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人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 菱形课时2菱形的判定教案【教学目标】知识与技能目标1．理解并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和计算.2．了解菱形的现实应用和常用判别条件．过程与方法目标1．从菱形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,进一步理解互逆命题的意义,体会菱形的性质与判定的区别与联系.2．让学生经历探索菱形判定定理的过程,理解并掌握菱形的判定方法,积累几何学习的经验,培养学生的观察能力、动手能力,发展合情推理和演绎推理能力.情感、态度与价值观目标1．让学生在探究过程中加深对菱形的理解,养成主动探索的学习习惯.2．通过菱形与矩形判定方法的类比,进一步体会类比的思想方法的作用. 【教学重点】菱形的定义和判定定理的运用．【教学难点】探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．【教学过程设计】一、情境导入我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线互相垂直平分；2．四条边都相等；3．每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？二、合作探究知识点一：菱形的判定【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形例 1如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.求证：四边形BCFE是菱形．解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．【类型二】利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形例 2如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：(1)AC⊥BD；(2)四边形ABCD是菱形．解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD 即可；(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形．证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵AE∥BF，∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA ＝CB.∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD 是菱形．方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．【类型三】 利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形例 3 如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：①分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点；②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF .(1)求证：△AED ≌△CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．解析：(1)由作图知PQ 为线段AC 的垂直平分线，从而得到AE ＝CE ，AD ＝CD .然后根据CF ∥AB 得到∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，利用“AAS ”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE ＝CF .然后根据EF 为线段AC 的垂直平分线，得到EC ＝EA ，FC ＝F A .从而得到EC ＝EA ＝FC ＝F A ，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF 为菱形．证明：(1)由作图知PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD .∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED .在△AED 与△CFD 中，⎩⎨⎧∠EAC ＝∠FCA ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD (AAS)；(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF .∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝F A ，∴EC ＝EA ＝FC ＝F A ，∴四边形AECF 为菱形．方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．知识点二：菱形的判定的应用【类型一】 菱形判定中的开放性问题例 4如图，平行四边形ABCD 中，AF 、CE 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是__________(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)．解析：∵AD ∥BC ，∴∠F AD ＝∠AFB .∵AF 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF ＝∠F AD ，∴∠BAF ＝∠AFB ，∴AB ＝BF .同理ED ＝CD .∵AD ＝BC ，AB ＝CD ，∴AE ＝CF .又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是AC ⊥EF .方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【类型二】 菱形的性质和判定的综合应用例 5 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF .(1)求证：∠BAC ＝∠DAC ，∠AFD ＝∠CFE ；(2)若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使得∠EFD ＝∠BCD ，并说明理由． 解析：(1)首先利用“SSS ”证明△ABC ≌△ADC ，可得∠BAC ＝∠DAC .再证明△ABF ≌△ADF ，可得∠AFD ＝∠AFB ，进而得到∠AFD ＝∠CFE ；(2)首先证明∠CAD ＝∠ACD ，再根据“等角对等边”，可得AD ＝CD .再由条件AB ＝AD ，CB ＝CD ，可得AB ＝CB ＝CD ＝AD ，可得四边形ABCD 是菱形；(3)首先证明△BCF ≌△DCF ，可得∠CBF ＝∠CDF ，再根据BE ⊥CD 可得∠BEC ＝∠DEF ＝90°，进而得到∠EFD ＝∠BCD .