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相对运动伽利略变换

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相对运动、伽利略变换
一，运动叠加原理:
1，运动叠加原理：
实验表明：一个运动可视为几个独立进行的运动的叠加。

运动叠加性是运动的重要特性。

2，抛体运动的矢量表述：
t=0时刻质点从坐标原点出发，以初速度
v 0作抛射角为θ的斜上抛运动。

j i v 0y ox v v 0+= θθsin ,
cos 0000v v v v y x ==
运动过程中的加速度为 j g a g -== 任意时刻的速度为
θc o s
00000v v v dt a dv dt
dv a x x t x v v x x
x x x ====∴==
⎰⎰ gt
v gt v v gt
gdt dt a dv g
dt
dv a y y t
tv v t y y y
y y
y
-=-=-=-==∴-==
⎰⎰⎰θsin 000
()()j i v gt v v -+=θθsin cos 00
()j i v r ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+==⎰200021s i n c o s gt t v t v d t
θθ
v
0y
由上可见，抛体运动是由沿水平方向的匀速直线运动与沿垂直方向的匀变速直线运动叠加而成。

如果将上式变化为
j j i r 2002
1
)s i n c o s (gt t v v -+=θθ 所以有 221
t t g v r 0+=
可见，抛体运动还可视为沿初速度方向的匀 速直线运动和沿垂直方向的自由落体运动叠加。

二，运动的相对性——伽利略变换：
1，伽利略变换： 设：K ’系相对K 系以速度u 沿ox 轴匀速运动、且 t=0 时 K 、K ’ 重合。

由图可见： t u r r r R r -=''
+=或
（1）由于在矢量叠加时各矢量必须由 同一坐标系测定，上式说明K /系测得 的r /与K 系测得的相同，即，空间两
点间的距离（空间间隔）不随坐标系而变化——空间绝对性； （2）上式还利用了关系式： t /=t 即：
同一运动所经历的时间（间隔）也不随坐标系而变化。

——时间绝对性。

伽利略变换集中反映了上述绝对时空观，
其分量形式为：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧='='='-='t
t z z y y ut x x
2，相对运动：
设u 、a r 分别为K ’ 系相对K 系的运动速度和加速度。

r
a a a a a a v v a u v v u v u r
r v r r +'=-=-='='+'=-=-='=
'或或dt
d dt d dt
d dt d
上式可记为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=''''K
K K P P K K
K K P P K a a a v v v
'
显然，一般情况下，运动在不同参考系中的描述是不同的，只有当K ’ 系相对K 系作匀速直线运动，即0=='K K r a a 时， K P PK a a '=
即在相对作匀速直线运动的参考系中质点运动的加速度不随参考系变化。

【例】：已知轮船以对岸速度v 航行，船上以对船速度u 升旗，试求旗对岸速度。

解：设旗对岸速度为v / ，根据伽利略变换：v qa ＝v qc
v
u
tg v u v 1
2
2
-=+='+='αv
u v
【例】某人以速度v 向东行进时，感觉风从正北吹来，如果将速度增加一倍，则感觉风从东北方向吹来。

求风对地面的速度。

解：根据伽利略速度变换：
RD FR FD V V V += 由题意可得图示矢量图。

v
V
V
V v V v V FR
RD
FD FR RD 22
2=+===
【例】一升降机以角速度a 上升，当速度为v o 时，有一螺帽从升降机天花板上脱落。

天花板与底板间距离为h ，试求螺帽从天花板落到底板所需时间
解一：以升降机外的固定柱为参考系。

分别取螺帽和升降机（底板）为研究对象，以螺帽刚脱落时刻为（t=0）， 以升降机底板此时刻位置为坐标原点（y ＝0）， 螺帽运动方程：20121
gt t v h y -+=
升降机底板： 20221at t v y +=
螺帽落在底板上：21y y = 最后得：g
a h
t +=
2 解二：以升降机为参考系。

向下为y 轴正向。

螺帽相对于升降机的加速度应为： g a a g a a a a LJ DJ
LD LJ +=-+=+=)(
螺帽以加速度（g+a ）相对升降机作自由落体运动。

所以有 g
a h
t t g a h +=
+=
2)(2
1
2 / FD
V FR V
/RD V
RD V /FR V
y 0。

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1-5 伽利略坐标变换相对运动

1-5 伽利略坐标变换相对运动


v'
v
平板车参考系为 S′系
y
B
y' v&
x'
tan α =
速度变换
v'y v'x
o
o'
x
v x = u + v'x v y = v'y
解: 地面参考系为 S 系，平板车参考系为
v'y tanα = v'x
S′ 系.
−1
v x = u + v'x
v y = v'y
vx = 0
u 当 u 接近光速时，伽利略速度变换不成立！
du 若 = 0 则 a = a' dt
dr v= dt dr ' v'= dt
∆r '
xx'
z
z'
t =t v v' u
例2 无风的下雨天， 一火车以20m/s的速度前进， 车内旅客看见玻璃窗上的雨滴和铅垂线成75°角下降， 求雨滴下落的速度（设下降的雨滴作匀速运动）。 解 以地面为参照系，火车相对地面运动的速度 为 v1 ，雨滴相对于地面的运动速度为 v 2 ，旅客看到 雨滴下落的速度为雨滴相对于火车的运动速度 v′ . 2
v'
v
∴v'x = −u = −10m ⋅ s
u u
x'
v y = v'y = v'x tan α
v y = 17.3m ⋅ s
弹丸上升高度
−1
y
B
y' v'
60
α
A
o
相对运动

