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4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式目标定位 1.了解空间直角坐标系的概念，理解三维空间的点可以用三个量来表示.2.通过所有棱分别与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.3.会用空间两点间的距离公式，求两点间的距离，比较线段的长度.自 主 预 习1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O －xyz .②相关概念：点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. (2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 2.空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z ).其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标. 3.空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P (x ，y ，z )到坐标原点O 的距离|OP |(2)在空间中，P 1(x 1，y 1，z 1)与P 2(x 2，y 2，z 2)的距离|P 1P 2|4.空间中的中点坐标公式在空间直角坐标系中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22. 即 时 自 测1.判断题(1)在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是(0，b ，0).(×) (2)在空间直角坐标系中，在yOz 平面上点的坐标一定可写成(0，b ，c ).(√)(3)在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记为(0，0，c).(√)(4)在空间直角坐标系中点P(a，b，c)，关于坐标原点的对称点为P′(－a，－b，－c).(√)提示(1)由定义可知，在Ox轴上的点(x，y，z)，有y＝z＝0，所以点的坐标可记为(a，0，0).2.点(2，0，3)在空间直角坐标系中的( )A.y轴上B.xOy平面上C.xOz平面上D.第一象限内解析点(2，0，3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上.答案 C3.点A在z轴上，它到点(22，5，1)的距离是13，则A点的坐标是( )A.(0，0，－1)B.(0，1，1)C.(0，0，1)D.(0，0，13)解析设A(0，0，c)，则（22）2＋（5）2＋（1－c）2＝13，解得c＝1，所以点A 的坐标为(0，0，1).答案 C4.点P(－3，2，－1)关于平面xOy的对称点是________，关于平面yOz的对称点是________，关于x轴的对称点是________，关于y轴的对称点是________.答案(－3，2，1) (3，2，－1) (－3，－2，1) (3，2，1)类型一 求空间中点的坐标【例1】 建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标. 解 以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为y 轴，以射线OA 所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图.由题意知，AO ＝32×2＝3，从而可知各顶点的坐标分别为A (3，0，0)，B (0，1，0)，C (0，－1，0)，A 1(3，0，3)，B 1(0，1，3)， C 1(0，－1，3).规律方法 (1)题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； ②充分利用几何图形的对称性.(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 【训练1】 画一个正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，以A 为坐标原点，以棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系. (1)求各顶点的坐标； (2)求棱C 1C 中点的坐标； (3)求面AA 1B 1B 对角线交点的坐标.解 建立空间直角坐标系如图所示，且正方体的棱长为1.(1)各顶点坐标分别是A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，C 1(1，1，1)，D 1(0，1，1).(2)棱CC 1的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12. (3)面AA 1B 1B 对角线交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.类型二求空间中对称点的坐标【例2】在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4).(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标.解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4).(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4).(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12).规律方法任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是P1(－x，－y，－z)；关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，－y，－z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(－x，y，－z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(－x，－y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，－z)；关于yOz平面对称的点是P6(－x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，－y，z).求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆.【训练2】求点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标.解如图所示，过点A作AM⊥坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AM＝CM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1，2，1).过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB，则点A与B关于x轴对称且点B(1，－2，1).∴点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1，2，1)；点A(1，2，－1)关于x轴对称的点为B(1，－2，1).(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出)类型三空间中两点间的距离(互动探究)【例3】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离. [思路探究]探究点一 解决空间中的距离问题基本思路是什么？提示 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键.探究点二 空间的中点坐标公式是什么？提示 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.解 如图所示，分别以AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.