四川新高考考前三个月数学理二轮专题复习4.2数列求和及综合应用(含答案详析)

回扣专项练2函数与导数1.函数.Ax) = ln(?+2)的图象大致是( )答案D解析 由A-x)=/(x)可得函数/(X )为偶函数，又 ln(?+2)^ln2,故选 D.2. 奇函数/(x)的定义域为R.若/(x+2)为偶函数，且/(1)=1,则,/(8)+/(9)等于()A. -2B. 一 1C. 0答案D解析 因为/(X )为R 上的奇函数，所以X-x)=-Ax), .A0) = 0.因为Ax+2)为偶函数，所以 /(x+2)=/(—x+2),所以./(x+4)=/(—x) = —心)，所以几丫+8)=心)，即函数.沧)的周期为8, 故 /(8)+/(9)=/(0)+/(1)=1.3. 已知./(x)是定义在R 上的奇函数，若对于兀20,都有/(x+2)=/(x),且当xe[0,2)时，/(x) =e A -l,则./(2015)+.兀一2016)等于( )A. 1 —eB. e — 1C. — 1 —eD ・ e+ 1 答案B解析 由・沧+2)=心)知・/(x)是周期为2的周期函数，・・・/(2015)=/(l)=e —1,又；心)为奇函 数， :.f(—2016) = -/(2016) = -/(0) = - (c° —1) = 0./.X2015)+y (-2016)=e-1.- 1 14. 已知0 = 33』=100丄亍疋=1002亍则()A. a>b>cB ・ b>c>a C. c>b>aD. b>a>c答案A解析•・1=3*>1, /)=logH=log 32,则 0<b< 1, c —log 2|<0, /.a>b>c. D. 15. 设函数F(x)=/(x)+/(—x), xWR,且［一兀，一号是函数F(x)的一个单调递增区间.将函 数F(Q 的图象向右平移兀个单位，得到一个新的函数G(x)的图象，则G(x)的一个单调递减 区间是() A .— 71, T T ■B. 71匚C. ■兀 T 兀 D . 「3 兀 o 1 2 , 2TI答案D解析 J F(x)=.心)+./(—X ), xeR,・•・ F(~x)=/(~x) +/(x)=F(x),・・・ F(x)为偶函数,7, 7i 为函数F (兀)的一个单调递减区间.将F(x)的图象向右平移兀个单位，得到一个新的 函数G(x)的图象，则G(x)的一个单调递减区间是「乎，2K6. 函数.心)的定义域为儿若当x lf x 2^A 且./01)=沧2)时，总有X1=X2,则称./(X )为单函数•例 如：函数./(x)=2x+l(xWR)是单函数.给出下列结论：① 函数,Ax)=x 2(xeR)是单函数；②指数函数/(x) = 2v (xeR)是单函数；③若./(X )为单函数， X1，且X1HX2，则沧1)壬/&2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中正确结论的个数是()A. 3B ・ 2C. ID. 0<0,则实数a 的取值范围是 ______________答案(_8, -爭］7T TT<0知，函数/(X )在区间才，J 上是减函数.又f (x) = a + sinx,所以f (x)W0在区间甘，号上恒成立，即 泾一sinx 在区间［春 打上恒成立.当养舄时，芈答案A解析 由单函数的定义可知，函数值相同则自变量也必须相同.依题意可得①不正确，②正 确，③正确，④正确.7. 若偶函数的图象关于直线x=2对称，./(3) = 3,则./(一1)= _______________ .答案3解析 因为/(X )的图象关于直线x=2对称，所以/x)=/(4-x), _/(-x)=A44-x),又几一x)= ./«,所以/(x)=/(4+x),则/(—1)=/(4—1)=/(3)=3.8. 已知函数fix)=ax —cosx, xW * 扌 TI 71 71 TI ，若血压乡，V/弓，算兀丙2,3如 4’ 3 4，33x —m 9 xW2, 9.已知加HO,函数/(x)=r 宀 若/(2—加)=/(2+〃小则实数7//的值为 _________—x~2m 9 x>2, 解析 若 /77>0,则./(2—加)=3(2—m)—w = 6—4/77,代2+〃?) = — (2 + 加)一2加=—2 — 3加，.*.6—4〃? = — 2 — 3m ，解得〃? = &若 m<0,则./(2 — m)=8 —(2—m)—2/n = —2—/(2 + 加)=3(2 + 加)一加= 6+2〃?，一2—加= 6+2加，解得 m=—亍 10.己知函数./(x)=在［］,+oo)上为减函数，则实数G 的取值范圉为 ____________________ 答案［e, +°°)px-(lnt/ + liiY ) 1_(［敗+皿)解析f (对= -------- ?------ =丿,因为.心)在［1, +T 上为减函数，故f ⑴WO •A在［1, +°°)上恒成立，即 \na^}—\nx 在［1, +®)上恒成立.设 °(x)=l —Inx, ^(x)nwx = 1， 故 lnaMl, Q 2C .11.已知函数^x)=ax L ~2ax+2 + b(a^)在区间［2,3］上有最大值5,最小值2.(1) 求°, b 的值；(2) 若XI, g(x)=J(x)-2m x 在［2,4］上单调，求加的取值范围. 解(\)f(x)=a(x-})2+2 + b~a. ①当a>0时，金)在［2,3］上为增函数,9a —6a+2+b = 5, 4a —4a+2 + b=2 ② 当a<0时,冗0在［2,3］上为减函数,故 Q =1 或 a= — \, b = 0 或 h = 3.(2)X1, :.a=\, b=0,即 Ax) =X 2-2x4-2, g(x) =x 2 — 2x+2 — 2m x=x 2—(2 + 2m)x~\~2. —sinxW — 即一si 眦的最小值为一爭，所以QW —爭.故严"认2) = 2 故］ 1A3) = 2, 1/(2) = 5 9a — 6a+2+b=2, 4Q —4a+2+b = 5a= — \y b=3.所以一爭w h = 0.2 + 2m2‘" + 2若g(兀)在［2,4］上单调，则二或二一24, .・.2"W2 或2"'$6,即/nWl或加21og26.故加的取值范围是(一oo, l]U[10g 26, +8).12.己知函数,/(x)=(^2+x-l)e\其中e 是自然对数的底数，a^R⑴若°=1,求曲线刃刃在点(1,人1))处的切线方程；⑵若a<0,求./(x)的单调区间； m 的取值范围.解(1)・・・.心)=(,+*-1疋，:・f (x) = (2x+ 1 )e r+(x 2+x~\ )c v =(x 2+3x)c A . ・・・曲线./(x)在点(1, /(l))处的切线斜率为(l)=4e. 又所求切线方程为j —e=4e(x —1), 即 4ex —y —3e=0.(2)/v (x)=(2ax+ \)e+(ax 2+x~ 1妙=破 + (2° + 1)加.①若一y<t7<0,当兀<0 或 x>—~~~时，/' (x)<0.ex・・./(x)的单调递减区间为(一8, 0), (―2。

第二讲数列求和及数列的综合应用掌握核心,赢在课堂1.若数列{a n}是公差为2的等差数列,则数列{}是( )A.公比为4的等比数列B.公比为2的等比数列C.公比为的等比数列D.公比为的等比数列解析:∵a n=a1+2(n-1),∴=22=4.∴{}是等比数列,公比为4.答案:A2.已知在数列{a n}中,a1=-60,a n+1=a n+3,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|等于( )A.445B.765C.1080D.3105解析:∵a n+1=a n+3,∴a n+1-a n=3.∴{a n}是以-60为首项,3为公差的等差数列.∴a n=a1+3(n-1)=3n-63.令a n≤0,得n≤21.∴前20项都为负值.∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+a21+…+a30=-2S20+S30.∵S n=n=×n,∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=765.答案:B3.设数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则的值为( )A. B. C. D.