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北京交大附中2021－2022学年第二学期期中练习初一数学一、选择题（本大题共10小题，共30分）1. 4的平方根是（ ）A. ±16B. 2C. ﹣2D. ±2【答案】D【解析】【分析】根据平方根的定义以及性质进行计算即可．【详解】4的平方根是±2，故选：D．【点睛】本题考查了平方根的问题，掌握平方根的定义以及性质是解题的关键．2. 下列各数中的无理数是( )B. 0.3×C.A. 14【答案】C【解析】【分析】根据无理数的定义，即可得到答案．是有理数，故本选项不符合题意；【详解】解：A ．14B ．0.3&是有理数，故本选项不符合题意；C ．是无理数，故本选项符合题意；D2=是有理数，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟记定义进行解题．3. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（）A. ()-- D. ()3,4-3,43,4 B. ()3,4- C. ()【答案】B【解析】【分析】根据所给点的横纵坐标的符号可得所在象限．【详解】解：A、（3，4），在第一象限，故此选项错误；B、（-3，4），在第二象限，故此选项正确；C、（-3，-4），在第三象限，故此选项错误；D、（3，-4），在第四象限，故此选项错误；故选B．【点睛】本题考查象限内点的符号特点；用到的知识点为：符号为（-，+）的点在第二象限．4. 下列各图中,过直线l外的点P画l的垂线CD，三角尺操作正确的是( )．A. B. C.D.【答案】D【解析】【详解】解：根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线，可得D的画法正确．故选：D．5. 直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°【答案】C【解析】【分析】过E 作EF ∥AB CD ,由平行线的质可得∠1=3,2=4, 3+4=1+2,∠∠∠∠∠∠∠根据三角形内角和可得: 3+4=60°,∠∠从而可得: 1+2=60°,∠∠由∠1=20°,可得: 2=40°.∠【详解】如图,过E 作EF ∥AB ,则AB EF CD,∥∥∴∠1=3,2=4,∠∠∠∵∠3+4=60°,∠∴∠1+2=60°,∠∵∠1=20°,∴∠2=40°,故选C ．【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是要正确作出辅助线和熟练掌握平行线的性质.6. 式子62+的值在哪两个整数之间？（ ）A. 2与3B. 3与4C. 4与5D. 5与6【答案】C【解析】6 在哪两个完全平方数之间，4<6<9，由于4，9都，于是可得<3，从而可得+2<5．【详解】解：∵4<6<9，，∴<3，∴+2<5．，+2在4和5之间，故选择：C ．【点睛】本题考查无理数估值问题，关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估值．7. 如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，2），“马”的坐标为（1，2），则棋子“炮”的坐标为（ ）A. （3，2）B. （3，1）C. （2，2）D. （﹣2，2）【答案】B【解析】【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案．【详解】解：如图所示：棋子“炮”的坐标为（3，1）．故选：B．【点睛】本题主要考查点的坐标，根据题意建立平面直角坐标系是关键．8. 小明和妈妈在家门口打车出行，借助某打车软件，他看到了当时附近的出租车分布情况，若以他现在的位置为原点，正东、正北分别为x轴、y轴正方向，图中点A的坐标为(1，0)，那么离他最近的出租车所在位置的坐标大约是（ ）A. (3.2,1.3)B. (1.9,0.7)-C. (0.7, 1.9)-D.(3.8, 2.6)-【答案】B【解析】【分析】根据平面直角坐标系的定义建立平面直角坐标系，然后根据象限特点解答即可．【详解】解：由图可知，（-1.9，0.7）距离原点最近，故选：B ．【点睛】本题考查了坐标确定位置，主要利用了平面直角坐标系的定义和在平面直角坐标系中确定点的位置的方法．9. 下列命题：①a ，b ，c 是直线，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．②a ，b ，c 是直线，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ．③若a Ð与Ðb 互余，Ðb 与g Ð互余，则a Ð与g Ð相等．其中的真命题是（ ）A. ①B. ①②C. ①③D. ①②③【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质和判定，互余的性质逐项判断即可．【详解】解：①∵a b ∥，b c ∥，∴a c ∥故①正确；②∵a b ^r r ，b c^，∴a b∥故②错误；③∵90a b Ð+Ð=°，90b g Ð+Ð=°，∴a g Ð=Ð，故③正确．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定以及互余的性质，掌握平行线的性质和判定以及互余的性质是解题的关键．10. 如图，将三角形ABC沿着XY方向平移一定的距离就得到三角形MNL，则下列结论∶①AM∥BN；②AM=BN；③BC=ML；④∠ACB=∠MNL，其中正确的有 ( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】如图，由△ABC平移得到△MNL可知A与M、B与N、C与L是对应点，根据平移的特征得：AM∥BN∥CL且AM=BN=CL，△ABC与△MNL的形状、大小完全相同．从而进行判断即可．【详解】解：根据平移前后连接对应点的线段平行且相等可知：①AM∥BN正确，②AM=BN正确；根据平移前后△ABC与△MNL的形状、大小完全相同可知BC=NL、∠ACB=∠MLN，所以：BC=ML错误，④∠ACB=∠MNL错误．故选B．【点睛】本题考查了平移的性质，结合图形能清楚观察平移的方向、距离及其对应点，关键明确平移的两个性质：①连接对应点的线段平行且相等，②平移前后图形的形状、大小完全相同．二、填空题（本大题共8小题，共16分）11. 点A在x轴上，到原点的距离为，则点A的坐标为_______________．30）或0）【答案】【解析】【分析】根据x轴上点的纵坐标为0分情况讨论求解．【详解】解：∵A在x，∴点A在原点左边时，坐标为（－，0），3，0），在原点右∴点A，0）或0）．【点睛】本题考查点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键，注意要分情况讨论．12. 将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为__________ _______________________________________.【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行【解析】【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【详解】命题可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行【点睛】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子而不改变原意．13. 如图，写出能判定AB∥CD的一对角的数量关系:___________________.【答案】∠BAC＝∠ACD（或∠B＋∠BCD＝180°或∠D＋∠BAD＝180°）【解析】【分析】根据平行线的判定定理进行填空．【详解】解：由“内错角相等，两直线平行”可以添加条件∠BAC＝∠ACD．由“同旁内角互补，两直线平行”可以添加条件∠B＋∠BCD＝180°，或∠D＋∠BAD＝180°．故答案为：∠BAC＝∠ACD（或∠B＋∠BCD＝180°或∠D＋∠BAD＝180°）．【点睛】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．14. 如图，在平面直角坐标系中，OABD的顶点A，B的坐标分别为(3,3)，(4,0)，把，则点E的坐标为______D，如果点D的坐标为D沿x轴向右平移得到CDEOAB____．【答案】(7,0)【解析】【分析】根据B点横坐标与A点横坐标之差和E点横坐标与D点横坐标之差相等即可求解．【详解】解：由题意知：A、B两点之间的横坐标差为：431-=，由平移性质可知：E、D两点横坐标之差与B、A两点横坐标之差相等，设E点横坐标为a，则a-6=1，∴a=7，∴E点坐标为(7,0) ．故答案为：(7,0) ．【点睛】本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解决此题的关键.15. 请举反例说明命题“如果a2=b2，那么a=b”是假命题，反例可举：______．【答案】当a=-2，b=2时，a2=b2，此时a=-b（答案不唯一）【解析】【分析】代入数据a=-2，b=2说明即可．【详解】解：当a=-2，b=2时，a2=b2，此时a=-b；故“如果a2=b2，那么a=b”是假命题，故答案为：当a=-2，b=2时，a2=b2，此时a=-b．（答案不唯一）【点睛】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．16. 在平面直角系中，已知直线与坐标轴交于A 、B （0，-5）两点，且直线与坐标轴围成的图形面积为 10，则点A 的坐标为_____________．【答案】()40±，【解析】【分析】根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意a 取正负数都符合题意．【详解】设点A 坐标为（x ，0），所以1151022AOB S OA OB x D =×=´=，所以4x =，所以4x =±，所以点A 的坐标为()40±，．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，知道点A 有两解是解题的关键．17. 如图，在一块长为20m ，宽为14m 的草地上有一条宽为2m 的曲折小路，运用你所学的知识求出这块草地的绿地面积为________m 2【答案】216【解析】【分析】将小路平移到这块草地的上方和左侧，可得草地是矩形，根据面积的和差，可得答案．【详解】解：平移使路变直，绿地拼成一个长(20−2)米，宽(14−2)米的矩形，绿地的面积（20−2）（14−2）＝216（m 2），故答案为216．【点睛】本题考查了平移的应用，根据平移使不规则图形转化成易求面积的矩形是解题关键．18. 给出下列程序输出，已知当输入的x 值为4时，输出值为324，则当输入的x 值为﹣4时，输出值为____．【答案】-324【解析】【分析】设输出的数是y ，则依题意知程序是3y kx =,然后根据输入的x 值为4时，输出值为324，利用整体思想，得到当x =-4时的输出值.【详解】解：设输出的数是y ，则依题意知程序是3y kx =，∵x =4时，34y k ==324；∴x =-4时，33(4)4324y k k =-=-=-；所以输出值为-324.故答案为：-324【点睛】本题是一道比较新颖的题，主要考查了代数式的求值及整体的思想，在代数式的求值化简中，恰当应用整体的思想，能简化计算，起到事半功倍的效果.三、解答题（本大题共24分，第19，20题每小题4分，第21~22题每题4分）19. （1）计算：3274--；（2）解方程组：34165633x y x y +=ìí-=î【答案】（1）；（2）612x y =ìïí=-ïî．【解析】【分析】（1）根据立方根、二次根式的性质，绝对值的意义化简，再合并即可；（2）利用加减消元法求解即可．【详解】解：（14；（2）34165633x y x y +=ìí-=î①②，①×3+②×2得：19x =114，解得：x =6，把x =6代入①得：18+4y =16，解得：y =-12，则方程组的解为612x y =ìïí=-ïî．【点睛】此题考查了实数的运算，二次根式的加减运算，解二元一次方程组．解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．20. 求下列各式中的x ：()31(2)8x -=； ()2264810x -=．【答案】（1）4x =；（2）98x =±【解析】【分析】（1）直接利用开立方的方法解方程即可；（2）先整理成2x a =的形式，再直接开平方解方程即可．【详解】解：（1）3(2)8x -=，两边开立方得，x -2=2，解得x =4；（2）264810x -=变形得64x 2=81，所以x 2=8164，所以x =98±21. 完成下面的证明．已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．求证：AB ∥EF ．证明：∵∠1+∠2＝180°，∴AB ∥ （ ）．∵∠3+∠4＝180°，∴ ∥ ．∴AB ∥EF （ ）．【答案】CD ；同旁内角互补，两直线平行；CD ；EF ；若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行【解析】【分析】先由∠1+2∠＝180°，得到AB ∥CD ，再由∠3+4∠＝180°，得到CD ∥EF ，最后得到AB ∥EF ．【详解】证明：如图所示：∵∠1+2∠＝180°（已知），∴AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行），∵∠3+4∠＝180°（已知），∴CD ∥EF （同旁内角互补，两直线平行），∴AB ∥EF （若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行），故答案为：CD ；同旁内角互补，两直线平行；CD ；EF ；若两直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行．【点睛】本题考查了平行线判定定理当中的两条：第一条：同旁内角互补，两直线平行；第二条：两条直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行；熟记并灵活运用这两条定理是解本题的关键．22. 如图，点P 是∠AOB 的边OB 上的一点．（1）过点M画OA的平行线MN；（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；（3）点C到直线OB的距离是线段______的长度．【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）CP【解析】【分析】（1）根据网格线互相平行可知MP OA∥，作图即可；（2）根据垂直定义作图即可；（3）根据点到直线的距离是垂线段的长度可求．【小问1详解】解：如图所示，MN即为所求；【小问2详解】解：如图，PC即为所求；【小问3详解】解：根据点到直线的距离是垂线段的长度，可知点C到直线OB的距离为线段CP的长度故答案为：CP．【点睛】本题考查了复杂作图，掌握平行线和垂线的画法、点到直线的距离的概念是解题的关键．四、解答题（本大题共30分，每题6分）23. 已知x1y20++-=互为相反数，求yz x-的平方根【答案】±3.【解析】【详解】试题分析：根据非负数的性质求出x，y的值，根据相反数求出z的值，再代入代数式求值．2|=0﹣，∴x+1=0，y2=0﹣，∴x=1﹣，y=2．互为相反数，∴12z+3z5=0﹣﹣，解得z=4．∴yz x=2×4﹣﹣（﹣1）=9，∴yz x﹣的平方根是±3．24. 在平面直角坐标系xOy中，已知点()0,1A，()4,2B，()2,2C-．（1）在网格中画出这个平面直角坐标系；（2）连接CB，平移线段CB，使点C移动到点A，得到线段AD．①画出线段AD，点D的坐标为______；②连接AC，DB，直接写出四边形ACBD的面积．【答案】（1）见解析 （2）①D（2，5）②14【解析】【分析】（1）根据A，B，C坐标确定平面直角坐标系即可．（2）①②利用分割法求四边形的面积即可．【小问1详解】解：如图，平面直角坐标系如图所示：【小问2详解】解：①如图，线段AD即为所求．D（2，5）．②S 四边形ACBD ＝4×7﹣12×2×3﹣12×2×4﹣12×2×3﹣12×2×4＝14．【点睛】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25. 如图，用两个边长的小正方形剪拼成一个大的正方形，（1）则大正方形的边长是_____________cm ；（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为212cm ，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．【答案】（1）4 （2）能，长方形的长为，宽为cm 【解析】【分析】（1）根据小正方形的面积求出大正方形的面积，根据面积求边长即可；（2）根据长方形的长、宽比例及面积建立方程，得到关于长的一元二次方程，求解方程即可得到答案．