(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS)，∴∠BAC ＝∠DAC .在△ABF 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF (SAS)，∴∠AFD ＝∠AFB .∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFD ＝∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD .又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD .∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形；(3)解：当EB ⊥CD 于E 时，∠EFD ＝∠BCD .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF .在△BCF 和△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF ，CF ＝CF ， ∴△BCF ≌△DCF (SAS)，∴∠CBF ＝∠CDF .∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠DEF ＝90°，则∠BCD ＋∠CBF ＝∠EFD ＋∠CDF ＝90°， ∴∠EFD ＝∠BCD .方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．三、教学小结本节课你有哪些收获?学生归纳小结菱形的判定方法:(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.(2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形四、学习检测1.下列说法正确的是( )A.对角线相等的平行四边形是菱形B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.有一个角是直角的平行四边形是菱形解析:根据菱形的定义与判定定理直接辨别各选项正确与否.由菱形的定义,可知一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,因此,选项B正确.故选B.2.已知平行四边形ABCD,下列条件:①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.其中能使平行四边形ABCD是菱形的有( )A.①③B.②③C.③④D.①②③解析:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,一组邻边相等的平行四边形是菱形,因此①③都可以判定平行四边形ABCD是菱形.故选A.3.用直尺和圆规作一个菱形,如图,能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )A.一组邻边相等的四边形是菱形B.四条边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形解析:根据菱形的判定定理(四条边相等的四边形是菱形)即可判定,由题中图的作法可知AD=AB=DC=BC,∴四边形ABCD是菱形.故选B.4.一个平行四边形的一条边长是3,两条对角线的长分别是4和2,这是一个特殊的平行四边形吗?为什么?求出它的面积解析:先根据题意画出相应的图形,如图.根据平行四边形的对角线互相平分,可求出OB及OA的长,由勾股定理的逆定理可得∠BOA为直角,进而得AC⊥BD.根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得平行四边形ABCD为菱形.根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得菱形ABCD的面积.解:这是一个菱形.理由如下:如图,▱ABCD中,AC=4,BD=2,AB=3,∴OA=AC=2,OB=BD=.∵OA2+OB2=22+()2=9,而AB2=32=9,∴OA2+OB2=AB2.∴△AOB是直角三角形,∠AOB=90°.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).S菱形ABCD=AC·BD=×4×2=4.【板书设计】18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形课时1 矩形的性质1．菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形．2．菱形的性质和判定的综合运用3．学习检测【教学反思】在本节数学课的教学中，在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用．人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形课时1矩形的性质学案【学习目标】1．理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；2．会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题；3．掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用．【学习重点】理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用．【学习难点】会会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算．【自主学习】一、知识回顾1．菱形的定义是什么？性质有哪些？2．根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法是什么？用数学语言如何表示？有一组邻边_____的______________是菱形.数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形二、自主探究知识点1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形想一想前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？猜想：对角线互相_________的平行四边形是菱形.证一证已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,AC ⊥BD.求证：□ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴OA____OC.又∵AC⊥BD,∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA______BC.∴四边形ABCD是________.要点归纳：菱形的判定定理：对角线互相_______的____________是菱形.几何语言描述：∵在□ABCD中，AC⊥BD,∴□ABCD是菱形.【典例探究】例1如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．