高三数学精准培优专题练习12：数列求和

高三数学数列求和试题答案及解析1.数列{an }满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝a m＋a n＋mn，则＋＋＋…＋＝()A．B．C．D．【答案】B【解析】令m＝1得an＋1＝a n＋n＋1，即an＋1－a n＝n＋1，于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，上述n－1个式子相加得an －a1＝2＋3＋…＋n，所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，当n＝1时，a1＝1满足上式，所以an＝ (n∈N*)，因此＝＝2(－)，所以＋＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝2.函数f(x)对任意x∈R都有. （1）求和(n∈N*)的值；（2）数列{an }满足：，求an；（3）令，，，试比较Tn 和Sn的大小。

【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】（1）由于函数f(x)对任意x∈R都有，则令可求的；再令求出；（2）利用倒序相加结合（1）的结论可求出；（3）由及第（2）问的结论求出，用放缩法变形（），用裂项相消法求，再与比较大小.（1）令=2，则；令得，（4分）（2）由，两式相加得：，∴，（8分）（3），(n≥2)∴.（12分）【考点】倒序相加、裂项相消法求数列的前项和.3.对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则．【答案】【解析】因为，所以即因此数列任意相邻两项和为因为，因此所以或，又由.【考点】数列求和4.已知函数，且，则()A．0B．100C．5050D．10200【答案】C【解析】因为，所以，选C.5.已知等差数列的前项和为，且、成等比数列.（1）求、的值；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）解法1是先令求出的表达式，然后令，得到计算出在的表达式，利用为等差数列得到满足通式，从而求出的值，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；解法2是在数列是等差数列的前提下，设其公差为，利用公式以及对应系数相等的特点得到、和、之间的等量关系，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的和；解法2是利用导数以及函数和的导数运算法则，将数列的前项和视为函数列的前项和在处的导数值，从而求出.试题解析：（1）解法1：当时，，当时，.是等差数列，，得.又，，，、、成等比数列，，即，解得.解法2：设等差数列的公差为，则.，，，.，，.、、成等比数列，，即，解得.；（2）解法1：由（1）得.，.，①，②①②得. .解法2：由（1）得.，.，①由，两边对取导数得，.令，得. .【考点】1.定义法求通项；2.错位相减法求和；3.逐项求导6.数列{an }满足an+1＋(－1)n an＝2n－1，则{an}的前60项和为____________.【答案】1830【解析】当时，；当时，；当时，.将与相减得：；将与相减得：.所以，，所以.【考点】数列.7.在数列{an }中,若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值(n∈N*),且a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{an}的前100项的和S100=.【答案】299【解析】设定值为M,则an +an+1+an+2=M,进而an+1+an+2+an+3=M,后式减去前式得an+3=an,即数列{an}是以3为周期的数列.由a7=2,可知a1=a4=a7=…=a100=2,共34项,其和为68;由a9=3,可得a 3=a6=…=a99=3,共33项,其和为99;由a98=4,可得a2=a5=…=a98=4,共33项,其和为132.故数列{an}的前100项的和S100=68+99+132=299.8.．己知数列满足，则数列的前2016项的和的值是___________．【答案】1017072【解析】这个数列既不是等差数列也不是等比数列，因此我们要研究数列的各项之间有什么关系，与它们的和有什么联系？把已知条件具体化，有，，，，…，，，我们的目的是求，因此我们从上面2015个等式中寻找各项的和，可能首先想到把出现“＋”的式子相加（即为偶数的式子相加），将会得到，好像离目标很近了，但少，而与分布在首尾两个式子中，那么能否把首尾两个式子相减呢？相减后得到，为了求，我们又不得不求，依次下去，发现此路可能较复杂或者就行不通，重新寻找思路，从头开始我们有，即，而，∴，因此，我们由开始的三个等式求出了，是不是还可用这种方法求出呢？下面舍去，考察，，，同样方法处理，，从而，于是，而，正好504组，看来此法可行，由此我们可得．【考点】分组求和．9.阅读如图程序框图，若输入的，则输出的结果是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，不成立，执行第一次循环，，；不成立，执行第二次循环，，；不成立，执行第三次循环，，；；不成立，执行第一百次循环，，；成立，输出，故选A.【考点】1.数列求和；2.算法与程序框图10.已知数列的各项都是正数，前项和是，且点在函数的图像上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。

高考数学一轮复习《数列求和》练习题（含答案）一、单选题1．已知数列{}n a 满足()213nn n a a ++-=，11a =，22a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则30S =（ ） A ．351 B ．353C ．531D ．5332．已知)*n a n N =∈，则12380a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．7B ．8C ．9D ．103．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +=++，令nn a b n=，若对于任意*N n ∈，不等式142t n b +<-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(],1-∞-C ．(],0-∞D ．(],1-∞4．数列{}n a 的前n 项的和n S 满足*1(N )n n S S n n ++=∈，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{}1n n a a ++是常数列B ．若113a <，则{}n a 是递增数列C ．若11a =-，则20221013S =D ．若11a =，则{}n a 的最小项的值为1-5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数.已知数列{}n a 满足21a =，且121(1)2n n n n a na +++-=，若[]lg n n b a =数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2021T =（ ） A ．3950B ．3953C ．3840D ．38456．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ） A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．101010117．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12πcos 3n n n n a a a ++++=，11a =，则2023S =（ ）A ．0B ．12C ．lD ．328．已知函数0()e ,xf x x =记函数()n f x 为(1)()n f x -的导函数(N )n *∈，函数()n y f x =的图象在1x =处的切线与x 轴相交的横坐标为n x ，则11ni i i x x +==∑（ ）A ．()132n n ++B ．()33nn +C ．()()23nn n ++D ．()()123n n n +++9．数列{}n a 中，12a =，且112n n n n n a a a a --+=+-（2n ≥），则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2021项和为（ ） A ．20211010B ．20211011C ．20191010D ．4040202110．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．20202019B ．20212020C ．20192020D ．2020202111．已知数列{an }的前n 项和Sn 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为Tn ，n ∈N *.则使得T 20的值为（ ） A ．1939B ．3839C ．2041D ．404112．已知数列{}n a 满足()22N n n n a a n *++=∈，则{}n a 的前20项和20S =（ ）A ．20215-B ．20225-C ．21215-D ．21225-二、填空题13．等差数列{}n a 中，11a =，59a =，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n S ，则10S =___________. 14．已知数列{}n a 满足，()2*111,(1)2,n n n a a a n n n N -=--=-⋅≥∈，则20a =__________.15．在等差数列{}n a 中，72615,18a a a =+=，若数列{}(1)nn a -的前n 项之和为n S ，则100S =__________．16．若数列{}n a 满足()1*1(1)2n n n n a a n ++=-+∈N ，令1351924620,S a a a a T a a a a =++++=++++，则=TS__________.三、解答题17．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且32a =，47S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+． （1）求{}n a 通项公式； （2）设11n n n b a a +=，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．19．已知数列{}n a 满足111,2n n a a a +==，数列{}n b 满足*111,2,n n b b b n +=-=∈N .(1)求数列{}n a 及{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .20．已知数列{}n a 的首项113a =，且满足1341n n n a a a +=+. (1)证明：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.(2)若12311112022na a a a ++++<，求正整数n 的最大值.21．已知数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +=+-. （1）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S .22．已知递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a n =+，数列{}n b 满足1142,4b a b a ==，221,.n n n b b b n N *++=∈(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记21(67),83log ,nnn n n b n S c b n +-⎧⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前2n 项和为2n T ，若不等式24(1)41n nn T n λ-+<+对一切n N *∈恒成立，求λ的取值范围．23．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足___________.给出下列三个条件： ①48a =，()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥；②()1n n S pa p =-∈R ；③()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R .请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题： (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()22121log n n b n a =+⋅，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1132n T ≤<.24．已知数列{}n a 的各项均为正整数，11a =.(1)若数列{}n a 是等差数列，且101020a <<，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ；(2)若对任意的*n ∈N ，都有2112112n n n n a a a a +++-<+，求证：12n na a +=参考答案1．B2．B3．D4．D5．D6．C7．C8．B9．B10．D11．C12．D 13．102114．210 15．100 16．2317．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由32a =，47S =，可得1122,43472a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得111,2a d ==， 所以数列{}n a 的通项公式为()111122n n a n +=+-=. （2）由（1）知12n n a +=，则11221141212n n n b a a n n n n +⎛⎫==⋅=- ⎪++++⎝⎭， 故111111114442233412222n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 18．（1）当2n ≥时，2212(1)2(1)21n n n a S S n n n n n --=+----=+=， 当1n =时，由113a S ==，符合上式.所以{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2）∵21n a n =+， ∴()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， ∴1111111235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111232369n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 19．（1）由已知111,2n n a a a +==所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n a -=数列{}n b 满足111,2n n b b b +=-=所以{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列 21n b n =-（2）()11132212n n S n -=⨯+⨯++-①对上式两边同乘以2，整理得()221232212n n S n =⨯+⨯++-②①-②得()()2112222212n n n S n --=++++--()()12121221212n n n --=+⨯---()2323n n =---所以()2323nn S n =⋅-+20．（1）易知{}n a 各项均为正，对1341n n n a a a +=+两边同时取倒数得1111433n n a a +=⋅+， 即1111223n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为1121a -=，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列.（2）由（1）知11111233n n n a --⎛⎫-==⎪⎝⎭，即11123n n a -=+， 所以()12311311113122112313n n n f n n n a a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=++++=+=+- ⎪⎝⎭-， 显然()f n 单调递增，因为()10101011313110102021.52022,(1011)2023.520222323f f =-<=-⋅>，所以n 的最大值为1010. 21．（1）数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +=+-. 由n n b a n =+，那么111n n b a n ++=++， ∴1112112n n n n n n b a n a n n b a n a n+++++-++===++； 即公比2q，1112b a =+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）可得2nn b =，∴2nn a n +=，那么数列{}n a 的通项公式为：2nn a n =-，数列{}n a 的前n 项和为232122232nn S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-()2121222(123)2222nn n n n +=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=---.22．（1）解：因为22n n S a n =+，当n =1时，得11a =，当2n ≥时，21121n n S a n --=+-，所以22121n n n a a a -=-+，即221(1)n n a a -=-，又因为数列{}n a 为递增数列，所以11n n a a --=， 数列{}n a 为等差数列， 11a =，d =1, 所以n a n =；所以1142841,b a b a ====， 又因为221,.n n n b b b n N *++=∈ 所以数列{}n b 为等比数列，所以33418b b q q ===，解得2q，所以12n n b -=.（2）由题意可知：(1)2n n n S +=， 所以()2167,83log ,n n n n n b n c S b n +⎧-⎪=-⎨⎪⎩为奇数为偶数,故2(67)2,443,n n n n c n n n n -⎧-⎪=+-⎨⎪⎩１为奇数为偶数 ， 设{}n c 的前2n 项和中，奇数项的和为n P ，偶数项的和为n Q 所以135212462=,=,n n n n P c c c c Q c c c c -++++++++当n 为奇数时，()()2)2123(67)2(67222=,4432321n n n n n n n c n n n n n n --+----==-+-++-１１１１所以42220264135221222222==5195132414329n n n n P n c c c n c --⎛⎫⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫++++-+-+-++ ⎪ ⎪⎭-- ⎪ ⎝⎝⎭⎝⎭⎝⎭0,44411=412=1n nn n --++ 当n 为偶数时n c n =，所以()()246222==246212n n n nQ c c c c n n n +++++++++==+，故()2,4=4=111n n n n T n n P Q n -++++故24(1)41n nn T n λ-+<+，即()()111144(1)(1)4141n nnn n n n n n n λλ-+<-+-++⇒-+<++当n 为偶数时，21n n λ<+-对一切偶数成立，所以5λ<当n 为奇数时，21n n λ<+--对一切奇数成立，所以此时1λ>- 故对一切n N *∈恒成立，则15λ-<< 23．（1）若选①，因为()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥，所以()2112n n n a a a n -+=≥，所以数列{}n a 是等比数列设数列{}n a 的公比为q ，0q >由33418a a q q ===得2q所以12n n a -=若选②，因为()1n n S pa p =-∈R ，当1n =时，1111S pa a =-=，所以2p =，即21n n S a =- 当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，所以()122n n a a n -=≥ 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列所以12n n a -=若选③，因为()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R ，当1n =时，11222a k =⋅=，所以1k =，即()12323412n n a a a n a n +++⋅⋅⋅++=⋅当2n ≥时，()1123123412n n a a a na n --+++⋅⋅⋅+=-⋅，所以()()()11122n n n a n n -+=+⋅≥，即()122n n a n -=≥，当1n =时，上式也成立，所以12n n a -=（2） 由（1）得()()()221111121log 212122121n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+⋅+⋅--+⎝⎭所以()111111111233521212221n T n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪-++⎝⎭ ∵*N n ∈，∴()10221n >+，∴()11122212n T n =-<+ 易证*n ∈N 时，()112221n T n =-+是增函数，∴()113n T T ≥=.故1132n T ≤<24．(1)解：设数列{}n a 的公差为d ，由10101920a d <=+<，可得1919d <<， 又由数列{}n a 的各项均为正整数，故2d =，所以21n a n =-， 于是()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+，所以111111111121335212122121n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. (2)解：因为{}n a 各项均为正整数，即1n a ≥，故112nna a ≥+，于是()211112122112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++-=-≥-++， 又因为21121<12n n n n a a a a +++-+，所以121n n a a +-<， 由题意12n na a +-为整数，所以只能120n n a a +-=，即12n n a a +=。

