数学建模-赛题-微分方程竞赛试题

----------------------------精品word 文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 试 题 说 明1.本次数学建模周共有如下十五道题。

每支队伍（2-3人/队）必须从以下题中任意选取一题，并完成一篇论文，具体要求参阅《论文格式规范》。

2.指导老师会根据题目的难度对论文最后的评分进行调整。

3.题目标注为“A ”的为有一定难度的题目，选择此题你们将更有可能得到高分。

（一）乒乓球赛问题 (A)A 、B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为123,,ααα 和123,,βββ）。

根据过去的比赛记录，可以预测出如果A 队以i α次序出场而B 队以jβ次序出场，则打满5局A 队可胜ija 局。

由此得矩阵()ij R a =如下：（1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？（2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ （3） 如果你是A 队的教练，你会采取何种出场顺序？（4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？（二）野兔生长问题时野兔的数量。

（三）停车场的设计问题在New England 的一个镇上，有一位于街角处面积100⨯200平方英尺的停车场，场主请你代为设计停车车位的安排方式，即设计在场地上划线的方案。

容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。

为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。

常微分方程历年竞赛试题数学与统计学院赵小艳解 222()(),x x x z f e y e y f e y x∂'==∂例1(2016.10全国预赛)2,x u e y =令()(),f u u f u '=(),f u Cu =解得2,C =再由初始条件确定0,()2.x f x x >=当时解 ,,y p y p ''''==令例2(2016.3全国决赛)原方程化为30,p p '-=121,2x C p-=-解得11.2()p y C x ±'==-212()y C C x =±-所以12(,).C C 为任意常数解 ,,y p y p ''''==令例3(2015.3全国决赛)原方程化为20,p ap '-=11,ax C p-=+解得1(0)1 1.y C '=-=由确定21ln(1).y ax C a =-++解得1.1p y ax '==-+所以2(0)00.y C ==由确定1ln(1).y ax a=-+原方程的解为解 ,1,λ=由已知是微分方程的特征方程的二重根例4(2014.10全国预赛)2210,λλ-+=即特征方程为20,y y y '''-+=所求微分方程为解 1x 对上式两端同乘以,并同时求导数得解 ()()()u x f x eu x -''=-()()u x ef x -=-2()f x =-1(),f x x C =+通解为(0)1f =2()()f x f x '=-⎧⎨⎩可分离变量方程1,C =代入初值确定1().1f x x =+所以解 22()2(,)((,)(,))x xu v y x e f x x e f x x f x x --'=-++例7(2013.3全国决赛)22()2()xy x y x e x-'=-+一阶非齐次线性方程()2()y x y x '=-对应齐次方程的通解为2.xy Ce-=2()xy C x e-=令为非齐次方程的解,代入解得31()3C x x C=+2321.3xx y Ce x e --=+原方程的通解为解3((2))(()),.x y u x u u y x∂+∂+=∂∂由已知例8(2012.10全国预赛)3(4),x u u u '+=得2(2),x u u C =+常数变易法解得24,dx x u du u=+(2)10,u C ==由初始条件确定13().2x u x ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以解 (1)常数变易法可求得该方程的解为2.x y e =例9(2012.3全国决赛)21220(2)lim 1x n n e dx n x →∞+⎰210lim arctan()x n e d nx →∞=⎰()2211lim arctan()arctan()x x n e nx nx de→∞=-⎰()lim arctan n e n →∞=⋅-1arctan(ln )en u du⎰2()x u e =令()lim arctan arctan(ln )(1)n e n n e ξ→∞=⋅--.2π=)例10(2011.3全国决赛解一解二解例11(2010.10全国预赛)解一解二例12(2009.10全国预赛)解解解1解3解2升阶后所求解一定要代入验证！解4（幂级数法）解1可分离变量方程解2例16(2008.10陕西竞赛)解。

大学,高等数学,竞赛训练,微分方程
大学生数学竞赛训练五—微分方程一、（15分）设函数在上可导，且，对任给的满足等式1）求导数；
2）证明：当时，成立不等式：。

解：1）设，则有当时有两边关于求导得解微分方程得由条件可得，因此2）当时，，所以此时有；
又因为，当时，，所以此时有，因此当时，有二、（15分）设微分方程的两个解满足求此微分方程的通解。

