配套K12高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用预习导航学案新人教A版必修4

小初高试卷教案类
K12小学初中高中 1.6 三角函数模型的简单应用
预习导航
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期规律、预测其未来方面发挥重要作用．
2．三角函数模型的建立程序
思考三角函数最明显的特点是周期性，用三角函数模型解决的实际问题也必然是具有周期性变化规律的，在现实生活中，你能举例说明哪些现象具有周期性吗？
提示：例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；潮汐变化的周期性，即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性；交变电流变化的周期性．。

高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用（1）教案新人教A 版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用（1）教案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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1。

6 三角函数模型的简单应用(1）教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用。

三角函数模型的简单应用的设置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质（特别是周期性）的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力。

培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。

由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等.三维目标1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律.将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型.2。

通过切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系。

认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用。

体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力。

1.2.1 任意角的三角函数互动课堂疏导引导1.任意角三角函数的定义设P(a,b)是角α的终边与单位圆的交点,由P 向x 轴引垂线,垂足为M.根据锐角三角函数的定义得sin α=||||OP MP =b,cos α=||||OP OM =a,tan α=ab OM MP ||||. 同样的道理 ,我们也可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图1-2-2,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么图1-2-2(1)y 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y.(2)x 叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x. (3)x y 叫做α的正切,记作tan α,即tan α=xy . 2.三角函数线设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x 轴的交点分别为A(1,0)、A′(-1,0),与y 轴的交点分别为B(0,1)、B′(0,-1).设角α的顶点在圆心O,始边与x 轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P(如图1-2-3(a)),过点P 作PM 垂直于x 轴于M,则点M 是点P 在x 轴上的正射影(简称射影),由三角函数的定义可知点P 的坐标为(cos α,sin α),即P(cos α,sin α).其中cos α=OM,sin α=MP.这就是说角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.又设单位圆在点A 的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T(T′)(图1-2-3(b)),则tan α=AT(AT′).我们把轴上向量、、(AT )叫做α的余弦线、正弦线、正切线.图1-2-33.三角函数在各象限的符号由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号,可以确定三角函数的符号.sin α=y,于是sin α的符号与y 的符号相同,即当α是第一、二象限的角时,sin α＞0;当α是第三、四象限的角时,sin α＜0.cos α=x,于是cos α的符号与x 的符号相同,即当α是第一、四象限角时,cos α＞0;当α是第二、三象限的角时,cos α＜0.tan α=xy ,当x 与y 同号时,它们的比值为正,当x 与y 异号时,它们的比值为负,即当α是第一、三象限角时,tan α＞0;当α是第二、四象限角时,tan α＜0.规律总结:记忆三角函数值在各象限的符号的方法很多,下面介绍一种利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.上述口诀表示,第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值.4.公式一由三角函数的定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等,由此得一组公式.(公式利用公式一,可以把求任意角的三角函数值转化为求0到2π角的三角函数值.活学巧用1.已知角α的终边经过点P(3a,-4a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α.解析：x=3a,y=-4a,∴r=22)4()3(a a -+=5|a|(a≠0). (1)当a ＞0时,r=5a,α是第四象限角.sin α=r y =,5454-=-aa cos α=r x =5353=a a ,tan α=3434-=-=a a x y . (2)当a ＜0时,r=-5a,α是第二象限角,sin α=54,cos α=53-,tan α=34-. 答案：sin α=±54,cos α=±53,tan α=34-. 2.在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合.(1)sin α≥23;(2)cos α≤-21. 解析：作出满足sin α=23,cos α=-21的角的终边,然后根据已知条件确定出角α终边的范围.(1)作直线y=23交单位圆于A 、B 两点,连结OA 、OB,则OA 与OB 围成的区域(如图1-2-4阴影部分)即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为{α|2k π+3π≤α≤2k π+32π,k∈Z }. (2)作直线x=-21交单位圆于C 、D 两点,连结OC 与OD,则OC 与OD 围成的区域(如图1-2-5阴影部分)即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为{α|2k π+32π≤α≤2k π+34π,k∈Z }.图1-2-4 图1-2-53.确定下列三角函数值的符号.(1)cos250°;(2)sin(-4π);(3)tan(-672°);(4)tan 311π. 解析：(1)∵250°是第三象限角,∴cos250°＜0.(2)∵-4π是第四象限角,∴sin(-4π)＜0. (3)∵-672°=-2×360°+48°,而48°是第一象限角,∴-672°是第一象限角.∴tan(-672°)＞0. (4)∵311π=2π+35π,而35π是第四象限角, ∴311π是第四象限角.∴tan 311π＜0. 答案：(1)-;(2)-;(3)+;(4)-.4.若sin θcos θ＞0,则θ在( )A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解析：由sin θcos θ＞0可知sin θ与cos θ同号,若sin θ＞0,cos θ＞0, 则θ在第一象限;若sin θ＜0,cos θ＜0,则θ在第三象限.∴θ在第一、三象限.答案：B5.确定下列三角函数值的符号. (1)cos521π;(2)sin(-760°);(3)tan 37π. 解析：(1)∵cos 521π=cos(5π+4π)=cos 5π,而5π是第一象限角, ∴cos 521π＞0. (2)∵sin(-760°)=sin(-40°-2×360°)=sin(-40°),而-40°是第四象限角, ∴sin(-760°)＜0. (3)∵tan37π=tan(3π+2π)=tan 3π,而3π是第一象限角, ∴tan 37π＞0.。

