计算方法习题

左边 （ ）- 右边 证明：当 m=0 时
∑∞
= T0 h
T=
∆ i
h
2i
=
i=1
设 时等式成立，即 （ ）- m=k
Tk h
∑∞
T=
∆ h (k ) 2k +2i i
i =1
当 时 m=k+1
∑ ∑ Tk+（1 h）-T=
4k
+1Tk
(
h 2
)
−
Tk
(h)
4k +1 −1
−T=
4k +1[T
+
∞ i =1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1.5 1.44444 1.47929 1.456976 1.47108 1.46209 1.46779 1.4416 1.46647
9 1.4650
10
11
1.46593 1.4653
x* ≈ 1.466
迭代公式（2）：
k
0
xk
1.5
12 1.46572
13 1.46548
14 1.46563
xk +1
=
ln(4 − xk ln 2
)
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
xk 1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386 1.386
x* ≈ 1.386
2. 方程 x3 − x2 −1 = 0 在 x = 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：

(4.5)(0.01172)

0.00879
（2）采用 Newton 插值多项式 y x N2(x) 根据题意作差商表：
i
xi
0
4
1
6.25
f (xi ) 2 2.5
一阶差商 2 9
2
9
3
2 11
二阶差商 4 495
N2 (7) 2 29 (7 4) ( 4 495) (7 4) (7 6.25) 2.6484848

1
e2
则根据二次Lagrange插值公式得：
L2 (x)

(x ( x0

x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0

(x ( x1

x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y1

(x ( x2

x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
y2
2(x 1)(x 0.5) 2x(x 0.5)e1 4x(x 1)e0.5
8. 求作 f x xn1 关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值多项式，并利用
插值余项定理证明
n
n
xin1li 0 1n xi
i0
i0
式中 li x 为关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值基函数。
2 02 12 4 23 4 04 14 2 3
1 x2 3x 2 x 4 3x x2 6x 8 23 x x2 5x 4 1 x x2 3x 2
8
4
8

计算方法第三章习题答案计算方法第三章习题答案计算方法是一门涵盖了数值计算和计算机编程的学科，它在现代科学和工程中扮演着重要的角色。

第三章是计算方法课程中的重要章节，主要涉及到数值计算中的误差分析和插值方法。

本文将为大家提供第三章习题的详细答案，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

1. 误差分析误差分析是计算方法中非常重要的一部分，它帮助我们理解和评估数值计算中的误差来源。

以下是一些常见的误差类型：- 绝对误差：绝对误差是指数值计算结果与真实值之间的差异。

它可以通过计算两者之差来得到。

- 相对误差：相对误差是指绝对误差与真实值之间的比值。

通常以百分比的形式表示。

- 截断误差：截断误差是由于在计算过程中舍入或截断数字而引入的误差。

它通常是由于计算机的有限精度导致的。

- 舍入误差：舍入误差是由于将无限位数的小数截断为有限位数而引入的误差。

它通常是由于计算机的有限精度或计算方法的近似性质导致的。

2. 插值方法插值方法是一种用于通过已知数据点来估计未知数据点的技术。

以下是一些常见的插值方法：- 线性插值：线性插值是一种简单的插值方法，它假设两个已知数据点之间的未知数据点的取值在直线上。

通过已知数据点的斜率和截距，我们可以计算出未知数据点的值。

- 拉格朗日插值：拉格朗日插值是一种使用多项式来逼近已知数据点的方法。

它通过构造一个满足通过已知数据点的多项式来估计未知数据点的值。

- 牛顿插值：牛顿插值是一种使用差商来逼近已知数据点的方法。

它通过构造一个满足通过已知数据点的差商多项式来估计未知数据点的值。

3. 习题答案以下是一些第三章习题的答案，供大家参考：- 习题1：已知函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在[a, b]上的导数存在且连续，证明存在一点c∈(a, b)，使得f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)。

这是拉格朗日中值定理的一个特例，根据定理的条件，我们可以得到上述结论。

- 习题2：已知函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在(a, b)内可导，证明存在一点c∈(a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

《计算方法》习题习题一1． 设85.9,64.3,23.1321===x x x 均准确到末位数字，试估计由这些数据计算321x x x +的相对误差。

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----417021215322235232314321x x x x 4． 用追赶法解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111141001410014100144321x x x x 5． 设方阵⎫⎛7871010．设A 为非奇异方阵，B 是任一奇异方阵，则11-≥±A BA11．若1<A ，则AA A I I -≤---1)(112．证明AB A A BA B -≤----)(111cond讨论以上方法在区间]6.1,3.1[上的敛散性，并选出收敛速度最快的迭代公式求根。