由题意可知C (3，3，0)，D (0，3，0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2， ∴C 1(3，3，2)，D 1(0，3，2)，∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1.M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1，1，2).由两点间距离公式，得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋（3－1）2＋（1－2）2＝212. 规律方法 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标.确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定. 【训练3】 已知△ABC 的三个顶点A (1，5，2)，B (2，3，4)，C (3，1，5). (1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度. 解 (1)由空间两点间距离公式得|AB |＝（1－2）2＋（5－3）2＋（2－4）2＝3， |BC |＝（2－3）2＋（3－1）2＋（4－5）2＝6，|AC |＝（1－3）2＋（5－1）2＋（2－5）2＝29， ∴△ABC 中最短边是BC ，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，72. ∴AC 边上中线的长度为（2－2）2＋（3－3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722＝12.[课堂小结]1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x ，y ，z )，培养立体思维，增强空间想象力.2.学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.3.在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用，突出化空间为平面的解题思想.1.在空间直角坐标系中，点P (3，4，5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A.关于x 轴对称B.关于xOy 平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对解析 点P (3，4，5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称. 答案 A2.已知点A (x ，1，2)和点B (2，3，4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A.－3或4 B.6或2 C.3或－4D.6或－2解析 由题意得（x －2）2＋（1－3）2＋（2－4）2＝26解得x ＝－2或x ＝6. 答案 D3.已知A (3，2，－4)，B (5，－2，2)，则线段AB 中点的坐标为________. 解析 设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4，0，－1). 答案 (4，0，－1)4.已知两点P (1，0，1)与Q (4，3，－1). (1)求P 、Q 之间的距离；(2)求z轴上的一点M，使|MP|＝|MQ|.解(1)|PQ|＝（1－4）2＋（0－3）2＋（1＋1）2＝22.(2)设M(0，0，z)由|MP|＝|MQ|，得12＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(z＋1)2，∴z＝－6.∴M(0，0，－6).基 础 过 关1.空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于z 轴对称D.关于原点对称解析 由A ，B 两点的坐标可知关于y 轴对称. 答案 B2.在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4，7，6)，则点M 关于y 轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为( ) A.(4，0，6) B.(－4，7，－6) C.(－4，0，－6)D.(－4，7，0)解析 点M 关于y 轴的对称点是M ′(－4，7，－6)，点M ′在坐标平面xOz 上的射影是(－4，0，－6). 答案 C3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，A 1C 的中点E 到AB 的中点F 的距离为( )A.2aB.22a C.aD.12a 解析 由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a2，0，A 1(a ，0，a )，C (0，a ，0)，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，则|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 22＝22a . 答案 B4.在空间直角坐标系中，点A (1，0，1)与点B (2，1，－1)间的距离为________. 解析 |AB |＝（2－1）2＋（1－0）2＋（－1－1）2＝ 6. 答案65.已知三角形的三个顶点A (2，－1，4)，B (3，2，－6)，C (5，0，2).则(1)过A 点的中线长为________； (2)过B 点的中线长为________； (3)过C 点的中线长为________.解析 设BC 的中点为D ，则D (4，1，－2)，可得|AD |＝（4－2）2＋[1－（－1）]2＋（－2－4）2＝211； 设AC 的中点为E ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－12，3，可得|BE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－722＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋（－6－3）2＝5214；设AB 的中点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，12，－1，可得|CE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋[2－（－1）]2＝1262.答案 2115214 6226.如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝4，|AD |＝3，|AA 1|＝5，N 为棱CC 1的中点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.(1)求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1的坐标； (2)求点N 的坐标. 解 (1)显然D (0，0，0)，因为点A 在x 轴的正半轴上，且|AD |＝3，所以A (3，0，0).同理，可得C (0，4，0)，D 1(0，0，5). 因为点B 在坐标平面xOy 内，BC ⊥CD ，BA ⊥AD ， 所以B (3，4，0).同理，可得A 1(3，0，5)，C 1(0，4，5)，与B 的坐标相比，点B 1的坐标中只有竖坐标不同，|BB 1|＝|AA 1|＝5，则B 1(3，4，5).(2)由(1)知C (0，4，0)，C 1(0，4，5)，则C 1C 的中点N 为⎝⎛⎭⎪⎫0＋02，4＋42，0＋52，即N ⎝⎛⎭⎪⎫0，4，52. 7.如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度.解 以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图 所示的空间直角坐标系.∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，C 1(0，0，2)，B 1(0，2，2)， 由中点坐标公式可得，D (1，1，0)，E (0，1，2)，F (1，0，0)，∴|DE |＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5， |EF |＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.