解：1）如果为常数，则有因为，所以，由此可得，此时方程变为令，则有2）如果不是常数，则有，代入原方程可得（1）
（2）
由（1）、（2）可得令，则有，解得，，因为它们是线性无关的，所求通解为三、（15分）有一个攀岩爱好者要攀登一个表面为的山岩，在攀岩时他总是沿着最陡峭的路线攀登，他的出发点在山下的一点处，求他攀登的路线方程。

解：设所求曲线在面上的投影为，则其切向量与函数的梯度平行，因此有此为一阶齐次方程，解得，由可得，再由题意得到所求曲线方程为。

四、（15分）求方程的通解。

解：设，则有，原方程化为解得五、(15分)设，求在上的连续函数使得其在上满足方程及初值条件。

解：解方程得当时，当时，由的连续性可得，又因为可得，所求函数为。

六、（15分）已知二元函数有二阶连续的偏导数，并且满足证明：。

证明：因为二元函数有二阶连续的偏导数，所以由此可得。

七、
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2015 年山东财经大学数学建模竞赛1、求微分方程初值问题：错误！未找到引用源。

,的解析解和数值解。

完整答案如下：>> dsolve('Dy=y-2*x/y','y(0)=1','x')ans =(2*x+1)^(1/2)function myfunc=func(x,y)myfunc=(2*x+1)^(1/2);>> [x,y]=ode45('func',[0 1],1);>> plot(x,y)2、.下表为正弦函数表的一部分：0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736试据此解决如下问题：（1）作出基于数据点的函数x y sin = 的图像；（2）先对数据点进行恰当插值，再作出函数x y sin = 的图像；（3）计算63891 .0sin 的近似值。

完整答案如下：2、(1)>> x=.4:.56464:.8;>> y=sin(x);>> plot(x,y)>> x=.4:.1:.8;>> y=sin(x);>> plot(x,y)(2)>> x=[.4,.5,.6,.7,.8];>> y=[.38942,.47943,.56464,.64422,.71736]; >> scatter(x,y)>> hold on>> plot(x,y)(3)>> x=[0.63891];>> sin(x)ans =0.59633、附件1中的函数为错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

的25组观测数据，试据此求参数错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

的值。

完整答案如下：x=[23.73,22.34,28.84,27.67,20.83,22.27,27.57,28.01,24.79,28.96,25.77,23.17,28.57,23.52,21.86,2 8.95,24.53,27.65,27.29,29.07,32.47,29.65,22.11,22.43,20.04; ...5.49,4.32,5.04,4.72,5.35,4.27,5.25,4.62,4.42,5.30,4.87,5.80,5.22,5.18,4.86,5.18,4.88,5.02,5.55,5.2 6,5.18,5.08,4.90,4.65,5.08; ...1.21,1.35,1.92,1.49,1.56,1.50,1.85,1.51,1.46,1.66,1.64,1.90,1.66,1.98,1.59,1.37,1.39,1.66,1.70,1.8 2,1.75,1.70,1.81,1.82,1.53]';y=[15.02,12.62,14.86,13.98,15.91,12.47,15.80,14.32,13.76,15.18,14.20,17.07,15.40,15.94,14.33,1 5.11,13.81,15.58,15.85,15.28,16.40,15.02,15.73,14.75,14.35]';myfunc = inline ('(exp(-beta(1).*x(:,1))).*sin(beta(2).*x(:,2))+x(:,3).^2','beta','x');beta = nlinfit(x,y,myfunc,[0,0]')程序运行的结果如下：beta =-0.09150.3169即是k1= -0.0915 , k2=0.31694、某航空公司的一架货机有前、中、后三个货舱，其最大承载重量（单位：吨）和最大承载容积（单位：立方米）如下表所示：前舱中舱后舱最大承载重量10 16 8最大承载容积6800 8700 5300现拟用该货机装运四种货物，其规格及航空公司的运输利润如下表所示：重量（单位：吨）重量（单位：吨）体积（单位：立方米/吨）利润（单位：元/吨）货物1 18 480 3100货物2 15 650 3800货物3 23 580 3500货物4 12 390 2850问：应如何装运，才能获利最大？请建立上述问题的数学模型，并求解。