高中数学数列的求和公式及相关题目解析在高中数学中，数列是一个非常重要的概念，它是数学中的一种序列，由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列的求和是数学中常见的问题之一，本文将介绍数列的求和公式及相关题目解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。

一、等差数列的求和公式及相关题目解析1. 等差数列的求和公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

对于等差数列，我们可以使用求和公式来快速计算其前n项的和。

设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)[2a1 + (n-1)d]其中，n为项数，a1为首项，d为公差。

2. 题目解析例题1：已知等差数列的首项为3，公差为4，求前10项的和。

解析：根据等差数列的求和公式，代入a1=3，d=4，n=10，可以得到：S10 = (10/2)[2*3 + (10-1)*4] = 5[6 + 9*4] = 5[6 + 36] = 5*42 = 210因此，前10项的和为210。

例题2：已知等差数列的首项为-2，公差为5，前n项和为100，求n的值。

解析：根据等差数列的求和公式，代入a1=-2，d=5，Sn=100，可以得到：100 = (n/2)[2*(-2) + (n-1)*5] = (n/2)[-4 + 5n - 5] = (n/2)(5n - 9)化简得到5n^2 - 9n - 200 = 0，解这个二次方程可以得到n≈13.2或n≈-3.8。

由于n必须是正整数，所以n≈13.2不符合题意。

因此，n≈-3.8也不符合题意。

综上所述，n的值为13。

二、等比数列的求和公式及相关题目解析1. 等比数列的求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

对于等比数列，我们可以使用求和公式来快速计算其前n项的和。

设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项和为Sn，则等比数列的求和公式为：Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)其中，n为项数，a1为首项，r为公比。

数列求和与递推综合归类目录重难点题型归纳 1【题型一】等差与等比型累加法 1【题型二】换元型累加、累积法 3【题型三】周期数列型递推 4【题型四】二阶等比数列型递推 6【题型五】分式型求递推 7【题型六】前n 项积型递推 8【题型七】“和”定值型递推 9【题型八】分段型等差等比求和 11【题型九】函数中心型倒序求和 12【题型十】分组求和型 14【题型十一】错位相减型求和 16【题型十二】正负相间型求和 19【题型十三】无理根式型裂项相消求和 20【题型十四】指数型裂项相消 22【题型十五】等差指数混合型裂项 23【题型十六】裂和型裂项相消 26【题型十七】分离常数型裂项 27好题演练29重难点题型归纳重难点题型归纳题型一等差与等比型累加法【典例分析】1.(等差累加法)已知数列a n 中，已知a 1=2，a n +1-a n =2n ，则a 50等于()A.2451B.2452C.2449D.24502.(等比累加法)已知数列a n 满足a 1=2，a n +1-a n =2n ，则a 9=()A.510B.512C.1022D.10242024年高考数学专项复习数列求和与递推综合归类 （解析版）【技法指引】对于递推公式为a n -a n -1=f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：a na n -1=g (n )(n ≥2)的关系，可用“累乘法”求通项.【变式演练】1.已知数列a n n ∈N * 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2 的第5项恰好构成等比数列，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2n -1B.a n =2n +1C.a n =n -1D.a n =n +12.已知数列a n 中，a 1=1，前n 项和S n =n +23a n ，则a n 的通项公式为.题型二换元型累加、累积法【典例分析】1.已知数列a n 满足：a 1=13，(n +1)a n +1-na n =2n +1，n ∈N *，则下列说法正确的是()A.a n +1≥a nB.a n +1≤a nC.数列a n 的最小项为a 3和a 4D.数列a n 的最大项为a 3和a 4【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列a n 中，a 1=2，a n +1n +1=a n n +ln 1+1n ，则a n =()A.a 8B.2+n -1 ln nC.1+n +ln nD.2n +n ln n2.已知数列a n 满足a 1=32，a n =n n -1a n -1-n2n .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求满足S n <12的所有正整数n 的取值集合.【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=1+a n1-a n，(n∈N*)，则a1⋅a2⋅a3⋅⋯a2009⋅a2010=_________．【变式演练】1.数列{a n}中，a1=1，a2=3，a n+1=a n-a n-1(n≥2,n∈N*)，那么a2019=()A.1B.2C.3D.-32.数列a n的首项a1=3，且a n=2-2a n-1n≥2，则a2021=()A.3B.43C.12D.-2题型四【二阶等比数列型递推【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2,且a n=2a n-1-1(n≥2,n∈N+)，则a n=______________【变式演练】1.已知数列a n中，a1=1，a n=3a n-1+4(n∈N∗且n≥2)，则数列a n通项公式a n为() A.3n-1 B.3n+1-2 C.3n-2 D.3n2.已知数列{a n}满足：a n+1=2a n-n+1(n∈N*)，a1=3.(1)证明数列b n=a n-n(n∈N*)是等比数列，并求数列{a n}的通项；(2)设c n=a n+1-a na n a n+1，数列{c n}的前n项和为{S n}，求证：S n<1.【典例分析】1.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a na n+2(n∈N*)，则22019是这个数列的第________________项．【变式演练】1.已知数列a n满足a1=1,a n+1=2a na n+2.记C n=2na n，则数列Cn的前n项和C1+C2+...+Cn=．2.数列a n满足：a1=13，且na n=2a n-1+n-1a n-1(n∈N*,n≥2)，则数列a n的通项公式是a n=．题型六前n项积型递推【典例分析】1.设等比数列a n的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a7a8>1，a7-1a8-1<0.则下列结论正确的是(多选题)A.0<q<1B.a7a9<1C.T n的最大值为T7D.S n的最大值为S7【技法指引】类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：1.n=1，得a12.n≥2时，a n=T n T n-1所以a n=T1，(n=1) T nT n-1,(n≥2)【变式演练】1.若数列a n满足a n+2=2⋅a n+1a n(n∈N*)，且a1=1,a2=2，则数列a n的前2016项之积为()A.22014B.22015C.22016D.220172.设等比数列a n的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1>1，且a2020a2021> 1，a2020-1a2021-1<0，下列结论正确的是(多选题)A.S2020<S2021B.a2020a2022-1<0C.数列T n无最大值 D.T2020是数列T n中的最大值题型七“和”定值型递推【典例分析】1.若数列a n满足a n+2a n+1+a n+1a n=k(k为常数)，则称数列a n为等比和数列，k称为公比和，已知数列a n是以3为公比和的等比和数列，其中a1=1，a2=2，则a2019=______.【变式演练】1.已知数列{a n}满足a n+a n+1=12(n∈N*)，a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，则S21为()A.5B.72C.92D.1322.知数列{a n}满足：a n+1+a n=4n-3(n∈N*)，且a1=2，则a n=．题型八分段型等差等比求和【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=32a n,n为奇数2a n,n为偶数 .(1)记b n=a2n，写出b1，b2，并求数列b n的通项公式；(2)求a n的前12项和.【变式演练】1.已知数列a n满足a1=1,a n+1=a n+1,n=2k-1, a n,n=2k.(1)求a2,a5的值；(2)求a n的前50项和S50．题型九函数中心型倒序求和【典例分析】1.已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 是函数f (x )=2x 1-2x,x ≠12-1,x =12的图象上的任意两点(可以重合)，点M为AB 的中点，且M 在直线x =12上．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值；(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f 1n +f 2n +f 3n +⋯+f n -1n，求S n ；(3)若在(2)的条件下，存在n 使得对任意的x ，不等式S n >-x 2+2x +t 成立，求t 的范围．【变式演练】2.已知a n 为等比数列，且a 1a 2021=1，若f x =21+x2，求f a 1 +f a 2 +f a 3 +⋯+f a 2021 的值．题型十分组求和型【典例分析】1.已知等比数列a n 的公比大于1，a 2=6，a 1+a 3=20.(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =a n +1log 3a n +12log 3a n +22，求b n 的前n 项和T n .【技法指引】对于a n +b n 结构，利用分组求和法【变式演练】1.设S n 为数列a n 的前n 项和，已知a n >0，a 2n +2a n =4S n +3n ∈N *，若数列b n 满足b 1=2，b 2=4，b 2n +1=b n b n +2n ∈N *(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)设c n =1S n,n =2k -1,k ∈N * b n,n =2k ,k ∈N *求数列c n 的前n 项的和T n .【典例分析】1.已知数列a n 满足a 1=2，且a n +1-3 ⋅a n +1 +4=0，n ∈N *.(1)求证：数列1a n -1是等差数列；(2)若数列b n 满足b n =2n +1a n -1，求b n 的前n 项和.【技法指引】对于a n b n 结构，其中a n 是等差数列，b n 是等比数列，用错位相减法求和；思维结构结构图示如下【变式演练】1.已知等比数列a n 的首项a 1=1，公比为q ，b n 是公差为d d >0 的等差数列，b 1=a 1，b 3=a 3，b 2是b 1与b 7的等比中项．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n 的前n 项和为S n ，数列c n 满足nc n =a 2n S n ，求数列c n 的前n 项和T n ．【典例分析】1.已知数列a n各项均为正数，且a1=2，a n+12-2a n+1=a n2+2a n．(1)求a n的通项公式(2)设b n=-1n a n，求b1+b2+b1+⋯+b20．【变式演练】1.设等差数列a n的前n项和为S n，已知a3+a5=8,S3+S5=10. (1)求a n的通项公式；(2)令b n=(-1)n a n，求数列b n的前n项和T n.题型十三无理根式型裂项相消求和【典例分析】1.设数列a n的前n项和为S n，且满足2S n=3a n-3．(1)求数列a n的通项公式：(2)若b n=a n3,n为奇数1log3a n+log3a n+2,n为偶数，求数列和b n 的前10项的和．【变式演练】1.设数列a n的前n项和S n满足2S n=na n+n，n∈N+，a2=2，(1)证明：数列a n是等差数列，并求其通项公式﹔(2)设b n=1a n a n+1+a n+1a n，求证：T n=b1+b2+⋯+b n<1.题型十四指数型裂项相消【典例分析】1.已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =2a n -1.(1)求a n ；(2)设b n =a n a n +1-1 ⋅a n +2-1 ，求数列b n 的前n 项和T n .【变式演练】1.数列a n 满足：a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+n -1 a n -1=2+n -2 ⋅2n n ≥2 .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =a n a n -1 a n +1-1，T n 为数列b n 的前n 项和，若T n <m 2-3m +3恒成立，求实数m 的取值范围.题型十五等差指数混合型裂项【典例分析】1.已知数列a n 满足S n =n a 1+a n 2，其中S n 是a n 的前n 项和.(1)求证：a n 是等差数列；(2)若a 1=1,a 2=2，求b n =2n 1-a n a n a n +1的前n 项和T n .【变式演练】2.已知等比数列a n 的各项均为正数，2a 5，a 4，4a 6成等差数列，且满足a 4=4a 23，数列S n 的前n 项之积为b n ，且1S n +2b n=1．(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)设d n =b n +2⋅a n b n ⋅b n +1，若数列d n 的前n 项和M n ，证明：730≤M n <13．【典例分析】1.已知数列a n 的满足a 1=1，a m +n =a m +a n m ,n ∈N * .(1)求a n 的通项公式；(2)记b n =(-1)n ⋅2n +1a n a n +1，数列b n 的前2n 项和为T 2n ，证明：-1<T 2n ≤-23.【技法指引】正负相间型裂和，裂项公式思维供参考：-1 n ⋅pn +q kn +b k (n +1)+b=-1 n ⋅t 1kn +b +1k (n +1)+b【变式演练】1.记正项数列a n 的前n 项积为T n ，且1a n =1-2T n ．(1)证明：数列T n 是等差数列；(2)记b n =-1 n ⋅4n +4T n T n +1，求数列b n 的前2n 项和S 2n ．【典例分析】1.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 8=4a 4+20，且a 5+a 6=11.(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =n 2+n +1a n a n +1，求b n 的前n 项和T n .【变式演练】1.已知等差数列a n 的通项公式为a n =2n -c c <2 ，记数列a n 的前n 项和为S n n ∈N * ，且数列S n 为等差数列．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列4S n a n a n +1的前n 项和为T n n ∈N * ，求T n 的通项公式．好题演练好题演练1.(山东省泰安市2023届高三二模数学试题)已知数列a n 的前n 项和为S n ，a 1=2，a n ≠0，a n a n +1=4S n .(1)求a n ；(2)设b n =-1 n ⋅3n -1 ，数列b n 的前n 项和为T n ，若∀k ∈N *，都有T 2k -1<λ<T 2k 成立，求实数λ的范围.2.(2023·全国·模拟预测)已知正项数列a n 满足a 1=1，a n +1a n =1+1n.(1)求证：数列a 2n 为等差数列；(2)设b n =1a 2n a n +1+a n a 2n +1，求数列b n 的前n 项和T n .3.(2023·全国·学军中学校联考二模)设数列a n 满足a n +1=3a n -2a n -1n ≥2 ,a 1=1,a 2=2.(1)求数列a n 的通项公式；(2)在数列a n 的任意a k 与a k +1项之间，都插入k k ∈N * 个相同的数(-1)k k ，组成数列b n ，记数列b n 的前n 项的和为T n ，求T 27的值.4.(2023·全国·长郡中学校联考二模)已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n =S n +S n -1(n ∈N *且n ≥2).(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n +22n a n a n +1 的前n 项和为T n ，求证：T n <1.5.(2023·四川攀枝花·统考三模)已知等差数列a n的公差为d d≠0，前n项和为S n，现给出下列三个条件：①S1,S2,S4成等比数列；②S4=32；③S6=3a6+2.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n-b n-1=2a n n≥2，且b1=3，设数列1b n的前n项和为Tn，求证：13≤T n<12.6.(2023春·江西抚州·高二金溪一中校联考期中)已知数列a n满足a1=2,a n+1= 2a n+2,n为奇数,1 2a n+1,n为偶数.(1)记b n=a2n，证明：数列b n为等差数列；(2)若把满足a m=a k的项a m,a k称为数列a n中的重复项，求数列a n的前100项中所有重复项的和.7.(河北省2023届高三下学期大数据应用调研联合测评(Ⅲ)数学试题)已知数列a n 满足：a 1=12，3a n +1a n =1+a n +11+a n.(1)求证：1a n +1 是等比数列，并求出数列a n 的通项公式；(2)设b n =3n ⋅a n a n +1，求数列b n 的前n 项和S n .8.(2023·全国·模拟预测)已知数列a n 的前n 项和S n 满足S n =n 2-1+a n .(1)求a 1及a n ；(2)令b n =4S n a n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n .数列求和与递推综合归类目录重难点题型归纳 1【题型一】等差与等比型累加法 1【题型二】换元型累加、累积法 3【题型三】周期数列型递推 4【题型四】二阶等比数列型递推 6【题型五】分式型求递推 7【题型六】前n项积型递推 8【题型七】“和”定值型递推 9【题型八】分段型等差等比求和 11【题型九】函数中心型倒序求和 12【题型十】分组求和型 14【题型十一】错位相减型求和 16【题型十二】正负相间型求和 19【题型十三】无理根式型裂项相消求和 20【题型十四】指数型裂项相消 22【题型十五】等差指数混合型裂项 23【题型十六】裂和型裂项相消 26【题型十七】分离常数型裂项 27好题演练 29重难点题型归纳重难点题型归纳题型一等差与等比型累加法【典例分析】1.(等差累加法)已知数列a n中，已知a1=2，a n+1-a n=2n，则a50等于()A.2451B.2452C.2449D.2450【答案】B【详解】由a n+1-a n=2n得：a n-a n-1=2n-1，a n-1-a n-2=2n-2，⋯⋯，a3-a2=2×2，a2-a1=2×1，各式相加可得：a n-a1=2×1+2+⋅⋅⋅+n-1=2×n n-12=n n-1，又a1=2，∴a n=2+n n-1=n2-n+2，∴a50=2500-50+2=2452.故选：B.2.(等比累加法)已知数列a n满足a1=2，a n+1-a n=2n，则a9=()A.510B.512C.1022D.1024【答案】B【详解】由a1=2,a n+1-a n=2n得a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23，⋮a n -a n -1=2n -1，以上各式相加得，a n -a 1=2+22+⋯+2n -1=21-2n -11-2=2n -2，所以a n =2n -2+a 1=2n ，所以a 9=29=512.故选：B .【技法指引】对于递推公式为a n -a n -1=f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：a na n -1=g (n )(n ≥2)的关系，可用“累乘法”求通项.【变式演练】1.已知数列a n n ∈N * 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2 的第5项恰好构成等比数列，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2n -1B.a n =2n +1C.a n =n -1D.a n =n +1【答案】A【分析】根据题意设a n =1+n -1 d ，所以a 2n =1+2n -1 d ，a n 2=1+n 2-1 d ，所以1，1+3d ，1+24d 构成等比数列，即1+3d 2=1×1+24d ，求出d 即可求解.【详解】设等差数列a n 的公差为d d >0 ，所以a n =1+n -1 d ，所以a 2n =1+2n -1 d ，a n 2=1+n 2-1 d ，又a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2的第5项恰好构成等比数列，即1，1+3d ，1+24d 构成等比数列，所以1+3d 2=1×1+24d ，解得d =2，d =0(舍去)，所以a n =2n -1.故选：A .2.已知数列a n 中，a 1=1，前n 项和S n =n +23a n ，则a n 的通项公式为.【答案】a n =n n +12【分析】由S n =n +23a n ，变形可得则S n -1=n +13a n -1，两式相减变形可得a n a n -1=n +1n -1，又由a n =a n a n -1 ×a n -1a n -2 ×⋯⋯×a2a 1×a 1，计算可得a n =n (n +1)2，验证a 1即可得答案．【详解】根据题意，数列{a n }中，a 1=1，S n =n +23a n (n ∈N *)，S n =n +23a n ①，S n -1=n +13a n -1②，①-②可得：a n =(n +2)a n 3-(n +1)a n -13，变形可得：a n a n -1=n +1n -1，则a n =a n a n -1 ×a n -1a n -2 ×⋯⋯×a 2a 1×a 1=n +1n -1 ×n n -2 ×⋯⋯×31 ×1=n (n +1)2；n =1时，a 1=1符合a n =n (n +1)2；故答案为：a n =n (n +1)2．题型二换元型累加、累积法【典例分析】1.已知数列a n 满足：a 1=13，(n +1)a n +1-na n =2n +1，n ∈N *，则下列说法正确的是()A.a n +1≥a nB.a n +1≤a nC.数列a n 的最小项为a 3和a 4D.数列a n 的最大项为a 3和a 4【答案】C【详解】令b n =na n ，则b n +1-b n =2n +1，又a 1=13，所以b 1=13，b 2-b 1=3，b 3-b 2=5，⋯，b n -b n -1=2n -1，所以累加得b n =13+n -1 3+2n -1 2=n 2+12，所以a n =b n n =n 2+12n =n +12n，所以a n +1-a n =n +1 +12n +1-n +12n =n -3 n +4 n n +1，所以当n <3时，a n +1<a n ，当n =3时，a n +1=a n ，即a 3=a 4，当n >3时，a n +1>a n ，即a 1>a 2>a 3=a 4<a 5<⋯<a n ，所以数列a n 的最小项为a 3和a 4，故选：C .【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列a n 中，a 1=2，a n +1n +1=a n n +ln 1+1n ，则a n =()A.a 8B.2+n -1 ln nC.1+n +ln nD.2n +n ln n【答案】D【详解】由题意得，a n +1n +1=a n n +ln n +1n ，则a n n =a n -1n -1+ln n n -1，a n -1n -1=a n -2n -2+lnn -1n -2⋯，a 22=a 11+ln 21，由累加法得，a n n =a 11+ln n n -1+ln n -1n -2⋯+ln 21，即a n n =a 1+ln n n -1⋅n -1n -2⋅⋯⋅21，则an n=2+ln n ，所以a n =2n +n ln n ，故选：D2.已知数列a n 满足a 1=32，a n =n n -1a n -1-n 2n .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求满足S n <12的所有正整数n 的取值集合.【答案】(1)a n =n +n2n ；(2)1,2,3,4 .【详解】(1)因为a n =n n -1a n -1-n 2n ，所以a n n -a n -1n -1=-12n .因为a 22-a 11=-122，a33-a 22=-123，⋯，a n n -a n -1n -1=-12n ，所以a n n -a 11=-122+123+⋯+12n=-1221-12 n -11-12=12n-12，于是a n=n+n 2n .当n=1时，a1=1+12=32，所以a n=n+n2n.(2)因为S n-S n-1=a n=n+n2n >0，所以S n是递增数列.因为a1=1+12=32，a2=2+24=52，a3=3+323=278，a4=4+424=174，a5=5+525=16532，所以S1=32，S2=4，S3=598，S4=938<12，S5=53732>12，于是所有正整数n的取值集合为1,2,3,4.题型三周期数列型递推【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=1+a n1-a n，(n∈N*)，则a1⋅a2⋅a3⋅⋯a2009⋅a2010=_________．【答案】-6【解析】由已知有a2=1+a11-a1=-3,a3=1-31+3=-12,a4=1-121+12=13,a5=1+131-13=2，所以a5=a1=2，所以数列a n是周期数列，且周期为4，a1a2a3a4=a5a6a7a8=⋯=a2005a2006a2007a2008=1，而a2009a2010= a1a2=2×(-3)=-6，所以a1a2a3⋯a2010=-6。

