高三数学-2018年广州市一模试题及答案 精品

试卷类型：A2018年广州市普通高中毕业班第一次模拟考试数 学 试 题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四处备选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数()213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．B ．1C ．πD ．2π2. 在复平面中，复数1iz i=+（i 为虚数单位）所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 函数y =1x ≥）的反函数是（ ）A ．y 1x ≥）B ．y 0x ≥）C ．y =1x ≥）D ．y =0x ≥）4. 已知向量(2,3)a =，||213b =，且//a b ，则向量b 的坐标为（ ）A ．(4,6)-B ．(4,6)C ．(6,4)-或(6,4)-D ．(4,6)--或(4,6)5. 已知集合2{|10}M x x =-<，01xN x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则下列关系中正确的是（ ）A ．M N =B ．M N ⊂≠C ．N M ⊂≠D ．M N =∅6. 在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，5AD =，13AA =，则四棱锥111B A BCD -的体积是（ ） A ．10B ．20C ．30D ．607. 若(41)n x -（n *∈N ）的展开式中各项系数的和为729，则展开式中3x 的系数是（ ）A ．1280-B ．64-C ．20D ．12808. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，是下列命题中正确的是（ ）A ．若//a b ，//a α，则//b αB ．若αβ⊥，//a α，则a β⊥C ．若αβ⊥，a β⊥，则//a αD ．若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥9. 函数()y f x =是定义在R 上的增函数，()y f x =的图像经过点(0,1)-和下面哪一个点时，能确定不等式|(1)|1f x +<的解集为{|12}x x -<<（ ） A ．(3,0)B ．(4,0)C ．(3,1)D ．(4,1)10. 已知(,)P t t ，t ∈R ，点M 是圆221(1)4x y +-=上的动点，点N 是圆221(2)4x y -+=上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ）A 1BC ．1D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中相应的横线上．11. 224lim2x x x →--=+ ． 12. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，715a =，则13S = ．13. 某学校招收的12名体育特长生中有3名篮球特长生．现要将这12名学生平均分配到3个班中去，每班都分到1名篮球特长生的分配方法共有 种，3名篮球特长生被分配到同一个班的分配方法共有 种．（用数字作答）14. 如图，已知(0,5)A ，(1,1)B ，(3,2)C ，(4,3)D ，动点(,)P x y 所在的区域为四边形ABCD （含边界）．若目标函数z ax y =+只在点D 处取得最优解，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 15. （本小题满分12分）某射击运动员射击1次，击中目标的概率为45．他连续射击5次，且每次射击是否击中 目标相互之间没有影响．（Ⅰ）求在这5次射击中，恰好击中目标2次的概率； （Ⅱ）求在这5次射击中，至少击中目标2次的概率．16. （本小题满分12分）已知sincos22αα-=,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1tan 2β=． （Ⅰ）求sin α的值； （Ⅱ）求tan()αβ-的值．如图，长度为2的线段AB 夹在直二面角l αβ--的两个半平面内，A α∈，B β∈， 且AB 与平面α、β所成的角都是30︒，AC l ⊥，垂足为C ，BD l ⊥，垂足为D ．（Ⅰ）求直线AB 与CD 所成角的大小；（Ⅱ）求二面角C AB D --所成平面角的余弦值．18. （本小题满分14分）已知数列{}n x 满足下列条件：1x a =，2x b =，11(1)0n n n x x x λλ+--++=（n *∈N 且 2n ≥），其中a 、b 为常数，且a b <，λ为非零常数．（Ⅰ）当0λ>时，证明：1n n x x +>（n *∈N ）； （Ⅱ）当||1λ<时，求lim n n x →∞．如图，在OAB ∆中，||||4OA OB ==，点P 分线段AB 所成的比3:1，以OA 、OB 所在 直线为渐近线的双曲线M 恰好经过点P ，且离心率为2．（Ⅰ）求双曲线M 的标准方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+（0k ≠，0m ≠）与双曲线M 交于不同的两点E 、F ，且E 、F 两点都在以(0,3)Q -为圆心的同一圆上，求实数m 的取值范围．已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e -上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+ （其中e 为自然对数的底，a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈-），求证：当1a =-时，1|()|()2f xg x >+； （Ⅲ）试问：是否存在实数a ，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由．2018年广州市普通高中毕业班第一次模拟考试数学试题参考答案一、选择题：二、填空题：1,2⎛+∞ ⎝三、解答题：15. 解：设此人在这5次射击中击中目标的次数为ξ，则45,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，因此，有 （Ⅰ）在这5次射击中，恰好击中目标2次的概率为232554132(2)55625P C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）在这5次射击中，至少击中目标2次的概率为541555514131041(0)(1)15553125P P P C C ⎛⎫⎛⎫=--=-⋅-⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 16. 解：（Ⅰ）2214sin cos sin cos 1sin sin 222255αααααα⎛⎫-=⇒-=⇒-=⇒= ⎪⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）4sin 54tan 3,2ααπαπ⎫=⎪⎪⇒=-⎬⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎭，由此及1tan 2β=得 41tan tan 1132tan()411tan tan 2132αβαβαβ----===-+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭． 17. 解：（Ⅰ）如图所示，连结BC ，设直线AB 与 CD 所成的角为θ，则由AC β⊥知：cos cos cos ABC DCB θ=∠⋅∠cos30==，故45θ=︒；（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D，(0A ， (1,0,0)B，(00)C ，所以(0,0,1)CA =，(1,0)CB =，设1(,,)n x y z =是平面ABC 的法向量，则110CA n z CB n x ⎧⋅==⎪⇒⎨⋅==⎪⎩可以取1(20)n =． 同理，2(0,1,n =是平面ABD 的法向量．设二面角C AB D --所成的平面角为γ，则显然γ是锐角，从而有12121cos 3||||3n n n n γ⋅===⋅．18. （Ⅰ）证明：由已知得11()n n n n x x x x λ+--=-及210x x b a -=->知：数列1{}n n x x +-是首项为b a -，公比为λ的等比数列，故11()n n n x x b a λ-+-=-⋅，由此及0λ>知：10n n x x +->，即1n n x x +>；（Ⅱ）由已知得1121n n n n x x x x x x b a λλλλ+--=-==-=-，由此及（Ⅰ）的结论得1()1n n b a b a x λλλ----⋅=-，由此及1||1lim 0lim 1n n n n b ax λλλλ-→∞→∞-<⇒=⇒=-．19. 解：（Ⅰ）因为双曲线M 的离心率为2，所以可设双曲线M 的方程为222213x ya a -=，由此可得渐近线的斜率60k BOx =∠=︒，从而(2,B ，(2,A -． 又因为点P 分线段AB 所成的比为3:1，故(2,P ，代入双曲线方程得23a =，故双曲线M 的方程为22139x y -=；（Ⅱ）如图所示，由方程组22222(3)290139y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒-+++=⎨-=⎪⎩，设11(,)E x y 、22(,)F x y ，线段EF 的中点为00(,)N x y ，则有2222222230344(3)(9)093k k k m k m m k⎧⎧-≠≠⎪⎪⇒⎨⎨∆=--+>+>⎪⎪⎩⎩． ……①由韦达定理得120223x x km x k +==--，00233my kx m k =+=--．因为E 、F 两点都在以(0,3)Q -为圆心的同一圆上，所以NQ EF ⊥，即2200333913490NQy m k k k m x km k+-+-===-⇒=+--． ……②由①、②得294994904040m m m m or m m ⎧+>+⎪+>⇒>-<<⎨⎪≠⎩．20. 解：（Ⅰ）当[,0)x e ∈-时，(0,]x e -∈，故有()ln()f x ax x -=-+-，由此及()f x 是奇 函数得()ln()()ln()f x ax x f x ax x -=-+-⇒=--，因此，函数()f x 的解析式为ln()(0)()ln (0)ax x e x f x ax xx e ---≤<⎧=⎨+<≤⎩；（Ⅱ）证明：令1()|()|()2F x f x g x =--。

A数试卷类型：年广州市普通高中毕业班综合测试（一）2018学（理科）2018.3分钟150分．考试用时120本试卷共4页，21小题，满分注意事项：铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在2B1．答卷前，考生务必用铅笔将试2B/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用的市、县）填涂在答题卡相应位置上。

卷类型（A铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，2B2．选择题每小题选出答案后，用用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位3置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，2B4．作答选做题时，请先用答案无效。