解析:∵S n=2n-1,∴.答案:A4.设某商品一次性付款的金额为a元,以分期付款的形式等额地分成n次付清,若每期利率r保持不变,按复利计算,则每期期末所付款是( )A.(1+r)n元B.元C.(1+r)n-1元D.元解析:设每期期末所付款是x元,则各次付款的本利和为x(1+r)n-1+x(1+r)n-2+x(1+r)n-3+…+x(1+r)+x=a(1+r)n,即x·=a(1+r)n,故x=.答案:B5.(2014黑龙江大庆第二次质检,10)已知数列{a n}满足a n+1=a n-a n-1(n≥2),a1=1,a2=3,记S n=a1+a2+…+a n,则下列结论正确的是( )A.a2014=-1,S2014=2B.a2014=-3,S2014=5C.a2014=-3,S2014=2D.a2014=-1,S2014=5解析:由已知数列{a n}满足a n+1=a n-a n-1(n≥2),知a n+2=a n+1-a n,a n+2=-a n-1(n≥2),a n+3=-a n,a n+6=a n,又a1=1,a2=3,a3=2,a4=-1,a5=-3,a6=-2,所以当k∈N时,a k+1+a k+2+a k+3+a k+4+a k+5+a k+6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,a2014=a4=-1,S2014=a1+a2+a3+a4=1+3+2+(-1)=5.答案:D6.数列{a n}的通项公式a n=n cos,其前n项和为S n,则S2012等于( )A.1006B.2012C.503D.0解析:∵函数y=cos的周期T==4,∴可分四组求和:a1+a5+…+a2009=0,a2+a6+…+a2010=-2-6-…-2010==-503×1006,a3+a7+…+a2011=0,a4+a8+…+a2012=4+8+…+2012==503×1008.故S2012=0-503×1006+0+503×1008=503×(-1006+1008)=1006.答案:A7.(2014河南郑州第二次质检,12)已知正项数列{a n}的前n项和为S n,若2S n=a n+(n∈N*),则S2014=( )A.2 014+B.2 014-C.2 014D.解析:由题意可知,当n≥2时,当n≥2时,a n=S n-S n-1,则2S n=a n+=S n-S n-1+,整理得-=1,即数列{}是公差为1的等差数列.又由2S1=2a1=a1+,解得a1=1(a n>0),即S1=1,=1,因此=n.故S2 014=.答案:D8.(2014河北唐山高三统考,16)若数列{a n}的前n项和为S n,且a1=3,a n=2S n-1+3n(n≥2),则该数列的通项公式为a n= .解析:∵a n=2S n-1+3n,∴a n-1=2S n-2+3n-1(n≥3),相减得a n-a n-1=2a n-1+2×3n-1,即a n=3a n-1+2×3n-1.∴=+(n≥3).又a2=2S1+32=2a1+32=15,=,+=,即=+,∴数列是以1为首项,为公差的等差数列,∴=1+(n-1)×.∴a n=(2n+1)3n-1.答案:(2n+1)3n-19.(2014贵州六校第一次联考,16)已知f(x)=,各项均为正数的数列{a n}满足a1=1,a n+2=f(a n),若a12=a14,则a13+a2 014= .解析:由f(x)=,a1=1,a n+2=f(a n)可得a3==,a5==,同理可推得a7=,a9=,a11=,a13=,由a12=a14,得=,a10=a12,依次推出a2=a4=a6=…=a2 014,由a4=f(a2),得a2=,+a2-1=0,a2=.故a13+a2 014=+.答案:+10.在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.解:(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,故d=-1或d=4.当d=-1时,a n=-n+11;当d=4时,a n=4n+6.所以d=-1,a n=-n+11,n∈N*或d=4,a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n.因为d<0,由(1)得d=-1,a n=-n+11.则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=-n2+n.当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=11.(2014河南郑州第二次质检,17)已知正项数列{a n},若对于任意正整数p,q均有a p·a q=2p+q成立.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.解:(1)由已知,令p=q=n可得a n·a n=22n,因为a n>0,所以a n=2n.(2)b n=na n=n×2n,S n=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)2n-1+n×2n,①2S n=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)2n+n×2n+1,②由①-②,得-S n=1×21+22+23+…+2n-n×2n+1,即-S n=-n×2n+1,整理可得S n=(n-1)2n+1+2.12.已知向量p=(a n,2n),向量q=(2n+1,-a n+1),n∈N*,向量p与q垂直,且a1=1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=log2a n+1,求数列{a n·b n}的前n项和S n.解:(1)∵向量p与q垂直,∴2n+1a n-2n a n+1=0,即2n a n+1=2n+1a n.∴=2.∴{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列.∴a n=2n-1.(2)∵b n=log2a n+1,∴b n=n.∴a n·b n=n·2n-1.∴S n=1+2·2+3·22+4·23+…+n·2n-1.①∴2S n=1·2+2·22+3·23+4·24+…+n·2n.②①-②,得-S n=1+2+22+23+24+…+2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)2n-1.∴S n=1+(n-1)2n.13.设正项数列{a n}的前n项和是S n,若{a n}和{}都是等差数列,且公差相等.(1)求{a n}的通项公式;(2)若a1,a2,a5恰为等比数列{b n}的前三项,记数列c n=,数列{c n}的前n项和为T n.求证:对任意n∈N*,都有T n<2.(1)解:设{a n}的公差为d,则==·n,且a1-=0.∵d=,∴d=,a1==,a n=.(2)证明:∵b1=a1=,b2=a2=,b3=a5=,∴b n=×3n-1.∴c n=.当n≥2时,<==-,∴当n≥2时,T n=++…+<+++…+=2-<2,且T1=<2.故对任意n∈N*,都有T n<2.。