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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用（1）学案新人教A版必修4的全部内容。

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6 三角函数模型的简单应用班级:__________姓名:__________设计人:__________日期：__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语志向和热爱是伟大行为的双翼.——歌德学习目标1．根据实际问题的图象如何求函数的解析式？2．如何将实际问题抽象为三角函数模型？3．如何利用搜集的数据作出散点图？学习重点用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题学习难点将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题自主学习1．三角函数的应用（1)根据实际问题的图象求出函数解析式.（2)将实际问题抽象为与有关的简单函数模型。

（3)利用搜集的数据作出，并根据进行函数拟合,从而得到函数模型。

2．三角函数模型应用的步骤（1）建模问题步骤：审读题意，→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题。

（2）建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式.预习评价1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”)（1）函数在第一象限内是增函数。

（2)函数的最大值为3.（3）直线是函数的一条对称轴。

1.6 三角函数模型的简单应用学习目标：1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型． 2．解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝|sin x ＋12|的周期为π.( )(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s ，振幅为5 cm ，则该振子在2 s 内通过的路程为50 cm.( )(3)电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200 s 时，电流强度I 为52A ．( )[解析] (1)错误．函数y ＝|sin x ＋12|的周期为2π.(2)错误．一个周期通过路程为20 cm ，所以2 s 内通过的路程为20×20.4＝100(cm)．(3)正确．[答案] (1)× (2)× (3)√2．如图1­6­1为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往返一次．图1­6­10．8 [观察图象可知此简谐运动的周期T ＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s 往返一次．]3．如图1­6­2所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________________．图1­6­2y ＝－6sin π6x [设y 与x 的函数关系式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)则A ＝6， T ＝2πω＝12，ω＝π6. 当x ＝9时，y max ＝6.故 π6×9＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . 取k ＝1得φ＝π，即y ＝－6sin π6x .][合 作 探 究·攻 重 难](1)A B C D (2)作出函数y ＝|cos x |的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间.【导学号：84352127】[思路探究] (1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断．(2)依据y ＝|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，cos x ≥0－cos x ，cos x ＜0画图，并判断此函数的性质．(1)C [(1)y ＝x ＋sin|x |是非奇非偶函数，图象既不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故选C. (2)y ＝|cos x |图象如图所示．由图象可知：T ＝π；y ＝|cos x |是偶函数；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z ， 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，π2＋k π，k ∈Z .][规律方法]一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：①由函数y ＝f x 的图象要得到y ＝|f x的图象，只需将y ＝f x 的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.②由函数y ＝f x 的图象要得到y ＝fx 的图象，应保留y ＝f x 位于y 轴右侧的图象，去掉y 轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y 轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.[跟踪训练] 1．函数f (x )＝2sin x(x ∈[－π，π])的图象大致为( )A B C D A [f (－π)＝2sin(－π)＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2－1＝0.5，f (0)＝2sin 0＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin π2＝2，f (π)＝2sin π＝20＝1.由此知选项A 符合要求．]t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 【导学号：84352128】[思路探究] 确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数A ，ω，φ的物理意义是解题关键． [解] 列表如下：(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. [规律方法] 在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y ＝Aωx ＋φ表示物体振动的位移y 随时间x 的变化规律，A 为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T ＝2πω为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f ＝1T为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.[跟踪训练]2．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解] (1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．[在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？ 提示：(1)根据原始数据给出散点图．(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，记y＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？【导学号：84352129】[思路探究] (1)根据y 的最大值和最小值求A ，b ，定周期求ω. (2)解不等式y ＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．[解] (1)由表中数据可知，T ＝12，∴ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，∴A ＋b ＝1.5；t＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)∵y ＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y ＝12cos π6t ＋1＞1，cos π6t ＞0,2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2，即12k －3＜t ＜12k ＋3，(k ∈Z )．又0≤t ≤24，所以0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t ＜15.母题探究：1.若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？ [解] 由y ＝12cos π6t ＋1＞1.25得cos π6t ＞12，2k π－π3＜π6t ＜2k π＋π3，k ∈Z ，即12k －2＜t ＜12k ＋2，k ∈Z .又0≤t ≤24，所以0≤t ＜2或10＜t ＜14或22＜t ≤24， 所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动， 即10＜t ＜14.2．若本例中海滨浴场某区域的水深y (米)与时间t (时)的数据如下表：[解] 函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13， ∴b ＝10，A ＝13－10＝3，∴所求函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．[规律方法] 解三角函数应用问题的基本步骤提醒：关注实际意义求准定义域．[当 堂 达 标·固 双 基]1．与图1­6­3中曲线对应的函数解析式是( )图1­6­3A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |C [注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x |>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C.]2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M 1和M 2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t (s)离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π6，s 2＝10cos 2t 确定，则当t ＝2π3s 时，s 1与s 2的大小关系是( )【导学号：84352130】A ．s 1＞s 2B ．s 1＜s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定C [当t ＝2π3时，s 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝5sin 3π2＝－5，当t ＝2π3时，s 2＝10cos 4π3＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－5，故s 1＝s 2.]3．如图1­6­4表示电流强度I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，则该函数解析式为()图1­6­4A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3D ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt －π3 C [A ＝300，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1150＋1300＝150，ω＝2πT ＝100π，I ＝300sin(100πt ＋φ)．代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300，0，得100π×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＋φ＝0，得φ＝π3，∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3.]4．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝________cm.g4π2[由已知得2πgl＝1，所以g l ＝2π，g l ＝4π2，l ＝g 4π2.] 5．如图1­6­5，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．图1­6­5(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量.【导学号：84352131】[解] (1)设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800.又当t ＝6时，y ＝900，∴900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1， ∴sin φ＝－1， ∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.。

