奥数第九讲作业

四年级奥数重点常考第九讲变化规律（一）分层作业基础卷1、两个数相加.一个加数增加9.另一个加数增加18.和起什么变化？答：和增加27.2、两个数相加.如果一个加数减少7.要使和增加7.另一个加数应如何变化？另一个加数增加7+7=143、两个数相加.如果一个加数减少4.要使和减少9.另一个加数应如何变化？两数相加,如果一个加数减少4,要使和减少9,另一个加数应减少54、两个数相加.如果一个加数增加11.要使和减少5.另一个加数应如何变化？两个加数相加.如果一个加数增加11.要使和减少5.另一个加数应减少16．故答案为：另一个加数应减少16．5、两数相减.若被减数减少6.减数减少7.差有何变化？答：两数相减.若被减数减少6.减数减少7.差会增加1．6、两数相减.若被减数增加8.减数减少18.差有何变化？差增加26.提高卷1、两数相减.被减数减少15.要使差减少9.减数应怎样变化？两数相减.被减数减少15.要使差减少9.减数应减少：15-9=62、两数相减.被减数减少9.要使差增加4.减数应怎样变化？两数相减.被减数减少9.要使差增加4.减数应（减小13）3、两数相减.减数增加7.要使差增加10.被减数应怎样变化？要使差增加10.被减数应增加174、被减数、减数、差相加得1050.减数是差的一半。

如果被减数不变.差要减少30.减数应变为多少？因为被减数=减数+差,所以被减数=1050÷2=525,减数是差的一半,所以减数为175,差为350差少的,就是减数增加的,所以减数应该增加30,为2055、在一个减法算式里.被减数、减数、差的和是150.减数是差的4倍。

如果被减数减少35.而。

第九讲还原问题1、一个数的5倍加上6，减去10，再除以9，得4。

这个数是多少？2、某数加上2，乘以5，除以11，再减去8，结果是1。

求这个数。

3、老奶奶卖鸡蛋，上午卖了总数的一半，中午卖了剩下的一半，下午再卖了剩下的一半，晚上将剩下的5只煮成荷包蛋。

那么老奶奶原有鸡蛋多少个？4、小明妈妈给家里买了一些水果，第一天他们一家三口吃了全部的一半，第二天又吃了剩下的一半，第三天吃了剩下的一半还多一个，这时只剩下2个桃子。

问：小明妈妈买了多少个桃子。

5、小明看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，还剩下15页没看。

这本故事书一共有多少页？6、有一箱图书，小红拿走了一半多1本，小丽拿走剩下的一半多2本，小强拿走再剩下的一半多3本，箱里还剩2本，问这箱图书共有多少本？7、一堆桔子，甲取走一半，放回一个；乙接着取走余下的一半，放回一个；丙最后取走余下的一半，放回一个，这时剩下7个。

那么原有多少个桔子？8、粮店库存面粉若干袋，第一天卖出库存的一半多4袋，第二天卖出剩下的一半少3袋，第三天运进30袋，这时粮店里共有面粉50袋。

求粮店里原有面粉多少袋。

9、粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半多20吨，第二次运出剩下的一半少6吨，第三次运出剩下的一半少12吨，最后剩40吨。

问：粮库里原有面粉多少吨？10、一捆电线，第一次用去全长的一半少5米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩35米。

这捆电线原有多少米？11、三只笼子里共养24只兔子，如果从第一只笼子里取出4只放到第二只笼子里，再从第二只笼里取出3只放到第三只笼子里，最后从第三只笼子取出4只放到第一只笼子里，那么三只笼里的兔子就一样多。

原来三只笼里各养了多少只兔子？12、四个袋子共有168粒棋子，小红过来一看，把棋子作如下的调整：把丁袋调3粒到丙袋，丙调6粒到乙袋，乙又调6粒到甲袋，甲袋调2粒到丁袋。

这时，四个袋子的棋子一样多。

第九讲 整除和位值原理例1：证明：当a c >时，abc cba -必是9的倍数。

例2：有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。

求原来的两位数。

例3： a ，b ，c 是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c ）的多少倍？例4：用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？例5：一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。

