高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第二部分 高考热点39题《专题三 40分附加题大突破与抢分秘诀》第34题

小题狂练(四)1．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则M ∩N ＝________.2．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．3．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为________．4．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝45°，则b ＝________.5．若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线l ，则l 与线段BC 相交的概率为________．6．已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2)，且当n ＝1时其图象过点(2,8)，则a 7的值为________．7．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ≤π2的部分图象如图，则φ的值为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于________．9．如图是一个算法的流程图，则最后输出的S ＝________.10．设l是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是________．①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ④如果α⊥β，l与α，β都相交，那么l与α，β所成的角互余11．已知函数f(x)＝x33＋ax22＋2bx＋c在区间(0,1)内取极大值，在区间(1,2)内取极小值，则z＝(a＋3)2＋b2的取值范围为________．12．平面向量a，b满足|a＋2b|＝5，且a＋2b平行于直线y＝2x＋1，若b＝(2，－1)，则a＝________.13．(2012·南师大附中阶段测试)已知函数f(x)＝|x2＋2x－1|，若a＜b＜－1，且f(a)＝f(b)，则ab＋a＋b的取值范围是________．14．定义在实数集上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在[－3，－2]上单调递减，又α，β是锐角三角形的两内角，则f(sin α)与f(cos β)的大小关系是________．参考答案小题狂练(四)1．解析M∩N＝{1,2,3}∩{2,3,4}＝{2,3}．答案M∩N＝{2,3}2．解析由(z－2)i＝1＋i，得z＝1＋ii＋2＝3－i，所以|z|＝10.答案 103．解析 平均数x ＝14＋17＋18＋18＋20＋216＝18， 故方差s 2＝16(42＋12＋02＋02＋22＋32)＝5.答案 54．解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴b ＝8sin 60°sin 45°＝4 6.答案 4 65．解析 ∠BAC ＝60°，故所求的概率60°360°＝16.答案 166．解析 因为y ＝a n x 2在x ＝1处的切线斜率为2a n ，所以2a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，即a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，又8＝4a 1⇒a 1＝2，所以a 7＝a 1＋6×12＝5.答案 57．解析 由三角函数图象可得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝π＝2πω，解得ω＝2.由函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝0⇒φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，且0＜φ≤π2，所以φ＝π3.答案 π38．解析 圆x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|5＝1，弦AB 的长|AB |＝2r 2－d 2＝2 3.答案 2 3 9．解析 这是一个典型的当型循环结构，当n ＝1,3,5,7,9,11时满足条件，执行下面的语句，S ＝1＋3＋5＋7＋9＋11＝36，当n ＝13时不满足条件，退出循环，执行输出S ＝36.答案 3610．解析 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β，即命题①正确；如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β，即命题②正确；如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ，即命题③正确；如果α⊥β，l 与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角不一定互余，即命题④不正确．答案 ④11．解析 因为函数f (x )在区间(0,1)内取极大值，在区间(1,2)内取极小值，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＞0，f ′(1)＜0，f ′(2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＜0，1＋a ＋2b ＜0，a ＋b ＋2＞0，对应可行域如图，目标函数z ＝(a ＋3)2＋b 2的几何意义是可行域上的点(a ，b )到定点P (－3,0)的距离的平方，点P 到边界a ＋b ＋2＝0的距离的平方为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，到点(－1,0)的距离的平方为4，因为可行域不含边界，所以z 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4 12．