1.6 三角函数模型的简单应用问题导学一、与函数图象有关的问题 活动与探究1已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ)．(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？迁移与应用已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎛⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π的一系列对应值如下表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．正确运用三角函数的图象与性质以及数形结合的数学思想，还要综合应用相关学科的知识来帮助理解具体问题．二、函数解析式的应用 活动与探究2一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P 是摩天轮轮周上的定点，点P 在摩天轮最低点开始计时，t 分钟后P 点距地面高度为h (米)，设h ＝A sin(ωt ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))，则下列结论错误的是( )A ．A ＝8B ．ω＝π6C ．φ＝π2D ．B ＝10迁移与应用设y ＝f (t )是某港口水的深度y (m)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，下表是该港面的函数中，最能近似表示表中数据的对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]解决该类题目的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用．解决这类题目的通法如下：当堂检测1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200 s 时，电流I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A 2．如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时振动速度为零3．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为__________．4．振动量y ＝2sin(ωx ＋φ)(φ＞0)的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是__________．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)根据图中提供的数据求T ，进而得出ω，根据图象过⎝ ⎛⎭⎪⎫1180，0得出φ，从而得出函数解析式． (2)由题意得出周期T 不超过1150是关键． 解：(1)由图知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180＋1900＝175．∴ω＝2πT＝150π． 又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150π·1180＋φ＝0． 而|φ|＜π2，∴φ＝π6．故所求的解析式为I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫150πt ＋π6． (2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω＞0)，∴ω≥300π＞942．又ω∈N *，故所求最小正整数ω＝943．迁移与应用 解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，得T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π．由T ＝2πω得ω＝1．又3,1,B A B A +=⎧⎨-=-⎩解得2,1,A B =⎧⎨=⎩令ω·5π6＋φ＝π2＋2k π，即5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|＜π2，解得φ＝－π3．∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1．(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的周期为2π3，又k ＞0，∴k ＝3．令t ＝3x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3．如图，sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解的条件是s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，∴方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时恰好有两个不同的解的条件是m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．活动与探究2 思路分析：将题目中出现的量与三角函数解析式中A ，ω，φ，B 相联系，从而解决问题．C 解析：由摩天轮最低点距地面2米，最高点距地面18米，得18,2,A B A B +=⎧⎨-+=⎩解得8,10,A B =⎧⎨=⎩因此A ，D 都正确；又由摩天轮每12分钟旋转一周，得T ＝12，而T ＝2πω，所以ω＝π6，则B 正确；又由P 是摩天轮轮周上的定点，从P 在摩天轮最低点开始计时，得8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×0＋φ＋10＝2，所以sin φ＝－1，而φ∈[0,2π)，所以φ＝3π2，所以C 错误．迁移与应用 A 解析：∵y ＝f (x )的图象可以近似地看成y ＝k ＋A sin(ωt ＋φ)的图象，∴y ＝f (x )具有周期性．当t ＝3,15时，y 取得最大值，∴T ＝15－3＝12，则ω＝2πT ＝2π12＝π6，∴排除C 、D ．下面将点(3,15.1)的坐标分别代入A 、B 验证．将t ＝3代入A ，得y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×3＝15；代入B ，得y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×3＋π＝9，与15.1相差太多．∴应选A ． 【当堂检测】1．B 解析：将t ＝1200代入I ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3得I ＝2.5 A ． 2．B 解析：由图知该质点振动的周期要大于0.7 s ，振幅为5 cm ，在0.1和0.5时振动速度为0，在0.3 s 和0.7 s 时振动速度为最大．故选B ．3．1 s 解析：由题易知，单摆来回摆动一次所需的时间恰好为一个周期，即T ＝2π2π＝1 s ．4．3πx －π 解析：由题知φ＝－π，f ＝1T ＝32＝ω2π，∴ω＝3π．∴y ＝2sin(3πx －π)．相位是3πx －π．。

