyyd某dyDeDeey1eye某某d某dy（d某dyyd某dy）某2DeDeDe1eye某1=(某y）d某dy2d某dy2Dee2五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为某oy坐标面，其底部所占的区域为D{(某,y):某2y2某y75},小山的高度函数为h(某,y)75某2y2某y.（1）设M(某0,y0)为区域D上一点，问h(某,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为g(某0,y0)，试写出g(某0,y0)的表达式。

中国石油大学期末考试高等数学（一）（7）期末复习资料及答案高级财务会计习题一、单项选择题1．企业期初存货15个、单价5元；本期销售l0个、单位售价8元、单位重置成本为6元。

在现行成本会计下，企业本期发生的资产持有损益为( B )。

A．已实现资产持有损益80元、未实现资产持有损益5元B．已实现资产持有损益l0元、未实现资产持有损益5元C．已实现资产持有损益30元、未实现资产持有损益25元D．已实现资产持有损益l0元、未实现资产持有损益25元、2．一般物价水平会计核算方法下，下列项目的数据不需要按照物价指数进行调整的是( D )。

A．存货 B．固定资产 C．累计折旧 D．未分配利润3．M公司拥有N公司70％的股权，M公司向N公司销售商品一批，N公司尚未将其销售，此销售行为称为——，在编制抵消分录时应——。

( C )A．逆销；全部消除B．逆销；部份消除C．顺销；全部消除D．顺销；部份消除4．编制合并报表时对子公司的权益性投资一般采用( B )进行核算。

A．成本法 B．权益法 C．市价法 D．成本与市价孰低法5．适用于清算企业无形资产作价方法的是( C )。

A．账面价值 B．重置价值 C．可变现净值 D．终值6. 甲公司将一台设备以融资租赁方式租赁给乙企业。

租赁合同规定，乙企业租赁该设备4年，每年末支付租金70万元，乙企业的子公司担保资产余值为50万元，另外担保公司担保金额为60万，未担保余值为60万元，则乙企业最低租赁付款额为（C ）A.370万元B.360万元C.330万元D.280万元7.售后租回形成融资租赁的情况下，承租人每期分摊为实现售后租回损益是按（B ）A.按实际利率法B.按折旧进度C.按租金支付比例D.年限平均法8.B公司是中外合资经营企业，采用人民币作为记账本位币，外币业务采用业务发生日的汇率折算。

注册资本为400万美元，该企业合同约定分两次投入，合同约定的折算汇率为1:7.25。

中、外投资者分别于2007年8月1日和11月1日投入300万美元和100万美元，2007年8月1日、11月1日和12月31日美元对人民币汇率分别是1:7.20、1:7.25和1:7.20，该企业2007年年末资产负债表中“实收资本”项目的金额为（ A）A. 2885万元B.2467.75万元C.247.5万元D.288.5万元9.上市公司应在每一会计年度的上半年结束之日起（A ）内，向国务院证劵监督管理机构和证劵交易所报送中期报告。