12＋ 4 综合练 (五 )一、选择题1． 把复数 z 的共轭复数记作z ， i 为虚数单位．若 z ＝ 1＋ i ，则 (1＋ z) ·z 等于()A ． 3－ iB ．3＋ iC ． 1＋ 3iD ． 3答案 A分析(1＋ z) ·z ＝ (2＋ i) (1·－ i) ＝ 3－ i.x 2 3y 2 22． 设会合 A ＝ { x| 4 ＋＝1}，B ＝ { y|y ＝ x } ，则 A ∩ B 等于4A ． [－ 2,2]B ．[0,2]C ． [0，＋∞ )D ． {( － 1,1)，(1,1)}答案 B表示椭圆 x2＋ 3y 2分析会合 A ＝ 1 上点的横坐标的取值范围，明显由4 42≤ x ≤2，故 A ＝ [－ 2,2] ；会合 B 表示函数 y ＝ x 2 的值域，由 y ＝ x 2≥0，可知 B ＝ [0，＋ ∞) ．如下图，在座标轴上分别表示出会合A ， B ，( )2x≤ 1，解得－4由图，可知 A ∩ B ＝[0,2] ，应选 B.3． 已知二次函数f(x)＝ ax 2 ＋bx ，则“ f(2) ≥0”是“函数 f(x)在 (1，＋∞ ) 单一递加”的 ()A ．充要条件B ．充足不用要条件C ．必需不充足条件D ．既不充足也不用要条件答案 C分析函数 f(x)在 (1，＋ ∞ )单一递加，则 a>0，x ＝－ b≤ 1，所以 b ≥ － 2a.这与 f(2)≥ 02a等价．而 f(2) ≥ 0，不可以确立函数 f (x)在 (1，＋ ∞ )单一递加．4． 若数列 { a n } 知足： a 1＝ 19， a n ＋ 1＝a n －3(n ∈ N *)，而数列 { a n } 的前 n 项和数值最大时， n的值为()A ． 6B ．7C ．8D ． 9答案B分析∵ a n ＋ 1－ a n ＝－ 3，∴ 数列 { a n } 是以 19 为首项，－ 3 为公差的等差数列，∴ a n ＝ 19＋ (n － 1)× (－ 3)＝ 22－3n.设前 k 项和最大，则有a k ≥ 0 ，a k ＋ 1≤ 022－ 3k ≥ 0， ∴19≤ k ≤22，∴22－ 3 k ＋ 1 ≤ 0，33∵ k ∈N * ， ∴k ＝ 7.故知足条件的n 的值为 7.5． 定义在 R 上的奇函数 f(x)知足： x ≤ 0时， f(x)＝a x＋ b(a>0 且 a ≠ 1)， f(1)＝ 1，则 f(2) 等2于33()A. 4 B ．－ 4C ．3D ．－ 3答案 A分析由于 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以有 f(0) ＝ a 0＋ b ＝ 0，解得 b ＝－ 1，－ x－ b ，所以 f(1) ＝－ 1 1 x ≥ 0 时， f(x)＝－ aa －b ＝ ，2解得 a ＝ 2.所以 f(2) ＝－ a －2 3－ b ＝ .46． 如图是依据全国人口普查数据获得的我国人口的年纪频次散布直方图：据此可知在一个总人口数为350 万的城市中，年纪在[40,60) 之间的人大概有()A ． 35.5 万B ．77 万C ．105 万D ． 132 万答案B分析由频次散布直方图知年纪在 [40,60) 之间的频次为0.011× 20＝ 0.22，所以年纪在[40,60) 之间的人大概有 350× 0.22＝ 77(万 )．7． 已知函数 f(x)的图象如下图，f ′ (x)是 f(x)的导函数，则以下数值排序正确的选项是 ()A ． 0<f ′ (2)< f ′(3)< f(3)－ f(2)B ． 0< f ′ (3)< f(3)－ f(2)< f ′ (2)C ． 0< f ′ (3)< f ′ (2)< f(3)－ f(2)D ． 0<f(3) － f(2)< f ′ (3)< f ′(2)答案B分析由函数的图象，可知函数f( x)是单一递加的，所以函数图象上随意一点处的导函数值都大于零， 而且由图象可知， 函数图象在 x ＝ 2 处的切线斜率 k 1 大于在 x ＝ 3 处的切线斜率 k 2，所以 f ′ (2)> f ′ (3)．记 A(2， f(2)) 、 B(3， f(3)) ，作直线 AB ，则直线 AB 的斜率 k ＝f 3 － f 2＝f(3)－ f(2) ，由函数图象， 可知 k 1>k>k 2>0 ，即 f ′(2)> f(3)－ f(2)> f ′(3)>0. 3－ 2应选 B.8． 已知平面 α， β，直线 l ，若 α⊥ β，α∩ β＝ l ，则()A ．垂直于平面 β的平面必定平行于平面 αB ．垂直于直线 l 的直线必定垂直于平面 αC ．垂直于平面 β的平面必定平行直线 lD ．垂直于直线 l 的平面必定与平面 α， β都垂直 答案 D分析关于 A ，垂直于平面 β的平面与平面 α平行或订交，故 A 错；关于 B ，垂直于直线 l 的直线与平面 α垂直或斜交，故 B 错；关于 C ，垂直于平面 β的平面与直线 l 平行或订交，故 C 错；易知 D 正确．1＋2的最小值为()9． 已知 a>0， b>0，且 a ＋ b ＝ 1，则 a b A ． 4 2 B ．3＋ 2 2C ．2＋2 2D ．3 2答案B分析∵ a>0，b>0，且 a ＋ b ＝ 1，∴ 1＋2＝ 1＋ 2 ( a ＋ b)＝ 1＋ 2＋b ＋ 2aa b a ba bb 2a≥3＋2· ＝3＋22.a ba ＋b ＝ 1，a ＝ 2－ 11＋2的最小值为当且仅当即3＋ 2 2.b ＝ 时， 2a ， b ＝ 2－ 2a ba b10．履行下边的程序框图，假如输入a ＝ 4，那么输出的 n 的值为 ()A ． 2B ．3C ．4D ． 5答案B分析当 a ＝ 4 时，第一次P ＝ 0＋ 40＝ 1，Q ＝3，n ＝ 1，第二次 P ＝ 1＋ 41＝ 5，Q ＝7，n＝ 2，第三次 P ＝ 5＋ 42 ＝ 21， Q ＝ 15， n ＝ 3，此时 P ≤ Q 不建立，输出 n ＝ 3.11．茎叶图记录甲、乙两人在5 次体能综合测评中的成绩 (成绩为两位整数 )，现乙还有一次不小于 90 分的成绩未记录，则甲的均匀成绩超出乙的均匀成绩的概率为()2 7 4 1 A. 5 B.10C.5D.2答案 C分析由题意，得基本领件总数为10，知足要求的 8个，所以所求概率为8＝4，应选10 5C.2212．已知 F 1、F 2 分别是椭圆 x＋ y＝ 1 的左、右焦点， A 是椭圆上一动点，圆C 与 F 1A 的延43长线、 F 1F 2 的延伸线以及线段 AF 2 相切，若 M(t,0)为一个切点，则()A ． t ＝2B ．t>2C ． t<2D ． t 与 2 的大小关系不确立答案 A分析如图， P 、 Q 分别是圆 C 与 F 1A 的延伸线、线段 AF 2相切的切点，则 |MF 2 |＝ |F 2Q|＝ 4－ (|F 1A|＋ |AQ|)＝ 4－ |F 1P|＝4－ |F 1M |，即 |F 1M|＋ |MF 2|＝4，所以 t ＝ 2.选 A.二、填空题π5π π π－ cos 2xcos在－ ，上的单一递加区间为 ________．13．函数 f(x)＝ sin 2xsin 66 2 25π π 5π π － 5π π 5π π答案－ ， － ， 12 或 ， 或 － ，12 12 (或 12 12 12 12 12 )分析依题意得， f(x) ＝ sin 2xsin π π － ππ＋ cos 2xcos ＝ cos(2x 6 )．当 2k π－ π≤ 2x － 65π 6 6≤ 2k π(k ∈ Z )，即 k π－ πf(x)≤ x ≤ k π＋ ，此中 k ∈ Z 时，函数 f( x)是增函数．所以函数 12 12π π 5π π 5π π5π π 5π π 在 －2， 2 上的单一递加区间是 － 12， 12 (或 － 12， 12 或 － 12，12 或 －12， 12 )．14．不等式 x ＋ |2x － 1|<3 的解集为 ________．答案x － 2<x<43分析 原不等式可化为2x － 1≥ 0， 或2x － 1<0，x ＋ 2x － 1 <3x － 2x － 1 <3.解得 1≤ x<4或－2<x<1. 232所以原不等式的解集是 x － 2<x<4.315．记 S k ＝1k ＋ 2k ＋ 3k ＋, ＋ n k ，当 k ＝ 1,2,3，, 时，察看以下等式：1 2 1S 1＝ n＋ n ，2 21 31 2 ＋ 1 n ，S 2＝ n ＋ n 63 2 14 1 3 ＋ 1 2 ，S 3＝ n ＋ n 4 n4 21 5 1 4 ＋ 1 3 － 1n ，S 4＝ n ＋ n 3 n5 2 30S 5＝ An 6＋1n 5＋ 5 n 4＋ Bn 2，212, ，能够推断 A －B ＝ ________.答案14分析依据所给的已知等式获得，各等式右侧各项的系数和为1；最高次项的系数为该1 1 ＋5 ＋ B ＝ 1，解得 B ＝－ 11项次数的倒数， ∴ A ＝ ， A ＋ 1212，所以 A － B ＝ .6 2 416．如图搁置的正方形 ABCD ， AB ＝ 1， A ， D 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴 (含原点 )上滑动，→ →则 OB ·OC 的最大值是 ________．答案 2分析→→π → → →依题意，设 OA ＝ (cos t,0)，OD ＝ (0，sin t)，此中 t ∈0， ，OB ＝ OA ＋ AB ＝ (cos2→ → → → →＝(cos t ＋ sin t)2＝1＋ sint ＋ sin t ， cos t)，OC ＝ OD ＋DC ＝ (sin t ， cos t ＋ sin t)，OB ·OC 2t ≤ → →2，所以 OB ·OC 的最大值为 2.。