．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

51ShV?hS是锥体的底面积，，其中参考公式：锥体的体积公式是锥体的高．3????1??12nnn??2222*???n?2?13N?n．6一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2??m4ii??3m?i的值为是虚数单位，若1．已知，则实数2?2?2?2B．．A．C．D cca CbB2ABCC?BA为2．在△，若中，角，，，所对的边分别为，则，b C2cosC2cosB2sinB2sin B．．A．DC．22????1x?12??y?xy?对称的圆的方程为．圆3关于直线2222????????1?y?12?12x?1??y??x．A．B2222????????1?y?2x?2?y?1?1x?1? D．C．??2?faxx??x1a R的取值范围为4的定义域为实数集，则实数．若函数????????????2,2?2,?????2,2?,22,?????2,．AB．C．．D1 / 16．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制5组距频率/0.030 ??50,60，成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为0.0250.020 ????????90,10080,9060,7070,80，，，．若用分层抽0.0150.010??80,100范围内的数据16样的方法从样本中抽取分数在个，0100 90 60 70 80 50 分数??90,100则其中分数在范围内的样本数据有1图个个D．10A．5个B．6个C．8?3?AZA?xx?Z?且6．已知集合，则集合中的元素个数为??x?2??5．．4DA．2B．3C b=aab a b．设成立的一个必要非充分条件是，是两个非零向量，则使7????0?ba b?ab?baa?B．D．A．C．mmaama bbb0m?同余，记为8．设和，和，），若为整数（被对模除得的余数相同，则称????20012220m?abmodmod10ba?2C2?C??C?2????aC b，则．若的值可以是，202020202018 ．．2018 DA．2018 B．2018 C分．分，满分30小题，考生作答6小题，每小题5二、填空题：本大题共7 13题）～（一）必做题（9??1x?a?a3x?1x?的解集为，则实数．若不等式的值为．9??*kS?7N k?的值为．，则输入．执行如图2的程序框图，若输出10 11．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是．开始k输入50?0,S?n11 22lo正（主）视侧（左）视图输出结束 4图31n?2SS??俯视图2图2 / 16?3????????????cossin．，则12．设为锐角，若????5126????1????a???SS1a?aa n，为数列中，已知．的前13项和，则，记．在数列2014n11?nnn1a?n（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）????????asin??cos?42cossin?BA与曲线中，直线，相交于两点，若在极坐标系C23?AB a的值为．，则实数PD E15．（几何证明选讲选做题）O BOCOPCPA交于是圆的切线，切点为与圆如图4，，直线CACBAPC?DABE的平分线分别交弦，，两点，，于APE PC?3PB?24图，则，两点，已知的值为．PD三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）π??，0?xsinx?cosa(fx)?的图象经过点．已知函数??3??a的值；1（）求实数2??2?xf()?g(x))(xg（2）设的最小正周期与单调递增区间．，求函数．（本小题满分12分）172，甲，丙两人同时不能被聘用的概率甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是563，乙，丙两人同时能被聘用的概率是是，且三人各自能否被聘用相互独立．1025（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；??的分布列）设表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求2（与均值（数学期望）．3 / 16．（本小题满分14分）18D C11DDDCABCD?ABa E的正方体中，点5，在棱长为的是棱如图11111A1B E1BBFBBF?2F．中点，点上，且满足在棱11D C C?AEF）求证：；（111FCC GGEAF，，）在棱（2，使，上确定一点四点共面，并求1A GC B此时的长；1ABCDAEF5 图与平面3）求平面所成二面角的余弦值．（1419．（本小题满分分）????*ba N?n，．的首项为2，等比数列1已知等差数列，公比为2的首项为10，公差为nn????ba与）求数列的通项公式；（1nn??b,ac?min Snn．（2）设第个正方形的面积之和个正方形的边长为，求前nnnn??b,amin a b与表示的最小值．）（注：．（本小题满分14分）2022yx?????10aFF OE：，，离心率为，左，右焦点分别为已知双曲线的中心为原点2124a2a53?x0QF?PF Q EP 上，且满足上任意一点，点．，点在双曲线是直线2253a（1）求实数的值；PQOQ与直线2）证明：直线的斜率之积是定值；（M lMNN1P P上，过点，作动直线的纵坐标为与双曲线右支交于不同两点，在线段）若点（3MHPM?M NHH，，满足取异于点的点，????x2e e1??2fxx?x已知函数为证明点恒在一条定直线上．HNPN14分）21．（本小题满分????????????xtsthx,s,tts?hs,的自然对数的底数）．（其中)xf(的单调区间；（1）求函数上的取值范围为在区间，则称区间）定义：若函数（2为函数????1,)(xf上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条“域同区间”．试问函数在．理说，存若”区域的件“同间；不在请明由4 / 162018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试卷参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试卷主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．1 2 3 4 5 6 7 8 题号A B A D B C D A 答案二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9 10 11 12 13 14 15 题号201122?5?1? 342答案或3210三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分1）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）π???????0f，0?x?sinxacosf(x)?．的图象经过点，所以）因为函数解：（1????33????ππ????sin?cos?a??0即．????33????3a??0?．即223a?解得．f(x)?sinx?3cosx．2（）方法1 由（1）得：??22?cos?sin?x3x22(f?)xg([?x)]所以1 / 16 22x?2x?3cos?23sinx?sincosx?3sin2x?cos2x??13?2sin2x?cos2x????22???????2sin2xcos?cos2xsin??66??π???2sin2x?．??6??2???)g(x．的最小正周期为所以2??????2k?k???,2xy?sin Z?k的单调递增区间为，因为函数??22??πππ???π?π??2k?2x2kg(x)Zk?单调递增，时，函数所以当262ππ??ππ?x?kk??g(x)Z?k单调递增．时，函数即36ππ????ππ,??kk)(xg Z?k．所以函数的单调递增区间为??36??x3(fx)?sinx?cos）得方法2：由（1?????2sinxcos?cosxsin??33??π???2sinx?．??3??2π????22?2sinx??2x)]?[g(x)?f(所以????3????π??22???4sinx??3??π2???x2cos??2?????k??,2k2?x?ycos Z?k，因为函分??3??2???)xg(分所以函数的最小正周期为2数的单调递减区间为2 / 162???2k??2k???x??2)(xg Z k?所以当单调递增．时，函数3ππππ?kk??x?)(xg Z?k单调递增．（即）时，函数63ππ????ππ,?kk?)(xg Z k?．所以函数的单调递增区间为??63??）17．（本小题满分1（本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）AAA 1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为，，，解：（312AAA由已知，，相互独立，且满足3122???,?PA?15?6?????,?PA1?PA1??????????3125?3?????.A?PAP??????PA?PA，解得．322531所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为．，3210?3152?，3（2）．的可能取值为1???????AAAPAA?3??PPA因为332211????????????A1P?A1??PPAPPAAPA??1????????????3232112132136???????．25552552196??????3?P?P?11???1?所以．2525?所以的分布列为19252537196???3??1E?所以．2525253 / 1618．（本小题满分1）（本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）推理论证法：DB BD（1）证明：连结，，11D C11DAC?BDBCA是正方形，所以．因为四边形11111111A E B11DC?ABCDABABCD?DD平面，在正方体中，111111111DC FDDAC??ACDCAB平面，所以．111111111A BDBBDDD?DBDDD?DB，，因为平面，111111111?ACDBBD．平面所以1111C?BBDDEFA?EF，所以平面．因为1111CCAEBH BHH的中点，连结．2（）解：取，则1D C11G CCBBAEBHFGFG F在平面，则．中，过点作A11H E B11GEGEAF，，连结，则四点共面．，D1111C aCH?CC?aHG?BFCC??，，因为F 112233A1B GCaHG???CCCH?．所以1161GCa?GEAF时，，四点共面．，故当，16 MEFDB?AMDBEF，，连结）延长，，设（3ABCDAEFAM是平面与平面的交线．则D NFN?BNAMB过点作，，垂足为，连结C11BFB?BNAMFB?，因为，A BNF?AM所以．平面1B E1FNBNFFN??AM因为平面．，所以ABCD?FNBAEF与平面所成所以为平C二面角的平面角．1Aa B2MBBF3???因为，N13MDDEa 2M4 / 16MB2?，即3aMB?2a2MB?2所以．135??ABM aAB?ABM中，，，在△222cos135?MB?2?AB?MBAM?AB?所以??2??222a?13AMa?13?a?a?22a?2?a?22?．即．????2??11sin135?MB?AM?BN?AB因为，222?2aa?2132AB?MB?sin1352??aBN?所以．13AMa1322??1327131??22a??a?aFN?BF?BN所以．??????39133????6BN?cos?FNB?所以．7FN6ABCDAEF所成二面角的余弦值为与平面故平面．7空间向量法：zDD DCDDA，为坐标原点，所在的直线，（1）证明：以点D1C11x y z轴，分别为轴，建立??????1B aC,,0,aA,0,0a0,AaaE，，，则11111D????如图的空间直角坐标系，轴，Ay a,a,aE0,0,Fa，，C????F32????A B1????x a?a,a,?EF,0,aa?AC?，所以．??116??220??aa?0?EFAC?因为，11CAEF?EFAC?．所以所以．1111??h,Ga0,BBCCAADD，因为平面设解：平面，）（21111BAADDBCC AEAEGFAEGF?FG?，平面，平面平面平面1111AEFG．所以5 / 16??AEFG?，使得所以存在实数．11????a?a,0,?a,0,h?FGa??AE因为，，????32????11?????a,0,?a,0,h?a??a所以．????23????5?ah?1?，所以．615GC?aa?aCG??CC?所以．11661GCa?GEAF，四点共面．故当时，，，1611????,0,aAE?0,a,a??aAF）知1解：由（（．，3）????32??????zx,?y,n AEF设是平面的法向量，?0,nAE??则?0.nAF???1?0,?ax?az???2即?1?0.??azay?3?2?y?3?6xz?，则．取，??2,6n??3,AEF的一个法向量．所以是平面??aDD?0,0,ABCD 是平面的一个法向量，而1?ABCDAEF所成的二面角为设平面与平面，nDD1??cos (1)则DDn1?06??．72??22a6?2?3??6ABCDAEF所成二面角的余弦值为故平面与平面．7第（1）、（2）问用推理论证法，第（3）问用空间向量法：（1）、（2）给分同推理论证法．DD DCDDA所在的直线解：3（）以点为坐标原点，，，16 / 16x y z轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，分别为11??????aFa,aE0,0,,a,0,0Aa，，则，????32????zD C111????1a,AF,0,a?0,aAE??a则，．????32????A1B E1??zx,y,n?AEF设是平面的法向量，D y C F1?0,az??ax???0,?nAE??2AB则即??10.AF?n???x 0.??ayaz?3?2??y3?xz?6．，取，则??2,6??3,n AEF是平面的一个法向量．所以??a?0,0,DDABCD是平面的一个法向量，而1?ABCDAEF设平面与平面所成的二面角为，DDn1??cos1…则DDn1??6a?2?0?3?0??6??．72??22a2?3??6?6ABCDAEF所成二面角的余弦值为故平面与平面．7）19．（本小题满分1（本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）??a 2，10的首项为（解：1）因为等差数列，公差为n??2?n??a10?1所以，n8??2na即．n??b 2，的首项为1因为等比数列，公比为n1?n21??b所以，n1?n2b?．即n7 / 16a?10a?12a?14a?16a?18a?20，，，）因为，，，（2531246b?1b?16b?328??b?2b4b．，，，，，615423a?b5n?．时，易知当nn b?a6n?成立．时，不等式下面证明当nn6?1?20?2?6?8?a32b?2?6n?，不等式显然成立．时，当方法1：①66??k?16k??2k?28kn?．时，不等式成立，即②假设当 ????????1?kk?8k?k2?2?2?6?2?k?12?8?1?222k?8．则有n?k?1时，不等式也成立．这说明当n?6的所有整数都成立．综合①②可知，不等式对b?a6n?．时，所以当nn n?6时因为当方法2：n?1??????1?n8?22n?8???ba?21?1?nnn????n021?18??C??CC?2?n?C1?n?1n?1nn?1????02n?112n?3n?8n??2?C?C?C??CC?C1n?n?1?11n?1nn?1?n????0128??C2?C?C?2n1nn?1?n?1????2?0n?4???nn?3n?6?6n，b?a6?n．所以当时，nnn?1?,n2?5,???b,ac?min所以?nnn n?8,5.2n??22n??n2,?5,?2?c则?n2??5.?n?4,n4??5n?当时，2222c??c??S?cc nn3122222b???b?b?bn2130242n?22???2?22???n?1??4．n4?111?438 / 16n?5时，当????222222aba???ab??b???2222c??cS?c??c n3n21??222????????5?n?4?4?7?4?46?14??n761251??3????????2225n???n?n???8166?7?341?4?67????????????2222225?2???n5n?341?4?1?2??641?326?7?n?? ??????????5?n6?n?1n2n?1n??????32?4?55?64n?5?341??62??424223?n???18n679n．331???n n??15,,4??3S?综上可知，?n2424?23nn??5.n?n679,?18?33?20．（本小题满分1）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）c E，设双曲线的半焦距为（1）解：?c35,??由题意可得5a??22?4.?ca?a?5．解????x??tP,y3,0xQF,）可知，直线1），点证明：由（2．设点，,（??002得25a5??333??5????0x,?yt3?,??3?0QF?PF，所以因为．??00223??4??3?tyx?．所以????22001??yxQ,5?y?xE上，所以在双曲线，即．因为点00005459 00322yx4/ 162ty?yy?ty0000???k?k所以OQPQ55x2xx?x?0????23??x?x540053??．552xx?0034OQPQ 0003344????,1P yMy,Hxx,lE，的右支交于不同两点（3）所以直线的斜率之积是定值与直线．55??证法1：设点的直线，且过点与双曲线????????2222222220y??54x yN,x5x?xy?y??520y??54x，即，，，则．113??44222112221155??,PNPM?MHPM????，则设．?HNPN?.MH?HN??55??????,1y??,y?1??x,x??????????.yx?x,yyx?x,y????22115?????,1??x?x①?123????,1??y?y②221133????即????2222??,x?xx?1?⑤?213由①×③，整理，得?21?????,x?1x?x?③21?????.1?y?y?y④??215?②×④得????2222??.y1y?y??⑥?2144????22225?x?yxy??5代入⑥，将，212155222?x?x421???4y得⑦．2??1544?y?x．将⑤代入⑦，得30?3y?12?4x H所以点恒在定直线上．lk依题意，直线证法2：存在．的斜率5???k1y??x l，的方程为设直线??3??10 / 16?5??,?x?1?ky???3???由?22yx?1.???54???????2222y0?5k??3kx?255k9?k94?56xk?30消去．得????yN,x,yMxlE与双曲??????22220,?6?900k4?5k?95k5??900k?3k??线，的右支交于不同两点因为直线，2112????2k?30k53?,?x?x②则有???2124?95k????29k?525k?6??x.x ①???21245k?9?5?xMHPMx?x131??，得由．③?5HNPNx?x?x1223????0??103x?5xx?x6xx?1 ．整理得???? 2211??????22kx?5?15035k5?6k?930k3010x???将②③代入上式得．??015?5?k?4x3x?224?599kk5?4整理得④．5???x1??ky lH⑤因为点．在直线上，所以??3??0?4x3y?12?k 得联立④⑤消去．04x?3??12y H恒在定直线所以点上．y x0y3?12?4x?H恒在定直线上，无需求出的范围．）3（本题（）只要求证明点或）21．（本小题满分1（本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）????x2e1??2fxx?x，（解：1）因为??x2e??x1xx2x?1)e??x(?2x?x2)e?(?x1)ex?1)((2)f(x?．所以?????????,???1fx?01,)x(f1x1?x??和或当时，，即函数的单调递增区间为．11 / 16 ?????,1?f?0x1)xf(11?x??．时，当，即函数的单调递减区间为??????,1??,?1?11,??)f(x．和所以函数，单调递减区间为的单调递增区间为????1,)x(f[s,t](1?s?t)，上存在“域同区间”2）假设函数在（????1,)xf(上是增函数，）知函数在由（12s f(s)?s,?,?(s?1)s?e?所以即??2t f(t)?t.(t?1)?e?t.??2x xe?(x?1)也就是方程1的相异实根．有两个大于x22x?11)e?(x)?(x?g(gx)?(x?1)e?x(x?1)．，则设??????x2x2??1(x)?(x?g1)e??xhe1xx?x?h?2，则．设???????xh???0xh1,)??(1,上单调递增．在因为在，所以上有??2??0?3eh?21?0??11h?因为，，????,21x??0xh．即存在唯一的，使得00????????x?x,1?xxh1,x??g0)xg(上是减函数；当时，，即函数在00??????????xx?,???g?0,xhxx?)g(x上是增函数．时，在当，即函数????1,)(gx上只有一个零点．在区间所以函00??2??1g?10g(x)?g(1)?0g(2)?e?2?0，因为，，0????1,)x(f在上不数2x x??1)ex(有两个大于这与方程1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．存在“域同区间”．所以函数12 / 16。