解析 因为a ＋2b 平行于直线y ＝2x ＋1，所以可设a ＋2b ＝(m,2m )，所以|a＋2b |2＝5 m 2＝5，解得m ＝1或－1，a ＋2b ＝(1,2)或(－1，－2)，所以a ＝(1,2)－(4－2)＝(－3,4)或(－1，－2)－(4，－2)＝(－5，0)．答案 (－3,4)或(－5,0)13．解析 作出函数图象可知若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，即为a 2＋2a －1＝－(b 2＋2b －1)，整理得(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝4，设⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1＋2cos θ，b ＝－1＋2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2，所以ab ＋a ＋b ＝－1＋2sin 2θ∈(－1,1)．答案 (－1,1)14．解析 因为f (x ＋2)＝f (x )⇒f (x )的周期为2，所以f (x )，x ∈[－1,0]的单调性与[－3，－2]一致，单调递减，又f (x )是偶函数，所以在[0,1]上单调递增．又α，β是锐角三角形的两个内角，所以π2＜α＋β＜π⇒0＜π2－β＜α＜π2⇒1＞sin α＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β＞0⇒f (sin α)＞f (cos β)． 答案 f (sin α)＞f (cos β)。

活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
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高中新课程数学(苏教)二轮复习精选 洞察高考热点32题《
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿

必考问题17 数学思想在解题中的使用(一)【真题体验】1．(2012·江苏卷改编)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象和函数y ＝|lg x |的图象的交点共有________．分析 在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )，y ＝|lg x |的图象如图，由图象可知，两个函数的图象的交点共有10个．答案 102．(2012·江苏改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ，x ≤0，2，x ＞0，则方程f (x )＝x 解的个数是________． 分析 作出函数f (x )的图象如图，由图象可知，函数f (x )和y ＝x 的图象的交点个数是3，即方程f (x )＝x 的解的个数为3.答案 33．(2012·苏中三市调研)若函数f (x )＝|2x －1|，则函数g (x )＝f (f (x ))＋ln x 在(0,1)上不同的零点个数为________．分析 将函数g (x )＝f (f (x ))＋ln x 在(0,1)上不同的零点个数转化为函数y ＝f [f (x )]图象在(0,1)上和y ＝－ln x 图象的交点个数，作出图象如图，可知两个函数图象在(0,1)上有3个交点，故不同的零点个数为3.答案 34．(2012·苏中三市调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x ＜2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是________．分析 作出函数f (x )的图象，如图，由图象可知，当＜x ＜1时，函数f (x )和y ＝k 的图象有两个不同的交点，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)．答案 (0,1)5．(2012·南京、盐城模拟)若关于x 的方程kx ＋1＝ln x 有解，则实数k 的取值范围是________．分析 利用分离参数将不等式有解问题转化为函数值域的求解，再利用导数研究函数性质，作出图象，借助图象求函数值域．由题意可知k ＝ln x －1x(x ＞0)，所以k 的取值范围即为函数f (x )＝ln x －1x (x ＞0)的值域．因为f ′(x )＝2－ln x x 2(x ＞0)，由f ′(x )＝0解得x ＝e 2，且x ∈(0，e 2)时，f ′(x )＞0，函数f (x )递增；x ∈(e 2，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )递减，且该函数只有一个零点e ，所以函数图象的大致形状如图，故其值域为⎝⎛⎦⎤－∞，1e 2，即为k 的取值范围．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，1e 2 【高考定位】高考对本内容的考查主要有：函数和方程思想、数形结合思想都是高中数学的基本思想，也是高考的重点，是解题中重要的、常用的思想方法，使用函数和方程思想、数形结合的方法，很多棘手的问题能迎刃而解，且解法简捷．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常和函数、不等式等构成综合题，难度以中高档题居多．【应对策略】掌握函数和方程思想在解题中的使用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的．理解许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决．