12＋ 4 综合练 (三 )一、选择题1． 已知 A ＝ { x|x2－4x － 5＝ 0} ， B ＝ { x|x 2＝ 1} ，则 A ∩B 等于()A ． {1}B ．{1 ，－ 1,5}C ．{ －1}D ． {1 ，－ 1，－ 5}答案 C分析因为 A ＝ { x|x 2－ 4x －5＝ 0} ＝ { － 1,5} ； B ＝ {1 ，－ 1} ， A ∩B ＝ { － 1} ，应选 C.2． 已知复数 z 1＝ 1＋ i ， z 2＝ 1在复平面内对应的点分别为 P 1， P 2， O 为坐标原点，则向1＋ i→ → 量 OP 1， OP 2所成的角为()ππ ππA. 6B.4C.3D.2答案 D分析因为 z 2＝ 1 ＝1－i→→11 → →→ →，OP 1＝ (1,1)，OP 2＝，－2，因此 OP 1·OP2＝ 0，故 OP 1，OP 21＋i 22π的夹角为 2.3． 已知 f(x)＝3sin πx ， x ≤ 0， 2()则 f( )的值为f x － 1 ＋ 1， x>0，311A. 2B ．－ 2C ．1D ．－ 1答案B21π31分析f 3 ＝ f － 3 ＋ 1＝ 3sin(－ 3)＋ 1＝－ 2＋ 1＝－ 2.1 →→→ → →)4． 在△ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 AD ＝ 2DB ，CD ＝ CA ＋ λCB ，则 λ等于 (3 2 1 12A. 3B.3C ．－ 3D ．－ 3答案A分析 如图，过点 D 分别做 AC ，BC 的平行线， 分别交 BC ，AC 于点→ →F ，E ，∴CD ＝ CE→ ＋ CF ，→→→1→→2→→1→2→2∵ AD＝ 2DB ， ∴ CE ＝ 3CA ， CF ＝ 3CB ，CD ＝ 3CA ＋ 3CB ， ∴ λ＝ 3.1，并且三勤学生中女生占一5． 高二某班共有 60 名学生，此中女生有 20 名，三勤学生占 6半．此刻从该班同学中任选一名参加某一会谈会． 则在已知没有选上女生的条件下， 选上的是三勤学生的概率为()11 1 1 A. 6 B.12C.8D.10答案 C分析设事件 A 表示 “ 任选一名同学是男生 ” ；事件 B 为 “ 任取一名同学为三勤学 生 ” ，则所求概率为 P(B|A)．40 251依题意得 P(A) ＝ 60＝3， P( AB)＝60＝12.1P AB 12 1故 P(B|A)＝ P A ＝ 2＝8.36． 设 0<a<1 时，函数f( x) ＝log a (a 2x － 2a x － 2)，则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是()A ． (－∞， 0)B ．(0，＋∞ )C ． ( －∞， log a 3)D ． (log a 3，＋∞ )答案C分析∵ 0<a<1， ∴ a 2x －2a x － 2>1.∴ (a x －1)2 －3>1， ∴ |a x － 1|>2，∴ a x >3.∴ x<log a 3，∴ x ∈ (－ ∞ ， log a 3)．xπ π7． 函数 y ＝ sin 2x ， x ∈－ ， 0∪ 0，2 的图象可能是以下图象中的()2答案Dx π π分析由函数 y ＝ sin 2x ，x ∈ －2， 0 ∪ 0，2 是偶函数，清除A ；又由函数 y ＝ sin 2x ，ππ x 1 πy ＝ 2x ，x ∈ 0，2 的图象可知恒有 2x>sin 2 x ，x ∈ 0， 2 ，因此 y ＝ sin 2x >2，x ∈ 0，2 ，清除 B 和 C ，应选 D.8． 已知数列 { a n } 为等比数列， S n 是它的前 n 项和，若 a 2·a 3＝ 2a 1，且 a 4 与 2a 7 的等差中项为 5，则 S 5 等于4()A ． 35B ．33C ．31D ． 29答案 C分析设公比为 q(q ≠ 0)，则由 a 2·a 3＝ 2a 1 知 a 1q 3＝ 2，∴ a 4＝ 2.又 a 4＋ 2a 7 ＝5， ∴ a 7＝1.∴ a 1＝ 16， q ＝1.242a 1 1－ q 51 5∴ S 5＝ 161－2 ＝31.＝11－ q1－ 29． 履行如下图的程序框图，输出的 S 是 ()A ． 10B ．15C ．20D ． 35答案 D分析利用程序框图确立运行次数． 该程序框图运行5 次，各次的 S 分别是 1,4,10,20,35，因此输出的 S ＝35.10．设函数 f(x) ＝ 3sin θ3 ＋ cos θ20，5πx2 x ＋ 4x － 1，此中 θ∈ ，则导数 f ′ (－ 1)的取值范围36是()A ． [3,6]B ．[3,4 ＋ 3]C ．[4－ 3，6]D ．[4－ 3， 4＋ 3]答案 A分析f ′( x)＝3sin θ·x 2＋ cos θ·x ＋ 4，f ′ (1)＝ 3sin θ·(－ 1)2＋ cos θ·(－ 1)＋ 4π＝ 2sin θ－6 ＋ 4，∵ 0≤θ≤ 5π π π 2π，∴ － ≤ θ－ ≤ ，6 6 6 3∴ －1≤ sin θ－ π≤ 1， ∴ 3≤ f ′ (1) ≤ 6.2611．三个共面向量 a ，b ，c 两两所成的角相等， 且 |a |＝ 1，|b |＝ 2，|c |＝ 3，则 |a ＋ b ＋ c |等于 ()A. 3B ． 6C ． 3或6D ．3或 6答案C分析 此题考察向量求模长的问题．∵ 向量 a ， b ，c 两两所成的角相等，∴ 〈 a ， b 〉＝〈 b ， c 〉＝〈 c ， a 〉＝ 0°或 120°，又 |a ＋ b ＋ c |2＝ a 2＋ b 2＋ c 2＋ 2a ·b ＋ 2b ·c ＋ 2c ·a ＝ 12＋ 22＋ 32＋ 2× 1×2cos 0°＋ 2×2× 3cos0°＋ 2× 1× 3cos 0 ＝°36或＝ 12＋ 22＋ 32＋ 2× 1×2cos 120 ＋°2×2× 3cos 120 ＋°2× 1× 3cos 120 ＝°3，∴ |a ＋ b ＋ c |＝ 3或 6，选 C.12．某公司投入 100 万元购入一套设施，该设施每年的运行花费是0.5 万元，别的每年都要花销必定的保护费， 第一年的保护费为 2 万元，因为设施老化， 此后每年的保护费都比上一年增添 2 万元．为使该设施年均匀花费最低，该公司______年后需要更新设备． ( )A ． 10B ．11C ．13D ． 21答案 A分析由题意可知 x 年的保护花费为2＋ 4＋ ＋ 2x ＝ x(x ＋ 1)，因此 x 年均匀污水办理100＋ 0.5x ＋ x x ＋ 1100100100花费 y ＝x＝ x ＋ x ＋ 1.5，由基本不等式得 y ＝ x ＋ x ＋ 1.5≥ 2 x ·x＋ 1.5＝ 21.5，当且仅当 x ＝ 100，即 x ＝ 10 时取等号，因此选A.x二、填空题113．若命题 p ： ? x ∈R ，x － 2<0，则 綈 p ： ________.答案 存在 x 0∈ R ，使 1 x 0∈R ，使 x 0 ≥2)>0 或 x 0－ 2＝0( 也能够写为：存在x 0 － 2分析 含一个量词的命题的否认，第一否认其结论，而后再改变量词．2 2x 2 y 2(a>0， b>0) 的左焦点，点 E 是该双曲线的右极点，过点F 14．已知点 F 是双曲线 a － b ＝ 1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点，若△ ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 ________．答案 (1,2)分析由 AB ⊥ x 轴，可知 △ ABE 为等腰三角形，又 △ ABE 是锐角三角形，因此 ∠ AEB1 b 2为锐角，即 ∠ AEF ＝2∠ AEB<45°，则 |AF |<|EF|.由题意，可求得|AF |＝ a ， |EF |＝ a ＋ c ， 2b2 2 2 2因此 a <a ＋ c ，即 c － a <a ＋ ac ，即 e － e － 2<0，解得－ 1<e<2.又双曲线的离心率 e>1， 进而 1<e<2.15．已知 x>0，有以下不等式建立：1≥ 21 4 3x x 4x ＋ x ·＝ 2，x ＋2≥ 3··2＝ 3， ，axxx2 2 xx ＋ x n ≥ n ＋1，则 a ＝______. 答案 n n分析aa由题意可得 x ＋ n ＝＋ n ≥ (n ＋ 1)xxn＝ n ＋ 1，因此 a ＝ n .16．给出以下命题：①若平面 α内的直线 a 与平面 β内的直线 b 为异面直线，直线 c 是 αc 至多与a， b 中的一条订交；②若直线 a 与b 异面，直线 b 与c 异与β的交线，那么a， b 都平行．此中正确的面，则直线 a 与c 异面；③必定存在平面α同时和异面直线命题为 ________．答案③分析① 错，c 可与a， b 都订交；②错，因为a，c 也可能订交或平行；③ 正确，比如过异面直线a，b 的公垂线的中点且与公垂线垂直的平面即可知足条件.。