培优点十二 数列求和1．错位相减法例1：已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，．（1）求数列与的通项公式；（2）记，，求证：．【答案】（1），；（2）见解析．【解析】（1）设的公差为，的公比为，则，，即，解得：，，．（2），①，②得，∴所证恒等式左边，右边，即左边右边，所以不等式得证．2．裂项相消法例2：设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，， ．（1）求数列，的通项公式；{}n a n n S {}n b 112a b ==4427a b +=4410S b -={}n a {}n b 1121n n n n T a b a b a b -=+++L n *∈N 12210n n n T a b +=-+31n a n =-2n n b ={}n a d {}n b q 3441127327a b a d b q +=⇒++=34411104610S b a d b q -=⇒+-=332322786210d q d q ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩32d q =⎧⎨=⎩31n a n ∴=-2n n b =()()231234222nn T n n =-⋅+-⋅++⋅L ()()23+1231234222n n T n n =-⋅+-⋅++⋅L -②①()()()()123124213123222222312321n n n n n T n n -++-∴=--⋅+++++⋅=--⋅+⋅-L ()10223112n n =⋅---()102231n n =⋅--()210231102nn n a b n =-+=--+⋅={}n a n 23n S n =-{}n b 123512b b b =1133a b a b +=+{}n a {}n b（2）若，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）时，，当时，符合上式，，∵为等比数列，，设的公比为，则，而，，解得或，∵单调递增，，．（2），．一、单选题1．已知等差数列中，，，则项数为（ ）A ．10B ．14C ．15D ．17【答案】C 【解析】∵，∴，∴，，故选C ．2．在等差数列中，满足，且，是前项的和，若取得最大值，则（ ）()()21nn n n b c b b =--{}n c n n T 63n a n =-+12n n b +=11121n n T +=--2n ≥()22133163n n n a S S n n n -⎡⎤=-=----=-+⎣⎦1n =113a S ==-63n a n ∴=-+{}n b 31232512b b b b ∴==28b ∴={}n b q 21328,8b b b b q q q q====315a =-113383158a b a b q q ∴+=+⇒-+=-+2q =12q =-{}n b 2q ∴=21222n n n b b -+∴=⋅=()()()()()()111112211222121212121n n nn n n n n n c +++++===-------112231111111212121212121n n n n T c c +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 1111111212121n n ++=-=----{}n a 918S =240n S =()4309n a n -=>()199599182a a S a +===52a =()()()154230240222n n n n a a n a a n S -+++====15n ={}n a 4737a a =10a >n S {}n a n n S n =对点增分集训A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】设等差数列首项为，公差为，由题意可知，，，二次函数的对称轴为，开口向下，又∵，∴当时，取最大值．故选C ．3．对于函数，部分与的对应关系如下表：123456789375961824数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（ ）A ．7554B ．7549C ．7546D ．7539【答案】A【解析】由题意可知：，，，，，点都在函数的图象上，则，，，，，则数列是周期为4的周期数列，由于，且，故．故选A ．4．设等差数列的前项和，，，若数列的前项和为，则（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】为等差数列的前项和，设公差为，，，1a d 14330a d +=10a >()()2111352233n n n da S na n n -=+=-358754n ==.n *∈N 9n =n S ()y f x =x y xy{}n x 11x =n *∈N ()1n n x x +,()y f x =122015x x x ++⋅⋅⋅+=()13f =()35f =()56f =()61f =()13f =L ()1n n x x +,()y f x =11x =23x =35x =46x =511x x =={}n x 201545033=⨯+123415x x x x +++=()122015503151357554x x x ++⋅⋅⋅+=⨯+++={}n a n n S 44a =515S =11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭m 1011m =n S {}n a n d 44a =515S =则，解得，则．由于，则，解得．故答案为10．故选C ．5．在等差数列中，其前项和是，若，，则在，，，中最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由于，，∴可得，，这样，，，，，，，而，，∴在，，，中最大的是．故选C ．6．设数列的前项和为，则对任意正整数，（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵数列是首项与公比均为的等比数列．∴其前项和为．故选D ．7．已知数列满足，，，，若恒成立，则的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．【答案】D【解析】由题意知，，由，4534155a S a =⎧⎨==⎩1d =()44n a n n =+-=()1111111n n a a n n n n +==-++11111110112231111m S m m m =-+-++-=-=++L 10m ={}n a n n S 90S >100S <11S a 22S a L 99S a 11S a 88S a 55S a 99S a ()19959902a a S a +==>()()110105610502a a S a a +==+<50a >60a <110S a >220Sa >L 550S a >660S a <L 990S a <125S S S <<<L 125a a a >>>L 11S a 22S a L 99S a 55S a (){}1n-n nS n nS=()112nn ⎡⎤--⎣⎦()1112n --+()112n-+()112n--(){}1n-1-n ()()()()11111112nn n S ⎡⎤-----⎣⎦=--={}n a 11a =()()121211n n n a n a +-=++()()12212141n nn n a n a b n +--+=-12n n T b b b =++⋅⋅⋅+n m T >m 1212121n n n a ab n n +=-+-()()121211n n n a n a +-=++得，∴，∴恒成立，，故最小值为，故选D ．8．数列的前项和为，若，则（ ）A ．2018B ．1009C ．2019D ．1010【答案】B【解析】由题意，数列满足，∴，故选B ．9．已知数列中，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设，由，解得，令，故．故选A ．10．已知函数，且，则（ ）A ．20100B ．20500C ．40100D ．10050【答案】A【解析】，当为偶数时，，当为奇数时，，故()()111112121212122121n n a a n n n n n n +⎛⎫-==- ⎪+--+-+⎝⎭12111111111112133521212212n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-+-++-=⨯-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭L L 12n T <12m ≥m 12{}n a n n S ()1nn a n =-⋅2018S ={}n a ()1nn a n =-⋅2018123420172018123420172018S a a a a a a =+++++=-+-+--+L L ()()()1234201720181009=-++-+++-+=L {}n a ()12321n n a a a a n *+++⋅⋅⋅+=-∈N 2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+()1413n-()1213n-41n -()221n -()12321n n n S a a a a n *=+++⋅⋅⋅+=-∈N 1112,,n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩12n n a -=214n n n b a -==()22221231413nn a a a a +++⋅⋅=⋅+-()223sin 2n f n n -⎛⎫=π ⎪⎝⎭()n a f n =123200a a a a ++++=L ()n a f n =n ()2223sin 2n f n n n -⎛⎫=π=⎪⎝⎭n ()2223sin 2n f n n n -⎛⎫=π=-⎪⎝⎭222221232001234199200a a a a ++++=-+-++L L --．故选A ．11．已知数列满足：，，，则的整数部分为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】，∴原式，当时，，∴整数部分为1，故选B ．12．对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，．已知数列满足，其前项和为，若是满足的最小整数，则的值为（ ）A ．305B ．306C ．315D ．316【答案】D【解析】由题意，，当时，可得，（1项）当时，可得，（2项）当时，可得，（4项）当时，可得，（8项）当时，可得，（16项）当时，可得，（项）则前项和为，，()()()()211220019920019912319920020100=-+++-+=+++++=L L {}n a 112a =21a =()112n n n a a a n n *+-=+∈≥N ,132435111a a a a a a ++201820201a a +⋅⋅⋅+1111111111111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-+--++--=+⇒-=⇒=⇒-=111111111111n n n n n n n n n a a a a a a a a a +--+-+⎛⎫⇒=-=- ⎪⎝⎭1223201820192019202020192020111112a a a a a a a a a a =-++-=-L 3n ≥()201920202019202011121,2n a a a a a >⇒>⇒-∈x []x x []33=[]122-=-．[]121=．{}n a []2log n a n =n n S 0n 2018n S >0n []2log n a n =1n =10a =1222n ≤<231a a ==2322n ≤<4572a a a ====L 3422n ≤<89153a a a ====L 4522n ≤<1617314a a a ====L L L122n n n +≤<12212n n n a a a n ++====L 2n n 1234122232422n n S n =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L 234512122232422n n S n +=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L两式相减得，∴，此时，当时，对应的项为，即，故选D ．二、填空题13．已知数列满足，记为的前项和，则__________．【答案】440【解析】由可得：当时，有， ①当时，有， ②当时，有， ③有，有，则．故答案为440．14．的最大整数．若，，，，则__________．【答案】，【解析】第一个等式，起始数为1，项数为，，第二个等式，起始数为2，项数为，，第三个等式，起始数为3，项数为，，2341222222n n n S n +-=+++++-⋅L()1112222122018n n n n S n n +++=⋅-+=-+>8n ≥8n =83162a a =0316n ≥{}n a()()112nnn a a n n---=≥n S {}na n 40S =()()112nn n a a n n ---=≥2n k =2212k k a a k --=21n k =-212221k k a a k --+=-21n k =+21221k k a a k ++=++①②22241k k a a k -+=--③①21211k k a a +-+=()()40135739246840S a a a a a a a a a a =+++++++++++L L ()109110715231071084402⨯=⨯++++=+⨯+⨯=L 13S =++=210S =++++=321S =++++++=L n S =()21n n +()n *∈N2234121=-=-113S =⨯2259432=-=-225S =⨯22716943=-=-337S =⨯L第个等式，起始数为，项数为，，，故答案为，．15．已知函数，则________；【答案】2018【解析】∵，设， ①则， ②得，∴．故答案为2018．16．定义为个正整数，，，的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则_________；【答案】【解析】∵数列的前项的“均倒数”为，∴，解得，∴，当时，，当时，上式成立，则，∴，，则．故答案为．n n ()22121n n n +-=+()21n S n n =+()n *∈N ()21n S n n =+()n *∈N ()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()111113sin 13sin 12222f a f a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-=+-++-+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112sin sin 222a a ⎛⎫⎛⎫=+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭201820171201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+①②1201822018403620192019S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2018S =12nnp p p +++L n 1p 2p L n p {}n a n 15n 5n n a b =12231011111b b b b b b +++=L 1021{}n a n 15n15n n S n=25n S n =115a S ==2n ≥()()221551105n n n a S S n n n -⎡⎤=-=--=-⎣⎦1n =105n a n =-215nn a b n ==-()()111111212222121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭1223101111111111111111011233557192122121b b b b b b ⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 1021。