秘密 ★ 启用前试卷类型： A2018 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学2018． 3本试卷共 5 页， 23 小题， 满分 150 分。

考试用时 120 分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1满足 z 1 i24i，则复数 z的共轭复数 z A．设复数 zA ． 2B ． 2C ． 2iD ． 2i2．设集合 Axx30 ， Bx x ≤ 3 ，则集合 x x ≥1 Dx1A ． A I BB ． A U B开始C ． 痧R A U R BD ． 痧R AIRBn 2, S 03．若 A ， B ， C ， D ， E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为 B4 32D ．A ．B ．C ．555 4．执行如图所示的程序框图，则输出的S D94 2D ．A ．B ．C ．20995．已知 sin x3，则 cos xD454A ．4B ．3C ．4 D ．11S S+25n n9 n n240否n ≥19?是3输出 S5 555结束6．已知二项式 2x21xAn 的所有二项式系数之和等于 128，那么其展开式中含1项的系数是xA ．84B ．14 C ． 14 D ． 847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 CA ． 4 4 2 2 3B ． 14 4 2C ． 10 42 2 3D ．4yxy 2≥0,z x2x y8满足约束条件 2 y 1 0,则 2 2的最小值为D．若 x ，≥x 1≤0,A ．11C ． 1D ．3B ．24249．已知函数 f xsinx60 在区间4 ， 上单调递增，则 的取值范围为3BA ． 0,8B ． 0,1C ． 1 ,8D ． 3, 2322 3810．已知函数f xx 3 ax 2bx a 2 在 x 1 处的极值为 10，则数对 a, b 为 CA ．3,3B ．11,4C ． 4,11D ．3,3 或 4, 1111．如图，在梯形ABCD 中，已知 ABuuur2 uuur2 CD ， AEAC ，双曲线5DEC过 C ， D ， E 三点，且以 A ， B 为焦点，则双曲线的离心率为 AA ． 7B ． 2 2ABC ． 3D ． 1012．设函数 f x在 R 上存在导函数 f x，对于任意的实数x ，都有 f xf x2x 2 ，当 x 0 时， f x 1 2x ，若 f a 1 ≤f a 2a 1，则实数 a 的最小值为 A1B ．1C．3D．2A ．22二、填空：本共 4 小，每小 5 分，共 20分．13．已知向量a m,2 ， b1,1，若 a b a b ，数m2．14 ．已知三棱P ABC 的底面 ABC 是等腰三角形， AB⊥AC ， PA⊥底面 ABC ，PA AB1，个三棱内切球的半径33．615．△ABC的内角A，B，C的分a，b，c，若2a cosB2b cos A c 0 ，cos 的1．216．我国南宋数学家所著的《解九章算》中，用①的三角形形象地表示了二式系数律，俗称“ 三角形”．将三角形中的奇数成1，偶数成 0 ，得到②所示的由数字 0 和 1 成的三角形数表，由上往下数，第 n 行各数字的和S n，如S11，S2 2 ， S3 2 ， S4 4 ，⋯⋯，S12664．图①图②三、解答：共70 分．解答写出文字明、明程或演算步．第17～21必考，每个考生都必做答．第22、 23 考，考生根据要求做答．（一）必考：共60 分．17．（本小分12 分）已知数列n的前 n 和S n，数列Sn是首1，公差 2 的等差数列．a n （1）求数列a n的通公式；a 1 a 2a nn（2）设数列b5 4n 51 b 的前 n 项和 T n ．满足L，求数列nb 1 b 2b n2n18．（本小题满分 12 分）某地 1~10 岁男童年龄x i（岁）与身高的中位数y i cm i1,2, L,10 如下表：x （岁）12345678910 y cm76.588.596.8104.1111.3117.7124.0130.0135.4140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y 10210210x i xi 1y i y x i x y i y i 1i 15.5112.4582.503947.71566.85（ 1）求y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（ 2）某同学认为，y px2qx r 更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是 y0.30 x210.17 x68.07 ．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（ 1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？n$$$$x i x y i y附：回归方程 y a bx 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：i 1，b n2x i x $$i 1a y bx．19．（本小题满分12 分）S 如图，四棱锥S ABCD 中，△ABD为正三角形，BCD120，CB CD CS2，BSD90．DC平面 SBD；（ 1）求证：AC（ 2）若SC BD ，求二面角 A SB C 的余弦值．A B20．（本小题满分 12 分）216 的圆心为 M ，点 P 是圆 M 上的动点，点 N 3,0 ，点 G 在已知圆 x 3y 2 线段 MP 上，且满足uuur uuur uuur uuur GN GP GN GP ．（ 1）求点 G 的轨迹 C 的方程；（ 2）过点 T4,0 作斜率不为 0 的直线 l 与（ 1）中的轨迹 C 交于 A ， B 两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ，连接 BD 交 x 轴于点 Q ，求△ ABQ 面积的最大值．21．（本小题满分 12 分）已知函数 f xax ln x 1 ．（1）讨论函数 f x 零点的个数；（2）对任意的x 0 ， f x ≤xe 2 x 恒成立，求实数 a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第 22、23题中任选一题作答． 如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程x3 t ,m已知过点 P m,0 的直线 l 的参数方程是2 （ t 为参数），以平面直角坐标系y1t ,2的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ．（ 1）求直线 l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（ 2）若直线 l 和曲线 C 交于 A ， B 两点，且 PA PB2 ，求实数 m 的值．23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x)2 x a 3x b ．（1）当 a1 ， b 0 时，求不等式 f x ≥3 x 1的解集；（2）若 a0 ， b 0 ，且函数 f x 的最小值为 2 ，求 3ab 的值．。