相对运动

问题:
牛顿定律的几点说明 1. 牛顿定律只适用于惯性系 2.牛顿第二定律只适用于质点或可看作质点的物体 2.牛顿第二定律只适用于质点或可看作质点的物体
v v 中 v 是物体所受合外力 3. F = ma F 是物体所受合外力
v v 体的质量保持不变时才和 F = ma 等价 r r r d(mv ) r dv r r =m F= = ma d p = F dt dt dt
2.电磁力 2.电磁力
N m /kg
2
2
电磁力： 电磁力 ： 存在于静止电荷之间的电性力以及存在 于运动电荷之间的磁性力，总称为电磁力。 于运动电荷之间的磁性力，总称为电磁力。 例如： 弹力、 摩擦力， 气体的压力、 浮力、 例如 ： 弹力 、 摩擦力 ， 气体的压力 、 浮力 、 粘滞 阻力。 阻力。 3.强力 3.强力 4.弱力 4.弱力
三、牛顿第三定律
对于每一个作用力,总有一个对应的反作用力; 对于每一个作用力,总有一个对应的反作用力; 两者大小相等、方向相反、在同一直线上。 两者大小相等、方向相反、在同一直线上。 数学表达式: 数学表达式:
r r F12 = F21
注意:1.作用力与反作用力同生同灭。 注意:1.作用力与反作用力同生同灭。 :1.作用力与反作用力同生同灭 2.作用力与反作用力分别作用于两个不同的 2.作用力与反作用力分别作用于两个不同的 物体上 3.作用力与反作用力性质相同。 3.作用力与反作用力性质相同。 作用力与反作用力性质相同
v
x
二、常见力
1.重力 1.重力(gravity) 重力 重力：在地球表面的物体， 重力 ： 在地球表面的物体 ， 受到地球的吸引而使物 体受到的力。 体受到的力。
r r G = mg
1-5伽利略变换

1-5伽利略变换

伽 利 略 坐 标 变 换
运 动 描 述 的 相 对 性
伽利略（1566-1642）
意大利物理学家
§1-5 运动描述的相对性 伽利略坐标变换
一、伽利略坐标变换式 设 k ´ 相对于 k 沿 x 轴以速度 v 运动 y x ´= x v t y ´= y z ´= z t ´= t k z k´ vt
O
y´ v x´
O´
.P
x´ x
结束
z´
x
返回
伽利略坐标变换式 x = x ´+ v t x ´= x v t 逆 y y 正 y´ y = ´ = 变 z z 变 z´ z = ´ = 换 t = t´ 换 t ´= t 二、经典力学的时空观 在伽利略坐标变换式中 t = t ´ 这表明时 间的测量与坐标系无关。 间的测量与坐标系无关。即在不同参照系中 测量运动过程的时间是相同的。 测量运动过程的时间是相同的。 这一结论称为时间的绝对性。 这一结论称为时间的绝对性。
O
k´
y´ v
O´
vk ´
θ vk
x´
v x
vk = vk´ + v tg θ = v vk
或写成： 或写成：
vAk = v ´ + vk´k Ak
结束
返回
vAk = v ´ + vk´k Ak 例： v雨 , 地 = v雨 ,车 + v车 , 地 v 雨 ,车 v 雨 ,地 v 车 ,地 v车 ,地
返回
结束
三、速度变换 y k z z´ x ´= x v t y ´= y z ´= z t ´= t
O
y´ v k´
O´
x d x´ = dt dy´ = dt d z´ = dt
伽利略变换 公式推导

伽利略变换 公式推导

伽利略变换公式推导摘要：1.伽利略变换的概念2.伽利略变换的公式推导3.伽利略变换的应用正文：一、伽利略变换的概念伽利略变换，是物理学中一种描述不同惯性参考系下物体运动规律的坐标变换。

在经典力学中，伽利略变换主要用于研究在惯性参考系中运动的物体，在非惯性参考系中的运动规律。

这种变换方式由意大利物理学家伽利略提出，被广泛应用于经典力学和相对论的研究中。

二、伽利略变换的公式推导伽利略变换的公式推导过程如下：假设有一个物体在惯性参考系S 中运动，其速度为v，经过时间t 后，物体的位移为x。

现在我们考虑在非惯性参考系S"中观察该物体的运动。

在惯性参考系S 中，物体的位移可以表示为：x = vt。

在非惯性参考系S"中，由于存在加速度a，物体的位移需要考虑加速度的影响。

假设物体在S"系中的初速度为v"，经过时间t"后，物体的位移为x"。

根据物理学的速度叠加原理，我们可以得到：x" = v"t" + 1/2 * a * t"^2.由于在非惯性参考系S"中，物体的初速度v"和加速度a 与惯性参考系S中的速度v 和时间t 之间存在关系。

根据伽利略变换的定义，我们可以得到：v" = v - a * t，a = a" - v^2 / r，其中，a"表示非惯性参考系S"中的加速度，r 表示物体在S 系中的半径。

将上述关系代入x"的公式中，我们可以得到伽利略变换的公式：x" = v(t - t") - 1/2 * (a" - v^2 / r) * (t - t")^2。

这就是伽利略变换的公式推导过程。

三、伽利略变换的应用伽利略变换在物理学中有广泛的应用，例如：1.研究在非惯性参考系中的物体运动，如地球表面附近自由落体的运动规律；2.在相对论中，伽利略变换是描述不同惯性参考系下物体运动规律的基础，是构建洛伦兹变换和闵可夫斯基变换的基础；3.在卫星导航系统中，由于卫星的运动速度非常快，需要考虑非惯性参考系下的物体运动规律，因此伽利略变换在卫星导航系统中有重要的应用。