概率论与数理统计考试试卷与答案A

特别提示：自信考试 诚信做人临沂大学2018-2019学年第二学期《概率论与数理统计》试题（A 卷）（适用于2017级2018级普通本科学生，闭卷考试 时间120分钟） 1．设A 与B 是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是 【 】(A) ()()1P A P B =-； (B) ()()P A B P B -=； (C) ()()()P AB P A P B =；(D) ()()P A B P A -=．2．()F x 是连续型随机变量X 的分布函数,则下列陈述错误的是 【 】 (A) 0()1≤≤F x ； (B) ()F x 单调不减；(C) ()F x 处处可导； (D) lim ()1→+∞=x F x .3．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 {0,0}P X Y ===0.1 ,{0,1}P XY ===0.1,{1,0},{1,1},P X Y a P X Y b ======且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是【 】(A) 0.2,0.6==a b ; (B) 0.1,0.9=-=a b ； (C) 0.4,0.4==a b ； (D) 0.6,0.2==a b ．4．设（X ，Y ）为二维随机变量，且D （X ）>0，D （Y ）>0，则下列等式成立的是【 】(A) ·E XY E X E Y =（）（）（）； (B) Cov (,)ρ=XY X Y ； (C) D X Y D X D Y +=+（）（）（）； (D) Cov 2,22Cov ,X Y X Y =（）（）． 5．设随机变量X 与Y 相互独立且都服从(0,1)N ，则~22Y X + 【 】 (A) )2,0(N ； (B) )2(2χ； (C) )2(t ； (D))1,1(F ．1. 设事件A 与B 相互独立，且()()=3P A P B =，则()P A B =____.2. 设随机变量X 服从参数为3的泊松分布, 则P {X =2}=_______.3. 设二维随机变量(X , Y )的分布律为则{}Y 2+≤P X =___________.4. 设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，且0ρ=，则(2)D X Y +=____________. 5. 设(1,4)XN ，则2()E X =____________.注意：以下各题都要写出必要的计算步骤或推导过程，直接写出答案者不得分．1. 已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者,今从男女人数相等的人群中随机的挑选一人,恰好是色盲者,问此人是男性的概率是多少？特别提示：自信考试 诚信做人2.设连续型随机变量X 的概率密度为()2,010,x x f x <<⎧=⎨⎩其他求（1）分布函数()F x （2）数学期望()E X．3. 设K 服从(0, 5)上的均匀分布，求方程02442=+++K xK x 有实根的概率4. 设随机向量(,)X Y 的联合概率密度为：(2),0,0(,)0,x y ke x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，（1）试确定常数k ；（2）求Z X Y =+的密度函数．5. 设随机变量X 具有概率密度/8,04,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其它 试求随机变量28Y X =+的概率密度.6. 设总体X 的概率密度为1,01,(;)0,.x f x θ<<=⎪⎩其它其中0θ>为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求θ的矩估计量.特别提示：自信考试 诚信做人临沂大学2018-2019学年第二学期《概率论与数理统计》试题（A 卷）参考答案与平分标准（适用于2017级2018级普通本科学生，闭卷考试 时间120分钟） 1．设A 与B 是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是 【D 】(A) ()()1P A P B =-； (B) ()()P A B P B -=； (C) ()()()P AB P A P B =；(D) ()()P A B P A -=．2．()F x 是连续型随机变量X 的分布函数,则下列陈述错误的是 【C 】 (A) 0()1≤≤F x ； (B) ()F x 单调不减；(C) ()F x 处处可导； (D) lim ()1→+∞=x F x .3．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 {0,0}P X Y ===0.1 ,{0,1}P X Y===0.1,{1,0},{1,1},P X Y a P X Y b ======且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是【C 】(A) 0.2,0.6==a b ; (B) 0.1,0.9=-=a b ； (C) 0.4,0.4==a b ； (D) 0.6,0.2==a b ．4．设（X ，Y ）为二维随机变量，且D （X ）>0，D （Y ）>0，则下列等式成立的是【B 】(A) ·E XY E X E Y =（）（）（）； (B) Cov (,)ρ=XY X Y ； (C) D X Y D X D Y +=+（）（）（）； (D) Cov 2,22Cov ,X Y X Y =（）（）． 5．设随机变量X 与Y 相互独立且都服从(0,1)N ，则~22Y X + 【B 】 (A) )2,0(N ； (B) )2(2χ； (C) )2(t ； (D))1,1(F ．1. 设事件A 与B 相互独立，且()()=3P A P B =，则()P A B =__7/9__.2. 设随机变量X 服从参数为3的泊松分布, 则P {X =2}=392-.3. 设二维随机变量(X , Y )的分布律为则{}Y 2+≤P X =__0.6_.4. 设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，且0ρ=，则(2)D X Y + =22124σσ+.5. 