建模赛和数学竞赛中与微积分相关题目在建模赛和数学竞赛中，微积分是一个重要的题目类型。

微积分作为数学的一个重要分支，对于解决实际问题具有重要的作用。

在建模赛和数学竞赛中，与微积分相关的题目往往涉及到函数的极值、曲线的面积、体积以及微分方程等知识点。

本文将结合建模赛和数学竞赛中常见的题目类型，介绍与微积分相关的题目，并对如何高效地解决这些题目进行讨论。

一、函数的极值在建模赛和数学竞赛中，函数的极值是一个常见的题目类型。

通常会给出一个函数，要求求出其极大值或者极小值。

解决这类题目时，需要使用微积分的极值定理，即对函数求导并令导数等于零，解出导数为零的点，再通过二阶导数判断极值的类型。

对于函数f(x)=x^2-2x+1，求其极小值，首先对函数求导得到f'(x)=2x-2，令f'(x)=0，解出x=1，再求出f''(x)=2，由f''(1)>0可知x=1处是函数f(x)的极小值点，极小值为f(1)=0。

二、曲线的面积另一个与微积分相关的常见题目类型是曲线的面积。

这类题目通常要求计算曲线与坐标轴所围成的区域的面积。

解决这类题目时，需要使用定积分的概念，即将曲线分成无穷小的小矩形，然后对这些小矩形的面积进行累加。

对于函数f(x)=x^2，要求计算其在区间[0,1]上与x轴所围成的面积，可以使用定积分进行计算，即∫[0,1] x^2 dx = 1/3。

三、曲线的体积除了曲线的面积，曲线的体积也是一个常见的题目类型。

这类题目通常要求计算曲线绕坐标轴旋转一周所形成的立体的体积。

解决这类题目时，需要使用定积分的概念，即将旋转后的曲线分成无穷小的小圆柱体，然后对这些小圆柱体的体积进行累加。

对于函数f(x)=x^2，要求计算其在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的立体的体积，可以使用定积分进行计算，即π∫[0,1] (x^2)^2 dx = π/5。

四、微分方程微分方程也是建模赛和数学竞赛中与微积分相关的题目类型之一。

微分方程练习题及答案1、已知微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--05303y x dtdy y x dt dx （1）利用matlab 软件求此方程组在初始条件1|,2|11====t t y x 下的特 解，并画出解函数()y f x =的图形。

（2）利用matlab 软件分别用 ode23、ode45 求微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为[0,3]t ∈，并作图来比较两种求解器之间的差异。

2、已知微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++03023y x dtdy y x dt dx （1）利用matlab 软件求此方程组在初始条件2|,1|00====t t y x 下的特 解，并画出解函数()y f x =的图形。

（2）利用matlab 软件分别用 ode23、ode45 求微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为[0,2]t ∈，并作图来比较两种求解器之间的差异。

1、参考答案：（1）程序代码：syms x y t[x,y]=dsolve('Dx-x-3*y=0','Dy-3*x+5*y=0','x(1)=2','y(1)=1','t') ezplot(x,y,[0,3]);（2）程序代码：M函数文件verderpol.m:function xprime=verderpol(t,x)xprime=[x(1)+3*x(2); 3*x(1)-5*x(2)];在程序中调用此函数：clear;y0=[2;1];[t,x]=ode45('verderpol',[0,3],y0); plot(x(:,1),x(:,2),'r-'); hold onclear;y0=[2;1];[t,x]=ode23('verderpol',[0,3],y0); plot(x(:,1),x(:,2),'b-');2、参考答案：（1）程序代码：syms x y t[x,y]=dsolve('Dx+3*x+2*y=0','Dy+x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=2','t') ezplot(x,y,[0,2]);（2）程序代码：M函数文件verderpol.m:function xprime=verderpol(t,x)xprime=[-3*x(1)-2*x(2); 3*x(2)-x(1)];在程序中调用此函数：clear;y0=[1;2];[t,x]=ode45('verderpol',[0,2],y0); plot(x(:,1),x(:,2),'r-'); hold onclear;y0=[1;2];[t,x]=ode23('verderpol',[0,2],y0); plot(x(:,1),x(:,2),'b-');。