能 力 提 升8.△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )A. 2B.2C. 3D.3解析 BC 的中点坐标为M (1，1，0)，又A (0，0，1)， ∴|AM |＝（1－0）2＋（1－0）2＋（0－1）2＝ 3. 答案 C9.在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( ) A.62B. 3C.32D.63解析 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴x 2＋y 2＋z 2＝62. 答案 A10.已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)(a ∈R )则|AB |的最小值是________. 解析 |AB |2＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2＝5a 2＋10a ＋59＝5(a ＋1)2＋54.∴a ＝－1时，|AB |2的最小值为54.∴|AB |min ＝54＝3 6.答案 3 611.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求B 1E 的长.解 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.则D (0，0，0)，B 1(2，4，2)，A (2，0，0)，C (0，4，0)，设点E 的坐标为(x ，y ，0)，在坐标平面xOy 内，直线AC 的方程为x 2＋y 4＝1， 即2x ＋y －4＝0，又DE ⊥AC ，直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4＝0，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45，0. ∴|B 1E |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45－42＋（0－2）2＝6105， 即B 1E 的长为6105. 探 究 创 新12.已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)，求：(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小.解 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，BE ⊂平面ABEF ，∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB 、BC 、BE 两两垂直.过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，连接NG ，易证NG ⊥AB .∵CM ＝BN ＝a ，∴CH ＝MH ＝BG ＝GN ＝22a ， ∴以B 为原点，以BA 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0. ∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1 ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12(0<a <2). (2)∵|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222＋12，故当a ＝22时，|MN |min ＝22. 这时M 、N 恰好为AC ，BF 的中点.。
空间两点间的距离公式一．教材分析本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。
距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。
二．教学目标【知识与能力目标】理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。
【过程与方法目标】通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。
【情感态度价值观目标】培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。
三．教学重难点【教学重点】空间两点间的距离公式和它的简单应用。
【教学难点】空间两点间的距离公式的推导。
四．教学过程（一）导入部分我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是（）（），同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？（二）研探新知，建构概念1、电子白板投影出上面实例。
2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
（1）长方体的对角线及其长的计算公式①连接长方体两个顶点A ，C ′的线段AC ′称为长方体的对角线。
(如图)②如果长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，那么对角线长 .注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。
(②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。
（2）两点间的距离公式空间两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)间的距离（ ） （ ） （ ）注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。
4.3.2空间两点间的距离公式三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.教学过程导入新课距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC 上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．思维导引：①你能通过解三角形去求解吗？计算是否太繁杂？②不用解三角形，你能通过建立空间直角坐标系去解决吗？③如何建系最方便？正方体的特征为我们建系带来怎样的方便？规范解答：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a ，a ）． 因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分点，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得||MN =．变式训练：在空间直角坐标系中，已知A （3，0，1）和B （1，0，－3），试问在y 轴上是否存在点M ，满足||||MA MB =？规范解答：假设在在y 轴上存在点M ，满足||||MA MB =．因Ｍ在y 轴上，可设M （0，y ，0），由||||MA MB =，可得=， 显然，此式对任意y R ∈恒成立．这就是说y 轴上所有点都满足关系||||MA MB =． 课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.。
4.3.2 空间两点间的距离公式
一览众山小
三维目标
1.熟练掌握空间两点的距离公式，会用距离公式解决有关问题.
2.通过探究空间两点的距离公式，灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法.培养类比、迁移和化归的能力.
3.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，感受并得出空间两点间的距离公式.充分体会数形结合的思想，培养积极参与、大胆探索的精神.
学法指导
空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式问题的拓展，因此在学习本节知识之前，应先复习相关知识.如：数轴上和坐标平面内及空间中点的位置的确定和坐标表示；平面中两点间的距离公式的内容等.学习中要注意类比思想的应用.。