1.6 三角函数模型的简单应用学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点 利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化. 思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？ 答案 三角函数模型.梳理 (1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤： 第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题. 第二步：收集、整理数据，建立数学模型.根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答. 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案. (2)三角函数模型的建立程序 如图所示：类型一 三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ).(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解 (1)由图可知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180＋1900＝175.∴ω＝2πT＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150π·1180＋φ＝0， 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150πt ＋π6.(2)依题意知，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N *， 故所求最小正整数ω＝943.反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S (单位：cm)与时间t (单位：s)的函数关系是S ＝6sin(2πt ＋π6).(1)画出它的图象； (2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t ＝0)，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解 (1)周期T ＝2π2π＝1(s).列表：t 016 512 23 111212πt ＋π6π6 π2π3π22π2π＋π66si n(2πt ＋π6) 3 6 0 －6 0 3描点画图：(2)①小球开始摆动(即t ＝0)，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 类型二 三角函数模型在生活中的应用例2 某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：(1)当此人第四次距离地面692 米时用了多少分钟？(2)当此人距离地面不低于(59＋4923)米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？解 (1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t 分钟时距地面y 米，则α＝2π18t＝π9t .由y ＝108－982－982cos π9t＝－49cos π9t ＋59(t ≥0).令－49cos π9t ＋59＝692，得cos π9t ＝12，∴π9t ＝2k π±π3， 故t ＝18k ±3，k ∈Z ，故t ＝3，15，21，33. 故当此人第四次距离地面692 米时用了33分钟.(2)由题意得－49cos π9t ＋59≥59＋4923，即cos π9t ≤－32.故不妨在第一个周期内求即可， 所以5π6≤π9t ≤7π6，解得152≤t ≤212，故212－152＝3. 因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌.反思与感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.跟踪训练2 如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在距离地面2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处.这时此人所转过的角为2π30 t ＝π15 t ，故在ts 时，此人相对于地面的高度为h ＝10sin π15t ＋12(t ≥0).(2)由10sinπ15t＋12≥17，得sinπ15t≥12，则52≤t≤252.故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.1.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos⎝⎛⎭⎪⎫glt＋π3，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________ cm.答案g4π2解析∵T＝2πgl＝1，∴gl＝2π，∴l＝g4π2.2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x－6) (x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.答案20.5解析由题意可知A＝28－182＝5，a＝28＋182＝23，从而y＝5cos⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x－6)＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cos⎝⎛⎭⎪⎫π6×4＋23＝20.5.3.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角.α作为时间t(s)的函数，近似满足关系式α＝A sin(ωt ＋π2)，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t＝0)时，α＝π3，且每经过π s小球回到初始位置，那么A＝________；α关于t的函数解析式是____________________.答案π3α＝π3sin(2t＋π2)，t∈[0，＋∞)解析∵当t＝0时，α＝π3，∴π3＝A sin π2，∴A ＝π3. 又∵周期T ＝π，∴2πω＝π，解得ω＝2.故所求的函数解析式是α＝π3sin(2t ＋π2)，t ∈[0，＋∞). 4.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)，t ∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)因为f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin(π12t ＋π3)≤1.当t ＝2时，sin(π12t ＋π3)＝1；当t ＝14时，sin(π12t ＋π3)＝－1.于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温. 由(1)得f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)，故有10－2sin(π12t ＋π3)>11，即sin(π12t ＋π3)<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温.1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.2.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.课时作业一、选择题1.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为－5 cmC.该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D.