【跟踪练习】在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC=90°B．AC⊥BDC．AB=CDD．AB∥CD知识点2：四条边相等的四边形是菱形活动1已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？AC的长为半径作弧,小刚：分别以A、C为圆心,以大于12两条弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.想一想根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？猜想：四条边__________的四边形是菱形.证一证已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵AB=BC=CD=AD;∴AB=CD , BC=AD.∴四边形ABCD是___________.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是__________.要点归纳：菱形的判定定理：四条边都______的四边形是菱形.几何语言描述：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴四边形 ABCD是________.【典例探究】例2如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E,F分别在AB,AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形.例3 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．方法总结:四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．例4如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH 是菱形.【跟踪练习】1.如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？2.如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？3.如上图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？4.在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？探究点3：菱形的性质与判定的综合运用【典例探究】例4如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．方法总结:判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．【跟踪练习】如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.三、知识梳理内容菱形的判定定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形.运用定理进行计算和证明四、学习过程中我产生的疑惑【学习检测】1.判断下列说法是否正确(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为24cm和26cm，那么平行四边形的面积是_____________.3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BCC．∠B=60°D．∠ACB=60°4.下列图形中,不一定为菱形的是()A.四条边相等的四边形B.用两个能完全重合的等边三角形拼成的四边形C.一组邻边相等的平行四边形D.有一个角为60度的平行四边形D(解析:根据菱形的判定定理作答即可.)3.如图所示,△ABC中,E,F,D分别是AB,AC,BC上的点,且DE∥AC,DF∥AB.要使AEDF是一个菱形,在不改变图形的前提下,你需添加的一个条件是.AE=AF(解析:(答案不唯一)添加AE=AF或DE=DF或AD是∠BAC的平分线或AE=ED,AF=FD等都可以.)4.木工师傅在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你能说出其中的道理吗?解:四条边相等的四边形是菱形.5.已知菱形的周长为24,一条对角线长为8,求菱形的面积.解:由题意知菱形的边长为6,故另一条对角线长为4,故菱形的面积为×8×4=16.4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.求证：四边形O CED是菱形.6.如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD 于点G.求证四边形ACGF是菱形.证明:∵AF∥CD,FG∥AC,∴四边形ACGF为平行四边形,∵CE是△ABC外角∠ACD的平分线,∴∠ACF=∠FCG,∵AF∥CG,∴∠AFC=∠FCG,∴∠ACF=∠AFC,∴AF=AC,∴▱ACGF为菱形.5. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE ∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.8.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE,AF分别是∠ABC,∠DAC的平分线,BE和AD交于G,试说明四边形AGFE的形状.解:四边形AGFE是菱形.理由如下:由∠BAC=90°,AD⊥BC,易得∠BAD=∠C,∵∠AGE=∠ABG+∠BAG,∠AEB=∠EBD+∠C,又∵∠ABG=∠EBC,∴∠AGE=∠AEG.∴AE=AG.由AF是∠DAC的平分线,易知AF⊥GE且AF平分GE.同理可得BE⊥AF且BE平分AF.∴AF与GE垂直且互相平分,从而可知四边形AGFE是菱形.6.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．9.如图(1),在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=DC,∠ACB=∠DCE=90°,AB与CE交于F,ED与AB,BC分别交于M,H.(1)求证CF=CH;(2)如图(2),△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形,并证明你的结论.(1)证明:∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形,且AC=CE=CB=CD,∴∠A=∠D=45°.∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB-∠ECB=∠DCE-∠ECH,即∠ACF=∠DCH,在△AFC 和△DHC 中, ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,DCH ACF DC AC D A ∴△AFC ≌△DHC (ASA),∴CF =CH. (2)解:菱形,证明如下:∵∠BCE =45°,∴∠ACF =∠BCE =∠DCH =45°,即∠ACD =135°, 又∠A =∠D =45°,∴在四边形ACDM 中,∠AMD =360°-∠ACD ∠A －∠D =135°, ∴∠ACD =∠AMD ,∴四边形ACDM 是平行四边形.又AC =CD ,∴四边形ACDM 是菱形.。
