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![小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全[1]](https://img.taocdn.com/s1/m/e685617852d380eb63946d5c.png)
小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解日字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由2个并排的正方形格子组成。
目字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个并排的正方形格子组成。
3-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个组成L形状的格子组成。
4-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成L形状的四个格子组成，一边长一边短。
凸字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“凸”字形状的四个格子组成。
田字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“田”字形状的四个格子组成。
完全覆盖的定义：用规定形状的标准单元去铺盖指定的方格棋盘，无重复无遗漏，则称该棋盘被所用的标准单元完全覆盖。
一系列的小题目，从易到难，慢慢培养解题水平。
更复杂的染色覆盖问题，往往需要涉及到用多种颜色实行染色，下面的题目仅有一个需要这种技巧。
题1：M×N的棋盘存有日形覆盖，当且仅当M,N中至少有一个为偶数。
题2：一个5×7的棋盘，去掉第二行第四列上的小方格之后，剩下部分有日形覆盖。
题3：如果m*n不能被3整除，则m*n的棋盘不可能有3-L覆盖。
题4：若M,N都是奇数，则去掉任何一个方格，剩余的部分不存有日字形覆盖。
题5：证明，一个8*8的棋盘不可能用15个凸形块和一个田字形块覆盖。
题6：证明，一个8*8的棋盘去掉左上角和右下角的两个方格后，剩下的62个方格不可能实现日形覆盖。
题7：一个3*7的棋盘，用红、蓝两种颜色染色，证明，总有四个同色的方格位于一个长方形的四个角上。
题8：一个3*7的棋盘不存有3-L覆盖。
提示：本题目需要用多种颜色染色。
题9：若m*n的棋盘能够实现4-L覆盖，证明m*n能够被8整除。
题10：7*9的棋盘中，挖去位于第四行，第六列的小方格，证明剩下的部分能够实现日形覆盖。
题11：在6*6的正方形棋盘上的各个小方格上，分别写上从1到36的36个数，要求相邻成“凸”字形的四个方格内的数字之和都为偶数，存有这种可能吗？题12：假定8*8的棋盘是用64个正方形马赛克组成，每个马赛克能够翻动，而且每个马赛克正反两面一个为白色，一个为黑色。
小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解日字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由2个并排的正方形格子组成。
目字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个并排的正方形格子组成。
3-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个组成L形状的格子组成。
4-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成L形状的四个格子组成，一边长一边短。
凸字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“凸”字形状的四个格子组成。
田字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“田”字形状的四个格子组成。
完全覆盖的定义：用规定形状的标准单元去铺盖指定的方格棋盘，无重复无遗漏，则称该棋盘被所用的标准单元完全覆盖。