设(1,4)X N ，则2()E X =___5___.注意：以下各题都要写出必要的计算步骤或推导过程，直接写出答案者不得分．1. 已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者,今从男女人数相等的人群中随机的挑选一人,恰好是色盲者,问此人是男性的概率是多少？特别提示：自信考试 诚信做人解 设1A =”选到的人是男性”, 2A =”选到的人是女性”, B =”选到的人是色盲患者”, 则有12()0.5,()0.5;P A P A ==12(B|)0.05,()0.025;P A P A ==…………5分则有贝叶斯公式得1111122()(|)(|)()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A =+0.50.0520.0.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯…………10分2.设连续型随机变量X 的概率密度为()2,010,x x f x <<⎧=⎨⎩其他求（1）分布函数()F x （2）数学期望()E X ．解 (1) 首先()(),xF x f t dt -∞=⎰ 于是当0x ≤时, ()0F x =,当01x <<时, ()202,xF x tdt x ==⎰当1x ≥时, ()1()2 1.x F x f t dt tdt -∞===⎰⎰,于是()20,0,,01,1, 1.x F x x x x ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩………5分(2) 1202()()2.3+∞-∞===⎰⎰E X xf x dx x dx ………10分3. 设K 服从(0, 5)上的均匀分布，求方程02442=+++K xK x 有实根的概率解 方程02442=+++K xK x 有实根这一事件可表示为2{1616(2)0}K K -+≥,即{12}k K ≤-≥或..因为K 服从(0, 5)上的均匀分布,其概率密度函数为1/5,05,()0,.k f k <<⎧=⎨⎩其它 于是,所求概率为5213{12}.55P k K ≤-≥==⎰或 4. 设随机向量(,)X Y 的联合概率密度为：(2),0,0(,)0,x y ke x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它， （1）试确定常数k ；（2）求Z X Y =+的密度函数． 解 (1) 根据概率密度函数的性质得(,)1+∞+∞-∞-∞=⎰⎰dx f x y dy ,另一方面,21(,),2+∞+∞+∞+∞---∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x y dx f x y dy k e dx e dy k于是 2.k =………5分(2) 设Z X Y =+的概率密度函数为()Z f z ,当0z <<+∞时, 根据两个随机变量和的概率密度公式得()2()220()(,)222.zzx z x x z z z Z f z f x z x dx edx e dx e e +∞-------∞=-===-⎰⎰⎰对于其它情况,都有()0Z f z =. 所以()22,0,()0,.z zZ e e z f z --⎧->⎪=⎨⎪⎩其它………10分 5. 设随机变量X 具有概率密度/8,04,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其它 试求随机变量28Y X =+的概率密度.解 方法一 设Y 的概率密度函数为()Y f y ,显然当0x ≤时, 8y ≤,当4x ≥时, 16y ≥, 所以当8y ≤或16y ≥时,有()0Y f y =. ………4分而当04x <<时, 28y x =+的取值范围是816y <<,且28y x =+的反函数为8,2y x -=且有1,2dx dy =于是此时应有88()232Y y dx y f y f dy--⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭.………4分特别提示：自信考试 诚信做人于是8,816,()320,.Y y y f y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它………10分方法二 设Y 的分布函数为()Y F y , 密度函数为().Y f y 显然当由分布函数的定义可得当8y ≤时,有8(){}{28}02Y y F y P Y y P X y P X -⎧⎫=≤=+≤=≤=⎨⎬⎩⎭,当816y <<时,有82208(8)(){}{28}2864y Y y x y F y P Y y P X y PX dx ---⎧⎫=≤=+≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰ 当16y ≥时,有408(){}{28}128Y y x F y P Y y P X y P X dx -⎧⎫=≤=+≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰于是20,8,(8)(),816,641,16.Y y y F y y y ≤⎧⎪-⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩………6分 所以8,816,()()320,.Y Y y y f y F y -⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其它………4分6. 设总体X 的概率密度为1,01,(;)0,.x f x θ<<=⎪⎩其它其中0θ>为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求θ的矩估计量.解 总体的数学期望为()(;)E X xf x dx θ+∞-∞===⎰⎰分设样本12,,,n X X X 的观察值为12,,,n x x x ,样本均值的观察值为x解方程x =θ的矩估计值为21x x θ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.………8分相应的矩估计量为21X X θ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.…………10分。