18.2.2 菱形第2课时菱形的判定01基础题知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形．如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．图11．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是(C)A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD2．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C.又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∵AE＝CF，∴BE＝DF，BE∥DF.∴四边形DEBF是平行四边形．∵DF＝BF，∴四边形DEBF是菱形．知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形．如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．3．(2018·遂宁)如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD// BC.∵DE＝BF，∴AD－DE＝BC－BF.∴AE＝FC.∵AE∥FC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．知识点3四条边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形．如图1，在四边形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形．4．顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是(C)A．矩形B．平行四边形C．菱形D．任意四边形5．(2017·宁夏)如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．证明：∵AB∥DM，∴∠BAM＝∠AMD.∵△ADC是由△ABC翻折得到，∴∠MAB＝∠MAD，AB＝AD，BM＝DM.∴∠DAM＝∠AMD.∴AD＝DM.∴DA＝DM＝AB＝BM.∴四边形ABMD是菱形．易错点对菱形的判定方法掌握不透导致出错6．下列命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的是①③⑤．(填序号)02 中档题7．如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C ，D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是(B )A ．矩形B ．菱形C ．平行四边形D ．无法表示第7题图 第8题图8．如图，剪两张对边平行且宽度相等的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是菱形．9．如图，在▱ABCD 中，O 为AC 的中点，过点O 作EF⊥AC 与边AD ，BC 分别相交于点E ，F ，求证：四边形AECF 是菱形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC∥AD. ∴AE∥CF. ∴∠OAE ＝∠OCF.∵点O 是AC 的中点，∴OA ＝OC. 在△AOE 和△COF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AOE ＝∠COF，OA ＝OC ，∠OAE ＝∠OCF， ∴△AOE≌△COF (ASA )． ∴AE ＝CF. 又∵AE∥CF，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵EF 与AC 垂直， ∴四边形AECF 是菱形．10． 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点D ，E 分别是BC ，AB 的中点，连接DE 并延长至点F ，使EF ＝2DE ，连接CE ，AF.(1)求证：AF ＝CE ；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF 的形状并说明理由．解：(1)证明：∵点D ，E 分别是边BC ，AB 的中点， ∴DE∥AC，AC ＝2DE. ∵EF ＝2DE ， ∴EF∥AC，EF ＝AC.∴四边形ACEF 是平行四边形． ∴AF ＝CE.(2)当∠B ＝30 °时，四边形ACEF 是菱形． 理由如下：∵∠ACB ＝90 °，∠B ＝30 °， ∴∠BAC ＝60 °.在Rt△ACB 中，E 为AB 的中点， ∴AC ＝12AB ＝AE.∴△AEC 是等边三角形． ∴AC ＝CE.又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．03综合题11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE 的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AF＝DC；(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE＝ED.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE.∴△AFE≌△DBE(AAS)．∴AF＝DB.∵AD是BC边上的中线，∴DB＝DC.∴AF＝DC.11 (2)四边形ADCF 是菱形．证明：由(1)知，AF ＝DC ，∵AF∥DC，∴四边形ADCF 是平行四边形． 又∵AB⊥AC，∴△ABC 是直角三角形．∵AD 是BC 边上的中线，∴AD ＝12BC ＝DC. ∴四边形ADCF 是菱形．。
边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第1课时菱形的性质练习 （全国通用版）18.2.2 菱形第1课时 菱形的性质01 基础题 知识点1 菱形的性质(1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．图1 图2(2)菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．如图2，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝DO ＝12BD ，AC 平分∠BAD和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC ．边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第1课时菱形的性质练习（全国通用版）1．(xx·十堰)菱形不具备的性质是(B)A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长为(C) A．1 B. 3 C．2 D．