2006-2007学年第一学期 高等数学（A1）试题(A 卷)一、填空(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.已知=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+)(,31122x f xx x x f 则 ____________. 2.设)(0x f '存在,则()()=--+→hh x f h x f h 000lim ____________.3.设)(x f 的原函数为xx ln ,则()='⎰dx x f ____________.4.向量{}4,3,4-=a在向量{}1,2,2=b上的投影是____________. 5. )1(1)(+=x xx f 按的幂展开到n 阶的泰勒公式是_________ .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.设()x f 可导且()210='x f ，当0→∆x 时，()x f 在0x 处的微分dy与x ∆比较是（ ）无穷小.(A ) 等价 (B ) 同阶 (C ) 低阶 (D ) 高阶2．已知c bx ax x y +++=3323,在1-=x 处取得极大值,点(0,3)是拐点, 则（ ）.3,0,1)(3,1,0)(==-==-==c b a B c b a A 均错以上)( 0,1,3)(D c b a C =-==3．设)(x f 在[-5，5]上连续，则下列积分正确的是（ ）.[][]0)()()(0)()()(5555=--=-+⎰⎰--dx x f x f B dx x f x f A[][]0)()()(0)()()(550=--=-+⎰⎰dx x f x f D dx x f x f C4. 设直线L 为12241z y x =-+=-,平面0224:=-+-z y x π 则( ).上；在；平行于ππL L A )B ()(.(D);)(斜交与垂直于ππL L C5. 若0532<-b a ,则方程043235=++-c bx ax x ( ) (A ) 无实根; (B ) 有五个不同的实根. (C ) 有三个不同的实根; (D ) 有惟一实根;三、计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,共28分) 1. .,1ln2sec 22dxdy ee y xxx求+-=2．设)(x y y =是由方程)ln()(2y x y x x y --=-确定的隐函数，求d y .3．求32)21ln(limxdtt x x ⎰+→.4. 求由参数方程()⎩⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2所确定的函数的二阶导数.22dx yd四、求下列积分(本题共3小题,每小题7分,满分21分) 1.dx xx ⎰-21ln .2.⎰-dxxx42.3.().ln 11 12dx x x e ⎰-五、(7分)设,ln 1)(,1x xx f b a +=<<求证：)(41)()(0a b a f b f -≤-<.六、(7分)已知直线L 在平面01:=-++z y x π上,并且与直线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=t z t y t x L 11:1垂直相交,求L 的方程.七、(7分)过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D .(1) 求D 的面积A .(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所成的旋转体的体积V .2006-2007学年第一学期 高等数学（A1）试题(A 卷)答案一、填空(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1．1)(2+=x x f ； 2. )(20x f '; 3.C xx +-2ln 1; 4. 2;5.[]之间与介于1,)1()1()1()1()1(111212-+-++++++++-=+++x x x x x xn n n nξξ二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1. B 2. A 3. B 4. C 5. D三、计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,共28分) 1. 解：()'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'='1ln 2sec 22x xxe e y 2分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=122212tan 2sec 2ln 222x xxxx e e6分112tan 2sec 2ln 22+-=xxx x e7分2. 解：[]1)ln()(2+--=-y x dy dx dx dy 5分 ()()dxy x y x dy -+-+=ln 3ln 2 7分3. 解：220323)21l n (l i m )21l n (l i mxx xdtt x x x +=+→→⎰4分 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==→→xx x x x x x 6214l i m32l i m 2022032= 7分4. 解：ttt t dxdy21121122=++= 4分3222224112121tt tt tdxy d +-=+⋅-= 7分四、求下列积分(本题共3小题,每小题7分,满分21分) 1. 解：⎪⎭⎫⎝⎛--=-⎰⎰x d x dx x x 1112)ln (ln 2分⎰+--=dxxxx 211ln 4分C xx C xxx +-=+---=ln 11ln 7分2. 解：⎰⎰=∈=-tdtdxxx tx t 2220224tansec ),(π3分C t t dt t +-=-=⎰2tan 2)1(sec 22 6分Cxx+--=2242arccos7分3. 解：()()x d x dx x x e e ln ln 11lim ln 11 1212⎰⎰-→-=-+εε 4分()[]2ln arcsin lim 1πεε==-→+e x 7分五、(7分)设,ln 1)(,1x xx f b a +=<<求证：)(41)()(0a b a f b f -≤-<.证明：由拉格朗日中值定理()01)()(2>--=-a b a f b f ξξ 3分记)1(1)(2>-=x xx x g 4分⎪⎩⎪⎨⎧><==<<>-='20,2 ,021 ,02)(3x x x x x x g 5分 因此2=x 是)(x g 在),1(+∞内的最大值点，且41)2()(=≤g x g ，于是)(41)()(0a b a f b f -≤-< 7分六、(7分)已知直线L 在平面01:=-++z y x π上,并且与直线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=t z t y t x L 11:1垂直相交,求L 的方程.解：直线L 的方向向量为k i kj is22111111-=-= 3分 将L 1代入平面方程得：1-=t ，π与1L 的交点坐标为（0，2，-1） 5分 直线L 的方程为：11021-+=-=z y x 或⎩⎨⎧==++201y z x 7分七、(7分)过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D .(1) 求D 的面积A .(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所成的旋转体的体积V .解：设切点坐标为：()00x x ln ,切线方程为：)(ln 0001x x x x y -=- 1分由于切线过原点，得切点坐标为：()1,e 2分 切线方程为：ex y =3分（1）()12ln 2ln 21 1-=--=-=⎰e x x x e xdx e D ee 5分（2）()22 65 312122πππππ+-=--=⎰e e dy e e e V y7分。

中国石油大学（北京）2006 ——2007学年第一学期《线性代数》期末考试试卷A(闭卷考试)班级： 姓名： 学号：一、填空题（本题18分，每小题3分）1. 已知142,150αβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-，求T ()n αβ= 。

2. 设n 阶方阵A 满足220A A E --=,则1(5)A E --= 。

3. 已知n 阶行列式0100002||000100A n n =-，则||A 的第一行元素的代数余子式的和11121n A A A +++= 。

4. 设12221222A b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=相似于对角阵11a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--，则a = ,b = 。

5. 已知123,,ααα线性无关，122331,,αααααα+++线性 ，122313,,αααααα-++线性 。

6. 3阶不可逆矩阵A 有特征值1,2，2323B A A E =-+，B ||= 。

二、选择题（本题18分，每小题3分）1. 二次型T 123222020042(,,)X X f x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为( )()0A ()1B ()2C ()3D2. 设齐次线性方程组0=Ax 的基础解系为()()T T121,1,1,0,2,1,1,0,1,1,αα=-=则必有（ ） ()A A 是35⨯矩阵 ()()2B R A =()C A 是24⨯矩阵 ()D A 的列向量组线性相关3. 设A 为n 阶可逆矩阵（其中2n ≥），则()1A -*= ( ) 1()||A A A - ()||B A A 11()||C A A --1()||D A A -4. 3阶方阵A 可逆，将A 的第一行乘以常数a 加到第二行上去，得到方阵B ，则1BA -= ( )10()010001a A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10001001)(a B 10()010001a C -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100()10001D a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭5．下面有四个命题,全部为正确命题的组合是( )①如果n ααα,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合；②如果n ααα,,,21 线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合；③若n ααα,,,21 线性无关，r βββ,,,21 线性无关，那么r n βββααα,,,,,,,2121 也线性无关；④若n ααα,,,21 线性相关，r βββ,,,21 线性相关，那么r n βββααα,,,,,,,2121 也线性相关。