高考数学快速提升成绩题型训练——数列求和1. 求数列1357,,,,24816⋅⋅⋅,212n n -的前n 项和.2 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.3. 求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n , …(a 为常数)的前n 项和。

4. 求证：nn n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++5. 求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S6. 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.7. 求数5，55，555，…，55…5 的前n 项和S n8.已知数列{}n a 是等差数列，且1171713951=+-+-a a a a a ，求153a a +的值.9. 已知数列{}n a 的通项公式为nn a n ++=11 求它的前n 项的和.10. 在数列{}n a 中，).2(122,121≥-==n S S a a n n 证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n s 1是等差数列，并求出S n 的表达式.11. 数列{}na 为正数的等比数列，它的前n 项和为80，前2 n 项和为6560，且前n 项中数值最大的项为54. 求其首项a 1及公比q .12. 已知数列!)1(!32!21++++=n n a n 求2008a .13. 设{}na 为等差数列，S n 为数列{}n a 的前n 项和，已知S 7 = 7, S 15 = 75. 记T n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求T n .14. 求数列)2112(815,413,211n n +- 的前项和15. 已知：n S n n ⋅-++-+-+-=+1)1(654321 .求n S .16. 求和222222100994321-++-+- .17. ()()111112323434512n S n n n =++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯++，求n S 。

高中数学高考题型数列求和题目以及答案1．公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d2. 推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．方法一 分组转化法求和1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． [解题技法]1．分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n 项和的数列求和．2．分组转化法求和的常见类型[题组训练]2.．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －⎝⎛⎭⎫12n，则其前20项和为( ) A ．379＋1220B ．399＋1220C ．419＋1220D ．439＋12203．(2019·资阳诊断)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )A ．1 121B ．1 122C ．1 123D ．1 124方法二 裂项相消法求和考法(一) 形如a n ＝1n (n ＋k )型4.(2019·南宁摸底联考)已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26. (1)求等差数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝1a n a n ＋1，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和T n . 考法(二) 形如a n ＝1n ＋k ＋n型5.已知函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 019＝( )A. 2 018－1B. 2 019－1C. 2 020－1D. 2 020＋1 [解题技法]1．用裂项法求和的裂项原则及消项规律哪些项，避免遗漏．2．常见的拆项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(4)2n (2n －1)(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1. [题组训练]6.在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝6，a 11＝8，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋3·a n ＋4的前n 项和为( ) A.n ＋1n ＋2 B.n n ＋2C.n n ＋1D.2n n ＋17.各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝8，且2a 1，a 3,3a 2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1n log 2a n，求{b n }的前n 项和S n .方法三 错位相减法求和8.(2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和T n .[变透练清]9.(变结论)若本例中a n ，b n 不变，求数列{a n b n }的前n 项和T n .10．已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)． [解题技法] 错位相减法求和的4个步骤[易误提醒](1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n －1项和当作n 项和．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q ＝1和q ≠1两种情况求解．[课时跟踪检测]1．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n －1，若该数列的前k 项之和等于9，则k ＝( )A ．80B ．81C ．79D ．822．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－153．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5C.3116D.1584．在等差数列{a n }中，a 4＝5，a 7＝11.设b n ＝(－1)n ·a n ，则数列{b n }的前100项之和S 100＝( )A ．－200B ．－100C ．200D ．1005．已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( )A ．1 026B ．1 025C ．1 024D ．1 0236．已知数列：112，214，318，…，⎝⎛⎭⎫n ＋12n ，…，则其前n 项和关于n 的表达式为________． 7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018＝________.8．(2019·成都第一次诊断性检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝3，S 4＝16，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 9．(2018·南昌摸底调研)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，记b n ＝a n S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和T n .参考答案：1.[解](1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2＋n2－(n－1)2＋(n－1)2＝n.又a1＝1也满足a n＝n，故数列{a n}的通项公式为a n＝n.(2)由(1)知a n＝n，故b n＝2n＋(－1)n n.记数列{b n}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝2(1－22n)1－2＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{b n}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.2.解析：选C 令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝2(1＋2＋3＋…＋20)－⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋1220＝420－⎝⎛⎭⎫1－1220＝419＋1220. 3.解析：选C 由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×(1－210)1－2＋10×1＋10×92×2＝1 123.选C.4.[解] (1)设等差数列的公差为d ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. (2)因为c n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)， 所以c n ＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3，所以T n ＝12⎝⎛⎭⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝⎛⎭⎫13－12n ＋3＝n 6n ＋9. 5.[解析] 由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12，则f (x )＝x 12. ∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 019＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 019－2 018)＋( 2 020－ 2 019)＝ 2 020－1. 6.解析：选C 因为a 3＋a 5＋a 7＝6， 所以3a 5＝6，a 5＝2，又a 11＝8， 所以等差数列{a n }的公差d ＝a 11－a 511－5＝1， 所以a n ＝a 5＋(n －5)d ＝n －3， 所以1a n ＋3·a n ＋4＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋3·a n ＋4的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故选C.7.解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)． ∵2a 1，a 3,3a 2成等差数列，∴2a 3＝2a 1＋3a 2，即2a 1q 2＝2a 1＋3a 1q ，∴2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12(舍去)，∴a n ＝8×2n －1＝2n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝1n log 22n ＋2＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， ∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2). 8.[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题意知：a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2.又a n ＞0，解得a 1＝2，q ＝2， 所以a n ＝2n . (2)由题意知， S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b na n，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1＝32＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－2n ＋12n ＋1＝52－2n ＋52n ＋1， 所以T n ＝5－2n ＋52n. 9.解：由本例解析知a n ＝2n ，b n ＝2n ＋1，故T n ＝3×21＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n ， 2T n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n ＋1)×2n ＋1，上述两式相减，得，－T n ＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n ＋1)2n ＋1 ＝6＋8(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)2n ＋1＝(1－2n )2n ＋1－2 得T n ＝(2n －1)×2n ＋1＋2.10.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12， 而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 因为q >0，解得q ＝2，所以b n ＝2n . 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8. ① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16. ② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3， 由此可得a n ＝3n －2.所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，有 T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n ，2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋1， 上述两式相减，得－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n －(6n －2)×2n ＋1 ＝12×(1－2n )1－2－4－(6n －2)×2n ＋1＝－(3n －4)2n ＋2－16， 得T n ＝(3n －4)2n ＋2＋16.所以数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋2＋16. 练习：1.解析：选B a n ＝1n ＋n －1＝n －n －1，故S n ＝n ，令S k ＝k ＝9，解得k ＝81，故选B.2.解析：选A a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28＝5×3＝15，故选A.3.解析：选C 设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，所以1＋q 3＝9，得q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116. 4.解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝5，a 1＋6d ＝11⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2⇒a n＝2n －3⇒b n ＝(－1)n (2n －3)⇒S 100＝(－a 1＋a 2)＋(－a 3＋a 4)＋…＋(－a 99＋a 100)＝50×2＝100，故选D.5.解析：选C ∵2n ＋12n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12n， ∴T n ＝n ＋1－12n ，∴T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210， 又m >T 10＋1 013， ∴整数m 的最小值为1 024. 6.解析：设所求的前n 项和为S n ，则S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＝n (n ＋1)2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n (n ＋1)2－12n ＋1. 7.解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，① ∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，② 由①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S 2 018＝1－21 0091－2＋2(1－21 009)1－2＝3·21 009－3.8.解：(1)设数列{a n }的公差为d ， ∵a 2＝3，S 4＝16， ∴a 1＋d ＝3,4a 1＋6d ＝16， 解得a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1. (2)由题意知，b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1 ＝n 2n ＋1. 9.解：(1)∵S n ＝2n ＋1－2，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1－2＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n . 又a 1＝2＝21，∴a n ＝2n .(2)由(1)知，b n ＝a n S n ＝2·4n －2n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2(41＋42＋43＋…＋4n )－(22＋23＋…＋2n ＋1)＝2×4(1－4n )1－4－4(1－2n )1－2＝23·4n ＋1－2n ＋2＋43.。