例6：将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。

A1.一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是 ．2.有三个正整数a 、b 、c 其中a 与b 互质且b 与c 也互质，给出下面四个判断：①(a+c)2不能被b 整除，②a 2+c 2不能被b 整除：③(a+b)2不能被c 整除；④a 2+b 2不能被c 整除，其中，不正确的判断有( )．A ．4个B ．3个C 2个D ．1个3.已知7位数61287xy 是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．4.(1)一个自然数N 被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N 的最小值是 ．(北京市竞赛题)(2)若1059、1417、2312分别被自然数x 除时，所得的余数都是y ，则x —y 的值等于( )．A ．15B ．1C ．164D ．174(“五羊杯”竞赛题)(3)设N=个1990111，试问N 被7除余几?并证明你的结论． (安徽省竞赛题)5.盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了7个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了7个小球后放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是( )A ．1990个B ．1991个C 1992个D ．1993个B6.在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个?7.某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．8.写出都是合数的13个连续自然数．9.已知定由“若大于3的三个质数a 、b 、c 满足关系式20+5b=c ，则a+b+c 是整数n 的倍数”．试问：这个定理中的整数n 的最大可能值是多少?请证明你的结论．10.一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”．11.设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c (a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为cba ．由“新生数”的定义，得N=abc —cba =(100a+l0b+c)一(100c+l0b+d)=99(a —c)．C12.从左向右将编号为1至2002号的2002个同学排成一行，从左向右从1到11报数，报到11的同学原地不动，其余同学出列；然后，留下的同学再从左向右从1到11报数，报到11的同学留下，其余同学出列；留下的同学再从左向左从1到11地报数，报到11的同学留下，其余同学出列．问最后留下的同学有多少?他们的编号是几号?13.在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数cba cab bca bac abc、、、、的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数abc ．现在设N=3194，请你做魔术师，求出数abc 来．14.某公园门票价格对达到一定人数的团队按团队票优惠．现有A 、B 、C 三个旅游团共72人，如果各团单独购票，门票费依次为360元、384元、480元；如果三个团合起来购票，总共可少花72元．(1)这三个旅游团各有多少人?(2)在下面填写一种票价方案，使其与上述购票情况相符．15.在下边的加法算式中，每个口表示一个数字，任意两个数字都不同：试求A 和B 乘积的最大值．16.任给一个自然数N ，把N 的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的自然数N ′，试证明：N N '-能被9整数．17.证明：111111+112112十113113能被10整除．1.在下列数中，哪些能被4整除？哪些能被9整除？哪些能被3整除？28、96、120、225、540、768、423、224、2922.（1）五位数A1A72能被12整除；（2）五位数4B97B 能被12整除，求这两个五位数。

第9讲：周期问题专题简析：在日常生活中，有一些按照一定规律不断重复的现象，如十二生肖、一年有春夏秋冬四个季节、一个星期有七天等等。

像这种日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单的周期问题。

这类问题一般要利用余数的知识来解答。

在研究这些简单周期问题时，我们先要仔细审题，找出其不断重复出现的规律，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数求出正确的结果。

例题1、有一列数5、6、2、4、5、6、2、4、……（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少？习题一、1、有一列数1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7、……（1）第58个数是多少？（2）这58个数相加的和是多少？2、小青把积存下来的游戏币按先四个1元、再三个2元、最后两个5元这样的顺序一直往下排列。

（1）第111个游戏币的面值是多少？（2）这111个游戏币的面值之和是多少？3、河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃树，在后面两棵是水蜜桃树，在后面三棵是大青桃树，接下来总是按一棵蟠桃树，两棵水蜜桃树，三棵大青桃树这样的规律种下去。

第100棵是哪种桃树？三种桃树各有多少棵？例题2、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表每年。

例如，第一年如果是鼠年，第二年就是牛年，第三年就是虎年。

如果公元1年是鸡年，那么公元2001年是什么年？习题二、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物轮流代表每年。

1、如果公元3年是猪年，那么公元2000年是什么年？2、如果公元6年是虎年，那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？3、公元2001年是蛇年，公元2年是什么年？上表中每一列的两个符号组成1组，如第一组“A万”第2组“B事”……第20组是什么？2、有同样大小的红珠、白珠、黑珠共120颗，按先3颗红珠后2颗白珠再1颗黑珠排列。

问：（1）白珠共有多少颗？（2）第68颗珠子是什么颜色？3、课外活动课上，有四个同学在进行报数游戏，他们围城一圈，甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，丁报“4”，每个人报的数总是比前一个人多1,45是谁报的？123呢？例题4、在一根绳子上依次串4颗红珠、2颗白珠、1颗黑珠，并按此顺序依次重复。

第9讲一般应用题（三）一、知识要点解答一般应用题时，可以按下面的步骤进行：1.弄清题意，找出已知条件和所求问题；2.分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；3.拟定解答计划，列出算式，算出得数；4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。