【小问1详解】一个小的正方形的面积8=2cm 大的正方形的面积等于两个小正方形的面积之和得大的正方形的面积为：162cm 大正方形的边长4= cm故答案为：4【小问2详解】假设能剪出的长方形纸片，设长方形的长为x cm ，宽为y cm 根据题意得32x y =∴23y x =∵长方形的面积为212cm ∴22123x =∴x =x =-舍去）∴y =故能剪出长方形，且长方形的长为cm ，宽为cm ．【点睛】本题考查了算术平方根，解一元二次方程，能根据题意列出算式是解此题的关键．26. 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小超的探究过程，请补充完整：（1）①由103＝1000，1003＝1 000 000是 位数；②由59319的个位上的数是9的个位上的数是 ；③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64十位上的数是 ；由此求＝ ．（2）已知103823也是一个整数的立方，用类似的方法可以求＝ ．【答案】（1）①两，②9，③3、39；（2）47【解析】【分析】（1）根据题意，提供的思路和方法，进行推理验证得出答案；（2）根据（1）的方法、步骤，类推出相应的结果即可．【详解】解：（1）①∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜59319＜100000，∴10＜359319＜100，因此结果为两位数；②因为只有9的立方的个位数字才是9，因此结果的个位数字为9，③33＜59＜43，因十位上的数是3，＝39，故答案为：两，9，3、39；（2）∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜103823＜1000000，∴10＜100，因此结果为两位数；只有7的立方的个位数字是3，因此结果的个位数字是7；如果划去103823后面的三位823得到数103，而43＝64，53＝125的十位数字为4，于是47；故答案为：47．【点睛】考查实数的意义，立方根的意义以及尾数的特征等知识，阅读理解提供的解题方法是类推的前提．27. 线段AB与线段CD互相平行，P是平面内的一点，且点P不在直线AB，CD上，连接P A，PD，射线AM，DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线．（1）若点P在线段AD上，如图1，①依题意补全图1；②判断AM与DN的位置关系，并证明；（2）是否存在点P，使AM⊥DN？若存在，直接写出点P的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）①图见解析；②//AM DN，证明见解析；（2）当P点直线AD上，且位于AB 与CD 两平行线之外时，AM DN ^．【解析】【分析】（1）①先连接AD ，再在AD 上取一点P ，然后分别作BAP Ð和CDP Ð的平分线即可；②先根据角平分线的定义可得12DAM BAP Ð=Ð，12ADN CDP Ð=Ð，再根据平行线的性质可得BAP CDP Ð=Ð，从而可得DAM ADN Ð=Ð，然后根据平行线的判定即可得；（2）当P 点直线AD 上，且位于AB 与CD 两平行线之外时，AM DN ^．理由：先根据平行线的性质可得PAF CDP Ð=Ð，从而可得180CDP BAP Ð+Ð=°，再根据角平分线的定义可得12PAM BAP Ð=Ð，12ADE CDP Ð=Ð，从而可得90PAM ADE Ð+Ð=°，然后根据对顶角相等可得PAM DAE Ð=Ð，从而可得90DAE ADE Ð+Ð=°，最后根据三角形的内角和定理即可得证．【详解】（1）①先连接AD ，再在AD 上取一点P ，然后分别作BAP Ð和CDP Ð的平分线，如图1所示：②//AM DN ，证明如下：∵AM 平分BAP Ð，DN 平分CDP Ð，∴12DAM BAP Ð=Ð，12ADN CDP Ð=Ð，∵//AB CD ，∴BAP CDP Ð=Ð，∴DAM ADN Ð=Ð，∴//AM DN ；（2）当P 点直线AD 上，且位于AB 与CD 两平行线之外时，AM DN ^，证明如下：如图2，设DN 交BA 延长线于点F ，延长MA 交DN 于点E ，∵//AB CD ，∴PAF CDP Ð=Ð，∵180PAF BAP Ð+Ð=°，∴180CDP BAP Ð+Ð=°，∵AM 平分BAP Ð，DN 平分CDP Ð，∴12PAM BAP Ð=Ð，12ADE CDP Ð=Ð，∴111()90222PAM ADE BAP CDP BAP CDP Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，∵PAM DAE Ð=Ð（对顶角相等），∴90DAE ADE Ð+Ð=°，∴180()90AED DAE ADE Ð=°-Ð+Ð=°，∴AM DN ^．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、垂直的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的定义是解题关键．。
1北京北大附中初二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．计算23-的结果是（ ）． A ．6-B ．9-C ．19-D ．192．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传，下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．下列各分式中，最简分式是（ ）． A ．34()85()x y x y -+B ．22x y y x +-C ．2222x y x y xy ++D ．222()x y x y -+4．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB ，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，150ABC ∠=︒，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ）． A ．8m B ．4m C ．6mD ．10m5．化简22a b a b b a+--的结果为（ ）．A ．22a b -B ．a b +C ．a b -D ．22a b +6．下列各式从左到右的变形正确的是（ ）． A ．133m mm =++ B ．11x x x y x y+--=-- C ．2122x y yx x ++=+-- D ．()()x a b xy b a y-=-7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的个数是（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．如图，O 是ABC △的边AC 、BC 的垂直平分线的交点，130AOB ∠=︒，则ACB ∠为（ ）． A ．65︒ B ．57.5︒ C ．45︒ D ．32.5︒29．如图，在ABC △中，28A ∠=︒，E 为AC 上一点，以BE 为轴将三角形翻折，AB 交CE 于D ，再以BA 为轴继续翻折，使得点C 恰好落在BE 上，若82CDB ∠=︒，则原三角形的ABC ∠为（ ）．A ．73.5︒B ．76︒C ．78.5︒D ．81︒10．如图，动点P 从(0,3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2014次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（）．A ．(1,4)B ．(5,0)C ．(6,4)D ．(8,3)二、填空题（每空2分，共20分）11．当x __________时，分式2132x x -+的值为零．12．在平面直角坐标系中，点(1,2)A 关于y 轴对称点的坐标是__________．13．一种细菌半径是0.0000121米，则0.0000121用科学记数法表示为__________．14．已知2230a ab b ++=（0a ≠，0b ≠）则代数式b aa b+的值等于__________．15．如图，ABC △是等边三角形，90CBD ∠=︒，BD BC =，则1∠的度数是__________．16．关于x 的方程223ax a x =-有解为1x =，则a =__________．17．在ABC △中，AB AC =，B α∠=，线段AB 的垂直平分线交直线AC 于点D ，则DBC ∠=__________．18．如图，30POQ ∠=︒，POQ ∠内有一点A ，12AO =，在PO 、QO 上分别有点B 、C （B 、C 与O 不重合）则BAC ∠=__________︒时，BAC △的周长取最小值，最小值是__________．3 三、解答题19．计算：（1）6243(210)(10)--⨯+； （2）2214(2)xy z x yz --÷-；（3）21211()()111x x x x x x +⋅--+-+．20．先化简，再求值：231(1)221a a a a a a --÷-+++，其中a 满足210a a --=．21．解方程：2112323x x x -=-+．422．如图，三条公路把A 、B 、C 三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使市场到三个村庄距离相等． （1）提示：要使集贸市场的位置到点A 、B 的距离相等，则集贸市场应在线段AB 的__________上； （2）请利用直尺和圆规在图中标出这个集贸市场的位置．（请保留作图痕迹，不写作法）23．如图，ABC △中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD AC ⊥交BC 于点D ． 求证：3BC AD =． 证明：∵AB AC =，∴B ∠=__________（ ）． ∵120BAC ∠=︒， ∴30B C ∠=∠=︒． ∵AD AC ⊥交BC 于点D ， ∴90DAC ∠=︒，∴DC =__________（ ）， ∴30BAD ∠=︒， ∴B BAD ∠=∠， ∴____________， ∴2DC BD=，∴3BC AD =．24．石榴是一种令人喜爱的时令水果．石榴一上市，水果店的小李就用3000元购进一批石榴，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg ，第三天她发现市场上的石榴数量陡增，而自己的石榴卖相已不大好，于是果断地将剩余石榴以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元． （1）设进价为x 元/kg ，用x 表示将石榴全部售出后的总销售额； （2）求小李所进石榴的质量．5 25．如图，ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥于D 点，DE AB ∥交AC 于点E ，点F 在BC 延长线上，且2DF BD =．（1）求证：DE EC =； （2）求证：BE EF =．26．已知ABC△，63ABC ACB ∠=∠=︒，如图1所示，取底边中点，可以把ABC △分割成两个直角三角形，进一步再把两个直角三角形分成两个等腰三角形．请你在图2中，用另外两种不同的方法把ABC △分割成四个等腰三角形，并标明分割后的四个等腰三角形的底角的度数（如果经过变换后两个图形重合，则视为同一种方法）．627．定义：如图1，在四边形ABCD 内的点P ，满足APD CPD ∠=∠且BPC BPA ∠=∠，或APB APD∠=∠且BPC CPD ∠=∠，则称点P 为四边形ABCD 的一个半等角点．（1）如图2，若AB AC =，BD DC =，点M 在AD 上，判断点P 是不是四边形ABDC 的半等角点； （2）如图3，若AB AC=，D 、E 分别AC 、AB 上的点，且ABD ACE ∠=∠，且BD 、CE 交于点F ，求证：线段AF 上的任意一点都是四边形ADFE 的半等角点．（3）如图4，若AB AC =，D 、E 分别AC 、AB 上的点，且CBD BCE ∠≠∠，在图4中，画出四边形ADFE 的一个半等角点，保留作图痕迹（不要求尺规作图，不写做法）．图4FEDABC7 北京北大附中初二（上）期中数学试卷答案一、选择题（每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DDCBBCCADB二、填空题（每空2分，共20分）11．12=． 12．(1,2)- 13．51.2110-⨯ 14．3- 15．15︒16．12-17．3α或1803α︒-或3180α-︒ 18．120；12三、解答题19．解：（1）6243(210)(10)--⨯+ 121241010--=⨯+ 12510-=⨯；（2）2214(2)xy z x yz --÷-1(2)211(1)2x y z -----=- 322x yz =-； （3）21211()()111x x x x x x +⋅--+-+ 221411(1)(1)(1)x x x x x x x x ++-+=⋅-++-421(1)(1)x x x x =-++- 4(1)2(1)(1)x x x x --=+-224421x x x --=-．20．解：231(1)221a a a a a a --÷-+++ 23(2)()211a a a aa a a +-+=⋅-+-+ 1a a a =-+21a a =+． ∵210a a --=， ∴21a a =+， ∴原式1=．821．解：去分母，得2(23)(23)(23)(23)x x x x x +--=+-， 去括号，得22462349x x x x +-+=-， 整理，得412x =-， 解得3x =-．经检验，3x =-为原方程的解， ∴原方程的解为3x =-．22．解：（1）垂直平分线； （2）作图如下：23．证明：∵AB AC =， ∴B ∠=C ∠（等边对等角）． ∵120BAC ∠=︒， ∴30B C ∠=∠=︒． ∵AD AC ⊥交BC 于点D ， ∴90DAC ∠=︒，∴DC =2AD （30︒角所对的直角边等于斜边的一半）， ∴30BAD ∠=︒， ∴B BAD ∠=∠， ∴BD AD =， ∴2DC BD =， ∴3BC AD =．24．解：（1）石榴全部售出后的总销售额为3000150(140%)(150)(120%)x x x⨯++--； （2）由题意，得3000150(140%)(150)(120%)3000750x x x⨯++---=， 整理，得901350x =， 解得15x =．经检验，15x =是原方程的解且符合题意， 300020015=． 答：小李所进石榴的质量为200kg ．PCBA9 25．证明：（1）∵AB AC =， ∴ABC ACB ∠=∠， ∵DE AB ∥， ∴ABC EDC ∠=∠， ∴EDC ACB ∠=∠， ∴DE EC =．（2）∵AB AC =，AD BC ⊥， ∴BD CD =， ∵2DF BD =， ∴CB DF =．在BCE △和FDE △中， CB DF BCE FDE CE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴BCE △≌FDE △（SAS ）． ∴BE EF =．26．解：如图所示：27．解：（1）点P 是四边形ABDC 的半等角点． （2）连结AF ． ∵在ABD △和ACE △中， DAB EAC AB ACABD ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABD △≌ACE △（ASA ）． ∴AE AD =，BD CE =． ∵AB AC =， ∴ABC ACB ∠=∠，∴ABC ABD ACB ACE ∠-∠=∠-∠，即FBC FCB ∠=∠， ∴BF FC =，∴BD BF CE CF -=-，即EF DF =．由（1）中结论可知，AF 上任意一点都是四边形ADFE 的半等角点． （3）如图所示，点P 即为所求．CBA 63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°54°A BC63°63°54°36°63°36°27°27°A BC63°54°54°PF EDABC10北京北大附中初二（上）期中数学试卷部分答案解析一、选择题1．【答案】D【解析】2211339-==． 2．【答案】D【解析】观察可知，选项D 中的图形为轴对称图形． 3．【答案】C【解析】34()2()85()5()x y x y x y x y --=++；221x y y x y x +=--；222()x y x yx y x y--=++．4．【答案】B【解析】由题意得，BC 与地面AB 的夹角为30︒，∴14m 2h BC ==． 5．【答案】B【解析】2222a b a b a b a b b a a b-+==+---． 6．【答案】C【解析】313m mm +=+；11x x x y x y +---=--；()()x a b x y b a y -=--．7．【答案】C【解析】如图所示，当AB 为底边时，可取AB 垂直平分线上的格点，图中的1C ，2C ，3C 满足要求；当AB 为腰时，可取4C ，5C ．综上，点C 的个数为5． 8．【答案】A【解析】∵O 是ABC △的边AC 、BC 的垂直平分线的交点， ∴OA OB OC ==，∴OAB OBA ∠=∠，OAC OCA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠， ∴1806522ABO BAO AOBACB OCA OCB ︒-∠-∠∠∠=∠+∠===︒．9．【答案】D【解析】以题中最后一个图为研究对象，设图中的CBD θ∠=，则原图中的3ABC θ∠=， ∴180283ACB θ∠=︒-︒-，∴1523BCD θ∠=︒-， 又∵82CDB ∠=︒，∴152382180θθ+︒-+︒=︒，解得27θ=︒， ∴原三角形的381ABC θ∠==︒．10．【答案】BC 5C 4C 3C 2C 1P 5P 3P 211 【解析】如图所示，点P 的运动轨迹为一个循环，每个周期会碰到矩形的边6次．∵20146÷的余数为4，∴当点P 第2014次碰到矩形的边时，点P 的坐标与4P 的坐标相同，即(5,0)．二、填空题11．【答案】12=． 【解析】由题意得210x -=，320x +≠，解得12x =．12．【答案】(1,2)- 【解析】点(1,2)A 关于y 轴对称点的坐标是(1,2)-．13．【答案】51.2110-⨯【解析】0.0000121用科学记数法表示为51.2110-⨯．14．【答案】3-【解析】22b a a b a b ab++=，∵2230a ab b ++=，∴223a b ab +=-，∴原式33ab ab -==-．15．【答案】15︒【解析】由图可得1CBD DAC ACB ∠+∠=∠+∠，∵BD BC AB ==，∴601DAC ∠=︒-∠， ∴19060160∠+︒=︒-∠+︒，解得115∠=︒．16．【答案】12- 【解析】由题意得2213a a =-，解得12a =-．17．【答案】3α或1803α︒-或3180α-︒【解析】如图1，当点D 在线段AC 上时，可得3180DBC α∠=-︒；如图2，当点D 在AC 延长线上时，可得1803DBC α∠=︒-；如图3，当点D 在CA 延长线上时，可得3DBC α∠=．18．【答案】120；12 【解析】过点A 作OP 的对称点1A ，过点A 作OQ的对称点2A，连结12A A ，此时BAC △的周长最小为12，120BAC ∠=︒．Q PA 2A 1C BAO。