第十章微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y 的阶数是 . 1-2-41、微分方程0'2'2xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、微分方程0d d d d 22sxs x s的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(的阶数是 .1-5-44、微分方程xyxy2d d 满足条件1|'0xy 的特解是 .1-6-45、微分方程0d d yxy的通解是 .1-7-46、方程y e y x'的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '的通解是 .1-9-48、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''yy y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y ''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y xsin ''2的通解为 .1-15-54、若0d ),(dx ),(yy x Q y x P 是全微分方程, 则Q P,应满足 .1-16-55、与积分方程xy x f yx x d ),(0等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22yxy xx y xy 化为齐次方程是 .1-18-57、通解为21221,(C C e C eC yxx 为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y 2'满足条件0xy 的特解是 .1-19-59、方程0dy1dx2x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'的通解是1-21-61、方程x yxyxy xyd d d d 22化为齐次方程是1-22-62、若t ycos 是微分方程09''yy 的解, 则.1-23-63、若ktCe Q 满足Qdt dQ03.0, 则k.1-24-64、y y 2'的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x 1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、圆222r yx 满足的微分方程是1-27-67、ax ae y满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q yx P x的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y是微分方程y xy 2'的解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''qypy y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22dyxy xdxy xy写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dxdy 的通解是 ( )A.2x yB.25x y C.2Cx yD.Cxy 2-2-57、微分方程0dy 1dx 2x xy 的通解是 ( ) A.21x eyB.21x CeyC.x C yarcsin D.21xC y 2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2x y xB. 0dy dx x yC.0dy)(1dx)1(xy y xy D.dydx)(22xy y x2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( ) A.xxe e 32, B.x x 2sin ,2cos C. x x x sin cos ,2sin D.2ln ,ln xx 2-5-60、方程03'2''y y y 的通解是 ( )A.xxe C eC y 321 B. xxeC eC y 321 C.xx eC eC y 321 D.xxeC e C y3212-6-61、方程0''y y 的通解是 ( ) A.x C ysin B.x C ycos C.x C xycos sin D.xC xC ycos sin 212-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是( )A.xyyx 33dxdy B.dy 2dx)3(2xy y exC.234dxdy xyyx D.yx xyy321dxdy 2-8-63、微分方程0cot 'x y y 的通解是 ( ) A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC ycsc2-9-64、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'yy 的通解是 ( )A.C x y2sin B.C eyx24 C.xCe y2 D.xCey 2-11-66、方程xy2dx dy的通解是 ( )A.C ex2B.Cxe2C.2CxeD.2)(C x e2-12-67、xe y ''的通解为y( )A.xe B.xe C.21C xC exD.21C x C ex2-13-68、微分方程xe21dxdy满足1xy 的特解为 ( )A.1221xeyB.3221x ey C.C ey x212 D.212121xey2-14-69、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( ) A.Cyx2422B.Cyx2422C.2422yxD.12422yx2-15-70、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( )A.222yxB.933yxC.133yxD.13333yx2-16-71、过点,0()2的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32xyB.52xy C.53xey D.5xCe