第一部分 基本题一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分） 1. 事件表达式A B 的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生(C) 事件B 发生但事件A 不发生 (D) 事件A 与事件B 至少有一件发生答：选D ，根据A B 的定义可知。

2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( )(A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答：选A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布 (D) 自由度为2的F 分布答：选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的χ2分布。

4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) (A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)答：选C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。

5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计答：选B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。

上海应用技术学院2011—2012学年第一学期 《概率论与数理统计》期（末）（A ）试卷课程代码: B2220073 学分: 3 考试时间: 100 分钟 课程序号: 112-7244、7246、7248、7249、7251、7254、7255、7257、7258等共9个教学班 班级： 学号： 姓名:我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。

试卷共6页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。

一、填空题（每题3分，共计18分）1、有321,,R R R 三个电子元件，用321,,A A A 分别表示事件“元件i R 正常工作”)3,2,1(=i ，试用321,,A A A 表示事件“至少有一个元件正常工作”：_______________。

2、连续型随机变量X 的分布函数为20,0,(),01,1, 1.x F x x x x ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩则(0.5 1.5)P X <<=_____。

3、设随机变量X 服从(3,7)F 分布，则随机变量1~Y X=____________。

4、设()28,10~N X ，()=<<200X P （用()Φ表示）。

5、已知随机变量,X Y ，有cov(,)5X Y =，设31U X =+，24V Y =-，则cov(,)U V =____。

6、设随机变量,X Y 相互独立~(5,0.5)X N ，~(2,0.6)Y N ，则()E XY =___________。

二、选择题（每题3分，共计18分）1、设S 表示样本空间，下述说法中正确的是（ ）（A ）若A 为一事件，且()0P A =，则A =∅（B ）若B 为一事件，且()1P B =，则B S = （C ）若C S =，则()1P C =（D ）若,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =+2、设随机变量X 与Y 均服从正态分布2~(,4)X N μ，2~(,5)Y N μ。

2023─2024学年第二学期《概率论与数理统计》课程考试试卷(A 卷)参考答案与评分标准一、填空题(每空3分，共30分)1．在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加样本容量.2．设随机变量X 具有数学期望()E X μ=与方差2()D X σ=，则有切比雪夫不等式{}2P X μσ-≥≤14.3．设X 为连续型随机变量,a 为实常数，则概率{}P X a ==0.4．设X 的分布律为,{}1,2,k k P X x p k === ，2Y X =,若1nkk k xp ∞=∑绝对收敛(n为正整数),则()E Y =21kk k xp ∞=∑.5．某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为17.6．设X 服从参数为λ的poisson 分布,则(2)E X =2λ.7．设(2,3)Y N ，则数学期望2()E Y =7.8．(,)X Y 为二维随机变量,概率密度为(,)f x y ,X 与Y 的协方差(,)Cov X Y 的积分表达式为(())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰.9．设X 为总体N （3，4）中抽取的样本14,,X X 的均值,则{}15P X ≤≤＝2(2)1Φ-.(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示)10.随机变量2(0,)X N σ ,n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，221()(1)ni i Y k X χ==∑ ,则常数k =21n σ.A 卷第1页共4页二、概率论试题(45分)1、(8分)题略解：用A B C 、、，分别表示三人译出该份密码,所求概率为P A B C （）（2分）由概率公式P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）（4分）1-1-1-p q r =1-（）（）（）（2分）2、(8分)设随机变量()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====，求数学期望()E X Y +与方差(23)D X Y -.解：(1)()E X Y +=E X E Y （）+（）=1+3=4（3分）(2)(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-（3分）8361244XY ρ=+--（2分）3、(8分)某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命i T 相互独立，记161ii T T ==∑，用中心极限定理计算{1920}P T ≥的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示).解：i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000（3分）{1920}0.8}1P T P ≥=≈-Φ（0.8）（5分）(4分)4、(10分)设随机变量X 具有概率密度11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它,21Y X =+.(1)求Y 的概率密度()Y f y ；(2)求概率312P Y ⎧⎫-<<⎨⎩⎭.解:(1)12Y Y y F y y F y ≤>时（）=0,时（）=1（1分）A 卷第2页共4页212,{}{1}()d Y y F y P Y y P X y f x x<≤≤=+≤=（）=（2分）02d 1x x y ==-（2分）概率密度函数2()=Y Y y f y F y ≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它（2分）(2)3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222.（3分）5、(11分)设随机变量(,)X Y 具有概率分布如下,且{}1103P X Y X +===.XY-101013p114q112(1)求常数,p q ；(2)求X 与Y 的协方差(,)Cov X Y ,并问X 与Y 是否独立?解:(1)1111134123p q p q ++++=+=，即（2分）由{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X pP X Y X P X P X p +====+========+，，（2分）可得16p q ==（1分）X 01Y -11P1212P7121614(2)EX 1（）=2,E Y 1（）=-3,E XY 1（）=-6（3分）,-Cov X Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0（2分）由..ij i j P P P ≠可知X 与Y 不独立（1分）三、数理统计试题(25分)1、(8分)题略.A 卷第3页共4页证明:222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ-- ,22(1)X n S σ-相互独立（4分）2(1)Xt n - ,即(1)X t n - （4分）2、(10分)题略解：似然函数2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑（4分）由2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑可得221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑为2,μσ的最大似然估计(2分)由221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==可知11ˆni i x n μ==∑为μ的无偏估计量，2211ˆ()ni i x n σμ==-∑为2σ的有偏估计量(4分)3、(7分)题略解：01: 4.55: 4.55H H μμ=≠（2分）检验统计量x z =，拒绝域0.025 1.96z z ≥=（2分）而0.185 1.960.036z ==>（1分）因而拒绝域0H ，即不认为总体的均值仍为4.55（2分）A 卷第4页共4页。