2019-2020学年北京市西城区北京师范大学附中高二上学期期中数学试题一、单选题1．命题p ：“∀x ∈（-∞，0），3x≥4x”的否定￢p 为（ ） A ．(),0x ∀∈-∞,34x x < B ．(),0x ∀∈-∞,34x x ≤ C ．()000,0,34xxx ∃∈-∞<D ．()000,0,34xxx ∃∈-∞≤【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 【详解】命题是全称命题,则p ⌝：()000,0,34xxx ∃∈-∞＜,故选：C 【点睛】本题考查含有量词的命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键2．在等比数列{a n }中，a 3=2，a 5=8，则a 4=（ ） A ．4 B ．5C ．4±D ．5±【答案】C【解析】根据题意,设等比数列{}n a 的公比为q ,由等比数列的通项公式可得253a a q =⋅,解可得q 的值,代入通项公式计算即可 【详解】根据题意, 设等比数列{}n a 的公比为q ,由已知得253a a q =⋅,即282q =,所以2q =±,都符合题意,所以434a a q =⋅=±, 故选：C 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题3．若a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式中一定成立的是.A ab ac > .B a c b c > .C a b c b > .D 222a b c >> 【答案】A 【解析】略4．设01x <<,则a b =1+x ,c =11x-中最大的一个是 A ．a B ．bC ．cD ．不确定【答案】C【解析】因为b-a =1+x 0>,所以b >a ;又c-b =111x x ---=201x c x=>-,则c >b ,所以最大的一个是c.5．在等比数列{a n }中，a 1=3，前n 项和为S n ，若数列{a n +1}也是等比数列，则S n 等于（ ） A ．2n B ．3nC ．121n +-D ．31n -【答案】B【解析】根据数列{}n a 为等比数列,可设出n a 的通项公式,因数列{}1n a +也是等比数列,进而根据等比性质求得公比q ,进而根据等比数列的求和公式求出n S 【详解】因数列{}n a 为等比数列,则13n n a q -=,因数列{}1n a +也是等比数列, 则()()()212111n n n a a a +++=++,∴211222n n n n n n a a a a a a +++++=⋅++,∴()()()2222n n n n nn a q a q a a qaa q ⋅+⋅=⋅⋅++⋅,即22n n n a q a a q ⋅=+⋅,∴()2120n a q q +-=,即2210q q -+=, ∴1q = 则3n a =, 所以3n S n =, 故选：B本题考查等比数列的定义和求和公式,考查等比中项的应用,着重考查了运算能力 6．若互不等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4- B ．2-C ．2D ．4【答案】A【解析】试题分析：因为成等差数列，所以；因为成等比数列，所以；联立，得，即.【考点】等差数列与等比数列的综合应用7．设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件为（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列 C ．1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列D ．1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同【答案】D 【解析】【详解】因为i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i =），所以1(1,2,3,)i i i A a a i n +==⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n A 的通项为1;n n n A a a +=根据等比数列的定义，数列{}n A 为等比数列的充要条件是(1,2,3,)n =⋅⋅⋅11221n n n n n n n nA a a a q A a a a +++++===(常数)， 故选D.本题考查等比数列的定义，充要条件的概念及判定.8． 设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N ＋)人去进行新开发的产础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意，分流前每年创造的产值为100t （万元），分流后x 人后，每年创造的产值为()()1001 1.2%x x t -+，则由()()0100{1001 1.2%100x x x t t<<-+≥，解得：5003x <<． ∵x ∈N∴x 的最大值为16． 故选：B ．【考点】 函数模型的选择与应用．二、填空题9．数列{a n }中，已知a 1=1，a 2=2，a n +1=a n +a n +2（n ∈N ），则a 7= ______ ． 【答案】1【解析】根据递推公式12n n n a a a ++=+,得21n n n a a a ++=-,把11a =,22a =代入可依次求出前7项即可 【详解】由12n n n a a a ++=+,得21n n n a a a ++=-, 所以321211a a a =-=-=,432121a a a =-=-=-,543112a a a =-=--=-,()654211a a a =-=---=-,()765121a a a =-=---=故答案为：1 【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的项,数列的递推公式是给出数列的一种方法 10．若实数x ，y 满足xy =1，则x 2+4y 2的最小值为______． 【答案】4【解析】运用不等式222a b ab +≥（当且仅当a b =取得等号）计算可得所求最小值若实数,x y 满足1xy=,则2242244x y x y xy +≥⋅⋅==,当且仅当2x y ==,上式取得最小值4 故答案为：4 【点睛】本题考查用基本不等式求最值,考查运算能力,属于基础题.11．设a 、b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出“a 、b 中至少有一个数大于1”的条件是：_____ 【答案】③【解析】试题分析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab>1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b>2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a≤1且b≤1， 则a ＋b≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1．[Z 【考点】不等式性质12．已知{}n a 是等差数列,11a =,公差,n S 为其前n 项和,若成等比数列,则8_____S = 【答案】64【解析】试题分析：由数列为等差数列，且成等比数列，所以，则，所以，因为，所以，根据等差数列前n 项和公式，。
北方交大附中2019-2020学年第一学期期中练习初一数学考试时间：90分钟满分：100分班级___________姓名____________一、选择题（每小题3分，共30分，）：1．5的倒数是（）．A ．15B ．15C ．5D ．5【答案】B【解析】两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，故5的倒数是15．2．据光明网2015年3月14日报道，北京东奥申委新闻宣传部相关负责人介绍，北京和张家口联合申办2022年冬季奥运会得到了中国民众的广泛支持，一项第三方民调结果显示，中国民众对京张申奥综合支持率达到94.8%，这项调查覆盖了中国32个城市，受访人员2500人，把2500用科学计数法表示是（）．A ．32.510B ．32510C ．40.2510D ．22.510【答案】A【解析】∵一个绝对值大于等于1或小于10的实数记为10n a 的形式(比如110a ≤)，这种记数法叫做科学记数法．∴2500用科学计数法表示为32.510．3．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示互为相反数的点是（）．A ．点A 与点CB ．点B 与点C C ．点A 与点D D ．点B 与点D【答案】C 【解析】点A 表示2，点D 表示2，∴点A 与点D 互为相反数．4．下列各式中运算正确的是（）．A ．43m m B ．22a babC ．33323aaaD ．2xyxy xy【答案】D【解析】A 选项，43mmm ，故A 选项错误；B 选项，2a b 和2ab 不能相减，故B 选项错误；C 选项，33323aaa ，故C 选项错误；D 选项，2xyxyxy ，故D 选项正确．5．下列说法正确的是（）．A ．整数包括正整数、负整数B ．0是整数，也是自然数C ．分数包括正分数、负分数和0D ．有理数中，不是负数就是正数【答案】【解析】A 选项，整数包括正整数、负整数和0，故A 选项错误；B 选项，0是整数，也是自然数，故B 选项正确；C 选项，分数包括正分数、负分数，不包括0，故C 选项错误；D 选项，有理数中，不是负数就是正数，还包括0，故D 选项错误．6．下列各组式子中：①2ab 与212b a ，②42y 与42x ，③xyz 与yxz ，④4x 与42⑤12与23，⑥42x yz 与4x z ，是同类项的有（）．A ．①④⑤B ．①③⑤C ．①②③D ．①③④【答案】B【解析】所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫同类项．①2ab 与212b a 是同类项；②42y 与42x 所含字母不同；③xyz 与yxz 是同类项；④4x 与42所含字母不同；⑤12与23是两个常数项是同类项；⑥42x yz 与4x z 所含字母不同．故①③⑤是同类项．7．下列各式中，变形正确的是（）．A ．若a b ，则a cbc B ．若12a x，则21xa C ．若2ab ，则4ab D ．若1ab ，则221ab 【答案】【解析】A 选项，等式两边都加上同一个数，等式仍然成立，故A 选项正确；B 选项，当1a时10a 不能作分母，故B 选项错误；C 选项，24bb ，故C 选项错误；D 选项，若1ab，则222ab，故D 选项错误．8．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，错误的是（）．A ．0a bB ．a bC ．abD ．baa b【答案】D【解析】如图可知，0a ，0b，ab ，ab ，故A ，B ，C 选项正确．∵0ba，0ab．∴baab ，故D 选项错误．9．如果0x ，0y，则化简x xy xxy的结果为（）．A ．0B ．2C ．2D ．3【答案】A 【解析】∵0x ，0y，∴xx ，xyxy ．∴110x xy x xy xxyxxy．10．将一列有理数1，2，3，4，5，6，L 如图所示有序排列，根据途中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C 的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C 的位置是有理数，2015应排在A ，B ，C ，D ，E 中的位置，其中两个填空依次为（）．A ．25,CB ．29,DC ．24,DD ．29,E【答案】B【解析】∵每个峰需要5个数，∴“峰6”中C 的位置是551329．∵2015154024L ，∴2015应排在D 中的位置．二，填空题（每空2分，共20分）11，用四舍五入法取308.607的近似数是（精确到个位）__________．【答案】309【解析】用四舍五入法取308.607的近似数是30912，若a ，b 互为相反数，则3ab__________．【答案】3【解析】∵a ，b 互为相反数，∴0a b ，∴3033a b ．13，比较大小（用“”，“”，“”填空）332__________37；1143__________112．【答案】；【解析】∵3302，∴33327．∵11043，∴1114312．14，写出系数为3，含有字母x ，y 的四次单项式（写出所有情况）__________．【答案】33xy ；223x y ；33x y【解析】单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．∴系数为3，含有字母x ，y 的四次单项式有33xy ，223x y ，33x y ．15，多项式2313723y yy按y 的降幂排列为__________．【答案】3217323yyy【解析】多项式y 的指数分别为3，2，1，降幂排列为3217323yyy．16，写一个有关单项式的加、减运算式，使其结果为23ab ，所列算式为__________．【答案】2252ab ab 【解析】222523ab abab 答案不唯一．17，若3x 是方程721mx的解，则224m __________．【答案】4【解析】把3x 代入方程721m x ，得7231m，解得1m ．∴22224214244m．18，若3x时，代数式35axbx的值为2015；则3x时，代数式35axbx的值为__________．【答案】2025【解析】把3x 代入35ax bx，得27352015ab ，∴2732020a b ．当3x时，3527352735202052025axbx a b ab．19，规定，用m 表示大于m 的最小整数，例如532，56，1.31等；用m 表示不大于m 的最大整数，例如732，44，1.52，如果整数x 满足关系式：2{}312x x，则x__________．【答案】2【解析】由题意得x 为整数，∴1x x，x x ，∴2{}312x x 可化为21312x x去括号得：22312x x ，移项得：23122xx，合并同类项得：510x，系数化为1得：2x．三，解答题（共50分，其中22题，23题，24题，25题4分）20．计算（每小题3分，共9分）（1）311121439【解析】114943113．（2）37514151260【解析】45282516060606048606048．（3）3200410.5182【解析】10.58810.516189．21．解方程（每小题4分．共8分）（1）513166x x （写出检验过程）【解析】移项得：511366xx，合并同类项得：243x，系数化为1得：6x ．检验：把6x 代入原方程，左边得56326，右边得11626．∴左边右边，∴6x是原方程的解．（2）4323124xxx 【解析】去括号得：469124x x x，移项得：461249xxx 合并同类项得：37x ，系数化为1得：73x．检验：把73x代入原方程，左边得77286941432333333，右边得754112412333，∴左边右边，∴73x是原方程的解．22．