理解数形结合的本质，就是根据数和形之间的对应关系，通过数和形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．理解数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维的过程，有助于把握数学问题的本质，知道它是数学的规律性和灵活性的有机结合.必备知识1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．3．实现数形结合，常和以下内容有关：①实数和数轴上的点的对应关系；②函数和图象的对应关系；③曲线和方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．必备方法1．函数和方程思想(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0，函数问题(例如求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点．(2) 函数和不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图象和性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式．(3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要．(4) 分析几何中的许多问题，常需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程和二次函数的有关理论．(5) 立体几何中有关线段、面积、体积的计算，也常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．2．数形结合的思想方法使用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，大大简化了解题过程，这在解填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野．命题角度一利用函数和方程相互转化的观点解决函数、方程问题[命题要点] ①函数零点和方程的根相互转化；②函数和不等式相互转化.【例1】► (2012·徐州信息卷)已知函数f (x )＝ln x －a (x －1)x ＋b. (1)当b ＝1时，若函数f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，求a 的取值范围；(2)当a ＞0且b ＝0时，求证：函数f (x )存在唯一零点的充要条件是a ＝1；(3)设m ，n ∈(0，＋∞)，且m ≠n ，求证：m －n ln m －ln n＜m ＋n 2. [审题视点][听课记录][审题视点] 函数单调性的讨论，函数零点存在的充要条件，以及不等式的证明．(1)解 当b ＝1时，f ′(x )＝1x －a (x ＋1)－a (x －1)(x ＋1)2＝x 2＋(2－2a )x ＋1x (x ＋1)2. 因为f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，所有f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即x 2＋(2－2a )x ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，当x ∈(0，＋∞)时，由x 2＋(2－2a )x ＋1≥0，得2a －2≤x ＋1x. 设g (x )＝x ＋1x ，x ∈(0，＋∞)，所以g (x )≥2，当且仅当x ＝1x时，等号成立． 即x ＝1时，g (x )有最小值2，所以2a －2≤2，解得a ≤2.所以a 的取值范围是(－∞，2]．(2)证明 f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2(x ＞0)． 当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．综上所述，f (x )的单调递减区间为(0，a )；f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)．①充分性：a ＝1时，在x ＝1处有极小值也是最小值，即f min (x )＝f (1)＝0.f (x )在(0，＋∞)上有唯一的一个零点x ＝1.②必要性：f (x )＝0在(0，＋∞) 上有唯一解，且a ＞0，f (a )＝0，即ln a －a ＋1＝0.令g (a )＝ln a －a ＋1，g ′(a )＝1a －1＝1－a a. 当0＜a ＜1时，g ′(a )＞0，在(0,1)上单调递增；当a ＞1时，g ′(a )＜0，在(1，＋∞)上单调递减．g max (a )＝g (1)＝0，f (a )＝0只有唯一解a ＝1.f (x )＝0在(0，＋∞)上有唯一解时必有a ＝1.综上，在a ＞0时，f (x )＝0在(0，＋∞)上有唯一解的充要条件是a ＝1.(3)证明 不妨设m ＞n ＞0，则m n ＞1，要证m －n ln m －ln n＜m ＋n 2，只需要m n －1ln m n ＜m n ＋12，即证ln m n ＞2⎝⎛⎭⎫m n －1m n＋1， 只需证ln m n －2⎝⎛⎭⎫m n －1m n＋1＞0， 设h (x )＝ln x －2(x －1)x ＋1，由(1)知，h (x )在(1，＋∞)上是单调增函数，又m n ＞1，有h ⎝⎛⎭⎫m n ＞h (1)＝0，即ln m n －2⎝⎛⎭⎫m n －1m n＋1＞0成立，所以m －n ln m －ln n ＜m ＋n 2. 函数f (x )在区间D 上单调递增，一般转化为其导函数f ′(x )≥0恒成立，再利用不等式恒成立知识求解．函数零点的讨论通常是利用导数研究函数性质，充要条件的证明基本是要从充分性、必要性两个方面证明，而代数中的不等式证明一般是利用函数性质以算代证．