高考题型集训小题精练小题精练1一、选择题1.下列各组集合中表示同一集合的是()A.M={(3,2)}, N= {(2,3)}B.M= {2,3}, N={3,2}C.M= {(x, y)\x+y=\}t N= {y\x+y=\}D.M={2,3}, N= {(2,3)}答案B解析选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合.选项C中的集合M表示由直线x+y= 1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x+p= 1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N={y\x+y= 1} = R,故集合M与N 不是同一个集合.选项D中的集合M有两个元素，而集合N只含有一个元素，故集合M与N不是同一个集合.对选项B,由集合元素的无序性，可知M, N表示同一个集合.2.已知i为虚数单位，集合尸={ —1,1}, 0={i, F},若PG0={zi},则复数z等于()A. 1B. -1C. iD. -i答案C解析因为0={i, F},所以Q={\,—1}.又P={—1,1},所以PQ0={—1},所以zi = —1,所以z=i,故选C.3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.厲)心)BpWq)c.(7”/\(r) D. [Nq答案A解析 “至少有一位学员没有落在指定范围”=“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指 定范围” nUpjVLg).4. 己知函数Av)=2 + log 2x, xE[l,2],则函数丿=心)+几?)的值域为()A. [4,5]B. 4, *答案B解析 y =/(^)+/U 2)=2 +1 og 2x+2+1 Og 2x 2=4+引0g2X ，注意到为使得 y=/(x)+./(/)有意义, 必有1W/W2,得lWxW 迈，从而4WyW*答案C平面0的一个法向量为(2, -1,0),则平面a 和平面0的位置关系是() B.相交但不垂直D.重合答案C 解析由(1,2,0)X(2, -1,O)=1X2 + 2X(-1)+OXO = O,知两平面的法向量互相垂直，所以 两平面互相垂直.7.设a, b, c 是三条不同的直线，g 0是两个不同的平面，则d 丄b 的一个充分不必要条件 是()C. 4, 13_ 2D. [4,7] 5. 函数.心)=2卩。

一、选择题1.设i 为虚数单位，复数z=(l+i)2+2,则z 的共辘复数为(A. -2iD. 2+2i答案C解析z=(l+i)2+2 = 2i+2 = 2+2i,所以z 的共辄复数是2-2i.2.集合 M= {x\x=l+a\ G WN”}, P={x\x=a 2~4a+5, Q WN),则下列关系中正确的是()B. PCMD.且©PM 答案A解析 P={x*=l+(d —2)2,当a=2时，x=l,而M 中无元素1,尸比M 多一个元 素. 3. 在中，已知力(一1,0), C(1,O),且\BC\, \CA\,凶冈成等差数列，则顶点B 的轨迹方 程是()答案D解析 V|5C|, \CA\, \AB\成等差数列，・・・QC| + |&I|=2|C4|=4,・・点3的轨迹是以C 为焦 点，半焦距c=l,长轴长2d=4的椭圆.又3是三角形的顶点，A, B, C 三点不能共线，故2 2所求的轨迹方程为亍+牙=1,且pHO.x+尹 W3,4.己知实数x,尹满足不等式组\x+y^2f 若z=x-y,则z 的最大值为().x$0, )90.A. 3B. 4C. 5D. 6答案A x+jW3,解析作出不等式组\x+y^2t所对应的可行域，变形目标函数y=x-z,平移直线尹=兀x^O, y^O —z 可知，当直线经过点(3,0)时，z 取最大值，代值计算可得z=x —y 的最大值为3.小题精练2C. 2-2i C. M=P5.若P为曲线y=\nx±一动点，0为直线y=x+]±一动点，贝U|PQ罰等于（2解析如图所示，直线/与y=\nx相切且与y=x+1平行时，切点P 到直线y=x+l的距离0Q即为所求最小值.（lnx）' =£令2=1,得"I eAx=].2故P（1,O）.故尸0|罰=击=迈.6.若点P是函数>=c A-c-x—*0马）图彖上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为弘则a的最小值是（）答案B解析由导数的几何意义,k=y =孑+“^一3$2停戸一3 = — 1,当且仅当x=0时等号成立.即tanaM —1, aW[O,兀），又Vtan（z<0, ・・・a的最小值为才.7.如图所示，正六边形ABCDEF的两个顶点D为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是（A.^34~ 1B.V3-1D.迄答案A 解析令正六边形的边长为加，则有\AD\ = 2m, \AB\ = m, \BD\=y[im f该双曲线的离心率等于諾备=急卡+「 &如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）答案D 解析 由茎叶图可知评委打出的最低分为79,最高分为93,其余得分为84,84,86,84,87, 故平均分为 方差为 |[3X (84-85)2 + (86-85)2+(87-85)2] = 1.6.9. 给出下列五个命题：① 将/、B 、C 三种个体按3 ： 1 ： 2的比例分层抽样调查，如果抽取的/个体为9个，则样本 容量为30；② 一组数据123,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③ 甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,那么这两组数据中比较稳定的是甲；④ 已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为则x 每增加1个单位，尹 平均减少2个单位；⑤ 统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,则样本数据落在 [114.5,124.5)内的频率为 0.4.其中真命题为()A.①②④B.②④⑤C.②③④ D.③④⑤答案B 解析 ①样本容量为9#=18,①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为*1+2 + 3 + 3+4|[(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2]=|x (4+1 +4+9+4)=4.4, ：•胳＞盒 /.乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个， 4故所求概率为Y Q =0.4,⑤是真命题.10. 在圆x 2+y 2-2x-6y=0内，过点E(0,l)的最长弦和最短弦分别为/C 和购，则四边形 ABCD 的面积为()A. 5迄B. 10V2C. 15迈D. 20^2答案B解析 圆的标准方程为(x-l)2+(y-3)2=10,则圆心(1,3),半径r=VT0,由题意知/C 丄 且|/(?| = 2帧，|A. 84,4.84C. 85,4 79 84 4 6 4 7 93B. 84,1.6D. 85,1.6+ 5) = 3,中位数为3,众数为3,都相同，②是真命题；③x5 + 6+9+10+5血|=2勺10_5 = 2谄,所以四边形ABCD的面积为S=^\AC\ \BD\=^X2y[W X2V5=10A/2.二、填空题11 ・数列｛(-1 )"(2〃一1)｝的前2016 项和52()16= _ •答案2016解析S2O16=-1+3 — 5 + 7+…一(2X2015—1)+(2X2016—1)=? + 2十・..+ 2 =2016.I00&个2相加12. _______________________________________________________ 下图是一个程序框图，若输入x的值为一4,则输出y的值为_______________________________ .答案2解析当兀=一4 时，|一4|>3,则x=7；当x=7时，|7|>3,兀=4；当x=4 时，|4|>3, x=l；当x=l时，|1|>3不成立，则输出j/=2' = 2.13.如果满足ZMC=60。

