中值定理有关的证明题辅助函数法

中值定理证明方法总结中值定理（Intermediate Value Theorem）是微积分中的一项重要定理，它表明如果一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上取两个不同的值$f(a)$和$f(b)$，那么在开区间$(a,b)$内，函数$f(x)$必然取到介于$f(a)$和$f(b)$之间的所有值。

中值定理的证明是通过构造一个辅助函数$g(x)$，它将闭区间$[a,b]$映射到实数区间$[f(a),f(b)]$上，并利用连续函数的性质来证明中值定理。

证明过程如下：1.首先，我们定义辅助函数$g(x)=f(x)-k$，其中$k$是一个常数。

我们的目标是证明如果$g(a)$和$g(b)$异号，那么在开区间$(a,b)$内，$g(x)$必然等于$0$。

2.根据函数$g(x)$的定义，我们可以得到$g(a)=(f(a)-k)$和$g(b)=(f(b)-k)$。

由于$g(a)$和$g(b)$异号，即$(f(a)-k)$和$(f(b)-k)$异号，所以$g(x)$在$[a,b]$上一定有一个根。

3. 接下来，我们要证明在开区间$(a,b)$内，$g(x)$没有其他根。

假设在$(a,b)$内存在一个根$x=c$，即$g(c)=0$。

根据连续函数的性质，我们有$\lim_{x \to c} g(x) = g(c) = 0$。

又因为$f(x)$是连续函数，所以$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$。

4. 根据极限的性质，我们有$\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} [f(x)-k] = f(c)-k$。

由于$\lim_{x \to c} g(x) = 0$，所以$f(c)-k=0$，即$f(c)=k$。

这意味着$f(c)-k=0$是$g(x)$的唯一根。

5.综上所述，我们可以得出结论，如果$g(a)$和$g(b)$异号，那么在开区间$(a,b)$内，$g(x)$的根只有$f(c)-k=0$。

中值定理证明中值定理是微积分中的一个重要定理，它用于描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。

下面是中值定理的证明：假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)内可导。

我们需要证明在(a, b)内存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

首先，我们定义一个辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x。

这个函数表示了通过线性插值在端点f(a)和f(b)之间得到的直线。

由于f(x)是连续函数，而直线是线性函数，因此g(x)也是连续函数。

接下来，我们考虑g(x)在闭区间[a, b]上的取值情况。

当x = a 时，g(a) = f(a) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]a = f(a) - f(a) + f(a) = 0。

同理，当x = b时，g(b) = f(b) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]b = f(b) - f(b) + f(a) = 0。

因此，g(x)在闭区间[a, b]上的取值范围为[0, 0]，即恒等于0。

根据罗尔定理，如果一个连续函数在闭区间的端点处取得相同的值，并且在开区间内可导，那么在开区间内至少存在一个点使得函数的导数等于0。

在我们的情况下，g(x)在闭区间[a, b]上的取值恒为0，因此根据罗尔定理，存在一个点c∈(a, b)，使得g'(c) = 0。

我们来计算g'(c)的值：g'(c) = f'(c) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]。

由于g'(c) = 0，我们可以得到：0 = f'(c) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]。

将上述等式移项，即得到中值定理的结论：f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

因此，我们证明了中值定理。

关于中值定理证明中辅助函数的构造张芝华（上海师范大学商学院，上海201199）摘要：构造辅助函数是高等数学证明中常用的技巧，它起着化难为易、化未知为已知的桥梁作用，特别是在应用中值定理证明问题时，需要构造辅助函数。