一系列的小题目，从易到难，慢慢培养解题水平。
更复杂的染色覆盖问题，往往需要涉及到用多种颜色实行染色，下面的题目仅有一个需要这种技巧。
题1：M×N的棋盘存有日形覆盖，当且仅当M,N中至少有一个为偶数。
题2：一个5×7的棋盘，去掉第二行第四列上的小方格之后，剩下部分有日形覆盖。
题3：如果m*n不能被3整除，则m*n的棋盘不可能有3-L覆盖。
题4：若M,N都是奇数，则去掉任何一个方格，剩余的部分不存有日字形覆盖。
题5：证明，一个8*8的棋盘不可能用15个凸形块和一个田字形块覆盖。
题6：证明，一个8*8的棋盘去掉左上角和右下角的两个方格后，剩下的62个方格不可能实现日形覆盖。
题7：一个3*7的棋盘，用红、蓝两种颜色染色，证明，总有四个同色的方格位于一个长方形的四个角上。
题8：一个3*7的棋盘不存有3-L覆盖。
提示：本题目需要用多种颜色染色。
题9：若m*n的棋盘能够实现4-L覆盖，证明m*n能够被8整除。
题10：7*9的棋盘中，挖去位于第四行，第六列的小方格，证明剩下的部分能够实现日形覆盖。
题11：在6*6的正方形棋盘上的各个小方格上，分别写上从1到36的36个数，要求相邻成“凸”字形的四个方格内的数字之和都为偶数，存有这种可能吗？题12：假定8*8的棋盘是用64个正方形马赛克组成，每个马赛克能够翻动，而且每个马赛克正反两面一个为白色，一个为黑色。
数学趣味棋盘游戏教案引言：数学是一门既有趣又具挑战性的学科。
为了激发学生对数学学习的兴趣，我们设计了一款数学趣味棋盘游戏。
通过这个游戏，学生可以在娱乐中体验到数学的乐趣，并锻炼他们的逻辑思维和问题解决能力。
本文将介绍这个游戏的规则和教学方法。
一、游戏规则：1. 游戏所需材料：棋盘、棋子、两个骰子。
2. 每个玩家轮流掷两个骰子，并根据点数移动自己的棋子。
3. 棋盘上的每个格子都有一个数学问题，玩家必须回答问题才能进行移动。
4. 答对问题的玩家可以按照骰子点数移动相应的步数，答错问题的玩家则不能移动。
5. 当一位玩家到达终点时，游戏结束。
二、教学方法：1. 引导学生了解游戏规则，并分组进行游戏。
2. 在游戏开始前，老师可以设计一些简单的数学问题作为示范，并解答问题。
这有助于提高学生对游戏的兴趣，并让他们更好地理解游戏规则。
3. 让学生自己设计一些数学问题，并将这些问题分配到棋盘的格子里。
这样既可以让学生参与到游戏的设计中，也能提高他们的问题创造能力和数学知识运用能力。
4. 在游戏过程中，老师可以提供一些提示和指导，帮助学生解决问题。
同时，也可以鼓励学生互相合作，共同解决难题。
5. 游戏结束后，老师可以组织学生进行讨论，总结游戏中遇到的问题和解决方法。
这有助于加深学生对数学知识的理解，并促进他们的思考和交流能力的发展。
三、教学目标：通过这个数学趣味棋盘游戏的教学，我们希望实现以下几个目标：1. 激发学生对数学学习的兴趣，培养他们主动学习的能力。
2. 提高学生的逻辑思维和问题解决能力。
3. 加深学生对数学知识的理解和掌握。
4. 培养学生合作与交流的能力。
结语：数学趣味棋盘游戏是一种创新的教学方法，它能够将数学知识与游戏娱乐相结合，为学生提供一个积极、愉快的学习环境。
通过这个游戏，学生可以在轻松愉快的氛围中学习数学，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
相信通过这个游戏的教学，学生将更加热爱数学，并在数学学习中取得更好的成绩。
棋盘覆盖问题问题描述：在一个2k×2k（k≥0)个方格组成的棋盘中,恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为特殊方格.显然，特殊方格在棋盘中出现的位置有4k中情形，因而有4k中不同的棋盘，图（a）所示是k=2时16种棋盘中的一个。
棋盘覆盖问题要求用图（b）所示的4中不同形状的L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且热河亮哥L型骨牌不得重复覆盖.问题分析：K〉0时，可将2k×2k的棋盘划分为4个2k-1×2k-1的子棋盘。