该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零 答案 D解析 该质点的振动周期为T ＝2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A 是错误的；该质点的振幅为5 cm ，故B 是错误的；该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度是零，故C 是错误的.故选D. 2.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B.f (x )＝9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *)C.f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)答案 A解析 令x ＝3可排除D ，令x ＝7可排除B ，由A ＝9－52＝2可排除C.或由题意，可得A ＝9－52＝2，b ＝7，周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7. ∵当x ＝3时，y ＝9， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋7＝9，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1. ∵|φ|＜π2，∴φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *).3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则人流量是增加的时间段为( )A.[0，5]B.[5，10]C.[10，15]D.[15，20] 答案 C解析 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z 知，函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.4.如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A.ω＝2π15，A ＝3.ω＝152π，A ＝3C.ω＝2π15，A ＝5.ω＝152π，A ＝5答案 A解析 由题目可知最大值为5，所以5＝A ×1＋2⇒A ＝3.T ＝15 s ，则ω＝2π15.故选A. 5.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.10 答案 C解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.6.一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32 m(即OM 长)，巨轮的半径长为30 m ，AM ＝BP ＝2 m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为h (t ) m ，则h (t )等于( )A.30sin(π12t －π2)＋30.30sin(π6t －π2)＋30C.30sin(π6t －π2)＋32.30sin(π6t －π2)答案 B解析 过点O 作地面的平行线作为x 轴，过点O 作x 轴的垂线，作为y 轴，过点B 作x 轴的垂线BN 交x 轴于N 点，如图，点A 在圆O 上逆时针运动的角速度是2π12＝π6，所以t 分钟转过的弧度数为π6t .设θ＝π6t ，当θ>π2时，∠BON ＝θ－π2，h ＝OA ＋BN ＝30＋30sin(θ－π2)，当0<θ<π2时，上述关系式也适合.故h ＝30＋30sin(θ－π2)＝30sin(π6t －π2)＋30.7.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin(100πt ＋π6)，那么单摆来回摆一次所需的时间为( )A.150 sB.1100 s C.50 s D.100 s 答案 A 二、填空题8.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋π6)(A >0，ω≠0)的图象如图所示，则当t ＝150秒时，电流强度是________安.答案 5解析 由图象可知A ＝10， 周期T ＝2×(4300－1300)＝150，∴ω＝2πT ＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝150秒时，I ＝10sin(2π＋π6)＝5(安).9.设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________. 答案 80解析 T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1T＝80(次/分).10.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h (m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h 关于时间t 的函数解析式为________________.答案 h ＝－6sin π6t ，t ∈[0，24]解析 根据题图设h ＝A sin(ωt ＋φ)，则A ＝6，T ＝12，2πω＝12，∴ω＝π6.点(6，0)为“五点”作图法中的第一点，∴π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π，∴h ＝6sin(π6t －π)＝－6sin π6t ，t ∈[0，24].11.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0，60].答案 10sin πt 60解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)的形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt 60. 12.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________.答案 34解析 取K ，L 的中点N ，则MN ＝12， 因此A ＝12.由T ＝2得ω＝π. ∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2， ∴f (x )＝12cos πx ，∴f (16)＝12cos π6＝34. 三、解答题13.如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间.(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数；(2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角.OP 每秒钟内所转过的角为 5×2π60＝π6， 则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t . 由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6. 故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2. (2)令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.四、探究与拓展14.有一冲击波，其波形为函数y ＝－sin πx 2的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰，则正整数t 的最小值是( )A.5B.6C.7D.8答案 C15.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (0<φ<π2).(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式.解 (1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8， ∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6. ∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8，14].。