23第2题图第3题图3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法错误的是(B)A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC4．(xx·孝感)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝24，则菱形ABCD的周长为(A)A．52 B．48 C．40 D．20边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第1课时菱形的性质练习（全国通用版）第4题图第5题图5．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，且AE＝DE，则∠EBF的度数是(B)A．75° B．60° C．50° D．45°6．如图是根据四边形的不稳定性制作的边长为15 cm的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，则∠1＝120__°．知识点2菱形的面积(1)菱形的面积等于底乘以高．(2)菱形的面积等于两对角线乘积的一半．边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第1课时菱形的性质练习 （全国通用版）如图，S 菱形ABCD ＝BC ·AE ＝12AC ·BD ．7．(xx·遵义期中改编)菱形ABCD 的对角线分别为18 cm 与12 cm ，则此菱形的面积为108__cm 2．8．(教材P 56例3变式)如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，且∠ACD ＝30°，BD ＝4，求菱形ABCD 的面积．解：∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝4，∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ＝2，AC⊥BD.∵在Rt△OCD 中，∠ACD ＝30 °， ∴CD ＝2OD ＝4，OC ＝CD 2－OD 2＝42－22＝2 3.∴AC ＝2OC ＝4 3.∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝12×43×4＝8 3.边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第1课时菱形的性质练习（全国通用版）易错点点的位置不确定导致漏解9．(xx·哈尔滨改编)四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上．若OE＝3，则CE的长为43或23．02中档题10．如图，已知菱形的两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的高DE的长为(B) A．2.4 cm B．4.8 cmC．5 cm D．9.6 cm第10题图第11题图11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于(A)A．3.5 B．4C．7 D．1412．(xx·)如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第1课时菱形的性质练习（全国通用版）则点C的坐标是(－5，4)．第12题图第13题图13．如图，菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，DE⊥BC于点E，连接OE.若∠ABC＝140°，则∠OED＝20__°．14．已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，则菱形的面积为4．15．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥CF，且分别交对角线BD于点E，F.(1)求证：△AEB≌△CFD；(2)连接AF，CE，若∠AFE＝∠CFE，求证：四边形AFCE是菱形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC.∴∠ABD＝∠CDB.∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFE.边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第1课时菱形的性质练习 （全国通用版）在△AEB 和△CFD 中，⎩⎨⎧∠AEF ＝∠CFE，∠ABD ＝∠CDB，AB ＝CD ，∴△AEB≌△CFD (AAS )． (2)∵△AEB≌△CFD，∴AE ＝CF.∵AE∥CF，∴四边形AFCE 是平行四边形． ∵∠AFE ＝∠CFE，∠AEF ＝∠CFE， ∴∠AFE ＝∠AEF. ∴AF ＝AE.∴四边形AFCE 是菱形．16． 如图，在▱ABCD 中，BC ＝2AB ＝4，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ＝CD ，BC ＝AD ，∠ABC ＝∠CDA.边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第1课时菱形的性质练习 （全国通用版）又∵BE ＝EC ＝12BC ，AF ＝DF ＝12AD ，∴B E ＝DF.∴△ABE≌△CDF (SAS )． (2)∵四边形AECF 为菱形， ∴AE ＝EC.又∵点E 是边BC 的中点， ∴BE ＝EC ，即BE ＝AE. 又∵BC ＝2AB ＝4， ∴AB ＝12BC ＝BE ＝2.∴AB ＝BE ＝AE ，即△ABE 为等边三角形．过点A 作AH⊥BC 于点H ，则在Rt△ABH 中，∠BAH ＝30 °，∴BH ＝12AB ＝1.∴AH ＝AB 2－BH 2＝22－12＝ 3.∴S 菱形AECF ＝EC·A H ＝2 3.边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第1课时菱形的性质练习（全国通用版）03综合题17．如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1＝60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，作第二个菱形AB2C2D2，使∠B2＝60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边，作第三个菱形AB3C3D3，使∠B3＝60°；…；依此类推，这样作的第n个菱形AB n C n D n的边AD n的长是(32)n－1．【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】。