高考数学专题-数列求和复习课：数列求和一、【知识梳理】1．等差、等比数列的求和公式，公比含字母时一定要讨论．2．错位相减法求和：如：已知成等差，成等比，求．3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和．4．合并求和：如：求的和．5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项．常见拆项：，，（理科）．6．倒序相加法求和：如等差数列求和公式的推导．7．其它求和法：归纳猜想法，奇偶法等．二、【经典考题】【1.公式求和】例1．（浙江）在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列．（1）求；（2）若，求．【分析】第一问注意准确利用等差等比数列定义即可求解，第二问要注意去绝对值时项的正负讨论．【解答】（1）由已知得到：（2）由（1）知，当时，①当时，②当时，所以，综上所述：．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力．变式训练：（重庆文）设数列满足：，．（1）求的通项公式及前项和；（2）已知是等差数列，为前项和，且，求．【解答】（1）由题设知是首项为，公比为的等比数列，．（2），故．【2.倒序相加法】例2．已知函数．（1）证明：；（2）若数列的通项公式为，求数列的前项和；（3）设数列满足：，若（2）中的满足对任意不小于的任意正整数恒成立，试求的最大值．【分析】第（1）问，先利用指数的相关性质对化简，后证明左边=右边即可；第（2）问，注意利用（1）中的结论，构造倒序求和；第（3）问，由已知条件求出的最小值，将不等式转化为最值问题求解．【解答】（1）．（2）由（1）知，，即，又两式相加得，即．（3）由，知对任意的，则，即，所以．，即数列是单调递增数列．关于递增，时，．．由题意知，即，解得，的最大值为．【点评】解题时，对于某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和．变式训练：已知函数．（1）证明：；（2）求的值．【解答】（1）（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，令，两式相加得：所以．【3.错位相减法】例3．（山东理)设等差数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列前项和为，且(为常数)．令，求数列的前项和．【分析】第（1）问利用等差数列通项公式及前项和公式列方程组求解及即可；第（2）问先利用与关系求出，进而用乘公比错位相减法求出．【解答】（1）设等差数列的首项为，公差为，由得，解得，．因此．（2）由题意知：，所以时，故，．所以，则，两式相减得，整理得．所以数列数列的前项和．【点评】用错位相减法求和时，应注意：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数时的情形；（2）在写出与的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出的表达式；（3）利用错位相减法转化为等比数列求和时，若公比是参数（字母），一般情况要先对参数加以讨论，主要分公比为和不等于两种情况分别求和．变式训练：(山东文)设等差数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求的前项和．【解答】（1）同例3．（1）．（2）由已知，当时，当时，结合知，．又，两式相减得，．【4.裂项相消法】例4．(广东)设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且构成等比数列．（1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有．【分析】本题主要考查利用与关系求出，进而用裂项相消法求出和，然后采用放缩的方法证明不等式．【解答】（1）当时，（2）当时，，当时，是公差的等差数列．构成等比数列，，解得，由(1)可知，是首项，公差的等差数列．数列的通项公式为．（3）．【点评】（1）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩第一项和最后一项，也有可能前后各剩两项或若干项；将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．（2）一般情况下，若是等差数列，则；此外，根式在分母上时可考虑利用分母有理化相消求和．变式训练：（大纲卷文）等差数列中，（1）求的通项公式；（2）设．【解答】（1）设等差数列的公差为，则因为，所以．解得，．所以的通项公式为．（2），所以．【5.分组求和法】例5．（安徽）设数列满足，且对任意，函数满足（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【分析】，由可知数列为等差数列．【解答】（1）由，得，所以，是等差数列．而，．（2），．【点评】本题主要考查了分组求和法，具体求解过程中一定要注意观察数列通项的构成特点，将其分成等差、等比或其它可求和的式子，分组求出即可．变式训练：（2012山东）在等差数列中，．（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和．【解答】（1）由可得，则，于是，即．（2）对任意，则，即，，．于是，即．【6.奇偶项求和】例6．（2011山东）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和．第一列第二列第三列第一行第二行第三行【分析】根据等比数列定义先判断出，求出通项；求和时要对分奇偶讨论．【解答】（1）由题意知，因为是等比数列，所以公比为，所以数列的通项公式．（2）解法一：当时，．当时，故.解法二：令，即则故.【点评】解法一分为奇数和偶数对进行化简求和，而解法二直接采用乘公比错位相减法进行求和，只不过此时的公比．本题主要意图还是考查数列概念和性质，求通项公式和数列求和的基本方法．变式训练：已知数列，求．【解答】，若，则若．三、【解法小结】1．数列求和的关键在于分析数列的通项公式的结构特征，在具体解决求和问题中，要善于从数列的通项入手观察数列通项公式的结构特征与变化规律，根据通项公式的形式准确、迅速地选择方法，从而形成“抓通项、寻规律、定方法”的数列求和思路是解决这类试题的诀窍．2．一般地，非等差（比）数列求和题的通常解题思路是：如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法；如果数列项的次数及系数有规律一般可用错位相减法、倒序相加法来解决；如果每项可写成两项之差一般可用裂项法；如果能求出通项，可用拆项分组法；如果通项公式中含有可用并项或分奇偶项求和法．四、【小试牛刀】1．数列前项的和为（）A．B．C．D．2．数列的前项和为，若，则等于（）A．C．D．3．数列中，若前项的和为，则项数为（）A．B．C．D．4．（2013大纲）已知数列满足则的前项和等于（）A．B．C．D．5．设首项为,公比为的等比数列的前项和为,则（）A．B．C．D．6．（2013新课标）设等差数列的前项和为，则（）A．B．C．D．7．．8．已知数列，则其前项和为．9.（2013江西）某住宅小区计划植树不少于棵,若第一天植棵,以后每天植树的棵树是前一天的倍,则需要的最少天数等于．10.．11．(2013江苏）在正项等比数列中，，则满足的最大正整数的值为．12．正项数列的前项和满足:.（1）求数列的通项公式；（2）令,数列的前项和为.证明:对于任意的,都有.参考答案：1．B2．B3．C4．C5．D6．C7．8．9．10.11．，.，..，所以的最大值为.12．（1）由,得.由于是正项数列,所以.于是时,.综上,数列的通项.（2）证明:由于.则..。

高考数学数列求和选择题1. 已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，求数列{an}的前n项和Sn。