1.6 三角函数模型的简单应用疱工巧解牛知识•巧学一、函数y=f(x)与y=|f(x)|图象间的关系绝对值仅对函数值施加影响，根据绝对值的意义有⎩⎨⎧<-≥=,0)(),(,0)(),(x f x f x f x f y 要画出y=|f(x)|的图象，只需先画出y=f(x)的图象，再把x 轴下半平面的部分沿x 轴翻折上去(翻折后x 轴下方的图象不再存在)，这样原有的x 轴上半平面的部分及翻折上去的部分一起便构成了y=|f(x)|的图象. 二、数学建模解决实际问题就是要把实际问题变成数学问题，通过解数学问题，获得答案，再反过来解释实际问题，这就是一个数学建模的过程.一般来说，数学建模过程可用下面的框图表示：图1-6-1当问题与函数图象有关时，可先建立适当坐标系，把题目所给的每一对数据作为一个点的坐标，在坐标系中描出这些点，并用光滑曲线把这些点依次连结起来，观察所画曲线、选用适当函数解析式，设法求出解析式中各参数，并将已知数据代入求得的解析式进行检验.如果等式不成立，则需修改解析式；如果等式成立，则该函数解析式就是本题的数学模型.这时就可以利用这个数学模型解决题目的其他问题了. 函数模型的应用实例主要包括三个方面：直接利用给定的函数模型解决实际问题；建立确定性函数模型解决实际问题；建立拟合函数模型解决实际问题.误区警示 建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析. 典题•热题知识点一 确定函数解析式例1 若函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,0＜φ＜2π)的最小值为-2，周期为32π，且它的图象过点(0,2-)，求此函数的表达式.思路分析：根据条件可先求出A ，再由周期得出ω，用特殊点求出φ. 解：由题意得A=2,ω=3，故设y=2sin(3x+φ)，∵图象过点(0,2-),∴sin φ=22-,0＜φ＜2π. ∴φ=45π或φ=47π. ∴函数的表达式为y=2sin(3x+45π)或y=2sin(3x+47π). 例2 图1-6-2为y=Asin(ωx+φ)的一段图象，求其解析式.图1-6-2思路分析：本题主要考查正弦函数的图象与性质.首先确定A.若以N 为五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是先下降后上升(类似于y=-sinx 的图象)，所以A ＜0；若以M 点为第一个零点，由于此时曲线是先上升后下降(类似于y=sinx 的图象)，所以A ＞0.而φ可由相位来确定.解：以N 为第一个零点，则A=3-，T=2(65π-3π)=π. ∴ω=2，此时解析式为y=3-sin(2x+φ). ∵点N(6π-，0)为y=3-sin(2x+φ)的第一个零点，∴6π-×2+φ=0⇒φ=3π.∴所求解析式为y=3-sin(2x+3π).巧解提示：以点M(3π，0)为第一个零点，则A=3，ω=T π2=2，解析式为y=3sin(2x+φ).∵点M(3π，0)为y=3sin(2x+φ)=0的第一个零点， ∴将点M 的坐标代入得2×3π+φ=0⇒φ=32π-.∴所求解析式为y=3sin(2x-32π). 方法归纳 (1)参数A 与ω是改变曲线形状的量，φ与b 是改变曲线位置的量.它们一起决定了曲线的形状与位置.(2)确定解析式y=Asin(ωx+φ)+b 中的参数A 、ω、φ、b 的关键是明确该函数同y=sinx 的关系；同时明确“五点法”作草图的过程及两个图象上相对应点间的关系. 知识点二 函数y=f(x)与y=|f(x)|图象间的关系 例3 画出下列函数的图象并观察其周期. (1)y=|cosx|；(2)y=|tanx|.思路分析：显然y=|cosx|，y=|tanx|的图象分别是把y=cosx ，y=tanx 的图象在x 轴下半平面的部分沿x轴翻折上去而得到的.解：(1)y=|cosx|的图象如图1-6-3所示.图1-6-3从图中可以看出该函数是以π为周期的函数.(2)y=|tanx|的图象如图1-6-4所示.图1-6-4从图中可以看出该函数是以π为周期的函数.例4试画出下列函数的图象并观察其周期.(1)y=sin|x|；(2)y=tan|x|.思路分析：显然这两个函数都是偶函数，其图象应关于y轴对称.根据绝对值的意义可知x≥0的部分应是y=sinx，y=tanx右半平面的部分.解：(1)y=sin|x|的图象如图1-6-5所示.图1-6-5从图中可以看出y=sin|x|不再是周期函数.(2)y=tan|x|的图象如图1-6-6所示.图1-6-6从图中可以看出y=tan|x|的图象也不再是周期函数.方法归纳(1)一般地，对于函数y=f(|x|)而言，若它的定义域是关于原点对称的，则它是偶函数，它的图象必关于y轴对称，因为当x≥0时，|x|=x，所以函数y=f(|x|)的图象在y 轴右半平面的部分(包括同y轴的交点)是函数y=f(x)在x≥0时的部分，左半平面的部分应是右半平面的部分沿y轴翻折而得到的.(2)函数y=|Asin(ωx+φ)|的图象是保留y=Asin(ωx+φ)的上半平面部分，而把下半平面的部分沿x轴翻折上去而得到的.对于y=|Acos(ωx+φ)|、y=|tan(ωx+φ)|的图象也是如此.函数y=|sin(ωx+φ)|的周期变为ωπ，而y=|tan(ωx+φ)|的周期仍是ωπ. 知识点三 建立数学模型解决实际问题例5 某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位：小时)的函数，下面是时间与水深的数据：图1-6-7根据上述数据描出的曲线如图1-6-7所示，经拟合，该曲线可近似看成正弦函数y=Asin ωt+b 的图象.