2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（ ）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2} 2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（ ）A．B．C．D．3．（5分）已知复数Z=，则|z|=（ ）A．B．C．1D．24．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（ ）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+2 5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（ ）A．B．C．D．6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa28．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）A．B．C．D．9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（ ）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（ ）A．B．C．D．11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（ ）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为 ．14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为 ．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 （填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD ，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女性别是否需要志愿者需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.0500.0100.0013.841 6.63510.828附：K2=．20．（10分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．21．设函数f（x）=x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（ ）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由题意可得A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B={0，1，2}故选：D．【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（ ）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】先设出的坐标，根据a=（4，3），2a+b=（3，18），求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦【解答】解：设=（x，y），∵a=（4，3），2a+b=（3，18），∴∴cosθ==，故选：C．【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一． 3．（5分）已知复数Z=，则|z|=（ ）A．B．C．1D．2【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得Z=，由复数的模长公式可得答案．【解答】解：化简得Z===•=•=•=，故|z|==，故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题． 4．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（ ）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】1：常规题型；11：计算题．【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（ ）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率．【解答】解：∵渐近线的方程是y=±x，∴2=•4，=，a=2b，c==a，e==，即它的离心率为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质．6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R）2=6a2，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：根据题意球的半径R满足（2R）2=6a2，所以S球=4πR2=6πa2．故选：B．【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．8．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（ ）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（ ）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．【解答】解：∵α是第三象限的角∴sinα=﹣=﹣，所以sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的． 11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（ ）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点D的坐标是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围．【解答】解：由已知条件得⇒D（0，﹣4），由z=2x﹣5y得y=，平移直线当直线经过点B（3，4）时，﹣最大，即z取最小为﹣14；当直线经过点D（0，﹣4）时，﹣最小，即z取最大为20，又由于点（x，y）在四边形的内部，故z∈（﹣14，20）．如图：故选B．【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间的关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为 x2+y2=2 ．【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解答】解：圆心到直线的距离：r=，所求圆的方程为x2+y2=2．故答案为：x2+y2=2【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为 ．【考点】CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．【分析】由题意知本题是求∫01f（x）dx，而它的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，积分得到结果．