这样划分后,由于原棋盘只有一个特殊方格，所以，这4个子棋盘中只有1个子棋盘中有特殊方格，其余3个子棋盘中没有特殊方格。
为了将这3个没有特殊方格的子棋盘转化成为特殊棋盘，以便采用递归方法求解，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小的棋盘的会合处，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。
递归地使用这种划分策略，直至将棋盘分割为1×1的子棋盘。
问题求解：下面介绍棋盘覆盖问题中数据结构的设计。
（1）棋盘:可以用一个二维数组board[size］[size］表示一个棋盘,其中size=2k。
为了在递归处理的过程中使用同一个棋盘，将数组board设为全局变量。
（2）子棋盘：整个棋盘用二维数组board[size］［size]表示，其中的子棋盘由棋盘左上角的下标tr、tc和棋盘大小s表示。
（3）特殊方格：用board[dr］［dc］表示特殊方格，dr和dc是该特殊方格在二维数组board中的下标。
（4）L型骨牌：一个2k×2k的棋盘中有一个特殊方格，所以，用到L型骨牌的个数为(4k-1）/3，将所有L型骨牌从1开始连续编号，用一个全局变量tile表示。
图(a)C语言源码：/*author: 彭洪伟*studentID：0950310006＊class:计科1班*problem：分治法解决棋盘覆盖问题*/#include <stdio.h>＃include 〈math.h〉int tile=1; //记录骨牌的型号int board[20]［20]={0｝; //存储棋盘被覆盖的情况void ChessBoard（int tr，int tc,int dr，int dc，int size）{ //tr和tc是棋盘左上角的下标,dr和dc是特殊方格的下标，size是棋盘的大小int t=0;int s；if (size==1）return;t=tile++;s=size/2； //划分棋盘//覆盖左上角棋盘if (dr〈tr+s&＆dc〈tc+s） //特殊方格在棋盘的左上角ChessBoard（tr,tc，dr，dc,s）;else｛board[tr+s-1］[tc+s—1］=t；ChessBoard（tr，tc,tr+s—1，tc+s—1，s）；｝//覆盖右上角棋盘if （dr<tr+s＆&dc>=tc+s) //特殊方格在棋盘的右上角ChessBoard（tr，tc+s,dr，dc，s）;else{board［tr+s—1]［tc+s］=t;ChessBoard(tr，tc+s,tr+s—1，tc+s，s);}//覆盖左下角棋盘if （dr>=tr+s＆＆dc<tc+s）//特殊方格在棋盘的左下角ChessBoard(tr+s,tc，dr,dc，s);else｛board[tr+s][tc+s—1］=t;ChessBoard（tr+s，tc,tr+s,tc+s—1，s）;}//覆盖右下角棋盘if (dr>=tr+s&＆dc〉=tc+s) //特殊方格在棋盘的右下角ChessBoard(tr+s,tc+s，dr，dc，s);else｛board［tr+s][tc+s］=t；ChessBoard（tr+s，tc+s，tr+s，tc+s,s);｝}int main（）｛int k，x，y;printf（"请输入棋盘的规模K：")；scanf("%d”,＆k);printf（"请输入特殊方格的下标x,y:"）;scanf（"%d %d”,&x，&y）；ChessBoard(0,0,x，y，pow（2，k))；for(int i=0; i〈pow(2,k)； i++）｛for (int j=0； j<pow(2，k); j++){printf(”％—4d"，board［i]［j］)；｝printf("\n”）;}return 0;｝运行结果截图：。
《棋盘游戏》教案棋盘游戏教案教学目标本次教学的目标是让学生掌握棋盘游戏的基本规则和策略，提高逻辑思维和决策能力。
教学内容棋盘游戏简介棋盘游戏是一种双人对弈的桌游，玩家通过在棋盘上移动棋子，以占领或堵截对方棋子为目的的游戏。
常见的棋盘游戏包括五子棋、象棋、围棋等。