特别的平行四边形- 菱形同步练习一、选择题1、菱形拥有而矩形不必定拥有的性质是（）A．中心对称图形 B ．对角相等C．对边平行 D ．对角线相互垂直2、如图，在菱形ABCD中，两对角线AC， BD交于点 O，，当是以PD为底的等腰三角形时，CP的长为（）、 2、、、A B C D3、已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4： 3，则这个菱形的面积是（）A． 12cm2 B ． 24cm2 C ． 48cm2 D ． 96cm24、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 BD订交于点O，若 AB＝ 2，∠ ABC＝ 60 °，则 BD的长为 ()A． 2 B ． 3 C.D． 25、如图，在△ABC中，点 D、 E、 F 分别是边 AB、AC、 BC的中点，要判断四边形DBFE是菱形，以下所增添条件不正确的是（）A． AB=AC B ． AB=BC C． BE均分∠ ABC D ． EF=CF6、如图，将△ABC沿 BC方向平移获得△DCE，连结 AD，以下条件中可以判断四边形ACED为菱形的条件是()A.AB＝ BCB.AC ＝ BCC. ∠ B＝ 60°D. ∠ ACB＝ 60°7、求证：菱形的两条对角线相互垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC， BD交于点O．求证： AC⊥ BD．以下是排乱的证明过程：①又 BO=DO；②∴ AO⊥ BD，即 AC⊥ BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴ AB=AD．证明步骤正确的次序是（）A．③→②→①→④ B ．③→④→①→② C ．①→②→④→③D．①→④→③→②8、如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点 A 恰巧落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则 EF 的长为（）A． 2 B ．2 C ． D ． 49、如图，在菱形ABCD中，点 E 是 BC边的中点，动点M在 CD边上运动，以EM为折痕将△ CEM折叠获得△PEM，联接PA，若 AB=4，∠ BAD=60°，则 PA的最小值是（）A．B． 2 C ． 2﹣2 D ． 410、已知，如图，△ ABC是等边三角形，四边形 BDEF是菱形，此中线段 DF的长与 DB 相等，将菱形 BDEF绕点 B 按顺时针方向旋转，甲、乙两位同学发此刻此旋转过程中，有以下结论．甲：线段AF与线段CD的长度总相等；乙：直线AF和直线CD所夹的锐角的度数不变；那么，你以为（）A．甲、乙都对B．乙对甲不对 C ．甲对乙不对D．甲、乙都不对11、如图，在给定的一张平行四边形纸片上做一个菱形，甲、乙两人的作法以下：甲：连结AC，做 AC的垂直均分线MN分别交 AD，AC， BC于 M， O， N，连结 AN， CM，则四边形ANCM是菱形 .乙：分别作∠A，∠ B 的均分线AE， BF，分别交 BC， AD 于 E， F，连结 EF，则四边形 ABEF是菱形 .依据两人的作法可判断()A. 甲正确，乙错误B. 乙正确，甲错误C. 甲、乙均正确D. 甲、乙均错误12、如图，菱形ABCD的对角线订交于点O，过点 D作 DE∥ AC，且 DE=AC，连结 CE、OE，连结 AE，交 OD于点 F．若AB=2，∠ ABC=60°，则 AE的长为（）A．B． C ．D．二、填空题13、菱形的两条对角线长为6cm， 8cm，则这个菱形的高为．14、□中，AC、BD交于点O，给出以下条件：①AC⊥ BD；② AC=BD；③ AC均分∠ BAD；④ AB=AD；⑤ AB⊥ AD．能推出□是菱形的条件是（只需写出一个即可）．15、如图，菱形ABCD的边长为2，∠ ABC＝ 45°，则点D的坐标为。
18.2.2 第2课时菱形的判定【基础练习】知识点 1 一组邻边相等的平行四边形是菱形1.如图1,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件,仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()图1A.AD=CDB.AB=ADC.AC=BDD.∠BAC=∠BCA2.利用图2所给的图形证明:一个顶点到它所对的两边距离相等的平行四边形是菱形.(写出已知、求证,并加以证明)已知:求证:证明:图2知识点 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.下列条件中,能够判定一个四边形是菱形的是()A.对角线互相垂直平分B.对角线互相平分且相等C.对角线相等且互相垂直D.对角线互相垂直4.如图3,在平行四边形ABCD中,添加一个条件,使平行四边形ABCD是菱形.图35.如图4,在▱ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,AC⊥EF.求证:四边形AECF是菱形.图4知识点 3 四条边相等的四边形是菱形6.如图5,已知在△ABC中,AB=AC,将△ABC沿边BC翻折,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是()图5A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.四条边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形7.如图6,AC=8,分别以点A,C为圆心,以5为半径作弧,两弧分别相交于点B,D.依次连接点A,B,C,D,连接BD交AC于点O.(1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由;(2)求BD的长.图6【能力提升】8.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,如图7所示的作法中错误的是()图79.[2019·吉林]图8①②均为4×4的正方形网格,每个小正方形的边长均相等,顶点称为格点.在图①中已画出线段AB,在图②中已画出线段CD,其中A,B,C,D均为格点,按下列要求画图:(1)在图①中,以AB为对角线画一个菱形AEBF,且E,F为格点;(2)在图②中,以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH,且G,H为格点,∠CGD=∠CHD=90°.图810.如图9,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,分别交AB,DC于点E,F,连接AF,CE.(1)若OE=,求EF的长;(2)判新四边形AECF的形状,并说明理由.图911.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于点E.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由.12.如图,将一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:第一步:先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;第二步:再折叠一次,使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA',EA',展开,如图①;第三步:再沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F,展开,如图②.求证:(1)∠ABE=30°;(2)四边形BFB'E为菱形.答案1.C2.解:已知:在▱ABCD中,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,DE=DF.求证:▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEA=∠DFC=90°.