2.7.2二次根式 导学案

二次根式导学案教案课程名称：二次根式导学案适用年级：高中数学（高一或高二）导学目的：1.理解二次根式的含义与性质；2.掌握二次根式的化简与运算规则；3.运用二次根式解决实际问题。

导学内容：1.二次根式的概念A.二次根式是形如√a（a≥0）的根式，其中a称为被开方数；B.当a为非负实数时，存在唯一的非负实数b，使得b²=a，即√a=b；C.若a为非负实数，而b为正实数，则√a记为±b，其中“±”表示正负号的取值。

2.二次根式的性质A.二次根式的值域为非负实数；B.二次根式满足乘方运算规律：(√a)²=a，√(a²)=，a，（，...，表示取绝对值）；C. 二次根式满足四则运算规律：（1）加减运算：√a±√b =√(a±2√ab+b)（2）乘法运算：√a*√b = √(ab)（3）除法运算：√a/√b = √(a/b)。

3.二次根式的化简A.将二次根式化简为最简形式的方法：①提取公因数；②合并同类项；③分解因式。

导学任务：1.计算以下二次根式的值，并判断其是否为整数或无理数：A.√9；B.√16；C.√7；D.√15；2.将下面的二次根式化简为最简形式：A.√12；B.√32；C.√75；D.√98；3.通过合并同类项的方法，将以下二次根式进行化简：A.2√3+3√3；B.√6-3√2+4√2；4.解决以下实际问题：A.一个正方形的面积为128平方单位，求其边长；B.一个长方形的面积为72平方单位，宽是√2个单位，请求其长度。

导学提示：1.在计算二次根式的过程中，应注意，即使在被开方数前有系数，系数的平方根仍需要提取出来；2.化简二次根式时，注意合并同类项的原则，相同根号下的数值项可以进行合并；3.解决实际问题时，可以将问题转化为方程求解，或者利用几何性质进行解答。

导学总结：通过本次导学，我们学习了二次根式的概念与性质，掌握了二次根式的化简与运算规则，并通过实际问题的解决，巩固了所学知识。

第二章 实数2.7二次根式导学案（2）学习目标1.掌握二次根式的运算法则2.会进行（根号下仅限于数）二次根式简单四则运算.并解决实际问题3.经过观察，比较，总结和应用等数学活动，感受和体验发现的快乐,并提高应用意识。

学习重难点：二次根式的简单四则运算。

学习过程：1.复习：1、二次根式的性质：)0,0______(≥≥=b a ab ，)0,0____(>≥=b a ba 2、在二次根式的运算中，最后结果中的二次根式一般要写成______的形式。

2.自主探究：1、计算下列各式，观察计算结果：（1）94⋅=______ 94⋅=_______（2）2516⋅=_______ 2516⋅=_______（3）36100⋅=_______ 36100⋅=_______2、用“>”、“<”或“=”填空：（1）94⋅=______94⋅（2）2516⋅=______2516⋅（3）36100⋅=_____36100⋅问题：（１）你们发现了什么规律？（２）你能用数学表达式表示发现的规律吗？教师点评：（1）被开方数都不是负数（2）两个二次根式相乘等于一个二次根式。

（3）把两个二次根式中的被开方数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数。

（4）表达式a ·b =ab (a ≥0,b ≥0) 由此可知：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab )0,0(>≥=b a b a b a这两个公式倒过来就可以成为二次根式的乘除法运算公式。

)0,0(≥≥=⋅b a ab b a )0,0(>≥=b a ba b a三、例3：计算：⨯2.巩固练习：⨯÷18278÷⋅四、同样二次根式也可以进行加减运算，这时，以前学习的实数运算法则、运算律仍然适用。

当然，如果运算结果中出现某些项，她们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并。

五、例4：计算：3 ×2 ×－5 （－1）2（＋4）（－4） （－）2.巩固练习：× 1362-⨯ 6)6532(⋅-22)3223()3223(+-- （－3）2 （＋2）（－2） （－） 2312348⋅÷ 2532112÷⋅⨯六、例5：计算－ ＋ （－）2.巩固练习：10827753+- 2215448÷- 3)18282(÷-+)2418)(122(--⨯⨯3.若一个长方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为_______3cm 。

2.7 二次根式（第三课时） 学习目标： （1）公式b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a =（a ≥0，b ＞0）从右往左的运用． （2）了解含根号的数的化简，利用化简对实数进行简单的四那么运算．（3）灵活运用两个法那么进行有关实数的四那么运算．学习重点：学习难点：预习.导学一、温习：实数的运算法那么、运算律，练习（1）)32(276-⋅； （2）10156⋅⋅ （3）2332⨯； （4）3)312(⋅+． 学习过程：一、探讨的公式：=⋅b a （ a ≥0，b ≥0），=b a （a ≥0，b ＞0）． 内容1：可否依照该公式将8化成22？探讨转化方式：这事实上是将 、 公式反用，成立知识之间的联系。