绝密★启用前2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学试题答案及评分参考评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.选择题二.填空题13. 2 14. -―—15.——16. 646 2三.解答题17.解：（1）因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以i = i + 2（7?-l） = 2z?-l.所以S n=2n2-jj.当H = 1 时，a l=S l=l.当2时，a n=S n-S nA=（2H2-77）-[2（« -1）2-（FZ-1）] = 3，当77 = 1时，％=1也符合上式.所以数列的通项公式=477-3（7?G N*）.(2) n = l 时，> =丄，所以A =2^ =2.2两式相减，得^ = (4z7-3)f|]) ?n+12,则数列& ｝是首项为2公比为2的等比数列.又-^ = — =£(h£)=2-_21-2 -a = = 112.45-6.87x5.5 = 74.67 ,所以y 关于x 的线性回归方程为y = 6.87x + 74.67 .(2)若回归方程为y = 6.87x + 74.67，当 x=ll 时，y=150. 24.若回归方程为y = -0.30.x 2 +10.17.x + 68.07 ,当 x=ll 时，尸143. 64.|143.64-145.3| = 1.66 < |150.24-145.3| = 4.94，所以回归方程JF = -0.30X 2+10.17.Y + 68.07对该地11岁男童身髙中位数的拟合效果更好.当a>2时，由&+& + ... + \ b 2 所以 t+t“+&=5-(4”+1)⑸n —1因为=4/7-3,所以h =(4"-3)⑷G 77_3> - = 2n (77 = 1时也符合公式). 2n18.解:(1)nf=ii ('-寸 i=i566.8582.5= 6.874 = 5-(4n + 5)19. (1)证明：设ACC\BD = O f连sa,因为AB = AD t CB = CD，所以wc是的垂直平分线，即a为中点，且we丄so.在ASCD中，因为CB = CD = 2, ZBCD = 120°, 所以BD = 2礼CO = 1.在RtASBO中，因为ZBSD = 9Q°，O为BD中点，所以SO = ^BD = y/3.在△ sac 中，因为CO = l，SO = y/3, CS = 2f所以SO1 +CO1 =cs2.所以SO丄AC.因为BDC]SO = O,所以3C丄平面S3Z).(2)解法1:过点a作(2尺丄S3于点尤，连I, CK，由(1)知丄平面SSO.所以da丄5B.因为OKC\AO = O,所以SS丄平面AOK.因为AK c平面AOK，所以丄S3.同理可证CX丄5B.所以Z^：C是二面角A-SB-C的平面角.因为SC丄50，由(1)知/C丄SD,且ACHSC = C f 所以SD丄平面SAC.而SOc平面SAC，所以SO丄50.在RtASOS 中，OK=SOOB=1. SB 2同理可求CK =35 解法2:勸SC1BD ，由（1）知WC 丄SO, 且 ACHSC = C f所以SD 丄平面&4C.而SOc 平面SAC ，所以SO 丄SO.由（1）知，WC 丄平面SSO, SOc 平面SSO,所以SO 丄/C. 因为ACC\BD = O,所以SO 丄平面/SCO.以a 为原点，OA ，OB ，as 为x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系， 则^（3,0,0）, B （0,73,0）, C （—1，0,0），S （0,0,73） 设平面的法向量为n = ^y^f由？"H =o ’令乃=万， SBn = V3>1-^z 1=0,所以平面&43的一个法向量为n =（1,>/3.73）. 同理可得平面SCS 的一个法向量为///=（-73,1,1）.所以COS <….，〃>=G -似4\n m因为二面角A-SB-C 是钝角，所以二面角A-SB-C 的余弦值为-gp.所以二面角A-SB-C 的余弦值为-. 在A 麟得COS 厦戶2+CA ：2-d 2AK-CK35所以3 =（,CB20.解：(1)因为(GN + GP )丄(GN-GPy所以(GN+GPy{GN-GP)= 0,即GN 2-GP 2=0. 所以 |GP|=|G^|.所 \ik\GM\ + \GN\=\GM\ + \GP\^MP\=4>2y/3^MN\.所以点G 在以M ，#为焦点，长轴长为4的椭圆上，2a = 4,2c = 2^. 即a = 2,c= y/3f 所以b 2 =a 2-c 2 =1.所以点G的轨迹⑽方程为f + "2=1.（2〉解法1:依题意可设直线I \x = my + A.x = my + 4,由■ x 2 7，得(，"2+4)v 2+8”(y + 12 = 0.7” =1，设直线/与椭圆C 的两交点为5（x 2，y 2）,由 A = 64w 2 -4x 12x(w 2 + 4) = 16(w 2 -12)>0,得m 2>12.①因为点d 关于A •轴的对称点为Z ）,则D^-y.）,可设2（x o ,O ）,所以所在直线方程为y-y 2=、（x - my 2- 4）.州（y 2-yi ）_代入③，即X 0 =2-A +4(W 、) yi +y 2所以点0的坐标为（1,0）.数学（理科）答案A 第5页共16页且 y ，y 28m 7772 + 4yiy 2 = 12m 2+4所以k B D =火2+火1州(y 2-yJ令产0，得x 0 =^1+^224JH - 32m-8/".V2+.h因为s灣=|s聊-S聊| = ^\QT\\y2-乃| =^(y l^y2)2-4y l y2 = 6::2令/= W2+4,结合①得/>16.所以•^=+<卜士) +去.当且仅当t = 32时，即 ///= ±2^7 时，[5^]^=|.所以ZUS0面积的最大值为.4【求\ABQ面积的另解：因为点Q(1.0)到直线I的距离为d = Vl + Z//2I 1= 7l + 7"2 .永h + h)2 -切2 = yjl + nr4 7/f~12 . ¥nr + 4所以S AABO=^d-\AB\=6^~^ .】' 2 nr+4解法2:依题意直线/的斜率存在，设其方程为y = k(x-4),得(4^2+l) y2 + 8X>. +12々2 = 0 .设直线/与椭圆C的两交点为A(x^yi y S(x2,^2),由A=(8々)2—4X(4^2+1)X12々2〉0,①因为点j关于：r轴的对称点为D，则D^-y.),可设^(.r o.O), 所以‘= 所以直线方程为y-y2=k^^-(x-x.)..V2-.V1令产0,得x0 = 2V1V2+4K I1+v2)^2+^1)数学(理科)答案A ③第6页共16页y = A-(x-4), 令+/=1’且w-Sk4P+1 ，則2 =12k24A-2+l将②代入③，得Xo=^^)=1.所以点⑽坐标为(1專因为 s-0 = |s 琴-=蚤加+於如2 =6弋:「了令/ = 4々2+1，则k 2=—,结合①得1 <r<i. 43H .16当且仅当卜吾时，_ = ±吞时，［S 辦V 曇.所以琴积的最大值为I【求ZU50面积的另解：因为点Q (1.0)到直线/的距离为d = yjl + k 2所以衅】 解法3:依题意直线/的斜率存在，设其方程为y = k(x-4),y = A-(x-4),Y2得(4^2+l)x 2 -32々2X + 64々2-4 = 0 .—+ /=1, V ’ 14 .设直线/与椭圆C 的两交点为5(x 2，;y 2)， 由 A=(-32A-2)--4X (4^2+1)X (64^2 -4)> 0,得k 2<$ .① 且 W 笔，1 24/C 2 + 11 24F+1因为点/关于：r 轴的对称点为D ，则D^-y.),可设0(%.0)，则V-即‘☆念4F+1所以5^=3 -4\AB\=即电_m 整理得铲③ x 2-x 0Xj-Xo X!+X 2-8将①代入②，得X o =l.所以点0的坐标为(1.0).3|介|因为点P(LO )到直线I 的距离为d = -=JJ= yjk~+1叫研 7(.Y I+X 2)L4.V2 =432^E4介2 + 1令/ = 4々2+1，MF=—,结合①得43^7 H . 16当且仅当卜蚤，即A- = ±吞时，［S 考;|皿=|. 所以A4S0面积的最大值为1.4解法4:设直线/与椭圆C 的两交点为^(2cossin, 5(2cossin^>) 则直线 AB 的方程为y-sin 6 =S111^-S111^ (x .2cos 0).2cosp-2cos 沒2cos^sin^-2siii^cos^sin sin 沒因为点2关于x 轴的对称点为D ,则Z)(2cos^.-sin0)，同理可得=2 cos 0 sin (p+2 sin 0 cos cpsin ^? +sin 4 cos 2 沒 sin 2 9?-4siii 2 沒 cos 2cp sin 2 p-sin 2 0=4 因为x r =4,所以x 0=l ，即点0的坐标为(1.0). 因为=|S A7B ^-S A ^| = || QT\\sm(p-sm0\ =||siii^-sm^|数学(理科)答案A 第8页共16页所以“ =| AB \= 6"F -12介4所以^=3 -4由丄B，7三点共线，可得Sm^-= Sm^ ,即sm^-sin^ = -sin(^-^) 2cos^-4 2 cos 6^-4 2 v所以S_=i|sin(炉一沒)|.当且仅当sin(炉-0) = ±1 时，所以A4S0面积的最大值为j .21.解：(1)解法1:函数/(x)的定义域为(0，+如)，由/(x) = ax + lii.x + l =0 , 得a =-比.' +1 ./ x lllx + l z …“、lllxA令g(x) =——(x〉0),则g (x) = —因为当0<x<l, g'(x)<0,当x〉l时,g'(.Y)〉0,所以函数在(0.1)上单调递减，在(1.榔)上单调递增.所以［^WL=^(1)=-i-(]\ 1 1因为g - =0,当0<x< —时，g(x)>0；当x>-时，g(x)<0 . le J e e所以当a<-l时，函数/GO没有零点；当a = -l或a>0时，函数有1个零点；当-l<a< 0时，函数有2个零点.解法2:函数/(.Y)的定义域为(0,+<»)，因为/(.Y)=OT +1II.X +1,所以/(x) = a + ^.①当a>0时，/'(.Y>0，函数/(x)在(0,+ OD)内单调递增.因为/(I) = a + l〉0，f^-a~x) = -^-a所以/ 在(e-^a)上有1个零点.所以当67>0时，函数有1个零点.1 a②当a<0时，/f (x) = n + - = -当X 〉一丄时，/'（x ）<0;当0<x<—丄时，/'（x ）〉0, aa令t =-去，即证明当/〉1时/（〆）=-&丁 _,<0,再令p(t)=e -r 2-/,则有//(/) = e f -2/-1，设q(t) = e-2t-\,则f(/) = e'-2〉0,所以<7(/) = e r —2/-1 单调递増， 因为<?(1)<0, <吾)〉0,所以q(t) = e-2t-1 有零点 1 <，0<|,即#-2/0-1 = 0. 即当0</</0时，/(/)<0,当t>t Q 时，y(/)>o.所以当0</</0时，单调递减，当t>t Q 时，单调递増，数学（理科）答案A 第10页共16页所以当a<0时，函数/⑺在（0,一去内单调递增，在+ 内单调递减.l) 2) 3) 当a<-l 时，［/（x ）］皿 <0,所以函数没有零点.当一l<a< 0 时， >0,因（念:=三<0,e且-丄〉1〉！a e，所以函数在（0.--1上有i 个零点. \ a 可以证明f ea=ae」+1<0,且」<e —; a a ，所以函数/Xr ）在（—^, + oo j 上有1个零点.以下证明f e =ae-丄+ 1<0:所以［，（礼=/=ln0,所以函数/卜）有1个零点.当a = -l 时，［/(x)］皿=ln所以 p(t)>p{t^ -z 02-t Q =-t} +/0 +1,当 l <r 0<| 时，有-<+，o+i 〉o,即 X/)〉o,即 制=-中<0. 所以当一\<a<0时，所以函数有2个零点.综上可知，当a<_l 时，函数/(A J 没有零点；当a = -1或a>0时，函数有1个零点；当 _l<a<0时，函数/C0有2个零点.(2)解法1:因为f(x) = ax + ]nx + l,所以对任意的x 〉0，f(x) < xe 2x 恒成立，等价于a <e 2x -乜1.' +1在(0, + OD)上恒成立.令n/(x) = e 2x-^^ (x>0)，则"/，(x)= 2<e-Y :ln.YXX再令"(x)=2x 2e 2x + ln.Y,则w /(x) = 4(x 2+x) e 2x +->0. 所以"(x) = 2x 2e2x+ In .Y 在(0,+oo)上单调递增."⑴〉0,所以 7?(x)=2.x 2e 2x + hi.Y 有唯一零点％，且-<x 0 <1. 所以当0<x<:r 0时，7"'(X)<0，当x>x Q 时，7"'(.Y)〉0. 所以函数川在(0, .xj 上单调递减，在(x 0, + o ))上单调递增. 因为2.xV r °+liix o =O,即e 2x ° =-^,则0<%<1.o所以 2x 0 = hi(-hi x 0)-hi (2x 0)-hix 0，即 lii (2x 0)+ 2x 0 = lii(-hix 0)+ (_Inx 0). 设s(x) = hix + x f 则5z (x) = i + l>0,X所以函数s(x) = hix + x 在(0，+oo)上单调递增，所以s(2x 0) = s(-hix 0).所以2x 0=-lii.x 0.于是有e 2^=—.=—-21ii2<08g所以7/7(.Y)>7/?(.Y0)= e2x° -^lA°+1 = 2 .则有a<2. x0造函数^(x) = xe x (x>0),则p'(x) = (x + l)e x >0 ,所以炉(x)在(O.+oo)上单调递增.因为解法2:设g(.x) = xe2x-ax-liix-l (x>0),对任意的x〉0, /(x)<.xe2x恒成立，等价于^(^)]^>0在(0,+①)上恒成立.因为当X—>0+时，g'(.Y)^-CO ,当X—>4-00 时，g'(.Y)^4-00 ,2X0—丄一a = 0,即a = (2.Y0+l)e2x°—因为当0<x<x。