y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy化为可分离变量的方程, 应作变换 ( )A.2ux yB.22x u yC.ux yD.33xu y2-18-73、设方程)()('x Q y x P y 有两个不同的解21,y y ,若21y y 也是方程的解,则( ) A.B.0 C. 1 D.,为任意常数2-19-74、方程dx 2dx dy y x x 的通解是 ( ) A.x Cxy2B. x xC y2sin C.C xy 2cos D.Cxy 22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.xyxy 2'B .xxyy sin 'C .xyy' D.xyy 2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y xy' B.y xy'C.x yy' D.xy y'2-22-77、方程2)3(,0'y yy 的解是 ( )A.xey 32 B.xey 32 C.32x ey D.32x ey 2-23-78、微分方程x y y ln '的通解是 ( ) A.xx eyln B. xx Ceyln C.xx x ey ln D.xx x Cey ln 2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''的解 ( )A. xey22 B.xe y2 C.xey 2 D.xey 22-25-80、方程0sin '''653)4(yy y y x xyy的阶是 ( )A. 6B. 5C. 4D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2，则这条曲线是( )A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A.xyy x dxdy33B.2)3(2xydy dxy exC. xy yx dxdy D.yx xyy dxdy 3212-28-83、微分方程0cot 'xy y 的通解是 ( )A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC y csc 2-29-84、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx ,则p 的值( )A. 1B. 0C.21D.41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22y x y x y x 3-2-53、0ln 'yy xy 3-3-54、0d sec )2(d tan 32yy e x y e x x3-4-55、yx y y x xy22222')1(3-5-56、yx eye x dxdy3-6-57、0)1()1(xdy y ydxx3-7-58、x x y yy x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-8-59、0)0(,02')1(22y xy y x3-9-60、1)(,ln 2'e y x y y 3-10-61、x x y y y x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-11-62、0y)dx -(x dy)(y x3-12-63、)ln (ln dx d x y y y x 3-13-64、0)2(22dyx dx xy y3-14-65、xy x y xy tan'3-15-66、xyx y x y xy ln)('3-16-67、dxdy xydxdy xy223-17-68、x y yx y', 2|1x y 3-18-69、x y xy y', ey ex|3-19-70、2|,'122xy y xyxy3-20-71、xx yxy sin 1', 1|xy 3-21-72、xex y xy 43'3-22-73、342'xxyy 3-23-74、xyxy ln 11'3-24-75、xeyxxy x21'3-25-76、x xy y sec tan ', 0|0xy 3-26-77、xx yxy sin 1', 1|xy 3-27-78、22112'xy xx y ,|0xy 3-28-79、x x yxy ln ', ey ex|3-29-80、22d dyx xexy x3-30-81、)sin (cos d dy2x xy yx3-31-82、5d dyxyy x3-32-83、02d dy4xyxy x3-33-84、4)21(3131d dy yx yx3-34-85、xyxy x 2d dy23-35-86、xy y '''3-36-87、01)'(''2y yy 3-37-88、01''3y y 3-38-89、y y 3'', 1|0xy , 2|'0xy 3-39-90、223''yy ,1|3xy ,1|'3xy 3-40-91、02''yy 3-41-92、013'4''y y y 3-42-93、0'2''y y y 3-43-94、04'5''y y y 3-44-95、04'3''y y y , 0|0xy , 5|'0xy 3-45-96、029'4''y y y , 0|0x y ,15|'0xy 3-46-97、0'4''4y y y , 2|0x y , 0|'0x y 3-47-98、0'4''4y y y , 2|0xy , 0|'0xy 3-48-99、013'4''y y y , 0|0x y , 3|'0x y 3-49-100、04'4''y y y , 0|0x y , 1|'0xy 3-50-101、xey y y 2'''23-51-102、x eyy xcos ''3-52-103、xex y y y 3)1(9'6''3-53-104、'''22xy y ye3-54-105、123'2''x y y y 3-55-106、''sin 20y yx, 1|xy , 1|xy 3-56-107、52'3''yy y , 1|0xy , 2|'0xy 3-57-108、xe y y y 29'10'',76|0x y ,733|'0x y 3-58-109、xxe yy 4'', 0|0xy , 1|'0xy 3-59-110、xxeyy y 26'5''四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知xxxy t t y tt 03231d )(12, 求函数)(x y 4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x2.4-4-14、试求x y ''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12x y相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x 满足xx t t t x x 01d sin )(2cos )(, 求)(x .4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22pEpEQ, 最大需求量为1000Q, 求需求函数)(p f Q.