【解答】解：∵∫01f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，∴根据几何概型易知∫01f（x）dx≈．故答案为：．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 ①②③⑤ （填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项．【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形；故答案为：①②③⑤【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD= 2+ ．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB，AC，把已知条件代入整理，根据BC=3BD推断出CD=2BD，进而整理AC2=CD2+2﹣2CD 得AC2=4BD2+2﹣4BD把AC=AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD．【解答】用余弦定理求得AB2=BD2+AD2﹣2AD•BDcos135°AC2=CD2+AD2﹣2AD•CDcos45°即AB2=BD2+2+2BD ①AC2=CD2+2﹣2CD ②又BC=3BD所以CD=2BD所以由（2）得AC2=4BD2+2﹣4BD（3）因为AC=AB所以由（3）得2AB2=4BD2+2﹣4BD （4）（4）﹣2（1）BD2﹣4BD﹣1=0求得BD=2+故答案为：2+【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{a n}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：（1）由a n=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得a1+9d=﹣9，a1+2d=5解得d=﹣2，a1=9，数列{a n}的通项公式为a n=11﹣2n（2）由（1）知S n=na1+d=10n﹣n2．因为S n=﹣（n﹣5）2+25．所以n=5时，S n取得最大值．【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD ，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．【专题】11：计算题；14：证明题；35：转化思想．【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBD，只需证明平面PAC内的直线AC，垂直平面PBD内的两条相交直线PH，BD即可．（Ⅱ），∠APB=∠ADB=60°，计算等腰梯形ABCD的面积，PH是棱锥的高，然后求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】解：（1）因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高．所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．所以AC⊥平面PBD．故平面PAC⊥平面PBD（6分）（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=．所以HA=HB=．因为∠APB=∠ADB=60°所以PA=PB=，HD=HC=1．可得PH=．等腰梯形ABCD的面积为S=ACxBD=2+（9分）所以四棱锥的体积为V=×（2+）×=．（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表： 性别是否需要志愿者男 女需要40 30 不需要 160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P （K 2≥k ） 0.0500.010 0.001 3.8416.635 10.828附：K 2=． 【考点】BL ：独立性检验．【专题】11：计算题；5I ：概率与统计．【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求K 2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值因为9.967＞6.635，且P （K 2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（10分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题．【分析】（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，能够求出|AB|的值．（2）L的方程式为y=x+c，其中，设A（x1，y1），B（x1，y1），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为y=x+c，其中设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．则．因为直线AB的斜率为1，所以即．则．解得．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．21．设函数f（x）=x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax），令g（x）=e x﹣1﹣ax，分类讨论，确定g（x）的正负，即可求得a的取值范围．【解答】解：（I）a=时，f（x）=x（e x﹣1）﹣x2，=（e x﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax）．令g（x）=e x﹣1﹣ax，则g'（x）=e x﹣a．若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．另解：当x=0时，f（x）=0成立；当x＞0，可得e x﹣1﹣ax≥0，即有a≤的最小值，由y=e x﹣x﹣1的导数为y′=e x﹣1，当x＞0时，函数y递增；x＜0时，函数递减，可得函数y取得最小值0，即e x﹣x﹣1≥0，x＞0时，可得≥1，则a≤1．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．【专题】14：证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。