我们可以运用运算律把项式中的同类项进行合并（括号中填写依据）例如：22427382x x x x22482372xxxx（__________）22482372x x x x （__________）__________（乘法分配率）__________．【解析】22427382x x x x 22482372xxxx（加法交换律）22482372xxxx（加法结合律）2482372xx（乘法分配率）2455xx．23．化简：22222533x yxyy【解析】原式222225333xy x y y222xy ．24．已知3x y 求代数式2213372410410x yx yx yx y的值．【解析】∵3x y，∴3x y．∴原式2213372441010x y x yx yx y 2225x y xy当3x y 时，原式22332569251125．25．已知：设236Aaab，2223Baab求当a 、b 满足21102ab 时，A B 的值．【解析】∵21102a b ，∴10a，2102b，∴1a ，12b ．又∵236A aab，2223Baab，∴2236223A Ba ab a ab 2236223a ab aab 233aab当1a ，12b ．原式21131323132122．26．（本题6分）已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示：请化简：2a b c b c解：∵0a b，2c__________0，bc __________0∴a b __________，2c__________，bc__________．∴2abcbc__________．【解析】∵0a b ，20c ，0b c ∴a b ba ，22c c，bcbc ．∴2a b c b c2b a c b c 2b a cb c 22ba．27．（本题6分）如图所示，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的长方形拼成长方形ABCD ，其中，2cm GH ，2cm GK，设cmBF x （1）用含x 的代数式表示CM__________cm DM__________cmcb a 210-1（2）若10DC cm，求x的值x时，长方形的周长（3）求长方形ABCD的周长（用x的代数式表示），并求3CM x，222DM MK x x x．【解析】（1）根据图形可知：2DC DM MC x x x，（2）根据题意得：22243x．x，∴解得2∵10DC cm，∴4310x x x x x x，（3）∵长方形ABCD的长为2254x x x，长方形ABCD的宽为：22243x x x．∴长方形ABCD的周长为254341616x时，长方形ABCD的周长为1616364．当328．（本题5分）一列火车自A城驶往城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B）．该列火车挂有一节邮政车厢，运行时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个，还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包一个x个车站发给该站的邮包例如，当列车停靠在第x个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的1x个，还要装上下面行程中要停靠的n x个车站的邮包共n x个共1（1）根据题意，完成下表：车站序号在第x车站启程时邮政车厢邮包总数n11211222n n n3222333n n n45L L Ln（2）根据上表，写出列车在第x车站启程时，邮政车厢上共有邮包的个数（用含有x、n的代数式表示）【解析】（1）根据图表所给的信息，则可得出：n n n；车站序号为4的是：333444n n n；车站序号为5的是：444555n n n．车站序号为n的是：0车站序号在第x车站启程时邮政车厢邮包总数n11211222n n n3222333n n n4333444n n n5444555n n nL L Ln0n n n（2）根据（1）得：列车在第x车站启程时，邮政车厢上共有邮包的个数为x n x．。
2020-2021学年北京交大附中分校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.）1．（3分）如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A．45°B．55°C．125°D．135°2．（3分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）在下列运算中，正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（ab2）3＝a6b6C．（a3）4＝a7D．a4÷a3＝a4．（3分）如果（x﹣4）（x+8）＝x2+mx+n，那么m+n的值为（）A．36B．﹣28C．28D．﹣365．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．72°B．60°C．50°D．58°6．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果∠DCB＝30°，CB ＝3，那么AB的长为（）A．6B．8C．4D．37．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（）A．3B．10C．15D．308．（3分）正五边形的外角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°9．（3分）如图，直线l是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，△ABC中，AC＜BC，如果用尺规作图的方法在BC上确定点P，使P A+PC ＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）11．（3分）若A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），则x＝，y＝．点A关于x轴的对称点的坐标是．12．（3分）等腰三角形的一个底角是70°，则它的顶角的度数是．13．（3分）计算：32020×（）2019＝．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是（写出一个即可）．15．（3分）若（x+1）（kx﹣2）的展开式中不含有x的一次项，则k的值是．16．（3分）已知等腰三角形的两条边分别是4、7，则这个等腰三角形的周长为．17．（3分）如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C＝．18．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为．三、解答题（本大题共8小题，共46分）19．（6分）计算：（1）（﹣2xy2）2÷3xy；（2）x（1﹣x）+（x﹣2）（x+3）．20．（5分）已知5x2﹣x﹣1＝0，求代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值．21．（4分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2；（3）并写出点C2的坐标．22．（5分）已知：如图，B，A，E在同一直线上，AC∥BD且AC＝BE，∠ABC＝∠D．求证：AB＝BD．23．（6分）下面是小康设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知直线l及直线l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P．做法：如图，①以P为圆心，以大于P到直线l的距离的长度为半径画弧，交直线l于A、B两点；②连接P A、PB；③作∠APB的角平分线PQ．直线PQ即为所求．根据小康设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵P A＝，PQ平分∠APB，∴PQ⊥l（）（填推理的依据）24．（6分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE＝CD ．求证：BD＝DE．25．（6分）如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A＝120°，∠C＝60°，AB＝17，AD＝12．（1）求证：AD＝DC；（2）求四边形ABCD的周长．26．（8分）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD 、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．2020-2021学年北京交大附中分校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.）1．（3分）如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A．45°B．55°C．125°D．135°【解答】解：由图形所示，∠AOB的度数为55°，故选：B．2．（3分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．3．（3分）在下列运算中，正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（ab2）3＝a6b6C．（a3）4＝a7D．a4÷a3＝a【解答】解：A、a3•a2＝a5，故本选项不合题意；B、（ab2）3＝a3b6，故本选项不合题意；C、（a3）4＝a12，故本选项不合题意；D、a4÷a3＝a，故本选项符合题意．故选：D．4．（3分）如果（x﹣4）（x+8）＝x2+mx+n，那么m+n的值为（）A．36B．﹣28C．28D．﹣36【解答】解：∵（x﹣4）（x+8）＝x2+4x﹣32，（x﹣4）（x+8）＝x2+mx+n，∴m＝4，n＝﹣32，∴m+n的值为﹣28，故选：B．5．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．72°B．60°C．50°D．58°【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°．∵图中的两个三角形全等，∴∠1＝∠2＝58°．故选：D．6．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果∠DCB＝30°，CB ＝3，那么AB的长为（）A．6B．8C．4D．3【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD＝30°，∴AB＝2BC＝2×3＝6．故选：A．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（）A．3B．10C．15D．30【解答】解：作GH⊥AB于H，由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，GH⊥AB，∴GH＝CG＝3，∴△ABG的面积＝×AB×GH＝15，故选：C．8．（3分）正五边形的外角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B．9．（3分）如图，直线l是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（）A．B．C．D．【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短．故选：D．10．（3分）如图，△ABC中，AC＜BC，如果用尺规作图的方法在BC上确定点P，使P A+PC ＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【解答】解：∵PB+PC＝BC，而P A+PC＝BC，∴P A＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）11．（3分）若A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），则x＝3，y＝4．点A关于x轴的对称点的坐标是（3，﹣4）．【解答】解：∵A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），∴x＝3，y＝4，∴A点坐标为（3，4），∴点A关于x轴的对称点的坐标是（3，﹣4），故答案为：3；4；（3，﹣4）．12．（3分）等腰三角形的一个底角是70°，则它的顶角的度数是40°．【解答】解：因为其底角为70°，所以其顶角＝180°﹣70°×2＝40°．故答案为：40°．13．（3分）计算：32020×（）2019＝3．【解答】解：32020×（）2019＝＝＝12019×3＝1×3＝3．故答案为：3．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是BD＝CD（写出一个即可）．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACD，添加BD＝CD，∴在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），故答案为：BD＝CD．15．（3分）若（x+1）（kx﹣2）的展开式中不含有x的一次项，则k的值是2．【解答】解：（x+1）（kx﹣2），＝kx2﹣2x+kx﹣2，＝kx2+（k﹣2）x﹣2，∵不含有x的一次项，∴k﹣2＝0，解得：k＝2．故答案为：2．16．（3分）已知等腰三角形的两条边分别是4、7，则这个等腰三角形的周长为15或18．【解答】解：①4是腰长时，三角形的三边分别为7、4、4，能组成三角形，周长＝7+4+4＝15，②4是底边长时，三角形的三边分别为7、7、4，能组成三角形，周长＝7+7+4＝18，综上所述，这个等腰三角形的周长是15或18，故答案为：15或18．17．（3分）如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C＝60°．【解答】解：∵AE⊥BE，∴∠E＝90°，∵BE∥AC，∴∠EAC＝90°，∵AB平分∠DAE，∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，∴∠BAC＝∠1+∠3＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，故答案为：60°．18．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB 上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为10°．【解答】解：由题意得：∠CA′D＝∠A＝50°，∠B＝40°，由外角定理可得：∠CA′D＝∠B+∠A′DB，∴可得：∠A′DB＝10°．故答案为：10°．三、解答题（本大题共8小题，共46分）19．（6分）计算：（1）（﹣2xy2）2÷3xy；（2）x（1﹣x）+（x﹣2）（x+3）．【解答】解：（1）原式＝4x2y4÷3xy＝xy3．（2）原式＝x﹣x2+x2+x﹣6＝2x﹣6．20．（5分）已知5x2﹣x﹣1＝0，求代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值．【解答】解：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）＝9x2﹣4+x2﹣2x＝10x2﹣2x﹣4，∵5x2﹣x﹣1＝0，∴5x2﹣x＝1，∴原式＝2（5x2﹣x）﹣4＝﹣2．21．（4分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2；（3）并写出点C2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求．C1（3，﹣2）．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）C2（﹣3，2）．22．（5分）已知：如图，B，A，E在同一直线上，AC∥BD且AC＝BE，∠ABC＝∠D．求证：AB＝BD．【解答】证明：∵AC∥BD，∴∠BAC＝∠DBE，在△ABC与△BDE中，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AB＝BD．23．（6分）下面是小康设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知直线l及直线l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P．做法：如图，①以P为圆心，以大于P到直线l的距离的长度为半径画弧，交直线l于A、B两点；②连接P A、PB；③作∠APB的角平分线PQ．直线PQ即为所求．根据小康设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵P A＝，PQ平分∠APB，∴PQ⊥l（等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合）（填推理的依据）【解答】解：（1）如图所示，直线PQ即为所求．