当前位置：文档之家 › 8-第八章 黏性流体动力学基础《工程流体力学(第2版)》教学课件

8-第八章 黏性流体动力学基础《工程流体力学(第2版)》教学课件

  • 格式：ppt
  • 大小：1.18 MB
  • 文档页数：107

下载文档原格式

  / 107

合集下载

粘性流体力学.ppt

粘性流体力学.ppt

e

2
dVv

Vv F VdVv
V
Vv
dVv
Vv kT dVv Vv qdVv
(e)
同样，由于流场中各种物理量分布都是连续的，体
积Vv可以任选，故得

D Dt
e

V2 2


F
V


V

+



V


V

=
F
-p
+




V

+


2


对上式等号两边取旋度，得
t
+



V
=

F
-



1
p

+


1



V

+


1


2



又因 + V = V - V+ V - V

e

V2 2
dVv


Vv



D Dt
e

V2 2


1 dVv
e

V2 2

D Dt
dVv



dVv
(b)

Vv

D Dt
e

工程流体力学 教学课件 ppt 作者 周乃君 流体力学第八章粘性流体运动方程及其基本解

工程流体力学 教学课件 ppt 作者 周乃君 流体力学第八章粘性流体运动方程及其基本解

i , j x, y , z
u i 1 u i u j 1 u i u j S ij ij x j 2 x j xi 2 x j xi
Sij即为变形率张量（ εij，应变率张量），γij称为旋转张量。
u z ( x x, y y, z z, t ) u z ( x, y, z , t )
u z u u x z y z z x y z u z ( x, y, z, t ) ( x y y x) xz x yz y zz z
中南大学能源科学与工程学院
10
xx xy xz 定义流体微团的变形率矩阵 yx yy yz zx zy zz
该矩阵是个对称矩阵，每个分量的大小与坐标系的选择 有关，但有三个量是与坐标系选择无关的不变量。它们 I1 xx yy zz 是：
中南大学能源科学与工程学院
7
对于y,z方向的速度分量，也可得到
u y ( x x, y y, z z , t ) u y ( x, y, z , t ) u y x y z u y ( x, y, z, t ) ( z x x z ) xy x yy y zy z x u y y u y z
yx yy yz zy zz zx xy yx xz zx yz zy
中南大学能源科学与工程学院
17
（1）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相 等，等于该点压强的负值。即
xx yy zz p
5
以x方向速度分量为例，由泰勒级数展开，有

工程流体力学(粘性流体动力学基础公式推导)

工程流体力学(粘性流体动力学基础公式推导)

2h
u
x
vw0
U 0
不可压连方
u v w 0, u 0, u u( y)
x y z
x
运动方程
u t
u
u x
v
u y
w
u z
1
p x
2u ( x 2
2u y 2
2u z2 )
26
运动方程
u t
u
u x
v
u y
w
u z
1
p x
2u ( x 2
2u y2
2u z 2
)
简化为
2u y 2
1
p x
13
px
py
pz
3 p
2 ( vx
x
vy y
vz z
)
（８--９）
问题：上式括号内表示什么？
对于不可压缩流体，故有：
p
1 3
(
px
py
pz
)
(8-10)
即对于粘性不可压缩流体，三个互相垂直的法
向应力的算术平均值恰好等于理想流体的压力。
14
将切向应力和法向应力关系式代入（8--5）式得
vx t
vx
Dt
x
y
z
DVz Z 1 ( zx zy pzz )
Dt
x
y
z
（8-5）
单位质量流体的惯性力
单位质量流体的应力
单位质量流体的质量力
这就是应力形式的粘性流体运动微分方程 8
讨论
1.式（８-５）中未知函数:三个速度分量和六个 应力分量；加上连续性方程，只有四个方程，
2.若要求解，需补充方程。
将（ｄ）式代入（ａ）式，经移项后可得