如何才能找出合适的辅助函数，在教学实践中人们总结出了多种方法，本文通过几个实例着重介绍如何使用原函数法构造辅助函数的方法。

关键词：中值定理；辅助函数；构造方法中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-9324（2015）45-0153-02一、引例例1：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，证明在（a，b）内至少存在一点ξ使bf（b）-af（a）b-a=f（ξ）+ξf′（ξ）证明：令φ（x）=x·f（x）φ（x）满足拉格朗日中值定理条件，∴在（a，b）内至少存在一点ξ，使φ′（ξ）=φ（b）-φ（a）b-a⇒f（ξ）+ξf′（ξ）=bf（b）-af（a）b-a上题结论中要证明f（ξ）+ξf′（ξ）=0，那么对于这类题目有没有方法来构造辅助函数？我们可以用下面思路来构造辅助函数。

1°将ξ改写成x，f（x）+xf′（x）=02°将上式化为f′（x）f（x）+1x=03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lnx）′=04°上式又可以改写成[lnx·f（x）]′=0所以我们可以令φ（x）=x·f（x）上面构造辅助函数的方法就是原函数法。

二、证明的结论中含有ξf′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=x k·f（x）1°将ξ改写成x，xf′（x）+kf（x）=02°将上式化为f′（x）f（x）+kx=03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lnx k）′=04°上式又可以改写成[lnx k·f（x）]′=0我们可以令φ（x）=x k·f（x）例2：设f（x）在[0，1]上连续，x 0∫f（x）dx=0，证明存在ξ∈（0，1）使ξf（ξ）=-2x∫f（t）dt分析：按上述思路1°将ξ改写成x，xf（x）+2x∫f（t）dt=02°将上式化为f（x）x∫f（t）dt+2x=03°上式又可以改写成（lnx∫f（t）dt）′+（lnx2）′=04°上式又可以改写成[lnx2·x∫f（f）dt]′=0我们可以令φ（x）=x∫x2·x0∫f（t）dt证明：令φ（x）=x∫x2·f（t）dtφ（0）=φ（1）=0∃ξ∈（0，1）使φ′（ξ）=0φ′（x）=2x·x∫f（t）dt+x2f（x）φ′（ξ）=2ξ·ξ∫f（t）dt+ξ2f（ξ）=0即：ξf（ξ）=-2ξ∫f（t）dt三、证明的结论中含有f′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=e kx·f（x）1°将ξ改写成x，f′（x）+kf（x）=02°将上式化为f′（x）f（x）+k=03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lne kx）′=04°上式又可以改写成[lne kx·f（x）]′=0我们可以令φ（x）=e kx·f（x）例3：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，f（a）=f（b）=0，. All Rights Reserved.f ′+（a ）·f ′-（b ）＞0.证明（1）∃c ∈（a ，b ）使f （c ）=0（2）∃ξ1，ξ2∈（a ，b ）使f ′（ξ1）-f （ξ1）=0和f ′（ξ2）-f （ξ2）=0证明：（1）不妨设f ′+（a ）＞0，f ′-（b ）＞0由f ′+（a ）＞0⇒∃x 1∈（a ，b ）使f （x 1）＞f （a ）=0由f ′-（b ）＞0⇒∃x 2∈（a ，b ）使f （x 2）＜f （b ）=0⇒f （x 1）·f （x 2）＜0由零点定理得∃c ∈（a ，b ）使f （c ）=0（2）令φ（x ）=e -x·f （x ）∵φ（a ）=φ（c ）=φ（b ）=0∴∃ξ1∈（a ，c ），∃ξ2∈（c ，b ）使φ′（ξ1）=φ′（ξ2）=0而φ′（x ）=e -x·（f ′（x ）-f （x ））=0且e -x≠0f ′（ξ1）-f （ξ1）=0f ′（ξ2）-f （ξ2）=0四、证明的结论中可以化为以上两种形式，我们可以用原函数法构造辅助函数例4：设f （x ）在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内二阶可导，f （a ）=f （b ）=0，f ′+（a ）·f ′-（b ）＞0.证明∃η∈（a ，b ）使f ″（η）-4f ′（η）+3f （η）=0分析：1°将ξ改写成x ，f ″（x ）-4f ′（x ）+3f （x ）=02°将上式化为（f ′（x ）-f （x ））-3（f ′（x ）-f （x ））=03°将（f ′（x ）-f （x ））看成f ′（x ）+kf （x ）=0中的f （x ）4°我们可以令φ（x ）=e -3x·（f ′（x ）-f （x ））证明：令φ（x ）=e -3x·（f ′（x ）-f （x ））∃η1，η2∈（a ，b ）使φ（η1）=φ（η2）=0∃η∈（a ，b ）使φ′（η）=0φ′（x ）=-3e -3x·（f ′（x ）-f （x ））+e -3x（f ″（x ）-f ′（x ））=e -3x（f ″（x ）-4f ′（x ）+3f （x ））∵e -3x≠0⇒f ″（η）-4f ′（η）+3f （η）=0从以上例子我们可以看到用原函数法构造辅助函数的步骤为：1°将要证的结论中ξ改写成x 2°移项使等式一边为零3°用观察法或积分法求出原函数4°这个原函数就是我们要找的辅助函数. All Rights Reserved.。