【突破训练1】 (2012·苏州调研)已知函数f (x )＝|x －m |和函数g (x )＝x |x －m |＋m 2－7m .(1)若方程f (x )＝|m |在[－4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围；(2)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f (x 1)＞g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．解 (1)方程f (x )＝|m |，即|x －m |＝|m |，此方程在x ∈R 时的解为x ＝0和x ＝2m .要使方程|x －m |＝|m |在x ∈[－4，＋∞)上有两个不同的解．∴2m ≥－4且2m ≠0.则m 的取值范围是[－2,0)∪(0，＋∞)(2)原命题等价于：对于任意x 1∈(－∞，4]，任意x 2∈[3，＋∞)，f (x 1)min ＞g (x 2)min .对于任意x 1∈(－∞，4]，f (x 1)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0 (m ≤4)，m －4 (m ＞4). 对于任意x 2∈[3，＋∞)，g (x 2)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧m 2－10m ＋9 (m ＜3)，m 2－7m (m ≥3). ①当m ＜3时，0＞m 2－10m ＋9.∴1＜m ＜3.②当3≤m ≤4时，0＞m 2－7m .∴3≤m ≤4.③当m ≥4时，m －4＞m 2－7m .∴4≤m ＜4＋2 3综上所述，1＜m ＜4＋2 3.故m 的取值范围为(1,4＋23)．命题角度二 利用图象研究复杂函数的性质[命题要点] ①讨论复杂函数的性质；②和复杂函数零点、复杂方程有关的问题．【例2】► (2012·扬州期末检测)若关于x 的方程|x |x －1＝kx 2有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．[审题视点][听课记录][审题视点] 方程有四个不同的实数根是本题的唯一条件，怎么使用是解题的关键．分析 易知方程|x |x －1＝k x 2有一个根是0，当x ≠0时，原方程可变形为1k ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x －1)，x ＞0，－x (x －1)，x ＜0有3个非零根，所以即为函数y ＝1k 和y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)，x ＞0，－x (x －1)，x ＜0有3个横坐标不是0的交点，作出图象如图，所以－14＜1k＜0，解得k ＜－4. 答案 (－∞，－4)有关比较复杂的方程根的个数问题，一般要对方程化简变形，利用数形结合的方法求解，在画图时，要注意尽可能是研究动直线和定曲线的交点个数．【突破训练2】 (2012·镇江质量检测)方程1x －1＝2sin πx 在区间[－2 010,2 012]所有根之和等于________．分析 作出两个函数的图象如图，由图象可知，函数y ＝1x －1和y ＝2sin πx ，x ∈[－2 010,2 012]的图象有4 020个交点，两两关于点A (1,0)对称，所以每两个对称点的横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为2×2 010＝4 020.答案 4 020命题角度三 数形结合在求取值范围中的使用[命题要点] ①讨论抽象函数的性质；②利用数形结合建立关系求取值范围．【例3】► (2012·徐州质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋12，x ∈⎣⎡⎭⎫0，12，2x －1，x ∈⎣⎡⎭⎫12，2，若存在x 1，x 2，当0≤x 1＜x 2＜2时，f (x 1)＝f (x 2)，则x 1f (x 2)的取值范围是________．[审题视点][听课记录][审题视点] 分段函数及方程之间的关系，建立目标函数求取值范围．分析 作出函数f (x )的图象如图，由图象可知当0≤x 1＜12≤x 2＜2时，有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＋12＝2x 2－1，所以x 1f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫2x 2－1－122x 2－1，令2x 2－1＝t ∈⎣⎡⎭⎫22，1，由二次函数图象可知函数递增，所以y ＝⎝⎛⎭⎫t －12t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－24，12，即为x 1f (x 2)的取值范围． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－24，12求解取值范围的问题，一般要先建立目标函数，而本题在建立目标函数的过程中，图象起了直观、明了的作用，而求二次函数在给定区间的值域，实质也是图象法的使用．【突破训练3】 (2012·盐城模拟)若关于x 的不等式x 2＜2－|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．分析 因为不等式x 2＜2－|x －a |至少有一个负数解，即|x －a |＜2－x 2有负数解，在同一坐标系中作出函数y ＝|x －a |和y ＝2－x 2的图象，如图，当y ＝x －a 和y ＝2－x 2相切时，求得a ＝－94，将y ＝|x －a |右移到图中位置时，不等式刚好无负数解，此时a ＝2，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－94，2. 答案 ⎝⎛⎭⎫－94，2 16．