二、精讲精练【例题1】甲、乙两工人生产同样的零件，原计划每天共生产700个。

由于改进技术，甲每天多生产100个，乙的日产量提高了1倍，这样二人一天共生产1020个。

甲、乙原计划每天各生产多少个零件？练习1：1.工厂里有2个锅炉，原来每月烧煤5.6吨。

进行技术改造后，1号锅炉每月节约1吨煤，2号锅炉每月烧煤量减少了一半，现在每月共烧煤3.5吨。

原来两个锅炉每月各烧煤多少吨？2.甲、乙两人生产同样的零件，原计划每天共生产80个。

由于更换了机器，甲每天多做40个，乙每天生产的是原来的4倍，这样二人一天共生产零件300个。

甲、乙原计划每天各生产多少个零件？【例题2】把一根竹竿插入水底，竹竿湿了40厘米，然后将竹竿倒转过来插入水底，这时，竹竿湿的部分比它的一半长13厘米。

求竹竿的长。

练习2：1.有一根铁丝，截去一半多10厘米，剩下的部分正好做一个长8厘米，宽6厘米的长方形框架。

这根铁丝原来长多少厘米？2.有一根竹竿，两头各截去20厘米，剩下部分的长度比截去的4倍少10厘米。

这根竹竿原来长多少厘米？【例题3】将一根电线截成15段。

一部分每段长8米，另一部分每段长5米。

长8米的总长度比长5米的总长度多3米。

这根铁丝全长多少米？练习3：1.某人过一个小山坡共用了20分钟，他上坡每分钟走80米，下坡每分钟走102米。

上坡路比下坡路少220米。

这段小坡路全长多少米？2.食堂里买来15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10千克。

已知买回的大米比面粉多165千克，求买回大米、面粉各多少千克？【例题4】甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去2.5小时改装机器，因此前4小时甲比乙少做400个零件。

第9讲一般应用题（三）一、知识要点解答一般应用题时，可以按下面的步骤进行：1.弄清题意，找出已知条件和所求问题；2.分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；3.拟定解答计划，列出算式，算出得数；4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。

二、精讲精练【例题1】甲、乙两工人生产同样的零件，原计划每天共生产700个。

由于改进技术，甲每天多生产100个，乙的日产量提高了1倍，这样二人一天共生产1020个。

甲、乙原计划每天各生产多少个零件？练习1：1.工厂里有2个锅炉，原来每月烧煤5.6吨。

进行技术改造后，1号锅炉每月节约1吨煤，2号锅炉每月烧煤量减少了一半，现在每月共烧煤3.5吨。

原来两个锅炉每月各烧煤多少吨？2.甲、乙两人生产同样的零件，原计划每天共生产80个。

由于更换了机器，甲每天多做40个，乙每天生产的是原来的4倍，这样二人一天共生产零件300个。

甲、乙原计划每天各生产多少个零件？【例题2】把一根竹竿插入水底，竹竿湿了40厘米，然后将竹竿倒转过来插入水底，这时，竹竿湿的部分比它的一半长13厘米。

求竹竿的长。

练习2：1.有一根铁丝，截去一半多10厘米，剩下的部分正好做一个长8厘米，宽6厘米的长方形框架。

这根铁丝原来长多少厘米？2.有一根竹竿，两头各截去20厘米，剩下部分的长度比截去的4倍少10厘米。

这根竹竿原来长多少厘米？【例题3】将一根电线截成15段。

一部分每段长8米，另一部分每段长5米。

长8米的总长度比长5米的总长度多3米。

这根铁丝全长多少米？练习3：1.某人过一个小山坡共用了20分钟，他上坡每分钟走80米，下坡每分钟走102米。

上坡路比下坡路少220米。

这段小坡路全长多少米？2.食堂里买来15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10千克。

已知买回的大米比面粉多165千克，求买回大米、面粉各多少千克？【例题4】甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去2.5小时改装机器，因此前4小时甲比乙少做400个零件。

第9讲相遇问题知识网络相遇问题属于行程问题。

无论是走路、行车还是物体的移动，总是要涉及到三个量：路程、速度、时间。

路程、速度、时间三者之间的数量关系，不仅可以表示成：路程=速度×时间，还可以变形成以下两个关系式：速度=路程÷时间，时间=路程÷速度一般的相遇问题：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在A地到B地之间的某处相遇，实质上是甲、乙两人一起走了这段路程，如果两人同时出发，那么有：甲走的路程+乙走的路程=全程甲（乙）走的路程=甲（乙）的速度×相遇时间全程=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=速度和×相遇时间重点·难点以上给出的是相遇问题的一般情况，但在实际问题中，两人可能不同时出发，或其他条件比起一般情况发生变化，要注意区分。