分类号编号本科生毕业论文（设计）题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用作者姓名常正军专业数学与应用数学学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2研究类型数学应用方向指导教师李明图提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5论文原创性声明本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

论文作者签名：年月日摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。

关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。

罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。

关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example.Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application目录1 定理的叙述 (1)1.1罗尔(Rolle)中值定理 (1)1.2拉格朗日(Larange)中值定理 (1)2 拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造方法 (1)2.1借助于数形结合的思想构建辅助函数 (1)2.2用行列式构造辅助函数 (2)2.3借助闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理 (3)2.4借助待定系数法构造辅助函数 (4)2.5借助定积分构造辅助函数 (5)2.6借助不定积分构造辅助函数 (5)2.7借助坐标轴旋转变换构建辅助函数 (6)3 拉格朗日中值定理的应用 (8)3.1拉格朗日中值定理在等式证明中的应用 (8)3.2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 (9)错误！未定义书签。

泰勒中值定理证明题引言泰勒中值定理是微积分中的重要定理之一，它为我们提供了一种将函数在某一点附近展开的方法，并且可以用于近似计算和证明其他数学定理。

本文将对泰勒中值定理进行详细的证明和解释。

定理概述泰勒中值定理是指对于一个在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导的函数f(x)，存在一个介于a 和b 之间的数c ，使得函数f(x)在点x=c 处的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。

具体来说，设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么存在一个介于a 和b 之间的数c ，使得：f′(c )=f (b )−f (a )b −a证明过程为了证明泰勒中值定理，我们需要运用到微积分中的一些基本概念和定理，包括导数的定义、拉格朗日中值定理等。

首先，我们定义一个辅助函数g(x)，使得：g (x )=f (x )−(f (b )−f (a )b −a)(x −a ) 接下来，我们观察函数g(x)在闭区间[a, b]上的性质。

由于函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么根据导数的定义，我们知道函数f(x)在闭区间[a, b]上的平均变化率等于函数f(x)在开区间(a, b)上的导数。

也就是说，存在一个介于a 和b 之间的数k ，使得：f′(k )=f (b )−f (a )b −a我们可以将函数g(x)改写为：g (x )=f (x )−f′(k )(x −a )接下来，我们需要证明函数g(x)在闭区间[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件。

根据拉格朗日中值定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么存在一个介于a和b之间的数c，使得函数在点x=c处的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。

对于函数g(x)，它在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导。

根据拉格朗日中值定理，存在一个介于a和b之间的数c，使得：g′(c)=g(b)−g(a)b−a将函数g(x)的导数表示出来，我们有：g′(x)=f′(x)−f′(k)将上述结果代入拉格朗日中值定理的等式中，我们得到：f′(c)−f′(k)=f(b)−f(a)b−a整理上述等式，我们有：f′(c)=f(b)−f(a)b−a这正是泰勒中值定理所表述的内容。