6． 用二分法求01.175.36.3)(3=-+-=x x x x f 在]3,0[∈x 上所有的根。

习题四1． 取T )0,0,0()0(=x分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组，要求保留四位有效数字。

（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--1052151023210321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-12423311420238321321321x x x x x x x x x1． 取T )1,1,1()0(=x，用幂法求方阵A 的按模最大的特征根以及相应的特征向量。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=361641593642A2． 已知对称三对角方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2100121001210012A 在区间]0,2[-内有多少个特征根？=⎪⎩+=-i n n n j x x x 010.1,)1( 4．设)(x f 为x 的n 次多项式，证明：当n k >时，0],,,[10=k x x x f 。

取 计算结果列于下表，并和 比较得出结果，
0
1
2
3
2
1.888889
1.879452
1.879385
解得
用弦截法求解
取
依迭代公式为 进行计算。
计算结果列于下表，并和 比较
0
1
2
3
4
2
1.9
1.881094
1.879411
1.879385
解得
用抛物线法求解
则
故 则根号前的符号为正。
迭代公式为
取 计算
10.设
（3）如果要求截断误差不超过 ，那么使用复化Simpson公式计算时，应将积分区间分成多少等分？
解：(1)
= ,
当误差 时， 25.6,所以取 =26。
（2）
7．推导下列三种矩形求积公式：
证明： 将 在 处Taylor展开，得
两边在 上积分，得
将 在 处Taylor展开，得
两边在 上积分，得
将 在 处Taylor展开，得
（1）
依Taylor公式有
代人式（1）右端，则有
另一方面，
故隐式Euler格式的局部截断误差为
可见隐式Euler格式 是一阶方法。
证明 ：对于Euler两步格式 ： ，考察局部截断误差
，仍设 则有
注意到
于是
而
因此有
即Euler两步格式 是二阶方法。且其主项系数是2。
特别地，当 时，有
而当 时有
5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的 插值多项式和 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
0
1
2
4
1
9
23
3
解：

计算方法第二版课后练习题含答案前言本文将为大家提供计算方法第二版课后练习题的答案，旨在帮助读者更好地学习和掌握计算方法的知识。

本文全部内容均为作者整理，尽可能保证每一题的答案正确性。

读者可以借助本文的答案，检验自己的练习成果，加强对计算方法知识的理解和掌握程度。

同时，读者也应该注意切勿直接复制答案，本文的答案仅供参考，希望读者能够通过自己的思考和探索，获得更深层次的学习感悟。

第一章引论1.1 计算方法的基本概念和思想练习题 1写出计算方法的三要素，并分别简要解释。

答案计算方法的三要素为：模型、算法、误差分析。

•模型：计算方法所涉及的实际问题所对应的数学模型，是解决问题的基础；•算法：根据模型，构造相应的计算程序，即算法；•误差分析：计算结果与实际应用中所需的精度之间的差异，称为误差。

误差分析是对计算结果质量的保障。

1.2 算法的误差练习题 2写出二分法算法，并解释其误差。

答案算法：function binarySearch(a, target) {let low = 0;let high = a.length - 1;while (low <= high) {let midIndex = Math.floor((low + high) / 2);let midValue = a[midIndex];if (midValue === target) {return midIndex;} else if (midValue < target) {low = midIndex + 1;} else {high = midIndex - 1;}}return -1;}误差:二分法算法的误差上界为O(2−k)，其中k为迭代次数。

在二分法被成功应用时，k取决于与目标值x的距离，即 $k=\\log _{2}(\\frac{b-a}{\\epsilon})$，其中[a,b]是区间，$\\epsilon$ 是目标值的精度。

