九年级数学下册 24.6 第2课时 正多边形的性质习题课件

解：由题意可知∠PHA=∠PAH=45°，
∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°， P
N
∴四边形PQMN是矩形．
∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=
∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE，
Q
M
∴PA=QB=QC=MD．
即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形．
心距r之间有什么关系？
R2

r2


a 2
2

.
FE a
A
O Rr
D
B PC
(3) 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
11 S nar lr. 其中l为正n边形的周长.
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练一练
如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE
的度数是
（C）
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
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在Rt△PAH中，∵∠PAH=45°，AB=2， P
N
∴PA=ABsin 45 2，
外切正n变形.
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讲授新课 正多边形的性质
观察与思考
问题1 以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得
出什么结论？
EF是边AB、CD的垂直平分线，
A
E
∴OA=OB，OD=OC.
B
GH是边AD、BC的垂直平分线，
O
∴OA=OD；OB=OC.
G
H ∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆
A
BEO·C NhomakorabeaD

∴ C=6BC=6a.
BG
E D
C
在△BOC中，有 O G 3 B C 2
3a
2 ∴ S 6 1 BC OG
2
61a 3 a
22
= 3 3 a2
2
F AO
BG
E D
C
随堂演练 1. 如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形 螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？
解：如图，∠ABC=120°. AB＝BC＝a, AC＝b.
因而，正五边形ABCDE还有 一个以O为圆心的内切圆.
D
E
C
O
AH B
任何正多边形都有一个外接圆和 一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.
正多边形的有关概念及相关计算
正多边形的中心:该正多边形的外 E
D
接圆和内切圆的公共圆心.
半径R
பைடு நூலகம்
正多边形的半径:外接圆的半径.
正多边形的中心角:正多边形的 F
每一条边所对的圆心角.
.
中心角 O
C
正多边形的边心距：内切圆的
边心距r
半径.
A
B
想一想：
正n边形的一个内角的
(n 2)180
度数是______n______;
360
中心角是_____n ______;
正多边形的中心角与外角的 大小关系是__相__等____.
A BOE
CF D
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心.
边心距和面积.
解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
A
连接OB，则OB=R
在Rt△OBD中∠OBD=30°,

3 BC 2
3 a. 2
∴S=6 1 BC OG 3 3 a2.
2
2
24.6.2 正多边形的性质
例2 一个上、下底面为全等正六边形的礼盒，高为10 cm， 上、下底面正六边形的边长为12 cm，如果用彩色胶 带按如图所示方式包扎礼盒，所需胶带长度至少为
__(7_2___3___6_0_)_c_m___．
6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方 形的面积等于4，求⊙O的面积． 解：∵正方形的面积等于4，
∴正方形的边长AB=2. 则半径为 AB sin 45 2. ∴⊙O的面积为 π( 2)2 2π.
24.6.2 正多边形的性质
7.如图，正六边形ABCDEF的边长为 2 3，点P为六边形内任
24.6.2 正多边形的性质
例1 求边长为a的正六边形的周长和面积.
解： 如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足是G，连
接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为C 和S.
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC = 60°， △BOC是等边三角形.
∴C = 6BC = 6a.
在△BOC中，有 OG
出所需胶带的长度．
24.6.2 正多边形的性质
例3 如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线． （1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连 接的线段与AG平行，并说明理由； （2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、 M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
n
24.6.2 正多边形的性质
画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？
24.6.2 正多边形的性质
要点精析： (1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一共有n条 对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心. (2)当边数为偶数时，正多边形具有：轴对称性、中心

n
练一练 完成下面的表格：
正多边形的外 角=中心角
正多边 形边数
3 4 6
n
内角 中心角
60 ° 90 ° 120 °
(n 2) 180 n
120 ° 90 ° 60 °
360 n
外角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
正多边形的有关计算
探究归纳
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
∴∠ABF= 1∠ABC=67.5 . 2
即∠BAG+∠ABF=180°，故BF∥AG． 同理，可得CE∥BF， ∴CE∥AG.
(2) 两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、 M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
解：由题意可知∠PHA=∠PAH=45°，
∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°， P
2
情景导学
导入新课
问题1 什么是正多边形？ 各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形.
问题2 如何作出正多边形？ 将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或
外切正n变形.
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新课进行时
讲授新课 正多边形的性质
观察与思考
问题1 以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得
出什么结论？
EF是边AB、CD的垂直平分线，
的度数是
（C）
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
A
B
E
O·
C
D
方法归纳
圆内接正多边形的辅助线
F
E
O
A
O· D
rR
BMC
半径R
中心角一半 边心距r
C
M
边长一半