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dL L Ak x，（其中0,0Ak）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且A L 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101,投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31. 设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w 证明: )(x w 满足方程0)('wx p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x的3个相异特解,证明1213y y y y 为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).解. 设)(t i i, 由回路电压定律tE dtdi LRisin 0, 即tLE LR dtdisin 0]sin [)(0C dt teLE et i t dtLRLR =]sin [0C dt te LE et t LR LR =)cos sin (2220t L t R LRE CetLR将0|0ti 代入通解得222LRLE C)cos sin ()(2220t L t R LeLRE t i t LR488.设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系解：.物体重力为mg w, 阻力为kv R , 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dtdv m ,从而得线性方程gv mk dtdv ,|0tv tmkdtdtCeg km C dt gee v km m k ][, 将0|0tv 代入通解得gkm C)1(t mk eg km v, 再积分得122C gekm gtkm Stmk,将0|0t S 代入求得gkm C 221)1(22t mkeg km gtkm S 489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x yt v y 1'0, 又弧OP 的长度为x tv dxy 0022'1,从以上两式消去t v 0得''121''')1(2y y y y x , 即2'121'')1(y y x 根据题意, 初始条件为0)0(y , 0)0('y 令p y', 原方程化为2121')1(pp x , 它是可分离变量得方程,解得21)1(112x C pp , 即21)1('1'12x C y y 将0)0('y 代入上式得11C , 故21)1('1'2x y y 而21)1(''1'1'122x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y 积分得22321)1(31)1(C x x y, 将0)0(y 代入上式得322C ,所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dLL A k x ，（其中0,0Ak ）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且AL 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL,|L L x, 解可分离变量得微分方程, 得通解kxCeAL , 将00|L L x 代入通解, 得AL C 0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxeA LAx L )()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31.设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:yS101,dt dyI31, 解之得通解tCe y103, 将5|0ty 代入通解得5C, 所以国民收入函数为tey 1035492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dtdp,)0(p p , 其中0p 为0t时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kpr p f ),(, d cpp g )(, 则方程为)()(d b k p c k k dtdp ,)0(p p , 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为ckd b eckd b p t p tc k k )(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(p g r p f , 即dpc bpk ,则c kdb p, 从而价格函数pep p t p c k k )(0)()(,取极限:pt p t)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p 0, 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于tc k k ec kk p pdtdp)(0)()(, 所以当p p 0时, 0dtdp,)(t p 单调下降向p 靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。