又∵DE=DF,∴△DAE≌△DCF,∴DA=DC,∴▱ABCD是菱形.3.A4.答案不唯一,如AB=BC或AC⊥BD等5.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.∵DE=BF,∴AD-DE=BC-BF,即AE=CF.又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.又∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形.6.B7.解:(1)四边形ABCD为菱形.理由:由作法得AB=AD=CB=CD=5,∴四边形ABCD为菱形.(2)∵四边形ABCD为菱形,∴OA=OC=4,OB=OD,AC⊥BD.在Rt△AOB中,OB==3,∴BD=2OB=6.8.C9.解:(1)如图①,菱形AEBF即为所求(答案不唯一).(2)如图②,四边形CGDH即为所求(答案不唯一).10.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,AB∥DC,∴∠OAE=∠OCF.∵EF⊥AC,∴∠AOE=∠COF=90°.在△AEO和△CFO中,∴△AEO≌△CFO,∴OE=OF.又OE=,∴OE=OF=,∴EF=OE+OF=3.(2)四边形AECF是菱形.理由如下:由(1)知OE=OF.又∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形.∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.11.解:(1)证明:∵AB∥CD,CE∥AD,∴四边形AECD是平行四边形.∵AC平分∠BAD,∴∠CAE=∠CAD.又∵AD∥CE,∴∠ACE=∠CAD,∴∠ACE=∠CAE,∴AE=CE,∴四边形AECD是菱形.(2)△ABC是直角三角形.理由如下:∵E是AB的中点,∴AE=BE.又∵AE=CE,∴BE=CE,∴∠B=∠BCE.∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°,∴2∠BCE+2∠ACE=180°,∴∠BCE+∠ACE=90°,即∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形.12.证明:(1)∵第二步折叠使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,∴∠AEB=∠A'EB.∵第三步折叠点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F, ∴∠A'EB=∠FEB'.∵∠AEB+∠A'EB+∠FEB'=180°,∴∠AEB=∠A'EB=∠FEB'=60°,∴∠ABE=30°.(2)∵沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,∴BE=B'E,BF=B'F.∵AD∥BC,∴∠BFE=∠FEB'=60°,∴△BEF是等边三角形,∴BE=BF,∴BE=B'E=B'F=BF,∴四边形BFB'E为菱形.。
第十八章 平行四边形
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,做成一个可.那么转动木条,这个平行四.
AC 与BD 相交于点O,AC ⊥BD.
互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则
）
的四边形是菱形.
AB=BC=CD=AD，
________.
AE=AC,EF = ED.
沿射线BC方向平移10cm，
得到△DEF ，A ，B ，C 的对应点分别是D ，E ，F ，连接AD.求证：四边形ACFD 是菱形．
方法总结:四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
例4 如图，顺次连接矩形ABCD 各边中点，得到四边形EFGH ，求证：四边形EFGH 是菱形.
是什么四边形？
3.如上图，若四边形ABCD 是菱形，顺次连接菱形ABCD 各边中点，得到四边形EFGH 是什么
于点E，连接EF．。
18.2.2 菱形第2课时 菱形的判定练习11、能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O, AB=5, AO=2, OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？3、 如图，AD 是△ABC 的角平分线。
DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F.四边形AEDF 是菱形吗？说明你的理由。
4、如图，□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 分别交于E 、F ，四边形AFCE 是否是菱形？为什么？5、已知DE ∥AC 、DF ∥AB ，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF 为菱形的是（ ） A. AD 平分∠BACB. AB ＝AC ＝且BD ＝CDC. AD 为中线D. EF ⊥AD6、 如右图，已知四边形ABCD 为菱形，AE ＝CF. 求证：四边形BEDFF DECBAEO BCF DA 为菱形。
7、已知ABCD 为平行四边形纸片，要想用它剪成一个菱形。
小刚说只要过BD 中点作BD 的垂线交AD 、BC 于E 、F ，沿BE 、DF 剪去两个角，所得的四边形BFDE 为菱形。
你认为小刚的方法对吗？为什么？8、如右上图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD 是菱形吗？为什么？9、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，点M 、N 分别在BD 、AC 上，且AO ＝ON ＝NC ，BM ＝MO ＝OD. 求证：BC ＝2 DN.F EC DBADACF H E B10、如图，已知四边形ABCD 为矩形，AD ＝20㎝、AB ＝10㎝。
M 点从D 到A ，P 点从B 到C ，两点的速度都为2㎝/s ；N 点从A 到B ，Q 点从C 到D ，两点的速度都为1㎝/s 。
第十八章 平行四边形
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,做成一个可.那么转动木条,这个平行四.
AC 与BD 相交于点O,AC ⊥BD.
互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则
）
的四边形是菱形.
AB=BC=CD=AD，
________.
AE=AC,EF = ED.
沿射线BC方向平移10cm，
得到△DEF ，A ，B ，C 的对应点分别是D ，E ，F ，连接AD.求证：四边形ACFD 是菱形．
方法总结:四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
例4 如图，顺次连接矩形ABCD 各边中点，得到四边形EFGH ，求证：四边形EFGH 是菱形.
是什么四边形？
3.如上图，若四边形ABCD 是菱形，顺次连接菱形ABCD 各边中点，得到四边形EFGH 是什么
于点E，连接EF．。