根号计算的练习题根号（√）是数学中常常出现的符号，用来表示求平方根。

在数学中，我们经常需要进行根号计算，因此掌握根号的计算方法和技巧是非常重要的。

本文将为大家提供一些根号计算的练习题，帮助大家巩固和提高根号计算能力。

一、求平方根1. 求解√16答案：42. 求解√25答案：53. 求解√36答案：64. 求解√49答案：75. 求解√64答案：8二、简化根式1. 简化√8答案：√(4 × 2) = 2√2 2. 简化√12答案：√(4 × 3) = 2√3 3. 简化√18答案：√(9 × 2) = 3√2 4. 简化√20答案：√(4 × 5) = 2√5 5. 简化√27答案：√(9 × 3) = 3√3三、根号运算1. 计算√16 + √25答案：4 + 5 = 92. 计算2√3 + 3√3答案：(2 + 3)√3 = 5√3 3. 计算√2 × √8答案：√(2 × 8) = √16 = 4 4. 计算3√5 × 2√5答案：(3 × 2)√(5 × 5) = 6√25 = 305. 计算√27 ÷ √3答案：√(27 ÷ 3) = √9 = 3四、混合运算1. 计算√16 + 3√9答案：4 + (3 × 3) = 4 + 9 = 132. 计算2√3 + √8 - √18答案：2√3 + 2√2 - 3√2 = 2√3 - √23. 计算(√3 + 2) × (√3 - 2)答案：(√3 × √3) - (2 × √3) + (√3 × -2) - (2 × -2) = 3 - 2√3 - 2√3 + 4 = 7 - 4√34. 计算(2 + √5)(2 - √5)答案：(2 × 2) - (2 × √5) + (√5 × 2) - (√5 × -√5) = 4 - 2√5 + 2√5 - 5 = -15. 计算(2 - √3)(2 - √3)答案：(2 × 2) + (2 × -√3) + (-√3 × 2) + (-√3 × -√3) = 4 - 2√3 - 2√3 + 3 = 7 - 4√3通过以上练习题的操作，我们可以学到如何计算根号、简化根式、进行根号运算以及混合运算等技巧。

《计算方法》练习题一练习题第1套参考答案 一、填空题 1．Λ14159.3=π的近似值，准确数位是（ 210- ）。

2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （))((!2)(b x a x f --''ξ ）。

3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （52）。

4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。

5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。

二、单选题1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。

A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+2．设x x x f +=2)(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。

Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ）． Ａ．2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速．Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）.A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o 三、计算题1．求矛盾方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2423212121x x x x x x 的最小二乘解。

22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ϕ，由0,021=∂∂=∂∂x x ϕϕ得：⎩⎨⎧=+=+9629232121x x x x ，解得149,71821==x x 。

2．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰211dx x，并估计误差。

⎰≈++++≈21697.0]217868581[81x dx ， 9611612)(2=⨯≤M x R 。

3．用列主元消元法解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++426453426352321321321x x x x x x x x x 。

第五章习题 1试证明 （1）b a f a b a f a b dx x f ba<<-+-=⎰ξξ),(2)()()()('2答案：因为f(x)=f(a)+f ’(ξ)(x-a) a<ξ<b 所以⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=-+=ba bab abaa b f a b a f dx a x f a b a f dx a x f dx a f dx x f 2)()())(()()())(())(()()(2'''ξξξ（2）b a f a b b f a b dx x f ba<<---=⎰ηη),(2)()()()('2答案：因为f(x)=f(b)+f ’(η)(x-b) 所以2)()())(()()())(())(()()(2'''a b f a b b f dx b x f a b b f dx b x f dx b f dx x f ba bab aba---=-+-=-+=⎰⎰⎰⎰ηηη（3）b a f a b b a f a b dx x f ba<<-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰ςς),(24)(2)()("3答案：因为b a b a x f b a x b a f b a f x f <<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ςς,!22)(222)(2"' 所以dx b a x f dx b a x b a f dx b a f dx x f b a b a bab a !22)(222)(2"'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰⎰ςdx b a x f dx b a x b a f a b b a f dx x f b ab a ba⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=!22)(22)(2)(2"'ς ()24)()(2)(3"a b f a b b a f dx x f ba-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰ς 2．分别用梯形公式和抛物线公式计算下列积分，并比较其结果。

《计算方法》练习题一练习题第1套参考答案一、填空题1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ ）。

2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ）。

3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （ ）。

4．乘幂法是求实方阵（ ）特征值与特征向量的迭代法。

5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ）。

二、单选题1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（ ）。

A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2)(，则=]3,2,1[f （ ）。

Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４3．设Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ ）． Ａ．2πＢ．3πＣ．4π Ｄ．6π4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（ ）敛速．Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ ）.A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o三、计算题1．求矛盾方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2423212121x x x x x x 的最小二乘解。

2．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰211dx x ，并估计误差。

3．用列主元消元法解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++426453426352321321321x x x x x x x x x 。