解析可行域如图所示，可知 o (o,o )・由 x —y+l=09 ,x+y=0f 得A [~29 £•显然当目标函数f=x+ 2尹过点O 时取得最小值为0, 若函数/(x) = c=S ，则(仅有极小值故z=3*的最小值为 1.x+2y=0x+y=0 3. A. B.仅有极大值寸士 C.D.以上皆不正确小题精练10一、选择题1.设函数Xx)=]g(l-x 2),集合A ={x\y=f{x)}, B={y\y=f{x)}，则图中阴影部分表示的集合为A. [-1,0]c.(―®, -r )u[o ;i )D.(—8, -i]u (o,i ) 答案D解析 因为 A = {x\y=fix)} = {x\ 1 —x 2>0} = {x| —1<^<1},则 w=l —x 2e (0,l], 所以 B= {y\y=f{x)} = ,所以 /UB=(—8, 1), jn^=(—1,0],故图中阴影部分表示的集合为(一8, -l]U(0,l),故选D.x-y+120,2.若实数x, p 满足£+*0，则z=3g 的最小值是().兀 W0,A. OB. 1C.V3D. 9答案BB. (-1,0)答案B 有极小值0,极大值舌令f (x) = 0,得当时,/' (x)<0；当兀令时/ (x)>O,・・x=*时取极大值__1-五4.在实数集R中定义一种运算“*” ,对任意a, bWR,为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意Q UR, Q*O=Q； (2)对任意Q,方UR, a*b=ab+(a*O) + (b*O).则函数/(x)=e v A的最小值为()VA. 2B. 3C. 6D. 8答案B解析根据性质，.心)=产吉=l+e"+吉21+2 = 3,当且仅当宀占，.何=(眄*占的最小值为3,故答案为B.5.已知正方形的四个顶点分别为0(0,0),力(1,0), B(l,l), C(0,l)，点、D, E分别在线段OC,力3上运动，且\OD\ = \BE\,设/D与0E交于点G,则点G的轨迹方程是( )A. y=x(l —x) (OWxW 1)B. x=y(l —y) (OWyW 1)C. y=,(oWxWl)D. y=\-x2 (O^x^l)答案A 解析设D(0, A), E(l,l-2), 0W2W1,所以线段血)的方程为兀+夕=1(0冬兀W1),线段OEJx+*=l(OWxWl),的方程为y=(l—久)x (OWxWl),联立方程组(2为参数)，消去参数zb=(lTJx(OWxWl)得点G的轨迹方程为y=x(l—x)(OWxWl),故A正确.6. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装 回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P(JV),则P(X=4)的值为()127 A>220 B 55r 21 D -55答案C 解析 旧球个数X 的可能取值为3,4,5,6,相应的取到新球的个数依次为芒=0丄2,3, d 服从超 几何分布，P(X= 4)=P(d= 1)= C |23=220'7. 已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数(兀)的图象如图所示，则该函数的图象是()27 •220答案B解析 由（x ）的图象知,y=fix ）的图象为增函数，且在区间（一1,0）上增长速度越来越快, 而在区间（0,1）上增长速度越来越慢.28. 已知双曲线，一号=1的左顶点为令，右焦点为尸2, P 为双曲线右支上一点，则厉I •序2的 最小值为（）A. —2B. —y^C. ID. 0答案A 解析 由已知得 /］（一1,0）, F 2（2,0）.设 4兀,y ）（x$l ）,则厉］•序2=（-1一兀，-y ）・（2—x, -y ）=4x 2-x~5.令/（兀）=4X 2-X -5,则./⑴在［1,十呵上单调递增，所以当x =］时，函数心）取最小值，即厉1•厉2取最小值，最小值为一2.B. x\+x2>0C. X\>X2D. x]<X2 答案A解析 由/(—x)= —xsin(—x)=/(x)=>/(x)=xsinx-为偶函数，f (x)=sinx+xcosx,当xW 0,号，/ （x ）＞0,/（x ）单调递增，兀丘-号,0时,/（X ）单调递减；于是金1）刁（兀2）0|兀1|＞网O#＞£,故选 A.10.如图所示，己知六棱锥P —/3CDEF 的底面是正六边形，以丄平面9. 函数 f(x)=xsinx, xW若则下列不等式一定成立的是（ 22>x 2 1/ BC.则下列结论不正确的是（）A. CQ〃平面pB・DF丄平面刃FC.CF〃平PABD.CF丄平面以厂答案D解析A 中，・：CD〃AF,AF U面刃F, CZK面PAF, :.CD〃平面/MF成立；B 中，TABCDEF 为正六边形，••小尸丄/尺又丁丹丄面ABCDEF,・・・DF丄平面/MF成立；C中，CF//AB, AB U平面/MB, CFd平面B4B,・・・CF〃平面/MB；而D中CF与40不垂直，故选D.二、填空题11・已知正方形MCD的坐标分别是(一1,0), (0,1), (1,0), (0, -1),动点M满足：k MB^k MD =则\MA | + \MC\ = ______________________ .答案2^2解析设点M的坐标为(x, y)f•化炖=一*，・・f ,= -*•整理，得彳+b=l(xH0),发现动点M的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为C 两点，所\^\MA\ + \MC\=2^2.12.设心0,函数y=sin@x+彳)+2的图象向右平移罟个单位后与原图象重合，则e的最小值是________ .答案1解析将函数y = sin@x+|) + 2图象向右平移罟个单位后所得函数解析式为y = 即y=sin@x+扌一罟e),由两函数的图象重合得一yco = 2hr,圧Z,即e=—金，kWZ,又。

第二篇考前静悟篇专题一解题求规范，小处不丢分第一讲审题求规范审题即弄清题意，是解题的基础，是迅速、正确解题的前提，“最糟糕的状况是学生没有弄清问题就进行演算和作图．”审题能力的高低是决定成绩的重要要素，不良的审题习惯会致使解题失误，运算繁冗．正确合理的审题能够使解题井井有条，迅速高效．审题包含双方面的内容：题目信息的整合和解题方法的选择．经过对题目条件、结论进行多角度地察看，由表及里，由数到形，由条件到结论，洞察问题本质，选择适合的解题方法，审题时不要急于求成．本讲联合实例，教你规范审题，不在小处丢分．一审词——看清条件和结论词，无疑是指题目中的重点词，数学审题，第一要抓住重点词，看清题目的条件和结论．全面、深刻、正确地掌握重点词是审题的基本要求，表现了对细节的关注．在此基础上，对条件结论进行发掘、转变．例 1将一骰子连续投掷三次，它落地时向上的点数挨次成等差数列的概率为() 1111A. 9B.12C.15D.18规范审题(1) 锁定重点词：连续投掷三次、挨次成等差数列；(2)重点词的转变：连续投掷三次：基本领件总数6×6× 6＝ 216 种；挨次成等差数列：列举切合条件的基本领件．分析基本领件总数为6× 6× 6＝216( 种 )；当公差为 1 时，首项能够为1,2,3,4；当公差为 2 时，首项能够为1,2；当公差为－ 1 时，首项能够为6,5,4,3；当公差为－ 2 时，首项能够为6,5；当公差为 0 时，首项能够为1,2,3,4,5,6.切合条件的基本领件数为4＋ 2＋4＋ 2＋ 6＝ 18(种 )．18 1故所求概率为216＝12.