工程流体力学2PPT课件

工程流体力学2PPT课件

Z1
p1
g
Z2
p2
g
24
若质量力仅为重力，根据等压面方程：
axdxaydyazdz0
则有：
azdz 0 Z const
这说明绝对静止流体的等压面为水平面，自由 界面上各点的压力相等，所以自由面为等压面。
25
2.可压缩流体
可压缩流体的密度是随压强变化的，故不能 象不可压缩流体那样进行简单积分，只有知道密 度变化关系后才能积分。假设可压缩流体为气体， 对完全气体的等温过程，有：
19
四、等压面和等压面方程
1.等压面定义 若某连续曲面上各点的压强相等，则称为该
曲面为等压面。不同流体的分界面等皆为等压面， 如自由界面、不同液体的分界面。 2.等压面方程
(4)dx (5)dy (6)dz
p xd x p yd y p zd z(a X d x a yd y a zd z)
p lim P A0 A
3
二、静压强有两个特点
1)．静压强的方向永远沿着作用面的内法线方 向，理由如下：
(1)如果静压强不垂直于作用面，则可分解为正 应力和切应力。根据流体的特点，切应力存在必然 引起相对运动，这与静止液体假设矛盾，故切应力 必须为零。压强垂直于作用面。
4
(2)正应力有拉应力和压应力之分，假如压 强方向与作用面外法线方向一致，那么流体受 到拉力，根据流体特性，流体不能承受拉应力， 只能承受压应力，故压强方向与作用面内法线 方向一致。
ay
p y
0
(5)
az
p z
0
(6)
因此，用矢量表示 ：
axiayjazk p xi p y j p zk 0
a rp0
13

流体力学不可压缩粘性流体动力学基础PPT学习教案

流体力学不可压缩粘性流体动力学基础PPT学习教案

div ( u) 0
x y z 0 x y z
dx dy dz
x y z
第20页/共62页
在给定瞬时，在漩涡场中任取一个不是 涡线的 封闭曲 线，通 过这条 曲线上 每一点 作一根 涡线， 这些涡 线就构 成一个 管状曲 面，称 为涡管 （Vortex Tube）；涡管中充满着作旋涡运动的流 体，称 为涡束 ，或称 为元涡 （Vortex Filament）。 涡通量（Vortex Flux）或旋涡强度（Intensity of Vorticity），以J表示。元涡的 涡通量 为微元 涡的断 面积和 速度涡 量（简 称涡量 ）的乘 积，即
思考题：流体速度分解定理和刚体速 度分解 定理有 何区别 ？
第17页/共62页
§7-3 有 旋 和 无 旋 流动
一、有旋流动及其性质
1、有旋流动
流体微团的旋转角速度在流场内不完全 为零的 流动称 为有旋 流动。 比如大 气中的 龙卷风 、管道 中的流 体运动 、绕流 物体的 表面边 界层及 其尾部 后的流 动等都 是有旋 流动。
x
第12页/共62页
而 所以
根据流体 微团剪 切变形 速度的 定义得
CAB CAB
u y dx dt dx ux dx dt uy dt
（1）
x
x
x
ux dy dt y
dy
u y y
dy dt
u x y
dt
（2）
u y x
ux y
d t
xy
yx
1 2 dt
在流场中，各点不仅存在有流速，形成 流速场 ，而且 也存在 有旋转 角速度 ，形成 旋转角 速度场 ，角速 度数值 大小为
旋转角速度向量的方向规定为沿旋转轴 线按右 手定则 确定。 用矢量 表示 那么定义涡量 为旋转角速度向量的2倍。

工程流体力学+第八章粘性流体绕物体的流动

工程流体力学+第八章粘性流体绕物体的流动

（8－13）
三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程）

如果质量力只有重力作用，用 g 代表重力加速度，不可压缩
粘性流体的运动方程的矢量形式为：
DV g - p 2 v Dt
(8-14)
右端第一项表示单位质量的质量力；第二项代表作用于 单位质量流体的压强梯度力；第三项代表黏性变形应力。
◇作用于微元体个面上的Y、Z轴方向的应力

同理，表面力在y方向的分量为：


y y

zy z

xy x
dxdydz
表面力在z方向的分量为：

z xz yz z x y
dxdydz
★作用在微元体上的表面力

如果用 Px ,
Py 和 Pz
表示单位体积的表面力，则：
上式称纳维－斯托克斯（Naver-Stokes）方程，是粘性 流体运动微分方程的又一种形式。
三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程）