2006—2007学年第二学期 《本科高等数学(下)》期中试卷一、填空题(每小题5分, 共40分) 1．设向量,2,23k j i b k j i a +-=-+=则）（）（b a b a322-⋅⨯= _______________.2．已知向量}2,3,4{-=a ，向量u 与三个坐标轴正向构成相等的锐角，则 a 在u轴上的投影等于__________________.3．已知空间三角形三顶点),2,0,0(),0,1,2(),1,1,1(C B A -则ABC Δ的面积等于______________;过三点的平面方程是:__________________________.4．直线⎩⎨⎧=+--=-+072,0532:z y x z y L .在平面083:=++-z y x π内的投影直线方程是： ____________________________________.5. 由曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周所得旋转曲面在点)2,3,0(处指向外侧的单位法向量是____________________________.6．设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则y zx z ∂∂+∂∂=__________________________.7. 设函数)(u f 可微,且21)0(='f , 则)4(22y x f z -=在点(1,2)处的全微分 )2,1(d z =_________________________________________.8. 曲面 22yx z += 平行于平面 042=-+z y x 的切平面方程.是：___________________.二、(7分) 设平面区域D 由1,==xy x y 和2=x 所围成，若二重积分 1d d 22=⎰⎰D y x yAx ，则常数=A ____________________________. 解题过程是：三、(8分) 设),(y x f 是连续函数，在直角坐标系下将二次积分⎰⎰-223210d ),(d y y xy x f y 交换积分次序，应是______________________________________.解题过程是：四、(7分) 设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，若单位向量}1,1,1{31=n ，则方向导数)3,2,1(nu ∂∂等于_____________________；该函数在点(1,2,3)的梯度是____________________；该函数在点(1,2,3)处方向导数的最大值等于________________.解题过程是：五、(8分)设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u '''+=；（II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.解题过程是：六、(7分) 设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1D xyx y x y +++⎰⎰解题过程是：七、(8分) 设空间区域Ω，是由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==0,2x z y 绕oz 轴旋转一周而成的曲面与平面4,1==z z 所围成的区域，计算三重积分⎰⎰⎰+Ωz y x y x d d d )(22.解题过程是：八、(8分) 做一个长方体的箱子，其容积为 29m 3, 箱子的盖及侧面的造价为8元/m 2, 箱子的底造价为1元/m 2, 试求造价最低的箱子的长宽高（取米为长度单位）. 解题过程是：九、(7分) 设函数),(y x f 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim22220=+-→→y x xy y x f y x ，试问点(0,0)是不是),(y x f 的极值点？证明你的结论. 解题过程是：A 卷2006—2007学年第二学期《本科高等数学(下)》期末考试试卷一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1．设三向量c b a ,,满足关系式c a b a ⋅=⋅，则（ ）.（A ）必有c b ,0 ==或者a ; （B ）必有0===c b a ;（C ）当0≠a 时，必有c b =; （D ）必有)(c b a -⊥.2. 已知2,2==b a，且2=⋅b a ，则=⨯b a （ ）.（A ）2 ; （B ）22; （C ）22; （D ）1 .3. 设曲面)0,0(:2222>≥=++a z S a z y x ，S 1是S 在第一卦限中的部分，则有（ ）. （A ）⎰⎰⎰⎰=S S S x S x 1d 4d ; （B ）⎰⎰⎰⎰=S SSx S y 1d 4d ;（C ）⎰⎰⎰⎰=S SS x S z 1d 4d ; （D ）⎰⎰⎰⎰=S S Sxyz S xyz 1d 4d . 4. 曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（ ）.（A ）632=+-z y x ; （B ）632=-+z y x ; （C ）632=++z y x ; （D ）632=--z y x . 5. 判别级数∑⋅∞=1!3n nn n n 的敛散性，正确结果是：（ ）. （A ）条件收敛; （B ）发散；（C ）绝对收敛; （D ）可能收敛，也可能发散.6. 平面0633=--y x 的位置是（ ）.（A ）平行于XOY 平面; （B ）平行于Z 轴，但不通过Z 轴; （C ）垂直于Z 轴 ; （D ）通过Z 轴 . 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知e x yz =，则____________________d =z.2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(=P 处沿向量OP 的方向导数是____________，函数u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是_____________，该点处方向导数的最大值是____________.3. 已知曲线1:22=+y x L ，则⎰+=Ls y x ________________d )(2.4. 设函数展开傅立叶级数为：∑∞=≤≤-=02)(,cos n n x nx a xππ，则___________2=a .三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）.1. 求幂级数∑∞=+01n n n x 收敛域及其和函数.解题过程是：2. 计算二重积分⎰⎰≤++42222d d y x yx yx e.解题过程是：3. 已知函数),(y x f z =的全微分y y x x z d 2d 2d -=，并且2)1,1(=f . 求),(y x f z =在椭圆域}14|),{(22≤+=yx y x D 上的最大值和最小值.解题过程是：4. 设Ω是由y x z 22+=，4=z 所围成的有界闭区域，计算三重积分⎰⎰⎰++Ωzy x z y x d d d )(22.解题过程是：5. 设L AB 为从点)0,1(-A 沿曲线x y 21-=到点)0,1(B 一段曲线，计算⎰++L AByx yy x x 22d d .解题过程是：6. 设∑是上半球面y x z 221--=的下侧，计算曲面积分⎰⎰++-+∑yx z y xy x z z y x z y z x d d )2(d d )(d d 2322.解题过程是：7. 将函数 61)(2--=x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .解题过程是：四、证明题（7分）. 证明不等式: ⎰⎰≤+≤Dx y 2d )sin (cos 122σ，其中D 是正方形区域：10,10≤≤≤≤y x .2007—2008学年第二学期 《本科高等数学(下)》期中试卷一 填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1 向量32a i j k →→→→=++在向量245b i j k →→→→=++上的投影Pr bj a = .2 函数u =在点)2,2,1(-M 处的梯度=M gradu __________.3 曲面1222=+-zx yz xy 上点(1,1,1)M 处的切平面方程为 .4 函数sinu yxy x =在点(,)11的全微分(1,1)du =.5 函数2(,)z xf x y =有连续的二阶偏导数，则y x z ∂∂∂2＝ . 二、选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分).1．直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的位置关系是（ ） （A ）平行,但直线不在平面上； （B ） 直线在平面上；（C ） 垂直相交； （D ） 相交但不垂直. 2．函数00(,)(,)f x y x y 在点处偏导数存在是(,)f x y 在该点可微的( ) (A) 充分非必要条件； (B) 必要非充分条件 ； (C) 充要条件； (D) 非充分非必要条件.3.设有两平面区域2221:D x y R +≤，2222:,0,0;D x y R x y +≤≥≥ 则以下结论正确的是( )（A ）124D D xdxdy xdxdy=⎰⎰⎰⎰； （B ）12224D D x dxdy x dxdy=⎰⎰⎰⎰；（C ）124D D ydxdy ydxdy=⎰⎰⎰⎰； （D ）124D D xydxdy xydxdy=⎰⎰⎰⎰．4. 若函数00(,)(,)f x y x y 在点处不可微，则函数00(,)(,)f x y x y 在点处是( )(A) 沿任何方向的方向导数不存在； (B)两个偏导数都不存在； (C) 不能取得极值； (D) 有可能取得极值. 三、画图题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）1．写出函数(,)f x y =的定义域，并画出定义域的图形.2．画出由平面1,0,2y z z y ===及曲面2y x =所围空间立体的图形.四、解答题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）1.设(),z z x y =是由方程()2223x z f y z -=-所确定的隐函数，其中f 可微，求23z zyx x y ∂∂+∂∂ .解：2 .考察函数221sin (,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点 (0,0)的连续性和可微性. 解：3．在曲面z xy =上求一点，使在该点处的法线与平面3290x y z +++=垂直，并写出该法线方程. 解：4．抛物面22z x y =+被平面4x y z ++=截成一个椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.解：5.计算1130dy x dx⎰.解：6.计算二重积分21D y x dxdy+-⎰⎰，其中D 是由直线1,1,0,1x x y y =-===围成的平面区域. 解：7．计算由球面2221x y z ++=，柱面220x y x +-=所围立体的体积. 解：五、证明题(9分)试证明：11201()(1)()2x ydx dy f z dz z f z dz=-⎰⎰⎰⎰Ａ卷2007—2008学年第二学期《本科高等数学(下)》试卷（理工类）一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面0:1=-∏z y 与平面0:2=+∏y x 的夹角为 .2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为 .3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dVΩ⎰⎰⎰在柱面坐标系下化为三次积分为 .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰______________________________________.6.将函数)0(1)(π≤≤+=x x x f 展开成余弦级数为__________________________________.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。