学法指导相遇问题的计算关系式为：总路程=速度和×相遇时间这里的总路程指两人从出发到相遇共同走的路程；“速度和”指两人在单位时间内共同走的路程；“相遇时间”指从出发到相遇所经历的时间。

通常情况下对于相遇问题的求解还要借助于线段图来进行直观地分析和理解题意，以突破难点。

经典例题[例1]甲乙两站相距840千米，两列火车同时从两站相对开出，8小时后相遇，第一列火车的速度是每小时52千米，问第二列火车的速度是多少？思路剖析相遇时第一列火车走的路程与第二列火车走的路程的和为全程。

而路程=速度×时间，那么第一列火车速度×相遇时间+第二列火车速度×相遇时间=全程。

因此第一列火车速度+第二列火车速度=全程÷相遇时间。

再由已知的第一列火车的速度，那么第二列火车的速度可知。

解答两列火车的速度和：840÷8=105（千米／小时）第二列火车的速度：105-52=53（千米／小时）答：第二列火车的速度是53千米／小时。

[例2]上午9时，小宇和弟弟同时从家出发去学校参加活动，小宇骑自行车，每分钟行300米；弟弟步行，每分钟行70米。

第九讲整数的分拆例1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示.他们每人打了两发子弹.小兵共打中6环，小军共打中5环.又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发.你知道他俩打中的都是哪几环吗？解：已知小兵两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6=1+5=2+4；同理，要求小军每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3.由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环.例2 某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想买7分钱的一件商品，他应如何付款？买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢？他又将如何付款？解：这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆.7=1+2+49=1+810=2+813=1+4+814=2+4+815=1+2+4+8外星人可按以上方式付款.例3 有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好.现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案.解：可以这样想：因为200的个位数是0，又知只有5个8相加才能使和的个位数字为0，这就是说，可以把200分成5个数，每个数的个位数字都应是8.这样由8×5=40及200-40=160，可知再由两个8作十位数字可得80×2=160即可.最后得到下式：88+88+8+8+8=200.例4 试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和.解：1=1×1=12=1（特例）4=2×2=22=1+39=3×3=32=1+3+516=4×4=42=1+3+5+725=5×5=52=1+3+5+7+936=6×6=62=1+3+5+7+9+1149=7×7=72=1+3+5+7+9+11+1364=8×8=82=1+3+5+7+9+11+13+1581=9×9=92=1+3+5+7+9+11+13+15+17100=10×10=102=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19.观察上述各式，可得出如下猜想：一个完全平方数可以写成从1开始的若干连续奇数之和，这个平方数就等于奇数个数的自乘积（平方）.检验：把11×11=121，和12×12=144，两个完全平方数分拆，看其是否符合上述猜想.121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23结论:上述猜想对121和144两个完全平方数是正确的.例5 从1～9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？解：将1～9的九个自然数从小到大排成一列：1，2，3，4，5，6，7，8，9.分析先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求.但用次大的2和最大的9相加，和为11符合要求，得11=2+9.逐个做下去，可得11=3+8，11=4+7，11=5+6.可见共有4种不同的写法.例6 将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把它们一一列出.解：可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然数之和，三个数中最小的数应为1，其次是2，那么第三个数就应是9得：12=1+2+9.下面进行变化，如从9中取1加到2上，又得12=1+3+8.继续按类似方法变化，可得下列各式：12=1+4+7=2+3+7，12=1+5+6=2+4+6.12=3+4+5.共有7种不同的分拆方式.例7 将21分拆成四个不同的自然数相加之和，但四个自然数只能从1～9中选取，问共有多少种不同的分拆方式，请你一一列出.解：也可以先从最大的数9考虑选取，其次选8，算一算21-（9+8）=4，所以接着只能选3和1.这样就可以得出第一个分拆式：21=9+8+3+1，以这个分拆式为基础按顺序进行调整，就可以得出所有的不同分拆方式：21=7+6+5+3}以7开头的分拆方式有1种∴共有11种不同的分拆方式.例8 从1～12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同的自然数之和.26=8+7+6+5}以8开头的分拆方式共1种不同的分拆方式总数为：10+10+8+4+1=33种.总结：由例4明显看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆过程按一定的顺序进行.习题九1.把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.2.将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出.3.将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请一一列出.4.将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.5.将15分拆成四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.6.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？（此题是美国小学数学奥林匹克试题）.7.七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果.现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法？8.把100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都带有6字，想想看，应该怎样分？9.把1000个鸡蛋放到五只筐子里，每只筐子里的鸡蛋数都由数字8组成，请你想一想该怎样分？10.美国硬币有1分、5分、10分和25分四种.现有10枚硬币价值是1元钱，其中有3枚25分的硬币.问余下的硬币有哪几种，每种各有多少枚？（此题是美国小学数学奥林匹克试题）.11.（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组.如果不考虑数字排列的顺序，即把（1，1，8）与（1，8，1）及（8，1，1）看成是相同的三元自然组.那么和为10的自然数组共有多少个？习题九题答1.解：共有2种不同的分拆方式：15=9+615=8+72.解：共8种.3.解：共12种.4.解：共6种.15=9+3+2+115=8+4+2+115=7+5+2+1=7+4+3+115=6+5+3+1=6+4+3+25.解：同第4题答案.6.解：同第4题答案.7.解：可这样想：总数要87个，最先取数最多的一箱64个苹果，这样还差87-64=23个苹果；再取则不能取装有32个苹果的那箱，只能取装有16个的那箱，这样还差23-16=7个苹果；再取装有1个、2个、4个的三箱苹果，正好：87=64+16+4+2+1.8.解：从已有经验中可知6×6=36，这样就可以把每个盒里装6个馒头，共装6个盒，还有一个盒装100-36=64个馒头.64个这个数，刚好含有数字6，满足题目要求.即得100=64+6+6+6+6+6+6.9.解：仿例7解法，得下列分拆式：1000=888+88+8+8+8.10.解：由于有3枚25分的硬币，它们的价值是：25×3=75（分）.所以其余的7枚硬币的价值是：100-75=25（分）.将25分拆成7个数之和，（注意没有各数不同的限制）25=1+1+1+1+1+10+10.所以这7枚硬币是5枚1分，2枚10分.11.解：共8个.它们是（1，1，8），（1，2，7），（1，3，6），（1，4，5），（2，2，6），（2，3，5），（2，4，4），（3，3，4）.。