4．用雅可比迭代法解方程组：（求出)1(x ）。

练习题与答案
练习题一
练习题二
练习题三
练习题四
练习题五
练习题六
练习题七
练习题八
练习题答案
练习题
、是非题
1.x*–12.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限
1210
2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多
3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
2
1x
3.14和3.142作为 的近似值有效数字位数相同
四*、证明题
已知方程f (x)0，试导出求根公式
xk 1xk2[f (xk)]2f (xk) f (xk)
并证明：当x是方程f(x)0的单根时，公式是3阶收敛的。
3．高斯—塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快。
(k 1) (k)
4．||M|| 1是迭代格式x(k1)Mx(k)f收敛的必要条件5*.逐次超松弛迭代法是高斯—赛德尔迭代法的一种加速方法。
方法。
三、选择题
1.解方程组Ax b的迭代格式x（k 1）Mx（k）f收敛的充要条件是（ ）（A）||A|| 1；（B）||M|| 1；
（C）（A）1；（D）（M ）1。
2．幂法的收敛速度与特征值的分布（）
（A）有关；（B）无关；（C）不一定。
3．幂法是用来求矩阵（ ）特征值及特征向量的迭代法。
（A）按模最大；（B）按模最小；
(A).舍入(B).观测(C).模型(D).截断
5．1.41300作为2的近似值，有()位有效数字。
(A)3；(B)4；(C)5；(D)6。
四、计算题
1．3.142，3.141，7分别作为 的近似值，各有几位有效数字？
2． 设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为 多少？

计算方法课后习题答案计算方法课后习题答案计算方法是一门重要的学科，它涉及到数值计算、算法设计和数据处理等方面的内容。

在学习计算方法的过程中，课后习题是不可或缺的一部分。

通过解答习题，我们可以巩固所学的知识，提高自己的计算能力。

下面是一些计算方法课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

对于一个m×n的矩阵A，它的转置记作A^T。

转置后的矩阵A^T的行数和列数分别为原矩阵A的列数和行数。

例如，对于一个3×2的矩阵A，它的转置A^T是一个2×3的矩阵。

2. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是对应位置上的元素进行相加或相减得到的新矩阵。

对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A+B，差记作A-B。

加法和减法的运算规则是相同位置上的元素进行相应的运算。

3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新矩阵的运算。

对于两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB。

矩阵乘法的运算规则是矩阵A的行与矩阵B的列进行相乘，并将结果相加得到新矩阵的对应位置上的元素。

4. 矩阵的逆矩阵的逆是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

如果一个矩阵A存在逆矩阵，则称其为可逆矩阵或非奇异矩阵。

求解矩阵的逆可以使用伴随矩阵和行列式的方法。

5. 线性方程组的求解线性方程组是指由一组线性方程组成的方程组。

求解线性方程组的方法有很多，包括高斯消元法、LU分解法、迭代法等。

其中，高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法，它通过消元和回代的过程，将线性方程组转化为上三角形矩阵或对角矩阵，从而求解出方程组的解。

6. 数值积分的方法数值积分是指通过数值计算的方法来求解定积分的近似值。

常用的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则等。

这些方法都是基于将定积分转化为离散求和的形式，通过计算离散点上的函数值来估计定积分的近似值。

练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1.x*–12.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限1 104( )2 。

2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。

( )3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。

( )x24.1( ) 用2近似表示cosx产生舍入误差。

5.3.14和3.142作为的近似值有效数字位数相同。

()二、填空题34 9y12231.为了使计算x1x1 x1的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为；2. x *–0.003457是x 舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限为，相对误差限为；3. 误差的来源是 ；4. 截断误差为；5.设计算法应遵循的原则是。

三、选择题1．x *–0.026900作为x 的近似值，它的有效数字位数为()。

(A)7； (B)3； (C)不能确定(D)5.2．舍入误差是()产生的误差。

(A) 只取有限位数(B)模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量(D)数学模型准确值与实际值3．用1+x 近似表示e x所产生的误差是()误差。

(A).模型 (B).观测(C).截断(D).舍入* 1 2．用 2 表示自由落体运动距离与时间的关系式(g 为重力加速度)，s t 是在 4s= gt时间t 内的实际距离，则s t s *是（ ）误差。

(A).舍入(B).观测 (C).模型(D).截断5．1.41300作为2的近似值，有()位有效数字。

(A)3； (B)4；(C)5；(D)6。

四、计算题221．3.142，3.141，7分别作为的近似值，各有几位有效数字？2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：1 1 x,|x| 111 dt|x| 1x(1)12x 1 x ，(2)x1t2(3)ex1, |x|1，(4)ln(x21x)x 114．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=2gt2，g为重力加速度。

第一章 绪论一.填空题1.*x 为精确值x 的近似值；()**x f y=为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***rx x e x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅ ()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。

3、 分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取1.73≈（三位有效数字），则-211.73 10 2≤⨯。

4、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。

5、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。

6、已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.000021 .7、递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 .8、精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。