对于不可压流体，其连续方程为： v x v y v z 0 x y z 对于不可压缩粘性流体，粘性体膨胀应力为零，其运动方

程为：
2vx 2vx 2vx Dvx p Fx 2 2 2 x Dt x y z 2 v y 2 v y 2 v y Dv y p Fy 2 2 x 2 Dt y y z 2vz 2vz 2vz Dvz p Fz 2 2 2 x Dt z y z
（8－22）
（8－23）

而切应力的最大值，发生在C（ ＝90°）为：
c 3V / 2r0

粘性流体动力学基础..48页PPT

粘性流体动力学基础..48页PPT

46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
粘性流体动力学基础..
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。

第八章粘性流体动力学基础-武汉理工大学---网络学堂

第八章粘性流体动力学基础-武汉理工大学---网络学堂

第八章 粘性流体动力学基础一、内容小结本章为粘性流体动力学的理论基础部分，主要建立了粘性流体运动的基本微分方程式即 N-S 方程，所采用的方法同欧拉运动微分方程的推导类似，即仍然从牛顿第二定理出发采用微分体积法进行推导。

最后给出了两个特殊情况下N-S 方程的求解。

1．作用于粘性流体上的力：粘性流体的表面力：对于理想流体：表面力垂直作用面，沿内法线方向：P np =−J K Kp=p(x,y,z,t) 是标量，对于粘性流体：表面力即不垂直作用面，且与n K 有关，()n P p n =⋅J K JJ K K是张量。

一点的应力表示xx xy xz ij yxyy yz zxzyzz p p p p ττττττ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦应力： 第一个下标，表示应力作用面的法线；ij p 第二个下标，表示应力所投影的坐标轴。

应力的方向：法应力xxyy p p p zz ：拉为正，压为负。

切应力,,,,,xy yx yz zy zx xz ττττττ：作用面的外法线与坐标轴指向一致时为正。

其中切应力,,xy yx yz zy zx xz ττττττ===(13)xx yy zz p p p p =−++称粘性流体的压力， 与作用面的方位无关。

粘性流体的质量力：与理想流体类似如重力，惯性力等 2．粘性流体应力形式的运动微分方程1()yx x xx zx dV pX dt p x y z ττ∂∂∂=+++∂∂∂1()yxy yy dV p Y dt x y zzyττρ∂∂∂=+++∂∂∂1()yz xz z z p dV Z dt x y zτz τρ∂∂∂=+++∂∂∂矢量形式为：1(yx z p p p dV F dt x y zρ∂∂∂=+++∂∂∂J K J K J K J KJ K方程中未知量为：,,,,,,,,,x y z xx yy zz xy yz zx V V V p p p ρτττ共十个，粘性流体运动微分方程在直角坐标系下有三个方程，加上连续性方程，共四个方程，而未知数十个，因而方程不封闭，求解须补充方程。

粘性流体-PPT

粘性流体-PPT

现在,我们将考虑定常流。例如,若讨论绕固体得流动(为 确定起见,下面我们将讨论这种情况),则来流速度应为常数。 此外还假设流体就是不可压缩得。
在流体动力学方程组(纳维-斯托克斯方程组)里,就表征流
体本身特性得参数而言,只出现运动粘性系数
。还有,求
解这个方程组所必须确定得未知函数就是速度 和 ,这里
类似得,我们可以写出流体中得压力分布公式。为此, 我们必须由参数 和 作出某个量纲为压力除以密度得 量,比如,这个量可以就是 。于就是, 就是无量纲变 量 和无量纲参数R得函数,所以
最后,类似得考虑也可适用于这样一些量:她们描写流
动得特性,但不就是坐标得函数。例如作用在物体上得阻力
F就就是这样一个量。我们可以说,阻力F与用
不难写出周围流体作用于固体表面得力得表达式。 一个面元上所受得作用力恰等于通过这个面元得动量通 量。通过面元 得动量通量就是
把 写成
得形式,这里 就是沿法线得单位
矢量,并考虑到在固体表面上
,我们得到作用在单位
面积上得力 为
其中等式右边第一项就是普通得流体压力,而第二项就是由 于粘性引起得作用在固体表面上得摩擦力。式中 就是单 位矢量,她沿流体界面得外法线,即沿固体表面得内法线。
组成得并具有力得量纲得某个量之比必定只就是雷诺数得
函数。比如,
组合成力得量纲可以就是
。
因而
若重力对流动有重要作用,则流动不就是由三个参数确
定,而就是由
和重力加速度 这四个参数确定。由
这四个参数可构成两个独立得无量纲量,而不就是一个。比
如,这两个量可以就是雷诺数和弗劳德数,弗劳德数为
最后,提一下非定常流。要描述一个确定类型得非定常
第四节 两个旋转圆柱面之间得流动