2018年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x＜2且A⊆∁R B，则实数a的取值范围是（）A．（∞，1]B．（﹣∞，1）C．[2，+∞）D．（2，+∞）2．（5分）某人到甲、乙两市若干小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为（）A．4B．3C．2D．13．（5分）在复平面内，设z＝1+i（i是虚数单位），则复数+z2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）小明从甲地去乙地跋山涉水共走了2500米，其中涉水路段x米．他不小心把手机丢在途中，若手机掉在水里，就找不到了，若不掉在水里，则能找到．已知该手机能被找到的概率为，则涉水长度为（）A．1750米B．1250米C．750米D．500米5．（5分）已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．6．（5分）满足条件的目标函数z＝x2+y2的最大值为（）A．B．C．2D．47．（5分）已知点及抛物线x2＝﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A．B．1C．2D．38．（5分）设函数f（x）＝a﹣x﹣ka x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，则g（x）＝log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b ⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N＝n（modm），例如10＝4（mod6），如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入a＝2，b＝3，c＝5，则输出的N＝（）A．6B．9C．12D．2111．（5分）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝|A﹣2|•sin x（x∈R），若对任意的x1、x2∈R，都有f（x1）≤g（x2），则实数A的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，）13．（5分）平面向量与的夹角为60°，＝（2，0），||＝1，则|+2|等于．14．（5分）若函数f（x）＝lnx+ax在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是．15．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为．16．（5分）关于函数f（x）＝cos2x﹣2sin x cos x，下列命题：①若存在x1，x2有x1﹣x2＝π时，f（x1）＝f（x2）成立；②f（x）在区间上是单调递增；③函数f（x）的图象关于点成中心对称图象；④将函数f（x）的图象向左平移个单位后将与y＝2sin2x的图象重合．其中正确的命题序号（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960．（1）求a n与b n；（2）求和：．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD ＝60°，AB＝2，PD＝，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．19．（12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示．（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴交于M点，设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值．21．（12分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）＝e x f （x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y＝g（x）和y＝e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．选做题：第22、23题为选做题，考生只能选做一题，如果多做，则按所做的第一题计分请先用2B铅笔填涂选做的试题号对应的信息点，并将选做的题号填写在括号内再作答[选修44：坐标与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的方程是4x2+y2＝4，直线l 的参数方程是：（t为参数）．（I）求曲线C1的直角坐标方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线l距离的最小值．[选修45：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2a|+|x+|（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．2018年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【解答】解：因为B＝{x|1≤x＜2，所以∁R B＝，由A＝{x|x≤a}，且A⊆∁R B，得a＜1，故选：B．2．【解答】解：由茎叶图知，甲组数据从小到大依次为60，73，74，79，81，82，87，91，中位数是×（79+81）＝80；乙组数据从小到大依次为69，74，75，76，82，83，90，中位数是76；∴甲、乙两组数据的中位数之差为80﹣76＝4．故选：A．3．【解答】解：∵z＝1+i，∴+z2＝+（1+i）2＝＝1﹣i+2i＝1+i，对应的点为（1，1），位于第一象限，故选：A．4．【解答】解：设涉水长度为x米，则手机被找到的概率P＝＝，解得x＝750．故选：C．5．【解答】解：椭圆，焦点为（4，0），（﹣4，0），离心率e＝，∴双曲线离心率为﹣＝2，设双曲线中c＝4，可得a＝2，可得b＝2，故双曲线的渐近线方程为：y＝．故选：D．6．【解答】解：由已知得到可行域如图：目标函数z＝x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方的最大值，由图得知，A是距离原点最远的点，由得到A（0，2），所以目标函数z＝x2+y2的最大值为02+22＝4；故选：D．7．【解答】解：抛物线x2＝4y的准线是y＝1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|＝d﹣1+|PQ|＝|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1＝3﹣1＝2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选：C．8．【解答】解∵f（x）＝a﹣x﹣ka x（a＞0，a≠1）在R上是奇函数，∴f（0）＝1﹣k＝0，∴k＝1，又∵f（x）＝a x﹣a﹣x为减函数，∴0＜a＜1，∴g（x）＝log a（x+1），定义域为{x|x＞﹣1}，且是减函数，故选：D．9．【解答】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．10．【解答】解：模拟运行程序，可得程序的作用是先求2，3的最小公倍数，再除以5，余数为2，故N＝12，故选：C．11．【解答】解：设BD＝a，则由题意可得：BC＝2a，AB＝AD＝a，在△ABD中，由余弦定理得：cos A＝＝＝，∴sin A＝＝，在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，解得：sin C＝，故选：D．12．【解答】解：对任意的x1、x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）⇔f（x）max≤g（x）min，注意到，又g（x）＝|A﹣2|sin x≥﹣|A﹣2|，故．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，）13．【解答】解：∵＝（2，0），||＝1，∴|+2|＝，又平面向量与的夹角为60°，||＝1，∴|+2|＝＝2，故答案为：2．14．【解答】解：∵f（x）＝lnx+ax，（x＞0），∴f′（x）＝+a，若函数f（x）＝lnx+ax在区间（1，2）上单调递增，则+a≥0在区间（1，2）恒成立，即a，故答案为：[﹣）．15．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△P AF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得P A2＝PF•PE，因为，所以侧棱长，PF＝2R，所以18＝2R×4，所以R＝，所以S＝4πR2＝故答案为：16．【解答】解：函数＝＝2sin（2x+）由ω＝2，故函数的周期为π，故x1﹣x2＝π时，f（x1）＝f（x2）成立，故①正确；由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]得，x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]（k∈Z），故[﹣，﹣]是函数的单调增区间，区间应为函数的单调减区间，故②错误；当x＝时，f（x）＝0，故点是函数图象的对称中心，故③正确；函数f（x）的图象向左平移个单位后得到函数的解析式为f（x）＝2sin[2（x+）+]＝2sin（2x+），故④错误故答案为：①③三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n＝3+（n﹣1）d，b n＝q n﹣1依题意有①解得，或（舍去）故a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，b n＝8n﹣1（2）S n＝3+5+…+（2n+1）＝n（n+2）∴＝＝＝18．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD∩BD＝D，AC⊥平面PBD．而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD＝OE，∴PD∥OE，∵O是BD中点，∴E是PB中点．取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD＝D，∴BH⊥平面P AD，．∴＝＝．19．【解答】解：（1）①由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，②第3组的频率为＝0.300，频率分布直方图如图所示，（4分）（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：×6＝3人，第4组：×6＝2人，第5组：×6＝1人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．（7分）（3）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），其中第4组的2位同学B1，B2中至少有一位同学入选的有9，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），∴第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为＝．（12分）20．【解答】解：（Ⅰ）由题意，e＝，a2﹣b2＝c2，则a2＝4b2，…①由椭圆过点（），得，…②由①②解得a＝2，b＝1，故椭圆方程为：；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），∴直线AB的斜率为，∵AB⊥AD，∴AD的斜率，设直线AD的方程为：y＝kx+m，k≠0，m≠0，与椭圆方程联立消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∴，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，可得直线BD的斜率＝﹣＝；故直线BD的方程为：，令y＝0，得x＝3x1，即M（3x1，0），∴AD的斜率．∴，即，故存在常数，使得结论成立．21．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）＝3x2﹣12x﹣3a（a ﹣4）＝3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）＝0，解得x＝a，或x＝4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）＝e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）＝1，f'（x0）＝0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0＝a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0＝a时，f（x）≤f（a）＝1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）＝a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b＝1，得b＝2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）＝2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）＝6x2﹣12x，令t'（x）＝0，解得x＝2（舍去），或x＝0．∵t（﹣1）＝﹣7，t（1）＝﹣3，t（0）＝1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．选做题：第22、23题为选做题，考生只能选做一题，如果多做，则按所做的第一题计分请先用2B铅笔填涂选做的试题号对应的信息点，并将选做的题号填写在括号内再作答[选修44：坐标与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，转化为直角坐标方程为：x2+y2＝4x．直线l的参数方程是：（t为参数）．转化为直角坐标方程为：x﹣y+2．（Ⅱ）曲线C2的方程是4x2+y2＝4，整理得，转化为参数方程为：（θ为参数）．所以点P（cosθ，2sinθ）到直线x﹣y﹣2＝0，的距离：d＝＝，当sin（θ+α）＝﹣1时，．[选修45：不等式选讲]23．【解答】解：（1）当a＝1时，不等式f（x）＞4为|x﹣2|+|x+1|＞4．x＜﹣1时，不等式可化为﹣（x﹣2）﹣（x+1）＞4，解得x＜﹣，∴x＜﹣；﹣1≤x≤2时，不等式可化为﹣（x﹣2）+（x+1）＞4，不成立；x＞2时，不等式可化为（x﹣2）+（x+1）＞4，解得x＞，∴x＞；综上所述，不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞}；（2）f（x）＝|x﹣2a|+|x+|≥|2a+|＝|2a|+||，不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，∴2m2﹣m+2，∴0≤m≤1．。