2013-2014学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (A)一、 填空题（每小题4分，共32分）.1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A ⋃B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A ⋃B ) = _________.2．设随机变量 X 在区间 [1, 6] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 3} = ______________. 3．设随机变量 X的分布函数为,2,1 21 ,6.011 ,3.01 ,0 )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=x x x x x F则 X 的分布律为 ___________________________ . 4．若离散型随机变量 X 的分布律为则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} =_________ .5．设随机变量 X 服从二项分布 b (50, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________.6．设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X - 2Y ) = _________.7．设随机变量 X 的数学期望 E (X ) = μ, 方差 D (X ) =σ2, 则由切比雪夫不等式有P{|X -μ| < 3σ} ≥_________________.8．从正态总体N(μ, 0.12) 随机抽取的容量为16 的简单随机样本, 测得样本均值5=x，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是____________________________. (用抽样分布的上侧分位点表示).二、选择题（只有一个正确答案，每小题3分，共18分）1．设A, B, C是三个随机变量，则事件“A, B, C不多于一个发生”的逆事件为( ).(A) A, B, C都发生(B) A, B, C至少有一个发生(C)A, B, C都不发生(D)A, B, C 至少有两个发生2．设随机变量X的概率密度为f (x), 且满足f (x) = f (-x), F(x) 为X 的分布函数, 则对任意实数a, 下列式子中成立的是( ).(A)(B)(C)(D)3．设随机变量 X , Y 相互独立, 与 分别是X 与 Y 的分布函数, 则随机变量 Z = max{X ,Y } 分布函数 为 ( ).(A) max{,} (B)+ -(C)(D)或4. 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N (0, 1) 和 N (1, 1), 则 ( ).21}0{ )A (=≤+Y X P 21}1{ )B (=≤+Y X P 21}0{ )C (=≤-Y X P21}1{ )D (=≤-Y X P 5．对任意两个随机变量 X 和 Y , 若 E (XY ) = E (X )E (Y ), 则 ( ).(A) X 和 Y 独立 (B) X 和 Y 不独立(C) D (XY ) = D (X )D (Y ) (D) D (X + Y ) = D (X ) + D (Y )6．设 X 1, X 2, …, X n (n ≥ 3) 为来自总体 X 的一个简单随机样本, 则下列估计量中不是总体期望 μ 的无偏估计量的是 ( ). (A)X(B) 0.1⨯ (6X 1 + 4X 2) (C)(D) X 1 + X 2 - X 3三、解答（本题 8 分）某大型连锁超市采购的某批商品中, 甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂商的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件产品，(1) 求这件产品是次品的概率; (2) 若这件产品是次品, 求它是甲厂生产的概率?四、解答（本题8分）设连续型随机变量 X 的概率密度为，其他⎩⎨⎧<<= ,0 0,sin )(πx x A x f求: (1) 常数 A 的值; (2) 随机变量 X 的分布函数 F (x ); (3)}.23{ππ≤≤X P五、解答（本题10分）设二维随机变量 (X , Y ) 的联合概率密度为求: (1) 求 X , Y 的边缘概率密度 f X (x ), f Y (y ), 并判断 X 与 Y 是否相互独立(说明原因)? (2) 求 P { X + Y ≤ 1}.六、解答（本题8分）已知随机变量 X 分布律为X k -1 0 2 4 P k0.10.50.30.1求 E (X ), D (X ).七、（本题6分）设某供电区域中共有10000 盏电灯，夜晚每盏灯开着的概率均为 0.7，假设各灯开、关时间彼此独立，求夜晚同时开着的灯的数量在6800 至 7200 间的概率.(其中999999.0)36.4()2120(=≈ΦΦ).八、(10分) 设总体 X 的概率密度为，其他⎩⎨⎧<<+= ,010 ,)1()(x x x f θθ其中θ > -1 是未知参数， X 1,X 2, …, X n 为来自总体的一个简单随机样本，x 1, x 2, …, x n 为样本值, 求 θ 的矩估计量和极大似然估计量.参考答案： 一、填空题 1． 0.5 ；0.58 2． 2/5 3．4． 0.3 ；0.5 5． 10 ；8 6． 21 7． 8/9 8． )41.05,41.05(025.0025.0z z +-详解：4.因为0.5+0.2+a=1,所以 a=0.3 Y = 2X + 3所以P {Y > 5} =0.2+0.3=0.5二、选择题1. D2. A3. C4. B5. D6. C 详解：2. 因为⎰∞-=xtt f x F d )()( 故⎰-∞-=-att f a F d )()( 令u =-t⎰∞+--=-a u u f a F d )()(⎰+∞=au u f d )(⎰+∞=at t f d )(⎰-=at t f 0d )(21 (21d )(0=⎰+∞t t f ) 详解：4.因为X ~)1,0(N ,Y ~)1,1(N 所以 1)(=+Y X E ，2)(=+Y X D 故)()(Y X D Y X E Y X ++-+21-+=Y X ~)1,0(N 所以21}021{=≤-+Y X P 即 21}01{=≤-+Y X P 21}01{=≤-+Y X P三、解答题解：设A 事件表示“产品为次品”，B 1事件表示“是甲厂生产的产品”，B 2事件表示“是乙厂生产的产品”，B 3事件表示“是丙厂生产的产品”(1) 这件产品是次品的概率:)()()()()()()(332211B P B A P B P B A P B P B A P A P ++= 035.02.005.035.002.045.004.0=⨯+⨯+⨯=(2) 若这件产品是次品，求它是甲厂生产的概率:3518035.045.004.0)()()()(111=⨯==A PB P B A P A B P 四、解答题 解：(1) A x x A x x f 2d sin d )(10===⎰⎰∞∞-π21=∴A (2) ⎰∞-=xt t f x F d )()(0d 0d )()(0===≤⎰⎰∞-∞-xxt t t f x F x 时，当)cos 1(21d sin 210d d )()(00x t t t t t f x F x xx-=+==<<⎰⎰⎰∞-∞-时，当π 10d d sin 210d d )()(0=++==≥⎰⎰⎰⎰∞-∞-x xt t t t t t f x F x πππ时，当 所以⎰∞-=xt t f x F d )()(=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤ππx x x x ,10),cos 1(210,0(3)414121)3()2(}23{=-=-=≤≤ππππF F X P 五、解答题 (1)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=-==⎰⎰∞∞-其它，020),2(21d )2(d ),()(10x x y y x y y x f x f X ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-==⎰⎰∞∞-其它，010,2d )2(d ),()(20y y x y x x y x f y f Y因为 ),()()(y x f y f x f Y X =⋅，所以X 与Y 是相互独立的.(2)247d )1)(2(21d )2(d }1{1021010=--=-=≤+⎰⎰⎰-x x x y y x x Y X P x六、解答题1.043.025.001.01)(⨯+⨯+⨯+⨯-=X E =0.9 1.043.025.001.0)1()(22222⨯+⨯+⨯+⨯-=X E =2.9 2229.09.2])([)()(-=-=X E X E X D =2.09七、解答题解：设X 为夜晚灯开着的只数，则X ~)7.0,10000(b}72006800{≤≤X P }3.07.0100007.010********.07.0100007.0100003.07.0100007.010*******{⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=X P}21203.07.0100007.010*******{≤⨯⨯⨯-≤-=X P 1)2120(2)]2120(1[)2120()2120()2120(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ≈999998.01999999.02=-⨯=八、解答题 解：(1) 矩估计法21d )1()(101++=+==⎰θθθμθx x x X E 11112μμθ--=∴∑===ni iX n X A 111 所以θ的矩估计量∧θXX --=112(2) 最大似然法似然函数θθi ni x L )1(1+∏==，10<<ixθθi ni x L )1(1+∏==θθi n i n x 1)1(=∏+=∑=++=ni ix n L 1ln )1ln(ln θθ∑=++=ni ix nL 1ln 1d ln d θθ 令0d ln d =θL得θ的最大似然估计值 ∧θ1ln 1--=∑=ni ixnθ的最大似然估计量 ∧θ1ln 1--=∑=ni iXn。