8-第八章 黏性流体动力学基础《工程流体力学(第2版)》教学课件

8-第八章 黏性流体动力学基础《工程流体力学(第2版)》教学课件

（2）在黏性流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的法向应力之
和一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负
值。即
p xx yy zz
3
（3）在黏性流体中，任意面上的切应力一般不为零。
xy xz 0
广义牛顿内摩擦定理（本构关系）
1、牛顿内摩擦定理启发
牛顿内摩擦定理得到，黏性流体作直线层状流动时，流层之间的 切应力与速度梯度成正比。即
写成矢量形式
u(M
1
)
u(M
0
)
r
•
r
其中，第一项表示微团的平动速度，第二项表示微团转动引起的，
第三项表示微团变形引起的。
定义如下：
流体微团平动速度： ux (x, y, z, t), uy (x, y, z, t), uz (x, y, z, t)
流体微团线变形速度： xx
ux x
, yy
uy(x
x,
y
y,
z
z, t )
uy (x,
y,
z,t)
u y x
x
u y y
y
u y z
z
uy (x, y, z, t) (zx xz) xyx yyy zyz
uz (x
x,
y
y,
z
z, t )
uz (x,
y,
z,t)
uz x
x
uz y
y
uz z
z
uz (x, y, z, t) (xy yx) xzx yzy zzz
Z 1 ( xz yz zz ) duz
x y z dt
du
f
1
dt
dui dt

粘性流体力学 课件

粘性流体力学 课件

N是与阿佛伽得罗常数(Avogadro，6.03×1023)同量级的正整数。 解这样庞大数目的方程组，连同初始条件给定的困难，不难想象。 这条路子是根本无法走通的。
2. 连续介质假设
2.2 解决办法
• 分子动力学是用质点力学和统计学相结合的方法来研究物 质宏观力学和热力学性质的科学。

这一理论确实取得了很大的成就，但是，它目前也只能应用于某 些简单的气体，远不能解决范围十分宽广的流体力学和固体力学 中的大量问题。

1. 物质结构
1.2 物质的微观性质
• 固、液、气的微观性质比较
固体 d0 强 <<1 有序 弱 量子统计 液体 d0 中等 ~1 部分有序 强 量子统计+经典 统计 气体 10 d0 弱 >>1 无序 强 经典统计
分子间距 分子间作用力 分子随机热运动振幅 与d0的比值 分子排列 可运动性(mobility) 需用的统计类型
Repulsion
d0
d
Attraction
• 对于简单分子组成的物质，常温常压下，分子间距的量级

气相分子，d~10d0 液相和固相分子， d~d0
1. 物质结构
1.2 物质的微观性质
• 气体

当d>>d0，分子力为弱相互作用，此时，只要分子的平均动能足够 大，单个分子就能克服邻近分子的吸引力而处于一种自由运动状 态，也就是说分子在邻近分子力场中具有的势能远小于分子本身 具有的动能，势能可以被忽略。 在偶尔的场合下，高能量分子也可能在运动过程中与其他分子十 分靠近，出现分子间短暂的强相互作用，通常，这种偶然出现的 强相互作用过程被称为碰撞 对于分子热运动平均能量高的物质，在分子碰撞以外的绝大部分 时间，分子都处于自由状态，大量分子的自由运动就呈现出高度 混乱的情景，这种宏观状态称作气体

第8章(粘性流体动力学基础2-4)