(1)试根据以上数据，求出y=Asin ωt+b 的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天(24小时)安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)？思路分析：观察问题所给的数据，可以看出，水深的变化具有周期性，可依据给出的数据与图象确定函数解析式中的参数A,ω,b 的值. 解：(1)由表中数据可知b=2713+=10，A=3. 由T=ωπ2=12,得ω=6π. 所以y=3sin6πt+10. (2)由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y 应大于等于7+4.5=11.5米.令y=3sin6πt+10≥11.5，可得sin 6πt≥21.∴2k π+6π≤6πt≤2k π+65π,k∈Z .∴12k+1≤t≤12k+5,k∈Z .取k=0，则1≤t≤5，取k=1，则13≤t≤17；而取k=2，则25≤t≤29(不合题意).∴在凌晨1点至5点和下午13点至17点，该船能够安全进港.船舶要在一天之内在港内停留时间最长，就应在凌晨1点进港，而下午的17点前离港，在港内停留的时间最长不能超过16小时.例6 如图1-6-8，某大风车的半径为2 m ，每12 s 旋转一周，它的最低点O 离地面0.5 m.风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m).图1-6-8(1)求函数h=f(t)的关系式； (2)画出函数h=f(t)的图象. 思路分析：本小题主要考查三角函数的图象和性质及恒等变换知识，以及由数到形的转化思想和作图技能；考查运算能力和解决实际问题的能力.解：(1)如图1-6-9，以O 为原点，过点O 的切线为x 轴，建立直角坐标系.图1-6-9设点A 的坐标为(x,y)，则h=y+0.5. 设∠OO 1A=θ，则cos θ=22y -,y=-2cos θ+2.又θ=122π×t 即t 6πθ=, 所以y=-2cos6πt+2,h=f(t)=-2cos 6πt+2.5. (2)函数h=f(t)=-2cos 6πt+2.5的图象如图1-6-10.图1-6-10问题•探究 方案设计探究问题 根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界期和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日，临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置).请根据自己的出生日期，绘制自己的情绪和智力曲线.探究思路：从生日前一天起，连续一个月记录自己每天在情绪、体力、智力方面的表现，之后绘制自己的情绪和智力曲线.并比较生日相同的同学所绘制的情绪和智力曲线是否相同，通过实际操作，研究情绪和智力曲线对每个同学的指导是否有效.探究结论：根据实际情况得出结论，总结在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力. 材料信息探究在月球万有引力的作用下，就地球的海面上的每一点而言，海水会随着地球本身的自转，大约在一天里经历两次上涨、两次降落.一般地，海水白天的上涨叫做“潮”，晚上的上涨叫做“汐”.由于潮汐与港口的水深有密切的关系，任何一个港口的工作人员对此都十分重视，以便合理地加以利用.一般地，船涨潮时驶入航道，靠近码头，卸货后，在落潮时回到海洋.某港口工作人员在2006年8月1日从0时至24时记录的时间t(小时)与水深d(米)的关系如下：问题 你能不能选用一个函数来近似地描述这个港口水深与时间的函数关系？探究过程：观察上表中所给的数据，可以看出，水深的变化具有周期性.根据表中的数据作出图象，从图象可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用一个类似于正弦函数的函数来刻画，此函数可记为y=Asin(ωx+φ)+k(A ＞0,ω＞0,φ∈［0,π］). 由上表可知，函数的最大值为7.5，最小值为2.5，周期为12.则有⎩⎨⎧=-=+,5.2,5.7A k k A 则A=25，k=5，12=ωπ2,即ω=6π. 由上表还可得点(3，7.5)在函数的图象上，则有7.5=25sin(6π×3+φ)+5，即sin(2π+φ)=1，再由φ∈［0,π］得φ=0. 由上可得函数的解析式为y=x 6sin 255π+,x∈［0,24］.探究结论：上表中时间与水深的函数解析式可以近似地用函数y=x 6sin 255π+,x∈［0,24］来描述.思想方法探究问题 怎样求方程sinx=10x解的个数？ 探究过程：根据我们所学的知识，还不能解出这个方程.这时不妨采用数形结合的方法，把求方程根的个数的问题转化为求函数y=sinx 与y=10x的交点个数的问题.此外，解题时还应注意两个函数的奇偶性及图象的特性.具体方法是：作出当x≥0时，y=sinx 与y=10x的图象，由图可知它们有4个交点(包括原点).又因为y=sinx 与y=10x都是奇函数，它的图象关于原点对称，所以，当x ＜0时，两图象有3个交点.所以，函数y=sinx 与y=10x共有7个交点，即方程sinx=10x有7个根.探究结论：sinx=10x是一个超越方程，用代数的方法是无法求解的.对超越方程,我们可以利用数形结合的方法求其近似解和其解的个数.具体方法是：首先将方程化为f(x)=g(x)的形式，其中f(x)、g(x)的图象可以画出.然后画出函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们交点的横坐标为方程的解，而交点的个数为方程解的个数.。