2. 已知数列{bn}的通项公式为bn=3n^2+1，求数列{bn}的前n项和Tn。

3. 已知数列{cn}的通项公式为cn=4n^3-2n，求数列{cn}的前n 项和Un。

4. 已知数列{dn}的通项公式为dn=5n^4+3n^2，求数列{dn}的前n项和Vn。

5. 已知数列{en}的通项公式为en=6n^5-4n^3，求数列{en}的前n项和Wn。

6. 已知数列{fn}的通项公式为fn=7n^6+2n^4，求数列{fn}的前n项和Xn。

7. 已知数列{gn}的通项公式为gn=8n^7-3n^5，求数列{gn}的前n项和Yn。

8. 已知数列{hn}的通项公式为hn=9n^8+4n^6，求数列{hn}的前n项和Zn。

9. 已知数列{in}的通项公式为in=10n^9-5n^7，求数列{in}的前n项和An。

10. 已知数列{jn}的通项公式为jn=11n^10+3n^8，求数列{jn}的前n项和Bn。

11. 已知数列{kn}的通项公式为kn=12n^11-2n^9，求数列{kn}的前n项和Cn。

12. 已知数列{ln}的通项公式为ln=13n^12+n^10，求数列{ln}的前n项和Dn。

13. 已知数列{mn}的通项公式为mn=14n^13-3n^11，求数列{mn}的前n项和En。

14. 已知数列{on}的通项公式为on=15n^14+2n^12，求数列{on}的前n项和Fn。

15. 已知数列{pn}的通项公式为pn=16n^15-n^13，求数列{pn}的前n项和Gn。

16. 已知数列{qn}的通项公式为qn=17n^16+3n^14，求数列{qn}的前n项和Hn。

17. 已知数列{rn}的通项公式为rn=18n^17-4n^15，求数列{rn}的前n项和In。

18. 已知数列{sn}的通项公式为sn=19n^18+2n^16，求数列{sn}的前n项和Jn。

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！1客观题中的数列求和【原题】某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸,对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯,20dm 6dm ⨯两种规格的图形,它们的面积之和21240dm S =,对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯,10dm 6dm ⨯,20dm 3dm ⨯三种规格的图形,它们的面积之和22180dm S =,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次,那么1nkk S==∑______2dm .【答案】(1).5(2).()41537202n n -+-【解析】（1）由对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯,10dm 6dm ⨯,20dm 3dm ⨯三种规格的图形,所以对着三次的结果有：5312561032022⨯⨯⨯⨯，，；,共4种不同规格（单位2dm )；故对折4次可得到如下规格：5124⨯,562⨯,53⨯,3102⨯,3204⨯,共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半,故各次对着后的图形,不论规格如何,其面积成公比为12的等比数列,首项为120()2 dm ,第n 次对折后的图形面积为111202n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭,对于第n 此对折后的图形的规格形状种数,根据（1）的过程和结论,猜想为1n +种（证明从略）,故得猜想1120(1)2n n n S -+=,设()0121112011202120312042222nk n k n S S -=+⨯⨯⨯==++++∑L ,则121112021203120120(1)22222n n n n S -⨯⨯+=++++ ,两式作差得：()211201111124012022222n n n S -+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ ()11601120122401212n nn -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--()()112011203120360360222n n n n n -++=--=-,因此,()()4240315372072022n n n n S -++=-=-.故答案为：5；()41537202n n -+-.【就题论题】本题以我国传统文化剪纸艺术为背景,让考生体验探索数学问题的过程.该题有几点创新,一是背景新颖,能有效考查考生灵活运用数学知识分析问题的能力,二是高考首次在客观题中考查错位相减法求和,三是为让部分学生得部分分,设置了两空,这是自2019年全国卷首次设置双空题后,时隔两年再次设置双空题.【命题意图】本题以剪纸艺术为背景考查数列求和,考查逻辑推理与数学建模的核心素养.【考情分析】客观题中的数列求和是高考热点与难点，难度一般为中等或中等以上.【得分秘籍】(1)数列求和的常用方法①分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．②拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.③错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．错位相减法求和时的注意点:要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形．在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．④倒序相加：把数列分别正着写和倒着写再相加，例如，等差数列前n 项和公式的推导．⑤并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）一、单选题1．（2021广东省东莞市高三5月质量检测）在数列{}n a 中，112a =且()12n n n a na ++=，则它的前30项和30S =（）A ．3031B ．2930C ．2829D ．1929【答案】A【解析】()12n n n a na ++= ，12n n a na n +∴=+，()3211211121111234111n n n a a a n a a a a a n n n n n --∴=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==-+++ ，因此，3011111301223303131S =-+-++-= .故选A.2．（2021河北省石家庄市高三下学期质检）已知数列{}n a 的通项公式为sin 3n n a n π=，则1232021a a a a ++++= （）A．B．CD．-【答案】D【解析】由题意，数列{}n a 的通项公式为sin3n n a n π=，且函数sin 3n y π=的周期为6n ，所以616266(61)(62)(61)sin(62)sin 33n n n n n a a a n n ππ++++++++=+⋅++⋅+ (66)(66)sin 3n n π+++⋅2(61)sin (62)sin 33n n ππ=+⋅++⋅+ 6(66)sin3n π++⋅(61)(62)(63)0(64)()(65)((66)02222n n n n n n =+⋅++⋅++⋅+++⋅++⋅++⋅=-，又因为20216336563371=⨯+=⨯-，所以12320216337(a a a a a ++++=⨯--=- 故选D.3．（2021湖北省鄂东南省级示范高中高三联考）已知数列{}n a 满足()*1111,(1)(2)n n n n a a a a a n N n n ++=-=∈++，则n na 的最小值是（）A ．25B ．34C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为()*11(1)n n n n a a a a n N n n ++-=∈+，所以()11(1)212111n n n n a a a a n n n n ++-==-++++，即1111112n n a a n n +-=-++，则11221111111111n n n n n a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭112311111111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-11311(2)2122n n n n +=-+=≥++，当1n =时，上式成立，故2231n n a n +=+，22231n n n n n a ++=，设22231n n nn b ++=，则()()()()()222121212261040311313431n n n n n n n n n n n n b b +++++++=>++-++=+-，故数列{}n b 是单调递增数列，则当1n =时，n b 即n na 的最小值为1.故选C.4．（2021江苏省盐城市高三联考）已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，1{}n n a a +-是等比数列，则数列{}n a 的前8项和8S =（）A ．376B ．382C ．749D ．766【答案】C【解析】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q =，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-= 23632n -+++⨯ 1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，878128123(122)2831612S a a a -=++=⨯+++-⨯=⨯-- 83219749=⨯-=故选C5．（2021山东省泰安市高三四模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为13，0n a >，122391011112a a a a a a +++= ，当10n S n+取最小值时，n 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【解析】12239101223910111111111111113332a a a a a a a a a a a a a a ⎤⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-=⎥⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，整理得2113180a a +-=，解得13a =或16a =-（舍去），即2(1)1173236n n n n n S n -+=+⨯=，则21017601601766n S n n n n n n +++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭．当7n ≤时，数列单调递减，当8n ≥时，数列单调递增，当7n =时，10387n S n +=，当8n =时，106512n S n +=，故当8n =时，10n S n+取最小值．故选B ．二、多选题6．（2021广东省珠海市高三二模）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为1的线段AB 上取两个点C 、D ，使得14AC DB AB ==，以CD 为边在线段AB 的上方做一个正方形，然后擦掉CD ，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段EF 作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图n ，各图中的线段长度和为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．数列{}n a 是等比数列B ．106657256S =C ．3n a <恒成立D ．存在正数m ，使得n S m <恒成立【答案】BC【解析】由题意可得11a =，21122a a =+⨯，322122a a =+⨯，以此类推可得1122n n n a a +=+⨯，则122n n n a a +-=，所以，()()()1213211212221222n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++++ 121112131212n n ---=+=--，所以，数列{}n a 不是等比数列，A 选项错误；对于B 选项，10108121166572310261225612S ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⨯-=+=-，B 选项正确；对于C 选项，21332n n a -=-<恒成立，C 选项正确；对于D 选项，21302n n a -=-> 恒成立，则数列{}n S 单调递增，所以，数列{}n S 无最大值，因此，不存在正数m ，使得n S m <，D 选项错误.故选BC.7.（2021河北省衡水中学高三下学期三调）已知数列{}n a 满足()()1211n n n n a a n +++=⋅-，其前n 项和为n S ，且20191009m S +=-，则下列说法正确的是（）A ．m 为定值B ．1m a +为定值C ．20191S a -为定值D ．1ma 有最大值【答案】BCD【解析】当()2n k k N*=∈，由已知条件可得()()2122121k k kk aa k +++=⋅-，所以，()()()201912320191234520182019S a a a a a a a a a a a =++++=+++++++ 11124682018250420181010a a a =-+-+--=+⨯-=- ，则201911010S a -=-，所以，2019110101009m S m a +=+-=-，11m a ∴+=，由基本不等式可得211124m a ma +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当112m a ==时，等号成立，此时1ma 取得最大值14.故选BCD.8．（2021江苏省南通学科基地高三高考数学全真模拟）在数列{}n a 中，若13nn n a a ++=，则称{}n a 为“和等比数列”．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（）A ．20202020314a -=B ．20212020314a -=C ．20222021318S -=D ．20232021318S -=【答案】AC【解析】因为13nn n a a ++=，所以1123n n n a a ++++=，两式相减得223nn n a a +-=⨯，所以()202020202018a a a =-()()()20202420182018201642231233324a a a a a -+-++-+=⨯++++= ，故A正确，B 错误.()()()()2022242020202112345202020213113338S a a a a a a a -=+++++++=++++= ，故C 正确.D 错误.故选AC ．三、填空题9．（2021福建省厦门高三5月高考适应性考试）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]2.32=，[]1.52-=-.在数列{}n a 中，[lg ]n a n =，n ∈+N .记nT 为数列{}n a 的前n 项和，则2021T =___________.【答案】4956【解析】当19n ≤≤时，[]lg 0n a n ==；当1099n ≤≤时，[]lg 1n a n ==，此区间所有项的和为90.当100999n ≤≤时，[]lg 2n a n ==，此区间所有项的和为90021800⨯=.当10002021n ≤≤时，[]lg 3n a n ==，此区间所有项的和为102233066⨯=.所以202190180030664956T =++=.10．（2021广东省揭阳市高三下学期教学质量测试）已知数列{}n a 满足：()21cos 3n n a π-=，则{}n a 的前100项和为________________.【答案】1【解析】因为()21cos3n n a π-=，所以11a =，212a =-，312a =-，41a =，512a =-，612a =-，……可知数列{}n a 是以3为周期的周期数列，且1230a a a ++=，所以100123456979899100S a a a a a a a a a a =++++++++++ ()()()123456979899100a a a a a a a a a a =++++++++++ 10011a a ===11．（2021湖南省衡阳市高三1月月考）已知数列{}n a 满足11a =，()*12nn n a a n +=∈N ，nS为数列{}n a 的前n 项和，则2022S =______．【答案】1011323⨯-【解析】∵11a =，12nn n a a +=，令1n =，122a a =所以22a =，当2n ≥时112n n n a a --=，∴112n n a a +-=，∴数列{}n a 的奇数项成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项成以2为首项，2为公比的等比数列．则()1011201011101122212123231212S--=+=⨯---．12．（2021河北省高三联考）已知数列{}n a 满足12a =，()111n n n a a n +++-=，{}n a 的前n 项和为n S ，则61S =______.【答案】962【解析】由题知，当n 为正奇数时，1n n a a n ++=，于是121a a +=,343a a +=，565a a +=， ，596059a a +=，所以606030135599002S ⨯=++++== .又因为当n 为正偶数时，1n n n a a +-=，且11n n a a n -+=-，所以两式相加可得1121n n a a n +-+=-，于是3123n n a a n +++=+，两式相减得314n n a a +--=.所以611154215462a a =+⨯=+⨯=，故6190062962S =+=.13．（2021湖北省黄冈市高三下学期5月适应性考试）将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）．已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S ．给出下列结论：①3m =；②767173a =⨯；③()1313j ij a i -=-⨯；④()()131314n S n n =+-．其中结论正确的是______．（填写所有正确答案的序号）【答案】①③④【解析】∵112a =，13611a a =+，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去），①正确；∴()()11113213313j j j ij i a a i m i ---⎡⎤=⋅=+-⨯⋅=-⋅⎣⎦，③正确；当6,7i j ==时，()767163613173a -=⨯-⨯=⨯，②不正确；∴()1313i ii a i -=-⋅，()()()111212122212............n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++()()()11211131313131313nnnn a a a ---=+++--- ()()231131.22nn n+-=-()1=(31)314n n n +-，④正确；故答案为:①③④.14．（2021江苏省徐州市高三下学期5月四模）若数列{}n a 对任意正整数n ，有n m n a a q +=(其中*m N ∈，q 为常数，0q ≠且1q ≠)，则称数列{}n a 是以m 为周期，以q 为周期公比的类周期性等比数列.已知类周期性等比数列{}n b 的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列{}n b 前21项的和为_______.【答案】1090【解析】由题意可知，4m =，3q =，且43n n a a +=，所以()21159131721S a a a a a a =++++++()()()()()652610141837111519481216201131131313a a a a a a a a a a a a a a a ⋅-⋅-++++++++++++++=+--()()5521313336412124236310901313⋅-⋅-=+=+++=--．15．（2021湖南省邵阳市高三月考）定义函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]1.31=，[]1.52-=-，[]22=，当[)*0,N x n n ∈∈时，()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则234202*********a a a a ++++---- 的值为______.【答案】40402021【解析】根据题意得：[][)[)[)[)[)[)0,0,11,1,22,2,33,3,44,4,51,1,x x x x x x n x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪∈⎪=∈⎨⎪∈⎪⎪⎪-∈-⎩ ，进而得[][)[)[)[)[)()[)0,0,1,1,22,2,33,3,44,4,51,1,x x x x x x x x x x x n x x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪∈⎪=∈⎨⎪∈⎪⎪⎪-∈-⎩ ，所以[]x x ⎡⎤⎣⎦在各区间中的元素个数为：1,1,2,3,4,,1n - ，所以当[)*0,N x n n ∈∈时，()f x 的值域为n A ，集合n A 中元素的个数为n a 满足：()()()21112112341122n n n n n a n -+-⎡⎤-+⎣⎦=++++++-=+= ，所以()112n n n a --=所以()12112111n a n n n n ⎛⎫==- ⎪---⎝⎭，所以234202*********a a a a ++++----1111111404022112232020202120212021⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= .16．（2021百师联盟高三5月冲刺卷）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足11S =，12n n n S S n ++=，其中n +∈N ，数列{}n b 的前n 项和为nT ，满足()()()142121n n n a b n n -⋅=-+，则20211T +=___________.【答案】14043-【解析】由题意12n n n S S n ++=，即111n n S n S n -+=-，累乘得()1121211143123212n n n n n n S n n n S n S n S S n S ---++-⋅=⋅⋅=---L L ，可知()12n n n S +=，2n ≥，当1n =时，11S =，所以()12n n n S +=，又2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，且当1n =时成立，从而有n a n =，故()()()()()()11411111212121212121n n n n n n b n n n n n n +-⋅--⎛⎫==-⋅+=- ⎪-+-+-+⎝⎭，所以()11121n n T n +-=--+，故2021114043T +=-.故答案为14043-17．（2021福建省厦门高三月考）已知正项等比数列{}n a 中，426a a -=，5115a a -=，则n a =__________，又数列{}n b 满足112b =，111n n b b +=-；若n S 为数列{}n n a b +的前n 项和，那么3n S =__________.【答案】12n -33212n n +-【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，则3421145111615a a a q a q a a a q a ⎧-=-=⎨-=-=⎩，解得：11612a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍）或112a q =⎧⎨=⎩，1112n n n a a q --∴==；112b = ，111n n b b +=-，22b ∴=，31b =-，412b =，52b =，……，则数列{}n b 是以3为周期的周期数列，{}n b ∴的前3n 项和()312332n n T n b b b =++=，又{}n a 的前3n 项和333122112nn n R -==--，∴33333212n n n n n S T R =+=+-.。