试卷类型：A 2018年广州市普通高中毕业班综合测试<一）数学<理科）2018.3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型<A）填涂在答题卡相应位置上。

RUW9RT2d7t2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

RUW9RT2d7t3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

RUW9RT2d7t4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

1 / 202 / 20参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．RUW9RT2d7t 1．已知i 是虚数单位，若()2i 34i m +=-，则实数m 的值为A ．2- B ．2± C ． D ．2 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则cb为 A ．2sin C B ．2cos B C ．2sin B D ．2cos C3．圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为A ．()()22211x y -+-= B ．()()22121x y ++-= C ．()()22211x y ++-= D ．()()22121x y -++= 4．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为 A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．(][),22,-∞-+∞D ．[]2,2-5成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为[[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．若用分层抽 样的方法从样本中抽取分数在[]80,100则其中分数在[]90,100范围内的样本数据有图1分数3 / 20A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个RUW9RT2d7t 6．已知集合32A x x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z 且，则集合A 中的元素个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5RUW9RT2d7t 7．设a ，b 是两个非零向量，则使a b =a b 成立的一个必要非充分条件是 A ．=a b B ．⊥a b C ．λ=a b ()0λ> D ．a b8．设a ，b ，m 为整数<0m >），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是A ．2018B ．2018C ．2018D ．2018RUW9RT2d7t 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． <一）必做题<9～13题）9．若不等式1x a -<的解集为{}13x x <<，则实数a 的值为 ． 10．执行如图2的程序框图，若输出7S =，则输入k ()*k ∈N 的值为 ． 113所示，则这个四棱锥的体积是12．设αsin α⎛ ⎝侧<左）视图4 / 2013．在数列{}n a 中，已知11a =，111n n a a +=-+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S = ．<二）选做题<14～15题，考生只能从中选做一题） 14．<坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A ，B 两点，若AB=a 的值为 ． 15．<几何证明选讲选做题）如图4，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA 与圆A ，B 两点，APC ∠的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．<本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，．<1）求实数a 的值；<2）设[]2()()2g x f x =-，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间． 17．<本小题满分12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙，丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．RUW9RT2d7t <1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；P图45 / 20<2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值<数学期望）．RUW9RT2d7t 18．<本小题满分14分）如图5，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E是棱1D D 的 中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =．<1）求证：11EF A C ⊥；<2）在棱1C C 上确定一点G ， 使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长；<3）求平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值． 19．<本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，*n ∈N ．<1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；<2）设第n 个正方形的边长为{}min ,n n n c a b =，求前n 个正方形的面积之和n S ．<注：{}min ,a b 表示a 与b 的最小值．） 20．<本小题满分14分）已知双曲线E ：()222104x y a a -=>的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF =． <1）求实数a 的值；<2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；C1C1DA B DEF1A 1B图56 / 20<3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN=，证明点H 恒在一条定直线上．RUW9RT2d7t 21．<本小题满分14分）已知函数()()221e x f x x x =-+<其中e 为自然对数的底数）． <1）求函数()f x 的单调区间；<2）定义：若函数()h x 在区间[],s t ()s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”．试问函数()f x 在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．RUW9RT2d7t2018年广州市普通高中毕业班综合测试<一）数学<理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．RUW9RT2d7t2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．RUW9RT2d7t3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．RUW9RT2d7t三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．<本小题满分1）<本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）RUW9RT2d7t 解：<1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即02a+=． 解得a =<2）方法1：由<1）得()sin f x x x =+．所以2()[()]2g x f x =-()2sin 2x x =+-22sin cos 3cos 2x x x x =++-2cos 2x x =+122cos 22x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭ 2sin 2cos cos 2sin 66x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以()g x 的最小正周期为22π=π． 因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ，所以当πππ2π22π262k x k -≤+≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增， 即ππππ36k x k -≤≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增． 所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．方法2：由<1）得()sin f x x x =+2sin cos cos sin 33x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以2()[()]2g x f x =-2π2sin 23x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 2π4sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2π2cos 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭分所以函数()g x 的最小正周期为22π=π分 因为函数cos y x =的单调递减区间为[]2,2k k ππ+π()k ∈Z ，所以当22223k x k ππ≤+≤π+π()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增． 即ππππ36k x k -≤≤+<k ∈Z ）时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．17．<本小题满分1）<本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值<数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）RUW9RT2d7t 解：<1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为1A ，2A ，3A ，由已知1A ，2A ，3A 相互独立，且满足()()()()()113232,5611,253.10P A P A P A P A P A ⎧=⎪⎪⎪--=⎡⎤⎡⎤⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎪⎩解得()212P A =，()335P A =．所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为12，35． <2）ξ的可能取值为1，3．因为()()()1231233P P A A A P A A A ξ==+()()()()()()123123111P A P A P A P A P A P A =+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦213312525525=⨯⨯+⨯⨯625=． 所以()()113P P ξξ==-=61912525=-=．所以ξ的分布列为所以1963713252525E ξ=⨯+⨯=． 18．<本小题满分1）<本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）RUW9RT2d7t 推理论证法：<1）证明：连结11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111A C B D ⊥． 在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11A C ⊂平面1111A B C D ，所以111A C DD ⊥．因为1111B D DD D =，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ， 所以11A C ⊥平面11BB D D ．因为EF ⊂平面11BB D D ，所以11EF A C ⊥． <2）解：取1C C 的中点H ，连结BH ，则BHAE ．在平面11BB C C 中，过点F 作FG BH ，则FGAE ．1DABCD EF 1A1B1C1DE1A1B 1CGH连结EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面． 因为11122CH C C a ==，11133HG BF C C a ===， 所以1C G 116C C CH HG a =--=．故当1C G 16a =时，A ，E ，G ，F 四点共面． <3）延长EF ，DB ，设EF DB M =，连结AM ， 则AM 是平面AEF 与平面ABCD 的交线．过点B 作BN AM ⊥，垂足为N ，连结FN ， 因为FB AM ⊥，FB BN B =， 所以AM ⊥平面BNF ．因为FN ⊂平面BNF ，所以AM ⊥FN ． 所以FNB ∠为平面AEF 与平面ABCD 所成 二面角的平面角．因为123132aMB BF MD DE a ===，即23=，所以MB =．在△ABM 中，AB a =，135ABM ∠=， 所以2222cos135AM AB MB AB MB =+-⨯⨯⨯()222a a ⎛=+-⨯⨯⨯ ⎝⎭213a =．即AM =． 因为11sin13522AM BN AB MB ⨯=⨯⨯，所以sin135a AB MB BN AM⨯⨯⨯⨯===．1DAB CDE F 1A1B1CMN所以39FN a===．所以6cos7BNFNBFN∠==．故平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值为67．空间向量法：<1）证明：以点D为坐标原点，DA，DC，1DD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，则(),0,0A a，()1,0,A a a，()10,,C a a，10,0,2E a⎛⎫⎪⎝⎭，1,,3F a a a⎛⎫⎪⎝⎭，所以()11,,0AC a a=-，1,,6EF a a a⎛⎫=-⎪⎝⎭．因为221100AC EF a a=-++=，所以11AC EF⊥．所以11EF A C⊥．<2）解：设()0,,G a h，因为平面11ADD A平面11BCC B，平面11ADD A平面AEGF AE=，平面11BCC B平面AEGF FG=，所以FG AE．<苏元高考吧： 广东省数学教师QQ群：179818939）所以存在实数λ，使得FG AEλ=．因为1,0,2AE a a⎛⎫=-⎪⎝⎭，1,0,3FG a h a⎛⎫=--⎪⎝⎭，所以11,0,,0,32a h a a aλ⎛⎫⎛⎫--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以1λ=，56h a =．所以1C G 15166CC CG a a a =-=-=．故当1C G 16a =时，A ，E ，G ，F 四点共面．<3）解：由<1）知1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-．所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量． 而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量， 设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ， 则11cos DD DD θ=n n (1)67==． 故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67． 第<1）、<2）问用推理论证法，第<3）问用空间向量法： <1）、<2）给分同推理论证法．<3）解：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则(),0,0A a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫⎪⎝⎭， 则1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,3AF a a ⎛⎫=⎪⎝⎭． 设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩nn即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-．所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量． 而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量， 设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ， 则11cos DD DD θ=n n (1)67==． 故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67． 19．<本小题满分1）<本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）RUW9RT2d7t 解：<1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯， 即28n a n =+．因为等比数列{}n b 的首项为1，公比为2， 所以112n n b -=⨯， 即12n n b -=．<2）因为110a =，212a =，314a =，416a =，518a =，620a =，11b =，22b =，34b =，48b =，516b =，632b =．易知当5n ≤时，n n a b >．下面证明当6n ≥时，不等式n n b a >成立．方法1：①当6n =时，616232b -==620268a >=⨯+=，不等式显然成立． ②假设当n k =()6k ≥时，不等式成立，即1228k k ->+． 则有()()()()122222821826218k k k k k k -=⨯>+=++++>++． 这说明当1n k =+时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对6n ≥的所有整数都成立． 所以当6n ≥时，n n b a >． 方法2：因为当6n ≥时()()()112281128n n n n b a n n ---=-+=+-+()()01211111C C C C 28n n n n n n -----=++++-+()()012321111111C C C C C C 28n n n n n n n n n n ---------≥+++++-+ ()()0121112C C C 28n n n n ---=++-+()()236460n n n n n =--=-+->，所以当6n ≥时，n n b a >．所以{}min ,n n n c a b =12,5,28,5.n n n n -⎧≤=⎨+>⎩ 则()22222,5,44, 5.n n n c n n -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩当5n ≤时，2222123n n S c c c c =++++ 2222123n b b b b =++++024222222n -=++++1414n -=-()1413n=-．当5n >时，2222123n n S c c c c =++++()()22222212567n b b b a a a =+++++++()51413=-()()()222464744n ⎡⎤+++++++⎣⎦()()()222341467867165n n n ⎡⎤=+++++++++-⎣⎦()()()()2222223414121253267645n n n ⎡⎤=++++-++++++++-⎣⎦()()()()()121653414553264562n n n n n n +++-⎡⎤=+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦3242421867933n n n =++-． 综上可知，n S ()32141,5,3424218679, 5.33nn n n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪++->⎪⎩20．<本小题满分1）<本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）RUW9RT2d7t <1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得2254.c a c a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得a =．<2）证明：由<1）可知，直线2533a x ==，点()23,0F ．设点5,3P t ⎛⎫⎪⎝⎭,()00,Q x y ，因为220PF QF =，所以()0053,3,03t x y ⎛⎫----= ⎪⎝⎭． 所以()00433ty x =-．因为点()00,Q x y 在双曲线E 上，所以2200154x y -=，即()2200455y x =-． 所以20000200005533PQ OQy t y y ty k k x x x x --⋅=⋅=--()()2002004453453553x x x x ---==-．所以直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值45．<3）证法1：设点(),H x y ，且过点5,13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则22114520x y -=，22224520x y -=，即()2211455y x =-，()2222455y x =-． 设PM MH PN HN λ==，则,.PM PN MH HN λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 即()()1122112255,1,1,33,,.x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫--=--⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩整理，得()()()1212121251,31,1,1.x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎪⎩①②③④由①×③，②×④得()()22221222221251,31.x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩⑤⑥将()2211455y x =-，()2222455y x =-代入⑥， 得2221224451x x y λλ-=⨯--． ⑦将⑤代入⑦，得443y x =-．所以点H 恒在定直线43120x y --=上． 证法2：依题意，直线l 的斜率k 存在．设直线l 的方程为513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由2251,31.54y k x x y ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩ 消去y 得()()()22229453053255690k x k k x k k -+---+=．因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则有()()()()()()()22222122212290053900455690,3053,95425569.954k k k k k k k x x k k k x x k ⎧⎪∆=-+--+>⎪⎪-⎪+=⎨-⎪⎪-+⎪=⎪-⎩由PM MH PN HN =，得112125353x x x x x x --=--． 整理得()()1212635100x x x x x x -+++=．1 将②③代入上式得()()()()()2222150569303553100954954k k x k k x k k -++--+=--．整理得()354150x k x --+=． ④因为点H 在直线l 上，所以513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ⑤联立④⑤消去k 得43120x y --=． 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．①②③<本题<3）只要求证明点H 恒在定直线43120x y --=上，无需求出x 或y 的范围．）21．<本小题满分1）<本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）RUW9RT2d7t 解：<1）因为()()221e x f x x x =-+，<苏元高考吧： ）所以2()(22)e (21)e x x f x x x x '=-+-+()21e xx =-(1)(1)e x x x =+-．当1x <-或1x >时，()0f x '>，即函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞．当11x -<<时，()0f x '<，即函数()f x 的单调递减区间为()1,1-．所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-． <2）假设函数()f x 在()1,+∞上存在“域同区间”[,](1)s t s t <<，由<1）知函数()f x 在()1,+∞上是增函数，所以(),().f s s f t t =⎧⎨=⎩ 即22(1)e ,(1)e .s ts s t t ⎧-⋅=⎨-⋅=⎩ 也就是方程2(1)e x x x -=有两个大于1的相异实根． 设2()(1)e (1)x g x x x x =-->，则2()(1)e 1x g x x '=--． 设()h x =2()(1)e 1x g x x '=--，则()()221e x h x x x '=+-．因为在(1,)+∞上有()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()110h =-<，()223e 10h =->，即存在唯一的()01,2x ∈，使得()00h x =．当()01,x x ∈时，()()0h x g x '=<，即函数()g x 在()01,x 上是减函数； 当()0,x x ∈+∞时，()()0h x g x '=>，即函数()g x 在()0,x +∞上是增函数．因为()110g =-<，0()(1)0g x g <<，2(2)e 20g =->， 所以函数()g x 在区间()1,+∞上只有一个零点．这与方程2(1)e x x x -=有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立． 所以函数()f x 在()1,+∞上不存在“域同区间”． 申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