2020-2021大学《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一.填空题（每题2分，共10分）1设事件A,B 互不相容，若P (A )=0.3,P (B )=0.7,则P (AB )为_________。

设事件A,B 相互独立，若P (A )=0.3,P (B )=0.7,则P (AB )为______.3.设母体X 服从正态分布N (μ,σ2)，X 1,X 2⋯,X n 为取自母体的子样，X̄为子样均值，则X ̄服从的分布为__________.4.设X 1,X 2⋯,X n 相互独立，且都服从正态分布N (0,1)，则∑X i 2n i=1服从的分布为_____________.5. 将一枚硬币重复掷N 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于__________.二、选择题（每小题2分共10分）1.设A,B 为互不相容事件，且P (A )>0,P (B )>0,则结论正确的有（ ）（A ）P (A |B )>0 （B ）P (A |B )>P(A) (C) P (A |B )=0 (D) P (A |B )=P (A )P (B ) 2、设随机变量ξ,η相互独立，且有Dξ=6,Dη=3.则D (2ξ+η)为（ ） （A ）9 （B ）15 （Ｃ）21 （Ｄ）27 3、设随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2)，则随着σ的增大，P (|X −μ|<σ)（ ）（A ）单调增大 （B ）单调减少 （C ）保持不变 （D ）增减不定4、任一连续型随机变量的概率密度函数ϕ(x )一定满足（ ）（A ）0≤ϕ(x )≤1；（B ）定义域内单调不减；（C ）∫ϕ(x )+∞−∞dx =1；（D ）lim x→+∞ϕ(x )=1。