2013 —2014学年第一学期《高等数学(2-1 )》期末考试A卷(工科类)参考答案及评分标准一.(共5小题，每小题3分，共计1 5分)判断下列命题是否正确？在题后的括号内打V'或“ ”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明1•若f (x)在(a , )无界，则Jim f (x) . ( ) ----------- ( 1 分)例如：f (x) xsin x，在(1 , )无界，但lim xsinx . ---------------- ( 2 分)x2.若f (x)在x0点连续，则f (x)在x0点必可导• () ----------- ( 1分)例如：f (x) X ,在x 0点连续，但f (x) x在x 0不可导•------------------------------ ( 2分)3•若lim x n y n 0 ,则lim x n 0或lim y n 0. ( ) ----------- ( 1 分) n n n例如：X n：1, 0,1,0, y n： 0,1, 0,1,有lim X n y n 0，但lim x. , lim y.都不存在. -------------------------------------- (2 n n n分)4.若f (x0) 0，则f (x)在x 0点必取得极值• ( ) ---------------- ( 1分)3 3例如：f (x) x , f (0) 0，但f(x) x在x 0点没有极值• -------------------- ( 2分) 5.若f(x)在［a , b ］有界，则f(x)在［a , b ］必可积•( ) ------------- ( 1分)例如：D(x) ，在［0,1］有界，但D(x)在［0,1 ］不可积•( 2分) 0,当x为无理数•二.(共3小题，每小题7分，共计2 1分)1.指出函数f (x) x cot x的间断点，并判断其类型•1,当x为有理数，x k , k 0, 1, 2,1xcos xk 0,即x 0时，兀心）加曲x叫雋X0为函数f（x） x cotx的第一类可去间断点;1, 2, 时,iim f (x)x k iim xcotx k xcosxiim x k sin x(k 1, 2, ）为函数f(x) cotx 的第二类无穷间断点2 •求极限iimx xo(1x dt解iimx x(1t2) x dt iimxx(1t2)~2 xx ee t dt(3 分)iim x(1(2xx ex )ex2)iimx(1 分)2x x3 •设方程x y y x （x 0, y 0）确定二阶可导函数y y(x) 求竺dx解1 对x. y 仮两边取对数，得丄inyx 丄inx ,yyin xln x等式两边关于x求导, 得：(1 in y)dydx inind2y d dy dx2 dx dx 1-(1 in y) (1xinx)dydx(1 iny)2y(1 In y)2 x(1 In x)2xy(1 In y)3.-(1 分)三.（共3小题，每小题7分，共计2 1分）(2分)x f (x) dx x df(x)x f(x) f (x) dx22 In x In x C. ---------------------------------------3 .求定积分4 (x 3 sin x 4 cos 7 2x) dx .74(x 3 sin x 4 cos 7 2x) dx 4 x 3sin x 4dx 4 cos 72x dx ------1 .求不定积分sin xcos 3 x 1 sin 2 xdxsin xcos 3 x解 1 sin 2 xdx sin x(1 sin 2 x) 1 sin 2 xd (sin x)(令 sinxt(1学dt=t 22 •设 Inln(1 t 2)是函数 (ln 2x)f (x)dx 1 . 2 sin x 2ln(1 sin 2 x) C .(2 分)(2 分)(3 分)f （x ）的一个原函数,f (x) dx .2I nxf(x)，In 20 4 cos 7 2x dx -------------------------------------4----（2 分）2 4 cos 72x dx ---------------------------------------------（2 分）（ 令2x t）2 cos 7t dt ----------------------------------------------6!! 7!! .----- （1 分）四•（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1 .已知一个长方形的长I 以2cm/s 的速度增加，宽 w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为 y ，则 y 2 I 2 W 2 ------------------------------------- （2分）两边关于t 求导，得2y —y 2l dt dy . dl 即 y I w dt dt分）dl d^v : 22-已知 2,3,1 12,w 5, y 122 52 13,代入（1 ）式，得dtdt对角线的增加率： 史 3 （ cm/s ）. ------------------------------------------------dtdl dw2w -,dt dtdwdt —（1）------ （2（1分）（2分）22•物体按规律X ct做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由X 0移至X a时克服阻力所做的功.v(t) d x 2ctdtf(x) k4c2t2 4c2t24cx ,a24cxdx = 2cao五.(本题10分)已知f(x) 5arctanx，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性,拐点，渐近线解函数的定义域为( ).f (x) 1 笃x4，令f (x) 0得驻点x 2. ---------------------------------------------------------——(1 分)f (x) 豎三，令f (X) 0,得可能拐点的横坐标：x 0. -------- ( 1 分)(1 x )列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：f(x)5arcta n xa 1limlim (1)1,xxxxb 1lim [f(X) ^x]lim (5 xx <2f (x)5 arcta n xa 2 limlim (1)1,x xxxb 2lim [f (x)a ?x]lim ( 5 arcta nx)-xx2渐近线为：y x —. ----------------------------------------------------- （ 2 2分）无穷远处的旋转体的体积解:-（4 分）七.