2018年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足zi=（1﹣i）2，则复数z的共轭复数=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i2．设集合A={0，1，2，3，4，5，6}，B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=（）A．{0，2，4}B．{2，4，6}C．{0，2，4，6}D．{0，2，4，6，8，10，12}3．已知向量，，则=（）A．10 B． C．D．24．等差数列{a n}的各项均不为零，其前n项和为S n，若，则S2n+1=（）A．4n+2 B．4n C．2n+1 D．2n5．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．6．在四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，AB=CD，AB⊥CD，则异面直线EF与AB所成角的大小为（）A．B．C．D．7．已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是（）A．y=xlnx B．y=xlnx﹣x+1 C．D．8．椭圆+=1上一动点P到定点M（1，0）的距离的最小值为（）A．2 B．C．1 D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B． C． D．410．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围为（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，2]11．已知数列{a n}满足a1=2，，设，则数列{b n}是（）A．常数列B．摆动数列C．递增数列D．递减数列12．如图，在梯形ABCD中已知|AB|=2|CD|.=，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．3 D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知某区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的学生人数为名．14．若x，y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为．15．我国南宋数学家杨辉所著的《详解》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为S n，如S1=1，S2=2，S3=2，S4=4，……，则S32=．16．已知函数g（x）=x2﹣2x﹣4．设b为实数，若存在实数a，使得f（a）+g（b）=1成立，则b的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12.00分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，已知，c ﹣b=1，△ABC 的外接圆半径为．（1）求角A的值；（2）求△ABC的面积．18．（12.00分）某地1～10岁男童年龄x i（岁）与身高的中位数y i（cm）（i=1，2，…，10）如表：对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i）（y i）（x i））（1）求y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，y=px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，点E在线段PA 上，PC∥平面BDE．（1）求证：AE=PE；（2）若△PAD是等边三角形，AB=2AD，平面PAD⊥平面ABCD，四棱锥P﹣ABCD 的体积为，求点E到平面PCD的距离．20．（12.00分）已知两个定点M（1，0）和N（2，0），动点P满足．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若A，B为（1）中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点．设直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k．当k1k2=3时，求k的取值范围．21．（12.00分）已知函数f（x）=e x﹣ax+a﹣1．（1）若f（x）的极值为e﹣1，求a的值；（2）若x∈[a，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）已知过点P（m，0）的直线l的参数方程是（t为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A，B，且|PA|•|PB|=2，求实数m的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=2|x+a|+|3x﹣b|．（1）当a=1，b=0时，求不等式f（x）≥3|x|+1的解集；（2）若a＞0，b＞0，且函数f（x）的最小值为2，求3a+b的值．2018年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足zi=（1﹣i）2，则复数z的共轭复数=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵zi=（1﹣i）2=﹣2i，∴z=，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．设集合A={0，1，2，3，4，5，6}，B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=（）A．{0，2，4}B．{2，4，6}C．{0，2，4，6}D．{0，2，4，6，8，10，12}【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={0，1，2，3，4，5，6}，B={x|x=2n，n∈A}={0，2，4，6，8，10，12}，∴A∩B={0，2，4，6}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．已知向量，，则=（）A．10 B． C．D．2【分析】根据向量的坐标可求出的坐标，从而得出的值．【解答】解：；∴=2（2，2）﹣（5，3）=（﹣1，1）；∴．故选：C．【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量减法和数乘的坐标运算．4．等差数列{a n}的各项均不为零，其前n项和为S n，若，则S2n+1=（）A．4n+2 B．4n C．2n+1 D．2n=2，代入等差数列的前n项和得答【分析】由已知结合等差数列的性质可得a n+1案．【解答】解：在等差数列{a n}中，由，得，∵等差数列{a n}的各项均不为零，=2，则S2n+1==4n+2．∴a n+1故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和的应用，是基础的计算题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：赋值，n=2，S=0，第一次执行循环体后，S=0+，n=2+2=4；判断4≥19不成立，第二次执行循环体后，S=+，n=2+4=6；判断6≥19不成立，第三次执行循环体后，S=+，n=6+2=8；判断8≥19不成立，第四次执行循环体后，S=++，n=8+2=10；…判断18≥19不成立，执行循环体后：S=+++…+，n=18+2=20判断20≥19成立，终止循环，输出S=+++…+=（）=．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6．在四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，AB=CD，AB⊥CD，则异面直线EF与AB所成角的大小为（）A．B．C．D．【分析】取BD中点O，连结EF、EO、FO，推导出EO=FO，且EO⊥FO，∠OEF 是异面直线EF与AB所成角，由此能求出异面直线EF与AB所成角的大小．【解答】解：取BD中点O，连结EF、EO、FO，∵在四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，AB=CD，AB⊥CD，∴EO，FO，∴EO=FO，且EO⊥FO，∠OEF是异面直线EF与AB所成角，∵EO=FO，且EO⊥FO，∴，∴异面直线EF与AB所成角的大小为．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是（）A．y=xlnx B．y=xlnx﹣x+1 C．D．【分析】直接利用导数首先求出函数的极值点，进一步求出函数的单调区间．【解答】解：显然函数在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，且f（1）=0，x=1是函数的极值点，对于A，y′=lnx+1，x=1不是极值点，不合题意；对于B，y′=lnx，x=1时，y′=0，当x趋近于0时，不符合题意；对于C，y′=﹣，x=1时，y′=0，当x＞1时，y′＞0，函数单调递增，0＜x＜1时，y′＜0，函数单调递减，符合题意．对于D，y′=，当x=1时，y′=0，当x＞1时，y′＞0，函数单调递增，当x＜1时，y′＜0，函数单调递减．当x趋近于0时，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：利用导数求函数的单调性．8．椭圆+=1上一动点P到定点M（1，0）的距离的最小值为（）A．2 B．C．1 D．【分析】根据题意，设P的坐标为（3cosθ，2sinθ），由两点间距离公式可得|PM|2=5（cosθ﹣）2+，进而变形分析可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的方程+=1上一动点P，设P的坐标为（3cosθ，2sinθ），则|PM|2=（3cosθ﹣1）2+（2sinθ）2=5cos2θ﹣6cosθ+5=5（cosθ﹣）2+，分析可得：cosθ=时，|PM|2取得最小值，则|PM|2取得最小值，故选：B．【点评】本题考查椭圆的几何性质，注意用θ表示P与M之间的距离．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B． C． D．4【分析】由三视图知该几何体是一个四棱柱P﹣ABCD，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，从而可得该几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱柱P﹣ABCD，且底面是直角梯形，AB⊥AD、AD∥CB，且AB=2，BC=4、AD=2，PA=2，PA⊥平面ABCD，由图可得，PD=2，CD=2，PC==2，PB=2，则该几何体的表面积为：S△PAB+S△PAD+S△PBC+S ABCD+S△PDC=+=．故选：A．【点评】本题考查几何体的三视图，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围为（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，2]【分析】根据正弦函数的单调性，结合在区间[﹣，]上单调递增，建立不等式关系，即可求解．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，∴，k∈Z解得：∵ω＞0，当k=0时，可得：．故选：B．【点评】本题考查了正弦函数的图象及性质，单调性的应用．属于基础题．11．已知数列{a n}满足a1=2，，设，则数列{b n}是（）A．常数列B．摆动数列C．递增数列D．递减数列【分析】根据数列的递推公式，代值计算，分别求出b1，b2，b3，b4即可判断．【解答】解：∵，=（a n+），∴a n+1∵，====b n2＞0，∴b n+1﹣b n=b n2﹣b n=b n（b n﹣1）∴b n+1∵a1=2，b1==，∴b2=（）2，∴b3=（）2=（）4，b4=（（）4）2=（）8，∴数列{b n}是递减数列，故选：D．【点评】本题考查了数列的递推公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．12．如图，在梯形ABCD中已知|AB|=2|CD|.=，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．3 D．【分析】以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，求出C的坐标，根据向量的运算求出点E的坐标，代入双曲线方程即可求出【解答】解：由|AB|=2|CD|，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，设双曲线的方程为﹣=1，由双曲线是以A，B为焦点，∴A（﹣c，0），B（c，0），把x=c，代入﹣=1，可得y=b，即有C（c，b），又设A（﹣c，0），∴=（c，b），设E（x，y），∴=（x+c，y），∵=，∴（x+c，y）=（c，b），解得x=﹣c，y=b•），可得E（﹣c，b•），代入双曲线的方程可得﹣（﹣1）=1，即e2﹣（﹣1）=，即e2=7，即e=，故选：A．【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及向量的运算，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知某区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的学生人数为85名．【分析】计算分层抽样的抽取比例数，求出所抽取的学生人数．【解答】解：根据表中数据知，利用分层抽样方法，抽取比例为=；则小学与初中共需抽取的学生人数为（2700+2400）×=85（名）．故答案为：85．【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．14．若x，y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为2．