9、 若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。

10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差0.02n 二、计算题1. 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形水池的长为L ，宽为W,深为H ，则该水池的面积为V=LWH当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3) 此时，该近似值的绝对误差可估计为()()()()()()()=V V VV L W H L W HWH L HL W LW H ∂∂∂∆≈∆+∆+∆∂∂∂∆+∆+∆ 相对误差可估计为：()()r V V V∆∆=而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足()()()0.01,0.01,0.01L W H ∆≤∆≤∆≤故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为()()()()()()325*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.5027.501.1*1025000r V WH L HL W LW H V V V -∆≤∆+∆+∆≤++=∆∆=≤=2.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若()()**0.1 0.1a a b b -≤-≤米，米试求其面积的绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形的面积为s=ab当a=110,b=80时，有 s==110*80=8800(米2) 此时，该近似值的绝对误差可估计为()()()()()=b s ss a b a ba ab ∂∂∆≈∆+∆∂∂∆+∆ 相对误差可估计为：()()r s s s∆∆=而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足()()0.1,0.1a b ∆≤∆≤故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为()()()()() 80*0.1110*0.119.019.00.0021598800r s b a a b s s s ∆≤∆+∆≤+=∆∆=≤= 绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。

计算方法课后习题答案在计算方法课程中，学生通常会接触到各种数学问题的求解方法，包括但不限于数值分析、线性代数、微分方程等。

以下是一些课后习题的解答示例：习题一：求解线性方程组设线性方程组为：\[ \begin{align*}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1, \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2, \\\vdots \quad \quad & \ \vdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m,\end{align*} \]解答：使用高斯消元法或矩阵分解法求解上述方程组。

首先将系数矩阵转换为行简化阶梯形式，然后回代求解未知数 \( x_1, x_2,\ldots, x_n \)。

习题二：数值积分给定函数 \( f(x) \)，需要在区间 \( [a, b] \) 上进行数值积分。

解答：可以使用梯形法、辛普森法等数值积分方法。

例如，使用梯形法的公式为：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{2} \left( f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + \cdots + 2f(b-h) + f(b) \right), \]其中 \( h = \frac{b-a}{n} \) 是区间的等分宽度，\( n \) 是等分数。

习题三：常微分方程的数值解给定一个常微分方程 \( y' = f(x, y) \)，初始条件为 \( y(x_0) = y_0 \)。

解答：使用欧拉法或龙格-库塔法求解。

以欧拉法为例，其迭代公式为：\[ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n), \]其中 \( h \) 是步长，\( x_{n+1} = x_n + h \)。

2.1 证明方程043=-+x x 在区间[1,2]内有且仅有一个根。

如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对分多少次？(不必求根) 14,10log 4,10210211021212||2451*11=≥>⨯=⨯=<=---++K k a b k n m k k ε 2.2 用二分法求方程0134=+-x x 在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求21021-⨯=ε。

k a b x f(x)0 0.300 0.350 0.325 0.0361 0.325 0.350 0.337 0.0002 0.337 0.350 0.344 -0.0173 0.337 0.344 0.341 -0.0084 0.337 0.341 0.339 -0.004x=0.3392.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求210-=ε2.3-1 x=0.645 2.3-2x=1.78 2.3-3x=1.13 2.3-4 x=0.9182.4 考虑方程032=-x e x ，将其改写为3xe x ±=，取00=x ，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附近的两个根(取精度要求310-=ε) (1) 910840.0,0.13*0===x x e x x， k x g(x)0 0.951890 0.9292651 0.929265 0.9188122 0.918812 0.9140223 0.914022 0.9118364 0.911836 0.9108405 0.910840 0.910386(2) 459075.0,5.03-*0-=-==x x e x x， k x g(x)0 -0.449641 -0.4611061 -0.461106 -0.4584712 -0.458471 -0.4590753 -0.459075 -0.4589362.5 为求方程0123=--x x 在5.1=x 附近的一个根，建立下列形式的迭代公式：(1) 2121111kk x x x x +=⇒+=+，； )7.1,3.1(,7.1)(3.1∈≤≤x x g)7.1,3.1(,191.0/2)(3∈<≤='x x x g ，收敛，1.489(2) 3212311k k x x x x +=⇒+=+，；)2,1(,2)(1∈≤≤x x g)2,1(,1)1(61)(3/22∈<+='x x x x g ，收敛，1.465 (3) 111112-=⇒-=+k k x x x x ， )6.1,4.1(,107.1)1(21)(2/3∈>≥-='x x x g ，发散 2.6 考虑用迭代法求解下列方程： (1) )2(312x e x x +-=- 0.608 (2) x x -=50.467 (3) 27475.1--+=x x x 6 2.7 用迭代法的思想，给出求22222+++++ 的迭代公式，并证明：222222lim =+++++∞→nn 。