棋盘游戏规则本次教学将以五子棋为例，介绍棋盘游戏的基本规则。
如下：1. 棋盘五线棋盘，共有15 格横向和纵向的线条，交点处为棋盘格子，共 225 个。
2. 棋子黑白双方各有一组棋子，黑方先手。
棋子放在格点上，棋子不能放在已有的棋子上。
3. 走棋黑方先手，每方交替落子，落子后不能移动。
4. 获胜条件先在横、竖、斜线上形成连续的五个相同颜色的棋子的一方获胜，若棋盘已无空格且无一方获胜，则为平局。
棋盘游戏策略本次教学将介绍两种基本的棋盘游戏策略。
1. 防守为主在游戏初期，应尽量堵截对方的棋子，避免对方形成连续的五子。
同时，也要确保自己的棋子不被对方堵住。
2. 进攻为辅当自己的棋子形成一些有威胁的局面时，应适当发起攻击，迫使对方进行防守。
教学方法本次教学采用讲解和演示相结合的方式进行。
通过讲解规则和策略，结合实际对弈情形的演示及指导，让学生更好地掌握棋盘游戏的基本技能。
教学评价教学评价采用“两位评委+自评”的方式，评价指标包括规则掌握情况，棋盘控制能力，思考时间和决策质量等。
教学反思本次教学通过简明扼要地介绍了五子棋的基本规则和策略，在教学中也涉及到了人机对战等内容，突出了互动性和趣味性。
不足之处在于让学生实战机会较少，希望在以后的教学中能够加强实战操作。
覆盖规律教学设计教案第一章：引入覆盖规律概念1.1 教学目标让学生理解覆盖规律的基本概念。
让学生掌握覆盖规律的应用方法。
1.2 教学内容介绍覆盖规律的定义和意义。
解释覆盖规律在实际生活中的应用。
1.3 教学步骤1. 引入覆盖规律的概念，让学生思考为什么需要覆盖规律。
2. 通过实例解释覆盖规律的定义和意义。
3. 引导学生思考覆盖规律在实际生活中的应用，如地图、网络等。
1.4 教学评估学生能够准确回答覆盖规律的定义和意义。
学生能够举例说明覆盖规律在实际生活中的应用。
第二章：覆盖规律的图形表示2.1 教学目标让学生掌握覆盖规律的图形表示方法。
让学生能够通过图形来理解和应用覆盖规律。
2.2 教学内容介绍覆盖规律的图形表示方法，如网格图、线段图等。
解释不同图形表示方法的特点和应用。
1. 引入覆盖规律的图形表示方法，让学生理解图形的意义。
2. 通过实例展示不同图形表示方法的特点和应用。
3. 让学生通过图形来解决实际问题，加深对覆盖规律的理解。
2.4 教学评估学生能够准确回答覆盖规律的图形表示方法。
学生能够通过图形来解决实际问题。
第三章：覆盖规律的计算3.1 教学目标让学生掌握覆盖规律的计算方法。
让学生能够运用覆盖规律进行计算和解决问题。
3.2 教学内容介绍覆盖规律的计算方法，如线性计算、面积计算等。
解释不同计算方法的应用和意义。
3.3 教学步骤1. 引入覆盖规律的计算方法，让学生理解计算的意义。
2. 通过实例展示不同计算方法的应用和意义。
3. 让学生通过实际问题来运用覆盖规律进行计算。
3.4 教学评估学生能够准确回答覆盖规律的计算方法。
学生能够运用覆盖规律进行计算和解决问题。
第四章：覆盖规律的应用让学生理解覆盖规律在不同领域的应用。
让学生能够将覆盖规律应用到实际问题中。
4.2 教学内容介绍覆盖规律在不同领域的应用，如网络、地图、物流等。
解释不同应用场景中覆盖规律的作用和意义。
4.3 教学步骤1. 引入覆盖规律在不同领域的应用，让学生思考其作用和意义。
棋盤的5−L形覆蓋馮躍峰1.引言m×n棋盤的覆蓋,在工程技術、生產生活實際中都有著廣泛的應用,因而引起了人們的研究興趣,所謂m×n棋盤,就是由m行n列方格排列而成的一個m×n矩形(橫向為行,縱向為列),簡稱棋盤,每個方格稱為棋盤的格。
所謂棋盤的覆蓋,就是用若干個圖形去覆蓋m×n棋盤。
覆蓋棋盤的每個圖形也由若干個方格組成,我們稱之為覆蓋形,在棋盤的覆蓋中,約定任何兩個覆蓋形互不重疊,且任何一個覆蓋形的每一個格都恰蓋住棋盤的一個格,棋盤的每一個格也恰被某個覆蓋形的一個格覆蓋。
比如,圖1中的6×6棋盤被一個2×2正方形和4個2×4矩形覆蓋,圖2中的7×10棋盤被7個2×5矩形覆蓋。
圖1圖2覆蓋棋盤的圖形可以是正方形、長方形,還可以是其他非規則形狀的圖形。
本文討論的是一種特殊形狀的圖形—“K−L形”覆蓋棋盤的有關結果,為了敘述問題方便,我們先給如下一些定義。