5、设随机变量ξ,η满足条件D (ξ+η)=D (ξ−η)，则有（ ）事实上 （A ） Dη=0 （B ）ξ,η不相关 （C ）ξ,η相互独立 （D ）Dξ⋅Dη=0三、综合题（每小题5分共30分）1.某射击小组共有20名射手，其中一级射手4名，二级射手8名，三级射手7名，四级射手1名，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9,0.7,0.5,0.2，求在小组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。

第 1 页 共 5 页班级 姓名 准考证号‥‥‥‥‥‥密‥‥‥‥‥‥封 ‥‥‥‥‥ 线 ‥‥‥‥内 ‥‥‥‥‥不 ‥‥‥‥‥准 ‥‥‥‥‥答 ‥‥‥‥‥题 ‥‥‥‥‥‥期末考试试卷 参考答案学年学期： 课程名称： 《概率论与数理统计》 适用专业：（满分：100分 时间：120分钟）一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的备选项中选择符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡上相应的位置，错涂、多涂或未涂均无分。

1．设二项分布的随机变量，其数学期望与方差之比为4：3，则该分布的参数p =（ ）.A ．0.5B ．0.25C ．0.75D ．不能确定2．设随机变量X 与Y 的关系为21Y X =+，如果()D X =2,则()D Y =（ ）．A ．4B ．6C ．8D ．103．若X 服从区间[]2,6上的均匀分布，则{23}P x <<=（ ）.A ．0．2B ．0．75C ．0．5D ．0．254．若随机变量X 的期望EX 存在，则()E aX b +=（ ）.A ．aEXB ．2a EXC ．aEX b +D ．2a EX b +5．当随机变量X 的可能值充满（ ）时，则()cos f x x =可以成为随机变量X 的密度函数.A ．π[0,]2B ．π[,π]2C ．[0,π]D ．3π7π[,]226．矿砂中铜含量服从正态分布),(~2σμN X ，2μσ，未知，现从总体中抽取样本521,,,X X X ，5115i i X X ==∑，52211()5i i S X X ==-∑，在显著水平α下检验00:μμ=H ，则所取的统计量为（ ）.A ．5/0σμ-X B ．5/0S X μ- C ．4/0σμ-X D ．4/0S X μ-7．事件表达式A B +的表示（ ）.A ．事件A 与事件B 同时发生 B ．事件A 发生但事件B 不发生C ．事件B 发生但事件A 不发生D ．事件A 与事件B 至少有一个发生8．样本空间S 中的事件A 与B 相互独立的充要条件是（ ）. A ．A B S += B ．()()()P AB P A P B =C ．AB =∅D ．()()()P A B P A P B +=+9．设1X 、2X 是总体X 的样本，则下列统计量不是总体X 的期望的无偏估计量的是（ ）.A ．1XB ．121233X X + C ．121()2X X + D ．121()3X X +10．任何一个连续型随机变量X 的密度函数()f x 一定满足（ ）.A 卷第 2 页 共 5 页‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 密 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 封 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 线‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥A ．0()1f x ≤≤B ．() d 1f x x +∞-∞=⎰C ．在定义域内单调不减D ．lim ()1x f x →+∞= 11．袋中有5球，3新2旧，从中任取一球，无返回的取两次，A =第一次取新球，B =第二次取新球．求P （B|A ）=（ ）.A ．12B ．23C ．35D ．1312．已知事件A 和B 互不相容，()0,()0P A P B >>，下式成立的是（ ）. A ．()()()P A B P A P B =+ B ．()()()P AB P A P B =C ．()1P A B =D ．()0P AB >13．若随机变量2(,),3,1,X N EX DX μσ==则11}P X ≤≤={-（ ）.A ．2(1)1A Φ-、 B ．(4)(2)B Φ-Φ、C ．(4)(2)Φ--Φ-C 、 D ．(2)(4)Φ-ΦD 、 14．参数为λ的指数分布的方差是（ ）.A ．1λB ．2λC ．λD ．21λ15．设X 为连续型随机变量，则{1}P X ==（ ）. A ．1B ．0C ．不能确定D ．以上都不对二、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）判断正误，正确代码为A ，错误代码为B ，请将正确的答案代码涂在答题卡相应的题号下。