2010年普通高等学校招生全国统一考试•文科数学(辽宁卷)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2010辽宁,文1)已知集合U ={1,3,5,7,9},A ={1,5,7},则∪A 等于（）A.{1,3}B.{3,7,9}C.{3,5,9}D.{3,9}答案:D2.(2010辽宁,文2)设a ,b 为实数,若复数bia i ++21=1+i,则（）A.a =23,b =21 B.a =3,b =1C.a =21,b =23D.a =1,b =3答案:A3.(2010辽宁,文3)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知3S 3=a 4－2,3S 2=a 3－2,则公比q 等于（）A.3B.4C.5D.6答案:B4.(2010辽宁,文4)已知a >0,函数f (x )=ax 2+bx +c .若0x 满足关于x 的方程2ax +b =0,则下列选项的命题中为假命题的是（）A.∃x ∈R ,f (x )≤f (0x )B.∃x ∈R ,f (x )≥f (0x )C.∀x ∈R ,f (x )≤f (0x )D.∀x ∈R ,f (x )≥f (0x )答案:C 5.(2010辽宁,文5)如果执行下面的程序框图,输入n =6,m =4,那么输出的p 等于（）A.720B.360C.240D.120答案:B 6.(2010辽宁,文6)设ω>0,函数y =sin(ωx +3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合,则ω的最小值是（）A.32B.34C.23D.3答案:C7.(2010辽宁,文7)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,PA ⊥l ,A 为垂足.如果直线AF 的斜率为－3,那么|PF |等于（）A.43B.8C.83D.16答案:B8.(2010辽宁,文8)平面上O ,A ,B 三点不共线,设=a ,=b ,则△OAB 的面积等于（）A.222)(b a b a •− B.222)(b a b a •+C.222)(21b a b a •− D.222)(21b a b a •+答案:C9.(2010辽宁,文9)设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为（）A.2 B.3 C.213+ D.215+答案:D10.(2010辽宁,文10)设a 2=b 5=m ,且a 1+b 1=2,则m 等于（）A.10 B.10 C.20 D.100答案:A11.(2010辽宁,文11)已知S,A,B,C 是球O 表面上的点,SA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,SA =AB =1,BC =2,则球O 的表面积等于（）A.4πB.3πC.2πD.π答案:A12.(2010辽宁,文12)已知点P 在曲线y =14+x e 上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是（）A.［0,4π］ B.［4π,4π］ C.(2π,43π) D.［43π,π)答案:D第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2010辽宁,文13)三张卡片上分别写上字母E ,E ,B ,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE 的概率为________________.答案:3114.(2010辽宁,文14)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=24,则a 9=________________.答案:1515.(2010辽宁,文15)已知－1<x +y <4且2<x －y <3,则z =2x －3y 的取值范围是________________.(答案用区间表示)答案:(3,8)16.(2010辽宁,文16)如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为________________.答案:23三、解答题:本大题共8小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(2010辽宁,文17)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2a sin A =(2b +c )sin B +(2c + b )sin C .(1)求A 的大小;(2)若sin B +sin C =1,试判断△ABC 的形状.解:(1)由已知,根据正弦定理得2a 2=(2b +c )b +(2c +b )c ,即a 2=b 2+c 2+bc .由余弦定理得a 2=b 2+c 2－2bc cos A ,故cos A =－21,A =120°.(2)由(1)得sin 2A =sin 2B +sin 2C +sinBsin C . 又sin B +sin C =1,得sin B =sin C =21. 因为0°<B <90°,0°<C <90°,故B =C .所以△ABC 是等腰的钝角三角形.18.(2010辽宁,文18)为了比较注射A ,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A ,另一组注射药物B .下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的试验结果.(疱疹面积单位:2mm )表1:注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积［60,65］［65,70］［70,75］［75,80］频数30402010表2:注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积［60,65］［65,70］［70,75］［75,80］［80,85］频数1025203015(1)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;图1注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图2注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图(2)完成下面2×2列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.表3:疱疹面积小于70mm 2疱疹面积不小于70mm 2合计注射药物Aa =b =注射药物Bc =d =合计n =附:K 2=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++−P (K 2≥k )0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828解:(1)图1注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图2注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间,而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间,所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数.(2)表3:疱疹面积小于70mm 2疱疹面积不小于70mm 2合计注射药物Aa =70B =30100注射药物Bc =35D =65100合计10595n =200K 2=90105100100)30356570(2002××××−××≈24.56, 由于K 2>10.828,所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.19.(2010辽宁,文19)如图,棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形,B 1C ⊥A 1B .(1)证明平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1;(2)设D 是A 1C 1上的点,且A 1B∥平面B 1CD ,求A 1D ∶DC 1的值.C 1解:(1)证明:因为侧面BCC 1B 1是菱形,所以B 1C ⊥BC 1.