内容2：例 进行相关偿试练习：化简：（1）45；（2）27；（3）54；（4）98；（5）16125． 内容3：反思：（1）含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一样把不含根号的数写在 ，并省略去 号．（2）以上化简进程有何规律呢？学生讨论交流得出：根号里面的数有一部份移到了根号外面，具体来讲是能开得尽方的因数，开方后写到了 外面．明确带根号的数何时要化简：被开方数假设有开得尽的因数，一样需要进行化简．被开方数含有 也两个公式的逆运用． 灵活地运用公式进行实数运算．需要进行化简．二、实数的乘法法那么、除法法那么的逆用：进行化简P59-60内容1:探讨：化简：21就需要化简．21如何化简呢？8呢? 化简进程： 原先被开方数含有分母，化简后，被开方数不含练习：化简：31． 小结归纳：带根号的数的化简要求：（1）使被开方数不含 的数； （2）使被开方数不含 ．内容2：学习例1 P59化简：（1）50； （2）348-；（3）515-． 学生交流总结，被开方数含有分母，经常使用的化简方式是什么？ 答案：要把被开方数的分子与分母同乘以一个 的数，使得分母成为一个能开得尽的因数． 归纳总结： （1）被开方数中含有分母或含有能开得尽的因数的式子需要化简；（2）公式b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）从左往右或从右往左在化简中会灵活运用． 本节课我们学习了哪些知识？。

二次根式导学案 二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。

三、学习过程（一）复习回顾：（1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。

（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。

（二）自主学习(1)16的平方根是 ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。

如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。

思考：16，5h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。

所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。

3、根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a ,4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。

1第十六章 二次根式第一课时 二次根式一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。

三、学习过程（一）复习回顾：（1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________ 记为______,a 一定是_______数。

（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。

（二）自主学习(1)16的平方根是 ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。

如果用含h 的式子表示t ，则t = ；(3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ；(4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。

思考：16，5h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 42定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________ 。

1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，345-，)0(3≥a a ，12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。

所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。

3、根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。

学生自主学习方案1. 单项式乘多项式运算法则：2．多项式乘多项式的运算法则：3.多项式除以单项式的运算法则：4.合并同类项：5.平方差公式：6.完全平方公式：1. 二次根式的乘法：2． 二次根式的除法：探究点一：二次根式的乘法和除法法则自己探索得到二次根式的乘除法法则：科目 北师大版八年级数学上册 授课时间 课题 授课教师 学习 目标 1．能对二次根式进行加减乘除混合运算，提高运算能力； 2．将二次根式知识与整式相关知识进行类比，与现学知识进行整合，提高数学学习能力； 新知探究旧知回顾 自主预习二次根式的乘法法则：二次根式的除法法则： 两个二次根式的乘除等于 ，并且把这两个二次根式中的数相除得到的 ，作为等号另一边二次根式中的被开方数。

计算：（1）326⨯ （2）236⨯ （3）52 思考1：326⨯利用那个公式计算？ 思考2：52利用那个公式计算？探究点二：二次根式的混合运算（一）独立思考·解决问题请计算下列各题：(1) 5312-⨯ (2)3)3112(⨯-2)15)(3(+ (4))313)(313(-+ 思考1：3)3112(⨯-利用什么样的运算法则？ 思考2：2)15)(3(+利用完全平方公式怎样展开？那个数作为公式中的a ，那个数作为公式中的b ？思考3：)313)(313(-+利用平方差公式怎样展开？那个数作为公式中的a ，那个数作为公式中的b ？（二）师生探究·合作交流同学们通过自己计算发现：二次根式的运算和实数的运算是否一样？计算：（1）3223⨯ （2）348+ （3）2188+思考：运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，应该怎么办？计算：)25)(51(-+课本P45随堂练习第1题.新知运用达标检测 考题链接收获盘点。

第十六章 二次根式第一课时 二次根式一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。

三、学习过程（一）复习回顾：（1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________ 记为______,a 一定是_______数。

（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。

（二）自主学习(1)16的平方根是 ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。

如果用含h 的式子表示t ，则t = ；(3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ；(4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。

思考：16，5h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 4定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34)0(3≥a a ，12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。

所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。

3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4((2) （3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。

第二章 实数第七节 二次根式 第3课时【学习目标】1．理解同类二次根式的概念，明确它的限制条件。

2．理解同类二次根式的法则，并运用法则合并同类二次根式。

【学习重难点】重点：理解同类二次根式的概念，明确它的限制条件。

难点：合并同类二次根式。

【学习方法】自主探究与小组合作【学习过程】模块一 预习反馈一、学习准备二次根式：形如)0(≥a a 的式子叫做________________，其中____________叫做被开方数。

2、同类项：所含________相同，并且相同字母的指数也______的项，叫做同类项。

3、合并同类项：把同类项合并成_______叫做合并同类项。

合并同类项时，把同类项的系数________，所得的和作为系数，字母和字母的指数__________。

4、阅读教材：第七节《二次根式》（三）二、教材精读5、同类二次根式的概念例1下列代数式中，是同类项的有哪些？（1）；a 2 （2）;43a （3）)0(2≥a a ； （4）;83-归纳：同类二次根式：化为 二次根式后被开方数 的二次根式。