概率论与数理统计试题及答案（自考）一、单选题1.如果D(X)=3,令Y=2X+5,则D(Y)为A、12B、18C、7D、11【正确答案】：A解析：D(C)=0,D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X),因此D(Y)=D(2X+5)=D(2X)=4D(X)=4×3=12,因此选A。

2.设总体X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),σ12=σ22未知,关于两个正态总体均值的假设检验为H0:μ1≤μ2,H1:μ1 > μ2,则在显著水平α下,H0的拒绝域为A、B、C、D、【正确答案】：B解析：无3.设总体为来自X的样本,为样本值,s为样本标准差,则的无偏估计量为( )。

A、sB、C、D、【正确答案】：C解析：样本均值是总体均值的无偏估计量。

故选C.4.设随机变量X的方差D(X)=2,则利用切比雪夫不等式估计概率P{|X-E(X)|≥8}的值为( )。

A、B、C、D、【正确答案】：B解析：5.如果D(X)=2,令Y=3X+1,则D(Y)为A、2B、18C、3D、4【正确答案】：B解析：D(C)=0,D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X),因此D(Y)=D(3X+1)=D(3X)=9D(X)=9×2=18,因此选B。

6.在假设检验中,H0为原假设,则显著性水平的意义是A、P{拒绝H0| H0为真}B、P {接受H0| H0为真}C、P {接受H0| H0不真}D、P {拒绝H0| H0不真}【正确答案】：A解析：本题考察假设检验“两类错误”内容。

选择A。

7.则k=A、0.1B、0.2C、0.3D、0.4【正确答案】：D解析：本题考察一维离散型随机变量分布律的性质:。

计算如下0.2 + 0.3 + k + 0.1=1,k=0.4故选择D。

8.掷四次硬币,设A表示恰有一次出现正面,则P(A)=A、1/2B、1/4C、3/16D、1/3【正确答案】：B解析：样本空间Ω={正正正正,正正正反,正正反正,正反正正,反正正正,正正反反,正反正反,反正正反,正反反正,反正反正,反反正正,正反反反,反反正反,反正反反,反反反正,反反反反};其中恰有一次正面向上的样本点是{正反反反,反反正反,反正反反,反反反正}所以概率就是1/4。

《概率论与数理统计》期末考试试题（A）专业、班级：姓名：学号：九、（8分）设随机变量X 与Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0-，求)2(),2(Y X D Y X E --。

十、（7分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。

已知每户每日用电量（单位：度）服从[0，20]上的均匀分布，利用中心极限定理求这1000户居民每日用电量超过10100度的概率。

（所求概率用标准正态分布函数)(x Φ的值表示）.十一、（7分）设n x x x ,,,21 是取自总体X 的一组样本值，X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=,,0,10 ,)1()(其他x x x f θθ其中0>θ未知，求θ的最大似然估计。

十二、（5分）某商店每天每百元投资的利润率)1,(~μN X 服从正态分布，均值为μ，长期以来方差2σ稳定为1，现随机抽取的100天的利润，样本均值为5=x ，试求μ的置信水平为95%的置信区间。

（,99.1)100(05.0=t 975.0)96.1(=Φ）解答及评分标准一、单项选择题(每题3分共18分)1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B二、填空题(每空3分共15分)1.)(B P 2.⎩⎨⎧≤>=-00)(x x xe x f x,23-e 3.1- 4.)9(t 三、(6分)解：0.88=)()()()(AB P B P A P B A P -+= =)()()()(B P A P B P A P -+(因为B A ,相互独立)……..2分=)(7.0)(7.0B P B P -+…………3分则6.0)(=B P ………….4分)()()()()()(B P A P A P AB P A P B A P -=-=-28.06.07.07.0=⨯-=…………6分四、（6分）解：用X 表示时刻T 运行的电梯数，则X ~)7.0,4(b ………...2分所求概率{}{}011=-=≥X P X P …………4分4004)7.01()7.0(1--=C =0.9919………….6分五、（6分）解：因为12+=x y 是单调可导的，故可用公式法计算………….1分当0≥X 时，1≥Y ………….2分由12+=x y ，得21',21=-=x y x …………4分从而Y 的密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥⋅-=10121)21()(y y y f y f Y …………..5分=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥⋅--1012121y y e y …………..6分六、（8分）解：因为{}10==XY P ，所以{}00=≠XY P (1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出Y X-101014100214102121412141………….4分(1)因为}{{}{}4121210000,0=⨯===≠===Y P X P Y X P 所以X 与Y 不相互独立…………8分七、（8分）解：（1）⎰⎰+-=≤≤≤≤12)43(12)20,10(dye dx Y X P y x …………..2分⎰⎰--⋅=241343dy e dx ey x=[][]24103y xe e ----=[31--e ]]1[8--e ………….4分（2）⎰+∞∞-+-=dye xf y x X )43(12)(…………..6分⎩⎨⎧≤>=-0033x x e x ……………..8分八、（6分）解：因为)41(~e X 得⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00041)(41x x e x f x ………….2分用Y 表示出售一台设备的净盈利⎩⎨⎧<<-≥=103001001100X X Y …………3分则414141)100(--∞+===⎰e dx e Y P x ()41410141200---==-=⎰e dx e Y P x………..4分所以)1()200(1004141---⨯-+⨯=e e EY 20030041-=-e64.33≈（元）………..6分九、（8分）解：已知5.0,4,1,2,2-====-=XY DY DX EY EX ρ则62)2(22)2(-=--⨯=-=-EY EX Y X E ……….4分),2cov(2)2()2(Y X DY X D Y X D -+=-……….5分),cov(42Y X DY DX -+=……….6分XY DY DX DY DX ρ42-+==12…………..8分十、（7分）解：用i X 表示第i 户居民的用电量，则]20,0[~U X i 102200=+=i EX 310012)020(2=-=i DX ………2分则1000户居民的用电量为∑==10001i i X X ，由独立同分布中心极限定理{}{}10100110100≤-=>X P X P ………3分=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯⨯-≤⨯⨯--3100100010100010100310010001010001X P ………4分)3100100010100010100(1⨯⨯-Φ-≈……….6分=-1)103(Φ………7分十一、（7分）解:最大似然函数为θθθi ni i ni n x x f x x L )1()(),,,(111+==∏∏== ……….2分=θθ),,()1(1n n x x +……….3分则),,ln()1ln(),,,(ln 11n n x x n x x L θθθ++=1,,01<<n x x ………..4分令0),,ln(1ln 1=++=n x x nd L d θθ………..5分于是θ的最大似然估计：),,ln(ln 1ˆ1n x x n--=θ。