第8章(粘性流体动力学基础2-4)



g( x)
5
5

x
v
5 Re x
（2）切应力系数：
v x 0 y y 2 y 0
2
v x f ' ' (0) y 0
3
f（ ' 0.2 ） - f（ ' 0 ） f '（ ' 0 ） 0.332 0.2
边界层方程式为：
f ' ''ff ' ' (1 f ' ) 0
2
其中
g d (v g ) dx

g
2

v '
边界条件为：
0, f (0) f ' (0) 0
, f ' ( ) 1
可以证明，当外部势流速度关系式满足指数分布时， 边界层流动具有相似性解，即
vx=0.99v∞的地方可看作是边界层外边缘，可以认
为边界层厚度δ是沿固体表面外法线方向从vx=0
到vx=0.99v∞的一段距离。
2 边界层内的流态也有层流和湍流两种。在边界层 的前部为层流边界层。沿流动方向，随着x增加， 雷诺数增大，当其达到一定数值后，边界层内流 动经过一过渡段后转变为湍流，成为湍流边界层。
边界层的定义：在被绕物体表面上的一
层厚度很小且其中的流动具很大法向梯
度和旋度的流动区域，也称为附面层。
设在速度为v∞的二维定常均匀流场中，放置一块
与流动方向平行的厚度极薄光滑的平板。现讨论
平板一侧的情况。从平板前缘开始形成的流速不
均匀区域就是边界层。
注意： 1 边界层的厚度（几何厚度）δ： 一般规定