（2）证明：∵P A＝PB，PQ平分∠APB，∴PQ⊥l（等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合）．故答案为：PB，等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合．24．（6分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE＝CD ．求证：BD＝DE．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED．又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．∴∠DBC＝∠DEC．∴DB＝DE（等角对等边）．25．（6分）如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A＝120°，∠C＝60°，AB＝17，AD＝12．（1）求证：AD＝DC；（2）求四边形ABCD的周长．【解答】证明：（1）在BC上取一点E，使BE＝AB，连接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．在△ABD和△EBD中，∴△ABD≌△EBD（SAS）；∴DE＝AD＝12，∠BED＝∠A，AB＝BE＝17，∵∠A＝120°，∴∠DEC＝60°．∵∠C＝60°，∴∠DEC＝∠C．∴DE＝DC，∴AD＝DC．（2）∵∠C＝60°，DE＝DC，∴△DEC为等边三角形∴EC＝CD＝AD．∵AD＝12，∴EC＝CD＝12，∴四边形ABCD的周长＝17+17+12+12+12＝70．26．（8分）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为AE＝AB+DE；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD 、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【解答】解：（1）AE＝AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF＝AB，∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠F AC，在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，∵C是BD边的中点，∴BC＝CD，∴CF＝CD，∵∠ACE＝90°，∴∠ACB+∠DCE＝90°，∠ACF+∠ECF＝90°，∴∠ECF＝∠ECD，在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF＝ED，∵AE＝AF+EF，∴AE＝AB+DE，故答案为：AE＝AB+DE；（2）猜想：AE＝AB+DE+BD．证明：在AE上取点F，使AF＝AB，连接CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连接CG ，∵C是BD边的中点，∴CB＝CD＝BD，∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠F AC，在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF＝CB，∴∠BCA＝∠FCA，同理可证：CD＝CG，∴∠DCE＝∠GCE，∵CB＝CD，∴CG＝CF，∵∠ACE＝120°，∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣120°＝60°，∴∠FCA+∠GCE＝60°，∴∠FCG＝60°，∴△FGC是等边三角形，∴FG＝FC＝BD，∵AE＝AF+EG+FG，∴AE＝AB+DE+BD．。
2020-2021学年北京交大附中分校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为()A. 45°B. 55°C. 125°D. 135°2.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.在下列运算中，正确的是()A. a3⋅a2=a6B. (ab2)3=a6b6C. (a3)4=a7D. a4÷a3=a4.如果(x−4)(x+8)=x2+mx+n，那么m+n的值为()A. 36B. −28C. 28D. −365.已知图中的两个三角形全等，则∠1等于()A. 72°B. 60°C. 50°D. 58°6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果∠DCB=30°，CB=3，那么AB的长为()A. 6B. 8C. 4D. 37.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，D、E为圆心，大于12作射线AF交边BC于点G.若CG=3，AB=10，则△ABG的面积是()A. 3B. 10C. 15D. 308.正五边形的外角和为()A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°9.如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是()A. B.C. D.10.如图，△ABC中，AC<BC，如果用尺规作图的方法在BC上确定点P，使PA+PC=BC，那么符合要求的作图痕迹是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.若A(x,4)关于y轴的对称点是B(−3,y)，则x=______，y=______.点A关于x轴的对称点的坐标是______．12.已知等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角度数为______．)2019=______．13.计算：32020×(1314.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上(不与点B，C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是______(写出一个即可)．15.若(x+1)(kx−2)的展开式中不含有x的一次项，则k的值是______．16.已知等腰三角形的两条边分别是4、7，则这个等腰三角形的周长为______．17.如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E.若BE//AC，则∠C=______．18.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共46.0分）19.计算：(1)(−2xy2)2÷3xy；(2)x(1−x)+(x−2)(x+3)．20.已知5x2−x−1=0，求代数式(3x+2)(3x−2)+x(x−2)的值．21.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)作出△ABC关于y对称的△A2B2C2；(3)并写出点C2的坐标．22.已知：如图，B，A，E在同一直线上，AC//BD且AC=BE，∠ABC=∠D.求证：AB=BD．23.下面是小康设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知直线l及直线l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P．做法：如图，①以P为圆心，以大于P到直线l的距离的长度为半径画弧，交直线l于A、B两点；②连接PA、PB；③作∠APB的角平分线PQ．直线PQ即为所求．根据小康设计的尺规作图过程：(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明．证明：∵PA=______，PQ平分∠APB，∴PQ⊥l(______)(填推理的依据)24.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．25.如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=17，AD=12．(1)求证：AD=DC；(2)求四边形ABCD的周长．26.在四边形ABDE中，C是BD边的中点．(1)如图(1)，若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；(直接写出答案)(2)如图(2)，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由图形所示，∠AOB的度数为55°，故选B．由图形可直接得出．本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.【答案】D【解析】解：A、a3⋅a2=a5，故本选项不合题意；B、(ab2)3=a3b6，故本选项不合题意；C、(a3)4=a12，故本选项不合题意；D、a4÷a3=a，故本选项符合题意．故选：D．分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵(x−4)(x+8)=x2+4x−32，(x−4)(x+8)=x2+mx+n，∴m=4，n=−32，∴m+n的值为−28，故选：B．先将(x−4)(x+8)展开，然后与x2+mx+n找准对应的系数，即可得到m、n的值．本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是明确多项式乘以多项式的方法，找准对应的系数．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角．根据三角形内角和定理求得∠2=58°；然后由全等三角形的性质得到∠1=∠2=58°．【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2=180°−50°−72°=58°．∵图中的两个三角形全等，∴∠1=∠2=58°．故选D．6.【答案】A【解析】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD=30°，∴AB=2BC=2×3=6．故选：A．根据同角的余角相等求出∠A=∠BCD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2BC，然后代入数据进行计算即可得解．本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：作GH⊥AB于H，由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线，∵∠C=90°，GH⊥AB，∴GH=CG=3，×AB×GH=15，∴△ABG的面积=12故选：C．根据角平分线的性质得到GH=CG=3，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B．根据多边形的外角和等于360°，即可求解．本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°．9.【答案】D【解析】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选：D．利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．本题考查了最短问题、解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10.【答案】C【解析】解：∵PB+PC=BC，而PA+PC=BC，∴PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．故选：C．由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AB的垂直平分线上，进而得出结论．本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．11.【答案】34(3,−4)【解析】解：∵A(x,4)关于y轴的对称点是B(−3,y)，∴x=3，y=4，∴A点坐标为(3,4)，∴点A关于x轴的对称点的坐标是(3,−4)，故答案为：3；4；(3,−4)．利用关于x、y轴对称的点的坐标特点可得答案．此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．12.【答案】40°【解析】【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°.利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握．已知给出了一个底角为70°，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．【解答】解：因为其底角为70°，所以其顶角=180°−70°×2=40°．故答案为40°．13.【答案】3【解析】解：32020×(13)2019=32019×3×(13)2019=(3×13)2019×3=12019×3=1×3=3．故答案为：3．积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此计算即可．本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．14.【答案】BD=CD(答案不唯一)【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABD=∠ACD，添加BD=CD，∴在△ABD与△ACD中{AB=AC∠ABD=∠ACD BD=CD，∴△ABD≌△ACD(SAS)，故答案为：BD=CD(答案不唯一)．由题意可得∠ABC=∠ACD，AB=AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．15.【答案】2【解析】解：(x+1)(kx−2)，=kx2−2x+kx−2，=kx2+(k−2)x−2，∵不含有x的一次项，∴k−2=0，解得：k=2．故答案为：2．根据多项式乘多项式的运算法则，展开后令x的一次项的系数为0，列式求解即可．本题考查了多项式乘多项式的运算法则，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．16.【答案】15或18【解析】解：①4是腰长时，三角形的三边分别为7、4、4，能组成三角形，周长=7+4+4=15，②4是底边长时，三角形的三边分别为7、7、4，能组成三角形，周长=7+7+4=18，综上所述，这个等腰三角形的周长是15或18，故答案为：15或18．分4是腰长与底边两种情况讨论求解．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，能够分类讨论是解题的关键．17.【答案】60°【解析】解：∵AE⊥BE，∴∠E=90°，∵BE//AC，∴∠EAC=90°，∵AB平分∠DAE，∴∠1=∠2，∵AB=AC，点D是BC的中点，∴∠1=∠2=∠3=30°，∴∠BAC=∠1+∠3=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，故答案为：60°．根据平行线的性质证得∠EAC=90°，由等腰三角形的性质和已知条件证得∠1=∠2=∠3=30°，可得∠BAC=60°，进而得到△ABC为等边三角形，由等边三角形的性质可得∠C的度数．本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证得∠1=∠2=∠3=30°是解决问题的关键．18.【答案】10°【解析】解：由题意得：∠CA′D=∠A=50°，∠B=40°，由外角定理可得：∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴可得：∠A′DB=10°．故答案为：10°．根据轴对称的性质可知∠CA′D=∠A=50°，然后根据外角定理可得出∠A′DB．本题考查轴对称的性质，属于基础题，注意外角定理的运用是解决本题的关键．19.【答案】解：(1)原式=4x2y4÷3xyxy3．=43(2)原式=x−x2+x2+x−6=2x−6．【解析】根据整式的运算法则即可求出答案．本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．20.【答案】解：(3x+2)(3x−2)+x(x−2)=9x2−4+x2−2x=10x2−2x−4，∵5x2−x−1=0，∴5x2−x=1，∴原式=2(5x2−x)−4=−2．【解析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简进而把已知代入得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1，即为所求．C1(3,−2)．(2)如图，△A2B2C2即为所求．(3)C2(−3,2)．