答案 B例 2已知直线 l 过点 P(5,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为 ________．规范审题(1) 锁定重点词： l 在两坐标轴上的截距相等；(2)重点词的转变： l 过原点 (两截距均为0)、 l 可是原点且在两坐标轴上的截距相等．分析当直线 l 过原点时，易得l： 2x－ 5y＝ 0；x y当 l 可是原点时，设 l ：a＋a＝ 1.将 P(5,2)代入 l 方程可得a＝ 7，此时 l： x＋ y－ 7＝ 0.故所求直线 l 的方程为 2x － 5y ＝ 0 和 x ＋y － 7＝ 0.答案2x － 5y ＝0 和 x ＋ y －7＝ 0追踪训练 1(1)(2013 江·苏 )在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a ，a)，P 是函数 y ＝ 1(x>0)x 图象上一动点，若点 P ， A 之间的最短距离为2 2，则知足条件的实数a 的所有值为________． 答案10，－ 11分析|PA|2＝ (x － a)2＋ x －a 2 21 2a 2＝ x ＋ x 2－ 2ax － x ＋ 2a1 2 12＝ x ＋ x－ x ＋ x 2a ＋ 2a － 21－ a22＝ x ＋ x＋ a － 21由 x>0，得 x ＋ x ≥ 2，a ≥ 2 a<2由已知条件或2＋ a 2－ 2＝ 8a 2－2＝ 82－ a 解得 a ＝ 10或 a ＝－ 1.1(2)拥有性质 f(x )＝－ f(x)的函数，我们称为知足“倒负”互换的函数．则以下函数：x 0＜ x ＜1 ，1 1；③ y ＝ 0 x ＝ 1 ， ① y ＝ x －；② y ＝ x ＋xx －1x x ＞1 .知足“倒负”互换的函数是 ________．答案①③11 1 1 1分析 ① f( x ) ＝ x － 1＝x － x ＝－ (x － x )＝－ f(x) ，故该函数为 “ 倒负 ” 互换的函数；x1 1 1 1② f(x )＝ x ＋ 1＝ x ＋ x ＝ f(x)，故该函数不是 “ 倒负 ” 互换的函数；x111③ 当 x ＝ 1 时， x ＝ 1，明显此时 f(x) ＝ 0， f(x )＝ 0，故有 f( x )＝－ f( x)；1 1 1 1当 0<x<1 时， x >1，此时 f(x)＝ x ， f(x )＝－ 1＝－ x ，故有 f(x )＝－ f(x)；x 1 1 1 1 1 当 x>1 时， 0< x <1，此时 f(x)＝－ x ，f(x )＝ x ，故有 f(x )＝－ f(x)．综上，只有 ①③ 为 “ 倒负 ” 互换的函数．二审图 —— 关系特色要清楚图形或许图象的力量比文字更加简短有力，发掘此中包含的有效信息， 正确理解问题是解决问题的重点． 对图形或许图象的独到理解好多时候成为问题解决中的亮点．此处审题的要求是：图形有何重要特色包含图形隐含的特别关系、变化的趋向、图形对应数值的特色等；利用数形联合的思想方法对条件进行转变，找到和要求证结论的联系．例 3 给定两个长度为 1 的平面向量→ →C在以 O OA和 OB，它们的夹角为 120°.以下图，点→→→，则 x＋ y 的最大值是为圆心的圆弧 AB 上改动，若 OC＝ xOA ＋ yOB ，此中 x， y∈R ________．规范审题→→→向量 OA， OB， OC均为单位向量，∠ AOC 的大小影响 x＋ y，能够利用数目积将向量间的关系转变为数目关系．→→→分析∵ OC＝ xOA＋yOB ，设∠ AOC＝α，→ →→ 2→ →OC·OA＝ xOA ＋ yOA·OB则，→ →→ →→2OC·OB＝ xOA·OB＋ yOBycos α＝ x－2.即1cos 120 °－α＝－2x＋ y∴x＋ y＝ 2[cos α＋ cos(120 °－α)] ＝ 2sin(α＋30°)．∴x＋ y≤ 2(当且仅当α＝ 60°时取等号 )．∴x＋ y 的最大值是 2.答案2追踪训练 2 (1)已知R上可导函数f(x) 的图象以下图，则不等式为(x2－ 2x－3)f′ (x)>0解集()A． (－∞，－ 1)∪ (－ 1,0)∪ (2，＋∞ )B． ( －∞，－ 1)∪ (－1,1)∪ (3，＋∞ )C． ( －∞，－ 2)∪ (1,2)D． (－∞，－ 2)∪ (1，＋∞ )答案B分析由 f(x)的图象可知在 (－∞，－ 1)和 (1，＋∞ )上 f′ (x)>0，在 (－ 1,1)上 f ′(x)<0，∴不等式 (x2－ 2x－ 3)f′ (x)>0 可转变为x2－ 2x－3>0x2－ 2x－ 3<0(Ⅰ)或(Ⅱ)x<－1或 x>1－1<x<1由(Ⅰ)得x>3 或x<－1；由 (Ⅱ )得－ 1<x<1.故所求不等式的解集为(－∞，－ 1)∪ (－ 1,1)∪ (3，＋∞ )．(2)如图，平面内有三个向量→→→→→→→OA，OB，OC.此中 OA与OB的夹角为120°，OA 与OC的夹角→→3→→→→()为 30°，且 |OA|＝ 2， |OB|＝，|OC|＝ 23，若 OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R )，则2A．λ＝ 4，μ＝ 2 B ．λ＝8，μ＝332C．λ＝ 2，μ＝4D．λ＝3，μ＝4323答案C分析→→夹角为 90°，由图知 OB， OC→ →→ →→ 2，OB·OC＝λOB·OA＋μOB∴→ 2→ →→ →，OC·OA＝λOA＋μOB·OA0＝λ×3× 2× －1＋9μ，∴2243×2× －123× 2× cos 30 ＝°λ× 4＋μ×，224解得λ＝ 2，μ＝3.三审表——透过数据看规律在平时生活和生产中常常会出现图表问题，如每天的股市曲线图、菜场上的价目表等，都是高考命题的源泉．表格中隐蔽着丰富的数据和信息及其内在联系，关于表格的剖析要能慧眼独具，不为浮云遮望眼，透过现象看本质．看清表格的本质，问题解决也就有了基础．审题的要求是：仔细察看图表、剖析数据的特色和规律，依据规律解决问题．例 4 已知函数 f(x)， g(x)分别由下表给出：x123f(x)131x123g(x)321则 f[g(1)] 的值为 ________；知足 f[g(x)]> g[f(x)] 的 x 的值为 ________．规范审题第一步：直接依据函数值填写；第二步：函数值比较少且规律不明显，能够使用列举的方法解决．分析①∵ g(1)＝ 3，∴ f[g(1)]＝ f(3) ＝1.②当 x＝ 1 时， f[g(x)] ＝ f[g(1)] ＝ f(3)＝ 1.g[f(x)]＝ g[f(1)] ＝ g(1) ＝ 3.此时 1<3 ，也即 f[g(x)]< g[f(x)] ，不合题意．当 x＝2 时， f[g(x)] ＝ f[g(2)] ＝ f(2) ＝ 3.g[f(x)]＝ g[f(2)] ＝ g(3) ＝ 1.此时 3>1 ，即 f[g(x)]> g[f(x)] ，切合题意；当 x＝3 时， f[g(x)] ＝ f[g(3)] ＝ f(1) ＝ 1，g[f(x)]＝ g[f(3)]＝ g(1) ＝ 3，此时f[g(x)]< g[ f(x)] ，不合题意．故所求x 的值为 2.答案 1 2追踪训练3察看以下三角形数表：此中从第 2 行起，每行的每一个数为其“肩膀”上两数之和，则该数表的最后一行的数为()A． 101×298 B ．101× 299C． 99× 299D． 100× 299答案A分析该数表共100 行，第 2 行的第 1 个数为 3＝3× 20，第3 行的第 1 个数为 8＝4× 21，第 4行的第 1 个数为 20＝ 5× 22，第 5行的第 1 个数为 48＝ 6× 23，∴第 100 行的第 1 个数为 101× 298，应选 A.追踪训练4(2013 ·重庆 )某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中随意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中随意摸出 1 个球，依据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖以下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红 1蓝200元二等奖 3红 0蓝 50 元 三等奖2红 1蓝10 元其他状况无奖且每次摸奖最多只好获取一个奖级． (1)求一次摸奖恰巧摸到 1 个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的散布列与希望 E(X)．