教学资料范本高考数学专题十二数列求和精准培优专练文编辑：__________________时间：__________________培优点十二 数列求和1．错位相减法例1：已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，．（1）求数列与的通项公式；（2）记，，求证：．【答案】（1），；（2）见解析．【解析】（1）设的公差为，的公比为，则，，即，解得：，，．（2），①，②得，∴所证恒等式左边，右边，即左边右边，所以不等式得证．2．裂项相消法例2：设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，，．（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）时，，当时，符合上式，，∵为等比数列，，设的公比为，则，而，，解得或，∵单调递增，，．（2），．一、单选题1．已知等差数列中，，，则项数为（ ）A．10B．14C．15D．17【答案】C【解析】∵，∴，∴，，故选C．2．在等差数列中，满足，且，是前项的和，若取得最大值，则（ ）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】设等差数列首项为，公差为，由题意可知，，，二次函数的对称轴为，开口向下，又∵，∴当时，取最大值．故选C．3．对于函数，部分与的对应关系如下表：1 2 3 4 5 6 7 8 93 7 5 9 6 1 8 2 4数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（ ）A．7554B．7549C．7546D．7539【答案】A【解析】由题意可知：，，，，，点都在函数的图象上，则，，，，，则数列是周期为4的周期数列，由于，且，故．故选A．4．设等差数列的前项和，，，若数列的前项和为，则（ ）A．8B．9C．10D．11【答案】C【解析】为等差数列的前项和，设公差为，，，则，解得，则．由于，则，解得．故答案为10．故选C．5．在等差数列中，其前项和是，若，，则在，，，中最大的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，，∴可得，，这样，，，，，，，而，，∴在，，，中最大的是．故选C．6．设数列的前项和为，则对任意正整数，（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵数列是首项与公比均为的等比数列．∴其前项和为．故选D．7．已知数列满足，，，，若恒成立，则的最小值为（ ）A．0B．1C．2D．【答案】D【解析】由题意知，，由，得，∴，∴恒成立，，故最小值为，故选D．8．数列的前项和为，若，则（ ）A．20xx B．1009 C．20xx D．1010【答案】B【解析】由题意，数列满足，∴，故选B．9．已知数列中，，则等于（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，由，解得，令，故．故选A．10．已知函数，且，则（ ）A．20xx0B．20500C．40100D．10050【答案】A【解析】，当为偶数时，，当为奇数时，，故．故选A．11．已知数列满足：，，，则的整数部分为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】，∴原式，当时，，∴整数部分为1，故选B．12．对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，．已知数列满足，其前项和为，若是满足的最小整数，则的值为（ ）A．305B．306C．315D．316【答案】D【解析】由题意，，当时，可得，（1项）当时，可得，（2项）当时，可得，（4项）当时，可得，（8项）当时，可得，（16项）当时，可得，（项）则前项和为，，两式相减得，∴，此时，当时，对应的项为，即，故选D．二、填空题13．已知数列满足，记为的前项和，则__________．【答案】440【解析】由可得：当时，有， ①当时，有， ②当时，有， ③有，有，则．故答案为440．14．表示不超过的最大整数．若，，，，则__________．【答案】，【解析】第一个等式，起始数为1，项数为，，第二个等式，起始数为2，项数为，，第三个等式，起始数为3，项数为，，第个等式，起始数为，项数为，，，故答案为，．15．已知函数，则________；【答案】20xx【解析】∵，设， ①则， ②得，∴．故答案为20xx．16．定义为个正整数，，，的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则_________；【答案】【解析】∵数列的前项的“均倒数”为，∴，解得，∴，当时，，当时，上式成立，则，∴，，则．故答案为．三、解答题17．正项等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设等差数列的公差为，则由已知得：，即，又，解得或（舍去），，∴，又，，∴，∴；（2）∵，，两式相减得，则．18．已知为数列的前项和，且，，，．（1）求数列的通项公式；（2）若对，，求数列的前项的和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，当时，，化为，∵，∴，当时，，且，解得．∴数列是等差数列，首项为1，公差为3．∴；（2）．∴，∴的前项的和．11 / 11。

2020届高三精准培优专练 例1：已知在数列{}n a 中，11a =，12()n n a a n +=∈*N ，数列{}n b 是公差为3的等差数列，且23b a =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b -的前n 项和n S ．培优点十二 数列求和 一、公式法例2：已知数列{}n a 是首项114a =，公比14q =的等比数列，数列{}n b 满足1423log ()n n b a n +=∈*N ，数列{}n c 满足11n n n c b b +=⋅．（1）求证：数列{}n b 为等差数列；（2）求数列{}n c 的前n 项和n S ．二、裂项相消法例3：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n nn c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．三、错位相减法例4：已知等差数列{}n a 中，3547a a a +=+，1019a =，则数列{cos }n a n π的前2018项和为（ ）A ．1008B ．1009C ．2017D ．2018一、选择题 1．设等差数列{}n a ，且13a =，2636a a +=，则数列{}n a 的前8项和8S =（ ）A ．45B ．144C ．164D ．2002．在等比数列{}n a 中，已知13a =，96n a =，189n S =，则n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．已知{}n a 是公差为12的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若2a ，6a ，14a 成等比数列，则5S =（ ） A ．352 B ．35 C ．252 D ．254．数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，15a =，17b =，且303060a b +=，则{}n n a b +的前30项的和为四、并项求和法 对点增分集训（ ）A ．1000B ．1020C ．1040D ．10805．数列{}n a 的通项公式为cos 2n n a π=，n ∈*N ，其前n 项和为n S ，则2016S =（ ） A ．1008 B ．1008-C ．1-D ．0 6．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且21n n S a =-，则数列{}n na 的前10项和为（ ）A ．10921⨯-B ．10921⨯+C ．11921⨯-D ．11921⨯+ 7．在递减的等差数列{}n a 中，21324a a a =-，113a =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和的最大值为（ ）A ．24143B ．1143C ．2413D ．613二、填空题8．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12a =，且12n n S S +=，设2log n n b a =，则12231011111b b b b b b +++的值是 ． 9．已知函数3()31xx f x =+，()x ∈R ，正项等比数列{}n a 满足501(1)a q =≠，则1299(ln )(ln )(ln )f a f a f a +++等于 ．三、解答题10．已知等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，232a a =，531S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若211log n n b a +=，求数列2{}n n b b +的前n 项和n T ．11．设数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．12．已知各项为正数的等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，若21log a ，2，25log a 成等差数列，37S =，数列{}n b 满足，11b =，数列11{}n n n b b a ++-的前n 项和为232n n +． （1）求q 的值；（2）求{}n b 的通项公式；（3）若11(1)(2)n n b c n n +-=++，123n n H c c c c =+++，求n H ．例1：【答案】（1）12n n a -=，32n b n =-；（2）232122n n n S n =-+-． 【解析】（1）∵12()n n a a n +=∈*N ，11a =，∴数列{}n a 是公比为2的等比数列，∴11122n n n a --=⨯=，∵等差数列{}n b 的公差为3，22324b a ===，∴2(2)332n b b n n =+-⨯=-．（2）11221212()()()()()n n n n n S a b a b a b a a a b b b =-+-++-=+++-+++ 21(12)(132)32112222n n n n n n ⨯-+-=-=-+--． 例2：【答案】（1）证明见解析；（2）31n n S n =+． 【解析】（1）证明：由已知得14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴14123log 34nn b n ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，∴32n b n =-．故数列{}n b 为等差数列． （2）111111()(32)(31)33231n n n c b b n n n n +===-⋅-+-+， ∴12311111111(1)()()()34477103231n n S c c c c n n ⎡⎤=++++=-+-+-++-⎢⎥-+⎣⎦ 培优点十二 数列求和 答案11(1)33131n n n =-=++． 例3：【答案】（1）2n n a =；（2）12(2)()2n n T n =-+⋅．【解析】（1）当2n ≥时，1122222n n n n n n a S S +-=-=--+=，当1n =时，112a S ==，符合上式．综上，2n n a =．（2）1()2n n n n c n a ==⋅， 则前n 项和11112()242n n T n =⋅+⋅++⋅，1111112()2482n n T n +=⋅+⋅++⋅， 两式相减可得1111(1)11111122()()122422212n n n n n T n n ++-=+++-⋅=-⋅-， 化简可得12(2)()2n n T n =-+⋅． 例4：【答案】D【解析】由题1112637919a d a d a d +=++⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，∴21n a n =-， 设cos πn nb a n =，则1212cos πcos 2π2b b a a +=+=， 3434cos3πcos 4π2b b a a +=+=，∴数列{cos π}n a n 的前2018项和为123420172018()()()n S b b b b b b =++++++ 2018220182=⨯=．一、选择题1．【答案】C【解析】等差数列{}n a ，13a =，2611536a a a d a d +=+++=， 联立两式得5d =，88(81)8351642S -=⨯+⨯=． 2．【答案】C【解析】由11n n a a q -=，得1963n q -=．∴15322n q -==．取6n =，2q =，这时663(21)18921S -==-．适合题意． 3．【答案】C【解析】因为2a ，6a ，14a 成等比数列，所以26214a a a =，21115113()()()222a a a +=++， ∴132a =，因此5311255542222S =⨯+⨯⨯⨯=，故选C ． 4．【答案】D【解析】{}n n a b +的前30项的和3011223030()()()S a b a b a b =++++++1233012330()()a a a a b b b b =+++++++++13013013013030()30()15()108022a ab b a a b b ++=+=+++=． 5．【答案】D 【解析】πcos 2n n a =的周期2π4π2T ==，12340(1)100a a a a +++=+-++=，20161234504()0S a a a a =⨯+++=，故选D ．6．【答案】B【解析】由21n n S a =-，得11a =．当2n ≥时，112()n n n n n a S S a a --=-=-，∴12n n a a -=．∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，∴12n n a -=．∴数列{}n na 的前10项和为029*********T =⨯+⨯+⨯++⨯①， ∴23102122232102T =⨯+⨯+⨯++⨯．②①-②，得102910101012122210210292112T --=++++-⨯=-⨯=-⨯--， 故10921T =⨯+．7．【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d <，因为21324a a a =-，113a =，所以213(132)(13)4d d +=+-，解得2d =-或2d =(舍去)， 所以1(1)132(1)152n a a n d n n =+-=--=-，当1520n a n =-≥时，7.5n ≤，所以当7n ≤时，0n a >． 因为111(152)(132)n n a a n n +=--111()2215213n n =⨯---， 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和111111111()()21311119215213213213n S n n n 1=⨯-+-++-=⨯---------， 当6n =时，n S 取得最大值，最大值为116(1)21313⨯-+=．二、填空题8．【答案】1910【解析】由12n n S S +=，且112S a ==，得数列{}n S 是首项、公比都为2的等比数列，则2n n S =，当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，12a =不满足上式，则12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，所以1,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩， 所以1223101111111111223910b b b b b b +++=++++⨯⨯⨯111111191(1)()()22239101010=+-+-++-=-=． 9．【答案】992【解析】因为3()31x x f x =+，所以33()()13131x xx x f x f x --+-=+=++． 因为数列{}n a 是等比数列，所以21992984951501a a a a a a a =====， 即1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+=．∴199298991(ln )(ln )(ln )(ln )(ln )(ln )1f a f a f a f a f a f a +=+==+= 设9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++①， 又999998971(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++②， +①②，得99299S =，所以99992S =．三、解答题10．【答案】（1）12n n a -=；（2）3111()4212n T n n =-+++． 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则322a q a ==． ∵531S =，∴51(12)3112a -=-，解得11a =，∴12n n a -=，故数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）∵212111log log 2n n n b a n +===，∴21111()(2)22n n b b n n n n +==-++， 11111111111(1)()()()2322423522n T n n =-+-+-++⨯-+11113111(1)()22124212n n n n =+--=-+++++．11．【答案】（1）212n n a -=；（2）211(31)229n n S n +⎡⎤=-+⎣⎦． 【解析】（1）由已知，当1n ≥时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+ 21232(1)13(222)22n n n --+-=++++=，而12a =，所以数列{}n a 的通项公式为212n n a -=．（2）由212n n n b na n -==⋅知，35211222322n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯①，从而23521212222n n S n +⋅=⨯+⨯++⨯②， ①-②，得2352121(12)22222n n n S n -+-=++++-⋅，即211(31)229n n S n +⎡⎤=-+⎣⎦． 12．【答案】（1）2q =；（2）(1)21nn b n =-⋅+；（3）2222n n H n +=-+． 【解析】（1）21log a ，2，25log a 成等差数列，2125215log log log ()4a a a a +==，215316a a a ==，又因为0n a >，∴34a =，又37S =，∴21211147a q a a q a q ⎧=⎨++=⎩，解得2q =或23q =-(舍)． （2）记11n n n nb b d a ++-=，当2n ≥时，223(1)3(1)122n n n n n d n +-+-=-=+， 又∵12d =也符合上式，∴1n d n =+．而31322n n n a a --=⋅=，∴1(1)2n n n b b n +-=+⋅，∴21121321()()()122322n n n n b b b b b b b b n --=+-+-++-=+⋅+⋅++⋅，(2)n ≥， ∴231222232(1)22n n n b n n -=+⋅+⋅++-⋅+⋅两式相减得2112222(1)21n n n n b n n --=++++-⋅=-⋅-， ∴(1)21n n b n =-⋅+，(2)n ≥．而11b =也符合上式，故(1)21n n b n =-⋅+．（3）12111222(1)(2)(1)(2)21n n n n n b n c n n n n n n ++++-⋅===-++++++， 2221232222222n n n n H c c c c n n ++=++++=-=-++．。