解题时要有使用函数和方程思想、数形结合思想的意识一、在研究复杂方程根的个数时要能够数形结合【例1】► 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1 (x ≤0)，f (x －1) (x ＞0)，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．分析 作出函数f (x )和y ＝x ＋a 的图象如图，由图象可知0≤a ＜1时，两图象有两个交点，方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，所以所求实数a 的取值范围是[0,1)．答案 [0,1)老师叮咛：这道题是已知方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，但由于函数f (x )的分析式未知，所以从代数的角度显然行不通，如果从图形的角度理解，将代数问题(方程的根)转化为几何问题(两个函数图象的交点个数)，使问题得以顺利解决.二、在抽象函数性质的研究中要重视数形结合思想的使用【例2】► 若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 4|x |的零点个数为________．分析 偶函数f (x )的周期为2，且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，作出函数f (x )的部分图象如图，而函数y ＝f (x )－log 4|x |的零点即为函数f (x )和y ＝log 4|x |的图象的交点横坐标，由图象可知，交点有6个，故函数y ＝f (x )－log 4|x |的零点是6个．答案 6老师叮咛：这道题中函数f (x )在R 上的分析式没有给出，所以函数y ＝f (x )－log 4|x |的零点用代数法无法求解，就算你能求出函数f (x )在R 上的分析式，那也会是一个浩大的工程，所以这类题，“以形助数”几乎是唯一的方法．三、函数问题中的主元思想很重要【例3】► 已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．解 ∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3，原题转化为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立，为m 的一次函数(这里思维的转化很重要)，当x ＝2时，不等式不成立．∴x ≠2.令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎡⎦⎤12，3，问题转化为g (m )在m ∈⎣⎡⎦⎤12，3上恒大于0，则⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12＞0，g (3)＞0，解得：x ＞2或x ＜－1.老师叮咛：首先明确本题是求x 的取值范围，这里注意另一个变量m ，不等式的左边恰是m 的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决。

必考问题18 数学思想在解题中的应用(二)【真题体验】1．(2012·南通期末调研)已知函数f (x )＝3sin x2，如果存在实数x 1，x 2，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析 由条件可得f (x 1)＝f (x )min ＝－3，f (x 2)＝f (x )max ＝3，所以|x 1－x 2|的最小值等于12个周期，而周期T ＝2π12＝4π，故|x 1－x 2|min ＝12T ＝2π.答案 2π2．(2012·苏锡常镇四市调研)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为实数，a ≠0)的图象过点C (t,2)，且与x 轴交于A ，B 两点，若AC ⊥BC ，则a 的值为________．解析 因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为实数，a ≠0)的图象过点C (t,2)，所以at 2＋bt ＋c ＝2，设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则由韦达定理可得x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，且AC ⊥BC 可以转化为k AC ·k BC ＝2t －x 1·2t －x 2＝－1，变形得(t －x 1)(t －x 2)＝－4，即为c a ＋ba t ＋t 2＝－4⇒at 2＋bt＋c ＝－4a ＝2⇒a ＝－12.答案 －123．(2012·启东中学模拟)若关于x 的不等式x 2＋2x ＋a ＋2＞0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．解析 利用二次函数图象可以将问题转化为Δ＝4－4(a ＋2)＜0，解得a ＞－1. 答案 (－1，＋∞)4．(2012·江苏卷改编)解关于x 的不等式：log a ⎝⎛⎭⎫1－1x ＞1. 解 解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不 等式．而对数函数的单调性因底数a 的取值不同而不同，故需对a 进行分类讨论． 若a ＞1，则原不等式等价于1－1x ＞a ⇒11－a＜x ＜0，若0＜a ＜1，则原不等式等价于⎩⎨⎧1－1x＞0，1－1x ＜a⇒1＜x ＜11－a； 综上所述，当a ＞1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪11－a ＜x ＜0；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪1＜x ＜11－a .【高考定位】高考对本内容的考查主要有：1．分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置．2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．