解 设 A i (i ＝ 0,1,2,3) 表示摸到 i 个红球， B j (j ＝ 0,1)表示摸到 j 个蓝球，则 A i 与 B j 独立．1 2 18C 3C 4(1)恰巧摸到 1 个红球的概率为 P(A 1)＝ C 73＝35.(2)X 的所有可能值为： 0,10,50,200 ，且31＝1 ，P(X ＝200) ＝ P(A 3B 1)＝ P(A 3)P(B 1)＝ C 3 3 · 105C 7 3C 3322＝，3 105C 7 P(X ＝10)＝ P(A 2B 1)＝ P(A 2) P(B 1)＝1246 P(X ＝0)＝ 1－ 105－ 105－35＝7.C 32C 41 1 124 ，＝＝ C 7 3105 35综上可知，获奖金额X 的散布列为X0 10 50 200P6 4 2 1735105 105进而有 E(X)＝ 0× 6＋ 10× 4＋50× 2 ＋ 200× 17 35 105 105 ＝ 4(元 )．四审式 —— 数式构造找关系数学识题中各样量的关系一般以关系式的形态出现，从关系式的角度剖析也是我们最常用的方法， 理解了关系式也就对各样量的本质联系有了清楚的认识．审题的基本要求是： 挖掘关系式的内在特色； 找寻已知条件和结论中式子的联系以及它们和一些公式间的联系， 然后再转变．例 5在锐角△ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c.若 b ＋a＝ 6cos C ，则tan C ＋tan Ca btan A tan B的值是 ________．规范审题已知条件baa ＋b ＝ 6cos C 中既有角， 又有边， 考虑到所求式子， 可进行边角互化．转变时，可使用余弦定理将cos C 值表示出，将式子所有转变成边代入；也能够利用正弦定理对条件进行转变，获取角的关系式代入所求式子．b a 2 2分析 由 a ＋ b ＝6cos C ，得 b ＋ a ＝ 6abcos C.化简整理得 2(a 2＋ b 2)＝ 3c 2，将 tan C ＋tan C切化弦，tan A tan B 得 sin C cos A cos B sin C sin A ＋ B·( ＋ sin B ) ＝ ·cos C sin A cos C sin Asin B＝ sin C · sin C2＝ sin C.cos C sin Asin B cos Csin Asin Bsin 2Cc 2依据正、余弦定理得 cos Csin Asin B＝a 2＋b 2－c 22c22c2ab · 2ab＝＝＝ 4.3 2a 2＋b 2－c 2 22c － c答案4追踪训练 5 (2013 ·四川 )在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 cos(A －B)cos3B －sin(A －B)sin(A ＋ C)＝－ 5.(1)求 sin A 的值；→ →(2)若 a ＝ 4 2，b ＝ 5，求向量 BA 在 BC 方向上的投影． 解 (1)由 cos(A － B)cos B －sin(A －B)sin( A ＋C)33＝－ 5，得 cos(A －B)cos B － sin(A － B)sin B ＝－ 5.3 3 则 cos(A － B ＋ B)＝－ 5，即 cos A ＝－ 5.又 0<A<π，则 sin A ＝ 45.(2)由正弦定理，有a bbsin A 2sin A ＝ sin B ，所以， sin B ＝a ＝ 2 .由题意知 a>b ，则 A>B ，故 B ＝ π4.32 22依据余弦定理，有 (4 2) ＝ 5 ＋ c － 2× 5c × －5 ，解得 c ＝ 1 或 c ＝－ 7(负值舍去 ) ．→ → →2 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 |BA|cos B ＝ 2 .五审理 —— 字里行间皆有理数学中的“理”， 不只是是指常用的公式和原理，更是指我们常常讲的合情推理： 依据已有的事实、 结论或许实践的结果，以个人的经验和直觉等推断某些结果的推理过程．概括和类比就是数学活动中常用的合情推理． 在高考取该方面的问题有明显的增加趋向． 有些问题很难直接和一般的知识点联系起来， 考察的是综合应用数学知识解决问题的能力，有很强的划分度．例 6 跟着科学技术的不停发展，人类经过计算机已找到了 630 万位的最大质数．某同学在学习中发现由41,43,47,53,61,71,83,97构成的数列中每一个数都是质数，他依据这列数的一个通项公式，得出了数列的后几项，发现它们也是质数．于是他断言：依据这个通项公式写出的数均为质数．则这个通项公式为 ________，该同学断言是 ________的 (填“正确”或者“错误” )．规范审题 经过察看相邻两数之差成等差数列；依据发现的规律找寻通项公式，进行判断．分析依据题意知，通项公式a n ＝ 41＋ 2＋ 4＋ 6＋ ＋ 2(n －1)＝ n(n － 1)＋ 41.取 n ＝ 41，得 a n＝ 41× 41＝ 1 681，明显不是质数，进而该同学断言是错误的．答案 a n＝ n(n－ 1)＋ 41，n∈N*错误追踪训练6(1)如图是某汽车维修企业的维修点环形散布图．企业在年初分派给A， B，C，D 四个维修点某种配件各50 件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40,45,54,61件，但调整只好在相邻维修点之间进行．那么要达成上述调整，最少的调换件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调换件次为n) 为()A． 15 B ．16C．17D． 18答案B分析这是一道运筹问题，需要用函数的最值加以解决．设 A→ B 的件数为x1(规定：当x1<0 ，则 B 调整了 |x1|件给 A，下同！ )B→C 的件数为 x2，C→ D 的件数为 x3， D→ A 的件数为 x4，依题意可得 x4＋ 50－ x1＝ 40， x1＋50－ x2＝ 45，x2＋50－ x3＝ 54，x3＋50－ x4＝61，进而 x2＝ x1＋ 5， x3＝ x1＋ 1， x4＝ x1－ 10，故调换件次 f(x1)＝ |x1|＋ |x1＋ 5|＋ |x1＋1| ＋ |x1－ 10|，画出图象 (或绝对值的几何意义 )可得最小值为 16.(2)(2012 北·京 )已知 f(x)＝ m(x－2m) ·(x＋ m＋3) ，g(x)＝ 2x－ 2，若同时知足条件：①?x∈R， f(x)<0 或 g(x)<0；② ? x∈( －∞，－ 4)， f(x)g(x)<0. 则 m 的取值范围是 ________．答案－ 4<m<－ 2分析将①转变为 g(x)<0 的解集的补集是f(x)<0 解集的子集求解；②转变为 f(x)>0 的解集与 (－∞，－ 4)的交集非空．①中，若 g(x)＝ 2x－ 2<0 ，则 x<1.又∵ ? x∈R， g(x)<0 或 f(x)<0，∴[1，＋∞ )是 f( x)<0 的解集的子集．又由 f(x)＝ m(x－2m)(x＋ m＋ 3)<0知，m 不行能大于或等于0，所以 m<0.当 m<0 时， f(x)<0，即 (x－2m)(x＋ m＋ 3)>0.当 2m＝－ m－ 3，即 m＝－ 1 时，f(x)<0 的解集为 { x|x≠ － 1} ，知足条件．当 2m>－m－ 3，即－ 1<m<0 时，f(x)<0 的解集为 { x|x>2m 或 x<－ m－ 3} ．1依题意 2m<1，即 m<2，∴－ 1<m<0.当 2m<－m－ 3，即 m<－ 1 时，f(x)<0 的解集为 { x|x<2m 或 x>－ m－ 3} ．依题意－ m－ 3<1 ，即 m>－ 4，∴ －4<m<－ 1.所以知足①的 m 的取值范围是－4<m<0.x②中，∵当 x∈ (－∞，－ 4)时， g(x)＝2 － 2<0，即 f(x)>0 的解集与 (－∞，－ 4) 的交集非空．又 m<0，则 ( x－ 2m)(x＋ m＋ 3)<0.由①的解法知，当－1<m<0 时， 2m>－ m－ 3，即－ m－ 3<－ 4，∴m>1，此时无解．2当 m<－ 1 时， 2m<－ m－ 3，即 2m<－ 4，∴ m<－ 2.综合①②可知知足条件的m 的取值范围是－4<m<－2.。