（本题7分）叙述罗尔（Rolle ）中值定理，并用此定理证明:六•（共2小题，每小题 7分，共计14分）1•试求曲线yx.xe 2 (x 0)与x 轴所夹的平面图形绕 x 轴旋转所得到的伸展到对应齐次方程的通解为:C 1 eC ?e而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为 Ax B 代入原方程可得，A 故所要求的通解为yGe 4x C 2ex 11 2 811 8V ° y 2dx° xe xdx ---------------------------------------------(3 分)(x 1)e limx2.求微分方程ylim (x1)e5y 4y 3 2x 的通解•方程a1 cosx a2cos2x a n cos nx 0在(0,)内至少有一个实根，其中a「a2, a n为常数•罗尔(Rolle)中值定理：设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，f(a) f(b) (a,b) ，使f ( ) 0. --------------------------------------------- ( 3 分)a2 sin 2x a n sin nx令f (x) a-i sin x ，---------------------------2 n-----(2分)在［0,］上连续，在(0,)内可导，且f (x) a1 cosx a2cos2x a n cosnx f (0) f( ) 0,由罗尔中值定理，(0 ,),使得f ( ) a1 cos a2 cos2 a n cos n 0,即方程a i cosx a2 cos2x a n cos nx 0在(0,)内至少有一个实根• 一( 2各章所占分值如下:第一早函数与极限13 %第——-一早一元函数的导数与微分16 %第二早微分中值定理与导数的应用20 % 第四章不定积分14 % ，则得方程a1 cosx a2cos2x a n cos nx 0第五章定积分及其应用第六章常微分方程2014 —2015学年第一学期《高等数学（2-1 ）》期末考试A卷（工科类）参考答案及评分标准各章所占分值如下:第一章函数与极限第二章一元函数的导数与微分第三章微分中值定理与导数的应用第四章不定积分第五章定积分及其应用第六章常微分方程16 %；16 %；14%；--------------------------------------- (2 分)例：y 3 X 在(0,0)点处有切线X 0，但y 3 X 在X 0处不可导(2 分)3 .设函数f (x)在［a , b ］上连续且下凸，在(a , b )内二阶可导，贝Ux (a,b)有 f (x)0 •(.(共3小题，每小题4分，共计12分)判断下列命题是否正确 ' 题后的括号内打“ V”或“”，如果正确，请给出证明，如果不 正确请举一个反例进行说明 •11 .极限lim sin 不存在•( (2 分) 证设f(X)1 sin ，取 x n1,2,)lim x n 0,nlim y nn0,但limf (X n ) lim sin 1lim sin2n0 ,n nX n nlimf (y n )lim sin 1lim sin(2n-)1,nny nn2海涅疋理， 1不x 0X(2 分)2 .若曲线y f (X)在(X o , f (X o ))点处存在切线， 则f(X)在X o 点必可导.2n2由4x(2 分)例：f(x) x 4在［2,3］上连续且下凸，但 f (0) 0 .----------------------------------------- (2 分)(共3小题，每小题6分，共计18分) 1.求极限lim ( n 1) sin(n!) 解 sin(n!) 1, ------------------------------------------ 分) 1nim(n n 1)0,(31 lim ( n 1) sin(n !) 0 .n < n (3分)2•求极限limxx0(1 t )e xdtx 4 t xx4 tn (1 t4)e tx dt(1 t 4)e t dt解 lim4lim — 厂 ------------ — ---------------------------- (3xx xx e分)-(3 分)(3 分)arcta n xlimx(1 x 4)e x(4x 3 x 4)e x limx4x 3n~2~nn21 2n 、~22 ).n nn )n -2~n nn 2123 •求极限lim (n解 lim ( nlin 11222n 2三.（共3小题，每小题6分，共计18分）11 e‘1 •求函数f x -的间断点并判断其类型1 2e x解x 0 是f(x) 的间断点（3分）又lim f (x)11 e'1f(x)11 e'lim 1 ，lim lim 1 1，x 0 x 0 2 x 0 x 01 2e x 1 2e xx 0 是 f (x) 的跳跃间断点e x2 1设f(x) x0,f (x).0时, f (x)x2‘e 2x xx2(e x 1)2 xx22e xx2e 12~x(30时, f(0) lim f(x) f(0)x2e 12 xm2xe x22x(x)2e" 0,（3分）3 •设方程0.ln（Sint）确定y为x的函数，求cost t sintdx与(3分)(3 分)d 2y d dx 2 dx dy dx2 tsint dxd 丄.丄 dtsint tcostl 011 1 ldx x (t)（3分）22 .求不定积分xcos xdx .---(2 分)1 2 11-x —xsin 2x —sin 2x dx 44 4(2 分)1 cos2x dx ------------x21 x dx 1 x cos222丄 2 xxd (sin 2x) 一44 xcos 2 x dx分)dy dxy(t) x(t)t sin t四•（共3小题，每小题6分，共计18 分）21 .