微分中值定理中用积分因子(微分方程)来构造辅助函数的方法相信同学们在微分中值定理这一块内容不是很懂，特别是构造辅助函数这一部分相当困难。

本人今天有幸在书上看到一个方法叫做用积分因子(微分方程)来构造函数的方法，个人感觉这方法特别有用。

于是我百度找到了下面内容：先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)=f(ε)证明过程： f ’(ε)=f(ε), 所以f ’(x)=f(x), 让f(x)=y,所以 y dxdy =,即dx dy y =1，所以对两边简单积分，即⎰⎰=dx dy y 11，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C ，但这只是我的经验方法，所以不加）就是x y =ln ，也就是x e y =，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把x e 除下来，就是1=x ey ，所以左边就是构造函数，也就是x e y -⋅，而y 就是f(x)，所以构造函数就是x e x f -)(，你用罗尔定理带进去看是不是。

再给大家举几个例子。

二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证：在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)+2εf(ε)=0证：一样的，xy dx dy 2-=，把x,y 移到两边，就是xdx dy y 21-=，所以积分出来就是2ln x y -=，注意y 一定要单独出来，不能带ln ，所以就是=y 2x e -，移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2)(x e x f ，再用罗尔定理就出来了。

三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a ，a ）中存在ε使f ’(ε) ε+2f(ε)=0.证：02=+y x dx dy ，移项就是dx x dy y 121-=，所以x y ln 2ln -=，所以就是21xy =，移项就是12=⋅x y ，所以构造的函数就是2)(x x f ⋅，再用罗尔定理就可以了。

柯西中值定理辅助函数
柯西中值定理辅助函数是一种数学工具，主要用于证明某个函数的连续性。

它结合了柯西中值定理以及泰勒展开式，使得证明连续性的过程变的更加简单、快捷。

柯西中值定理辅助函数的步骤如下：
1. 首先将待证函数定义在区间[a,b]上，其中a<b。

2. 将函数f(x)在[a,b]上分段展开成多项式，令P(x)表示其中一段的多项式表达式；
3. 设c是a和b之间的某个数，使得a< c < b；
4. 将P(x)在区间[a,b]内替换为P(c)，并根据柯西中值定理知道，P(x)在[a,b]内的最大值和最小值分别为
P(c)±K|f(x)|，其中K是常数；
5. 由此可得，当|f(x)|≤P(c)/K时，P(x)在[a,b]内就会保持连续性；
6. 最后，如果能够证明|f(x)|≤P(c)/K，则证明
f(x)在[a,b]上是连续函数。

考研：微分中值定理的证明题汇总
1、借助中值定理求极限
拉格朗日定理
形如f(a)-f(b)的形式，可以通过拉格朗日定理转化为
f(a)-f(b)=f'(ξ)(a-b)
例：arctan(a)-arctan(b)
泰勒公式
2、证明 f'(ξ)=0 或 f"(ξ)=0
1、通常使用罗尔定理证明，其中
证明 f'(ξ)=0
证明存在 f(a)=f(b)=f(c)；
证明存在 f'(ξ1)=f'(ξ2)=0；
进而证明存在η使得 f"(η)=0
证明 f"(ξ)=0
证明存在 f(a)=f(b)；
进而证明存在ξ使得 f'(ξ)=0
一般来说，证明f(a)=f(b)=f(c)的方法有
介值定理
零点存在定理
积分中值定理
2、当罗尔定理无法证明时，尝试使用费马引理证明
3、证明 G[f'(ξ), f(ξ), C]=0（导数，函数，常数在一点的
等式）
通过：
观察
将方程两端求导
求解微分方程
构建辅助函数，进而通过罗尔定理求证。

4、涉及到两个函数的问题
使用柯西中值定理进行证明
5、双介值问题
介值不能相同
用两次拉格朗日中值定理进行证明
介值可以相同
考虑使用拉格朗日中值定理和柯西中值定理进行证明。