【解析】(1)分别作出AB，C的对应点A1，B1，C1即可，再根据点C1的位置写出坐标即可．(2)分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．(3)根据点C2的位置写出坐标即可．本题考查作图−轴对称变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．22.【答案】证明：∵AC//BD，∴∠BAC=∠DBE，在△ABC与△BDE中{∠BAC=∠DBE ∠ABC=∠DAC=BE，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴AB=BD．【解析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可．此题考查全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．23.【答案】PB等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合【解析】解：(1)如图所示，直线PQ即为所求．(2)证明：∵PA=PB，PQ平分∠APB，∴PQ⊥l(等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合)．故答案为：PB，等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合．(1)根据角平分线的尺规作图可得；(2)利用等腰三角形的性质求解可得．本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质．24.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠ABC=∠ACB=60°.∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD =∠CDE +∠CED ，∴∠CDE =∠CED =12∠BCD =30°． ∴∠DBC =∠DEC ．∴DB =DE(等角对等边)．【解析】根据等边三角形的性质得到∠ABC =∠ACB =60°，∠DBC =30°，再根据角之间的关系求得∠DBC =∠CED ，根据等角对等边即可得到DB =DE ．此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到∠CDE =30°是正确解答本题的关键．25.【答案】证明：(1)在BC 上取一点E ，使BE =AB ，连结DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ．在△ABD 和△EBD 中，{AB =BE ∠ABD =∠EBD BD =BD∴△ABD≌△EBD(SAS)；∴DE =AD =12，∠BED =∠A ，AB =BE =17，∵∠A =120°，∴∠DEC =60°．∵∠C =60°，∴∠DEC =∠C ．∴DE =DC ，∴AD =DC ．(2)∵∠C =60°，DE =DC ，∴△DEC 为等边三角形∴EC =CD =AD ．∵AD =12，∴四边形ABCD的周长=17+17+12+12+12=70．【解析】(1)在BC上取一点E，使BE=AB，连结DE，证得△ABD≌△EBD，进一步得出∠BED=∠A，利用等腰三角形的判定与性质与等量代换解决问题；(2)首先判定△DEC为等边三角形，求得BC，进一步结合(1)的结论解决问题．此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质，结合图形，灵活解答．26.【答案】AE=AB+DE【解析】解：(1)AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB，∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC，在△ACB和△ACF中，{AB=AF∠BAC=∠FAC AC=AC，∴△ACB≌△ACF(SAS)，∴BC=FC，∠ACB=∠ACF，∵C是BD边的中点，∴BC=CD，∴CF=CD，∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD，在△CEF和△CED中，{CF=CD∠ECF=∠ECD CE=CE，∴△CEF≌△CED(SAS)，∴EF=ED，∵AE=AF+EF，故答案为：AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+12BD．证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG，∵C是BD边的中点，∴CB=CD=12BD，∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC，在△ACB和△ACF中，{AB=AF∠BAC=∠FAC AC=AC，∴△ACB≌△ACF(SAS)，∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE，∵CB=CD，∴CG=CF，∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°−120°=60°，∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等边三角形，BD，∴FG=FC=12∵AE=AF+EG+FG，BD．∴AE=AB+DE+12(1)在AE上取一点F，使AF=AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC=FC，∠ACB=∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF=ED，再由线段的和差可以得出结论；(2)在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得BD，从而可证得结论．CF=CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG=CG=12本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．。
2019-2020学年八年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．运用图腾解释神话、民俗民风等是人类历史上最早的一种文化现象．下列图腾中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知一个三角形的两条边长分别为3cm，6cm，则它的第三条边的长度可以是（）A．3cm B．5cm C．9cm D．11cm3．五边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°4．如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．55．作△ABC满足∠A＝88°，∠B＝42°，分别延长AC、BC至点D、E，使CD＝CE，连接DE，那么∠E的度数为（）A．70°B．68°C．66°D．65°6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E．若CD＝3cm，则D到AB的距离是（）cm．A．2 B．3 C．4 D．57．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．288．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为（）A．20°B．50°或80°C．10°D．20°或80°9．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，ED＝3，则AE的长为（）A．1.5 B．2 C．3 D．3.510．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD二．填空题（共8小题）11．已知点P（3，﹣2）与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为．12．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE ≌△ACD，添加的条件是：．13．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为cm2．（结果保留一位小数）14．图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：．15．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，BC＝4cm，AB＝cm．16．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是．17．若a m＝3，a n＝4，则a m+n＝．18．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE 和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标．三．解答题（共8小题）19．计算：（1）a•a3﹣5a4+（2a2）2（2）6x（x﹣3y）（3）（x﹣2）（x+3）（4）（28a3﹣14a2+7a）÷7a20．已知，如图，DN＝EM，且DN⊥AB于D，EM⊥AC于E，BM＝CN，求证：∠B＝∠C．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点在BC边上，且AD＝AE．求证：BD＝CE．22．如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案（要求保留作图痕迹）23．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣4，4），C（﹣1，﹣1）．（1）在图1中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）直接写出△A1B1C1的面积；（3）在图2中y轴上找出点P，使PB+PC的值最小（保留作图痕迹）．24．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）证明：△ADE≌△CFE；（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB．25．探索题．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1……观察以上等式，发现规律，利用所得规律，解决下列问题：（1）直接写出（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝．（2）直接写出（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+……x2+x+1）＝．（3）直接写出26+25+24+23+22+2+1的值．26．△ABC是等边三角形，点C关于AB对称的点为C′，点P是直线C′B上的一个动点，连接AP，作∠APD＝60°交射线BC于点D．（1）若点P在线段C′B上（不与点C′，点B重合）①如图1，当点P是线段C′B的中点时，直接写出线段PD与线段PA的数量关系．②如图2，点P是线段C′B上任意一点，证明PD与PA的数量关系．（2）若点P在线段C′B的延长线上，①依题意补全图3；②直接写出线段BD，AB，BP之间的数量关系为：．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．运用图腾解释神话、民俗民风等是人类历史上最早的一种文化现象．下列图腾中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．【解答】解：A、是轴对称图形，故不合题意；B、是轴对称图形，故不合题意；C、不是轴对称图形，故符合题意；D、是轴对称图形，故不合题意．故选：C．2．已知一个三角形的两条边长分别为3cm，6cm，则它的第三条边的长度可以是（）A．3cm B．5cm C．9cm D．11cm【分析】根据三角形的三边关系：三角形第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．【解答】解：设它的第三条边的长度为xcm，依题意有6﹣3＜x＜6+3，则3＜x＜9．故选：B．3．五边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°【分析】n边形的内角和是（n﹣2）180°，由此即可求出答案．【解答】解：五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°．故选B．4．如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据全等三角形的对应边相等推知BD＝AC＝7，然后根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴BD＝AC＝7，∵BE＝5，∴DE＝BD﹣BE＝2，故选：A．5．作△ABC满足∠A＝88°，∠B＝42°，分别延长AC、BC至点D、E，使CD＝CE，连接DE，那么∠E的度数为（）A．70°B．68°C．66°D．65°【分析】由三角形的内角和定理即可求∠ACB的度数，再根据对顶角相等和等腰三角形的性质可求∠E的度数．【解答】解：∵△ABC满足∠A＝88°，∠B＝42°，∴∠ACB＝180°﹣88°﹣42°＝50°，∴∠DCE＝50°，∵CD＝CE，∴∠E＝（180°﹣50°）÷2＝65°．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E．若CD＝3cm，则D到AB的距离是（）cm．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：∵AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD＝3，故选：B．7．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．28【分析】利用线段垂直平分线的性质得AE＝CE，再等量代换即可求得三角形的周长．【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE＝CE，∴AE+BE＝CE+BE＝10，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝10厘米+8厘米＝18厘米，故选：B．8．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为（）A．20°B．50°或80°C．10°D．20°或80°【分析】等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．【解答】解：（1）当80°角为顶角时，其顶角为80°（2）当80°为底角时，得顶角＝180°﹣2×80°＝20°；故选：D．9．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，ED＝3，则AE的长为（）A．1.5 B．2 C．3 D．3.5【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质解答．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵DE∥AB，∴AE＝CE，∴DE＝AE＝AB＝3，故选：C．10．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD【分析】由作图知CM＝CD＝DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【解答】解：由作图知CM＝CD＝DN，∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；∵OM＝ON＝MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON＝60°，∵CM＝CD＝DN，∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°，故B选项正确；设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，则∠OCD＝∠OCM＝，∴∠MCD＝180°﹣α，又∵∠CMN＝∠CON＝α，∴∠MCD+∠CMN＝180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，∴3CD＞MN，故D选项错误；故选：D．二．填空题（共8小题）11．已知点P（3，﹣2）与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为（3，2）．【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．