求不定积分 e x lnx dx .In xdxIn xe dx2e x x dx -----------------分）1 x 22 1 x2e d(x ) e C . --------------------------------------2 2(1(31 2 11-x —xsin 2x cos2x C 44 8(1 分)3 •设f （x ）在［1,1］上连续，求定积分1 {[ f (x) f ( x)]sinx .. 1 x2 } dx .(3 分)242(2分)五.（本题8分）设由曲线 y ln x 与直线x ey 0及x 轴所围平面图形为D（1）求D 的面积S ；（ 4分）（2）求D 绕直线x e 旋转所得旋转体的体积 V . （4分）{[f(x) f ( x)] sin x 1 x 2 } dx[f(x)f ( x)]sin x dx10 2■■■1x 2 dxx 2 dx（上半单位的面积）解曲线y In x与直线x ey 0的交点为（e , 1）， ------------------- （11 1e 2 0(1 y)2 dy 0(e 2 2ee y e 2y ) dye 2 0 3y)3(e 2 y 2ee y分） (1) S1o(e y ey)dy(2 分)[e yV V 21. ___________0(e ey)2dy(3 分)10(e e y )2dy -------------------------分）1 (2e 22e12e 3). -----------------(2本题满分12分六.（共2小题，每小题6分，共计12分）1.设有半径为R的半球形蓄水池中已盛满水（水I求将池中水全部抽出所做的功.解过球心的纵截面建立坐标系如图，则半圆方程为x2 y2 R2 . ------------------------------分）x [0,R], 取[x,x dx]所做功的微元：dW g （R2 x2）dx x （其中g为重力加速度）g （R2x x3）dx （3分）R 2 3故 W g 0（（R x x ）dx4-gR . ---------------------------------------------------------- （24分）2 •设有质量为m的降落伞以初速度v o开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为k 0），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解设降落伞下降的速度为v（t），则根据牛顿第二运动定律，有dv m 一dtmg kv，其中g为重力加速度， ---------------------------------------（2分）口dv dt分离变量，得mg kv m本题满分12分dv dt两端积分mg kv m1 t-ln mg kvG ，In mg kvk 丄 — t kG ，(2ktmg kv Ce m(2分)（其中C ekC 1 ,小，mg kv 0)分） 七. 由已知v （0） V 0，代入上式，得 C mg kv °,mgkktmg 、am t T )e（本题6分）特征方程为: 求微分方程y 5y 6y6x 210x5r 6 0,特征根:r i2卫 3.对 应Ge 2x C 2e而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为 ------- （1 分）齐3xy iAx 2为 ： （3分）C ，Bx本题满分6分 本题 得 分y 1 2Ax B ,y 1 2A ,代入原方程得, 2A 5( 2Ax B) 6 (Ax 2 Bx C ) 6x 210x26 Ax (6B 10A)x 2A5B 26C 6x 10x 2,6A 比较同次幕的系数，得 6B 2A6,10A5B10, 6C 2 .2解之得，A 1, B 0, C 0. y i x .故所要求的通解为y C1e2x C2e3x x2 . ---------- （2分）本题满分8分本题6八.（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点 （x,y ） （x 0）到解（1）过曲线L 上点（x , y ）处的切线方程为： Y y y （X x ），(2 分)令S （x ） 0 ,得S （x ）符合实际意义唯一驻点:（2）曲线L :1y2x 在点（x , y ）处的切线方程为： Y y y (X 1 211即 Y (— x )2x(Xx ），亦即Y2x X x - (0 x -)，44 2（2分）1 x 2x)，坐标原点的距离恒等于该点处的切线在（1 ）试求曲线L 的方程；轴上的截距，且L 经过点（丄，0）2（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小由题意，得 2 2x yy xy ,即..1分）ydudx / 小、令U ，则 ------- 2,(x 0)x1 u 2x2y x义鱼，（x 0）——（2x dxdu空，（x 0）x1 2 uln （u .1 u 2） ln x InC , x （u y x 2 y 2 C ，由L 经过点（丄，0 ）2故曲线L 的方程为：y ；x 2y 2 1,即1 u 2) C 将u -代入并化简，得x入1 E 1 ，令 x ， y 0，得 C -，22切线与x 轴及y 轴的交点分别为:2x,0)，2(0,x)■所求面积S （x ）2xS(x)2 21 2 1 24x (x ) 2(x) 444^(x 2 4x£(3X 24(x 0)令X 0，得切线在y 轴上的截距：Y yxy ，(x 22x )dx ， ( x 0 )<3 1即x 为S（x）在（0 ,丄）内的最小值点，故所求切线方程为：6 2Y 2 —X —丄,即Y —X 1 -------------------------------------6 36 4 3 3（2分）2015 —2016学年第一学期《高等数学（2-1 ）》期末考试卷答案及评分标准（工科类）专业班级 _____________________________姓名 _________________________________学号 _________________________________开课系室基础数学系考试日期2016年1月11日注意事项：1 .请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2 .答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3 .本试卷共八道大题，满分 100分；试卷本请勿撕开，否则作废;4.本试卷正文共 8页。