10-11Ⅰ概率论与数理统计试卷（A）参考答案| | | | | | | |装|| | | |订|| | | | |线| | | | | | | | |防灾科技学院2010~2011学年第⼀学期期末考试概率论与数理统计试卷（A ）使⽤班级本科各班适⽤答题时间120分钟⼀、填空题（每题3分，共21分）1、设A 、B 、C 是三个事件，4/1)(=A P ，3/1)(=A B P ，2/1)(=B A P ，则=)(B A P1/3 ；2、已知10件产品中有2件次品，在其中任取2次，每次任取⼀件，作不放回抽样，则其中⼀件是正品，⼀件是次品的概率为16/45 ；3、随机变量X 的分布函数是??≥<≤<=.1,110,,0,0)(2x x x x x F ，=)}({2X E X P e21；5、从1,2,3中任取⼀个数，记为X ，再从X ,,1 任取⼀个数，记为Y ，则==}2{Y P 5/18 ；6、设随机变量X 和Y 相互独⽴，且均服从区间[]1,0的均匀分布，则3/4 ；7、设样本4321,,,X X X X 为来⾃总体)1,0(N 的样本，243221)(X X X C X Y +++=，若Y 服从⾃由度为2的2χ分布，则=C 1/3 。

⼆、单项选择题（本⼤题共7⼩题，每题3分，共21分）1、某⼈向同⼀⽬标独⽴重复射击，每次射击命中⽬标的概率为p ，则在第4次射击时恰好第2次命中⽬标的概率为（ B ）(A) 22)1(4p p -； (B) 22)1(3p p -； (C) 22)1(2p p -； (D) 3)1(p p -； 2、设随机变量X 的概率分布律为,2,1,0,!}{===k k A k X P ，则参数=A （ D ）(A) 0 ； (B) 1； (C) e ； (D) 1-e ；3、设随机变量X 的分布函数为()F x ，则31Y X =+的分布函数为（ A ）（A ）11()33F y -；（B ） (31)F y +；（C ） 3()1F y +；（D 11()33F y -；4、设连续型随机变量X 的概率密度为?<≥=-.0,0,0,)(x x e x f x λλ，则=≥})({X D X P （ C ）(A) 0 ； (B) 1； (C) 1-e ； (D) e ；5、设随机变量X 与Y 相互独⽴，其概率分布分别为10.40.6XP 01（A ）1}{==Y X P ；（B ）0}{==Y X P ；（C ）52.0}{==Y X P ；（D ）5.0}{==Y X P ；6、若)2(,,,21≥n X X X n 为来⾃总体)1,0(N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S为样本⽅差，则（C ）（A ）)1,0(~N X n ；（B ）)(~22n nSχ；（C ）)1(~/-n t nS X ；（D ）)1,0(~N X ；7、总体X 的分布律 ()1/,0,1,2,,1P X k N k N ===- .已知取⾃总体的⼀个样本为(6,1,3,5,3,4,0,6,5,2)，则参数N 的矩估计值是 ( A ))(A 8； )(B 7； )(C 6； )(D 5.（本⼤题共2⼩题，每题7分，共14分。