【解答】解：根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点P（3，﹣2）关于x轴对称的点Q为（3，2）．故答案为：（3，2）．12．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE ≌△ACD，添加的条件是：∠B＝∠C．【分析】添加条件是∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理ASA推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．【解答】解：∠B＝∠C，理由是：∵在△ABE和△ACD中∴△ABE≌△ACD（ASA），故答案为：∠B＝∠C．13．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 1.9 cm2．（结果保留一位小数）【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，∴S△ABC＝AB•CD＝×2.2×1.7≈1.9（cm2）．故答案为：1.9．14．图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：m（a+b）＝ma+mb．【分析】根据图形，从两个角度计算面积即可求出答案．【解答】解：从整体来计算矩形的面积：m（a+b），从部分来计算矩形的面积：ma+mb，所以m（a+b）＝ma+mb，故答案为：m（a+b）＝ma+mb．15．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，BC＝4cm，AB＝8 cm．【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”和“30度角所对的直角边等于斜边的一半”解答．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，∴∠A＝90°×＝30°，∵BC＝4cm，∴AB＝2BC＝8cm．故答案是：8．16．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是22 ．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：∵4+4＝8＜9，0＜4＜9+9＝18∴腰的不应为4，而应为9∴等腰三角形的周长＝4+9+9＝22故填：22．17．若a m＝3，a n＝4，则a m+n＝12 ．【分析】直接根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．【解答】解：∵a m＝3，a n＝4，∴a m+n＝a m•a n＝3×4＝12．故答案为：12．18．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE 和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）．【分析】根据题意画出符合条件的所有情况，根据点A、B、C的坐标和全等三角形性质求出即可．【解答】解：如图所示：有3个点，当E在E、F、N处时，△ACE和△ACB全等，点E的坐标是：（1，5），（1，﹣1），（5，﹣1），故答案为：（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）．三．解答题（共8小题）19．计算：（1）a•a3﹣5a4+（2a2）2（2）6x（x﹣3y）（3）（x﹣2）（x+3）（4）（28a3﹣14a2+7a）÷7a【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则计算得出答案；（2）直接利用单项式乘以多项式进而得出答案；（3）直接利用多项式乘以多项式计算得出答案；（4）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）a•a3﹣5a4+（2a2）2＝a4﹣5a4+4a4＝0；（2）6x（x﹣3y）＝6x2﹣18xy；（3）（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6；（4）（28a3﹣14a2+7a）÷7a＝4a2﹣2a+1．20．已知，如图，DN＝EM，且DN⊥AB于D，EM⊥AC于E，BM＝CN，求证：∠B＝∠C．【分析】证明△BND≌△CME即可得出结论．【解答】证明：∵BM＝CN，∴BN＝CM，∵DN⊥AB于D，EM⊥AC于E，∴∠BDN＝∠CEM＝90°，∵DN＝EM，∴Rt△BND≌Rt△CME（HL），∴∠B＝∠C．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点在BC边上，且AD＝AE．求证：BD＝CE．【分析】先过A作AP⊥BC于P，而AB＝AC，根据三角形三线合一定理可得BP＝CP，同理可得DP＝EP，再根据等式性质易证BD＝CE．【解答】证明：过A作AP⊥BC于P，∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝CP，同理有DP＝EP，∴BP﹣DP＝CP﹣EP，即BD＝CE．22．如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案（要求保留作图痕迹）【分析】到M大学和N大学的距离相等，应在线段MN的垂直平分线上；到公路AO、OB 的距离相等，应在公路OA、OB夹角的平分线上，那么仓库应为这两条直线的交点．【解答】解：仓库D在∠AOB的平分线OE和MN的垂直平分线的交点上和∠AOB的邻补角平分线OE和MN的垂直平分线的交点上，理由是：∵D在∠AOB的角平分线上，∴D到两条公路的距离相等，∵D在MN的垂直平分线上，∴DM＝DN，∴D为所求．同理可得出：D′也符合要求．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣4，4），C（﹣1，﹣1）．（1）在图1中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）直接写出△A1B1C1的面积；（3）在图2中y轴上找出点P，使PB+PC的值最小（保留作图痕迹）．【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）依据割补法进行计算，即可得到△A1B1C1的面积；（3）连接C1B，交y轴于点P，连接PC，依据两点之间，线段最短，即可得到PB+PC的值最小．【解答】解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求；（2）△A1B1C1的面积为：4×5﹣×2×4﹣×1×3﹣×3×5＝20﹣4﹣1.5﹣7.5＝7；（3）如图2，连接C1B，交y轴于点P，连接PC，则PB+PC的值最小．24．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）证明：△ADE≌△CFE；（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB．【分析】（1）根据AAS或ASA证明△ADE≌△CFE即可；（2）利用全等三角形的性质求出AD，AB即可解决问题；【解答】（1）证明：∵E是边AC的中点，∴AE＝CE．又∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，在△ADE与△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）解：∵△ADE≌△CFE，CF＝7，∴CF＝AD＝7，又∵∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，∵E是边AC的中点，CE＝5，∴AC＝2CE＝10．∴AB＝10，∴DB＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．25．探索题．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1……观察以上等式，发现规律，利用所得规律，解决下列问题：（1）直接写出（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1 ．（2）直接写出（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+……x2+x+1）＝x n+1﹣1 ．（3）直接写出26+25+24+23+22+2+1的值63 ．【分析】（1）仿照阅读材料中的等式写出第5个等式即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）利用得出的规律化简，计算即可求出值．【解答】解：（1）（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1；故答案为：x6﹣1；（2）（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝x n+1﹣1；故答案为：x n+1﹣1；（3）原式＝（2﹣1）（26+25+24+23+22+2+1）＝26﹣1＝63，故答案为：6326．△ABC是等边三角形，点C关于AB对称的点为C′，点P是直线C′B上的一个动点，连接AP，作∠APD＝60°交射线BC于点D．（1）若点P在线段C′B上（不与点C′，点B重合）①如图1，当点P是线段C′B的中点时，直接写出线段PD与线段PA的数量关系PD＝PA．②如图2，点P是线段C′B上任意一点，证明PD与PA的数量关系．（2）若点P在线段C′B的延长线上，①依题意补全图3；②直接写出线段BD，AB，BP之间的数量关系为：BD＝BP+AB．【分析】（1）①如图1中，连接AC′，可证△ABC′是等边三角形，由PB＝PC′，推出PA⊥BC′，可求∠BDP＝∠BPD＝30°，可得PB＝PD，由“SAS”可证△ABD≌△ABP，可得AP＝AD，由等边三角形的性质可求解；②如图2中，作∠BPE＝60°交AB于点E，只要证明△PBD≌△PEA（ASA）即可解决问题；（2）①根据要求画出图形即可解决问题；②结论：BD＝BP+AB．如图3中，在BD上取一点E，使得BE＝PB．只要证明△BPA≌△EPD（SAS），即可解决问题．【解答】（1）①解：如图1中，连接AC′．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵点C'与点C关于AB对称，∴∠C'BA＝∠CBA＝60°，BC′＝BC＝BA，∴△ABC′是等边三角形，∵PB＝PC′，∴PA⊥BC′，且∠APD＝60°，∴∠BPD＝30°，且∠PBD＝120°∴∠BDP＝∠BPD＝30°，∴PB＝BD，且∠ABC＝∠ABC'＝60°，AB＝AB，∴△ABD≌△ABP（SAS）∴AP＝AD，且∠APD＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AP＝PD，故答案为AP＝PD．②证明：如图2中，作∠BPE＝60°交AB于点E．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵点C'与点C关于AB对称，∴∠C'BA＝∠CBA＝60°＝∠BPE，∴∠PEB＝60°．∴△PBE是等边三角形，∴PB＝PE，AEP＝120°＝∠PBD．∵∠BPD+∠DPE＝60°，∠APE+∠DPE＝60°，∴∠BPD＝∠APE，在△PBD和△PEA中，∴△PBD≌△PEA（ASA）．∴PD＝PA．（2）①解：补全图形，如图3所示：②解：结论：BD＝BP+AB．理由：如图3中，在BD上取一点E，使得BE＝PB．∵∠EBP＝60°，BE＝BP，∴△EBP是等边三角形，由（1）可知：△PAD是等边三角形，∴∠BPE＝∠APD＝60°，∴∠APB＝∠EPD，∵PB＝PE，PA＝PD，∴△BPA≌△EPD（SAS），∴AB＝DE，∴BD＝BE+ED＝BP+AB．故答案为BD＝BP+AB．。
2021-2022学年北京交大附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.）1．在空间直角坐标系中，A（2，1，3），B（3，2，1），则＝（）A．（1，1，﹣2）B．（﹣1，﹣1，2）C．（5，3，4）D．（6，2，3）2．棱长为a的正四面体的表面积为（）A．a2B．a2C．a2D．a23．平面α的一个法向量为（1，2，0），平面β的一个法向量为（2，﹣1，0），则平面α与平面β的位置关系是（）A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能确定4．在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{，，}可表示为（）A．B．C．D．5．如图，将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个几何体，则这个几何体某顶点到其相对面的距离是（）A．B．C．D．6．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图，四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD中心，E为PC中点，则直线OE与直线PD所成角为（）A．30°B．60°C．45°D．90°8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，AB＝3，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，过BF的平面α与直线C1E平行，则平面α截该长方体所得截面的面积为（）A．3B．C．D．9．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝CD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．在下列命题中：①存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；②存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等；③存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；④存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等．其中真命题的个数为（（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11．一个圆柱的母线长为3，底面半径为1，则圆柱的侧面积是．12．已知向量＝（1，0，﹣1），写出一个与向量垂直的非零向量的坐标．13．如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于．14．已知向量，满足||＝||＝1，且，的夹角为，O为平面直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为．15．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′，DD′交于M、N，设BM＝x，x∈（0，1），给出以下四个命题：①四边形MENF为平行四边形；②若四边形MENF面积S＝f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；③若四棱锥A﹣MENF的体积V＝p（x），x∈（0，1），则p（x）是常函数；④四边形MENF周长L＝f（x），x∈[0，1]是单调函数；⑤若多面体ABCD﹣MENF的体积V＝h（x），x∈（，1），则h（x）为单调函数．其中正确的命题序号是．三、解答题（本大题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面，AB＝AC，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1AD；（Ⅱ）若∠BAC＝90°，BC＝A1D＝4，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．17．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．（Ⅰ）求证：直线DE∥平面ABC；（Ⅱ）求直线AB1与平面AEF所成角的大小．18．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF∥CE 且AF＝2CE，G是线段BF上一点，AB＝AF＝BC＝2．（Ⅰ）当GB＝GF时，求证：EG∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；（Ⅲ）是否存在点G，满足BF⊥平面AEG？并说明理由．19．首项为0的无穷数列{a n}同时满足下面两个条件：①|a n+1﹣a n|＝n；②．（Ⅰ）请直接写出a4的所有可能值；（Ⅱ）记b n＝a2n，若b n＜b n+1对任意n∈N*成立，求{b n}的通项公式；（Ⅲ）对于给定的正整数k，求a1+a2+…+a k的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在空间直角坐标系中，A（2，1，3），B（3，2，1），则＝（）A．