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=﹣x+y对应的直线进行平移，可得当x=﹣1，y=1时，目标函数z取得最小值，从而得到本题答案．【解答】解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的区域，其中A（﹣1，1），设z=F（x，y）═﹣x+y，将直线l：z=﹣x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值=F（﹣1，1）=1+1=2．∴z最小值故答案为：2．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=﹣x+y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．15．我国南宋数学家杨辉所著的《详解》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为S n，如S1=1，S2=2，S3=2，S4=4，……，则S32=32．【分析】全行的数都为1的分别是第1行，第2行，第4行，第8行，第16行，第32行，由此能求出S32．【解答】解：由题得，全行的数都为1的分别是第1行，第2行，第4行，第8行，第16行，第32行，又因为数1，2，8，16，32，…的通项为2n﹣1，所以第5次全行的数都为1的是第32行，∴S32=1×32=32．故答案为32．【点评】本题考查数列的第32行数字和的求法，考查杨辉三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．已知函数g（x）=x2﹣2x﹣4．设b为实数，若存在实数a，使得f（a）+g（b）=1成立，则b的取值范围为[﹣，] ．【分析】利用二次函数的性质和对数函数的单调性，求出函数f（x）值域，进而根据存在a∈R使得f（a）+g（b）=1，得到（b）=b2﹣2b﹣4≤，解不等式可得实数b的取值范围．【解答】解：当x＜﹣1，f（x）=+（）2=（+）2﹣，∵x＜﹣1，﹣1＜＜0，则﹣≤f（x）＜0，当x≥﹣1时，x+2≥1，则ln（x+2）∈[0，+∞），综上f（x）≥﹣，若存在a∈R使得f（a）+g（b）=1，∴g（b）=1﹣f（a）≤1+=则g（b）=b2﹣2b﹣4≤，即4b2﹣8b﹣21≤0，解得﹣≤b≤故b的范围为[﹣，]，故答案为：[﹣，]．【点评】本题考查的知识点是分段函数，函数的值域，基本不等式，对数函数的性质，存在性问题，二次不等式，是函数和不等式较为综合的应用，难度中档．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12.00分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，c ﹣b=1，△ABC的外接圆半径为．（1）求角A的值；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由正弦定理可得：，即解得．（2）由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，解得bc即可求面积【解答】解：（1）由正弦定理可得：，即，解得．cosA=，A=120°或600；（2）由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，⇒21=b2+c2±bc，又c ﹣b=1，解得bc=20或， ∴△ABC 的面积S==5或【点评】本题考查了三角形的内角和定理与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18．（12.00分）某地1～10岁男童年龄x i （岁）与身高的中位数y i （cm ）（i=1，2，…，10）如表：对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i）（yi）（x i））（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，y=px 2+qx +r 更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是y=﹣0.30x 2+10.17x +68.07．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？ 附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【分析】（1）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（2）将x=11代入回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07和（1）问中的方程，得到的结果与145.3cm比较，即可判断【解答】解：（1）由题意，=5.5，=112.45，==≈6.87，=﹣=112.45﹣6.87×5.5≈74.67；∴y关于x的线性回归方程y=6.87x+74.67；（2）某同学认为，y=px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07．当x=11时，代入回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07．可得y=142.74；当x=11时，代入回归方程是y=6.87x+74.67；可得y=150.24；由11岁男童身高的中位数为145.3cm．可得回归方程是y=6.87x+74.67计算的误差比较大．故回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07模拟合效果更好．【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．19．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，点E在线段PA 上，PC∥平面BDE．（1）求证：AE=PE；（2）若△PAD是等边三角形，AB=2AD，平面PAD⊥平面ABCD，四棱锥P﹣ABCD 的体积为，求点E到平面PCD的距离．【分析】（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE则O是AC中点，由PC∥平面BDE，得PC∥OE，由此能证明AE=PE．（2）以AD中点O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过点O作AB的平行线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出E到平面PCD 的距离．【解答】证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵底面ABCD为矩形，∴O是AC中点，∵PC∥平面BDE，∴PC∥OE，∴AE=PE．解：（2）∵△PAD是等边三角形，AB=2AD，平面PAD⊥平面ABCD，∴以AD中点O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过点O作AB的平行线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，设AD=x，∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，∴=9，解得x=3．∴A（，0，0），P（0，0，），E（，0，），D（﹣，0，0），C（﹣，6，0）．=（，0，﹣），=（﹣，6，﹣），=（﹣，0，﹣），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，0，﹣1），∴E到平面PCD的距离d===．【点评】本题考查线段相等的证明，考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12.00分）已知两个定点M（1，0）和N（2，0），动点P满足．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若A，B为（1）中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点．设直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k．当k1k2=3时，求k的取值范围．【分析】（1）利用两点之间的距离公式即可得出椭圆的方程，（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+b．与圆方程联立可得（1+k2）x2+2kbx+b2﹣2=0，△＞0，再利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．【解答】解：（1）设动点P（x，y），∵定点M（1，0）和N（2，0），动点P满足．∴=，整理，得：x2+y2=2，∴动点P的轨迹C的方程为x2+y2=2．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+b．由，消去y得（1+k2）x2+2kbx+b2﹣2=0，∴△=8k2﹣4b2+8＞0，即b2＞2k2+2，且x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=∵k1=，k2=，∴k1k2==3，∴=3，即b2=3﹣k2≥0，解得﹣≤k≤∴2k2+2＞3﹣k2，解得k＞或k＜﹣，即﹣＜k＜﹣，或＜k＜故k的取值范围为（﹣，﹣）∪（，）【点评】本题主要考查圆的几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于中档题．21．（12.00分）已知函数f（x）=e x﹣ax+a﹣1．（1）若f（x）的极值为e﹣1，求a的值；（2）若x∈[a，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极小值，求出a的值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a 的范围．【解答】解：（1）f′（x）=e x﹣a，a≤0时，f（x）在R递增，无极值，a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞lna，令f′（x）＜0，解得：x＜lna，故f（x）在（﹣∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增，=f（lna）=a﹣alna+a﹣1=e﹣1，解得：a=e；故f（x）极小值（2）f′（x）=e x﹣a，（x≥a），①a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在[a，+∞）递增，f（0）=a≤0，f（1）=e﹣1＞0，∴f（x）≥0不恒成立，②a=0时，f′（x）=e x＞0，f（x）在[0，+∞）递增，f（x）≥f（0）=a=0，f（x）≥0恒成立，③a＞0时，f′（x）=0，解得：x=lna，f（x）在（﹣∞，lna）递减，在[lna，+∞）递增，令u（a）=a﹣lna，u′（a）=，故u（a）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故u（a）≥u（1）=1＞0，故a＞lna，f（x）在[a，+∞）递增，f（x）≥f（a）=e a﹣a2+a﹣1，g（x）=e x﹣x2+x﹣1，g′（x）=e x﹣2x+1，g″（x）=e x﹣2，g′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故g′（x）≥g′（ln2）=3﹣2ln2＞0，故g（x）在[0，+∞）递增，g（x）≥g（0）=0恒成立，故a＞0，f（x）＞0恒成立，综上，a≥0．【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）已知过点P（m，0）的直线l的参数方程是（t为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A，B，且|PA|•|PB|=2，求实数m的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（Ⅱ）利用方程组求出一元二次方程，利用根和系数的关系式求出结果．【解答】解：（Ⅰ）过点P（m，0）的直线l的参数方程是（t为参数）．转化为直角坐标方程为：，曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ．转化为直角坐标方程为：x2+y2=2x．（Ⅱ）直线l与曲线C交于两点A，B，则：把（t为参数），代入曲线方程x2+y2=2x，整理得：．由于|PA|•|PB|=2，故：．解得：m=2或﹣1【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=2|x+a|+|3x﹣b|．（1）当a=1，b=0时，求不等式f（x）≥3|x|+1的解集；（2）若a＞0，b＞0，且函数f（x）的最小值为2，求3a+b的值．【分析】（1）当a=1，b=0时，不等式f（x）≥3|x|+1即2|x+1|+|3x|≥3|x|+1．可得|x+1|，即可得出．（2）a＞0，b＞0，对a，b分类讨论：x≥时，f（x）=5x+2a﹣b．﹣a≤x＜时，f（x）=﹣x+2a+b．x＜﹣a时，f（x）=﹣5x﹣2a+b．利用一次函数的单调性及其函数f（x）的最小值为2，可得：当x=时，=2，即可得出．【解答】解：（1）当a=1，b=0时，不等式f（x）≥3|x|+1即2|x+1|+|3x|≥3|x|+1．∴|x+1|，∴x+1，x+1，解得x，或x．∴不等式f（x）≥3|x|+1的解集为{x|x，或x}．（2）a＞0，b＞0，x≥时，f（x）=2（x+a）+（3x﹣b）=5x+2a﹣b．﹣a≤x＜时，f（x）=2（x+a）﹣（3x﹣b）=﹣x+2a+b．x＜﹣a时，f（x）=﹣2（x+a）﹣（3x﹣b）=﹣5x﹣2a+b．∵函数f（x）的最小值为2，∴当x=时，=+2a﹣b=2，可得：6a+2b=6，∴3a+b=3．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、分类讨论方法、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。