高考数列求和专项训练及解答一．选择题〔共3小题〕1．数列1，3，5，7，…那么其前n项和S n为〔〕A．n2+1﹣B．n2+2﹣C．n2+1﹣D．n2+2﹣2．项数为奇数的等差数列{a n}共有n项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，那么项数n的值是〔〕A．9B．10C．11D．133．等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，S5=15．设数列{}的前n项和为T n，假设T n=，那么n=〔〕A．19B．20C．21D．22二．解答题〔共5小题〕4．数列{a n}的通项是a n=2n﹣1．〔1〕求数列{a n}的前n项和为S n〔2〕设数列的前n项和为T n，求T n．5．正项数列满足4S n=a n2+2a n+1．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．6．等比数列{a n}的公比q＞0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕记b n=，求数列{b n}的前n项和T n．7．在数列{a n}中，a1=1，．〔1〕求a2，a3，a4，猜测a n，无需证明；〔2〕假设数列，求数列{a n}的前n项和S n．8．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2a n+2n．〔1〕证明数列{}是等差数列，并求出a n；〔2〕求S n；〔3〕令b n=，假设对任意正整数n，不等式b n＜恒成立，XX数m 的取值X围．2018年10月20日克拉玛****高级中学的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共3小题〕1．数列1，3，5，7，…那么其前n项和S n为〔〕A．n2+1﹣B．n2+2﹣C．n2+1﹣D．n2+2﹣【分析】利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：S n=1+3+5+…+〔2n﹣1〕++…+=+=n2+．应选：A．【点评】此题考察了等差数列与等比数列的前n项和公式，属于根底题．2．项数为奇数的等差数列{a n}共有n项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，那么项数n的值是〔〕A．9B．10C．11D．13【分析】利用项数为奇数的等差数列{a n}共有n项，求出奇数项之和，偶数项之和，然后通过比值求解即可．【解答】解：由题意，；；∴，∴n=11．应选：C．【点评】此题考察数列求和，数列的应用，考察计算能力．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，S5=15．设数列{}的前n项和为T n，假设T n=，那么n=〔〕A．19B．20C．21D．22【分析】等差数列{a n}的公差设为d，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项、公差，求得==﹣，由裂项相消求和可得前n项和T n，解方程可得n的值．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，前n项和为S n，S3=6，S5=15，可得3a1+3d=6，5a1+10d=15，解得a1=d=1，即a n=1+n﹣1=n，==﹣，前n项和为T n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，由T n=，可得n=20，应选：B．【点评】此题考察等差数列的通项公式和求和公式的运用，考察数列的求和方法：裂项相消求和，考察运算能力，属于中档题．二．解答题〔共5小题〕4．数列{a n}的通项是a n=2n﹣1．〔1〕求数列{a n}的前n项和为S n〔2〕设数列的前n项和为T n，求T n．【分析】〔1〕利用等差数列的通项公式求解数列的和即可．〔2〕利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】〔12分〕解：〔1〕∵a n=2n﹣1，∴a1=1，∴〔2〕①，②①减②得：==，∴．【点评】此题主要考察数列通项公式和前n项和的求解，利用错位相减法的应用，考察计算能力．5．正项数列满足4S n=a n2+2a n+1．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】〔1〕由，可知当n≥2时，，两式作差可得a n﹣a n﹣1=2〔n≥2〕，再求出首项，代入等差数列的通项公式可得数列{a n}的通项公式；〔2〕把数列{a n}的通项公式代入b n=，再由裂项相消法求数列{b n}的前n 项和T n．【解答】解：〔1〕由，可知当n≥2时，，两式作差得a n﹣a n﹣1=2〔n≥2〕，又，得a1=1，∴a n=2n﹣1；〔2〕由〔1〕知，，∴T n=b1+b2+…+b n==．【点评】此题考察等差数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．6．等比数列{a n}的公比q＞0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕记b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】〔1〕利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解数列的通项公式；〔2〕化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：〔1〕由a1a5=8a2得：a1q3=8，即a4=8，又∵3a4，28，a6成等差数列，∴3a4+a6=56，将a4=8代入得：a6=32．从而：a1=1，q=2．∴a n=2n﹣1；〔2〕b n==2n•〔〕n﹣1，T n=2×〔〕0+4×〔〕1+6×〔〕2+…+2〔n﹣1〕•〔〕n﹣2+2n•〔〕n﹣1……………………①T n=2×〔〕1+4×〔〕2+6×〔〕3+…+2〔n﹣1〕•〔〕n﹣1+2n•〔〕n……………………②①﹣②得：T n=2×[〔〕0+2〔〕1+〔〕2+…+〔〕n﹣1]﹣2n•〔〕n=2+2×﹣2n•〔〕n=4﹣〔n+2〕•〔〕n﹣1．∴T n=8﹣〔n+2〕•〔〕n﹣2．【点评】此题考察等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考察转化首项以及计算能力，是中档题．7．在数列{a n}中，a1=1，．〔1〕求a2，a3，a4，猜测a n，无需证明；〔2〕假设数列，求数列{a n}的前n项和S n．【分析】〔1〕利用条件通过递推关系式求解a2，a3，a4，猜测a n；〔2〕化简数列，利用裂项消项法求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：〔1〕∵a1=1，a n+1=，∴a2==，a3=═，a4=═．猜测：a n=．〔2〕由〔1〕知：b n===2[﹣]，从而s n=b1+b2+…+b n=2[〔1﹣〕+〔﹣〕+…+〔﹣〕]=2[1﹣]=．【点评】此题考察数列求和，数列的递推关系式的应用，考察计算能力．8．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2a n+2n．〔1〕证明数列{}是等差数列，并求出a n；〔2〕求S n；〔3〕令b n=，假设对任意正整数n，不等式b n＜恒成立，XX数m 的取值X围．【分析】〔1〕两边同除以2n+1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；〔2〕运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和；〔3〕求得b n==〔〕n+〔n﹣1〕•〔〕n，讨论b n的单调性，求得最大值，可得m2﹣m﹣6＞0，解不等式即可得到所求X围．【解答】解：〔1〕证明：a1=1，a n+1=2a n+2n，可得=+，可得数列{}是首项和公差均为的等差数列，可得=n，即a n=n•2n﹣1；〔2〕S n=1•20+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，2S n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，相减可得﹣S n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n，=﹣n•2n，化简可得S n=1+〔n﹣1〕•2n；〔3〕b n==〔〕n+〔n﹣1〕•〔〕n，b n+1﹣b n=〔〕n+1+n•〔〕n+1﹣〔〕n﹣〔n﹣1〕•〔〕n=，当n=1时，b2﹣b1=；n=2时，b3﹣b2=；即b1＜b2＜b3，当n≥3时，b n+1﹣b n＜0，即b3＞b4＞b5＞…，那么n=3时，b n的最大值为b3=，不等式b n＜恒成立，可得＜，即为m2﹣m﹣6＞0，解得m＞3或m＜﹣2．那么m的取值X围是〔﹣∞，﹣2〕∪〔3，+∞〕．【点评】此题考察等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考察数列的求和方法：错位相减法，以及数列的单调性的运用：解不等式，考察化简整理的运算能力，属于中档题．。

高考数列求和专项训练及解答一．选择题（共3小题）1．已知数列1，3，5，7，…则其前n项和Sn为（）A．n2+1﹣B．n2+2﹣C．n2+1﹣D．n2+2﹣2．已知项数为奇数的等差数列{an}共有n项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数n 的值是（）A．9B．10C．11D．133．已知等差数列{an }的前n项和为Sn，S3=6，S5=15．设数列{}的前n项和为Tn，若Tn=，则n=（）A．19B．20C．21D．22二．解答题（共5小题）4．已知数列{an }的通项是an=2n﹣1．（1）求数列{an }的前n项和为Sn（2）设数列的前n项和为Tn ，求Tn．5．已知正项数列满足4Sn =an2+2an+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．6．已知等比数列{an }的公比q＞0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．7．在数列{an }中，a1=1，．（1）求a2，a3，a4，猜想an，无需证明；（2）若数列，求数列{an }的前n项和Sn．8．已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2an+2n．（1）证明数列{}是等差数列，并求出an；（2）求Sn；（3）令bn =，若对任意正整数n，不等式bn＜恒成立，求实数m的取值范围．2018年10月20日克拉玛****高级中学的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．已知数列1，3，5，7，…则其前n项和Sn为（）A．n2+1﹣B．n2+2﹣C．n2+1﹣D．n2+2﹣【分析】利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：Sn=1+3+5+…+（2n﹣1）++…+=+=n2+．故选：A．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式，属于基础题．2．已知项数为奇数的等差数列{an}共有n项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数n 的值是（）A．9B．10C．11D．13【分析】利用项数为奇数的等差数列{an}共有n项，求出奇数项之和，偶数项之和，然后通过比值求解即可．【解答】解：由题意，；；∴，∴n=11．故选：C．【点评】本题考查数列求和，数列的应用，考查计算能力．3．已知等差数列{an }的前n项和为Sn，S3=6，S5=15．设数列{}的前n项和为Tn，若Tn=，则n=（）A．19B．20C．21D．22【分析】等差数列{an}的公差设为d，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项、公差，求得==﹣，由裂项相消求和可得前n项和Tn，解方程可得n的值．【解答】解：等差数列{an }的公差设为d，前n项和为Sn，S3=6，S5=15，可得3a1+3d=6，5a1+10d=15，解得a1=d=1，即an=1+n﹣1=n，==﹣，前n项和为Tn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，由Tn=，可得n=20，故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．二．解答题（共5小题）4．已知数列{an }的通项是an=2n﹣1．（1）求数列{an }的前n项和为Sn（2）设数列的前n项和为Tn ，求Tn．【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解数列的和即可．（2）利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】（12分）解：（1）∵an =2n﹣1，∴a1=1，∴（2）①，②①减②得：==，∴．【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用错位相减法的应用，考查计算能力．5．已知正项数列满足4Sn =an2+2an+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（1）由，可知当n≥2时，，两式作差可得an ﹣an﹣1=2（n≥2），再求出首项，代入等差数列的通项公式可得数列{an}的通项公式；（2）把数列{an }的通项公式代入bn=，再由裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）由，可知当n≥2时，，两式作差得an ﹣an﹣1=2（n≥2），又，得a1=1，∴an=2n﹣1；（2）由（1）知，，∴Tn =b1+b2+…+bn==．【点评】本题考查等差数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．6．已知等比数列{an }的公比q＞0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（1）利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解数列的通项公式；（2）化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）由a1a5=8a2得：a1q3=8，即a4=8，又∵3a4，28，a6成等差数列，∴3a4+a6=56，将a4=8代入得：a6=32．从而：a1=1，q=2．∴an=2n﹣1；（2）bn==2n•（）n﹣1，Tn=2×（）0+4×（）1+6×（）2+…+2（n﹣1）•（）n﹣2+2n•（）n﹣1……………………①Tn=2×（）1+4×（）2+6×（）3+…+2（n﹣1）•（）n﹣1+2n•（）n……………………②①﹣②得：Tn=2×[（）0+2（）1+（）2+…+（）n﹣1]﹣2n•（）n=2+2×﹣2n•（）n=4﹣（n+2）•（）n﹣1．∴Tn=8﹣（n+2）•（）n﹣2．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力，是中档题．7．在数列{an }中，a1=1，．（1）求a2，a3，a4，猜想an，无需证明；（2）若数列，求数列{an }的前n项和Sn．【分析】（1）利用已知条件通过递推关系式求解a2，a3，a4，猜想an；（2）化简数列，利用裂项消项法求数列{an }的前n项和Sn．【解答】解：（1）∵a1=1，an+1=，∴a2==，a3=═，a4=═．猜想：an=．（2）由（1）知：bn===2[﹣]，从而sn =b1+b2+…+bn=2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2[1﹣]=．【点评】本题考查数列求和，数列的递推关系式的应用，考查计算能力．8．已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2an+2n．（1）证明数列{}是等差数列，并求出an；（2）求Sn；（3）令bn =，若对任意正整数n，不等式bn＜恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）两边同除以2n+1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和；（3）求得bn ==（）n+（n﹣1）•（）n，讨论bn的单调性，求得最大值，可得m2﹣m﹣6＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）证明：a1=1，an+1=2an+2n，可得=+，可得数列{}是首项和公差均为的等差数列，可得=n，即an=n•2n﹣1；（2）Sn=1•20+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，2Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，相减可得﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n，=﹣n•2n，化简可得Sn=1+（n﹣1）•2n；（3）bn==（）n+（n﹣1）•（）n，b n+1﹣bn=（）n+1+n•（）n+1﹣（）n﹣（n﹣1）•（）n=，当n=1时，b2﹣b1=；n=2时，b3﹣b2=；即b1＜b2＜b3，当n≥3时，bn+1﹣bn＜0，即b3＞b4＞b5＞…，则n=3时，bn 的最大值为b3=，不等式b＜恒成立，可得n＜，即为m2﹣m﹣6＞0，解得m＞3或m＜﹣2．则m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，以及数列的单调性的运用：解不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。