1.设位于坐标原点的甲舰向位于x 轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。

如果乙舰以最大的速度v0（ v0是常数）沿平行于y 轴的直线行驶，导弹的速度是 5v0 ，求导弹运行的曲线。

又乙舰行驶多远时，导弹将它击中?假设导弹在t 时刻的位置为P （x(t),y(t)），乙舰位于Q(1,v0t)。

由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线PQ 就是导弹的轨迹曲线弧OP 在点P 处的切线， 即有0'1v t yy x -=-(1)'v t x y y =-+ （1）又根据题意，弧OP 的长度|AQ|的5倍， 所以005v t=⎰ （2）有（1），（2）消去t 整理得(1)''x y -=（3）初值条件为：y(0)=0 y ’(0)=0以上微分方程的解即为导弹的运行轨迹，解得：4655555(1)(1)81224y x x =--+-+当x=1时y=5/24,即当乙舰行到点（1,5/24）处时被导弹击中。

被击中时间为：00524y t v v ==。

由matlab 作图 syms x y; x=0:0.01:1;y=(-5/8).*(1-x).^0.8+(5/12)*(1-x).^1.2+5/24; plot(x,y,'g*') 运行得下图|：2.有高为 1m 的半球形容器，水从它的底部小孔流出。

小孔横截面积为 1cm 。

开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h （水面与孔口中心的距离）随时间t 变化的规律。

解：设某一水滴质量为m ，处的高度为h 。

由力学知识得:212mgh mv =所以水从孔口流出的流量为0.62dVQ dt ==⋅其中h 是时间t 的函数。

0.62为流量系数。

由物理知识可知流量系数为流体通过小孔时的实际流量与理论流量之比值。

流量系数与小孔有关。

对于薄壁圆形小孔流量系数为0.62 又因为：1S =2cm(1)dV ∴=设在微小的时间间隔[,]t t t +∆水面的高度由h 降至h h +∆2,dV r dh π=-则又因为： r ==2(200),(2)dV h h dh π∴=--比较(1)和(2)得: 2(200)h h dh π--=2(200)h h dh π--=即为未知函数的微分方程.,dt dh =,t C =+0|100,t h ==Q 51410,15C ∴=⨯所求规律为51010t =⨯-3.在5.3节正规战争模型(3)中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为a/b=4，初始兵力 与 相同。

全国大学生数学建模竞赛经典试题导语：数模参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文(即答卷)。

竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。

欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网的经典的数学建模问题：运用灰色关联模型为我国产业结构的调整和优化提供建议改革开放以来，中国的产业结构优化都是以经济增长为主要目标，在该目标下所形成的产业结构己经使中国经济保持了近三十年的高速增长。

但是，由于忽视了能源与环境目标，过快的经济增长导致了产业结构失衡、能源消耗过渡、环境污染严重等问题。

因此，产业结构优化作为促进经济发展的重要手段已不是传统意义所指，结构优化的目标更着重于促进产业持续、健康发展以及产业与自然、社会和谐发展，结构状态和变化趋势符合可持续发展要求，结构的优化和变革促进产业可持续发展能力增强，结构优化政策贯彻可持续发展战略思想等。

基于此结合收集的资料，建立数学模型，解决一下问题。

问题一：建立各产业对我国经济增长影响的定量数学模型。

问题二：定量分析能源消费结构对空气质量的的关系。

问题三：建立数学模型分析未来能源消费的大体趋势。

问题四：结合以上问题结论为我国产业结构的调整和优化提供一些建议。

一、问题分析问题一我们发现我国各产业对经济的增长都有一定的作用，通过表分析我们需要定量分析各产业对我国经济增长影响的大小，于是我们通过建立灰色关联的数学模型计算各产业灰色相对关联度p1,p2,p3,比较其大小发现各产业对我国经济增长的定量影响。

问题二我们认为SO2排放放映出我国空气质量的大体状况，而无论是煤炭，石油，天然气，电能等能源的消耗都会排放一定量的的SO2，但我们无法准确确定影响大小，于是我们考虑建立灰色关联的数学模型，计算出各能源对SO2排放的影响程度大小，进而确定能源消费结构对空气质量的关系。