所以转化与化归是高考必考思想方法．试题类型基本是解答题，经常与函数与导数、不等式、数列等构成综合题，难度以中高档题居多．【应对策略】掌握当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．熟悉数学中的常见转化，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．必备知识1．分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定．但可以在解题时不断地总结经验．如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或者较为隐蔽的“个别”情况未必成立．这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论．常见的“个别”情形略举以下几例：(1)“方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实数解”转化为“Δ＝b 2－4ac ≥0”时忽略了个别情形：当a ＝0时，方程有解不能转化为Δ≥0；(2)等比数列{a 1q n －1}的前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q中有个别情形：q ＝1时，公式不再成立，而是S n ＝na 1；(3)设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，但有个别情形：当直线与x 轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑；(4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为x a ＋ya ＝1，但有个别情形：a ＝0时，再不能如此设，应另行考虑．2．化归与转化应遵循的基本原则：(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识、经验来解决问题；(2)简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；(3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；(5)正难则反原则：当问题正面解决遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从反面去探求，使问题获解．必备方法1．分类讨论：(1)分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论；(2)分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论；(3)含参数问题的分类讨论是常见题型；(4)注意简化或避免分类讨论．2．等价转化：熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系；“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题．命题角度一 分类讨论思想在解题中的应用[命题要点] ①公式中的分类讨论，如数列公式；②函数、不等式中的分类讨论． 【例1】► (2012·泰州期末)已知数列{a n }，对于任意n ≥2，在a n －1与a n 之间插入n 个数，构成的新数列{b n }成等差数列，并记在a n －1与a n 之间插入的这n 个数均值为c n －1.(1)若a n ＝n 2＋3n －82，求c 1，c 2，c 3；(2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{c n ＋1－λc n }是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由；(3)求出所有的满足条件的数列{a n }． [审题视点] [听课记录][审题视点] 等差数列的概念、通项公式的应用． 解 (1)由题意a 1＝－2，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝10，∴在a 1与a 2之间插入－1、0，c 1＝－12；在a 2与a 3之间插入2、3、4，c 2＝3；在a 3与a 4之间插入6、7、8、9，c 3＝152.(2)在a n －1与a n 之间插入n 个数构成等差，d ＝a n －a n －1n ＋1＝1，∴c n －1＝n (a n －1＋a n )2n ＝a n －1＋a n2＝n 2＋2n －92，假设存在λ使得{c n －1－λc n }是等差数列，∵(c n ＋1－λc n )－(c n －λc n －1)＝c n ＋1－c n －λ(c n －c n－1)＝2n ＋52－λ·2n ＋32＝(1－λ)n ＋52－32λ＝常数，∴λ＝1时{c n ＋1－λc n }是等差数列． (3)由题意满足条件的数列{a n }应满足a n －a n －1n ＋1＝a n ＋1－a n n ＋2，∴a n ＋1－a n a n －a n －1＝n ＋2n ＋1，∴a n ＋1－a n a n －a n －1·a n －a n －1a n －1－a n －2…a 4－a 3a 3－a 2·a 3－a 2a 2－a 1＝n ＋2n ＋1·n ＋1n…54·43＝n ＋23，∴a n ＋1－a n ＝13(a 2－a 1)·(n ＋2)，∴a n －a n －1＝13(a 2－a 1)·(n ＋1)，…，a 3－a 2＝13(a 2－a 1)×4，a 2－a 1＝13(a 2－a 1)×3，∴a n －a 1＝13(a 2－a 1)·(n －1)(3＋n ＋1)2(n ≥2)∴a n ＝16(a 2－a 1)(n －1)(n ＋4)＋a 1(n ≥2)，又∵n ＝1时也满足条件∴形如a n ＝a (n －1)(n ＋4)＋b (a ，b ∈R )的数列均满足条件．