实践练习：在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A 、243与；B 、232与；C 、123与；D 、1812与。

6、合并同类二次根式例2计算3312-归纳：合并同类二次根式的法则：系数 作结果的系数，根号及被开方数 。

实践练习：下列计算中，正确的是（ ）A 、;b a b a +=+B 、;23=-a aC 、;5942188=+=+D 、643833=。

7、二次根式加减化简例3计算（1）;232233-+- （2）25083+-。

归纳：二次根式加减法法则：二次根式相加减，应先把各个二次根式化为______________，然后合并（合并_____________二次根式）。

实践练习：计算（1）12183127--； （2）1.025240+-。

归纳：二次根式的加减与整式的加减相类似，只需对 二次根式进行合并。

二次根式导学案以下是查字典数学网为您推荐的二次根式导学案，希望本篇文章对您学习有所帮助。

二次根式导学案一.学习目标：1.了解并熟记二次根式的概念，理解二次根式的意义并能确定被开方数中字母的取值范围;2.理解公式(a)2=a(a0)，并能利用公式进行一般的二次根式的化简.二.学习重点：二次根式的定义.学习难点：二次根式的性质 .三.教学过程想一想：1.平方根的定义： .2.一个正数有个平方根，它们 ;0的平方根是 ;负数 .3.算术平方根的定义： .算一算：1.圆的面积为S，则圆的半径是 .2.正方形的面积为b-3，则边长为 .3.在Rt△ABC中，B=90.若AB=50m，BC= m，则AC= m对上面各题的结果，你能发现它们有什么共同的特征吗? 定义: 一般地，式子_____(a0)叫做二次根式，a叫做___________, 称为二次根号.二次根式应满足两个条件：① ;② .试一试：1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式?2、、1x、x (x0)、-12、0、a2+5、-5、1x+y、x+y (x0，y0)、xy.2.a取何值时,下列二次根式有意义.(1)a+1 (2) 1-10a (3)1a-3 (4)a2+1 (5)-(3-a)2 (6)x-1+1-x 议一议：①-1有算术平方根吗?② 0的算术平方根是多少?③ 当a0时，a有意义吗?为什么?④ 当a0，a可能为负数吗?为什么?所以，你得出的结论是：a .(a ) .动一动：1.已知1+x+5-y=0，则x+y的值为 .2.(10 广安)若x-2y+y+2=0，则xy的值为 .3.(11 内蒙古) ，则xy= .4.(11 日照)已知x，y为实数，且满足 =0，那么x2019-y2019= .二次根式性质的探索：22=4，即(4)2= 4; 32=9，即(9)2= 9，同样地，(2)2= 2，(5)2= 5，你能用一般式来表示这样的规律吗?Ⅰ.计算.(-5)2=_______; (2a)2 =_______ ; (32)2=_______; (ab)2 =_______;(23)2= _______;(72)2 =________; (a2)2 =______;(a2+b2)2 =______.Ⅱ.把下列各非负数数写成一个正数的平方形式.(1)3; (2)5; (3)9y2; (3)2x2.四.课内反馈：1.下列式子中，是二次根式的是 ( )A.-7B.C.xD.x2. 下列说法中，正确的是 ( )A.带根号的式子一定是二次根式B.代数式x2+1一定是二次根式C.代数式x+y一定是二次根式D.二次根式的值必是无理数3. 要使下列式子有意义，x的取值范围是什么?(1) ; (2) ;(3) ; (4) .4. 已知，则x+y= ;化简 =_______.5. 计算：①(-3)2 -(-32)2; ②(2)2-16+(-5)2;③(32)2-6179+( ④ (a+b)2-(a-2b)2 (a+b0，a-2b0) .6. 若二次根式有意义，化简│x-4│-│7-x│.课外延伸：1. 若 + 有意义，则 =_______.2.使式子有意义的未知数x有 ( )A.0个B.1个C.2个D.无数个3.(10 绵阳)要使有意义，则x应满足 ( )A.123B.x3且x12C. 124.(10 茂名)若代数式有意义，则x的取值范围是 ( )A.x1且x2B.x1C.x2D.x1且x25.(10 荆门)若a、b为实数，且满足│a-2│+ =0，则b-a 的值为 ( )A.2B.0C.-2D.以上都不对6.(11济宁)若，则的值为 ( )A.1B.-1C.7D.-77.(11 宜宾)根式中x的取值范围是 ( )A.x3B.x3C.x3D.x38.(11 滨州)若二次根式有意义，则的取值范围为 ( )A. x12B. x12C. x12D. x129.(11 菏泽)使有意义的x的取值范围是 .10. (11 黄冈)要使式子a+2 a有意义，则a的取值范围为_____________________.11. (11 荆州)若等式成立，则x的取值范围是 .12.(10 益阳)已知，求代数式的值.13.已知a、b为实数，且 +2 =b+4，求a、b的值.查字典数学网。