建模赛和数学竞赛中与微积分相关题目微积分是数学的一个重要分支，广泛应用于建模赛和数学竞赛中。

在建模赛中，微积分可以帮助我们建立数学模型，分析问题，并找到最优解。

在数学竞赛中，微积分题目常常要求解决极限、导数、积分等相关问题。

下面，我将为您详细介绍建模赛和数学竞赛中与微积分相关的题目。

建模赛中与微积分相关的题目通常要求我们建立数学模型，并通过微积分方法求解问题。

以一个典型的建模赛题目为例，假设我们需要设计一个最优化的城市交通方案，使得城市的交通流量最小化，从而减少交通拥堵和能源消耗。

我们可以通过建立交通流量方程和能量消耗方程来描述问题。

然后，利用微积分中的最优化方法，如求解导数为零的点，来寻找最优解。

这个过程中，微积分的极限、导数和积分等概念和技巧将被广泛应用。

在数学竞赛中，与微积分相关的题目也是常见的。

这些题目旨在考察学生对微积分概念和技巧的理解和运用能力。

下面，我将介绍几个常见的数学竞赛题目类型。

首先，极限题是微积分竞赛中的重要题型之一。

它要求我们求解函数在某一点的极限值。

例如，给定函数 f(x) = sin(x)/x，要求求解当 x 趋向于零时，f(x) 的极限。

解决这类题目通常需要运用极限的定义，利用三角函数的性质和极限的性质来推导并求解。

其次，导数题也是微积分竞赛中常见的题型。

这类题目要求我们求解函数的导数，或利用导数的性质来解决问题。

例如，给定函数 f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4，要求求解 f'(x)。

解决这类题目通常需要运用导数的定义和求导法则，以及利用导数的性质来简化计算和分析问题。

另外，积分题也是微积分竞赛中的重要题型。

这类题目要求我们求解函数的定积分，或利用积分的性质来解决问题。

例如，给定函数 f(x) = 2x，要求求解∫(0, 2)f(x) dx。

解决这类题目通常需要运用定积分的定义和计算方法，以及利用积分的性质来简化计算和求解问题。

此外，微分方程题也是微积分竞赛中的重要题型之一。

一、历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A 非线性交调的频率设计拟合、规划93B 足球队排名图论、层次分析、整数规划94A 逢山开路图论、插值、动态规划94B 锁具装箱问题图论、组合数学95A 飞行管理问题非线性规划、线性规划95B 天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A 最优捕鱼策略微分方程、优化96B 节水洗衣机非线性规划97A 零件的参数设计非线性规划97B 截断切割的最优排列随机模拟、图论98A 一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B 灾情巡视的最灾情巡视的最佳佳路线图论、组合优化99A 自动化车动化车床床管理随机优化、计随机优化、计算算机模拟99B 钻井布局0-1规划、图论00A DNA 序列分类模式识别式识别、、Fisher 判别判别、、人工神经网络00B 钢管订购和运输组合优化、组合优化、运输运输运输问题问题01A 血管三维重建曲线拟合、线拟合、曲面重建曲面重建01B 工交车调度问题多目标规划02A 车灯线光源光源的优化的优化非线性规划02B 彩票彩票问题问题问题 单目标目标决决策 03A SARS 的传播传播 微分方程、微分方程、差差分方程分方程03B 露天矿生产矿生产的车的车的车辆安辆安辆安排排 整数规划、整数规划、运输运输运输问题问题问题 04A 奥运会临时超市网点奥运会临时超市网点设计设计设计 统计分析、数计分析、数据处据处据处理、优化理、优化理、优化 04B 电力市场电力市场的的输电阻塞输电阻塞管理管理管理 数据拟合、优化拟合、优化 05A 长江长江水水质的评价和预测评价和预测 预测评价预测评价、数、数、数据处据处据处理理 05B DVD 在线租赁租赁 随机规划、整数规划随机规划、整数规划二、赛题发展的特点1.对选手对选手的计的计的计算算机能力提出了更高能力提出了更高的的要求：要求：赛题的解赛题的解赛题的解决依赖决依赖决依赖计计算机，题目的数题目的数据较据较据较多多，手工，手工计计算不能完成，如03B ，某些，某些问题问题问题需要需要需要使用使用使用计计算机软件，01A 。

数学建模试题及答案1．设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(,43)(+-=+=kp p f p p ϕ其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。

解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知：)()(1n n p f p =-ϕ 2分9431+-=+-n n kp p即： kp k p n n 531+-=- 经递推有：kk p kkk k p k p n nn nn n 5)3()3(5)53(31102⋅-+⋅-=++-⋅-=-=-∑6分0p 表示初始时的市场价格:∞→时当n 若即市场稳定收敛则时,,30,13n p k 即k<<<-。

10分 2．某植物园的植物基因型为AA 、Aa 、aa ，人们计划用AA 型植物与每种基 因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？依题意设未杂交时aa 、Aa 、AA 的分布分别为000,,a c b ，杂交n 代后分别为an bn cn (向为白分手) 由遗传学原理有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++⋅=⋅++=⋅+⋅+⋅=---------111111111210021000n n n n n n n n n n n n c b a c c b a b c b a a 4分设向量T n n n n c b a x )..(=1-⋅=n n X M x式中 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12100211000M 递推可得：0X M X n n ⋅=对M 矩阵进行相似对角化后可得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ1000210000 其相似对角阵1111012001-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=p p 从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⋅Λ=-111012001)21(111012001101n n n p p M ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=----1)21(1)21(10)21()21(0001111n n n n nM10101010))21(1())21(1(0)21()21(0b ac c b a b a n n n n n n n ⋅-+⋅-+=++==---- 8分 当∞→n 时，1,0,0→→→n n n c b a 。