又已知B 1C ⊥A 1B ,且A 1B ∩BC 1=B ,所以B 1C ⊥平面A 1BC 1.又B 1C 平面AB 1C ,所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1.C 1(2)设BC 1交B 1C 于点E ,连结DE ,则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线. 因为A 1B ∥平面B 1CD ,所以A 1B ∥DE .又E 是BC 1的中点,所以D 为A 1C 1的中点.即A 1D ∶DC 1=1.20.(2010辽宁,文20)设F 1、F 2分别为椭圆C :22a x +22by =1(a >b >0)的左、右焦点,过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线l 的倾斜角为60°,F 1到直线l 的距离为23.(1)求椭圆C 的焦距;(2)如果2AF =2B F 2,求椭圆C 的方程.解:(1)设焦距为2c ,由已知可得F 1到直线l 的距离3c =23,故c =2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意知y 1<0,y 2>0,直线l 的方程为y =3(x －2).联立⎪⎩⎪⎨⎧=+−=1),2(32222b ya x x y 得(3a 2+b 2)y 2+43b 2y －34b =0.解得y 1=2223)22(3b a a b ++−,y 2=2223)22(3b a a b +−−.因为2AF =2B F 2,所以－y 1=2y 2, 即2223)22(3b a a b ++=2·2223)22(3b a a b +−−,得a =3.而a 2－b 2=4,所以b =5.故椭圆C 的方程为92x +52y =1.21.(2010辽宁,文21)已知函数f (x )=(a +1)ln x +ax 2+1.(1)讨论函数f (x )的单调性;(2)设a ≤－2,证明:对任意x 1,x 2∈(0,+∞),|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|.解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=x a 1++2ax =x a ax 122++.当a ≥0时,f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)上单调增加;当a ≤－1时,f ′(x )<0,故f (x )在(0,+∞)上单调减少;当－1<a <0时,令f ′(x )=0,解得x =a a 21+−.则当x ∈(0,a a 21+−)时,f ′(x )>0;当x ∈(a a 21+−,+∞)时,f ′(x )<0.故f (x )在(0,a a 21+−)上单调增加,在(a a 21+−,+∞)上单调减少.(2)证明不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2,故f (x )在(0,+∞)上单调减少.所以|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|等价于f (x 2) －f (x 1)≥4x 1－4x 2,即f (x 2)+4x 2≥f (x 1)+4x 1.令g (x )=f (x )+4x ,则g ′(x )=x a 1++2ax +4=x a x ax 1422+++.于是g ′(x )≤x x x 1442−+−=xx 2)12(−−≤0. 从而g (x )在(0,+∞)上单调减少,故g (x 1)≤g (x 2),即f (x 1)+4x 1≤f (x 2)+4x 2,故对任意x 1,x 2∈(0,+∞),|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|.22.(2010辽宁,文22)选修4—1:几何证明选讲如图,△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明△ABE ∽△ADC ;(2)若△ABC 的面积S =21AD ·AE ,求∠BAC 的大小.AB CD E(1)证明:由已知条件,可得∠BAE =∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角,所以∠AEB =∠ACD .故△ABE ∽△ADC .(2)解:因为△ABE ∽△ADC , 所以AE AB =ACAD ,即AB ·AC =AD ·AE . 又S =21AB ·AC sin ∠BAC ,且S =21AD ·AE ,故AB ·AC sin ∠BAC =AD ·AE . 则sin ∠BAC =1,又∠BAC 为三角形内角,所以∠BAC =90°.23.(2010辽宁,文23)选修4—4:坐标系与参数方程已知P 为半圆C :⎩⎨⎧==θθsin ,cos y x (θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧AP 的长度均为3π.(1)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M 的极坐标;(2)求直线AM 的参数方程.解:(1)由已知,M 点的极角为3π,且M 点的极径等于3π, 故点M 的极坐标为(3π,3π). (2)M 点的直角坐标为(6π,63π),A (1,0), 故直线AM 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+=t y t x 63,)16(1ππ(t 为参数).24.(2010辽宁,文24)选修4—5:不等式选讲已知a ,b ,c 均为正数,证明a 2+b 2+c 2+(a 1+b 1+c1)2≥63,并确定a ,b ,c 为何值时,等号成立.证法一:因为a ,b ,c 均为正数,由平均值不等式得a 2+b 2+c 2≥332)(abc ,①a 1+b 1+c1≥331)(−abc , 所以(a 1+b 1+c 1)2≥932)(−abc .② 故a 2+b 2+c 2+(a 1+b 1+c 1)2 ≥332)(abc +932)(−abc . 又332)(abc +932)(abc ≥227=63,③所以原不等式成立.当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立.当且仅当332)(abc =932)(−abc 时,③式等号成立. 即当且仅当a =b =c =413时,原式等号成立.证法二:因为a ,b ,c 均为正数,由基本不等式得a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ac .所以a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac .① 同理21a +21b +21c ≥ab 1+bc 1+ac1,② 故a 2+b 2+c 2+(a 1+b 1+c1)2 ≥ab +bc +ac +3ab 1+3bc 1+3ac 1≥63.③ 所以原不等式成立.当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立,当且仅当a =b =c ,(ab )2=(bc )2=(ac )2=3时,③式等号成立.即当且仅当a =b =c =413时,原式等号成立.。