定義1:由k(k>3)個方格組成的形如圖3的圖形稱為k−L形。
拐角處的兩個方格稱為k−L形的頂格,另外的連續k−2個方格稱為底格。
顯然,一個k−L形可以看作是由一個2×(k−1)矩形去掉一個1×(k−2)矩形得到的,我們稱那個被去掉的1×(k−2)矩形所覆蓋的區域為k−L 形的內部。
頂格{k−2底格5758數學傳播23卷1期民88年3月圖3定義2:在棋盤的k−L形覆蓋中,若某個k−L形的底格是橫(縱)向排列的,則稱此k−L形在覆蓋中是橫(縱)向覆蓋的,並稱此k−L形所覆蓋的方格是被橫(縱)向覆蓋的。
對給定的自然數k,尋找m×n棋盤存在k−L形覆蓋的充要條件,是一個難度相當大的問題。
1987年,薛通和王元元在[1]中共同解決了k=3,4的特殊情形,即下面的定理1:m×n棋盤存在“3−L形”覆蓋的充分必要條件是(m,n)或(n,m)為(i)(2s,3t),s,t≥1,或(ii)(2s+1,3t),s,t≥2。
小学六年级奥数教案一15棋盘的覆盖
本教程共30讲
棋盘的覆盖
同学们会下棋吗？下棋就要有棋盘，下面是中国象棋的棋盘（图1）, 围棋棋盘（图2）和国际象棋棋盘（图3）。
用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。
实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列 的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。
棋盘的覆盖问题可以分为两类：一是能不能覆盖的问题，二是有多少 种不同的覆盖方法问题。
例1要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示 的图形？
分析与解：因为图形由3个小方格构成，所以要拼成的正方形内所含 的小方格数应是3的倍数，从而正方形的边长应是3的倍数。
经试验，不 可能拼成边长为3的正方形。
所以拼成的正方形的边长最少是 6（见右图）， 需要用题目所示的图形
36 - 3= 12 （个）。
F r
I r
图2
例2能否用峠个形如匚□的卡片将左下图覆盖？
分析与解：在五年级学习“奇偶性”时已经讲过类似问题。
左上图共有34个小方格，17个1X 2的卡片也有34个小方格，好象能覆盖住。
我们将左上图黑白相间染色，得到右上图。
细心观察会发现，右上图中黑格有16个，白格有18个，而1X 2的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格，所以17个1X 2的卡片应当盖住黑、白格各17个，不可能盖住左上图。
例3下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。
现在要用这些图形拼成一个4X 7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？
分析与解：先从简单的情形开始考虑。
显然，只用1种图形是可以的, 例如用7个（7）;用2种图形也没问题，例如用1个（7），6个（1）经试验，用6种图形也可以拼成4X 7的长方形（见下图）。
能否将7种图形都用上呢？7个图形共有4X 7=28 （个）小方格，从
小方格的数量看，如果每种图形用1个，那么有可能拼成4X 7的长方形。
但事实上却拼不成。
为了说明，我们将4X 7的长方形黑、白相间染色（见右图），图中黑、白格各有14个。
在7种图形中，除第（2）种外，每种图形都覆盖黑、白格各2个，共覆盖黑、白格各12个，还剩下黑、白格各2
个。
第（2）种图形只能覆盖3个黑格1个白格或3个白格1个黑格, 因此不可能覆盖住另6种图形覆盖后剩下的2个黑格2个白格。
综上所述，要拼成4 X 7的长方形，最多能用上6种图形
例4用1 X 1, 2X2, 3X 3的小正方形拼成一个11X 11的大正方形，最少要用1X1的正方形多少个？
分析与解：用3个2X 2正方形和2个3X 3正方形可以拼成1个5X 6的长方形（见左下图）。
用4个5X 6的长方形和1个1 X 1的正方形可以拼
成1个11X 11的大正形（见右下图）。
上面说明用1个1X 1的正方形和若干2X 2,3X 3的正方形可以拼成