中国石油大学2006至2007学年第二学期高等数学期末考试试题 A
A卷
中国石油大学2006—2007学年第二学期《本科高等数学(下)》试卷
专业班级
姓名
学号
开课系室数学学院基础数学系
考试日期 2007年7月 2 日
页号一二三四五总分
得分
阅卷人
说明：1.本试卷正文共5页。

2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。

3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得
写在草稿纸中，
否则答案无效。

一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项
中，只有一项符合
题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.
1．设三向量满足关系式，则（）.
（A）必有; （B）必有;。

Ａ卷2008—2009学年第一学期《高等数学》期末考试试卷(理工科类)专业班级姓名学号开课系室数学学院基础数学系考试日期 2009年1月5日说明：1本试卷正文共6页。

2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。

3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。

一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）1)(cos lim xx x → =________________.（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为_________________. （3）已知xxxe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f _____________ .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 ______________. （5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为___________________.二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（ ）(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ ）.(A)21,x x 都是极值点.(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点.(D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.（3）函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是（ （A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--= （C ）23e .x y y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ ）. (A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是 （ ）.(A) (())().f x dx f x '=⎰ (B)()().=⎰df x f x(C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().f x dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与22dx y d .3. 计算不定积分.4.计算定积分⎰++3011dxxx.四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256x y y y xe'''-+=.2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的密度为ρ，计算桶的一端面上所受的压力．图4-13. （本题8分）设()f x在[,]a b上有连续的导数，()()0f a f b==，且2()1baf x dx=⎰，试求()()baxf x f x dx'⎰.4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A; (2) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1xe x ≥+.一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1） 10)(cos lim x x x →（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.（3）已知xx xe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2)(ln 21x _____ .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 _________.9131-=x y（5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.)1()1(32227+++=x C x y二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ D ）.(A)21,x x 都是极值点.(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点. (D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.（3）函数212e ee xxxy C C x -=++满足的一个微分方程是（ （A ）23e .x y y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ A ）.(A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.(A) (())().f x dx f x '=⎰ (B)()().=⎰df x f x(C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().f x dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→-------1分=x x x x x ln 1ln lim1+-→-------2分 = x x x x x x ln 1ln lim1+-→ -------1分= 211ln 1ln 1lim 1=+++→x x x -------2分2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与22dx y d .解 ,s i n )()(t t t x t y dx dy =''= ----------------------------（3分）.sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''=---------------------（6分）4. 计算不定积分.222 =2arctan 2 =2C =----------------+---------⎰分分（分4.计算定积分⎰++3011dx x x.解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=30)11(dx x --------- --------------- （3分）35)1(323323=++-=x ----------------------------------------- ---------------------（6分）（或令t x =+1）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256xy y y xe '''-+=.2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征方程分特征解.分 次方程的通解Y =C 分令分代入解得，所以分所以所求通解C 分2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图220322203*********RRRP g R x g R x g R ρρρρ=---------=--------=--------=----------------⎰⎰分）分[（）]分分3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1baf x dx =⎰，试求()()baxf x f x dx'⎰.222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222bb aab ab b a a xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------⎰⎰⎰⎰解：分分分分4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(3) 求D 的面积A;(4) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= ----1分由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x =所以该切线的方程为.1x e y = ----1分平面图形D 的面积 ⎰-=-=10.121)(e dy ey e A y ----2分（2） 切线x e y 1=与x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为.3121e V π= ----2分曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dy e e V y 2102)(⎰-=π， ----1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ ----1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1x e x ≥+. 解法一：2112xe e x x x ξ=++≥+解法二：设() 1.x f x e x =--则(0)0.f =------------------------1分 因为() 1.x f x e '=-------------------------—————— 1分 当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=------------------------2分 当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=------------------------2分所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1x e x ≥+。

数值分析试题院系,专业： 分数：姓名,学号： 日期：2004.6. 注：计算题取小数点后四位。

1. (10分)利用Gauss-Legendre 求积公式⎰-++-≈11)7746.0(5556.0)0(8889.0)7746.0(5556.0)(f f f dx x f导出求积分3()f x dx-⎰的三点高斯型求积公式。

2. (15分)写出求解线性代数方程组123121322531272x x x x x x x -+=⎧⎪-+=-⎨⎪+=⎩ 的Gauss-Seidel 迭代格式，并分析此格式的敛散性。

3.(15分)设矩阵21011000201010A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎥⎥⎦， （1）试计算||||A ∞。

（2）用Householder 变换阵H 将A 相似约化为上Hessenberg 阵，即HAH 为上Hessenberg 阵。

4. (10分) 求关于点集{}1,2,3,4的正交多项式{}012(),(),()x x x ϕϕϕ。

5. (10分)用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据1.02.03.04.00.8 1.5 1.8 2.0i i x y ⎧⎨⎩ 6.(20分)给出数据点： 013419156i i x y =⎧⎨=⎩ （1）用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ，并计算 1.5x =的近似值2(1.5)L 。

（2）用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ，并计算 1.5x =的近似值2(1.5)N 。