高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

6三角函数模型的简单应用一、教材分析本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力二、教学目标1、通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法;2、根据解析式作出图象并研究性质;3、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．4。

让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。

三、教学重点难点重点：精确模型的应用——由图象求解析式，由解析式研究图象及性质难点:分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型,并调动相关学科的知识来解决问题．由图象求解析式时 的确定。

四、学法分析本节课是在学习了三角函数的性质和图象的基础上来学习三角函数模型的简单应用，学生已经了解了数学建摸的基本思想和方法,应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。

20１7-２０18学年高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用学案（含解析）新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（２017-2０18学年高中数学第一章三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用学案（含解析)新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1．6 三角函数模型的简单应用［导入新知]1．三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型,再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为:审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题.这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数,再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式.2．三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据,作出相应的“散点图”,通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．[化解疑难]三角函数模型应用流程(１)审题：确定选用什么样的函数模型解题.（2)建模:根据题意，列出数量关系,建立三角函数模型.(3)解模:运用三角函数的相关公式进行化简．（4）还原：解模后还要根据实际问题的背景,进行检验,并作答.函数解析式与图象对应问题［例１］函数y=x＋ｓin|x|,ｘ∈[-π，π]的大致图象是( )[答案］ C[类题通法]解决函数图象与解析式对应问题的策略(1)解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决,如函数的奇偶性、周期性、图象的对称性、单调性、值域,此外零点也可以作为判断的依据.(２)利用图象确定函数y＝A sｉｎ（ωx+φ）的解析式，实质就是确定其中的参数A,ω，φ。