11 X 11的大正方形。
那么，不用1 X 1的正方形，只用2X 2, 3X 3的正方形可以拼成11X 11的正方形吗？
将11X 11的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上图）。
将2X 2 或3X3的正方形沿格线放置在任何位置，都将覆盖住偶数个白格，所以无论放置多少个2X 2或3X3的正方形，覆盖住的白格数量总是偶数个。
但是，右图中的白格有11X 7=77 （个），是奇数，矛盾。
由此得到，不用1X 1的正方形不可能拼成11X 11的正方形。
综上所述，要拼成11X 11的正方形，至少要用1个1 X 1的小正方形
例5用七个1X2的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？
分析与解：盲目无章的试验，很难搞清楚。
我们采用分类讨论的方法。
如下图所示，盖住A所在的小格只有两种情况，其中左下图中①②两个小长方形只能如图覆盖，其余部分有4种覆盖方法：右下图中①②③三个小
长方形只能如图覆盖，其余部分有3种覆盖方法。
所以，共有7种不同覆盖
方法。
例6有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。
用这些硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼
法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）
解：有一个边长3厘米纸片有如下3种拼法：
有两个边长2厘米纸片的有如下4种拼法:
有一个边长2厘米及11个边长1厘米纸片的有2种拼法，边长全是1厘米纸片的有1种拼法。
共有不同的拼法3 + 4 + 2+仁10（种）
答：共有10种不同的拼法。
练习15
1■在4X 4的正方形中，至少要放多少个形如出所示的卡片，才能使得
在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求
卡片的边缘与格线重合）
么下列各图中哪几个能用若干午H□或出拼成？
王能否用9个形如的品卡片麗盖住& x 6的棋盘？
4.小明有8张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下4张连在起的票，其余的送给别人。
他留下的四张票可以有多少种不同情况？
□_A丄
t
5.有若干个边长为1边长为2、边长为3的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）
乩用6个形如田的卡片覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？
7.能不能用9个1X 4的长方形卡片拼成一个6X 6的正方形?
答案与提示练习15
1.3个。
提示：左下图是一种放法。
2.图（2）
提示：图（1）的小方格数不是3的倍数；图（3）的小方格数是3 的倍数但拼不成；图（2）的拼法见右上图。
3.不能。
提示：右图中黑、白格各18个，每张卡片盖住的黑格数是奇数，9 张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能盖住18个黑格。
4.25 种。
提示：形如图（A）（B）（C）（D）的依次有3，10，6, 6种
⑹CB）（C）
5.6 种。
解：用小正方形拼成边长为4的大正方形有6种情形:
（1） 1 个3X 3，7 个1X 1；（2） 1 个2X 2，12 个1 X 1；
（3） 2 个2X 2，8 个1X 1；（4）3个2X 2，4 个1X 1；
（5） 4 个2X 2；（6）16 个 1 X 1。
6.5 种。
提示：盖住A有下图所示的5种方法，其中左下图所示的3种都无法覆盖；下中图中，①放好后，左下方和右上方各有2种放法，共有4种覆盖方法；右下图只有1种覆盖方法。
7.不能。
提示：用1, 2, 3, 4对6X 6棋盘中的小方格编号（见右图）。
一个1X4的矩形一次只能覆盖1, 2, 3, 4号各一个，而1, 2, 3, 4号数目不等，分别有9, 10, 9, 8个。