（1，1，﹣2）B．（﹣1，﹣1，2）C．（5，3，4）D．（6，2，3）【分析】由空间向量的坐标运算直接求解即可．解：因为A（2，1，3），B（3，2，1），所以＝（3，2，1）﹣（2，1，3）＝（1，1，﹣2）．故选：A．2．棱长为a的正四面体的表面积为（）A．a2B．a2C．a2D．a2【分析】正四面体的四个面都是正三角形，且每个面的面积为，由此即可求得答案．解：棱长为a的正四面体的四个面都是正三角形，且每个面的面积为，∴正四面体的表面积为．故选：D．3．平面α的一个法向量为（1，2，0），平面β的一个法向量为（2，﹣1，0），则平面α与平面β的位置关系是（）A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能确定【分析】由数量积的运算可得数量积为0，可得法向量垂直，故平面垂直解：由题意可得（1，2，0）•（2，﹣1，0）＝1×2﹣2×1+0×0＝0，故两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直，故选：C．4．在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{，，}可表示为（）A．B．C．D．【分析】先根据点P为棱BC的中点，则＝（+），然后利用空间向量的基本定理，用，，表示向量即可．解：∵点P为棱BC的中点，∴＝（+），∴＝＝（+）﹣，又∵，，，∴＝（+）﹣＝﹣++．故选：B．5．如图，将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个几何体，则这个几何体某顶点到其相对面的距离是（）A．B．C．D．【分析】由题意画出折叠后的几何体，可知几何体为棱长是1的正四面体，求出正四面体的高得答案．解：由题意可知，折叠后的几何体满足A、B、C重合，且几何体为棱长是1的正四面体，如图：则各顶点到其相对面的距离相等，取底面EFG的中心为O，连接AO，则AO⊥平面EFG，连接EO并延长，角FG于D，∵三角形EFG是边长为1的等边三角形，∴ED＝，∴EO＝，则AO＝．即这个几何体某顶点到其相对面的距离是．故选：A．6．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．7．如图，四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD中心，E为PC中点，则直线OE与直线PD所成角为（）A．30°B．60°C．45°D．90°【分析】可连接BD，AC，OP，由已知条件便知这三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可设棱长为2，从而可求出图形中一些点的坐标，据向量夹角的余弦公式便可求出解：根据条件知，P点在底面ABCD的射影为O，连接AC，BD，PO，则OB，OC，OP三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：设棱长为2，则：O（0，0，0），C（0，，0），PP（0，0，），E（0，，A（0，﹣，0），B（，0，0），D（﹣，0，0）∴，，∴∴OE与PD所成角为60°．故选：B．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，AB＝3，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，过BF的平面α与直线C1E平行，则平面α截该长方体所得截面的面积为（）A．3B．C．D．【分析】由过BF的平面α与直线C1E平行，得平面α是矩形BCFE，由此能求出平面α截该正方体所得截面的面积．解：在ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，∵过BF的平面α与直线C1E平行，又AF∥C1E，∴平面α是平面ABF，取DD1中点G，连结GF，AG，∴平面α截该正方体所得截面为矩形ABFG，∵AB＝3，BF＝＝，∴平面α截该正方体所得截面的面积为S矩形ABFG＝3．故选：D．9．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝CD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据条件找出四个面都为直角三角形的四面体即可．解：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC，PD⊥BC，又四边形ABCD为正方形，∴BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，BC⊥PC，∴四面体PDBC是一个鳖臑，∵DE⊂平面，∴BC⊥DE，∵PD＝CD，点E是PC的中点，∴DE⊥PC，∵PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，同理可得，四面体PABD和FABD都是鳖臑．故选：C．10．在下列命题中：①存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；②存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等；③存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；④存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等．其中真命题的个数为（（）A．1B．2C．3D．4【分析】作出正方体，然后由正方体的几何性质以及线线角、线面角、二面角的定义分析判断即可．解：作出正方体如图所示，存在一条直线AC1与正方体的12条棱所成的角都相等，故选项①正确；存在一条直线AC1与正方体的6个面所成的角都相等，故选项②正确；存在一个平面AB1D1与正方体的12条棱所成的角都相等，故选项③正确；存在一个平面AB1D1与正方体的6个面所成较小的二面角都相等，故选项④正确．故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11．一个圆柱的母线长为3，底面半径为1，则圆柱的侧面积是6π．【分析】利用圆柱的侧面积公式求解即可．解：因为圆柱的母线长为3，底面半径为1，所以圆柱的侧面积为2×π×1×3＝6π．故答案为：6π．12．已知向量＝（1，0，﹣1），写出一个与向量垂直的非零向量的坐标（1，0，1），（答案不唯一）．【分析】根据题意，设要求向量为，＝（x，y，z），由空间向量数量积的计算公式可得x、y的关系，由此分析可得答案．解：根据题意，设要求向量为，＝（x，y，z），则有•＝x﹣y＝0，必有x＝y，则向量可以为（1，0，1），故答案为：（1，0，1），（答案不唯一）．13．如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于1．【分析】直接利用圆锥的展开面小虫的爬行的最小距离即AB的长，最后利用弧长公式的应用求出半径的长．解：根据圆锥的侧面展开图：得知：OA＝OB＝4，AB＝4，所以OA2+OB2＝AB2，故∠AOB＝，设圆锥的底面半径为r，利用4×＝2πr，解得r＝1．故答案为：1．14．已知向量，满足||＝||＝1，且，的夹角为，O为平面直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为．【分析】由向量的运算能求出||，||和，代入夹角公式得cos∠BOA，利用三角函数知识能求出sin∠BOA，由此利用∴△OAB的面积S＝，能求出结果．解：∵向量，满足||＝||＝1，且，的夹角为，O为平面直角坐标系的原点，点A、B满足，，∴||＝＝＝＝，||＝＝＝＝，＝（）•（3﹣）＝＝6+﹣1＝，∴cos∠BOA＝＝＝，∴sin∠BOA＝＝，∴△OAB的面积S＝＝＝．故答案为：．15．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′，DD′交于M、N，设BM＝x，x∈（0，1），给出以下四个命题：①四边形MENF为平行四边形；②若四边形MENF面积S＝f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；③若四棱锥A﹣MENF的体积V＝p（x），x∈（0，1），则p（x）是常函数；④四边形MENF周长L＝f（x），x∈[0，1]是单调函数；⑤若多面体ABCD﹣MENF的体积V＝h（x），x∈（，1），则h（x）为单调函数．其中正确的命题序号是①②③．【分析】利用面面平行的性质可以判断命题①的正确与否；对于命题②要在命题①的基础上得到四边形EMFN为菱形，从而能得出正误；命题③采用分割法．得到同底的两个三棱锥；命题④将周长的函数解析式求出来进行判断；命题⑤因为E，F是中点，所以平面MENF平分正方体．解：①∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′．∴EN∥NF．同理可证EM∥NF．∴四边形MENF为平行四边形．故①正确．②∵ME＝MF．∴平行四边形MENF为菱形．∴四边形MENF面积S＝f（x）＝．当M为BB′的中点时即x＝时，MN最短，此时面积最小．故②正确．③连结AF、AN、AM，则四棱锥被分割成两个小的三棱锥，它们都以AEF为底，以M、N分别为顶点的两个小棱锥．又因为三解形AEF的面积是一个常数，M、N到平面AEF的距离之和是个常数，所以四棱锥A﹣MENF的体积为常数．故③正确．④∵EM＝MF＝＝．∴四边形MENF周长L＝f（x）＝，在[0，1]上不单调．故④错误．⑤∵多面体ABCD﹣MENF的体积V＝h（x）＝V ABCD﹣A′B′C′D′＝为常数．故⑤错误．故答案为：①②③三、解答题（本大题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面，AB＝AC，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1AD；（Ⅱ）若∠BAC＝90°，BC＝A1D＝4，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥AD，A1A⊥BC，由此能证明BC⊥平面A1AD．（Ⅱ）推导出，．由A1A⊥底面ABC，得，由此能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】证明：（Ⅰ）因为D是BC的中点，AB＝AC，所以BC⊥AD．因为A1A⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1A⊥BC，又因为AA1∩AD＝D，所以BC⊥平面A1AD．…………………解：（Ⅱ）因为∠BAC＝90°，BC＝A1D＝4，D是BC的中点，所以，．因为A1A⊥底面ABC，所以．所以三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：＝8．………………………17．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．（Ⅰ）求证：直线DE∥平面ABC；（Ⅱ）求直线AB1与平面AEF所成角的大小．【分析】（I）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一条直线与DE平行即可，过DE构造平行四边形，使其与平面ABC相交，则可得DE与交线平行，所以进一步可得DE∥平面ABC；（II）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，令AB＝AA1＝4，求出平面的法向量与直线的方向向量用向量法求解即可．【解答】（I）证明：设AB的中点为G，连接DG，CG，则DG∥AA1且DG＝AA1，又EC∥AA1且EC＝AA1，所以DG∥EC且DG＝EC，所以四边形DGCE为平行四边形，∴DE∥GC，又DE⊄ABC，GC⊄面ABC∴DE∥平面ABC；（II）解：如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，令AB＝AA1＝4，则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4），D（2，0，2 ），＝（−2，2，−4），＝（2，−2，−2），＝（2，2，0），∴•＝0，•＝0，∴⊥，⊥，∵AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF．∴平面AEF的一个法向量为＝（−2，2，−4）．又＝（4，0，4），设直线AB1与平面AEF所成角为θ，所以sinθ＝cos＜，＞＝＝，所以直线AB1与平面AEF所成角为．18．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF∥CE且AF＝2CE，G是线段BF上一点，AB＝AF＝BC＝2．（Ⅰ）当GB＝GF时，求证：EG∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；（Ⅲ）是否存在点G，满足BF⊥平面AEG？并说明理由．【分析】（Ⅰ）当GB＝GF时，根据线面平行的判定定理即可证明EG∥平面ABC；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；（Ⅲ）根据线面垂直的判定定理和性质定理，建立条件关系即可得到结论．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点D，连接GD，CD，又GB＝GF，所以AF＝2GD．因为AF∥CE且AF＝2CE，所以GD平行且等于CE，四边形GDCE是平行四边形，所以CD∥EG因为EG⊄平面ABC，CD⊂平面ABC所以EG∥平面ABC．（Ⅱ）解：因为平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF＝AC，且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，所以AF⊥AB，AF⊥BC因为BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF．如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），＝（0，2，0）是平面ABF的一个法向量．设平面BEF的法向量＝（x，y，z），则令y＝1，则z＝﹣2，x＝﹣2，所以＝（﹣2，1，﹣2），所以cos＜，＞＝＝，由题知二面角E﹣BF﹣A为钝角，所以二面角E﹣BF﹣A的余弦值为﹣．（Ⅲ）解：因为＝（﹣2，0，2）•（2，2，1）＝﹣20≠0，所以BF与AE不垂直，所以不存在点G满足BF⊥平面AEG．19．首项为0的无穷数列{a n}同时满足下面两个条件：①|a n+1﹣a n|＝n；②．（Ⅰ）请直接写出a4的所有可能值；（Ⅱ）记b n＝a2n，若b n＜b n+1对任意n∈N*成立，求{b n}的通项公式；（Ⅲ）对于给定的正整数k，求a1+a2+…+a k的最大值．【分析】（Ⅰ）直接利用赋值法求出结果．（Ⅱ）利用假设法和分析法求出数列的通项公式．（Ⅲ）利用上步的结论和分类讨论思想求出结果．解：（Ⅰ）a4的值可以取﹣2，0，﹣6（Ⅱ）因为b n＝a2n，因为b n＜b n+1对任意n∈N*成立，所以{b n}为单调递增数列，即数列{a n}的偶数项a2，a4，a6，…，a2n…是单调递增数列根据条件a2＝﹣1，a4＝0所以当a2n≥0对n≥2成立下面我们证明“数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数”假设数列{a n}中存在a i，a i+1同时为非负数因为|a i+1﹣a i|＝i，若a i+1﹣a i＝i，则有，与条件矛盾若a i+1﹣a i＝﹣i，则有，与条件矛盾所以假设错误，即数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数此时a2n≥0对n≥2成立，所以当n≥2时，a2n﹣1≤0，a2n+1≤0，即a2n﹣1＜a2n，a2n+1＜a2n所以a2n﹣a2n﹣1＝2n﹣1，a2n﹣1﹣a2n﹣2＝﹣（2n﹣2）所以（a2n﹣a2n﹣1）+（a2n﹣1﹣a2n﹣2）＝1即a2n﹣a2n﹣2＝1，其中n≥2即b n﹣b n﹣1＝1，其中n≥2又b1＝a2＝﹣1，b2＝a4＝0所以{b n}是以b1＝﹣1，公差为1的等差数列，所以b n＝﹣1+（n﹣1）＝n﹣2（Ⅲ）记S k＝a1+a2+a3+…+a k﹣1+a k由（Ⅱ）的证明知，a n，a n+1不能都为非负数当a n≥0，则a n+1＜0，根据|a n+1﹣a n|＝n，得到a n+1＝a n﹣n，所以当a n+1≥0，则a n＜0根据|a n+1﹣a n|＝n，得到a n＝a n+1﹣n，所以所以，总有a n+a n+1≤0成立当n为奇数时，|a n﹣a n+1|＝n，故a n﹣1，a n的奇偶性不同，则a n+a n+1≤﹣1当n为偶数时，a n+1+a n≤0当k为奇数时，S k＝a1+（a2+a3）+…+（a k﹣1+a k）≤0考虑数列：0，﹣1，1，﹣2，2，…，，可以验证，所给的数列满足条件，且S k＝0所以S k的最大值为0当k为偶数时，考虑数列：0，﹣1，1，﹣2，2，…，﹣，，可以验证，所给的数列满足条件，且所以S k的最大值为．。