2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学试卷（文科）参考答案一、选择题 （1）D（2）A （3）B （4）C （5）B （6）C （7）B （8）C（9）D（10）A（11）A（12）D二、填空题（13）31 （14）15 （15）（3,8）（16）32（17）解：（I ）由已知，根据正弦定理得c b c b c b a )2()2(22+++=即bc c b a ++=222由余弦定理得 A bc c b a cos 2222-+= 故 ︒=-=120,21cos A A （II ）由（I ）得C B C B A sin sin sin sin sin 222++= 又21sin sin ,1sin sin ===+C B C B 得 因为0°＜B ＜90°，0°＜C ＜90°，故B=C 所以△ABC 是等腰的钝角三角形。
（18）（I ）可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数。
（II ）表356.249510510010030)35-65(70200K 22≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=由于10.828,K 2>所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”。
（19）解：（I ）因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1 又已知B 1C ⊥A 1B,且A 1B ∩BC 1=B 所以B 1C ⊥平面A 1BC 1，又 B 1C ⊂平面AB 1C 所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1（II ）设BC 1交B 1C 于点E,连接DE,则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线。
因为A 1B ∥平面B 1CD ，所以A 1B ∥DE 又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点即A 1D:DC 1=1（20）解：（I ）设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 2.c ==故所以椭圆C 的焦距为4.……4分（Ⅱ）设)y ,B(x ),y ,A(x 2211，由题意知0,021<<y y ，直线l 的方程为2).y x =-联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)2(32222b yax x y 得03234)3(4222=--++b y y b y b a解得22122222(22)(22),.33a a y y a b a b+-==++因为22122,2.AF F B y y =-=所以即222222(22)(22)2.33a a a b a b +-=∙++……18分得223.4,a a b b =-==而所以故椭圆C 的方程为：221.95x y += ……12分（21）解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（0,+∞），2121()2a ax a f x ax x x+++'=+=. 当a ≥0时，()f x '＞0，故f （x ）在（0,+∞）单调增加； 当a ≤－1时，()f x '＜0, 故f （x ）在（0,+∞）单调减少；当－1＜a ＜0时，令()fx '＝0,解得x当x ∈（0, ）时, ()f x'＞0； x ∈+∞）时，()f x '＜0, 故f （x ）在（0,单调增加，在+∞）单调减少.（Ⅱ）不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2,故f （x ）在（0，+∞）单调减少. 所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于21()()f x f x -≥4x 1－4x 2,即f （x 2）+ 4x 2≥f （x 1）+ 4x 1. 令g （x ）=f （x ）+4x ,则1()2a g x ax x+'=++4＝2241ax x a x+++.8分于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0. 从而g （x ）在（0，+∞）单调减少，故 g （x 1） ≤g （x 2），即 f （x 1）+ 4x 1≤f （x 2）+ 4x 2，故对任意x 1,x 2∈（0,+∞），1212()()4f x f x x x -≥-. 12分 （22）证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .（Ⅱ）因为△ABE ∽△ADC ，所以AB ADAE AC=，即AB ·AC ＝AD ·AE . 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE .则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°. （23）解： （Ⅰ）由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3，故点M 的极坐标为（π3,π3）……5分（Ⅱ）M点的直角坐标为（π,66）,A （l,0），故直线AM 的参数方程为π1(1).6.6x t y t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. ……10分（24）证明： （证法一）因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得a 2+b 2+c 2≥32)(3abc①111a b c++≥)(331-abc 所以2111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥32)(9-abc② ……6分故a 2+b 2+c 2+2111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥32)(3abc +32)(9-abc又32)(3abc +32)(9-abc ≥=③ ……8分所以原不等式成立.当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立.当且仅当32)(3abc =32)(9-abc 时, ③式等号成立. 即当且仅当a =b =c =143时,原式等号成立. ……10分（证法二）因为a ，b ，c 均为正数,由基本不等式 a 2+b 2≥2ab , b 2+c 2≥2ab , c 2+a 2≥2ac .所以a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac①同理222111a b c ++≥111ab bc ac++② ……6分故a 2+b 2+c 2+（111a b c ++）2≥ab+bc+ac+31ab +31bc +31ac≥ ③ ……8分所以原不等式成立当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立,当且仅当a =b =c ,（ab ）2=（b c ）2=（ac ）2=3时,③式等号成立. 即当且仅当a =b =c =143时,原式等号成立.……10分。