（3）用事后误差估计方法估计2(1.5)L 、2(1.5)N 的误差。

7．(10分) 设矩阵A 可逆，A δ为A 的误差矩阵，证明：当11A A δ-<时， A A δ+也可逆。

8．(10分)设()f x 四阶连续可导，0,0,1,2.i x x ih i =+=试建立如下数值微分公式 ''01212()2()()()f x f x f x f x h -+≈并推导该公式的截断误差。

习题一一、填空题1．设,3)1ln()(x x x f -++=则此函数的定义域是___________.2. 极限.23151lim2=+--+→xx xx x ________________. 3. 设f(x)=arcsinx,φ(x)=lnx,则)]([x f φ的定义域是_______________.4. 设(),,10111cos1)(⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=x x x x x f a在1=x 处连续,则a 的值为_______________.5 当x x →0时,f(x)是比g(x)高阶的无穷小,则当x x →0时, 无穷小 f(x)+g(x) 与无穷小g(x)的关系是_______________.6. ().1,0._______________41lim20≠>=-→a a xa x x 7. f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是_____________.8. ()x xx f πsin ln =的一个可去间断点=x ______________. 9. xx x arcsin lim 0→的值等于_______________.10. ()3arctan )(2-=x x f 的定义域是______________.11. 若当()()x x x x γα,,0时→是等价无穷小，()x β是比()x α高阶的 无穷小，则当0x x →时，函数()()()()x x x x βγβα--的极限是___________.12. 设)(x f 的定义域是],2,1[则⎪⎭⎫⎝⎛+11x f 的定义域是_____________. 13. ()1ln 2--=x x x f 的一个无穷间断点=_____________.14． ()24ln )(x x f -=在区间_____________是连续的。

15. ()23+-=x xx f 的定义域是_____________.16. 极限=+∞→xxx x x x lim ___________________17. ()3)(-=x x x f _的定义域是_____________.18. 极限=--+→2223lim 32x x x ____________________.19. ()xx x 613ln lim0+→的值等于_________________. 20. ()3arccos -=x x f 的定义域是__________________21. 设()()f x x x x ==arcsin ,ln ϕ，则()[]ϕf x 的定义域是_____________. 22. 要使函数()f x x xx=+--11在x=0处连续，则须定义f(0)的值为_____________ 23. 极限lim sinn n n x →∞-=221____________________.24． ()()f x x x =+-ln 22的定义域是_________________________. 25．函数y x =lnarcsin 的连续区间为_______________________. 26. xxx 52arctan lim 0→的值等于____________________.27 . lim n nn n →∞++⎛⎝ ⎫⎭⎪213的值等于________________.28. 若()321lim e ax xx =-→，则a=_____________29. =+-→xx x 210)1(lim _________________.选择题1. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<--=1,21,11)(2x x x x x x f 则1=x 是)(x f 的(A)连续点; (B)可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D)无穷间断点. 答: （）2. 当0x x →时A x f -)(为无穷小是 A x f x x =→)(lim 0的（A ）充分但非必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件，也非必要条件 答: （）3. 设f x x x ()sin ,,=-∞<<+∞,则此函数是 (A)奇函数, (B)既不是奇函数也不是偶函数,(C)周期为2π的周期函数 (D) 周期为π的周期函数. 答: （） 4. 极限.cos 22limxxx -→的结果是(A)1 (B)2 (C)2 (D)极限不存在. 答: （ ） 5. 设()f x x x x ()sin ,=++-∞<<+∞112,则此函数是(A)有界函数 (B)奇函数 (C)偶函数 (D)周期函数 答:( )6. 函数xx f -=11arctan )(当x →1时的极限值是 (A)π2(B)-π2 (C)0 (D)不存在.答:( )7. 的是时当x x x x sin ,0.2-→(A)高阶无穷小 (B)同价无穷小，但不是等价无穷小(C)低价无穷小 (D)等价无穷 答: ( )8. xx x x 11lim 20-++→等于 （A ）1 （B ）21（C ）2 （D ）0 答: ( )极限[]x x x cos 1cos lim -++∞→的结果是 （A ）无穷大 （B ）0 （C ）21- （D ）不存在，也不是无穷大 答: ( ) 10．设()xx eex f 11321++=，则0=x 是)(x f 的：（A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点 （C ）无穷间断点 （D ）振荡 间断点 答: ( )11.函数f(x)在点0x 连续是)(lim 0x f x x →存在的（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充要条件 （D ）即非充分又非必要条件 答: ( )12. ()x ee xf xx sin )(-+=在其定义域 ()+∞∞-,上是（A ）有界函数 （B ）周期函数 （C ）偶函数 （D ）奇函数 答: ( )13. 设()11cot2-+=x arc x x f ，则1=x 是)(x f 的： （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点 （C ）无穷间断点 （D ）振荡 间断点 答: ( ) 14. 极限()x x x x -+∞→2lim的结果是(A) 0; (B) 1/2;(C) 无穷大， （D ）不存在. 答： （ ）15. ()()23sin x x f =在定义域()-∞+∞,上为（A ）周期是3π的函数； （B ）周期是π/3的函数； （C ）周期是2π/3的函数； （D ）不是周期函数. 答： （ ）16. 若当0x x →时()()x x βα,都是无穷小，则当0x x →时， 下列表示式哪一个不一定是无穷小： （A ）()()x x βα+； （B ）()()x x 22βα+；（C ）()()[]x x βα+1ln ； （D ）()()x x 22βα. 答： （ ）17.“数列极限存在”是“数列有界”的（A ）充分必要条件； （B ）充分但非必要条件； （C ）必要但非充分条件；（D ）既非充分条件，也非必要条件。