第9讲变化规律（一）一、知识要点和、差的规律见下表（m≠0）二、精讲精练【例题1】两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？练习1：1.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？2.两个数相加，一个数加3.另一个数也加3.和起什么变化？【例题2】两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？练习2：1.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？【例题3】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？练习3：1.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化？【例题4】两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化？练习4：1.两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，积是否起变化？2.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？【例题5】两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？练习5：1.两数相除，被除数扩大30倍，除数缩小5倍，商将怎样变化？2.两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？三、课后作业1.两个数相加，一个数减6，另一个数减2.和起什么变化？2.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？3.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？4.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化？5.两数相除，除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化？第9讲变化规律（一）一、知识要点和、差的规律见下表（m≠0）二、精讲精练【例题1】两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？【思路导航】一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。

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陈铭数学工作室
二年级第九讲 综合问题 姓名：
1、找规律填数。

（1）2，10，4，9，6，8， ， 。

（2）1，3，7，15， ， 。

2、在方框里填上适当的图形。

3、先找一找方框里7个图形每行排列的规律，再在空白处填上合适的图形。

4、A 、B 两村都在小河的同侧，他们准备架设一座桥方便两村的居民，桥应设在什么
位置，使这两村的人过河走的路程之和最短？
B
A
小河 5
6、你能将30颗五角星分成数量不等的5堆，使每堆颗数恰好是双数，写下你的方法.
7、下面有9个点代表9棵果树，一个园丁推着水车，从A 点出发，能不能给每棵树浇
B 点为灌水的地点。

）
A
8、4点30分放学时，雨还在不停地下，大家都盼着晴天，老师问大家：“已经下了两天雨了，你们说再过30小时太阳会出来吗？”
9、两根同样长的彩带重叠，被剪4次后，平均每段长1米，你知道这两根彩带总长多少米？
10、小明家住五楼，他从一楼到三楼要用2分钟，那么他从一楼到五楼要几分钟？
11、时钟在5点时乔敲5下，要用8秒，那么11点钟敲11下时要用几秒？
12、工人师傅10分钟把一根木头锯成3段，如果他锯了30分钟，那么这根木头被锯成了几段？
13、一箱橘子不到50个，6个6个地数还余3个，7个7个地数还多3个，这箱橘子有多少个？
14、小朋友吃饭，每人1只饭碗，2人1只菜碗，3人1只汤碗，一共需要33个碗，请你算一算，吃饭的究竟有多少个小朋友？
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