数列问题中涉及分类讨论的公式有两个，即a n 与S n 之间的关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1，n ≥2和等比数列的求和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1a 1(1－q n )1－q，q ≠1.【突破训练1】 (2012·泰州月考)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2x ，正实数a ，b ，c 是公差为正数的等差数列，且满足f (a )·f (b )·f (c )＜0，若实数d 是函数f (x )的一个零点，那么下列四个判断：①d ＜a ；②d ＞a ；③d ＞c ；④d ＜c 中有可能成立的序号为________．解析 因为正实数a ，b ，c 是公差为正数的等差数列，所以a ，b ，c 由小到大等距离地分布在x 轴的正半轴上，又f (a )·f (b )·f (c )＜0，而在(0，d )上，均有f (x )＞0，在(d ，＋∞)上，均有f (x )＜0，则a ，b ，c 可能都在d 的右侧，也可能a ，b 在d 的左侧，c 在d 的右侧，所以判断①②④均可能成立，③不可能成立．答案 ①②④命题角度二 等价转化思想在解题中的应用[命题要点] ①等价转化在代数中的应用；②等价转化在几何中的应用．【例2】► (2012·南师附中模拟)记F (a ，θ)＝a 2＋2a sin θ＋2a 2＋2a cos θ＋2，对于任意实数a 和θ，F (a ，θ)的最大值与最小值的和是________．[审题视点] [听课记录][审题视点] 利用斜率公式将问题转化为过点作圆的两条切线，再利用直线与圆相切的条件，求解最大值、最小值．解析 F (a ，θ)＝2a sin θ＋a 2＋22a cos θ＋a 2＋2＝sin θ＋a 2＋22a cos θ＋a 2＋22a，几何意义是动点(cos θ，sin θ)与动点⎝⎛⎭⎫－a 2＋22a，－a 2＋22a 连线的斜率，其中动点(cos θ，sin θ)在圆心在原点，半径为1的圆上，动点⎝⎛⎭⎫－a 2＋22a ，－a 2＋22a 在射线y ＝x (x ≤－2或x ≥2)上，作出图形可知F (a ，θ)的最大值与最小值分别是过点⎝⎛⎭⎫－a 2＋22a，－a 2＋22a 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线的斜率，且当⎝⎛⎭⎫－a 2＋22a，－a 2＋22a 为(2，2)或(－2，－2)时，两条切线的斜率分别是最大值与最小值，不妨设过点(2，2)作圆x 2＋y 2＝1的切线方程为y －2＝k (x －2)，即为k x －y ＋2(1－k )＝0，所以2|1－k |k 2＋1＝1，化简得k 2－4k ＋1＝0，由韦达定理得k 1＋k 2＝4，即F (a ，θ)的最大值与最小值的和为4.答案 4分式函数的最值问题经常与过两点的直线的斜率公式联系起来，实现代数与几何之间的等价转化．还有很多类似的转化，如求某一区间上函数z ＝2x ＋y 的最值，其几何意义与直线的纵截距有关，函数z ＝x 2＋y 2的最值，与点(x ，y )到原点的距离的平方有关，平时学习时要注意积累．【突破训练2】 (2012·启东中学模拟)若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．解析 函数f (x )在区间(－1,1)内恰有一个极值点可以等价转化为f ′(x )＝0在区间(－1,1)内恰有一个解，因为f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，所以f ′(－1)f ′(1)＝(3－2－a )(3＋2－a )＜0，解得1＜a ＜5，当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2＋2x －1＝(x ＋1)(3x －1)＝0，解得x ＝－1或x ＝13，满足题意；当a ＝5时，f ′(x )＝3x 2＋2x －5＝(x －1)·(3x ＋5)＝0，解得x ＝1或x ＝－53，不满足题意，综上，实数a 的取值范围是[1,5)．答案 [1,5)17．等价转化是关键，分类讨论要重视一、分类讨论不要造成漏解【例1】► 已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线的方程为2x －y ＝0，则该双曲线的离心率为________．解析 当双曲线的焦点在x 轴上时，ba ＝2，解得e ＝5；当双曲线的焦点在y 轴上时，a b ＝2，b a ＝12，解得e ＝52，所以该双曲线的离心率为5或52. 答案5或52老师叮咛：双曲线的渐近线方程与焦点位置有关，本题中焦点位置不确定，所以要对焦点位置进行讨论，当焦点在x 轴上时，渐近线方程为y ＝±\f(b,a )x ，当焦点在y 轴上时，渐近线方程为y ＝±a bx .二、应用等价转化思想将不熟悉问题转化为熟悉问题【例2】► 已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0，|Ax 1＋By 1＋C |＞|Ax 2＋By 2＋C |，则给出下列四种说法，其中正确的序号是________．①直线l 与直线P 1P 2不相交；②直线l 与线段P 2P 1的延长线相交；③直线l 与线段P 1P 2的延长线相交；④直线l 与线段P 1P 2相交．解析 将符号语言转化为图形语言．由(Ax 1＋By 1＋C )·(Ax 2＋By 2＋C )＞0知，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)的同侧，由|Ax 1＋By 1＋C |＞|Ax 2＋By 2＋C |，结合点到直线的距离公式可得点P 1比点P 2到直线l 的距离大，故直线l 与线段P 1P 2的延长线相交．答案 ③老师叮咛：不熟悉的、陌生的问题要根据形式，利用所学知识向熟悉的问题转化，这是解题能力很重要的方面，所以平时学习时要注意知识之间的交汇处，突出知识体系的建立．``。