《流体力学与流体机械》教学课件—08粘性流体动力学基础

《流体力学与流体机械》教学课件—08粘性流体动力学基础

)
pzx
pxz
2 zx
( vx
z
vz x
)
粘性流体运动时发生线变形，同一空间点不同方 向上的法向应力的大小不同，即
pxx≠pyy≠pzz
在实际问题中，同一点法向应力的各向差异并
不很大，可以取3个方向上法向应力的平均值，
即平均压强
1 p 3 ( pxx pyy pzz )
压强p为正值，而当以作用面的外法 线方向为正向时，正应力为负值
Hale Waihona Puke (pxxpxx x
dx)dydz
pxxdydz
(
pyx
p yx y
dy)dxdz
pyxdxdz
(
pzx
pzx z
dz)dxdy
pzx dxdy
将三式相加，得
( pxx pyx pzx )dxdydz x y z
设作用于六面体的单位质量力在x轴方向上的 分量为fx，则x方向上作用于六面体的质量力 为ρfxdxdydz。
1
ri2
[(0r02
iri2 )r
(0
i
)
ri2r02 r
]
v 1 dp
r dr
p(r )
(r02
ri2 )2
[(0r02
i ri2 )2
r2 2
2ri2r02 (0 i )(0r02 i ri2 ) ln r
ri4r04 2
(0
i )2
1 r2
]
C
第二节 边界层的概念
粘性流体应力形式的运动方程（动量方程）。
应力形式的运动方程式中单位质量力的分量fx、 fy、fz通常是已知的，对于不可压缩均质流体而言， 密度ρ是常数，所以式中包含6个应力分量和3个
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向
表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应
力分量的投影方向。如，对于x面的合应 力可表示 为
y面的合应力表达式为
x xxi xy j xzk
黏性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，流体具有 抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上力既有正向力，也 有切向力。
2、黏性流体中的应力状态
在黏性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点单位面积上的表 面力就不一定垂直于作用面，且各个方向的大小也不一定相等。因此， 作用于任意方向微元面积上合应力可分解为法向应力和切向应力。如果 作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量，其中垂 直于作用面的为法应力，另外两个与作用面相切为切应力，分别平行于 另外两个坐标轴，为切应力在坐标轴向的投影分量。
u y y
, zz
uz z
流体微团角变形速度（剪切变形速度）：
xy
1 2
u y x
ux y
, xz
1 uz 2 x
ux z
,
yz
1 2
uz y
u y z
流体微团旋转角速度：
z
1 2
u y x
ux y
, y
1 ux 2 z
uz x
,
z
1 2
u y x
ux y
3、有旋运动与无旋运动
流体质点的涡量定义为
uy(xLeabharlann x,yy,
z
z, t )
uy (x,
y,
z,t)
u y x
x
u y y
y
u y z
z
uy (x, y, z, t) (zx xz) xyx yyy zyz
uz (x
x,
y
y,
z
z, t )
uz (x,
y,
z,t)
uz x
x
uz y
y
uz z
z
uz (x, y, z, t) (xy yx) xzx yzy zzz
i jk
2 u rotu
x y z
ux uy uz 表示流体质点绕自身轴旋转角速度的2倍。并由涡量是否为零，定义无旋
流动与有旋运动。
4、变形率矩阵（或变形率张量）
在速度分解定理中，最后一项是由流体微团变形引起的，其中 称
为变形率矩阵，或变形率张量。该项与流体微团的黏性应力存在直接关
系。
定义，流体微团的变形率矩阵为
xx xy xz
yx yy yz
zx
zy
zz
该矩阵是个对称矩阵，每个分量的大小与坐标系的选择有关，但有
三个量是与坐标系选择无关的不变量。它们是：
I1 xx yy zz
I2
xx yy
yy zz
xx zz
2 xy
2 yz
第八章 黏性流体动力学基础
流体微团的运动形式与速度分解定理 黏性流体的应力状态 广义牛顿内摩擦定理（本构关系） Navier-Stokes方程 黏性流体运动的能量方程 黏性流体运动的基本性质 黏性流体运动方程组的封闭 边界层近似及其特征 平面不可压缩流体层流边界层方程 平板层流边界层的相似解 边界层的分离现象
在 M 0 (x, y, z)
速度为
ux (x, y, z,t) uy (x, y, z,t) uz (x, y, z,t)
在 M1(x x, y y, z z,t)
点处，速度为 ux (x x, y y, z z,t)
uy (x x, y y, z z,t) uz (x x, y y, z z,t)
以x方向速度分量为例，由泰勒级数展开，有
ux (x x, y y, z z,t)
ux (x,
y,
z,t)
ux x
x
ux y
y
ux z
z
将上式分别加、减下列两项
得到
1 uy y , 1 uz z
2 x
2 x
ux (x x, y y, z z,t)
ux (x,
y, z,t)
ux x
x
ux (x,
y, z,t)
ux x
x
1 2
u y x
ux y
y
1 2
uz x
ux z
z
-
1 2
u y x
ux y
y
1 2
ux z
uz x
z
ux (x x, y y, z z,t) ux (x, y, z, t) ( yz zy) xxx xyy xzz
对于y,z方向的速度分量，也可得到
1 0 0
0
2
0
0 0 3
I1 1 2 3 I2 1 2 23 13 I3 1 23
黏性流体的应力状态
1、理想流体和黏性流体作用面受力差别
流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力和剪力，不具 有抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态下，流体质点之间可以存在 相对运动，但不具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面 上的力只有正向力，无切向力。
流体微团的运动形式与速度分解定理
1、流体微团运动的基本形式
流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转动）与变形运 动（线变形和角变形运动）。
平动
转动
线变形
角变形
2、速度分解定理
德国物理学家 Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流 场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在 流场中，相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给出分解。
写成矢量形式
u(M
1
)
u(M
0
)
r
•
r
其中，第一项表示微团的平动速度，第二项表示微团转动引起的，
第三项表示微团变形引起的。
定义如下：
流体微团平动速度： ux (x, y, z, t), uy (x, y, z, t), uz (x, y, z, t)
流体微团线变形速度： xx
ux x
, yy
2 zx
xx xy xz I3 yx yy yz
zx zy zz
对于第一不变量，具有明确的物理意义。表示速度场的散度，
或流体微团的相对体积膨胀率。
I1
xx yy
zz
ux x
u y y
uz z
u
如果选择坐标轴是三个变形率矩阵的主轴，则此时变形率矩阵的
非对角线上的分量为零，相应的变形率矩阵与不变量为
1 2
u y x
ux y
y
1 uz 2 x
ux z
z
-
1 2
u y x
ux y
y
1 ux 2 z
uz x
z
如果令： 综合起来，有
xx
ux x
xy
1 2
u y x
ux y
, xz
1 2
uz x
ux z
z
1 2
u y x
ux y
, y
1 ux 2 z
uz x
ux (x x, y y, z z,t)